Вопросы к экзамену по курсу «Математика» для студентов биологического факультета. Курс 1.

Вопросы к экзамену
по курсу «Математика»
для студентов биологического факультета. Курс 1.
1.Множества, операции над множествами, счетные и несчетные множества.
2. Матрицы. Операции над матрицами, матрицы и определители, обратная
матрица.
3. Характеристический многочлен. Собственные значения, Собственные
векторы.
4. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Вычисление
определителей третьего порядка разложением по строке (столбцу).
5. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие об определителе n-го
порядка.
6. Системы линейных уравнений. Условия существования решения системы
линейных уравнений.
7. Решение системы алгебраических линейных уравнений методом Гаусса.
8. Решение системы алгебраических линейных уравнений с помощью
обратной матрицы.
9. Решение системы алгебраических линейных уравнений по формулам
Крамера.
10. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Разложение
вектора по базису.
11. Скалярное векторное и смешанное произведения векторов; их
определения, основные свойства, способы вычисления и применения к
решению физических и геометрических задач.
12. Прямая на плоскости (различные виды уравнений прямой). Взаимное
расположение 2-х прямых.
13. Плоскость и прямая в пространстве, их уравнения и взаимное
расположение. 14. Кривые и поверхности 2-го порядка; их канонические
уравнения и построение.
15. Числовые последовательности и их пределы. Раскрытие
неопределенностей в числовых пределах.
16. Число е. Замечательные пределы.
17. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на интервале.
18. Односторонние пределы. Точки разрыва, их классификация.
19. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.
Правила дифференцирования.
20. Производная степенной, показательной функций, производная
тригонометрических функций.
21. Производная сложной функции, производная обратной функции,
Производная неявной функции. Таблица производных элементарных
функций.
20. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях.
21. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля,
Лагранжа) и их геометрическая иллюстрация. Правило Лопиталя.
22. Возрастание и убывание функции на интервале. Экстремум, наибольшее
и наименьшее значение функции одной переменной на интервале.
23. Выпуклость, точки перегиба кривой. Асимптоты. Общая схема
исследования функции одной переменной.
24. Функция нескольких переменных, область определения. Предел функции
двух переменных. Непрерывность функции в точке и в области. Частные
производные; их геометрический смысл.
25. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный
дифференциал и его геометрический смысл. Частные производные высших
порядков.
26. Сложная и неявная функция нескольких переменных. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности (определение, уравнения).
27. Экстремум функции двух переменных. Производная по направлению и
градиент функции нескольких переменных (определения, вычисление,
свойства).
28. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов.
29. Интеграл от дифференциала. Замена переменных в интегралах.
Интегрирование по частям.
30. Интегрирование рациональных дробей.
31.Интегралы от иррациональных функций.
32. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.
33. Определенный интеграл и его основные свойства. Замена переменных в
определенном интеграле.
34. Вычисление площадей с помощью интегралов. Вычисление объемов тел
вращения с помощью интегралов. Вычисление длины дуги кривой с
помощью интегралов.
35. Криволинейный интеграл и его вычисление
36. Формула Грина для вычисления криволинейного интеграла
37. Двойной интеграл и его вычисление. Замена переменных в двойном
интеграле
38. Вычисление площадей, объемов с помощью двойного интеграла
Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений
профессор
В. Н. Щенников
Преподаватель
доцент
Г.А. Смолкин
Вопросы к экзамену
по курсу «Математика»
для студентов биологического факультета. Курс 2
1.
2.
3.
4.
Числовые ряды. Понятия сходимости, расходимости.
Знакочередующиеся числовые ряды и признак Лейбница.
Признаки сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды. Понятия сходимости в точке, равномерной
сходимости.
5. Степенные ряды. Интервал сходимости.
6. Ряды Тейлора и Маклорена.
7. Разложение функций в степенные ряды.
8. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
9. Ряды Фурье. Примеры.
10.Комплексные числа, операции над ними.
11.Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.
Извлечение корня.
12. Комплекснозначые функции. Дробно-линейные функции.
13. Производная комплекснозначной функции. Условие Коши-Римана
14.Интегрирование комплекснозначных функций.
15. Аналитические функции. Ряды Лорана.
16. Несобственные функции и вычеты.
17.Дифференциальные уравнения, частное и общее решения, поле
направлений, интегральные кривые.
18. Дифференциальные уравнения, частное и общее решения, поле
направлений, интегральные кривые.
19. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
20.Линейное уравнение 1 порядка, уравнение Бернулли. Методы
решения.
21.Метод вариации произвольной постоянной нахождения частного
решения неоднородного линейного уравнения.
22.Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение.
23.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами. Метод неопределенных
коэффициентов для уравнений со специальной правой частью.
24.Дифференциальные уравнения и краевые задачи.
25.Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
26.Линейные системы дифференциальных уравнений второго порядка.
27.Испытания и события в реальном опыте. Пространство элементарных
событий. Операции над событиями. Алгебра событий.
28.Аксиомы вероятности, ее основные свойства.
29.Классическое определение вероятности, формулы комбинаторики.
Геометрическая вероятность..
30.Основные вероятностные схемы. Гипергеометрическое
распределение.
31.Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
32.Повторение испытаний. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Простейший поток событий.
33.Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.
34.Случайная величина. Функция распределения случайной величины, ее
свойства и график. Вероятность попадания случайной величины в
заданный интервал. Плотность распределения абсолютно
непрерывной случайной величины.
35.Нормальное распределение и его плотность. Вероятность попадания
нормально распределенной случайной величины в заданный
интервал.
36.Дискретная случайная величина, ее числовые характеристики и их
свойства.
37.Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной
величины.
38.Многомерные функции распределения.
39.Генеральная совокупность, выборка, графическое изображение
вариационного ряда.
40.Числовые характеристики выборки (среднее, дисперсия, ср.
квадратическое отклонение, мода, медиана, моменты) и их свойства.
41.Регрессионный анализ. Уравнение регрессии.
42.Корреляционная таблица. Коэффициент корреляции и его смысл.
Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений
профессор
В. Н. Щенников
Преподаватель
доцент
Г.А. Смолкин
Вопросы к экзамену по уравнениям с частными производными.
3 к. мат ф-т
1. Понятие уравнения с частными производными. Классическое решение.
Замена независимых переменных в линейном УРЧП.
2. Классификация линейных уравнений второго порядка.
3. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными.
4. Характеристические поверхности (кривые). Примеры
5. Оператор Лапласа в полярной системе координат
6. Вывод уравнения теплопроводности.
7. Вывод уравнения колебаний струны
8. Вывод уравнения колебаний мембраны
9. Постановка задачи Коши для линейных уравнений произвольного
порядка. Решение задачи Коши для линейных уравнений первого
порядка.
10.Постановка основных краевых задач для уравнений второго порядка
гиперболического, параболического, эллиптического типов. Понятие
корректности постановки краевых задач.
11.Формула Даламбера. Области зависимости, влияния.
12.Явление отражения волн. Применение формулы Даламбера к
решению краевой задачи для волнового уравнения на отрезке.
13.Применение Формулы Даламбера для решения краевой задачи на
полуоси.
14.Метод разделения переменных для решения краевых задач для
волнового уравнения с одной пространственной переменной.
15.Метод разделения переменных для решения краевых задач для
волнового уравнения с двумя пространственными переменными.
16.Решение краевых задач для волнового уравнения с одной
пространственной переменной интегрированием вдоль характеристик.
17.Решение задачи Коши для волнового уравнения с одной
пространственной переменной методом последовательных
приближений.
18.Решение задачи Гурса для волнового уравнения с одной
пространственной переменной методом последовательных
приближений. Волновое уравнение с тремя пространственными
переменными. Формула Кирхгофа.
19.Волновое уравнение с двумя пространственными переменными.
Формула Пуассона.
20.Принцип экстремума для уравнения теплопроводности.
21.Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом
разделения переменных.
22.Задача Коши для уравнения теплопроводности и ее решение с
помощью формулы Пуассона.
23.Определение гармонической функции и некоторые ее элементарные
свойства.
24.Интегральное представление гармонических функций.
25.Фундаментальные решения уравнения Лапласа
26.Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для
уравнения Пуассона.
27.Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле в шаре
28.Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле в полупространстве
29.Формулы о среднем для гармонических функций
30.Теоремы Лиувилля и Гарнака
31.Непрерывность потенциала объемных масс
32.Непрерывность производных первого порядка потенциала объемных
масс
33.Существование производных второго порядка потенциала объемных
масс
34.Потенциалы двойного и простого слоя
35.Формула скачка для потенциала двойного слоя и редукция задачи
Дирихле к интегральному уравнению
36.Потенциал простого слоя. Задача Неймана
37.Внешняя задача Дирихле и задача Неймана
38.Самосопряженные, положительно определенные линейные
операторы. Примеры.
39.Обобщенные решения краевых задач для уравнений эллиптического
типа общего вида и их существование в сответствующих
энергетических пространствах
40.Решение задачи Дирихле в круге методом разделения переменных
Решение задачи Дрихле в кольце методом разделения переменных
41.Решение задачи Дрихле в кольце методом разделения переменных
Программа была обсуждена и принята на заседании кафедры
дифференциальных уравнений (протокол № 5 от 21 мая 2012 г.).
Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений
профессор
В. Н. Щенников
Преподаватель
доцент
Г.А. Смолкин