Многогранники: призма и пирамида

Богданова Вильора Равильевна, учитель математики высшей
квалификационной категории МАОУ СОШ №14
Тема урока: « Многогранники: призма и пирамида», 10 класс
Форма представления: Стендовый урок.
Применяемая технология- технология проблемного обучения.
Идея урока – удивление на уроке – мотивирует обучающихся к поискам
ответов на проблемный вопрос. Урок построен на основе метода сравнения,
сопоставления пирамиды с остальными известными геометрическими
телами и анализе полученных результатов. По типу - урок вводного
обобщения, структура которого позволяет обучающимся увидеть
перспективу и выстроить собственную образовательную траекторию.
Передо мной как перед учителем стоит задача сделать шаг от незнания
к пониманию, то есть самое главное – дать детям в руки инструмент
познания, расширить границы познания. На мой взгляд, самый важный итог
образования вообще и каждого конкретного урока – научить ребенка
понимать окружающий мир, научить решать задачи, не только
математические, но и которые перед ними ставит жизнь. Я стараюсь учить
детей решать задачи не по подобию, а видеть и понимать смысл
математических действий, полученного знания и его практическую
применимость.
Процесс обучения математике в школе включает три основные
составляющие:
– объяснение нового материала;
– самостоятельная работа;
– опрос учащихся.
Объяснение нового материала является эффективным, если содержание
передаваемой информации и форма её подачи обеспечивают необходимую
активность учащихся, и от того, как учитель организует объяснение, во
многом зависит качество их знаний. Нередко при изучении геометрии
параграф начинается сразу с определения или формулировки теоремы,
поэтому учителю самому приходится продумывать вводные замечания,
связывать данную тему с предыдущей, создавать проблемные ситуации,
подыскивать материал, который бы заинтересовал учащихся. Например,
урок, посвящённый многогранникам, в частности пирамиде, можно начать
сразу с определения, а можно начать так:
Арабская пословица гласит: « Все на свете боится времени, а время боится,
пирамид». Не правда ли, услышав ее, вы чувствуете дуновение вечности? А
почему все-таки время боится пирамид?
Ваши предложения?
Обладают какими-то свойствами. С ними ничего не происходит. Прочные
(термин из сопротивления материалов) и устойчивые (термин строительной
механики).
Парусность – давление ветра на поверхность. Кантование – переворачивание.
Практически все из названных свойств – знания из разных областей науки
или вашего личного опыта. Встречались ли вам пирамиды в видимой
природе? Приведите примеры пирамид. Согласны ли вы, что горы –
пирамиды? Горы – конические формы.
Несмотря на трепетное чувство перед величием пирамид, приблизимся к
ним, и попробуем с помощью математики ответить на вопрос : Почему
время боится пирамид?
Определите, что такое пирамида?.
Пирамида – геометрическое тело. Какие геометрические тела вы знаете?
Все названные геометрические тела можно отнести к двум видам, изучаемым
в школе: многогранники и тела вращения .
Почему из всего многообразия названных тел время боится именно пирамид?
Чтобы ответить на наш вопрос, давайте попробуем сравнить геометрические
тела. Т.е применим метод сравнения и сравним пирамиду со всеми
остальными известными вам геометрическими телами.
Сравнение помогает глубже понять предметы и явления.
С помощью сравнения устанавливается сходство и различие предметов и
явлений при определенных признаках
Что для этого надо сделать ? Для того, чтобы сравнивать, то есть решить
проблему (как сравнивать?) необходимо:
1. Выбрать стратегию сравнения, определить признаковое сходство или
различие; разбить объекты на однородные группы, классифицировать
их, определить единицы сравнения и выделить некоторые из них,
которые имеют некие общие элементы. Это общеизвестный метод
сравнения, использованный в истории математики Гольфридом
Вильгельмом Лейбницем.
2. Результаты анализа представить в виде таблицы.
Итак, формулируем признаки:
Форма (характеризуется количеством элементов и их взаимным
расположением) пирамида относится к многогранникам.
Размер (площадь, объем)
Перевернуть рабочие листы. Сегодня на уроке мы рассмотрим частные
случаи многогранников;
Сравниваем многогранники. Призма и пирамида.
Даются определения: Что такое призма?
Какие примеры мы знаем? Примеры призм в видимой природе – пчелиные
соты, друзы камней.
Что такое пирамида?
С какими пирамидами вы встречались? (египетские, финансовые,
социальные).
Определение элементов призмы и пирамиды. Как называются
многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях?, Что такое боковое
ребро? Как называются стороны многоугольника? Что такое высота призмы?
Как называется точка, не лежащая в плоскости многоугольника? Как
называется многоугольник?, как называется отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с вершиной основания? (или что такое боковое ребро?)
Задача : на вычисление элементов призмы и пирамиды. Задаем условие.
Вывод: два основания, одно основание.
Достаточно ли нам полученного результата для того, чтобы ответить на наш
вопрос, почему время боится пирамид?
Нет, данных по этому критерию недостаточно; переходим к следующему
критерию. Фиксируем, что мы рассматриваем частный случай правильной
пирамиды и правильной призмы с одинаковой высотой и площадью полной
поверхности. (Выделяем одинаковые элементы). В противном случае мы их
не сравним.
Определение площади полной поверхности призмы и пирамиды. Что
такое площадь боковой грани, как вы думаете? Что такое площадь боковой
поверхности? Площадь полной поверхности?
Теперь сравним пирамиду и призму по площадям оснований при равных
значениях площадей полной поверхности и равных высотах.
Задача на вычисление площадей оснований призмы и пирамиды, если
площади полных поверхностей призмы и пирамиды равны, высоты равны
Площади поверхностей одни и те же, высоты одни и те же, найти основания.
решили, сделали вывод: S основания призмы< основания пирамиды ,написали
результаты.
Вы математически подтвердили гипотезу , что пирамида при заданных
условиях более устойчива, но у нас есть еще критерии
Чтобы выявить особенности фигур, нужно сравнить объемы.
Так давайте поработаем с объемом. Известны ли вам формулы для
вычисления объемов тел? Как получены эти формулы? Как можно
сравнивать объемы, если формулы разные? Откуда взялся этот коэффициент
1/3?
Можно ли сравнить объемы призмы и пирамиды? Всегда ли?
Можно, при условии равенства площадей полной поверхности и равных
высот. А если что-то различается, можем ли мы сравнить объемы?
Сравнивать неудобно. Задача сводится к сравнению алгебраических величин.
Для удобства сравнения нужна унифицированная формула , с
доказательством которых познакомимся. Равны ли объемы прямой и
наклонной призмы?
Вывод объема призмы. ( метод Кавальери). Бонавентура Кавальери,
итальянский математик. Развил новый метод определения площадей и
объемов, так называемый "метод неделимых". По принципу Кавальери V
наклонной призмы равен S h.
Вывод общей формулы для вычисления объемов тел через предел
интегральных сумм. Знак интеграла ввел Г.В. Лейбниц, который обозначал
суммы вытянутой буквой S. Название интеграл принадлежит ученику
Лейбница Я.Бернулли.
С выводом объема пирамиды познакомитесь в 11 классе. V пирамиды
равен 1/3S h
Задача на вычисление объемов призмы и пирамиды.
При условии равенства площадей полной поверхности и высот призмы и
пирамиды, решили ,написали результат: Vпирамиды < Vпризмы.
Проанализируем результат. Ч то это значит?
Как вы думаете, каким должно быть оптимальное соотношение площади
поверхности и объема? Максимальным.
При минимальной площади поверхности должен быть максимальный объем.
Это – закон природы. Все стремится к минимальным энергозатратам.
Поэтому человек не может быть великаном, а теплокровные меньше
землеройки.
Так целесообразно ли существование данного тела в природе? При равных
площадях поверхностей объем пирамиды меньше, т.е.она абсолютно
нецелесообразна по объему. Природа не терпит нецелесообразности.
Помните, в начале урока мы пытались привести примеры пирамид в
видимой природе? Данные результаты объясняют нам, почему мы не нашли
пирамиду. Можно предположить, что человек создал пирамиду. Это продукт
человеческой мысли. Пирамида уникальна. Она абсолютно устойчива, и
абсолютно нецелесообразна по объему.
Используя все, чему вас научили в школе, проанализируем данные таблицы
Сравним результаты.
1) какой из многогранников более устойчив? Почему?
2) У какого многогранника центр масс ниже?
3) Какую фигуру проще кантовать?
4) Парусность у какого многогранника больше?.Почему? S боковой поверхности
пирамиды больше и как следствие - граница воздействия окружающей
среды. У какого многогранника она меньше? У пирамиды. И свойства
наклонных поверхностей (отражение воздушного потока за счет
наклона граней пирамиды) позволяют пирамиде отражать воздушные
потоки.
5) При условии равенства площадей полной поверхности и высот, у
какого тела больший объем?
Сейчас мы попытались ответить на вопрос : Почему время боится пирамид?
средствами математики.
В связи с этим любопытно было бы обратить внимание еще на одно "чудо",
которое могло бы служить образцом того, как "чудеса" вообще составляются.
Речь пойдет о самом, пожалуй, знаменитом ныне химическом веществе - о
дезоксирибонуклеиновой кислоте, сокращенно - ДНК, то есть о "веществе
наследственности". Одна и та же пирамидальная структура лежит в основе и
постройки древних, и в основе молекулы ДНК.
Вряд ли строители пирамиды Хеопса представляли себе структуру ДНК. То,
что древние строили пирамиды, очень символично. Трудно однозначно
предположить, что послужило видимым прообразом. Ответа на этот вопрос
наука и сегодня дать не может.
Обобщите полученное сегодня знание и ответьте на вопрос: Почему время
боится пирамид?
Наверное потому, что это символ человеческой мысли, продукт
человеческого разума.
Можем предположить, что мир боится человеческого разума, которому
подвластны и время и пространство и возможности человеческого разума
безграничны.
Подведем итоги нашего урока. Что же мы сегодня с вами сделали?
В поисках ответа на вопрос: Почему время боится пирамид, мы достигли
определенных результатов:
1) классифицировали геометрические тела,
2) познакомились с двумя видами многогранников;
3) дали определения им и их элементам;
4) вывели формулы для вычисления площадей полной поверхности призмы и
пирамиды;
5) познакомились с методом интегрального исчисления;
Ответили ли мы на вопрос: Почему время боится пирамид?
В нашей гипотезе – да.
Но окончательного ответа пока нет.
Но у вас впереди много времени и используя приобретенный метод анализа
и поиска ответов на вопрос, каждый из вас сможет найти свой собственный
ответ.