Найти линейные комбинации заданных матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.А. ШОЛОХОВА»
ЕГОРЬЕВСКИЙ ФИЛИАЛ
КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ, ИНФОРМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Савина Г.М.
МАТЕМАТИКА
М А Т Р И Ц Ы. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л И. С И С Т Е М Ы У Р А В Н Е Н И Й
Учебное пособие
2012 г.
Савина Г.М. Математика. Матрицы. Определители. Системы уравнений.
Учебное пособие. – Егорьевск: ЕФ МГГУ им. М.А. Шолохова, 2012. - 63с.
Настоящее методическое пособие посвящено изучению одного из
основных
разделов
математики.
Рассмотрены
все
типы
матриц,
определителей, системы уравнений, изучаемых в курсе высшей математики.
Для каждого типа приведены основные теоретические сведения,
даны
задачи для аудиторной и самостоятельной работ. В пособие также включены
варианты контрольной работы по данной теме.
Представленное
методическое
пособие
соответствует
указаниям
Государственного образовательного стандарта и учебной программе по
математике.
 Савина Г.М., ст. преподаватель кафедры технологии, информатики и
управления ЕФ МГГУ им. М.А. Шолохова, 2012.
 Егорьевский филиал ФГБОУ ВПО «Московский государственный
гуманитарный университет им. М.А. Шолохова», 2012.
2
Содержание
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. .......................................................................................... 4
1. Операции над матрицами ......................................................................................... 5
2. Определители ........................................................................................................... 10
Методы вычисления определителей...................................................................... 11
Задачи для самостоятельной работы: .................................................................... 15
3. Ранг матрицы ............................................................................................................ 19
Задания для самостоятельной работы: .................................................................. 21
4. Обратная матрица. Матричные уравнения. .......................................................... 22
Контрольная работа ..................................................................................................... 27
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................................................ 31
1. Исследование систем линейных уравнений, теорема Кронеккера – Капелли.
Метод Гаусса ................................................................................................................. 31
Задания для самоконтроля: ........................................ Error! Bookmark not defined.
2. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений ........................... 42
Задания для самоконтроля: ..................................................................................... 43
Контрольная работа ..................................................................................................... 46
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1: Элементы линейной алгебры: матрицы,
определители, системы линейных уравнений .......................................................... 50
Приложение 1............................................................................................................ 51
Приложение 2............................................................................................................ 53
Приложение 3............................................................................................................ 55
Приложение 4............................................................................................................ 57
Приложение 5............................................................................................................ 60
Список литературы ....................................................................................................... 63
3
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
→
Матрицей А размера m × n называется прямоугольная таблица из m строк
и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений 𝑎𝑖𝑗
(называемых элементами матрицы), i=1,2…..,m, j=1,2…..n.
Матрица А с элементами 𝑎𝑖𝑗 обозначается также (𝑎𝑖𝑗 ).
а11 а12 … а1𝑗 … 𝑎1𝑛
а21 а22 … а2𝑗 … 𝑎2𝑛
⋮
⋮
⋮
А= ⋮
а𝑖𝑗
а𝑖𝑛
а𝑖1 а𝑖2
⋮
⋮
(а𝑚1 а𝑚2
Например, А= (
1
−2𝑦
⋮
а𝑛𝑗
⋮
𝑎𝑚𝑛 )
𝑥 3
) – матрица 2×3, ее элементы а11 =1, а12 = х,
−5 0
а21 =3, а11 = -2y,….
Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
Диагональной называется матрица, у которого все элементы вне главной диагонали
(т.е. с индексами i≠j) равны нулю. Единичной (обозначается Е) называется
диогональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется
матрица, все элементы которой равны нулю.
Примеры матриц: a) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая
1 0
a)( 3 𝑥
0 2𝑥
7
𝑥
−1) ; б)(0
0
1 0 0
0
0 0 0
)
2 ) в) )( 0 1 0) г ) (
𝑦
0 0 0
0 0 1
4
1. Операции над матрицами
→
Суммой матриц А = (𝑎𝑖𝑗 ) и В = (𝑏𝑖𝑗 ) одинакового размера называется
матрица С = (с𝑖𝑗 ) того же размер, причем с𝑖𝑗= а𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗, ∀ 𝑖, 𝑗
Свойства операции сложения матриц. Для любых матриц А, В и С одного
размера выполняются равенства :
1) А+В = В+А (коммутативность);
2) (А+В)+С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
→
Произведением матрицы А = (а𝑖𝑗 ) на число 𝜆 называется матрица В = (𝑏𝑖𝑗 )
того же размера, что и матрица А , причем (𝑏𝑖𝑗 ) = 𝜆а𝑖𝑗 , ∀ 𝑖, 𝑗
Свойства операции умножения матрицы на число:
1) 𝜆 ∗ (𝜇 ∗ Α) = (𝜆 ∗ 𝜇) ∗ Α (ассоциативность);
2) 𝜆 ∗ (Α + Β) = 𝜆 ∗ Α + 𝜆 ∗ Β (дистрибутивность относительно сложения
матриц);
3) (𝜆 + 𝜇) ∗ Α = λ ∗ Α + μ ∗ Α (дистрибутивность относительно сложения
чисел);
⇛
Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется
выражение вида𝛼 ∗ Α + 𝛽 ∗ Β, где 𝛼 и 𝛽 − произвольные числа.
⇛
Произведением А * В матриц А и В (размером 𝑚 × 𝑛 и 𝑛 × 𝑟
соответственно) называется матрица С размера 𝑚 × 𝑟 , такая, что :
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 ∗ 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 ∗ 𝑏2𝑗 + ∗∗∗ +𝑎𝑖𝑘 ∗ 𝑏𝑘𝑗 +∗∗∗ +𝑎𝑖𝑛 ∗ 𝑏𝑛𝑗 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ∗ 𝑏𝑘𝑗 .
Таким образом, каждый элемент 𝑐𝑖𝑗 , находящийся в i – й строке и j – м
столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов
i – й строки матрицы А и j – го столбца матрицы В. (Говоря популярным
языком, чтобы найти элемент 𝑐𝑖𝑗 , нужно <<приложить>> i – ю строку
матрицы А к j – му столбцу матрицы В, перемножить соответствующие
элементы и полученные произведения сложить). Произведение А * В
5
существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк
матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
1)
2)
3)
4)
(A * B) * C = A * (B * C) = A * B * C (ассоциативность );
(A + B) * C = A * C + B * C (дистрибутивность);
A * (B + C) = A * C + B * C (дистрибутивность);
вообще говоря, А * В ≠ В * А – отсутствует коммутативность.
⇛
Коммутирующими ( или перестановочными) называются матрицы А и
В, для которых АВ = ВА.
Если задан многочлен 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +∗∗∗ +𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , то
матричным многочленом 𝑓(𝐴) называется выражение 𝑎𝑛 ∗ 𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∗
∗ 𝐴𝑛−1 + ∗∗∗ 𝑎1 ∗ 𝐴 + 𝑎0 ∗ 𝐸, где 𝐴𝑛 = ⏟
𝐴 ∗𝐴 ∗…∗𝐴
для
любого
𝑛 раз
натурального n. Значением матричного многочлена 𝑓(𝐴) при заданной
матрице А является матрица.
⇛
Транспонированной к матрице А = (𝑎𝑖𝑗 ) называется матрица 𝐴𝑇 =
𝑇
𝑇
= (𝑎𝑖𝑗
= 𝑎𝑗 , ∀ 𝑖, 𝑗 (т.е. все строки которой равны
) такая, что 𝑎𝑖𝑗
соответствующим столбцам матрицы А).
Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а
все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица
называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки
находится правее крайнего элемента предыдущей строки. В матрицах A и B
отмечены крайние элементы каждой строки:
1 2
𝐴 = (0 0
0 −1
4 7
1 2
4
1 0) , 𝐵 = (0 −1 −1
−1 3
0 0
0
не ступенчатая
7
−3)
0
ступенчатая
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие
операции:
1. Перемена местами двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца).
6
Матрица B, полученная из матрицы A с помощью элементарных
преобразований, называется эквивалентной матрице A (обозначается B~A). В
дальнейшем будем рассматривать элементарные преобразования только над
строками.
Задачи для самостоятельной работы.
1. Найти линейную комбинацию матриц 2A+3B, где
1 2 3
𝐴=(
),
0 1 −1
−2 3
𝐵=(
2 1
0
)
1
Найти линейные комбинации заданных матриц:
2 −1 2
2. 𝐴 − 𝜆𝐸, 𝐴 = ( 5 −3 3 ).
−1 0 −2
2 −1 0
3 1
3. 4𝐴 − 5𝐵, 𝐴 = ( 3
4 −2) , 𝐵 = (−2 1
−3 1
5
0 2
7 −2 3 −4
2
4. 3𝐴 + 4𝐵, 𝐴 = ( 0
2 1 −1) , 𝐵 = (7
−5 3 2 0
8
2
3 ).
−4
−1 −3 1
−1 0 4).
−2 1 5
Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют):
3 4
1 2 3
5. 𝐴 = (
,
𝐵
)
(6 0
1 0 −1
7 1
3 −2
3 4
6. 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
5 −4
2 5
7. 𝐴 = (4
1
8. 𝐴 = (
3
2
9. 𝐴 = (
5
5
−2).
8
3
1
0 −2 3 1), 𝐵 = −1 .
5
(2)
2
2
6
), 𝐵 = (
).
6
−1 −3
1
3 −1
), 𝐵 = (
).
3
−5 2
7
1
10. 𝐴 = (
3
1 3
2
) , 𝐵 = (−2 2).
4
−1 0
Найти значение матричного многочлена f(A):
1 2
11. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 5𝑥 + 9, 𝐴 = (
).
3 0
1 5
12. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 + 𝑥 2 + 2, 𝐴 = (
).
0 −3
1 2
13. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5, 𝐴 = (
).
−2 3
1 2 0
2
14. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5𝑥 + 2, 𝐴 = ( 0 2 −1).
−2 1 4
1 0 0
3
2
15. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 + 9𝑥 + 4, 𝐴 = (0 2 −1).
0 1 4
Проверить, коммутируют ли матрицы A и B:
1 2
2 −3
16. 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
4 −1
−4 1
1 −1
1 3
17. 𝐴 = (
), 𝐵 = (
).
−1 2
3 2
1 0 0
−3 0
18. 𝐴 = (0 −3 0) , 𝐵 = ( 0 4
0 0 2
0 0
1 2 1
2 0
19. 𝐴 = (0 1 3) , 𝐵 = (−1 2
1 −2 4
4 1
Транспонировать следующие матрицы:
0
0).
2
3
−4).
2
0 2
20. 𝐴 = (
).
−3 1
1 2 3
21. 𝐴 = (
).
4 5 6
3 0
22. 𝐴 = (
).
2 −5
1
0
23. 𝐴 = (−3 2 ).
5 −1
8
Вычислить произведения 𝐴𝐴𝑇 и 𝐴𝑇 𝐴 при заданной матрице 𝐴:
1
2
24. 𝐴 = ( ).
3
0
1 2
25. 𝐴 = (−3 0).
−2 4
1
26. 𝐴 = (
4
2 1 3
).
−1 5 −1
Привести к ступенчатому виду матрицу 𝐴 с помощью элементарных
преобразований над строками:
1
27. 𝐴 = ( 3
−5
0 −1 −1
−2 −1 0 ).
3
2 −1
0 −1 −1 −3
28. 𝐴 = (1 2
4
7 ).
5 0 10 5
3 4
−5
7
2 3
3
−2
29. 𝐴 = (
).
4 11 −13 16
7 −2
1
3
2 3
30. (3 1
1 5
2 3
31. (3 1
1 5
1 −3 1
3
1 −7
32. (
−1 2
0
2
1 −5
−2 3
1 2).
−5 4
1 −2 1
3 −1 2
33. (
2 1 −3
5 0 −1
11
5
).
−18
−13
1 −2 1
2 1 −1
35. (
1 7 −5
3 −1 −2
1 −1
−1 1
).
−5 5
1 −1
1
3
34. (
0
5
1
2
1
4
−2
1 ).
−5
1
1
2
3
13
9
).
−10
5
1 1
7
1 −3 −2
).
2 6 23
3 −1 12
9
2. Определители
а11
а21
Любой квадратной матрице n-го порядка А= ( …
а1𝑛
а12
а22
…
𝑎2𝑛
… а1𝑛
… а2𝑛
… … ) можно
… 𝑎𝑛𝑛
поставить в соответствие выражение, которое называется определителем
(детерминантом ) матрицы А, и обозначается так :
а11
а21
А= | …
а1𝑛
а12
𝑎22
…
𝑎2𝑛
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
… …|
… 𝑎𝑛𝑛
или |А| или det А.
Определитель 2-го порядка задаётся равенством:
а11
|а
21
а12
а22 |= а11 а22 + (- а12 а21 ).
Таким образом, определитель 2-го порядка есть сумма 2=2! слагаемых,
каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножителей –
элементов матрицы А, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно
из слагаемых берётся со знаком <<+>>. Другое- со знаком <<->>.
Определитель 3- го порядка задаётся равенством :
а11
|а21
а31
а12
а22
а33
а13
а23 | = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а13 а21 а32 + (- а13 а22 а31 )+ (- а12 а21 а33 )+
а33
+ (- а11 а23 а32 )
Таким образом, определитель 3- го порядка есть сумма 6=3!
Слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х
сомножителей- элементов матрицы А, по одному из каждой стоки и каждого
столбца. Одна половина слагаемых берётся со знаком <<+>>, другая со
10
знаком <<->>. Правило, по которым выбираются эти знаки, задаётся с
помощью формулы(2.1) или другими методами, приведённых ниже.
Определитель n-го порядка задаётся равенством:
а11
а21
А= | …
а1𝑛
а12
𝑎22
…
𝑎2𝑛
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
+
… … |= ∑(− а1𝑖1 𝑎2𝑖2 … 𝑎𝑛𝑖𝑛 ).
… 𝑎𝑛𝑛
Указанная сумма состоит из n! слагаемых ,каждое из которых
представляет собой произведение n сомножителей – элементов матрицы А,
по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых
берётся со знаком <<+>>, другая- со знаком <<->>. Правило, по которому
выбираются эти знаки, в настоящем издании не используются и здесь не
приводится. Методы вычисления определителей n-го порядка приведены
ниже.
Методы вычисления определителей.
1. Правило
<<треугольников>>
(Правило
Саррюса)
вычисления
определителей 3- го порядка : первое из трёх слагаемых, входящих в
сумму(2.1.) со знаком <<+>> ,есть произведение элементов главной
диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в
вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной
диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком < - > ,
определяются аналогично, но относительно второй ( побочной )
диагонали:
.
< + > (.
.
.
< - > (.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.) (.
.
.
.
.
. ) (.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.)
.
.
.)
.
. . .
(. . .)
. . .
. . .
(. . .)
. . .
11
2. Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:
𝑎22
det A = 𝑎11 * |𝑎
32
𝑎23
𝑎21
|
𝑎
*
|
12
𝑎33
𝑎31
𝑎23
𝑎21
|
+
𝑎
∗
|
13
𝑎33
𝑎31
𝑎22
𝑎32 |
(2.2)
При таком способе вычисления определителя каждый из трёх
элементов 𝑎1𝑗 первой строки умножается на определитель 2-го порядка,
составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычёркивания 1-й
строки и j-го столбца. При этом слагаемое с множителем 𝑎1𝑗 умножается на
число (−1)1+𝑗
1+1
det A = (−1)
𝑎11
* 𝑎11 * |𝑎21
𝑎31
𝑎11
(−1)1+3 * 𝑎13 * |𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎11
1+2
𝑎23 | + (−1)
* 𝑎12 * |𝑎21
𝑎33
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | +
𝑎33
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к
вычислению 3-ч определителей 2-го порядка. В общем случае можно
вычислять определитель n – го порядка квадратной матрицы А, сводя его к
вычислению n определителей (n-1)-го порядка.
3. Разложение определителя n - го порядка по первой строке. Аналогично
последней формуле, имеем
𝑎11
𝑎21
det A = (−1)1+1 * 𝑎11 * ||𝑎31
⋮
𝑎𝑛1
𝑎11
𝑎21
|𝑎31
|
⋮
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛 || + (−1)1+2 * 𝑎12 *
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
⋯ 𝑎1𝑛
𝑎11
⋯ 𝑎2𝑛
𝑎21
1+3
|
|
⋯ 𝑎3𝑛 | + (−1)
* 𝑎13 * |𝑎31
⋱
⋮
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑛1
… + (−1)1+𝑛 * 𝑎1𝑛
𝑎11
𝑎21
* || 𝑎31
⋮
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛 || + …
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛 ||,
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
т.е.
12
𝑎22
𝑎32
det A = 𝑎11 * | ⋮
𝑎𝑛2
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
⋯ 𝑎2𝑛
𝑎21
⋯ 𝑎3𝑛
𝑎31
|
𝑎
*
|
12
⋱
⋮
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑛1
𝑎21
𝑎31
+ 𝑎13 * | ⋮
𝑎𝑛1
𝑎24
𝑎34
⋮
𝑎𝑛4
… 𝑎2𝑛
… 𝑎3𝑛
⋱
⋮ |–…
⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
… + (−1)1+𝑛 * 𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎31
*| ⋮
𝑎𝑛1
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑛3
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛
⋱
⋮ |+
⋯ 𝑎𝑛𝑛
⋯ 𝑎2𝑛−1
⋯ 𝑎3𝑛−1
⋱
⋮ |.(2.3)
⋯ 𝑎𝑛𝑛−1
Аналогично задаются другие способы вычисления определителя n-го
порядка - <разложение > по произвольной строке или произвольному
столбцу – (2.4), (2.5).
Определителем (детерминантом) 1-го порядка квадратной матрицы A =
(𝑎11 ) называется значение 𝑎11 : det A = 𝑎11 .
Дополнительным минором 𝑀𝑖𝑗 к элементу 𝑎𝑖𝑗 квадратной матрицы A
называется минор, составленный из элементов A, оставшихся после i - й
строки и j – го столбца.
Алгебраическим дополнением 𝐴𝑖𝑗 к элементу 𝑎𝑖 квадратной матрицы 𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗 ) называется произведение 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ∗ 𝑀𝑖𝑗
1 2 3
Например, в матрице (4 5 0) минором 𝑀21 является определитель,
7 8 6
составленный из элементов матрицы, оставшихся после вычеркивания 2-й
1 2
строки 1- го столбца: (4 5
7 8
3
0)
6
Таким
2 3
| = 2 ∗ 0 − 3 ∗ 8 = −24
8 0
образом,
𝑀21 = |
алгебраическим дополнением 𝐴21 будет
соответственно,
число 𝐴21 = (−1)2+1 ∗ 𝑀21 =
13
= (−1)3 ∗ (−24) = 24 . В новых обозначениях, аналогично формуле (2.2),
записывается формула «разложение определителя 3-го порядка по первой
строке»
3
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 ∗ 𝐴11 + 𝑎12 ∗ 𝐴12 + 𝑎13 ∗ 𝐴13 = ∑ 𝑎1𝑗 ∗ 𝐴1𝑗
𝑗=1
Аналогично формуле (2.3) записывается формула «разложение определителя
n- го порядка по первой строке».
𝑛
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 ∗ 𝐴11 + 𝑎12 ∗ 𝐴12 + ⋯ 𝑎1𝑛−1 ∗ 𝐴1𝑛−1 + 𝑎1𝑛−1 ∗ 𝐴1𝑛 = ∑ 𝑎1𝑗 ∗ 𝐴1𝑗
𝑗=1
4. Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:
𝑛
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 ∗ 𝐴11 + 𝑎12 ∗ 𝐴12 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛−1 ∗ 𝐴𝑖𝑛−1 + 𝑎𝑖𝑛 ∗ 𝐴𝑖𝑛 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ∗ 𝐴𝑖𝑗 .
𝑗=1
∀𝑖 = 1, 𝑛.
5. Разложение определителя n-го порядка по j-му столбцу:
𝑛
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎1𝑗 ∗ 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 ∗ 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑗 ∗ 𝐴𝑛−1𝑗 + 𝑎𝑛𝑗 ∗ 𝐴𝑛𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ∗ 𝐴𝑖𝑗
𝑖=1
∀𝑗 = 1, 𝑛.
6. Метод приведения к треугольному виду заключается в приведении
определителя ( с помощью) элементарных преобразованных преобразований
к такому виду, когда все элементы, расположены по одну сторону одной из
диагоналей, равны нулю.
7. Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что определитель n-го
порядка выражают через определители того же вида, но более низкого
порядка, используя элементарные преобразования и разложение
14
Свойства определителей
1. Если y определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из
нулей, то определитель равен 0.
2. Если
какие-либо
две
строки
(два
столбца)
определителя
пропорциональны, то определитель равен 0.
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на
произвольное число, то и весь определитель умножится на это число.
4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то
определитель изменит знак.
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какуюлибо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то
определитель не изменится.
6. Определитель
произведения
матриц
равен
произведению
их
определителей. Матрица, определитель которой равен 0, называется
вырожденной матрица, определитель которой не равен 0, называется
невырожденной
Задачи для самостоятельной работы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1 2
|
3 4
1
2
Вычислить определители второго порядка: |
|
−3 −4
−3 5
|
|.
0 0
𝑥 𝑥𝑦
|1 𝑦 |.
Вычислить определитель второго порядка. |
𝑎 𝑏
|
|.
𝑐 𝑑
𝑐𝑜𝑠𝜑
|
−𝑠𝑖𝑛𝜑
|
𝑡𝑔𝜑
−1
𝑠𝑖𝑛𝜑
|.
𝑐𝑜𝑠𝜑
1
|.
𝑡𝑔𝜑
15
Решить уравнения:
8.
9.
10.
11.
2𝑥 − 1 3
|
| = 0.
𝑥+5 2
𝑥+3 𝑥−1
|
| = 0.
7−𝑥 𝑥−1
2𝑥 − 1 𝑥 + 1
|
| = −6.
𝑥+2 𝑥−1
𝑥−2 𝑦+3
|
| = 0.
−𝑦 − 3 𝑥 − 2
12.
𝑠𝑖𝑛2𝑥
|
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
| = 0.
𝑐𝑜𝑠2𝑥
13.
3 2
Вычислить определитель 3-го порядка |2 5
3 4
1
3|.
2
Вычислить определитель 3-го порядка:
1 2 3
14. |4 5 6|.
7 8 9
2 1 3
15. |5 3 2|.
1 4 3
3 2 −1
16. |−2 2 3 |.
4 2 −3
1 1 1
17. |1 2 3|.
1 3 6
1
1
1
18. | 4
5
9 |.
16 25 81
1
1
1
19.| 5
7
8 |.
25 49 64
Вычислить определитель с помощью «правила треугольников»:
1 0 0
20. |0 2 0|.
0 0 3
0
21. |0
3
0 1
2 0|.
0 0
0
22. |𝑦
0
0
23. |2
0
1 0
3 4|.
5 0
𝑥
0
0
0
0|.
𝑧
16
Вычислить определитель разложением по какой-нибудь строке или столбцу:
5 6 3
24. |0 2 0|.
7 −4 5
3
25. |−5
6
2 0 3
26. |7 1 6|.
6 0 5
0
27. |𝑏
0
1 2 3
28. |0 0 1|.
4 5 6
2 1 −3
29. |0 1 −1|.
3 −2 1
𝑠𝑖𝑛 𝑎
30. |𝑠𝑖𝑛 𝛽
𝑠𝑖𝑛 𝛾
𝑐𝑜𝑠 𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛾
0 2
3 −1|.
0 3
𝑎
𝑐
𝑒
0
𝑑 |.
0
1
1|.
1
Решить уравнения и неравенство:
2
0
31. |−1 7
5 −3
3
𝑥 − 3| = 0.
6
−1
0
33. | 3 − 𝑥
1
2𝑥 + 1 −1
−1
32. |2 − 3𝑥
3
2𝑥 + 3
1 | = 0.
2
6
34. |2𝑥
4
3 −2
0 5 | ≥ 0.
2 1
3
𝑥−1
1
0 | = 0.
𝑥+2
2
Доказать равенства:
𝑎1 − 𝑥𝑏1
36. |𝑎2 − 𝑥𝑏2
𝑎3 − 𝑥𝑏3
𝑎1 + 𝑥𝑏1
𝑎2 + 𝑥𝑏2
𝑎3 + 𝑥𝑏3
𝑐1
𝑎1
𝑐2 | = 2𝑥 |𝑎2
𝑐3
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑎1 + 𝑥𝑏1
37. |𝑎2 + 𝑥𝑏2
𝑎3 + 𝑥𝑏3
𝑎1 𝑥 + 𝑏1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3
𝑐1
𝑎1
2
𝑐2 | = (1 − 𝑥 ) |𝑎2
𝑐3
𝑎3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
17
Вычислить, используя свойства определителей:
sin2 𝛼
38. | sin2 𝛽
sin2 𝛾
cos 2 𝛼
cos 2 𝛽
cos 2 𝛾
1
1|
1
sin2 𝛼
39. | sin2 𝛽
sin2 𝛾
cos 2 𝛼
cos 2 𝛽
cos 2 𝛾
cos 2𝛼
1 𝑎
cos 2𝛽 | 40. |1 𝑏
1 𝑐
cos 2 𝛾
𝑏+𝑐
𝑐 + 𝑎|
𝑎+𝑏
Вычислить определитель 4-го порядка разложением по строке или столбцу:
−2
1
41. ∆= |
3
0
−3
−1
−1
−2
0 2
2 2
|
5 −2
4 1
Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
1
2
42. |
3
𝑑
0 2
0 𝑏
𝑐 4
0 0
2
4
45. |
𝑎
3
−3
−2
𝑏
−1
𝑎
0
𝑎
0
| 43. |
𝑏
5
0
𝑑
−𝑎 −𝑏
0 −𝑐
𝑐 0
𝑒 0
3 −5 2
4 1
3 2
−3 5 −5
| 46. |
−5 7 −7
𝑐 𝑑
8 −8 5
4 3
−𝑑
1 1
−𝑒
2 0
| 44. |
0
3 0
4 4
0
1
−4
2
3
|
| 47. |3
5
2
−6
1
3
0
0
7
4
9
|
2
5
2 3
4 5
3 7 10 13
5 11 16 21||
7 7
7 2
5
4
3 10
18
3. Ранг матрицы

Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется
определитель, составленный из элементов матрицы,
расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.
1 2 3 1
В матрице А = (4 5 6 4 ) можно указать, например, такие
7 8 9 −7
миноры:
 2-го порядка
𝑎11
1 2
|
| (минор |𝑎
4 5
21
2
|
8
𝑎11
3
| (минор |𝑎
9
32
 3-го порядка
1 2 1
2
|4 5 4 |, |5
7 8 −7
8
𝑎12
𝑎21
4 4
|),
|
|
|
(минор
𝑎22
𝑎31
7 −7
𝑎24
𝑎34 |),
𝑎13
𝑎33 |)
3 1
6 4 |;
9 −7
1-го порядка
|2|(минор|а12 |),
|3|(минор|а13 |),
|−7|(минор|а34 |).
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не
равных нулю.
Обозначения: 𝑟(𝐴), 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴).
Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров
матрицы А, порядок которого равен 𝑟(𝐴).
Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:
𝐴=(
3 −2 2
) , 𝑟(𝐴) = 1
0 0 0
19
Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя
бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным
минором матрицы А является каждый из не нулевых миноров 1-го порядка:
|3|(= 3), |−2|(= −2), |2|(= 2).
Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:
0 2
𝐴=(
) , 𝑟(𝐴) = 2,
3 0
0
Так как существует минор 2-го порядка |
3
2
| = −6, не равный нулю, а
0
миноров 3-го порядка у матрицы А нет. Единственный базисный минор
0 2
матрицы А – минор|
|.
3 0
Теорема 1.1. При элементных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее нулевых строк.
Метод элементных преобразований нахождения ранга матрицы
заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью
элементарных преобразований; количество нулевых строк полученной
ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в
следующем. Необходимо:
1) Найти какой-нибудь минор М1 первого порядка (т.е. элемент матрицы),
отличный от нуля. Если такого минора нет , то матрица А нулевая и
r(A)=0.
2) Вычисляем миноры 2-го порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1)
до тех пор, пока не найдется минор М2 , отличный от нуля. Если такого
минора нет, то r(A)=1, если есть , то r(A))≥2. И т.д.
20
…
3) Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие
минор Мк-1≠0. Если таких миноров нет , или они все равны нулю, то
r(A)=k-1; если есть хотя бы один такой минор Мk≠0, то r(A)≥k,и процесс
продолжается.
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом
шаге найти всего один нулевой минор k-го порядка, причем искать его
только среди миноров, содержащих минор Мk-1≠0
Задания для самостоятельной работы:
1) Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
2 −1 5 6
1. (1 1
3 5)
1 −5 1 −3
0
1)
1
1
1
2 −1 1 −3
3 −7 1
−1 1 6 11 ) 4. ( 2 −1
1 6 −4 )
−1 −1 4 −3
−1 2 −1 −10 5
1
𝟑. (3
1
1
5. ( 2
−1
2
1
0
6. 0
1
(4
1 2 3
2. (0 1 1
1 3 4
1
3 −7 1
−1
1 6 −4 )
2 −1 −10 5
−1 2
5
−4
2 1 1 1
1 3 1 1
1 1 4 1
7.
.
1 1 1 5
1 2 3 4
( 1 1 1 1)
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать
0
1
0
2
5
0 1
4
0 2
5
1 3
6 .
3 14 32
6 32 77)
какой-либо базисный минор:
1 3 3
8. 𝐴 = (0 0 1
2 6 1
4
2 ).
−2
21
1
9. (2
7
1
11. (3
5
2 3
4 5).
8 9
−2 3 1
2 −4 2).
−2 2 4
2 −1 3 −2 4
13. (4 −2 5 1 7).
2 −1 1 8 2
3 −1 2
15. (4 −3 3).
1 3 0
2 −1 5 6
17. (1 1 3 5 ).
1 −5 1 −3
1 −2 1
2 1 −1
19. (
3 −2 −1
2 −5 1
−1 1
2 −3
).
1 −2
−2 2
1
10. (2
4
1
12.(3
5
2
4
8
−2
2
−2
1
2
14. (
5
7
3
16. (4
1
1
0
18. (
1
0
3
5 ).
11
3 1
−4 3).
2 4
3
−1
1
7
−1
−3
3
−2
1
3
−7
5 −1
−3 4
).
−1 7
9
1
2
3).
2
3 −4 4
−1 1 −3
).
0 −3 1
3
1 −3
2 1 −1 −1
1 −1 1
1
20. (
3 3 −3 −3
4 5 −5 −5
1
−2
).
4
7
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра 𝜆:
1 2 −1
3 −1 −2
21. (
2 3 −1
1 −1 0
0
2
)
0
𝜆
1
2
23.(
3
1
0
3
).
𝜆
1
−3 2
−3 −1
−6 −1
−2 0
1 𝜆 −1 2
22. (2 −1 𝜆 5).
1 10 −6 1
3
𝜆
24. (
1
2
1 1 4
4 10 1
).
7 17 3
2 4 3
4. Обратная матрица. Матричные уравнения.
⇛ Обратной матрицей к квадратной матрице A называется такая матрица
(обозначается 𝐴−1 ), что 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐸.
Замечание. Если матрица 𝐴−1 существует, то она единственна.
22
⇛
Присоединенной матрицей к квадратной матрице 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) называется
матрица
𝑇
𝐴̃ = (𝐴𝑖𝑗 ) ,
полученная
транспонированием
из
матрицы,
составленной из алгебраических дополнений 𝐴𝑖𝑗 к элементам 𝑎𝑖𝑗 .
Теорема 1.3. Если квадратная матрица A - невырожденная (т.е. det A≠0),
то
𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝐴̃.
(4.1)
Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к
невырожденной матрице A состоит в применении формулы (4.1).
Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления
обратной матрицы к невырожденной матрице A состоит в следующем.
Приписывая справа к матрице A размера n×n единичную матрицу размера
n×n, получим прямоугольную матрицу Г = (А|Е) размера n×2n. С помощью
элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала приведем ее
к ступенчатому виду Г1 = (А1 |Е), где матрица А1 - треугольная, а затем к
виду Г2 = (Е|А−1 ).
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х
записываются следующим образом
AX=B,
(4.2)
XA=B,
(4.3)
AXC=B.
(4.4)
В этих уравнениях А,В,С,Х – матрицы таких размеров, что все
используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков
равенства находятся матрицы одинаковых размеров.
Если в уравнениях (4.2),(4.3) матрица А невырожденная ,то их решения
записываются следующим образом :
Х = А−1 В,
Х = ВА−1 .
23
Если в уравнении (4.4) матрицы А и С невырождены, то его решение
записывают так :
Х= А−1 ВС−1
1. Найти матрицу, обратную к данной :
1 2
1. А= (4 5
7 8
3
6)
0
1⁄
2⁄
2⁄
3
3
3
3. 2⁄3 1⁄3 −2⁄3
2
−2⁄
1⁄
( ⁄3
3
3)
1 0 0
2. (0 1 0)
0 0 1
2 −3 1
3 2 1
5. (4 −5 2) 6. (2 3 1)
5 −7 3
2 1 3
1 2
7. (4 5
7 8
1 2 −3
4. (3 2 −4)
2 −1 0
3
6)
9
5
8. ( 1
−5
3
1
−3 −2)
2
1
2. Найти обратную матрицу
1 2
9. (
)
1 3
𝑥
1 2
10. (
) 11. (𝑦
3 4
𝑧
а
12.
)
(
−𝑥
−𝑎
−𝑏
)
𝑏
3. Найти( методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к
данной :
1
А= (1
2
1 1
2 −1)
2 4
Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований :
1
13. (1
1
1 1
1
1
1
1 2 3
2 1) 14. (−2 −1 −2) 15. (2 6 4)
2
3
3
3 10 8
1 2
24
1
2
3
16. ( 2
6
4)
−4 −14 −6
1
5
17. (
−1
3
2 −3 4
6 7 −2
)
0 1
2
4 5
6
1
2
3 −2 4
2
6
2
1
0
18. 3
0 −1 1
2
−1 4
0
5 −4
( 5 −4 −1 −1 8 )
Решить матричное уравнение:
−1 2
−2 3
27. (
)∗𝑋 = (
)
2 −3
1 −4
−1
1 0
28. (
)∗𝑋(
1 2
2
−2
3 −2
)=(
)
3
5 −4
−1 1
2 0
29. (
)∗𝑋 =(
)
0 1
−1 3
−1 1
2
30. 𝑋 ∗ (
)=(
0 1
−1
0
)
3
2 −1
1 −1
31. (
)∗𝑋 = (
)
−2 1
0 3
−1 1⁄2
−1 1
1 2
32. (
)∗𝑋∗(
)=(
)
1
0 2
2 4
0
⁄2
1 2 −2
1 −3
33. 𝑋 ∗ (3 2 −4) = ( 2
2
2 −1 0
−1 −2
0
−1)
4
1 2 3
1
35. (2 4 6) ∗ 𝑋 = ( 2 )
3 6 9
10
1
37. 𝑋 ∗ (
3
2
0 0
)=(
)
4
0 0
2
1 1
39. (
)∗𝑋 =( )
1 1
3
1
34. (2
0
1 −2
36. (−3 2
3 −1
−2 3
7
3 −1) ∗ 𝑋 = (0)
−2 1
7
−1
1
0
2 ) ∗ 𝑋 = ( 2 −2)
−2
−3 1
4
3
1
38. 𝑋 ∗ (
)=(
−5 −4
0
0
)
1
1 1
2
40. (
)∗𝑋 =( )
1 1
2
25
1 −1
1
−5 −6
41. (
)∗𝑋∗(
)=(
2 3
2
−4 5
−1
)
3
1 −1
2 −2
1
42. (
)∗𝑋∗(
)=(
2 3
−4 5
2
−1
)
3
1 0
43. 𝑋 ∗ (0 2
0 0
0
0
0) = (0
3
3
0 1
2 0)
0 0
26
Контрольная работа
Вариант 1
1. Найти значение матричного многочлена f(A):
−1 0
F(x) = -𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 3, 𝐴 = (
)
3 2
2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.
−2 0
8 1
−5
4 )
( 3 −1 7 2
−8 2 −6 −3 −13
11 −3 13 5
17
−2 3
3. Вычислить определитель | 7 −1
9 −8
5
4|
−6
−2
4. Найти матрицу, обратную к матрице ( 7
9
3
5
−1 4 )
−8 −6
1 −2
−2 3 5
5. Решить матричное уравнение (
)∗𝑋 = (
)
−3 4
3 −1 0
27
Вариант 2
1. Найти значение матричного многочлена f(A):
F(x) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 2, 𝐴 = (
2 3
)
0 −1
2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.
0 −1 −4 4 −21
4 )
( 3 −1 7 2
8 −3 2 7 −8
−3 0
8 1 −5
3
5
3. Вычислить определитель |−7 −1
2
6
4
8|
9
3
4. Найти матрицу, обратную к матрице (−7
2
5 4
−1 8)
6 9
1
3 −1
5. Решить матричное уравнение (
)∗𝑋 = (
2 4
−3
−2
)
4
28
Вариант 3
1. Найти значение матричного многочлена f(A):
2 −1
F(x) = −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 − 2, 𝐴 = (
)
−3 0
2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.
−2 3
−1
7
( 3 −1
8 −3
2
0
2 −13
1
6
2
4 )
7 −8
4 −10
−1 9
3. Вычислить определитель |−4 6
3 7
5
2|
8
−1
4. Найти матрицу, обратную к матрице (−4
3
9 5
6 2)
7 8
−1
2 −3
5. Решить матричное уравнение (
)∗𝑋 = ( 0
1 4
3
2
5)
−1
29
Вариант 4
1. Найти значение матричного многочлена f(A):
0
3
F(x) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1, 𝐴 = (
)
−1 −2
2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.
1
2 −1 4 7
(−6 2 0 −13 −7)
−2 0 8 1
−5
8 −3 4 20
8
−3 7
3. Вычислить определитель | 2 6
5 8
9
4|
1
−3
4. Найти матрицу, обратную к матрице ( 2
5
7 9
6 4)
8 1
4 −2
3 0
5. Решить матричное уравнение (
)∗𝑋 = (
)
3 1
4 2
30
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Исследование систем линейных уравнений, теорема Кронеккера –
Капелли. Метод Гаусса
Пусть задана система из m
⇛
линейных уравнений с n неизвестными
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎1𝑛 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 ,
𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ,
{ 21 1
………………………………………..
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 ,
(1.1)
Где числа 𝑎𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚: ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) называются коэффициентами
системы, а числа 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 − свободными членами.
⇛
Решением системы (1.1) называется такой набор чисел (𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ), что
при
его
подстановке
в
систему
вместо
соответствующих
неизвестных
(𝑐1 вместо 𝑥1 , … , 𝑐𝑛 вместо 𝑥𝑛 ) каждое из уравнения системы обращается в
тождество.
⇛
Если система (1.1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной;
система не имеющая ни одного решения, называется определенной, если она
имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного
решения.
⇛
Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных
называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем
совпадают.
⇛
Если 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑚 = 0 , то система называется однородный, в
противном случае она называется неоднородный.
Систему (1.1) можно записать в матричной форме:
AX = B,
31
𝑎11
𝑎
где 𝐴 = ( 21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑛
𝑥1
⋯ 𝑎2𝑛
𝑥2
−
матрица
системы,
𝑋
=
)
(
) − столбец
⋱
⋮
⋮
⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑏1
(или вектор − столбец) неизвестных, 𝐵 = ( 𝑏2 ) −
⋮
𝑏𝑚
столбец свободных членов.
⇛
𝑎11
𝑎
Матрица (𝐴𝖨𝐵) = ( 21
⋮
𝑎𝑚1
… 𝑎1𝑛 𝑏1
… 𝑎2𝑛 𝑏2
| ) называется расширенной матрицей
⋱
⋮
⋮
… 𝑎𝑚𝑛 𝑏
𝑚
системы.
Теорема 2.1 (Крокера – Капелли). Система линейных уравнений
(1.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы
равен рангу расширенной матрицы системы : 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝐵).
Исследовать систему линейных уравнений означает определить,
совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна
она или нет. При этом возможны три варианта:
1) Если 𝑟(𝐴) < 𝑟(𝐴|𝐵), то система несовместна.
2) Если 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝐵) = 𝑛 (где n – число неизвестных), то система
совместна и определенна.
3) Если 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝐵) < 𝑛, то система совместна и неопределенна.
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их
решений можно использовать, например, метод Гаусса:
С помощью элементарных преобразований над строками приведем
расширенную матрицу системы (𝐴⌊𝐵) к ступенчатому виду (𝐴′|𝐵′):
32
′
𝑎11
0
⋮
′|𝐵′
(𝐴 ) =
0
0
⋮
( 0
⋯
…
⋱
…
…
⋱
…
′
…
𝑎1𝑘
2
′
…
𝑎2𝑘
2
⋱
⋮
0 …
0 ⋯
⋮ ⋱
0 …
′
′
… 𝑎1𝑛
𝑎1𝑘
𝑏1′
𝑟
′
′
⋯ 𝑎′
𝑎2𝑘
2𝑛 | 𝑏2
𝑟
⋱
⋮
⋮
⋮
′
′
′
𝑎𝑟𝑘𝑟 ⋯ 𝑎𝑟𝑛 𝑏𝑟
′
⋯ 0 |𝑏𝑟+1
0
⋮
⋱
⋮
⋮
′
𝑏𝑚
)
0
0 …
где в i – ой строке ( i – 1, 2, …, r) самый левый ненулевой элемент обозначен
через 𝑎𝑖𝑘1 Полученной расширенной матрице (𝐴′ |𝐵′ ) соответствует система
линейный уравнений, эквивалентная системе (1.1). При этом 𝑟(𝐴′ ) =
𝑟(𝐴), 𝑟(𝐴′ |𝐵′ ) = = 𝑟(𝐴|𝐵) , и утверждения о том, что полученная система
совместна (несовместна) и определена (неопределенна) верны и для системы
(1.1).
′
′
Если хотя бы одно из чисел 𝑏𝑟+1
, … , 𝑏𝑚
не равно нулю, то 𝑟(𝐴′ |𝐵′ ) >
′
′
𝑟(𝐴′ ) , и система не совместна; иначе (если 𝑏𝑟+1
= … = 𝑏𝑚
= 0) система
совместна. В случае, когда система совместна, будет 𝑟(𝐴′ ) = 𝑟(𝐴′ |𝐵′ ) = 𝑟,
где r – число ненулевых строк матриц 𝐴′ и (𝐴′ |𝐵′ ). Если r = n (где n – число
неизвестных), то система определенна, в противном случае (если r < n )
система не определенна. Базисным минором матриц 𝐴′ и (𝐴′ |𝐵′ ) является,
например, минор, составленный из элементов этих матриц, расположенных в
первых r строках и столбцах с номерами 1, 𝑘2 , 𝑘3 , … , 𝑘𝑟 . Назовем базисными (
или главными) r переменных 𝑥1 , 𝑥𝑘2 , 𝑥𝑘3 , … , 𝑥𝑘𝑟 , а остальные n – r
переменных назовем свободными. Без ограничения общности можно
предположить,
что
главными
переменными
являются 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , а
свободными - 𝑥𝑟+1 , … , 𝑥𝑛 . Тогда матрица (𝐴′ |𝐵′ ) ( в случае когда 𝑟(𝐴′ ) =
𝑟(𝐴′ |𝐵′ )) запишется в виде:
33
′
′
′
′
′ 𝑎′
𝑎11
12 …𝑎1𝑟 𝑎1𝑟+1 …𝑎1𝑛 𝑏
′
′
′
′
′
0 𝑎22
…𝑎2𝑟 𝑎2𝑟+1 …𝑎2𝑛 |𝑏2
⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
… ′ 𝑏′ .
(𝐴′ |𝐵′ ) = 0 0 …𝑎′ 𝑎′
𝑟
𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 𝑎𝑟𝑛
…
…
0 0
0 0
0 |0
⋱
⋱
⋮ ⋮ … ⋮
⋮ … ⋮ ⋮
0
(
0
0 0
0 0)
(1.2)
Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице (𝐴′ |𝐵′ ) в
следующем виде – перенесем все слагаемые со свободными переменными
𝑥𝑟+1 , … , 𝑥𝑛 в правую часть:
′
′
′
′
′
𝑎11
𝑥1 + 𝑎12
𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑟
𝑥𝑟 = 𝑏1′ − 𝑎1𝑟+1
𝑥𝑟+1 − ⋯ − 𝑎1𝑛
𝑥𝑛 ,
′
′
′
𝑎′ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑟
𝑥𝑟 = 𝑏2′ − 𝑎2𝑟+1
𝑥
− ⋯ − 𝑎2𝑛
𝑥 ,
… …22… …
………………
… … … … … … …𝑟+1
………………
…𝑛… . .
′
′
′
′
′
𝑎𝑟−1𝑟−1
𝑥𝑟−1 + 𝑎𝑟−1𝑟
𝑥𝑟 = 𝑏𝑟−1
− 𝑎𝑟−1𝑟+1
𝑥𝑟+1 − ⋯ − 𝑎𝑟−1𝑛
𝑥𝑛 ,
′
′
′
′
𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑟 = 𝑏𝑟 − 𝑎𝑟𝑟+1 𝑥𝑟+1 − ⋯ − 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ,
{
′
′
′
где коэффициенты 𝑎11
, 𝑎22
, … , 𝑎𝑟𝑟
не равны нулю.
Пусть свободные переменные 𝑥𝑟+1 , … , 𝑥𝑛 принимают значения 𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 .
Тогда из последнего уравнения системы (1.2) переменная 𝑥𝑟 однозначно
выражается через 𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 :
𝑥𝑟 = 𝑥𝑟 (𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 ) =
1
′
𝑎𝑟𝑟
′
′
(𝑏𝑟′ − 𝑎𝑟𝑟+1
𝑡1 − ⋯ − 𝑎𝑟𝑛
𝑡𝑛−𝑟 ).
Подставляя это значение 𝑥 𝑟 в предпоследнее уравнение системы (1.2), получим
выражение, однозначно задающее 𝑥𝑟−1 через 𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 : 𝑥𝑟−1 = 𝑥𝑟−1 (𝑡1 , . . , 𝑡𝑛−𝑟 ).
Задания для самоконтроля.
Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то
найдите её общее и одно частное решение:
𝑥 − 𝑥2 = −1,
𝟏. { 1
2𝑥1 + 𝑥2 = 7.
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4,
2. {𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
−2𝑥1 − 2𝑥3 = 16.
3. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то
найти ее общее и одно частного решение:
34
𝑥𝑖 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 1
6𝑥𝑖 − 3𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥4 = −9
{
−7𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 8
−3𝑥1 + 9𝑥2 + 9𝑥3 + 10𝑥4 = 12.
4. Исследовать систему линейных уравнений
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −4
{𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
−2𝑥1 − 2𝑥3 = 3
Исследовать систему линейных уравнений для совместных систем
найти общее и оно частное решения.
𝑥 + 𝑥2 = 3
𝑥 + 𝑥2 = 3
𝑥 − 𝑥2 = 1
5. { 1
6. { 1
7. { 1
𝑥1 − 𝑥2 = −1
2𝑥1 + 2𝑥2 = 0
2𝑥1 − 2𝑥2 = 2
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝟖. { 1
2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 6
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
10. {4𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 = 0
4𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 9
12. { 2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 4
5𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 = 18
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2
4𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
14.{
𝑥 + 3𝑦 = 0
5𝑥 + 3𝑧 = 0
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
9. { 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2
𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = 5
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
11.{8𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = 0
4𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
13.
2𝑥 − 3𝑦 = −2
𝑥 + 2𝑦 = 2,5
−2𝑥 − 4𝑦 = −5
{2√3𝑥 − 3√3𝑦 = −2√3
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 1
𝑥1 − 𝑥2 − 5𝑥3 = 2
15. {
3𝑥1 − 2𝑥2 − 2𝑥3 − 5𝑥4 = 3
7𝑥1 − 5𝑥2 − 9𝑥3 + 10𝑥4 = 8
35
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑥4 = 8
2𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = 1
16. {
4𝑥1 − 7𝑥2 + 18𝑥3 − 11𝑥4 = −13
3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 9
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 2
6𝑥 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 + 5𝑥5 = 3
17.{ 1
6𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 + 13𝑥5 = 9
4𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 4
8𝑥1 + 6𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 = 21
3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 10
18. 4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 8
3𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 15
{7𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 = 18
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 + 3𝑥5 = 2
19. {2𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 + 6𝑥5 = 5
3𝑥1 − 6𝑥2 + 4𝑥3 − 3𝑥4 + 9𝑥5 = 5
9𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 = 4
20. { 6𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 5
3𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 14𝑥4 = −8
21. Исследовать систему из n линейных уравнений, найти общее и одно
частное решение.
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛 − 2
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛 − 3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛 − 3
………………………………………..
{ 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 = 𝑛 − 3
Исследовать систему из n линейных уравнений, найти общее и одночастное
решение:
36
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛,
2 + 2𝑥2 + ⋯ + 2𝑥𝑛 = 2𝑛,
22. { 𝑥1
…………………………
𝑛𝑥1 + 𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑥𝑛 = 𝑛2 .
𝑥1 +𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑛,
2𝑥1 + 2𝑥2 + ⋯ + 2𝑥𝑛 = 2𝑛,
23. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .
(𝑛 − 1)𝑥1 + (𝑛 − 1)𝑥2 + ⋯ + (𝑛 + 1)𝑥𝑛 = (𝑛 − 1)𝑛,
𝑛𝑥1 + 𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑛𝑥𝑛 = 0.
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 𝑛
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 𝑛 − 1
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 𝑛 − 2
24. 1
……………………………………………………
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 2
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 +4𝑥4 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 + 𝑛𝑥𝑛 = 𝑛,
−𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 +4𝑥4 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 + 𝑛𝑥𝑛 = −𝑛
−𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 +4𝑥4 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 + 𝑛𝑥𝑛 = −𝑛
25.
…………………………………………………………………
−𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 −4𝑥4 − ⋯ − (𝑛 − 2)𝑥𝑛−1 + 𝑛𝑥𝑛 = −𝑛
{−𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 −4𝑥4 − ⋯ − (𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 + 𝑛𝑥𝑛 = −𝑛
Исследовать систему линейных уравнений в зависимости от параметра . В
случае, когда система совместна, найти общее и одно частное решение:
2𝑥 −𝑥 = 8
26. { 1 2
4𝑥1 −2𝑥2 = 
2𝑥 −𝑥 = 8
27. { 1 2
2𝑥1 +𝑥2 = 
2𝑥1 +𝑥2 = 6
𝑥1 +8𝑥2 = 12
28. {
𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 = −1
2𝑥 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 3
𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
29. { 1
30. { 1
𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 4
𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 10
𝑥1 − 6𝑥2 − 𝑥3 = 9
(1 + )𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
31. { 𝑥1 + (1 + )𝑥2 + 𝑥3 = 
𝑥1 + 𝑥2 + (1 + )𝑥3 = 2
37
Решить систему уравнений
𝑥1 𝑥22 𝑥33 = 2
32. {𝑥12 𝑥23 𝑥34 = 4
𝑥12 𝑥2 𝑥3 = 2
33.Система
𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑐
{ 𝑐𝑥 + 𝑎𝑧 = 𝑏
𝑏𝑧 + 𝑐𝑦 = 𝑎
имеет единственное решение. Доказать ,что abc ≠ 0, и решить систему.
34. Система линейных уравнений записана в матричной форме: AX = B.
Известны два частных решения этой системы 𝑋1 и 𝑋2 . Как выглядит система,
имеющая одним из решений:
a) 𝑋1 + 𝑋2 .
б) 𝑋1 ( - некоторое число)?
35.Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от
параметров a, b, c, d:
𝑥+𝑦+𝑧 =1
{ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
𝑎2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2 𝑧 = 𝑑 2
Решение систем линейных уравнений с n неизвестными записана в
матричной форме:
AX = B.
где A = (𝑎𝑖𝑗 ) – матрица коэффициентов системы размера n x n,
𝑥1
𝑏1
𝑥2
𝑏
X = ( ⋮ ) - столбец неизвестных, B = ( 2 ) - столбец свободных членов.
⋮
𝑥𝑛
𝑏𝑛
38
Если D – определитель матрицы A – не равен нулю, то система совместна и
определена, её решение задаётся формулой:
x = 𝐴−1 ∗ 𝐵
Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:
xk =
Dk
D
, k=1,2,…,n
где Dk - определитель, получающийся из D заменой k-го столбца на столбец
свободных членов.
36. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной
матрицы:
𝑥 − 𝑥2 = −1
{ 1
2𝑥1 + 𝑥2 = 7
37. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной
матрицы :
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 6
а) {4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 15
7𝑥1 + 8𝑥2 + 9𝑥3 = 24
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 6
б) {4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 9
7𝑥1 + 8𝑥2 = −6
Найти решение линейной систем уравнений, используя обратную
матрицу и формулы Крамера. Указать те значения параметров (a и b), при
которых указанными методами систему решить невозможно:
𝑥 − 𝑥2 = −4
38. { 1
2𝑥1 + 𝑥2 = −5
√3𝑥1 + 2𝑥2 = 11
39. {
4𝑥1 − √3𝑥2 = 0
2𝑎𝑥 − 3𝑏𝑦 = 0
40.{
3𝑎𝑥 − 6𝑏𝑦 = 𝑎𝑏
41. {
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5
42. {4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 8
7𝑥 + 8𝑦 = 2
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = −7
43. { 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 14
−𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = −18
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑓1
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓2
39
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 3
44. {𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = −1
𝑥1 + 𝑥2 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 3
45. { 2𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 = 6
3𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = 21
𝑎𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
46. { 𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 𝑥3 = 𝑎
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑎𝑥3 = 𝑎2
3𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 − 4𝑥4 = 0
−3𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 + 3𝑥4 = −2
47. {
−5𝑥1 + 7𝑥2 − 7𝑥3 + 5𝑥4 = −2
8𝑥1 − 8𝑥2 + 5𝑥3 − 6𝑥4 = −5
6𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 + 7𝑥4 = 28
5𝑥 − 8𝑥2 + 5𝑥3 + 8𝑥4 = 36
48. { 1
9𝑥1 − 8𝑥2 + 5𝑥3 + 10𝑥4 = 42
3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = 2
2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 = 0
𝑥 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑥4 = 0
49. { 1
−𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 − 4𝑥4 = 0
3𝑥1 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 0
50. Найти неизвестный коэффициент многочлена
f(x)=ax2+bx+c,удовлетворяющего условиям:
f(-2)=-8 ,
f(1)=4,
f(2)=-4.
51. Найти неизвестный коэффициент функции f(x)=a∙ 3𝑥 + 𝑏𝑥 2 +
𝑐+bx+c,удовлетворяющей условиям:
f(0)=2 ,
f(1)=-1,
f(2)=4.
Решить системы уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной
матрицы:
𝑥 − 𝑥2 = 5
52. { 1
2𝑥1 + 𝑥2 = 1
𝑥1 − √5𝑥2 = 0
53. {
2√5𝑥1 − 5𝑥2 = −10
𝑎𝑥 − 𝑦 = 2
54. {
2𝑥 + 𝑎𝑦 = 1
𝑎𝑥 + 3𝑏𝑦 = 1
55. {
𝑏𝑥 + 3𝑎𝑦 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10
56. {4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 19
7𝑥 + 8𝑦 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 2
57. { 2𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 = −6
3𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 = −8
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
58. {6𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = −2
9𝑥 + 8𝑦 + 7𝑧 = 4
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −8
59. {2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −3
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = −1
40
2𝑥1 + 𝑥2 4𝑥3 + 8𝑥4 = 0
𝑥 + 3𝑥2 − 6𝑥3 + 2𝑥4 = 0
61. { 1
3𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 − 2𝑥4 = 0
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑧 = 1
60. {𝑥 + 𝑎𝑏𝑦 + 𝑧 = 𝑏
𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 4𝑥4 = −13,
−𝑥1 + 𝑥3 + 2𝑥4 = −1,
62. {
3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 = 11,
5𝑥1 + 6𝑥2 + 7𝑥3 − 2𝑥4 = 19.
−𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 − 4𝑥4 = −15,
𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑥4 = 3,
63.. {
2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 = −6,
3𝑥1 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 11.
64. Найти неизвестные коэффициенты многочлена 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 ,
удовлетворяющего условиям:
𝑓(−1) = 3,
𝑓(1) = 1,
𝑓(2) = −15.
65. Найти неизвестные коэффициенты функции 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ,
удовлетворяющей условиям:
𝑓(1) = 5,
𝑓(3) = 8,
𝑓(9) = 19.
41
2. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
Пусть дана однородная система линейных уравнений:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0,
{… … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0,
(3.1)
или в матричной форме 𝐴𝑋 = 0.
Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное
решение 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0. Однородная система неопределенна тогда и
только тогда, когда 𝑟(𝐴) < 𝑛.
Положим 𝑟 = 𝑟(𝐴) . Пусть общее решение системы (3.1) записано в
виде
𝑥1 (𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 )
⋮
𝑥𝑟 (𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 )
𝑋=
,
𝑡1
⋮
𝑡𝑛−𝑟
(
)
где 𝑥1 , … , 𝑥𝑟 – главные переменные, 𝑡1 , … , 𝑡𝑛−𝑟 – значения свободных
переменных 𝑥𝑟+1 , … , 𝑥𝑛 . Выберем 𝑛 − 𝑟 решений системы (3.1), полученных
из общего решения следующим образом: одно из значений свободных
переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0:
𝑥1 (1,0, … ,0)
𝑥1 (0,1, … ,0)
𝑥1 (0,0, … ,1)
⋮
⋮
⋮
𝑥𝑟 (1,0, … ,0)
𝑥𝑟 (0,1, … ,0)
𝑥𝑟 (0,0, … ,1)
𝑋1 =
, 𝑋2 =
, … , 𝑋𝑛−𝑟 =
.
1
0
0
0
1
0
⋮
⋮
⋮
(
)
(
)
(
)
0
0
1
Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решения
однородной системы. Они обладают следующим свойством :
Любое решение Х системы может быть единственным образом представлено
в виде :
Х = а1 Х1 + …+а𝑛−𝑟 𝑋𝑛−𝑟
42
Где а1 … … , а𝑛−𝑟 - некоторые числа.
Любой набор из n-r решений системы, обладающих указанным свойством,
называется фундаментальной системой решений системы.
Набор из n-r произвольных решений системы
(1)
(2)
(𝑛−𝑟)
𝑥1
х1
𝑋1
𝑋1 = ( … ), 𝑋2 = ( … ), ……., 𝑋𝑛−𝑟 = ( … )
(1)
(2)
(𝑛−𝑟)
𝑥𝑛
х𝑛
𝑋𝑛
Образует фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда
(1)
𝑥1
матрица, составленная их их компонентов ( ⋮
(1)
𝑥𝑛
(𝑛−𝑟)
… х1
⋱
⋮ ) имеет ранг n-r
(𝑛−𝑟)
… 𝑥𝑛
Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений
АХ=В
а АХ=0 система соответствующая ей однородная система. Общее решение
системы может быть представлено в виде суммы общего решения системы и
какого-то одного (частного) решения системы.
Задания для самоконтроля:
Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной
системы линейных уравнений :
х − 2х2 = 0,
𝟏. { 1
2х1 + 3х2 = 0
х − х2 + х3 = 0
2. { 1
2х1 + х2 − х3 = 0
Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной
системы линейных уравнений:
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0,
6𝑥1 − 3𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥4 = 0,
3. {
−7𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 0,
−3𝑥1 + 9𝑥2 + 9𝑥3 + 10𝑥4 = 0.
43
𝑥 + 𝑥2 = 0,
4. { 1
𝑥1 − 𝑥2 = 0.
𝑥 + 𝑥2 = 0,
5. { 1
−𝑥1 − 𝑥2 = 0.
2𝑥 − 3𝑦 = 0,
6. {
4𝑥 − 6𝑦 = 0.
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
7. { 1
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 0.
𝑥1 − √3𝑥2 = 0,
√3𝑥1 − 3𝑥2 = 0,
8.
,
−√2𝑥1 + √6𝑥2 = 0
{ 2𝑥1 − √12𝑥2 = 0.
2𝑥1 − 𝑥2 = 0,
9. {−√8𝑥1 + √2𝑥2 = 0,
4𝑥1 − 2𝑥2 = 0.
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
10. { 1
−𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 0.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
11. { 4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 0 ,
7𝑥1 + 8𝑥2 − 9𝑥3 = 0.
𝑥1 − 𝑥3 = 0,
𝑥2 − 𝑥4 = 0,
−𝑥1 + 𝑥3 − 𝑥5 = 0;
12.
−𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥6 = 0,
−𝑥3 + 𝑥5 = 0,
{ −𝑥4 + 𝑥6 = 0.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0,
13.{
2𝑥1 − 4𝑥2 + 6𝑥3 = 0,
−3𝑥1 + 6𝑥2 − 9𝑥3 = 0.
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 0,
14. {4𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 0,
6𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = 0.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0,
15. {4𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 0,
7𝑥1 + 8𝑥2 + 0𝑥3 = 0.
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 − 3𝑥4 = 0,
3𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 − 4𝑥4 = 0,
16. {
4𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0,
3𝑥1 + 8𝑥2 + 24𝑥3 − 19𝑥4 = 0.
𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 0,
𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥4 = 0,
17. {
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0,
𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 + 10𝑥4 = 0.
44
3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 0,
5𝑥 + 7𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0,
18. { 1
4𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 5𝑥5 = 0,
7𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 + 6𝑥4 + 5𝑥5 = 0.
Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной
системы линейных уравнений в зависимости от параметра:
19.
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
{4𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 = 0
𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 2𝑥3 = 0
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 0
3𝑥 + 2𝑥2 +
+3𝑥4 = 0
20. { 1
5𝑥1 + 6𝑥2 − 4𝑥3 − 𝑥4 = 0
3𝑥1 + 5𝑥2 + 𝜆𝑥3
=0
45
Контрольная работа
Вариант 1
1 .Исследовать систему уравнений на совместимость и определенность, не
решая ее. Указать главные( базисные ) и свободные переменные.
3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = −9
−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥4 = −2
−𝑥1 + 𝑥2
+ 9𝑥4 = −13
−9𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 + 11𝑥4 = 3
{ −15𝑥1 + 6𝑥2 − 9𝑥3 + 9𝑥4 = 21
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное
решение.
𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 5
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 13
{
7𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3
+ 𝑥4 = 21
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 3
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.
−3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 17
{ 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
−2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 8
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и
фундаментальную систему решений.
𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 − 2𝑥4 = 0
−2𝑥1 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 0
{
𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 = 0
5𝑥1 − 2𝑥2 + 6𝑥3 − 2𝑥4 = 0
46
Вариант. 2
1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не
решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = −3
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥4 = 8
7𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 0
−𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 + 7𝑥4 = −14
{−2𝑥1 − 2𝑥2 + 11𝑥3 + 18𝑥4 = −23
2. Решите систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно
частное решения
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = −3
−𝑥1 3𝑥2 + 2𝑥4 − 3
{
𝑥1 − 4𝑥3 + 𝑥4 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 3𝑥4 = 6
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам
Крамера.
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −3
{−2𝑥1 + 6𝑥2 + 9𝑥3 = −11
−4𝑥1 − 3𝑥2 + 8𝑥3 = −2
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и
фундаментальную систему решений.
2𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 − 4𝑥4 = 0
−5𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 5𝑥4 = 0
{
−4𝑥1 + 14𝑥2 − 8𝑥3 − 2𝑥4 = 0
−𝑥1 + 10𝑥2 − 5𝑥3 − 3𝑥4 = 0
47
Вариант 3
1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не
решая ее. Указать главные(базисные) и свободные переменные.
х1 + 2х2 − 3х3 − 2х4 = 5;
−2х1
+ х3 + 4х4 = 0;
−3х1 + 2х2 + 4х3 + 3х4 = −11;
3х1 − х2 + 2х3 + х4 = 7;
{13х1 − 7х2
− 9х4 = 35.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно
частное решения.
−3х1 + 2х2 + 5х3 − 2х4 = −2;
−4х1
+ 13х3 + х4 = −10;
{
−2х1 + 3х2 − 3х3 − 4х4 = 6;
2х1 − 4х2 + 3х3 + 5х4 = −8.
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам
Крамера.
3х1 + х2 − х3 = 10;
{−3х1 + 3х2 + 2х3 = 8;
5х1 + 2х2 + 8х3 = −1.
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и
фундаментальную систему решений.
3х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 0;
−3х1 + х2 − х3 + 4х4 = 0;
{
9х1 + 3х2 + 5х3 − 2х4 = 0;
−9х1
− 4х3 + 7х4 = 0.
48
Вариант 4
1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не
решая ее. Указать главные(базисные) и свободные переменные.
−2 х1 + х2 − х3 + 3х4 = 3;
2х1 + 2х2 + 4х3 + х4 = 5;
х1 − 2х2 − 4х3 + 3х4 = −12;
−5х1 − 5х2 − 10х3 + 4х4 = −19;
{ −5х1 + 10х2 +5х3 − 2х4 = 47.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно
частное решения.
х1 − 2х2 + 2х3 − 4х4 = −2;
−5х1 +8х2 − 4х3 + 12х4 = −4;
{
4х1 − 7х2 + 5х3 − 12х4 = −1;
−2х1 + 3х2 − х3 + 4х4 = −3.
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам
Крамера.
3х1 + х2 − х3 = 10;
{−3х1 + 3х2 + 2х3 = 8;
5х1 + 2х2 + 8х3 = −1.
4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и
фундаментальную систему решений.
−х1 + 3х2 + 3х3 − х4 = 0;
2х1 − 2х2 + х3 + 3х4 = 0;
{
−5х1 + 11х2 + 8х3 − 6х4 = 0;
3х1 − х2 + 5х3 + 5х4 = 0.
49
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1: Элементы линейной алгебры: матрицы,
определители, системы линейных уравнений
Условия задач:
1. Составить две матрицы А и В третьего порядка, продолжить заданное
матричное равенство и проверить его справедливость (варианты
заданий см. в приложении 1).
2. Вычислить определитель четвертого порядка, разложив его по
элементам первой строки и по элементам любого столбца. Убедиться в
правильности вычислений, сопоставив результаты (варианты заданий приложение 2).
3. Решить по правилу Крамера неоднородную систему трех линейных
уравнений с тремя неизвестными (варианты заданий - приложение 3).
4. Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом обратной
матрицы. Сравнить полученные результаты с результатами пункта 3
5. Составить и решить матричное уравнение 𝐴 ∗ 𝑋 ∗ 𝐵 = 𝐶 , где А и В
невырожденные матрицы второго порядка. Полученное решение
проверить подстановкой.
6. Решить систему линейных уравнений (из пункта 3) методом Гаусса.
7. Найти общее решение каждой из двух систем линейных уравнений
(варианты заданий - приложение 4).
8. Решить матричное уравнение 𝐴 ∗ 𝑋 = 𝐵 (для нечетных вариантов), 𝑋 ∗
𝐴 = 𝐵 (для четных вариантов) или доказать, что решения не
существует (Матрицы А, В и варианты заданий приведены в
приложении 5).
50
Приложение 1.
№
1
Условие
(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 2 ) =…
2
(𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) − 𝐴2 + 𝐵 2 = ⋯
3
(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴2 + 𝐵 2 ) = ⋯
4
(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐴2 + 𝐵 2 ) = ⋯
5
𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 2-(𝐴 − 𝐵)2 =…
6
(𝐴 − 2𝐵)(𝐴 + 2𝐵) − 𝐴2 + 4𝐵 2 = ⋯
7
9𝐴2 + 𝐵 2 − (3𝐴 + 𝐵)2 = ⋯
8
(2𝐴 − 𝐵)2 − 4𝐴2 − 𝐵 2 = ⋯
9
(3𝐴 − 2𝐵)2 − 9𝐴2 − 4𝐵 2 = ⋯
10
𝐴2 + 4𝐵 2 − (𝐴 + 2𝐵)2 = ⋯
11
(𝐴 + 𝐵)2 − 2𝐴𝐵 − 𝐵 2 = ⋯
12
(𝐴 − 3𝐵)2 − (𝐴2 + 6𝐴𝐵 + 9𝐵 2 ) =…
13
(𝐴 − 𝐵)2 + 2𝐴𝐵 = ⋯
14
𝐴2 − 𝐵 2 + (𝐵 − 𝐴)(𝐵 + 𝐴) = ⋯
15
𝐵 2 − 4𝐴2 − (𝐵 − 2𝐴)(𝐵 + 2𝐴) = ⋯
16
(𝐴 + 𝐵)2 − 2𝐴𝐵 = ⋯
17
4𝐴2 + 8𝐴𝐵 + 4𝐵 2-4(𝐴 − 𝐵)2=…
18
𝐵𝐴 + 𝐴𝐵 + (𝐴 − 𝐵)2 = ⋯
19
4𝐴2 + 4𝐴𝐵 + 4𝐵 2-(𝐴 + 2𝐵)2=…
20
(2𝐴 + 𝐵)2 − (𝐵 2 + 4𝐴𝐵 + 4𝐴2 ) =…
21
(2𝐴 − 𝐵)2 − (4𝐴2 + 4𝐴𝐵 + 𝐵 2 ) =…
51
22
𝐴2 − 𝐵 2 + (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = ⋯
23
𝐴2 + 𝐵 2 − (𝐴 + 𝐵)2 = ⋯
24
𝐴2 + 𝐵 2 − (𝐴 − 𝐵)2 = ⋯
25
𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − (𝐴 + 𝐵)2 = ⋯
26
(3𝐴 + 𝐵)2 − (9𝐴2 + 𝐵 2 ) = ⋯
27
(𝐵 + 3𝐴)2 − 3(𝐴𝐵 + 𝐵𝐴) = ⋯
28
(𝐴 + 𝐵)2
− 𝐴𝐵 = ⋯
2
29
(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐵 2 − 𝐵𝐴) = ⋯
30
(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴𝐵 + 𝐴2 ) = ⋯
52
Приложение 2.
4 −1
1
5|
−2
5
0
2
−3 −3
4
1)| 4
−1
0
−5 −3
4
−2
−1
3
4 −1
2
−2
3)|
3
5
−1 −4
−1
1
1
0
3 −5
5
5) | 1
6
−1
−3 −3
3 −3
7) | 5 2
6 1
0 5
−4
1
5
4
−2 2
−2 0
9) |
3
4
4 −2
3
3
6
0
−1 −4
−2
2
11)|
−1
5
−4 −4
3
1
13)|
4
−2
3
0|
5
3
5
1
0
−2
3
5|
2
4
4
0|
−3
5
3
1
|
−1
2
−4
3
|
4
−1
−5 4 −5
−1 3 4
|
5 −2 0
−5 3 5
−5 5
4
5
15)|
3
1
−5 0
5 −3
3 −2
|
3
0
−4 1
−5
2) | 5
0
−3
1
1
3
0
2
3
6
1
−1
1|
−2
−4
3 −2
0
4
4) |
4
−3
−2 −4
−2
4
5
3
−4
1|
4
−5
−2 5
1
6)| 3
0
5
−4 2
−5
−1
4
5
3
2|
5
5
−1 1
3
8) |2
0
5
2 2
−1
4
5
5
−1
0|
6
−5
−2 −2 2
0 2
5
10) |
2 6
2
−4 3 −5
1
3
|
4
5
2 4 −2
4
3 4
12)|
−1 1 3
0 3 −1
−3
−2
|
5
−3
−2 1 −5
0
4 0
14)|
−3 3 3
5 −3 2
4 −4 −1
1
4 1
16) |
6 4
6
−3 −1 5
2
5
|
1
4
1
−1
|
0
4
53
5
5 5
0 −2 5
17)|
1
3 2
−3 1 1
1
−1
|
4
−3
5
4
2
4
18) |
−2 −6
−1
1
4
−2
−3
0
4
−1
|
−2
−3
4
4 3
1
5 −1
19)|
−2 −3 −5
−2
4 0
5
4
|
−5
2
5
5
2 3
0 −1
4
1
20)|
|
−4 −3 −6 −2
3
−4 0 −5
2
1 4
5
1 5
21)|
−2 −4 −3
2
4 −2
3
0
|
−2
4
2
2
5 5
3 0
4
−2
22)|
|
−2 −1 −3 −4
4
−3
3 5
2
1 1
0
1 −1
23)|
−4 −4 −2
5
5 −5
3
−2
|
−6
5
4
4
−1 0
24)|
−3 −3
−3
4
2
4
−2 −2
|
−2 −1
1
3
3
3
2
5
25)|
−5 −6
3
−1
5
0
−5
3
3
2
|
−6
−4
3
5
−2
3
26)|
−4 −3
−4 0
2
5
2
2
|
−6 −5
0
−2
5
5 4
0
2 4
27)|
−2 −6 −6
4
3 −3
2
3
|
−4
5
1
3
1 4
2
3 1
0
28)|
|
−4 −6 −4 −1
−1 4 −4 −5
1
1 3
3 1
1
29)|
−1 −1 −5
−3 −3 −3
2
2
|
−2
0
1
1
4 3
−1 0 −2
5
30)|
|
−6 −3 −4 −2
5
−1 4 −2
54
Приложение 3.
−𝑥1 − 5𝑥2 + 3𝑥3 = 4
1){2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 18
−2𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 5
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 8
2){5𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 6
𝑥1 + 2𝑥2 = 6
3){
5𝑥1 − 2𝑥2 − 2𝑥3 = −16
2𝑥1 − 𝑥2 = −5
𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 4
5){
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 13
𝑥1 + 𝑥3 = 5
4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 24
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 0
6){ 5𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 9
3𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 14
−2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 13
7){ 𝑥1 + 4𝑥2 + 4𝑥3 = 7
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = −11
3𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 = 4
𝟖) {5𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 15
2𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 12
−𝑥1 + 3𝑥3 = −8
9){−𝑥1 − 2𝑥2 − 2𝑥3 = 6
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 8
4𝑥1 − 4𝑥2 − 5𝑥3 = −9
𝟏𝟎) {4𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 = −30
3𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −25
𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 11
11){ 5𝑥1 + 3𝑥2 = 10
6𝑥1 − 2𝑥2 + 6𝑥3 = −6
13){
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 3
−2𝑥2 − 𝑥3 = 1
2𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = −1
−2𝑥1 − 5𝑥2 + 5𝑥3 = 13
15){ −𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = −7
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 16
5𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = −1
17){ 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 3
4𝑥2 + 3𝑥3 = −10
−2𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = −12
19){ −2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 22
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = 18
5𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = 31
4) { 5𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 3
𝑥1 + 𝑥2 = 3
5𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 23
12){ −𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 5
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 2
2𝑥1 + 𝑥2 = 5
𝟏𝟒) { 𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 9
5𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 20
𝑥1 + 𝑥2 = 2
16){4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 9
4𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = 9
𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = −5
𝟏𝟖) { −𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = −3
3𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = −13
−4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = −5
20){ 2𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 13
2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 9
55
5𝑥1 − 𝑥3 = 7
21){ −2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 5
4𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 19
−𝑥1 − 4𝑥2 + 4𝑥3 = 1
22){ 4𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 15
3𝑥1 − 3𝑥2 = 15
5𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 = 39
23){3𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 20
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 12
𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 = −14
24){ 5𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 17
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 9
−5𝑥1 − 4𝑥2 + 4𝑥3 = 45
25){ 5𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 7
3𝑥1 + 5𝑥2 − 5𝑥3 = 12
𝑥1 + 2𝑥2 = 1
26){
5𝑥1 + 5𝑥2 + 4𝑥3 = −8
27){
5𝑥1 − 3𝑥2 − 3𝑥3 = 9
3𝑥1 + 2𝑥3 = 9
5𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 = 25
3𝑥1 + 5 + 2𝑥3 = 6
29){2𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 24
−𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 = 1
𝟐𝟖) {
−2𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = 13
−𝑥1 + 2𝑥3 = 3
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 7
−4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
𝟑𝟎) { 5𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 12
56
Приложение 4.
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
1{−2𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 − 2𝑥5 = 0
4𝑥1 − 3𝑥3 + 3𝑥4 − 3𝑥5 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 + 2𝑥5 = 0
2 { 2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0
−𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 − 3𝑥5 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 = 0
5𝑥1 − 𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0
3{
5𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 − 2𝑥4 − 𝑥5 = 0
4{
𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0
3𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥5 = 0
3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 = 2
{ 3𝑥2 + 3𝑥3 + 3𝑥4 = 1
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 3
5𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 = 2
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0
{
−𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = 3
3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 1
{−𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 − 2𝑥4 = 5
−2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 2
{
𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 2
𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 = −1
6𝑥1 + 2𝑥3 − 2𝑥4 = 2
3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0
5 { 3𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 + 2𝑥5 = 0
2𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 + 3𝑥5 = 0
5𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 3
{ 4𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 5𝑥4 = −1
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 = −3
5𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = 0
6{
3𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥5 = 0
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 4
{5𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 3
4𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 = 2
5𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 5𝑥5 = 0
7 { 𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0
4𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 − 3𝑥5 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 = 5
{ 𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 = 4
−2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 0
8 {−2𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 = 0
−2𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥4 + 4𝑥5 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 2
{ 5𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 0
−𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 − 3𝑥4 = −1
3𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 0
9 {3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 + 5𝑥5 = 0
4𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 5𝑥5 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 1
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 2
−3𝑥1 + 4𝑥3 + 5𝑥4 = 1
2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 0
−𝑥1 − 2𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 0
𝟏𝟎 {
5𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 + 6𝑥4 − 3𝑥5 = 0
5𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 5
{ −𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −2
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4
57
𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0
𝟏𝟏 {3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥5 = 0
6𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 6𝑥4 + 𝑥5 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 5𝑥4 = 5
5𝑥1 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0
{
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = −3
5𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 = 0
𝟏𝟐 {4𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 2𝑥5 = 0
3𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 6𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = 1
{2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = −2
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 2
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 + 𝑥5 = 0
−𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥5 = 0
𝟏𝟑 {
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 = 2
{ 𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥4 = 1
2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥4 = 3
5𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 + 4𝑥5 = 0
𝟏𝟒 { 4𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥4 + 4𝑥5 = 0
3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 2𝑥5 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 4
{ −𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 1
4𝑥2 + 3𝑥3 + 3𝑥4 = 5
4𝑥1 + 4𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 + 5𝑥5 = 0
15 { 2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0
4𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 + 5𝑥5 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 4𝑥4 = 3
{ 2𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑥4 = 5
2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 2
4𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 4𝑥5 = 0
𝟏𝟔 { 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 2𝑥5 = 0
−𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 + 4𝑥5 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = 1
{4𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 − 𝑥4 = 1
5𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 0
17 { −𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥5 = 0
6𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 4
{ 3𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥4 = −1
4𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 = 6
2𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0
18 { 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 − 𝑥5 = 0
−2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥4 + 6𝑥5 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 3
{−𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 0
3𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 + 2𝑥4 = 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 + 4𝑥5 = 0
19 { 2𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 0
2𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 3𝑥4 + 5𝑥5 = 0
𝑥1 + 5𝑥2 + 1𝑥3 + 2𝑥4 = 2
{ −𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 0
−𝑥3 + 2𝑥4 = 1
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 5𝑥4 + 5𝑥5 = 0
20 {5𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 = 0
4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥4 + 4𝑥5 = 0
2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 = 4
{ 4𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 3
3𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 1
58
3𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 + 2𝑥5 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 0
21 {
−𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 + 5𝑥5 = 0
22 {
4𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 − 2𝑥5 = 0
5𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 + 5𝑥4 + 5𝑥5 = 0
𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 3
{ 5𝑥1 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 4
3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
{
5𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 1
4𝑥2 + 4𝑥3 + 5𝑥4 = 2
−3𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 = 0
5𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 = 0
23 { −𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥5 = 0
6𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = 0
5𝑥1 + 4𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = 1
{ 4𝑥1 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 0
3𝑥1 − 2𝑥2 + 6𝑥3 = 2
2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 + 2𝑥5 = 0
−𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥5 = 0
24 {
−3𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 = 0
5𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 2
{ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = −3
3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 + 5𝑥5 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥5 = 0
25 {
𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 − 𝑥5 = 0
𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 1
4𝑥
{ 1 − 2𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = −2
3𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 = −3
5𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 + 4𝑥5 = 0
26 { −𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 = 0
6𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 + 3𝑥5 = 0
𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 1
{ −2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 1
3𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = 2
4𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 3𝑥4 + 2𝑥5 = 0
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥4 − 2𝑥5 = 0
27 {
3𝑥1 + 6𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 0
{
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 + 3𝑥5 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥4 + 5𝑥5 = 0
28 {
2𝑥1 + 6𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 = 0
2𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 3
{ −𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = 3
−𝑥1 + 𝑥3 = 6
𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 + 5𝑥5 = 0
−2𝑥1 + 𝑥4 = 0
29 {
4𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 5𝑥5 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 2
{ −2𝑥1 − 2𝑥3 + 5𝑥4 = 1
𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 2
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 0
30 {3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 + 3𝑥5 = 0
{
5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 4
−𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥4 = 0
6𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 + 6𝑥4 = −3
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 4𝑥4 = 4
4𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = 1
3𝑥1 − 𝑥4 = −3
59
Приложение 5
№
1
2
3
4
A
1
(0
0
B
2 3
0 0)
0 2
0
1 2
(−2 3 0)
1 −1 1
2 1
(2 0
0 0
−1
0)
0
1
0 −2
(−1 1
0)
0 −1 2
5
1 3
(0 3
0 0
−2
0)
0
6
1 −2 3
(0 −1 1)
1 1 0
7
1
(4
7
2 3
5 6)
8 9
8
1
(0
1
2 3
3 0)
1 3
0 4
(0 0)
0 6
0
(
1
0 0
)
2 −4
1 0
(4 0)
0 0
0
(
1
0 0
)
2 3
4 0
(9 0)
0 0
3
(
2
−1 0
)
−2 4
7 0
(1 0)
2 0
1
(
4
8 3
)
1 0
9
5 8
(6 9
4 7
−4
−5)
−3
11 −22
( 9 −27)
13 −13
10
2 1
(1 1
0 3
1
−1)
−9
−5 −4 2
(
)
3 13 7
11
−2 3 4
( 1 −2 3)
−3 5 1
2 −3
(−3 4 )
5
7
12
0 −1 1
(4 2 0)
2 0 1
6 1 2
(
)
−2 3 0
13
6 9 −5
(5 8 −4)
8 14 −6
0 0
(0 0)
1 0
60
14
0 −1 1
(4 2 0)
2 0 1
−2 3 0
(
)
6 1 2
15
5 1
2
(3 −3 −6)
1 −2 −4
−8 1
( 3 1)
9 1
16
1
(4
7
2 3
5 6)
8 9
17
5
(2
4
18
1 −1 1
(0
1 2)
−2 3 0
19
0
1
−3
1 )
0 4/5
1
(0
1
2 3
3 0)
1 3
7
(
0
1 2
)
0 0
0 0
(0 1)
0 0
1
(
0
2 −4
)
0 0
1 4
(8 1)
3 0
20
0 3
(2 1
1 1
−9
1)
−1
3 13 7
(
)
−5 −4 2
21
2 1
(1 1
0 3
1
−1)
−9
−5 3
(−4 13)
2
7
22
−2 3 0
(0
1 2)
1 −1 1
23
1 −2 3
(0 0 1)
2 −4 5
24
−1 1
0
(1
0 −2)
0 −1 2
25
1 1
(0 2
8 0
−1
1 )
−12
26
1 1 0
(1 −2 3)
0 −1 1
27
2 −1 4
(1 0
1)
0 1 −2
1 −2 −4
(
)
0 0
0
7
(2
0
1
(
0
1
(3
0
2
(
3
6
1)
−3
2 3
)
0 0
−2
4)
0
−2 4
)
−1 0
−2 3
( 0 −1)
2 −1
61
28
29
30
4
(7
1
5 6
8 9)
2 3
3 2 −2
(2 −3 2 )
5 −1 0
2 1
(0 3
1 1
1
−9)
−1
0
(
7
0 0
)
1 2
1 4
(−2 1)
−1 0
−5 −4 2
(
)
3 13 7
62
Список литературы
1.
Кремер Н.Ш. математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2008г.-472с.
2.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис – пресс,
2007г.-608с.
3.
Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс,
2007г.-592с.
4.
Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. 2 курс.- М.: Айрис-
пресс,2007г.-592с.
5.
Щипачев Б.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа. 2001г. – 480с.
63