вариации алгоритма построения оптимального по cc

О ТЕХНОЛОГИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА ИСТОРИЧЕСКИХ
РЯДАХ В МОДЕЛЯХ ИПОТЕКИ
Гасанов И.И.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, г. Москва
[email protected]
Ключевые
слова:
ссудно-сберегательная
касса,
ипотечное
кредитование,
очередь,
самофинансирование, очередь, инвестиционный проект Компании (Банка), внутренняя норма
прибыли.
Введение
Как неоднократно отмечалось в работах группы ВЦ РАН по ипотечному кредитованию [1-3],
на практике функционирование объединений ипотечных заёмщиков (в частности, в форме
очереди) сопряжено с рисками, обусловленными неопределенностью в изменении рыночных
ставок ut , t ,  t и цен на жилье C t . Рассмотрим вопрос, как изменение этих параметров рынка
влияет на финансовые показатели очереди. Для этого построим некоторую модель динамики цен и
рыночных ставок в виде стохастического процесса и проведем статистические испытания,
рассчитывая финансовые показатели очереди при разных реализациях этого процесса.
Модель очереди имеет вид из [1], описанный в тезисах настоящего сборника [4].
1. Автономная работа ССК в условиях случайного роста цен.
В основу изменения параметров рынка положим изменение темпа инфляции. Пусть
~
It  I 0  It ,
~ ~
~ ~
~ ~
~
~2
I t 1  I t  h0  t  h1  ( I t  I t 1 )  h2  ( I t 1  I t 2 )  sign ( I t ) h3  I t .
Здесь I 0 – среднее значение темпа инфляции,  t – случайная величина со стандартным
нормальным распределением, h0  h3 константы, регулирующие амплитуду колебаний темпа
инфляции.
Рассматриваются два экономических сценария: со средним значением инфляции I 0  2 и
I 0  10 .
Будем предполагать, что темп изменения цен на жилье a колеблется около темпа инфляции
по следующему закону.
at  (1 d t ) I t ,
d t  h4  d t 1  h5  t .
Здесь  t – случайная величина со стандартным нормальным распределением, h4 , h5 –
коэффициенты, регулирующие амплитуду колебаний величины d t .
Пусть ставки ut , t ,  t изменяются один раз в год и линейно зависят от темпа инфляции.
I 0 10 :
~
~
u~ 2 ,  2 , ~ 2 , u~ 10 ,  10 , ~ 10 . Ставки ut ,  t ,  t рассчитывались следующим образом. Если I R (t )  0 ,
~
~ ~
то  t  2  ( 10  2 ) ( I R( t )  2) / 8 , иначе  t  0 . Здесь через  обозначена ставка u ,  либо  , I R (t )
Были
выбраны
базовые
значения
этих
ставок
для
сценариев
I0 2
и
– инфляция за календарный год R , предшествующий моменту t . Отметим, что при темпах
инфляции 2 и 10 ставки принимают базовые значения.
Значения констант h0  h5 подбирались исходя из следующих требований. Для темпа
инфляции I t и отклонений темпа изменения цен на жилье от I t величины d t задавались
некоторые границы. Выбирались такие значения параметров h0  h5 , при которых на промежутке в
60 лет (максимальное время жизни очереди 1.2) вероятность выхода значений I t и d t за каждую
из заданных границ была около 10%. Для сценария I 0  2 такими границами для I t были выбраны
0 и 4, а для d t – -4 и +4. Для сценария I 0 10 границами для I t были выбраны 5 и 15, а для d t – 10 и +10. Кроме того, для того, чтобы отразить изменчивость показателей I t и d t , параметры
h0  h5 выбирались так, чтобы на промежутке времени в 60 лет число периодов, в течение которых
сохраняет знак разность I t  I 0 и число периодов, в течение которых сохраняет знак разность
I t  dt , было в среднем около 20-ти.
Параметры h0  h5 настраивались методом Монте–Карло. Для этого использовался
"полигон", составленный из реализаций случайных величин  t ,  t . Полигон  состоит из 500
строк, каждой из которых сопоставлена одна из реализаций случайного процесса. Строка
содержит 240 пар значений ,  , что при  1/ 4 соответствует продолжительности процесса в 60
лет. На этом же полигоне проводились все варианты расчетов показателей функционирования
очереди этого и следующих разделов. После выбора коэффициентов h0  h5 , верифицированных
для одного из вариантов параметра I 0 , по формулам 6.1, 6.2 и значениям ,  из строки матрицы
 вычисляются темпы инфляции и цены на жилье на 60-летний период. Таким образом
определяются 500 реализаций случайного процесса динамики цен. С использованием этих
реализаций проводилось 500 испытаний для рассматриваемого варианта функционирования
очереди, и рассчитывались необходимые показатели.
Расчеты во всех экспериментах проводились для очередей 1.1, 1.2, а именно, для очередей с
общими параметрами   1/ 4 , s  40 , d  0.5 и промежутком времени между учреждением
очереди и заключением последнего договора в 20 и 40 лет, соответственно. Рассматривалось два
варианта для числа вкладов до покупки жилья: r  41 и r  21 .
Ориентировочная стоимость приобретаемого жилья
~
Ct
рассчитывалась исходя из
0
предположения росте его стоимости с темпом равном I , среднему значению темпа инфляции.
Доходы клиентов очереди от вложений до покупки жилья рассчитывались по текущим (т.е.
плавающим) ставкам ut . Также по текущим ставкам  t ,  t рассчитывались доходы и кредиты
 2  5, u~10  8, ~ 10 14 и
очереди. Для расчета этих ставок использовалось базовые ставки u~ 2  3, ~
~
~
два варианта базовых ставок по вложениям временно свободных средств:  2  3,  10  8 и
~2
~
  4,  10 11 . Таким образом, с учетом двух сценариев динамики цен ( I 0  2 и I 0 10 ) для
каждой модели проводилось до 8-ми вариантов расчетов.
Во всех расчетах ставки кредитов, выдаваемых клиентам очереди, рассчитывались как
фиксированный процент  от рыночной ставки кредитов на момент приобретения жилья:
vt    t .
В расчетах определялось такое минимальное значение  , при котором итоговый баланс
очереди GT для всех 500 испытаний был бы равен 0. Рассмотрим следующую гипотезу:
вероятность того, что при так выбранном  величина GT окажется отрицательной, не меньше,
чем 1%. Тогда вероятность того, что в серии из 500 испытаний эта величина во всех случаях
окажется положительной, меньше, чем (1 0.01)500  e 5  0.0067 . Это позволяет уверенно
предполагать, что в рамках рассматриваемой модели при таком  вероятность того, что очередь
закончит свою деятельность с отрицательным балансом, меньше 1 процента.
Замечание. Поскольку вероятность отрицательного значения GT все же сохраняется при
любом выборе  , СКК необходимо страховать очередь от такого исхода. Страхование ляжет
дополнительным бременем на клиентов очереди, а значит, приведет к некоторому увеличению
значения  . Если вероятность того, что значение GT  0 и абсолютная величина GT невелики, то
стоимость страхования должна быть также незначительной. В то же время, при оценке стоимости
страхования следует учитывать, что временная продолжительность очереди заранее не известна.
Для выбора оптимального с учетом страхования значения  требуется дополнительное
исследование с использованием заслуживающей доверия модели динамики цен. Однако, так как с
увеличением значения  вероятность отрицательного GT быстро падает, можно ожидать, что
влияние страхования на значение  незначительно.
2. Результат расчётов.
Результаты расчетов для сценариев базовой инфляцией I 0  2 и I 0 10 приведены в таблице
I 0 10
I0 2
~
~
M  80, r  21 ,  2  3,  10  8   0.88, v(10) 12.32   0.91, v( 2)  4.55
~
~
M  80,r  21,  2  4,  10 11   0.84, v(10) 11.76   0.89, v( 2)  4.45
~
~
M  80, r  41 ,  2  3,  10  8   0.83, v(10) 11.62   0.84, v( 2)  4.2
~
~
M  80,r  41,  2  4,  10 11   0.75, v(10) 10.5   0.77, v( 2)  3.85
~
~
M 160,r  21,  2  3,  10  8   0.84, v(10) 11.76   0.88, v( 2)  4.4
~
~
M 160,r  21,  2  4,  10 11   0.82, v(10) 11.48   0.87, v( 2)  4.35
~
~
M 160,r  41,  2  3,  10  8   0.78, v(10) 10.92   0.78, v( 2)  3.9
~
~
M 160,r  41,  2  4,  10 11   0.72, v(10) 10.08   0.73, v( 2)  3.65
Через v() в таблице обозначено значение ставки v при инфляции I  I 0 . Ставки v из
данной таблицы заметно менее привлекательны для клиентов ССК, чем те же ставки для очередей
без случайностей. Тем не менее, эффект очереди работает и остается существенным и в
рассмотренном здесь случае. Как и при равномерном росте цен, влияние на значения v ставок 
возрастает с ростом r . При больших значениях  уменьшение периода до обрыва очереди не так
сильно влияет на рост ставок v .
Литература
1. Гасанов И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди// Сообщения по
прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.
2.
3.
4.
Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием //
Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ РАН, 2007. 60с.
Ерешко Ф.И., Кочетков А.В., Сытов А.Н. Механизмы реализации программы ипотечного кредитования.
Четвёртая международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем".. Доклады.
ИПУ РАН, 2-4 октября 2010г. т.1
Байрамов О.Б. Расчёты ставок процентов для ипотечного проекта компании. Пятая
международная конференция "Управление развитием крупномасштабных систем". MLSD’2011.
Доклады. ИПУ РАН, 3-5 октября 2011г. (настоящий сборник).