Журн. «Логистика и управление цепями поставок» № 6, 2005г. Н. Г. Бродецкая
реклама
Журн. «Логистика и управление цепями поставок» № 6, 2005г. Н. Г. Бродецкая Г. Л. Бродецкий РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ В КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫХ МОДЕЛЯХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ Введение. Проблемы, связанные с оптимизацией работы различных звеньев и цепочек соответствующих схем бизнеса (например, - в области логистики), описываемых моделями теории управления запасами на протяжении ряда десятилетий привлекали и продолжают привлекать внимание как многих исследователей, так и менеджеров, работающих в соответствующей области. С развитием рыночных отношений, развитием новых близких научных направлений (в частности, таких как финансовая математика, финансовый анализ и др.) у менеджеров, работающих в указанных областях бизнеса, меняется взгляд как на структуру самих моделей, так и на критерии оптимизации в рамках таких моделей. А именно, применительно к изученным в теории моделям управления запасами можно подчеркнуть следующее. 1) Разработанные в теории методы оптимизации стратегий управления запасами ориентированы на такие модели, которые при оценке и оптимизации соответствующих логистических издержек/доходов не учитывают имеющуюся на рынке временную структуру процентных ставок. Другими словами, критериальные функции в соответствующих задачах оптимизации стратегий управления запасами не учитывают временную стоимость денег. 2) Более того, при оптимизации систем управления запасами классические постановки задач формулируются, как правило, в виде задач минимизации суммарных годовых издержек, обуславливаемых доставкой товара, его хранением и т.п., а не как задачи максимизации рентабельности системы или, например, как задачи максимизации чистого приведенного дохода для денежных уходящих и приходящих потоков платежей, характеризующих работу таких систем. Естественно, что модификация соответствующих моделей управления запасами с учетом действующих на рынке процентных ставок и оптимизация таких моделей либо на основе максимизации рентабельности системы, либо на основе максимизации показателя чистого приведенного дохода приведет, вообще говоря, к другим (отличным от предлагаемых теорией) параметрам оптимальных стратегий. При этом также понятно, что менеджерам (аналитикам, экономистам, предпринимателям, бизнесменам), реализующим сегодня на практике конкретные стратегии управления запасами, необходимо знать, насколько существенными окажутся соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров стратегий управления, и насколько перспективными окажутся возможности повышения эффективности работы таких систем при учете временной стоимости денег в критериальных функциях. Для получения таких оценок требуется теоретическая разработка соответствующих модифицированных моделей стратегий управления запасами. Это, в свою очередь, требует разработки специального подхода или метода, основанного на представлении процессов, описывающих системы управления запасами, с помощью имеющих место денежных потоков и построения соответствующих критериальных функций. В данной работе анализируются различные модификации многономенклатурной системы управления запасами с постоянным спросом и с общими поставками, для которых найдены оптимальные стратегии управления запасами, позволяющие учитывать временную стоимость денег и максимизирующие показатель чистого приведенного дохода на основе использования вводимого показателя интенсивности потока доходов. Другими словами, в отличие от аналогичных классических моделей в данной работе при оптимизации стратегий управления запасами, дополнительно, для денежных потоков выплат издержек и потоков денежных поступлений учитываются заданные процентные ставки (по схеме простых процентов). При учете временной стоимости денег оптимизация стратегий управления запасами уже зависит (в отличие от классического случая) от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения, что представляется спецификой соответствующих контрактных условий выплат таких издержек. Поэтому указанная оптимизация стратегий управления запасами далее в этой работе реализуется применительно к следующим вариантам таких схем: 1) выплаты издержек хранения в соответствии со схемой, называемой в финансовом анализе «пренумерандо», что применительно к рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки соответствующей очередной партии заказа (т.е. непосредственно до реализации периода хранения партии товара); 2) выплаты издержек хранения в соответствии со схемой, называемой в финансовом анализе «постнумерандо», что применительно к рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки уже следующей 2 партии заказа (т.е. непосредственно после реализации периода хранения партии товара); 3) выплаты таких издержек в середине периода времени, в течение которого реализуется хранение партии товара, т.е. в середине периода времени между общими поставками. Для всех этих модификаций моделей систем управления запасами критерием оптимизации стратегии управления является максимизация чистого приведенного дохода при заданных объемах годовых поставок анализируемой номенклатуры товаров и заданной годовой ставке наращения в рамках схемы простых процентов. Соответствующая задача, в свою очередь, представляется как задача максимизации интенсивности доходов для уходящих и приходящих денежных потоков, характеризующих анализируемую систему. Найденные в данной работе оптимальные стратегии управления запасами в рамках указанной многономенклатурной модели с общими поставками при различных контрактных требованиях для схемы выплат издержек хранения сравниваются с предлагаемой стратегией в рамках классического аналога модели без учета временной стоимости издержек/доходов. Это позволяет проиллюстрировать соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров стратегий управления и имеющиеся возможности повышения эффективности таких систем управления запасами за счёт учёта действующей на рынке временной структуры процентных ставок. АТРИБУТЫ АНАЛИЗИРУЕМОЙ МОДЕЛИ Рассматриваем классическую многопродуктовую модель управления запасами с постоянным спросом, общими поставками и с учетом временной стоимости денег. Отметим следующие особенности модели и принимаемые далее обозначения: N произвольное количество видов или номенклатуры товаров, для которых реализуются общие поставки и которые далее называются соответственно i-товарами (i = 1, 2, … N); Di – объем годового потребления соответствующего i-товара; C0 – накладные расходы на поставку одной партии товара, не зависящие от объема партии ; СПi – стоимость единицы i-товара; РПi – прибыль от реализации единицы i-товара; С0Пi – издержки доставки единицы i-товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; 3 Сhi – годовые издержки хранения единицы i-товара; qi – размер i-заказа в партии при общих поставках (оптимизируемые величины для i=1, 2, …, N); Тоб – общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Тоб = qi /Di (также оптимизируемая величина); r – годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется в рамках схемы простых процентов. Подчеркнем, что в рамках анализируемой здесь модели, применительно к соответствующим денежным потокам, характеризующим работу системы управления запасами, также принимаем следующее: уходящие платежи соотносим с начальными моментами каждого соответствующего периода времени между поставками; приходящие платежи соотносим, в среднем, с серединами таких периодов (см. рис.). ЗАМЕЧАНИЕ. Для удобства иллюстрации соответствующих процессов, характеризующих изменения объемов запасов i-товаров во времени, для рассматриваемой модели управления запасами на рисунке условно принято, что D1 D2 … DN . При общих поставках это также соответствует не ограничивающему общности условно принимаемому допущению q1 q2 … qN . Объемы запасов qn … q2 q1 0 Tоб/2 Тоб 3Tоб/2 Время Уходящие платежи Приходящие платежи Уходящие платежи Приходящие платежи Рис. Схема потоков платежей на периоде поставки. 4 Пусть далее знак обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины рассматриваемых потоков платежей, очевидно, определяются следующим образом: уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) — C0 + C0Пi qi + CПi qi + Chi qi Tоб /2 ; подчеркнем, что здесь слагаемое C0 учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объемов i-товаров в поставляемой партии заказа ; слагаемое C0Пi qi учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объемов i-заказов; слагаемое CПi qi учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии i-заказов; наконец, слагаемое Chi qi Tоб /2 представляет издержки хранения на периоде поставки по всей группе товаров, которые, как уже отмечалось выше, соотносим к началу периода поставки, то есть в рамках рассматриваемой модели соответствующие выплаты принимаются пренумерандо; приходящие платежи (соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками) — (CПi + РПi) qi ; подчеркнем, что здесь СПi qi - возвращенная стоимость партии i-заказа, а PПi qi - соответствующая прибыль. ЗАМЕЧАНИЕ. При равномерном спросе возврат стоимости партии заказа (с соответствующей прибылью), естественно, реализуется по каждому i-товару также равномерно в течение всего периода времени между соседними общими поставками. Поскольку в рамках рассматриваемой здесь модели для учета временной стоимости денег (доходов/издержек) принимается схема начисления простых процентов, то нетрудно видеть, что, не ограничивая общности, можно соотносить, как уже указывалось выше, момент прихода всей соответствующей денежной суммы (CПi + РПi)qi с серединой интервала между общими поставками. 5 ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ МОДЕЛИ Классический подход к оптимизации стратегий управления запасами предполагает нахождение такой стратегии, при которой минимизируются суммарные (годовые) издержки на доставку и хранение товаров. В данной работе в отличие от классического подхода задача оптимизации стратегии управления запасами рассматривается как соответствующая задача финансового анализа, состоящая в максимизации чистого приведенного дохода для соответствующих уходящих и приходящих денежных потоков, причем на основе использования вводимого показателя интенсивности потока доходов (или прибыли). Показатель интенсивности потока доходов для систем управления запасами рассматриваемого типа удобно ввести (используя соответствующий периодический характер рассматриваемых денежных потоков с периодом Тоб) следующим образом. Как уже было отмечено выше, при анализе денежных потоков по всей интересующей нас номенклатуре товаров уходящие платежи на каждом периоде времени между поставками мы соотносим с моментом начала такого периода, а приходящие платежи - с его серединой (см. рис.). Понятно, что разность между соответствующими приходящими и уходящими платежами (с учетом процедур наращения суммы для уходящих платежей к моменту Тоб2 по заданной ставке наращения r как этого требуют правила финансового анализа) определяет доход (или прибыль) на одном периоде времени между общими поставками, причем этот доход соотнесен именно с серединой такого интервала. Если значение указанного дохода умножить на 1Тоб , то получаем показатель интенсивности потока доходов, т.е. доход за единицу времени (причем, в единицах измерения Тоб). Напомним, что далее в качестве такой единицы выбран год. Тот факт, что соответствующий доход (или прибыль) на интервале времени между общими поставками товара соотнесен именно с серединой такого интервала, позволяет в рамках процедур учета временной стоимости денег по схеме простых процентов легко интерпретировать показатель интенсивности потока доходов применительно к любым другим удобным для менеджера единицам измерения времени. Например, если показатель интенсивности потока доходов составляет, скажем, 360000 у.е. (за год), то применительно к интервалу времени длительности 112 (месяц) соответствующий эквивалент этого показателя составит 30000 у.е. (за месяц), а применительно к интервалу времени длительности 1360 (день) соответствующий эквивалент этого показателя составит 1000 у.е. (за день). Как видим, показатель интенсивности потока доходов является 6 удобным, доступным для понимания и простым в обращении средством оценки эффективности работы систем интересующего нас типа. При этом, чем больше значение этого показателя, тем больше и суммарная наращенная к концу года прибыль при заданной ставке наращения и заданных годовых объемах поставок для анализируемой номенклатуры товаров. Другими словами, понятно, что при указанных условиях любой менеджер будет стараться максимизировать именно такой показатель эффективности работы системы. Таким образом, требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов и соответственно суммарного чистого приведенного дохода при общих поставках по всей группе товаров в рамках рассматриваемой модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции ( обозначаем ее через F) : F max , где F = 1/Tоб [ qi (CПi + PПi) – (1 + r Tоб /2) (C0 + C0Пi qi + CПi qi + + Chi qi Tоб /2)], причем, qi и Tоб связаны равенствами Тоб = qi /Di . Здесь в соответствии с принципами финансового анализа и финансовой математики соответствующие платежи приведены к общему моменту времени. А именно, они приведены к середине периода поставок. В связи с этим уходящие (в начале такого периода) платежи наращены по ставке r к моменту Tоб /2. Кстати, напомним, что в соответствии с принятыми выше обозначениями параметр Тоб измеряется в годах, так что соответствующую размерность имеет и представленный здесь показатель F интенсивности потока доходов. Этот показатель легко приводится к требуемой или любой другой удобной единице времени. Действительно, учитывая принятую в рамках анализируемой модели схему начисления простых процентов (для учета временной стоимости денег) и выбранный способ представления эквивалентного результирующего денежного потока (соотнесение его с моментами, соответствующими серединам интервалов времени между общими поставками), легко видеть, что если, например, показатель интенсивности потока доходов необходимо привести к суткам, то следует соответственно значение F дополнительно домножить на 1/n, где n - число рабочих дней в году. Разумеется, наличие такого множителя не повлияет на процедуры определения интересующих нас параметров оптимальной стратегии управления в представленной выше задаче оптимизации. 7 СРАВНЕНИЕ С ЗАДАЧЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАНТА МОДЕЛИ Сравним анализируемую модель с классическим её аналогом, в рамках которого не учитывается временная стоимость денег (например, условно принимается, что r = 0) и, кроме того, затраты С0Пi на поставку единицы i-продукции принято включать в её стоимость (т.е. условно принимается, что С0Пi = 0). Для этого рассмотрим соответствующий (обозначим его через F0) частный вид приведенной выше целевой функции F для случая r = 0 и С0Пi = 0 (с учетом равенств Тоб = qi /Di ). В указанном случае задача оптимизации принимает вид F0 (Тоб ) max , где F0 (Тоб ) = Di (CПi + PПi) – CO T Di C пi об Di C hi Tоб 2 Опуская первое и третье слагаемые (не зависящие от выбора длительности периода времени Тоб между поставками), заменяя знак целевой функции на противоположный и раскрывая скобки получаем эквивалентную задачу оптимизации: CO Tоб Di C hi Tоб 2 min . Легко видеть, что полученная задача оптимизации (как частный случай поставленной выше задачи максимизации интенсивности доходов для рассматриваемой модели системы управления запасами) полностью эквивалентна задаче минимизации издержек в рамках классической многономенклатурной модели управления запасами с постоянным спросом. При этом оптимальные объемы или размеры i-заказов qiо (экономичные размеры i-заказов) определяются равенствами, известными как модификации соответствующей формулы Уилсона: qiо = Di Тобо , где оптимальное значение Тобо между общими поставками составляет длительности периода времени о Т об 2Со /( Di C hi ) . 8 ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ МОДЕЛИ ВЫПЛАТ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ ПРЕНУМЕРАНДО Для удобства записи соответствующей дополнительно, следующие обозначения. Пусть задачи введем, D = (D1, D2 , …, DN) – вектор годового потребления i-товаров; C h = (C1, C2 , …, CN ) – вектор соответствующих годовых затрат на хранение единицы i-товаров ; D C h - скалярное произведение векторов D и C h ; С опп - вектор, равный сумме векторов С оп = (Cоп1, Cоп2, … , CопN) и С п = (Cп1, Cп2, … , CпN); D С опп – скалярное произведение векторов D и С опп. Вернемся к анализу интересующей нас целевой функции F = F( Тоб ) в рамках рассматриваемой задачи максимизации интенсивности потока доходов для соответствующей системы управления запасами. Раскрывая скобки в выражении для F (с учетом равенств Тоб = qi /Di ) и упорядочивая слагаемые по степеням Тоб , домножая при этом для удобства на 2, причем опуская слагаемые, которые не зависят от Тоб , и меняя знак целевой функции на противоположный, перепишем задачу оптимизации в виде r 2 2C0 /Тоб Тоб ( D C h ) Тоб r( D С опп)+ Тоб2 ( D C h ) min . Анализируя последнее выражение для целевой функции легко видеть, что в этой записи первое слагаемое (специально выделенное и взятое в квадратные скобки), рассматриваемое как функция переменного Тоб в области Тоб > 0, имеет единственную точку минимума Тоб0 (напомним, что для нее справедливо равенство Тоб0 2C 0 , – см. D Ch приведенное выше сравнение с классической многономенклатурной моделью управления запасами при постоянном спросе в случае r = 0), для которой справедливы рекомендации, имеющиеся в теории применительно к соответствующей модели, но без учета временной структуры процентных ставок и, соответственно, без учета временной стоимости денег. При этом остальные слагаемые в последней записи соответствующей задачи минимизации, рассматриваемые (отдельно) как 9 функции переменного Тоб в интересующей нас области Тоб > 0 имеют минимум в точке Тоб =0. Теперь нетрудно видеть, что точка минимума (обозначим ее через Тоб* ) для функции F(Тоб ) окажется расположенной в интервале (0; Тоб0), т.е. левее рекомендуемой в теории точки Тоб0 применительно к модели, когда временная структура процентных ставок не учитывается. Другими словами, оптимальное значение Тоб* длительности периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег не совпадает с классическими рекомендациями. А именно, - оно всегда будет меньшим, т.е. всегда в условиях рынка, когда необходимо учитывать соответствующие процентные ставки, выполняется неравенство Тоб* < Тоб0 . При этом, естественно, и для значений оптимальных объемов i-заказов qi* в поставляемой партии также выполняются неравенства q i* < q i0 , где qi0 - рекомендуемые в теории (без учета временной стоимости денег) объемы i-заказов при общих поставках. Насколько велико соответствующее расхождение для этих основных параметров стратегии управления запасами и какие возможности для повышения эффективности системы дает учет временной стоимости денег можно будет увидеть из дальнейшего анализа. ПАРАМЕТРЫ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального периода времени Тоб* между общими поставками по соответствующей группе товаров. Для его нахождения составим уравнение F(Тоб ) = 0, т.е. уравнение ( D C h ) r( D С опп ) Тоб r( D C h ) 2C0 /(Тоб )2 = 0 . Понимая, что для интересующего нас корня Тоб* этого уравнения имеет место неравенство Тоб* < Тоб0 будем искать оптимальное значение длительности интервала времени между поставками в виде Тоб* = Тоб0 / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения Тоб0 (оптимального периода между общими поставками, но без 10 учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение для этого показателя (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение Тоб / z вместо Тоб получаем уравнение относительно неизвестного z в области z 1, которое после несложных преобразований приводится к следующему виду: D CОПП r Z 3 Z 1 r D Ch 2С0 D Ch 0 Как видим, мы получили уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z2, т.е. к виду z3 + pz + g = 0.При этом, подчеркнем, что в нашей ситуации имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z0) определяется по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1974] ) : z0 2 p cos , 3 3 где cos Применительно к интересующему нас формулы, позволяющие находить корень z0 : z0 2 где cos 3r g p 2 3 3 . уравнению получаем 1 r D C ОПП cos , 3 3 D Ch 3 3C 0 ( D C h ) 2 2( D C h r ( D C ОПП )) 3 . Наконец, при известном значении z0 оптимальная величина длительности Тоб* периода времени между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов qi* , максимизирующие интенсивность 11 потока доходов и суммарный чистый дисконтированный доход для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег, находятся, окончательно, по формулам Тоб* = Тоб0 / z0 qi* = Тоб* Di . ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемые параметры (оптимальная длительность периода времени Тоб* между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов qi* в партиях поставок) не зависят от показателей РПi , характеризующих прибыль на единицу i-товара. Действительно, ни значение cos , ни значение z0, ни значение Тоб0, определяющие интересующий нас показатель Тоб* , не зависят от величин РПi . При этом, естественно, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации) будет зависеть от указанного показателя. ПРИМЕР. Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения интересующих нас параметров оптимальной многономенклатурной стратегии управления запасами с общими поставками в рамках рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег, а также для иллюстрации отклонений основных показателей такой оптимальной стратегии по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим следующую условную ситуацию с тремя видами продуктов. Пусть параметры модели соответствуют классическому примеру из книги Дж. Букан, Э. Кенигсберг Научное управление запасами. – М.: Наука, 1967. Они представлены в следующей таблице. Табл. 1 Показатели, характеризующие запасы трех видов продукции Продукт Годовое потребление Di Издержки хранения Сhi 1 D1 = 12000 2 D2 = 25000 3 D3 = 6000 Ch1 = 0,6 Ch2 = 0,4 Ch3 = 1,2 12 Стоимость ед. товара Спi Cп1 = 3 Cп2 = 2 Cп3 = 6 Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем Cопi = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, пусть при общих поставках накладные расходы на одну поставку составляют С0 = 40 (у.е.). Также для определенности считаем, что Рпi / Cпi = 0.5 (для всех видов продуктов) и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r = 0,2. Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами с общими поставками как для модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой. РЕШЕНИЕ. Прежде всего заметим, что в рамках рассматриваемого примера имеем: D = (12000; 25000; 6000) , C h = (0,6; 0,4; 1,2) , так что ( D C h ) = 24400 , (т.к. 24400 = 120000,6 + 250000,4 + 60001,2); С опп = С п = (3; 2; 6) , т.к. Сопi = 0; D С опп = D С п = 122000 (=120003 + 250002 + 60006). Теперь сначала представим оптимальную стратегию для случая классического варианта модели, когда временная стоимость денег не учитывается. При этом для Т обо 2Со /( Di Chi ) имеем Тоб0 = 0,05726 (или 21 день). Соответственно такой рекомендации при общих поставках этих товаров получаем: объемы i-товаров в заказе – q10 = 687, q20 = 1431, q30 = 344 ; годовые издержки хранения (обозначим их через Хi0) по видам i-товаров – Х10 = 206, Х20 = 286, Х30 = 206 (у.е.); накладные расходы на поставки товаров за год составят 707 (у.е.). 13 Для нахождения оптимальной стратегии в данной ситуации, но уже с учетом временной стоимости денег, предварительно находим значение соответствующего cos: cos 3r 3C0 ( D C h ) 2 2( D C h r ( D C ОПП )) 3 3 0,2 3 40 (24400) 2 , 2(24400 0,2 (122000)) 3 т.е. cos = 0,01052. Затем, переходя к arccos (как видим, для данной ситуации он, практически, соответствует 90°) находим значение cos 0,867. После 3 этого определяем значение показателя z0: z0 2 1 r D C ОПП 1 0,2 122000 cos 2 0,867 , 3 3 D Ch 3 3 24400 3 т.е. z0 = 1,418 (с точностью до 10-3). ЗАМЕЧАНИЕ. В соответствии с принятыми численными значениями показателей, характеризующих рассматриваемую многономенклатурную систему управления запасами с общими поставками, полученное ранее кубическое уравнение относительно неизвестного z (для определения z0 ) имеет в этой ситуации вид z3 – 2z – 0,01374 = 0 . Отметим, что при найденном в этом примере значении zо = 1,418 левая часть этого равенства принимает значение 2,85121 – 2,836 – 0,01374 0,00147 Как видим, при выбранной точности расчетов для z0 (до 10-3) получаем достаточно хорошее приближение. Положительный знак для получившегося значения левой части уравнения (+0,00147) показывает, что при более точном определении z0 будет несколько меньшим (например, проверьте значение z0 1,4177 , которое даст более точное приближение при точности до 10-4). Определив значение z0 = 1,418, переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами в рамках рассматриваемого примера. А именно, соответствующее оптимальное 14 значение Тоб периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег для рассматриваемого случая составляет Тоб = Тоб0 / z0 = 0,05726 / 1,418 = 0,040. Соответственно, в оптимальном случае с учетом временной стоимости денег при общих поставках этих товаров имеем: объемы товаров в заказе – q10 = 479, q30 = 239 ; издержки хранения Хi0 (годовые) по видам i-товаров – Х10 = 143, q20 = 998, Х20 = 200, Х30 = 143 (у.е.); накладные расходы на общие поставки по анализируемой группе товаров за год составят 1002 (у.е.). Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое теорией значение периода времени между общими поставками в рамках рассматриваемого примера равняется Тоб0 = 0,05726 ( 21 день). Учет временной стоимости издержек/доходов приводит соответственно к оптимальному значению этого показателя, которое в нашем примере составляет Тоб = 0,04 ( 14 дней). Как видим, отклонение для периода времени между общими поставками партий заказов от оптимального с учетом временной стоимости денег соответствует в данной ситуации ошибке порядка 43%. Понятно, что такая ошибка приведет к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим соответствующее отклонение показателя интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев: 1) при T =Tоб = 0,04 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов); 2) при T = Тоб0 = 0,05726 (стратегия реализуется по рекомендациям без учета временной стоимости издержек/доходов). Случай 1. При стратегии, использующей показатели Tоб и qi для интенсивности доходов Fmax (годовой) имеем: Fmax = 122+61–( 1+ 0,20,04 / 2)(0,04 / 0,04 +122+ 24,40,04 / 2) = 59,02 (тыс. у.е./год) 15 Тоб 0 Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели и qi0 для интенсивности доходов F0 (годовой) имеем: F0 = 122+61–(1+ 0,20,05726/2)(0,04/0,05726+122+24,40,05726/2)= 58,88 (тыс. у.е./год) Как видим, разность Fmax – F0 в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров имеет порядок 140 у.е. (за год) несмотря на некоторое увеличение общих издержек ( 83 у.е./год). Такая разность в интенсивностях доходов может, на первый взгляд, показаться не очень значительной. Однако, необходимо еще дополнительно учесть, что в реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между общими поставками товаров соответственно уменьшается и объем страхового запаса по этим товарам, а следовательно и замороженные в таком запасе вложенные в товар деньги. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным. МОДИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В СЕРЕДИНЕ ПЕРИОДА ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ПОСТАВКАМИ ТОВАРА Рассмотренная выше исходная модель предполагала, что выплаты издержек за хранение товара реализуются пренумерандо (т.е. в начале периода поставки). В общем случае такие выплаты могут осуществляться, как уже отмечалось выше, и по другим схемам. Далее в этом пункте рассмотрим (в кратком изложении) модификацию исходной анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их в середине периода времени между поставками товара. В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом Tоб/2 (середина интервала между поставками). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом: • уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) – C0+ Cопi qi + Cпi qi 16 • уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) – Chi qiТоб/2 При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов Fmod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид: Fmod max где Fmod = 1 qiCпi+Pпi - ChiTоб /2 - 1+rTоб /2C0+qiCопi+qiCпi, Т об причем, как и ранее, qi и Tоб связаны равенствами Tоб = qi /Di. Раскрывая скобки в выражении для Fmod, избавляясь при этом от параметров qi (с учетом равенств Tоб = qi /Di), а также меняя знак всего выражения на противоположный и отбрасывая члены, не содержащие интересующий нас параметр Тоб оптимальной стратегии (для оптимизации длительности периода времени между общими заказами) перепишем задачу оптимизации в виде 2CО Tоб (( D C h ) r ( D C ОПП )) min Tоб . Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение Тоб(mod) длительности периода времени между общими поставками для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов: Тоб(mod) = 2C0 . D C h r D Cопп Соответственно для оптимальных значений qi*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем qi*(mod) = Di Тоб(mod). Полученная формула для Тоб(mod) обобщает соответствующую известную классическую формулу. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r =0), то в этом случае формулы для 17 Тоб(mod) и Тоб0 совпадают. В общем случае, когда r 0, формула для Тоб(mod) является обобщением формулы для Тоб0. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Тоб(mod), приведут к меньшим размерам партии заказа и соответственно к более частым поставкам. Для оценки соответствующего расхождения и иллюстрации возможностей повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости издержек/доходов при анализе оптимальной стратегии управления запасами обратимся к условиям рассмотренного выше примера. ПРИМЕР (продолжение для модифицированной модели). Найдем оптимальную стратегию в рамках модифицированной модели с учетом временной стоимости денег. Для этого воспользуемся представленной выше формулой, определяющей соответствующую оптимальную длительность периода времени между общими поставками: Тоб(mod) = 2C0 = D C h r D Cопп 2 40 = 0,0405 24400 0,2 122000 (напомним, что для удобства сравнения результатов с аналогичными для классической модели, но без учета временной стоимости денег, в рамках нашего примера ранее было условно принято Соп=0, причем было уже определено, что D C h = 24400 и D C ОПП = 122000). При этом для интенсивности доходов (обозначим ее через Fmax(mod) ), соответствующей оптимальной стратегии в рамках модифицированной модели имеем: Fmax(mod) =122+61–24,40,0405/2 –(1+0,20,0405/2)(0,04 / 0,0405+122) = = 59,02 (тыс. у.е./год) А при стратегии, использующей соответственно показатели qi0 и Тоб0 в рамках рассматриваемой модификации модели для интенсивности доходов (обозначим ее через F0(mod)) имеем: F0(mod) =122+61–24,40,05726/2–(1+0,20,05726/2)(0,04 /0,05726+122) = = 58,9 (тыс. у.е./год) 18 Как видим, разница Fmax (mod) - F0(mod) в интенсивности потока доходов (годовой) за счет учета временной структуры процентных ставок для этой модифицированной модели оказывается несколько меньшей, чем аналогичная разница Fmax - F0 в рамках ранее рассмотренной исходной модели (при выплате издержек хранения пренумерандо). А именно, здесь она имеет порядок 120 (у.е./год) по анализируемой группе товаров (вместо 140 у.е./год для указанной исходной модели). Соответственно, как видим, при схеме выплат издержек хранения в середине периода времени между поставками эффект повышения интенсивности доходов за счет учета временной стоимости денег становится несколько меньшим. Тем не менее суммарный эффект по всей номенклатуре товаров (если такая номенклатура измеряется сотнями или даже тысячами наименований) будет весьма существенным. Наконец, подчеркнем следующее. Сравнивая найденные значения параметров qi(mod) и Тоб(mod), характеризующих оптимальную стратегию для модифицированной модели, с аналогичными для исходной модели (qi* и Тоб*), легко видеть, что в рамках рассмотренного примера они практически совпадают. Нетрудно проверить, что такое совпадение не обуславливается атрибутами именно рассмотренного примера. В частности, если изменять показатель стоимости единицы товара, сохраняя при этом в процентном отношении тарифы для издержек доставки и хранения товара, а также показатель рентабельности для единицы товара и значение ставки наращения, то каждый раз при фиксированном годовом потреблении будем получать соответственно практически совпадающие рекомендации для оптимальной стратегии применительно к обеим указанным моделям. ОСОБЕННОСТИ СТРАТЕГИИ ПРИ ВЫПЛАТЕ ИЗДЕРЖЕК ХРАНЕНИЯ В КОНЦЕ ПЕРИОДА ПОСТАВКИ В представленных выше моделях стратегий управления запасами (исходная модель и её модификация) моменты времени выплат издержек хранения принимались относящимися соответственно к началу периода поставки (выплаты пренумерандо) и к середине периода времени между поставками. В зависимости от контрактных условий схема выплат этих издержек может также предполагать реализацию соответствующих платежей, в частности, и в конце периода поставки (т.е. при поступлении очередной партии заказа). Поэтому дополнительно рассмотрим (также в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек 19 хранения постнумерандо, т.е. в конце каждого периода поставки. Соответственно потоки уходящих платежей будут представлены в виде: уходящие платежи, соотносимые с началом периода поставки – Cо + ∑Cопi·· qi + ∑Cпi ·qi; уходящие платежи, соотносимые с концом периода поставки – ∑Chi qi · Тоб /2. При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через Fпост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандно с учётом временной стоимости денег принимает вид: Fпост max , где FПОСТ 1 Tоб T qi C Пi PПi 1 r об CО CОПi qi C Пi qi 2 T T 1 r C hi qi об 1 об , Tоб 2 1 r 2 причём, как и ранее, величины qi и Tоб связаны равенствами Тоб =qi /Di. Заметим также, что здесь выплаты ∑Сhiqi · Tоб /2 (относящиеся к концу периода поставки) продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Тоб/2 с учётом соответствующего значения дисконта d = r/(1+r). После несложных преобразований интересующая нас задача оптимизации легко приводится к виду 2Со 1 r 2 Т об D C h Т об D C h r Т об D C ОПП min Т об 2 1 r (здесь, как и ранее, С ОПП = С ОП + С П ), который, практически, полностью соответствует задаче оптимизации стратегии управления запасами для 20 рассмотренной выше исходной модели. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с исходной моделью (выплаты этих издержек пренумерандо) отражается аналитически только наличием дополнительного множителя -1/(1+r) в слагаемом, содержащем Тоб2 . Легко видеть, что при этом также будут иметь место неравенства qi*(пост) < qi0 , Тоб*(пост) < Тоб0, где через qi*(пост) обозначено оптимальное значение размеров партии iзаказов, а через Тоб*(пост) – оптимальное значение длительности периода времени между общими поставками в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения постнумерандо. Кроме того, используя представленные выше (для исходной модели) методы определения параметров оптимальной стратегии управления запасами с учётом временной стоимости денег для анализируемого случая соответственно получаем следующее. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа qi*(пост) и оптимальный период поставок Тоб*(пост) можно находить по формулам qi*(пост) = Тоб*(пост) ·Di , Тоб*(пост) = Тоб0 / о (пост), где 1 r D C ОПП Z o пост 2 сos ( ) , 3 3 3 D Ch причём 2 27 C 0 D C h r сos (1 r ) 2 D C h r D C ОПП 3 . Для сравнения параметров оптимальной стратегии, относящихся к случаю выплаты издержек хранения в конце периодов поставки (выплаты постнумерандо), с аналогичными, но относящимися к ранее представленным аналогам интересующей нас модели, вернёмся к условиям рассмотренного выше примера. 21 ПРИМЕР (продолжение: выплаты издержек хранения постнумерандо). Найдём в условиях рассмотренного выше условного примера соответствующую оптимальную длительность периода времени между общими поставками Тоб*(пост) и оптимальные размеры qi*(пост) iтоваров в партии заказа. А именно, для значения cos в этом случае имеем (напомним снова, что в рамках нашего примера ранее было условно принято Соп= 0, причем было уже определено, что D C h = 24400 и D C ОПП = 122000) : cos 0,2 27 40 24400 0,008766 1 0,2 2 (24400 0,2 122000) 3 2 (сравните со значением cos =0,0105 для случая выплат издержек хранения пренумерандо). Соответственно далее имеем cos( ) =0,865 и z0=1,413. При 3 этом (учитывая, что в рамках нашего примера Тоб0 = 0,05726 или, примерно, 21 день) для основных параметров оптимальной стратегии управления в этом случае имеем Tоб*(пост) = Тоб0 / о(пост) = 0,05726 = 0,040524 (или ≈ 14 дней) 1,413 q1*(пост) = Tоб*(пост) ∙D1 =0,040524∙ 12000 ≈ 486 (ед. тов.) q2*(пост) = Tоб*(пост) ∙D2 =0,040524∙ 25000 ≈ 1013 (ед. тов.) q3*(пост) = Tоб*(пост) ∙D3 =0,040524∙ 6000 ≈ 243 (ед. тов.) Оценим также соответствующее отклонение показателей интенсивности доходов в рамках рассматриваемого примера при выплате издержек хранения постнумерандо для интересующих нас двух случаев: 1) при T =Tоб = 0,0405 (стратегия реализуется с учетом временной стоимости издержек/доходов); 2) при T = Тоб0=0,05726 (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов). Случай 1. При стратегии, которая использует показатели Tоб(пост) и qi(пост) для интенсивности доходов Fпост* (годовой) имеем: 22 Fпост* = 122+61–( 1+ 0,20,0405/2)(0,04/0,0405+122)– - (1- 0,20,0405/1,2·2)∙0,040524,4 / 2 = 59,04 (тыс. у.е./год) Тоб 0 Случай 2. При стратегии, использующей соответственно показатели и qi0 для интенсивности доходов Fпост0 (годовой) имеем: Fпост0 = 122+61–(1+ 0,20,05726/2)(0,04/0,05726+122)– - (1- 0,20,05726/1,2·2)∙0,0572624,4 / 2 = 58,90 (тыс. у.е./год) Как видим, разница Fпост* – Fпост0 в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товаров при выплате издержек хранения пренумерандо снова (как и для исходной модели) имеет порядок 140 у.е. (за год) . При этом, найденные значения параметров qi*(пост) и Tоб*(пост) оптимальной стратегии управления запасами для случая выплат издержек хранения постнумерандо также, практически, совпадают как с соответствующими параметрами qi* и Тоб* для случая выплат издержек хранения пренумерандо (исходная модель), так и с параметрами qi*(mod) и Тоб*(mod), характеризующими оптимальную стратегию управления запасами модифицированной модели. Заметим, что имеющиеся весьма незначительные расхождения будут, очевидно, соответствующим образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размеров заказов по i-товарам в общих партиях поставок до приемлемого целого значения. При этом расхождение с классическими рекомендациями, когда не учитывается временная стоимость денег (параметры qi0 и Тоб0 ), как видим, оказывается значительным. Результаты представленных здесь исследований соответственно позволяют сделать следующие выводы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Разработанные в классической теории многономенклатурные модели оптимальных стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем за счет учета действующих на рынке процентных ставок и временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. Учет особенностей схем выплат издержек хранения в таких моделях мало влияет на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек. 23 В частности, приведенные выше простые формулы, определяющие параметры Тоб(mod) и qi*(mod) оптимальной стратегии для модифицированной модели можно использовать (соответствующие расхождения нивелируются из-за необходимости округлений результатов для размеров количества i-товаров в партии заказа до приемлемого целого значения) как для нахождения параметров оптимальной стратегии применительно к исходно рассмотренной модели, так и для нахождения параметров оптимальной стратегии при выплате издержек хранения в конце периодов общих поставок. Это позволит избежать неприятных процедур решения соответствующих кубических уравнений. При этом суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным. Надеемся, что приведенные в данной работе результаты исследования помогут менеджерам, работающим в области управления запасами, по-новому ставить и решать задачи оптимизации соответствующих стратегий управления, достигая при этом лучших результатов, причем без дополнительных затрат капитала фирмы. Работа выполнена при поддержке индивидуального исследовательского гранта ГУ-ВШЭ 2005 г. «Возможности повышения эффективности стратегий управления запасами при учете временной стоимости издержек/доходов». АННОТАЦИЯ Стоит ли при оптимизации стратегии управления запасами учитывать временную стоимость денег? Учитывать ли специфику контрактных условий, связанных с моментами выплат издержек хранения? Чтобы получить ответы на эти вопросы в статье анализируется оптимальная стратегия для многономенклатурной модели управления запасами с учетом указанных особенностей. Показано, что специфика различных схем выплат издержек хранения мало влияет на параметры оптимальной стратегии. При этом, однако, возможности повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости денег могут оказаться весьма существенными. 24
