Дифференциальные уравнения (маг. АИД, Романов)x

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т Б и з н е с - и н фо р м а т ик и
отд. Прикладной математики и информатики
Программа дисциплины
Дифференциальные уравнения
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
для магистерской программы «Математическое моделирование»
Специализация «Анализ Интернет-данных»
Автор программы: Романов Игорь Викторович
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 29.08.2011 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика», обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование» по специализации
«Анализ Интернет-данных» изучающих дисциплину «Дифференциальные уравнения».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
010400.68 «Прикладная математика», магистерская программа «Математическое
моделирование», специализация «Анализ Интернет-данных», утвержденным в
2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» являются:
 ознакомление студентов с основами методов решения дифференциальных уравнений;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы теории дифференциальных уравнений, необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим
учебными планами;
 Уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы;
 Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать мето-
Стандартные (лекцион-
Компетенция
Общенаучная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ды критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
но-семинарские)
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный прак-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
тический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Профессиональные
4
ПК-8
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для специализаций «Анализ интернет-данных», «Анализ и принятие решений», «Интеллектуальные системы» и «Технологии моделирования в сложных системах» настоящая дисциплина является адаптационной дисциплиной, которая согласно пункту 5.5 «Регламента планирования и организации дисциплин по выбору и факультативов», утвержденным ученым советом НИУ ВШЭ 24 июня 2011 года (http://www.hse.ru/docs/33592234.html), является дисциплиной по выбору для выпускников НИУ ВШЭ по данному направлению обучения и обязательной
дисциплиной для прочих студентов.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Геометрия и алгебра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Дополнительные главы дифференциальных уравнений;
 Компьютерное моделирование.
5
№
1
2
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
Введение, основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными.
Задача Коши. Теоремы существования
Всего
аудиторных
часов
Аудиторные занятия
Лекции
Семинары
Самост.
работа
2
1
1
4
2
1
1
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
3
и единственности. Теорема о выпрямлении.
Линейные системы.
4
2
2
4
4
Теория устойчивости.
4
2
2
4
5
Автономные системы.
4
2
2
4
Итого
16
8
8
20
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
1 год
Форма контроля
1
Итоговый
Зачет
1
Параметры
2
Письменный зачет
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Содержание дисциплины
Тема I. Введение. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Основные определения теории дифференциальных уравнений, фазовые пространства, векторные
поля, интегральные траектории, касательные пространства, дифференциальные 1-формы, интеграл от дифференциальной 1-формы. Метод разделения переменных как интегрирование дифференциальной 1-формы. Линейные уравнения. Существование и единственность решения линейных уравнений.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема II. Задача Коши. Теоремы существования и единственности. Теорема о выпрямлении. Задача Коши для дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений.
Применение метода последовательных приближений для доказательства теоремы существова-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
ния и единственности для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. Теорема о выпрямлении векторного поля.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
5. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
6. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Тема III. Линейные системы. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Основная теорема теории линейных
уравнений с постоянными коэффициентами. Формулировка теоремы о жордановой нормальной
форме матрицы (ЖНФ). Практическое вычисление матрицы экспоненты в случае кратных собственных значений, рассмотрение различных случаев, когда ЖНФ содержит одну или несколько жордановых клеток. Вывод формул решения для систем второго и третьего порядка.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема IV. Теория устойчивости. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функция Ляпунова, теорема об устойчивости по первому приближению. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка.
Нелинейные автономные системы второго порядка, линеаризация систем, применение теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению для определения поведения решения в
окрестности положения равновесия нелинейной системы.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
Тема V. Автономные системы. Общие понятия. Теорема о трех видах траекторий автономной
системы. Предельное поведение траекторий, предельные циклы. Теория индексов. Теорема Боля – Брауэра о неподвижной точке и ее приложения.
Основная литература.
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
Дополнительная литература
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Примеры заданий итогового контроля
Решить следующие дифференциальные уравнения и системы:
𝑑𝑦
1. (𝑥 + 1) + 𝑥𝑦 = 0.
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2.
𝑥𝑦 𝑑𝑥 − √𝑦 2 + 1 = 0.
3.
(𝑥 2 − 1)
4.
𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 + 1 = 0.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 2𝑥𝑦 2 = 0, 𝑦(0) = 1.
𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 = 4.
2
𝑥 𝑦 = 𝑦′ .
2
𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′′ = 0.
2
𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 0.
𝑦 ′′′ − 6𝑦 ′′ + 9𝑦 ′ = 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑒 3𝑥 cos 2𝑥.
𝑥 3 𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥 3 .
𝑑𝑡
{𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
13.
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑦 2 𝑒 𝑥 .
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 2 𝑑𝑥 +
2 ′′
𝑑𝑥
12.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
= 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡𝑒 𝑡
= 5𝑥 − 𝑦 − 3𝑡𝑒 𝑡 .
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧
= 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧
{ 𝑑𝑡 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧.
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории
линеаризованных систем в окрестности положения равновесия автономных систем:
14.
15.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑒 2𝑥+2𝑦 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ln(𝑥 + 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
9
𝜋
= arccos(𝑥 − 𝑥 3 ) − 2 .
= 𝑥 3 + 𝑦 3 − 1.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий
контроль осуществляется в виде домашнего задания. Домашняя работа делается студентом в
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимальных решений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
течение двух недель. Итоговый контроль осуществляется в виде письменного зачета. Итоговая
оценка Оитог. по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма
Оитог.=0,3*Од.з.+0,7*Озач.,
округленная до целого числа баллов. Од.з., Озач. и обозначают оценки по 10-балльной
шкале за домашнее задание и зачет соответственно.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
10.2 Основная литература
1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1984.
2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления Москва:
Лаборатория базовых знаний, 2001.
3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва:
Наука, 1969.
10.3 Дополнительная литература
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Москва: Физматлит, 1970.
2. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1974.