Структурна схема оптимального приймача В.А. Котельникова

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ
Кафедра РРМ
ЗАТВЕРДЖУЮ
Зав. кафедрою РРМ
___В.А. Дружинин
«_20__» _вересня________ 2013
Лекція № 18
З навчальної дисципліни: Сигнали та процеси в радіотехніці
Напряму підготовки: Радіотехніка
Освітньо-кваліфікаційного рівня: бакалавр
Тема: Узгоджений фільтр
Матеріали лекції розглянуті
на засіданні кафедри РРМ
Протокол № 2 від 20.09.2013
Завідуючий кафедрою
_________
В.А. Дружинин
«_20_»_вересня_________ 2013
Київ 2013
Навчальні цілі ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Виховні цілі _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Час 2години
ПЛАН ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦІЇ ТА РОЗРАХУНОК ЧАСУ
Введення
_________________________________________________________________________- хвилин
Навчальні питання
1. Реалізація оптимального прийому на базі узгоджених фільтрів________________40 хвилин
(найменування питання лекції)
2. Реалізація оптимального прийому на базі оптимальних
демодуляторів___________________________________________________________40 хвилин
(найменування питання лекції)
3. __________________________________________________________- хвилин
(найменування питання лекції)
Заключення
_________________________________________________________________________- хвилин
ЛІТЕРАТУРА:
(рекомендована для студентів)
1. Теория передачи сигналов. Учебник для вузов . Зюко А.Г., Кловский Д.Д. Назаров М.В.,
Финк Л.М. М.: Радио и связь,1986
2. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. Учебник для вузов. М.: Связь, 1973 г.- 376 с.
3.Теория электросвязи. Учебник для вузов. Зюко А.Г., Кловский Д.Д.,
Назаров М.В. М.;Радио и связь,1998
Коржик В.И.,
4.Стеклов В. К., Беркман Л. Н., Варфоломеєва О. Г., Чумак Н.С. Методичне керівництво для
виконання лаб. роб. з дисципліни “Теорія електрозв’язку”: Інформаційно-ентропійний метод
розрахунку кількості інформації в системах зв’язку. Київ, КІЗ УДАЗ, 2001 р.
5.Манжуло А.П., Хорунжий А.И. Основные понятия теории информации, Метод. руков. К
практич. занятию по курсу “ТЭС”. :Киев, 1989
НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
(наочні посібники, схеми, таблиці, ТЗН та інше)
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Текст лекції
ПРИЕМ НА СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР
Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал,
если форма его известна. К их числу относится задача приема телеграфных
сигналов, сигналов при импульсно-кодовой модуляции, радиолокационных
сигналов. В этих случаях важным параметром, характеризующим качество
обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр,
максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным
фильтром.
Пусть на входе фильтра действует сумма сигнала s (t ) и помехи  (t ) , т.е.
колебание x(t )  s(t )   (t ) . Полезный сигнал s (t ) рассматривается не как
случайный процесс, а как функция известной формы со спектральной
1
2
плотностью G П ( )  N 0 .
Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде
K (i  )  K ( )e i ( ) .
Сигнал на выходе фильтра, очевидно, равен сумме полезного сигнала y c (t )
и помехи y П (t ) :
y(t )  y c (t )  y П (t ).
Полезный сигнал на выходе можно записать в виде
y c (t ) 

1 
i t
i[ ( )  ( ) t ]
S
(
i

)
K
(
i

)
e
d


d
 S ( )K ( )e
2 

Пиковая мощность сигнала в некоторым момент t 0 будет равна:
2
Pcт  y c (t 0 )


1
 S (i  )K (i  )e
4 2 
i t 0
2
d ,
а мощность помехи
PП 
N0  2
K ( )d .
4 
Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени t 0 будет
определятся следующим выражением:

2
i t 0
 S (i  )K (i  )e d
Pcт

q


PП
N 0  K 2 ( )d
.
(6.43)

Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра,
чтобы отношение сигнала к помехе q на его выходе было максимальным. На
основании неравенства Буняковского-Шварца, которое, как известно [ ], имеет
слудеющий вид:
 f1 ( x) f 2 ( x)dx
2
2
2
  f1 ( x) dx  f 2 ( x) dx.
(6.44)
получаем


q
2
S (i  ) d

N 0


 K (i  )

 K (i  )

2
d
2
d
1 
2
.
S (i  ) d .

N 0 
(6.45)
Таким образом, при любой характеристике фильтра K (i  ) отношение
сигнала к помехе не может превосходить максимального значения
1 
2E
2
q max 
S (i  ) d 

N 0 
N0
(6.46)
где Е – полная энергия сигнала. Указанная максимальная величина q
достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет
следующее выражение:
K (i  )  cS (i )e i t0  cS ( )e i[ t0  ( )] ,
(6.47)
где S (i )  S ( )e i ( ) - функция, комплексно-сопряженная со спектром
сигнала S (i ) , с – произвольная постоянная. В этом нетрудно убедиться путем
непосредственной подстановки выражения (6.47) в равенство (6.43).
Выражение (6.47) можно записать в виде двух равенств:
K (i  )  cS ( )
 ( )  [ ( )  t 0 ],
из
которых
следует,
что
(6.4)
амплитудно-частотная
характеристика
согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с
амплитудным спектром сигнала, а фазо-частотная характеристика определяется
фазовым спектром, сигнала  ( ) и линейной функцией частоты t 0 . Таким
образом,
частотная
характеристика
оптимального
фильтра
полностью
определяется спектром сигнала, «согласована» с ним. Отсюда и название –
согласованный фильтр.
Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра равна:
 (t )  t   ( )  ( )  t   ( )   ( )  t 0   (t  t 0 ).
(6.49)
При t  t 0 ,   0 , т.е. в момент t 0 , все гармонические составляющие сигнала
имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя в этот
момент пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные же составляющие
помехи на выходе фильтра имеют случайную фазу. Этим и объясняется
доказанное выше положение о том, что согласованный фильтр максимизирует
отношение сигнала к помехе на выходе.
Импульсный отклик согласованного фильтра легко определяется на
основании преобразования Фурье. Согласно (6.47) имеем
g (t ) 

1 
c 
i t
K
(
i

)
e
d


S (i )e i (t0 t ) d 
2 
2 

(6.50)
c
S (i )e i (t0 t ) d  cs (t  t 0 ).

2 
Итак, импульсным откликом согласованного фильтра является зеркальное
отображение сигнала относительно t 0 в масштабе «с» (рис. 6.7). Из рис. 6.7
видно, что t 0 не может быть меньше момента окончания сигнала Т. Это
означает, что для практически реализуемого фильтра должно выполняться
условие t 0  T . Для уменьшения времени анализа целесообразно принять t 0  T .
Согласованный фильтр как коррелятор. Пусть u вх (t ) - некоторый
входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом s (t ) , по
отношению
к
которому
рассматриваемый
линейный
фильтр
согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие
является
u вх (t ) 

 u вх ( ) y согл (t   )d 


 k  u вх ( ) s[t  (t   )]d 
(6.51)


 k  u вх ( ) s[  (t  t 0 )]d .

Легко
заметить,
что
последний
интервал
представляет
собой
взаимокорреляционную функцию сигналов u вх (t ) и s (t ) , т.е.
u вх (t )  kBus (t  t 0 )
(6.51)
В момент времени t 0 мгновенное значение выходного сигнала с точностью
до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному
произведению обоих сигналов:

u вх (t )  k  u вх ( ) s( )d .
(6.52)

Предположим теперь, что u вк  S (t ) , т.е. на входе фильтра присутствует
сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. Из формулы (6.51)
следует, что в этом случае
S вых (t )  kBs (t   0 ) ,
(6.53)
т.е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции
входного сигнала. В качестве примера на рис. 6.8 изображено построение
сигнала на выходе конкретного согласованного фильтра.
Согласованный
фильтр
для
прямоугольного
видеоимпульса.
Рассмотрим импульсный сигнал s (t ) , представляющий собой видеоимпульс
прямоугольной формы с известной длительностью  и
и произвольной
амплитудой U 0 . Чтобы найти структуру фильтра, согласованного с таким
сигналом,
используем
спектральный
метод.
Прежде
всего
вычислим
спектральную плотность полезного сигнала:
s ( ) 

 s(t )e
 jt

dt  U 0
и

e  jt dt 
0
U0
(1  e  j lи ).
j
(6.53)
Отсюда находим частотный коэффициент передачи согласованного
фильтра, положив для конкретности t 0   и , т.е. что отклик фильтра максимален
в момент окончания импульса:
K согл ( j )  k
1  e  j lи  j lи
k
e

(1  e  j lи ).
 j
j
(6.54)
Полученный результат позволяет синтезировать согласованный фильтр.
Действительно, в соответствии с выражением (6.54) такой фильтр должен
представлять собой каскадное соединение трех линейных звеньев: а)
масштабного усилителя с коэффициентом усиления
k;
б) идеального
интегратора; в) устройства с коэффициентом передачи K ' ( j )  1  exp(  j и ) .
Последнее устройство реализуется с помощью звена задержки сигнала на время
 и , инвертора, изменяющего знак сигнала, и сумматора. Структурная схема
фильтра изображена на рис. 6.9.
Согласованный фильтр для пачки одинаковых видеоимпульса. В
радиолокации
часто,
стремясь
увеличить
энергию
полезного
сигнала,
обрабатывают импульсы отдельными пачками. Предположим, что на выходе
амплитудного детектора приемника имеется пачка из
N
одинаковых
видеоимпульсов длительностью  и каждый; интервал между импульсами равен
T . Если S 0 ( ) - спектральная плотность отдельного импульса, то спектральная
плотность пачки импульсов
S П ( )  S 0 ( )[1  e  jT  e  j 2T  ...  e  j ( N 1)T ].
(6.55)
Синтезируя структуру согласованного фильтра для пачки импульсов
потребуем, чтобы максимальный отклик возникал в момент окончания
последнего импульса пачки, откуда t 0  ( N  1)T   и . Находим частотный
коэффициент передачи согласованного фильтра:
K согл ( j )  kS *0 ( ) e  j  [1  e jT  e j 2T  ...  e j ( N 1)T ] e j( N 1) T 
 K 0 согл ( j )[1  e
 jT
e
 j 2T
 ...  e
 j ( N 1)T
(6.56)
],
где K0 согл ( j ) - коэффициент передачи согласованного фильтра для
одиночного видеоимпульса.
Формула
(6.56)
непосредственно
определяет
структурную
схему
согласованного фильтра, изображенную на рис. 6.10.
На входе размещен согласованный фильтр для одиночного видеоимпульса.
Основой устройства служит многоотводная линия задержки, обеспечивающая
запаздывание сигналов на отрезке времени T , 2T ,..., ( N  1)T . Сигналы со всех
отводов поступают в сумматор. Легко видеть, что максимальный отклик на
выходе сумматора будет наблюдаться тогда, когда полезные сигналы от всех
импульсов пачки одновременно окажутся на всех его входах. Эффективность
работы устройства на всех его входах. Эффективность работы устройства тем
выше, чем длиннее пачка.
Практически выполняемые обнаруживатели радиолокационных сигналов
содержат также специальный нелинейный пороговый элемент, вход которого
соединен с выходом сумматора согласованного фильтра. Уровень порога
несколько превышает среднеквадратическое значение шума в отаут.
Если всплеск выходного сигнала фильтра достигает порогового уровня, на
устройство индикации поступает управляющий сигнал, свидетельствующий о
наличии импульса, отраженного от цели.
Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса. Пусть
выделяемый сигнал представляет собой радиоимпульс вида
0, t  0,

s(t )  U 0 sin  0 t , 0  t   и ,
0, t   .
и

(6.57)
Синтезируем согласованный фильтр для такого сигнала, используя
сведения об импульсной характеристике фильтра.
Как было показано, импульсная характеристика согласованного фильтра
q согл (t )  ks(t 0  t ) . Положим t 0   и и будем считать для простоты длительность
импульса кратной периоду высокочастотного заполнения, так что sin  0 и  0 .
Тогда
0, t  0,

q согл (t )  k sin  0 t , 0  t   и ,
0, t   .
и

(6.58)
т.е. импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до
амплитудного множителя повторяет входной сигнал.
Такую импульсную характеристику можно приближенно реализовать с
помощью системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.11.
На
входе
фильтра
размещается
колебательное
звено
(например,
высокодобротный колебательный контур) с импульсной характеристикой
0, t  0,
q согл (t )  
b sin  0 t , t  0,
где b - постоянная величина.
Для того чтобы импульсная характеристика согласованного фильтра
равнялась нулю при t   и , предусмотрены сумматор, на один их входов
которого сигнал с выхода колебательного звена подается непосредственно, а на
другой – через звено задержки на  и секунд, и, и фазовращатель, изменяющий
фазу сигнала на 180  . При таком включении элементов начиная с момента
времени t   и ко входам сумматора приложены два гармонических колебания с
одинаковыми амплитудами и противоположными фазами, что обращает в нуль
сигнал на выходе сумматора.
Согласованный фильтр для сигнала Баркера. Достоинство сигналов
Баркера – высокое значение главного лепестка автокорреляционной функции и
предельно низкий уровень боковых лепестков.
На рис.6.12 изображена структурная схема согласованного фильтра,
предназначенного для обнаружения М – позиционного сигнала Баркера с
фазовым кодированием. Такой сигнал имеет вид последовательности отрезков
гармонических колебаний с фазовыми сдвигами 1 ,  2 ,..,  M , равными 0 или
180  .
При
синтезе
исходят
из
того,
что
импульсная
характеристика
согласованного фильтра должна представлять собой «зеркальную» копию
выделяемого сигнала с обращенным во времени порядком следования
отдельных позиций.
На входе устройства имеется вспомогательный фильтр Ф1 , согласованный
по отношению к одной позиции сложного фазоманипулированного сигнала, т.е.
к прямоугольному радиоимпульсу. На выходе этого фильтра под воздействием
входного
дельта-импульса
возникает
радиоимпульс
с
огибающей
прямоугольной формы. Этот импульс подается на линию задержки с отводами,
представляющую собой обычно волновую (распределенную) систему. Задержка
во времени между отводами равна длительности Т каждой позиции сигнала.
Для правильного функционирования устройства необходимо, чтобы
последовательность фазовых сдвигов  M ,  M 1 ,.., 1 (см. рис. 6.12) отвечала
значениям фаз в отдельных позициях сигнала Баркера при счете от конца
сигнала к началу.
Прямоугольный радиоимпульс, перемещаясь вдоль линии задержки,
поочередно возбуждает входы сумматора, на выходе которого возникает
«зеркальная» копия выделяемого сигнала.
Оптимальная демодуляция дискретных сигналов
прийом дискретних сигналів.
В технике связи преимущественное применение находит правило максимального
правдоподобия, которое реализует критерий идеального наблюдателя(В этом случае все
символы передаются равновероятно) или правило максимальной апостериорной вероятности
символов (если символы передаются неравновероятно) Для большей части дискретных
систем связи различия между правилами мак апостериорной вероятности и максимальным
правдоподобием невелико. Это объясняется тем, что
при достаточно эффективном
кодировании вероятности передачи символов почти одинаковы. В дальнейшем схемы
реализующие мак..правдоподобия называют оптимальными
При заваді W (t ) з рівномірним спектром
1
N 0 в сигналах s i (t ) , x(t ) , заданих на
2
кінечному інтервалі (0  t  T ) , умова оптимального прийому за В.А. Котельниковим може
бути представлена у вигляді:
2
i
 x(t )  si (t ) dt   x(t )  s j (t ) dt  N 0 ln p( s ) , i  j.
0
0
j
T
2
T
p( s )
Цей вираз визначає умови правильного прийому сигналу s i (t ) .
У
випадку,
коли
p( s1 )  p( s 2 )    p( s m ) 
апріорні
T
0
0
сигналів
однакові
1
критерій Котельникова приймає більш простий вигляд:
m
2
2
 x(t )  si (t ) dt   x(t )  s j (t ) dt.
T
ймовірності
(4.3)
Звідси випливає, що при рівноймовірних сигналах оптимальний приймач відтворює
повідомлення,
яке
відповідає
тому
переданому
сигналу,
який
має
найменше
середньоквадратичне відхилення від прийнятого сигналу.
Записану вище нерівність (4.3) можна записати в іншому вигляді:
T
T
 x (t )dt  
2
0
si2 (t )dt
0
T
T
0
0
T
 2  x(t ) si (t )dt   x (t )dt  
2
0
s 2j (t )dt
T
 2  x(t ) s j (t )dt.
0
Для сигналів, енергії яких однакові, ця нерівність для всіх j  i приймає більш
просту форму:
T
T
 x(t ) si (t )dt   x(t ) s j (t )dt.
0
(4.4)
0
В цьому випадку умова оптимального прийому (4.4) можна сформувати наступним
чином. Якщо всі можливі сигнали рівно ймовірні і мають однакову енергію, оптимальний
приймач відтворить повідомлення, відповідне тому переданому сигналу, взаємна кореляція
якого з прийнятим сигналом максимальна.
Для двійкової системи отриманим результатам можна дати наглядне геометричне
трактування (рис. 4.6).
r1
x
r2
s
s2
s1

v
1
d
2
Рис4.6.
Нехай передаються два рівноймовірних повідомлення U 1 і U 2 за допомогою
сигналів s1 і s 2 . Простір можливих значень сигналу можна розбити на дві області, так, щоб
при попаданні кінця вектора X в першу область відтворювався сигнал s1 (область s1 ), а
при попаданні в другу область – відтворився сигнал s 2 (область сигналу s 2 ). Ймовірність
помилки, очевидно, залежить від конфігурації областей сигналу. В оптимальному приймачі
Котельникова простір сигналів розбивається на область сигналу s1 і s 2 так, щоб повна
ймовірність помилки була мінімальною.
У випадку рівноймовірності сигналів і завади з рівномірним розподілом оптимальне
розбиття простору буде таким, при якому люба точка x відноситься до області того сигналу
s , кінець вектора якого найближчий до точки x . В двовимірній моделі для двійкової
системи границя областей сигналів s1 і s 2 є геометричне місце точок, рівновіддалених від
s1 і s 2 , тобто гіперплощина, перпендикулярна до вектора різниця s  s1  s 2 і яка поділяє
його навпіл (рис. 4.6).
Якщо, наприклад, передавався сигнал s1 , то помилка відбудеться в тому випадку,
коли виконується нерівність:
r2  r1
чи
1
2
 d,
де r1  X  s1 , r2  X  s 2
і

- проекція w на вектор, колінеарний до s ,
тобто:

ws
.
s
Очевидно, що можна записати:
X  s2  X  s1
або в евклідовій метриці:
T
T
0
0
2
2
 x(t )  s 2 (t ) dt   x(t )  s1 (t ) dt.
Ця умова повністю співпадає з записаною раніше умовою (3) для рівноймовірних
сигналів.
Структурна схема оптимального приймача В.А. Котельникова для
рівноймовірних сигналів
Структурна схема оптимального приймача зображена АН рис. 4. 7. Умова прийому
для двох сигналів визначиться виразом:
T
T
0
0
2
2
 x(t )  s(t ) dt   x(t )  s 2 (t ) dt.
(4.5)
T
Ã1
2
 [ x(t )  s1(t )] dt
s1 (t )
x(t )  s1 (t )
Â
x(t )
²
x(t )  s2 (t )
Â
0
[ x(t )  s1 (t )]2
ÂÏ
[ x (t )  s2 (t )]2
²
s1
²
s2
²
T
s2 (t )
2
 [ x(t )  s2 (t )] dt
Ã2
0
Рис.4.7.
Генератори опорних сигналів Г1 і Г2 – формують точні копії переданих сигналів s1 і
s 2 . В – вираховуючий пристрій, КВ – квадратуючий пристрій. І – інтегратор, ВП –
вирішуючий пристрій.
Нерівність (4.5) можна записати в іншому вигляді:
T
T
0
0
 2  x(t ) s 2 (t )dt  
s 22 (t )dt
T
T
0
0
 2  x(t ) s1 (t )dt   s12 (t )dt
або
T
 x(t )s1 (t )  s2 (t )dt  2 E2  E1 .
1
0
Ця нерівність еквівалентна нерівності (4.5), але веде до іншої схемної реалізації
приймача (рис. 4.8).
T
x(t )
 x(t )s(t )dt
x(t )s(t )
È
Ï
0
s1
ÂÏ
s2
s (t )
Ã
1
( E2  E1 )
2
Рис.4.8.
В схемній реалізації після операції перемноження (П), інтегрування (І) проводиться
порівняння отриманого результату з постійним порогом, рівним різниці енергій та сигналів
1
E2  E1  . Ця схема простіша від запропонованої раніше, однак вона володіє тим
2
недоліком, що при зміні рівня сигналу поріг потрібно автоматично регулювати. Цей недолік
усувається для сигналів рівних енергій E1  E 2  ; тоді поріг дорівнює нулю, і вирішуючи
схема визначає тільки знак сигналу на виході.
Структурна схема оптимального приймача В.А. Котельникова для
рівноймовірних сигналів рівних енергій
При E1  E 2 спрощується схема приймача (рис. 4.7), а сам приймач перетворюється
в кореляційний (когерентний). Структурна схема приймача, представлена на рис.4.9.
T
Ã1
2
 [ x(t )  s1(t )] dt
s1 (t )
x(t )  s1 (t )
Â
x(t )
x(t )  s2 (t )
Â
[ x(t )  s1 (t )]2
²
[ x (t )  s2 (t )]2
²
0
s1
²
ÂÏ
s2
²
T
s2 (t )
2
 [ x(t )  s2 (t )] dt
Ã2
0
Рис.4.9.
Оптимальний прийом може бути реалізованим на узгоджуючому фільтрі.
Структурна схема приймача В.А. Котельникова на узгоджуючих фільтрах.
Можливість побудови приймача на узгоджуючих фільтрах пояснюється тим, що на
виході узгоджуючого фільтра, який має коефіцієнт передачі
K ( )  cS ( ),
c
де
- довільна постійна, S ( ) - амплітудний спектр сигналу, та фазову
характеристику
 ( )   ( )  t 0 ,
має місце кореляційна функція (з точністю до постійного співмножника) сигналу,
який приймається, та сигналу, узгодженого з фільтром. Назва узгодженого фільтра походить
від того, що частотна характеристика фільтра повністю визначається спектром сигналу,
узгоджена з ним.
Структурна схема приймача, який реалізує умову (4.6) зображена на рис. 4.10.
T
x(t )
 x(t )s(t )dt
x(t )s(t )
È
Ï
0
s1
ÂÏ
s2
s (t )
Ã
Рис.4.10.
1
( E2  E1 )
2
Розглянуті схеми оптимальних приймачів відносяться до типу когерентних, в них
враховується не тільки амплітуда, але і фаза високочастотного сигналу.
В схемах оптимальних приймачів відсутні фільтри на вході, які в реальних приймачах
завжди існують. Це означає, що оптимальний приймач при флуктуаційних завадах не
вимагає фільтрації на вході. Його завадостійкість не залежить від ширини смуги перепуску
приймача.