Теория случайных процессов - Новгородский государственный

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЯРОСЛАВА МУДРОГО»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ИЭИС
_____________ Б.И. Селезнев
«____» ______________2006 г.
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Дисциплина для направления 010500
и специальности 010501 – прикладная математика и информатика
Рабочая программа
СОГЛАСОВАНО
Принято на заседании
кафедры
Начальник учебно-методического
Отдела
«____»______________ 2006 г.
_______________ Е.И.Грошев
Разработал
«____» ______________2006 г
___________ М.С. Токмачев
«____» ______________2006 г.
Введение
Дисциплина «Теория случайных процессов» входит в блок дисциплин национальнорегионального компонента и читается в 6-семестре.
Дисциплина «Теория случайных процессов» является одним из разделов теории вероятностей и читается как логическое продолжение классического курса «Теория вероятностей
и математическая статистика», связана с курсом «Цепи Маркова» и многими прикладными
дисциплинами, использующими понятия случайной величины и случайной функции.
Дисциплина следует обязательно после изучения дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика», которая формирует базу для изучения теории случайных
процессов, ибо понятия курса «Теория случайных процессов» (случайных функций) обобщают классические понятия теории вероятностей (случайных величин). В курсе также используются элементы математической статистики. Перестановка местами этих курсов, а
также их параллельное изучение, недопустимы.



Целями преподавания дисциплины являются:
изучение студентами теоретических основ дисциплины;
приобретение студентами практических навыков по изучаемой дисциплине;
создание базиса для дальнейшего самостоятельного изучения предмета.
1 Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля
Таблица 1.1 – Дневная форма обучения
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
- лекции
- практические занятия
- семинары
- лабораторные работы
Самостоятельная работа
- курсовой проект
- расчетно-графическая
работа
- реферат
- контрольная работа
- прочие
Всего
Вид итогового контроля
Всего
34
17
17
26
-
Часов по семестрам
6 семестр
34
17
17
26
-
9
17
60
зачет
9
17
60
зачет
2
2 Содержание дисциплины
Таблица 2.1 – Содержание теоретических занятий
Тема
1 Случайный процесс. Основные понятия.
Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.
СРС
4
3
Случайная функция, случайный процесс, случайная последовательность. Сечения и реализации
(траектории). Математическое ожидание. Дисперсия. Корреляционная и нормированная корреляционная функции. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции.
2 Типы случайных процессов
1
1
4
5
2
2
4
4
Нормальный процесс. Винеровский процесс.
Марковский процесс. Пуассоновский процесс.
3 Стохастический анализ
Сходимость в среднем порядка r и сходимость в
среднеквадратическом. Непрерывность случайного
процесса. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия). Теоремы
о математическом ожидании и корреляционной
функции производной. Теорема о взаимной корре
ляционной функции X(t) и X (t ) . Интегрируемость
случайного процесса. Теоремы о математическом
ожидании, корреляционной и взаимной корреляционной функции интегралов. Эргодические случайные процессы.
4 Стационарные случайные процессы
Основные понятия. Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле. Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная
корреляционная функции. Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и
для интегралов стационарных случайных процессов.
5 Спектральная теория стационарных случайных процессов
Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные процессы с дискретным спектром. Случайные процессы с непрерывным
спектром. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина. Импульсная дельта-функция Дирака.
3
Стационарный белый шум. Cпектральная плотность
линейной комбинации стационарного процесса и
его производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
6 Потоки событий
2
1
17
16
Основные понятия. Свойства. Классификация.
Потоки Пальма. Пуассоновские потоки. Потоки Эрланга.
ВСЕГО
4
Таблица 2.2 – Содержание практических работ
Тема
1 Случайный процесс. Основные понятия
Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.
СРС
4
2
2 Типы случайных процессов
1
-
3 Стохастический анализ
3
2
4 Стационарные случайные процессы
5 Спектральная теория стационарных случайных процессов
3
3
2
2
6 Потоки событий
1
-
7 Контрольные мероприятия
2
2
ВСЕГО
17
10
5
3 Учебно-методическое обеспечение
3.1 Список рекомендуемой литературы
3.1.1 Основная литература
1. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 1999.
3. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2000.
4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.:
Наука, 1973.
5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1999.
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. А. А. Свешникова. - М.: Наука, 1970.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.
8. Медик В. А., Токмачев М. С., Фишман Б. Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая статистика. – М.: Медицина, 2000.
3.1.2 Дополнительная литература
1. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975
2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука,
1977.
3. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
4. Розанов Ю. А. Случайные процессы. - М.: Наука, 1971.
5. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. - М.: Наука, 1972.
6. Лавренченко А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов. – М.: Изд-во МАИ, 1974.
3.2 Список методических рекомендаций и указаний
1. Токмачев М.С. Рабочая программа дисциплины «Теория случайных процессов» для
специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ, 2006. 10 с.
6
3.3 Педагогические контрольные (испытательные) материалы
3.3.1 Задания для проверки в контрольных работах
Вариант контрольной работы №1
1. Случайные величины U и V имеют распределения
uj
-2
1
3
pj
0.2
0.3
0.5
vj
-1
2
pj
0.4
0.6
Найти:
а) возможные реализации случайного процесса X(t) = =( U + V ) t2 и их вероятности;
б) mx(t) .
2. Пусть случайный процесс задан выражением X(t) = (U – 2) sin t , где случайная величина U равномерно распределена на отрезке [2; 5].
Найти:
а) дисперсию случайного процесса Y(t) = X(t) + U ln t;
б) нормированную взаимную корреляционную функцию rxy (t1, t2) .
Вариант контрольной работы №2
1. Заданы случайные процессы X(t) = e t sin U ,
Случайная величина U имеет распределение
Y(t) = t cos U .
um
0
2

pm
0.1
0.4
0.5
Найти взаимную корреляционную функцию случайных процессов X(t) и Y(t).
2. Случайный процесс X(t) = V2 t e t, где случайная величина V  N (0; 1) . Случайный
процесс Z(t) = 2 X(t) + X(t).
Найти: а) K x ; б) Kz.
3. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию
kx () = 5 e -  .
Найти нормированную корреляционную функцию для X(t).
7
4. Известна спектральная плотность стационарного случайного процесса
20
sx () =
.
2
 (   2 )
Вычислить корреляционную функцию kx().
3.3.2 Контрольные вопросы к зачету
1. Основные понятия теории случайных процессов: случайная функция; случайный процесс; случайная последовательность; сечения и реализации (траектории); математическое ожидание; дисперсия.
2. Корреляционная и нормированная корреляционная функции.
3. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции.
4. Типы случайных процессов
5. Сходимость в среднем порядка r и сходимость в среднеквадратическом. Непрерывность случайного процесса.
6. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия).
7. Теоремы о математическом ожидании и корреляционной функции производной. Тео
рема о взаимной корреляционной функции X(t) и X (t ) .
8. Интегрируемость случайного процесса. Теоремы о математическом ожидании, корреляционной и взаимной корреляционной функции интегралов.
9. Эргодические случайные процессы.
10.
Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле.
11.
Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная корреляционная
функции стационарных случайных процессов.
12.
Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и для
интегралов стационарных случайных процессов.
13.
Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные
процессы с дискретным спектром.
14.
Случайные процессы с непрерывным спектром. Спектральная плотность.
Формулы Винера-Хинчина.
15.
Импульсная дельта-функция Дирака.
16.
Стационарный белый шум.
17.
Cпектральная плотность линейной комбинации стационарного процесса и его
производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
18.
Определение и классификация потоков событий.
8
Карта учебно-методического обеспечения
Дисциплина – Теория случайных процессов
Направление 010500 и специальность 010501 – Прикладная математика
и информатика
Форма обучения – дневная
Часов: всего - всего часов 34, лекций 17, практ. занятий 17, лаб. раб. -.
Институт – ИЭИС Кафедра – ПМИ
Таблица 1 – обеспечение дисциплины учебными изданиями
Библиографическое описание издания
(автор, наименование, вид, место и год
издания,кол.стр.)
Вид занятия,
в котором
используется
Число часов, обеспечиваемых изданием
Кол. экз. в
библ. НовГУ
(на каф.)
Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука,
1968.-463с.
Лекции,
практ. занятия
12
6
7
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая
школа, 2003.- 480с.
Лекции,
практ. занятия
12
4
100
Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М.
Случайные процессы. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2000.- 448с.
Лекции,
практ. занятия.
10
4
12
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.:
Наука, 1973.-368с.
Лекции,
практ. занятия
10
38
Медик В. А., Токмачев М. С., Фишман Б. Б.
Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая
статистика. – М.: Медицина, 2000.- 456с.
Лекции,
практ. занятия
5
3
50
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,
2004. -400с.
Лекции,
практ. занятия
12
100
Сборник задач по теории вероятностей,
математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. А. А.
Свешникова. - М.: Наука, 1970. – 632с.
Лекции,
практ. занятия
6
20
Сборник задач по математике для втузов.
Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.- 608с.
Лекции,
практ. занятия
6
101
Прим.
9
Таблица 2. Обеспечение дисциплины учебно-методическими изданиями.
Библиографическое описание издания
(автор, наименование, вид, место и год
издания,кол.стр.)
Токмачев М.С. Рабочая программа дисциплины «Теория случайных процессов»
для специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ,
2006. 10 с.
Вид занятия, в
котором используется
Число
часов,
обеспечиваемых
изданием
Кол.экз.в
библ. НовГУ
(на каф.)
Лекции,
практ. занятия
34
5
Прим.
электронная версия
10