СТАНДАРТ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИИ 1 лекция.

СТАНДАРТ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Составили Сливина Н.А.
ЛЕКЦИИ
3
1 лекция. Пространство R арифметических векторов и геометрические векторы.
Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов.
Взаимное расположение векторов (коллинеарность, ортогональность, угол между
векторами).
Задачи: вычисление длины вектора, деление отрезка в заданном отношении,
скалярное произведение векторов, вычисление элементов треугольника.
Определители 2-го и 3-го порядков.
Задачи: вычисление определителя 2-го и третьего порядка, определитель
диагональной матрицы, определитель с нулевой строкой (столбцом).
Задание. [8]. ТР АГ зад. 2, 3, 10; ТР ЛА Задача 7, 9 — вычислить определители 3го порядка.
[1]. Гл. I, § 1 пп.1 – 4, 6; § 2 пп.1, 2; § 4 п.1; § 4 п. 6.
2 лекция. Векторное и смешанное произведения векторов. Взаимное
расположение векторов (коллинеарность, компланарность).
Задачи: вычисление векторного произведения, вычисление площади
параллелограмма, треугольника, векторное произведение коллинеарных
векторов, вычисление смешанного произведения, вычисление объема
параллелепипеда, тетраэдра, смешанного произведения компланарных векторов.
Задание. [8]. ТР АГ зад. 3 – 7.
[1]. Гл. I, § 4 пп.4, 5, 7, 8;
3-4 лекции. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи о прямых и
плоскостях.
Задачи: все виды уравнения плоскости, все виды уравнения прямой, взаимное
расположение прямой и плоскости, расстояние от точки до плоскости,
расстояние от точки до прямой.
Задание. [8]. ТР АГ зад. 8, 9, 12, 13, 14.
[1]. Гл. II, § 2 пп.4 – 6; § 3 пп.1 – 8.
4 лекция. Определители n-го порядка. Вычисление и свойства.
Задачи: вычисление определителя 3-го порядка разложением по первой строке,
определители треугольной и диагональной матриц, вычисление определителя
приведением к треугольной форме, определители квадратной невырожденной
матрицы и обратной к ней.
Задание. Решить задачи из раздела «Определители» в списке задач к экзамену.
[1] Гл. V, § 3 пп. 3,4; [3] Лекция 2.
5-6 лекции. Матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц.
Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы
к ступенчатому виду.
Задачи: произведение линейной комбинации матриц на матрицу, произведение
матриц: строка- столбец, столбец- строка, строка- квадратная матрица,
квадратная матрица-столбец (в т.ч. единичные строки-столбцы), умножение
на диагональную матрицу, произведение диагональных матриц, приведение
матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.
2
Задание. [9]. 2.2. Задачи 1-9. Умножить матрицы из соседних задач. Найти
обратные матрицы. Проверить вычисление обратных матриц. Привести матрицы
к ступенчатому виду.
[1] Гл. V, § 1 пп. 1 –3; § 2; [3] Лекция 2.
7 лекция. Пространство Rn арифметических векторов. Линейная зависимость.
Базис. Естественный базис. Линейное подпространство в Rn. Размерность
линейного подпространства. Пространства строк и столбцов матрицы. Ранг
матрицы.
Задачи: исследовать на линейную зависимость систему векторов, найти
размерность подпространств в Rn, размерность пространства строк и
пространства столбцов матрицы, приведенной к ступенчатому виду,
вычисление ранга матрицы.
Задание. Решить задачи из раздела «Пространство арифметических векторов Rn»
в списке задач к экзамену.
[1]. Гл. I, § 1, пп. 5, 6; Гл. V, § 5, пп. 1, 4; Гл. VI, § 1, пп. 2– 3, 4; [3] Лекция 8.
8 лекция. Скалярное произведение в Rn. Неравенство Коши-Буняковского.
Метрические соотношения в Rn. Ортонормированный базис. Ортогональные
проекции.
Задачи: вычисление скалярных произведений, проверка ортогональности
векторов, вычисление длин и углов.
Задание. Решить задачи из раздела «Скалярное произведение в Rn» в списке
задач к экзамену.
[1]. Гл. VII, § 1, пп. 1–4, 7, 8; [3] Лекция 12.
9 лекция. Системы линейных уравнений в Rn. Основные понятия. Матричные
уравнения. Правило Крамера.
Задачи: решение матричных уравнений, матричная запись системы, решение
системы по правилу Крамера.
Задание. [9]. 2.1. Задачи 1-5.
[1]. Гл. V, § 4; [3] Лекция 2.
10 лекция. Свойства решений линейной системы. Нетривиальная совместность
однородной системы. Совместность линейной системы.
Задачи: проверка свойств решений линейной системы, исследование на
совместность, нетривиальная совместность однородной системы.
Задание. [8]. ТР ЛА зад. 3.
[1]. Гл. V, § 5, пп. 1, 2, 4; Гл. V, § 6, п. 1; [3] Лекция 9.
11-12 лекции. Теорема о базисном миноре. Фундаментальная система решений
линейной однородной системы. Структура общего решения однородной системы.
Структура общего решения неоднородной системы.
Задачи: полное исследование однородной системы с проверкой, полное
исследование неоднородной системы с проверкой.
Задание. [9]. 2.1. Задачи 1-5.
[1]. Гл. V, § 6, пп. 2– 6; [3] Лекция 9.
13 –14 лекции. Линейный оператор в Rn. Матрица линейного оператора.
Действия с линейными операторами и их матрицами. Преобразование координат
вектора и матрицы линейного оператора при изменении базиса.
3
Задачи: нулевой, тождественный оператор, операторы поворота и
проектирования; оператор, заданный координатами образа; их линейность,
матрицы.
Задание. [8]. ТР ЛА Задачи 4, 5, 6, 7.
[1]. Гл. VI, § 3, пп. 1, 2, 4, 6; [3] Лекции 5, 6.
15 лекция. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Их свойства и вычисление.
Задачи: вычисление собственных значений и собственных векторов (различные и
кратные собственные значения, есть собственный базис, нет собственного
базиса); матрица оператора в собственном базисе.
Задание. [8]. ТР ЛА Задача 9.
[1]. Гл. VI, § 4, пп. 4, 5, 6, 8; [3] Лекция 10.
16-17 лекции. Поверхности 2-го порядка.
Задачи: линия пересечения поверхности и плоскости.
Задание. Решить задачи из экзаменационного списка.
[1]. Гл. III, § 4; [3] Лекция 15.
18 лекция. Обзор.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1 занятие. Кривые 2-го порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.
[1]. Гл. I, § 2.
Задача 1.1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке С:
1) C = O(0, 0), R = 3; 2) C(2, -3), R  5 .
Задача 1.2*. Составить уравнение окружности C(2, 3), проходящей через начало
координат.
Задача 1.3*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси ординат.
Задача 1.4*. Составить уравнение окружности C(2, 3), касающейся оси абсцисс.
Задача 1.5*. Составить уравнение окружности радиуса R = 2, касающейся осей
координат.
Задача 1.6. Найти центр и радиус окружности: 1) x2 + y2 – 2x + 4y – 20 =0;
2) x2 + y2 – x =0; 3) x2 + y2 + y =0; 4) x2 + y2 + x =0; 5) x2 + y2 – 5x =0.
Задача 1.7. Изобразить линию, заданную уравнением: 1) y  9  x 2 ;
2) x  5  40  6 y  y 2 ; 3) y  2  121  x 2 ; 4) x  5  1  y 2 .
Задача 1.8. Найти полуоси эллипса: 1)
x2 y2

 1 ; 2) 9 x 2  y 2  1 ;
16 9
3) 16 x 2  y 2  16 ; 4) 25 x 2  9 y 2  1 .
x2 y2

 1 точку с абсциссой – 3.
16 9
x2 y2

 1 точку с ординатой – 1.
Задача 1.10. Найти на эллипсе
16 25
Задача 1.11. Записать каноническое уравнение эллипса:
1) 5 x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 ; 2) 16 x 2  25 y 2  32 x  100 y  284  0 ;
Задача 1.9. Найти на эллипсе
4
3) 4 x 2  3 y 2  8 x  12 y  32  0 .
Задача 1.12. Изобразить линию, заданную уравнением:
2
2
1) y  7 
16  6 x  x 2 ; 2) x  5 
8  2y  y2 ;
5
3
4
3) y  1 
 6 x  x 2 ; 4) y  2   5  6 x  x 2 .
3
Задача 1.13*. При каких значениях m прямая y = -x + m пересекает эллипс
x2 y2

 1 , касается его, не имеет с эллипсом общих точек.
16 25
Задача 1.14*. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(3, 0), а оси ординат — в
точке B(0, -4). Оси эллипса параллельны координатным осям. Записать уравнение
эллипса.
x2 y2
Задача 1.15. Найти полуоси гиперболы: 1)

 1 ; 2) 9 x 2  y 2  1 ;
16 9
3) 16 x 2  y 2  16 ; 4) 25 y 2  9 x 2  1 . Записать канонические уравнения
сопряженных гипербол.
x2 y2
Задача 1.16. Найти на гиперболе

 1 точку с абсциссой –3.
16 25
y2 x2
Задача 1.17. Найти на гиперболе

 1 точку с ординатой –1.
121 5
Задача 1.18. Записать каноническое уравнение гиперболы:
1) 5 x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 ; 2) 4 x 2  9 y 2  25  0 ;
3) 4 x 2  3 y 2  8x  12 y  32  0 , 4) 16 x 2  9 y 2  64 x  18 y  199  0 .
Задача 1.19. Изобразить линию, заданную уравнением:
2 2
4
4
x  9 ; 2) x  
y 2  9 ; 3) y  1 
 6 x  x 2 ; 4) y  2  1  x 2 .
1) y 
3
3
3
Задача 1.20*. Найти точки пересечения прямой 2x – y –10 = 0 и гиперболы
x2 y2

 1.
20 5
5
Задача 1.21*. При каких значениях m прямая y  x  m пересекает гиперболу
2
2
2
x
y

 1 , касается ее, не имеет с гиперболой общих точек.
9 36
Задача 1.22. Найти параметр и изобразить параболу:
1) y2 = 6x; 2) x2 = 5y; 3) y2 = -x; 4) y2 = 6x.
Задача 1.23. Найти на параболе y2 = 6x точку с абсциссой 3.
Задача 1.24. Найти на параболе y2 = – 2x точку с ординатой – 1.
Задача 1.25. Записать каноническое уравнение параболы:
1) 5 x 2  30 x  18 y  9  0 ; 2) 4 x 2  9 y  25  0 ;
3) 3 y 2  8 x  12 y  32  0 , 4) x 2  64 x  18 y  9  0 .
Задача 1.26. Изобразить линию, заданную уравнением:
5
4
4
 y ; 3) y  1 
 6 x ; 4) y  2  1  x .
3
3
2 занятие. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Задача 2.1. Доказать, что точки А(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1;-3) и D(3; -5; 3)
Являются вершинами трапеции. Найти ее стороны и среднюю линию.
*Найти площадь трапеции.
Задача 2.2. Найти орт вектора AB из предыдущей задачи.
Задача 2.3. Даны векторы a = (3; –5; 8) и b = (-1; 1; – 4). Найти:
1) длину суммы и разности векторов a и b; 2) проекцию вектора a на вектор b;
3) проекцию вектора b на вектор a; 4) проекцию суммы векторов a и b на их
разность.
2
Задача 2.4. Векторы a и b образуют угол    , a = |3|, b = |4|. Найти:
3
1) (a, b); 2) a2; 3) b2; 4) (a + b)2; 5) (2a +3 b, a - b).
Задача 2.5. Даны 2 вектора a = (4; –2; –4) и b = (–6; –3; 2).
Вычислить: 1) (a, b); 2) a2; 3) b2; 4) (a + b)2; 5) (2a +3 b, a - b).
Задача 2.6. Даны вершины треугольника А(3; -1; 2), B(1; 2; -1) и C(-1; 1;-3).
Найти все внутренние и углы треугольника, длины его сторон, площадь, высоту,
опущенную из вершины A, медиану, проведенную из вершины A.
Задача 2.7. Доказать, что орты i, j и k попарно ортогональны. Доказать, что любая
линейная комбинация ai + b j ортогональна вектору k.
Задача 2.8*. Доказать, что вектор p = b(a, c) – c(a, b) перпендикулярен вектору a.
Задача 2.9*. При каком значении  ортогональны векторы a +  b и a –  b.
2
Задача 2.10. Векторы a и b образуют угол    , a = |6|, b = |5|.
3
Найти |[a, b]|.
Задача 2.11. Найти площадь параллелограмма ABCD: А(0; 0; 0), B(1; 1; 0),
C(2; 1; 0) и D(1; 0; 0).
Задача 2.12. Даны векторы a = (3; –5; 8) и b = (-1; 1; – 4). Найти:
1) [a + b, a – b]; 2) [a + 3b, a]; 3) (a, b) [a, b]; 4) [3a + 4b, 2a – b].
Задача 2.13. Даны векторы a = 3i –5j + 8k и b = -i + j – 4k. Найти [a, b].
Задача 2.14*. Найти вектор x, если известно, что он перпендикулярен векторам
a = (2; –3; 1) и b = (1; –2; 3) и x(i + 2j –7k) =10.
Задача 2.15. Векторы a, b и с образуют правую тройку; |a| = 4, |b| = 2, |c| = 3.
Вычислить abс.
Задача 2.16. Вектор с перпендикулярен векторам a и b. Угол между векторам a
1) y  2 x ; 2) x  

. Известно, что |a| = 4, |b| = 2, |c| = 3. Вычислить abс.
6
Задача 2.17. Проверить компланарность векторов:
1) (2; 3; –1), (1; –1; 3) и (1; 9; – 11);
2) (3; –2; 1), (2; 1; 2) и (3; –1; – 2);
3) (2; –1; 2), (1; 2; –3) и (3; –4; 7);
4) (3; –2; 1), (2; 1; 2) и (1; 9; – 12).
Задача 2.18. Доказать, что точки А(1; 2; –1), B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1) и D(2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
и b равен
6
Задача 2.19. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(1; –2; –1),
B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1) и D(2; 1; 0).
3 занятие. Плоскость и прямая в пространстве.
Задача 3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 2;1) с
нормальным вектором BC, где B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1).
Задача 3.2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 2;1)
параллельно плоскости: 1) x0y; 2) x0z; 3) y0z; 4) x + y + 2z =1; 4) y – z = 1.
Задача 3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат
параллельно плоскости: 1) 3x –2y – z = 2; 2) x – 4 = 0; 3) y + 3z = 1; 4) z – x – 5 = 0.
Задача 3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку С(–1; 2; 1)
перпендикулярно вектору CD, D(2; 1; 3).
Задача 3.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3; -1; 2),
B(1; 2; -1), C(-1; 1;-3).
Задача 3.6. Доказать перпендикулярность плоскостей
2x + y + 3z –5 =0 и 3y – z +2 = 0.
Задача 3.7. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -1; 0) и
через: 1) ось 0x; 2) ось 0y; 3) ось 0z.
Задача 3.8*. При каких значениях l и m плоскости 2x + ly + 3z –5 =0 и
mx – 6y – 6z +2 = 0 параллельны?
Задача 3.9*. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(0; 1; 3)
параллельно плоскостям 2x + 7y + z –5 =0 и 6y – 6z +2 = 0.
Задача 3.10. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости
2x + y + 3z –5 =0 и плоскости: x0y; 2) x0z; 3) y0z; 4) 2x - y –5 =0.
 x  y  3z  2,
Задача 3.11. Найти точки пересечения прямой 
с прямой:
4 x  2 y  5 z  1
x 1 y 1 z

 .
1) 0x; 2) 0y; 3) 0z; 4)
2
0
2
x  3 y 1 z 1


Задача 3.12. Проверить, принадлежат ли прямой
точки
2
2
7
А(1; 2; –1), B(0; 1; 5), С(–1; 2; 1) и D(2; 1; 3).
Задача 3.13. Записать канонические и параметрические уравнения прямой
 x  y  3z  2,

4 x  2 y  5 z  1.
Задача 3.14. Записать уравнения прямой, проходящей через начало координат
 x  y  2,
параллельно прямой 
 4 x  5 z  1.
 x  y  2,
Задача 3.15. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости
4 x  5 z  1
2x –11y + z – 5 =0.
5 x  3 y  2 z  5,
Задача 3.16. Доказать что прямая 
принадлежит плоскости
2 x  y  z  1  1
4x –3y + 7z – 4 =0.
Задача 3.18. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
7
B(0; 1; 5) на плоскость 2x + 4y -3 z – 5 =0.
Задача 3.19*. На плоскости 2x + 3y - 4z – 15 =0 найти точку, разность расстояний
которой до точек B(5; 2; -7) и С(7; - 25; 10) наименьшая.
4 занятие. Вычисление определителей. Правило Крамера.
Задача 4.1. Вычислить определители:
1 2 0
1 2 3
0 a 0
a 0 a
1) 0 1 3 ; 2) 4 5 6 ; 3) a 0 a ; 4) 0 a 0 .
0 a 0
a 0 a
5 0 1
7 8 9
Задача 4.2. Преобразовать определитель и вычислить его разложением по строке
(столбцу):
1
2
4
1 1 1
1 1 1
1 17  7
1) 1  1 1 ; 2)  1 13 1 ; 3)  2 1  3 ; 4*) x
y
z .
1
1
1
1
7
30
1
4
x2
2
y2
z2
Задача 4.3. Вычислить определитель:
2 3 4 1
4 2 3 2
1) разложением по 3-й строке
;
a b c d
1 4 3
3
5 a
4 b
2) разложением по 2-му столбцу
2 c
4 d
Задача 4.4. Вычислить определители:
1 1
1
1
0 0 0 1
1
1 1 1
1
0 0 0 2
3
1)
; 2)
; 3)
1 1 1 1
0 0 0 3
5
1
1
1
1
1 2 3 4
2 1
4 3
.
3 2
5 4
2
4
6
3
5
7
4
6
;
9
31 23 55 42
1
3
2
3
5
2
2
3
5
3
21
3  12
15
6
21
10  2 3
5
4*)
; 5*)
.
2
9
4
5
10 2 15
5
6

3
2
5
2
2
2 6
10
15
1
2
1 3


7
7
7 7
Задача 4. 5. Вычислить объем параллелепипеда c вершинами О1(0; 0; 0), A1(1; 0;
0), B1(1; 2; 0), C1(0; 2; 0), О2(0; 0; 3), A2(1; 0; 3), B2(1; 2; 3), C2(0; 2; 3).

5
12
8
Задача 4. 6*. Доказать, что площадь треугольника АВС с вершинами А(2; 2), B(1 2 2
1; 3), C(0; 0) равна 
.
2 1 3
Задача 4. 7*. Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки написать
в обратном порядке?
Задача 4. 8*. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен
произведению диагональных элементов.
Задача 4. 9*. Как изменится определитель 3-го порядка, если его столбцы
написать в обратном порядке?
1 x1
Задача 4. 10*. Доказать равенство 1 x 2
1 x3
2
x1
2
x 2  ( x 2  x1 )( x3  x1 )( x3  x 2 ).
2
x3
Задача 4.11. Решить линейную систему по правилу Крамера:
3x  5 y  13, 3 y  4 x  1,
ax  by  c,  x 5  5 y  5 ,
1) 
2) 
3) 
4) 
2 x  7 y  81; 3x  4 y  18;
bx  ay  d ;  x  5 y  1.
Задача 4.12. Решить линейную систему по правилу Крамера:
 x  y  z  36,  x1  2 x 2  x3  4,


1)  x  z  y  13, 2) 3x1  5 x 2  3x3  1,
2 x  7 x  x  8;
 y  z  x  7;

2
3
 1
2 x1  x 2  3x3  9,
 x  2 y  3z  0,


3) 3x1  5 x 2  x3  4, 4) 2 x  3 y  5 z  4,
4 x  7 x  x  5;
3x  y  z  3.

2
3
 1
 x  2 y  3z  0,
Задача 4.13. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости
2 x  3 y  5 z  4
3x  y  z  3 .
3x  2 y  z  0,

Задача 4.14*. При каких значениях a система ax  14 y  15 z  0, имеет только
 x  2 y  3z  0

нулевое решение?
5 занятие. Действия с матрицами. Обратная матрица. Приведение к ступенчатой
форме. Вычисление ранга матрицы.
Задача 5.1. Вычислить:
1 0 2 
 1 0 2  1
1 0 2 





  
1) 1 2 3    1 2  3  ; 2) 1 1 1    1 2  3  ; 3)   1 2  3   1 ;
1 1 1 
 1 1 1  1
1 1 1 



  


9
1
 
4) 1 2 3    1 ; 5)
2
 
1
 
 2   1 1 1 ; 6)
 3
 
1 2 1 0  1 2 

  
  
 ;
3 4 3 1  0  2
1 0 0  1 0 2 
1 1
 1 0 2  1 0 0

 



 

 2 1 4 
   0 1  ; 9)   1 2  3    0 1 0  ;
7)  0 1 0     1 2  3  ; 8) 
 0 1 1 1 0
1 0 1  1 1 1 
 1 1 1  1 0 1

 




 

T
T T
T T
-1
-1
-1
Задача 5.2. Вычислить A+B, AB – BA, (AB) , B A , A B , A , B , (A+2B) ,
(AB)-1, B-1A-1, (BA)-1, A-1B-1, (AT)-1, det A, det A-1, det B, det AB, где:
0 0
1 2 0
 2




1 0 
 1 1
 , B  
 ; 2) A   0 1 3  , B    3 1 0  .
1) A  
1 1 
 0 1
 0 0 2
 0 1 5




Задача 5.3. Привести матрицу к ступенчатой форме и найти ее ранг:
 1 2  1


3 3 2
2
0
2
1 
1
2 1 1
1






 3 6  3
1) 
; 2)  2
6 9 5  ; 3)  4 2 2  ; 4)   1  2 1
1
0 ;

3 9 3
 1  3 3 0
 8 4 4
1


2  3  7  2 





2 5 0 


 25 31 17 43   1 1 3  2 3 1 

 

 1 1 1


 75 94 53 132   2 2 4  1 3 2 
5)  2 1 1 ; 6) 
;
.
75 94 54 134   3 3 5  2 3 1 
 3 1 1

 



 25 32 20 48   2 2 8  3 9 2 

 

Задача 5.4*. Доказать, что матрица, обратная к диагональной матрице —
диагональная.
Задача 5.5*. Доказать, что матрица, обратная к треугольной матрице — треугольная.
Задача 5.6*. Доказать, что матрица, обратная к симметричной матрице —
симметричная.
Задача 5.7*. Доказать, что матрица, обратная к единичной матрице — единичная
матрица.
6 - 7 занятия. Общая теория линейных систем.
Задача 6.2. Найти общее решение системы:
 x1  x 2  3x3  2 x 4  3x5  0,
2 x1  x 2  4 x3  0,
2 x  2 x  4 x  x  3x  0,
2 x  4 y  0,
 1

2
3
4
5
1) 
2) 3x1  5 x 2  7 x3  0, 3) 
4
x

8
y

0
;
3
x

3
x

5
x

2
x

3
x

2
3
4
5  0,
 1
4 x  5 x  6 x ;
2
3
 1
2 x1  2 x 2  8 x3  3x 4  9 x5  0;
10
 x1  x3  0,
 x  x  0,
4
 2
 x1  x3  x5  0,
4) x1  2 x2  3x3  0 ; 5) 
 x 2  x 4  x6  0,
 x3  x5  0,

 x 4  x6  0.
Задача 6.1. Исследовать совместность и найти общие решения систем:
2 x  4 y  3, 2 x  4 y  3, 2 x  4 y  3, 2 x1  4 x2  1,
1) 
2) 
3) 
4) 
4 x  8 y  6; 4 x  8 y  7; 2 x  y  6;
 x1  2 x2  0.5;
 x1  x 2  3x3  2 x 4  3x5  1,
2 x  2 x  4 x  x  3x  2,
 x1  x2  3x3  2 x4  3x5  1,
 1
2
3
4
5
4) 
5) 
2 x1  2 x2  4 x3  x4  3x5  2;
3x1  3x 2  5 x3  2 x 4  3x5  1,
2 x1  2 x 2  8 x3  3x 4  9 x5  2;
2 x1  5 x 2  8 x3  8,
4 x  3x  9 x  9,
 1
2
3
6) 
6*) x1  x2  3x3  2 x4  3x5  1.
2
x

3
x

5
x

7
,
1
2
3

 x1  8 x 2  7 x3  12;
8 занятие. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора
при изменении базиса. Собственные значения и собственные векторы оператора,
заданного матрицей.
Задача 8.1. Вектор x  3,  1, 4 задан своими координатами в базисе e1 , e 2 , e 3 .
Найти координаты вектора x в базисе f 1 , f 2 , f 3 , где f 1  e1 , f 2  e1  e2 ,
f 3  e1  e2  e3 .
Задача 8.2. Вектор x  1,  1, 0 задан своими координатами в базисе e1 , e 2 , e 3 . Найти
координаты вектора x в базисе f 1 , f 2 , f 3 , где f 1  2e1  3e2  e3 , f 2  3e1  4e2  e3 ,
f 3  e1  2e2  2e3 .
Задача 8.3. Линейный оператор, действующий в R3, задан в базисе e1 , e 2 , e 3 . матрицей
 1  18 15 


  1  22 20  . Найти матрицу оператора в базисе f 1 , f 2 , f 3 , где f 1  e1  2e2  e3 ,
 1  25 22 


f 2  3e1  e2  2e3 , f 3  2e1  e2  2e3 .
Задача 8.4. Линейный оператор, действующий в R3, задан в базисе e1 , e 2 , e 3 . матрицей
 15  11 5 


 20  15 8  . Найти матрицу оператора в базисе f 1 , f 2 , f 3 , где f 1  2e1  3e2  e3 ,
 8  7 6


f 2  3e1  4e2  e3 , f 3  e1  2e2  2e3 .
11
Задача 8.5. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного
1 2 
 .
в некотором базисе матрицей 
0  2
Задача 8.6. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
 2 1 2 


заданного в некотором базисе матрицей  5  3 3  .
 1 0  2


Задача 8.7. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
 4  5 2


заданного в некотором базисе матрицей  5  7 3  .
 6  9 4


Задача 8.8. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
  1 3  1


заданного в некотором базисе матрицей   3 5  1 .
 3 3 1 


Задача 8.9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
 15  11 5 


заданного в некотором базисе матрицей  20  15 8  .
 8  7 6


Задача 8.10. Найти собственные значения и собственные векторы оператора,
 0 1 0


заданного в некотором базисе матрицей   4 4 0  .
  2 1 2


9 занятие. Обзор.
Перечень задач из ТР
ТР Аналитическая геометрия 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14.
ТР Линейная алгебра 3, 4, 5, 6, 7, 9.
Литература
1. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М:
Физматлит, 2001.
2. В.В. Воеводин. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
3. О.В. Зимина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во
МЭИ. 2000.
4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988.
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука, 1988.
6. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука.
1986.
7. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1.: Линейная алгебра и основы
математического анализа. Под.ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. М.:
Наука, 1993.
12
8. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты). М.: Высшая школа, 1994.
9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая
математика. М.: Физматлит, 2000.
10. Г. Стренг. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.