Экспериментальные исследования в мехатронных устройствах

1
Экспериментальные исследования в мехатронных системах
Часть 1
Овсянников Сергей Всеволодович, Бошляков Андрей Анатольевич,
Кузьмина Ангелина Олеговна
Введение
Экспериментальные исследования занимают главенствующее место
среди всех способов получения информации о внутренних взаимосвязях в
мехатронных системах. Процесс проектирования любого мехатронного
устройства или системы связан с их экспериментальными исследованиями и
многочисленными разнообразными испытаниями. Под экспериментом принято понимать совокупность действий, осуществляемую посредством материальных средств исследования с целью получения новой информации об
изучаемом объекте путем построения информационной модели, характеризующей различные его стороны и проявления. Разновидностью экспериментов являются испытания, проводимые с целью контроля нахождения параметров объекта в допустимых пределах. Постоянное усложнение технических задач требует научного планирования эксперимента, чтобы уменьшить
затраты на его проведение и получить при этом достоверную информацию. В
настоящем учебном пособии рассматриваются экспериментальные исследования и испытания для определения основных характеристик мехатронных
систем.
Первая часть учебного пособия посвящена вопросам классификации
научных методов исследования в целом и эксперимента, как их составной части, экспериментальному определению статических и динамических характеристик мехатронных систем, экспериментальному определению характеристик случайных процессов в мехатронных системах.
2
1. Методы исследований мехатронных систем
1.1. Классификация научных методов исследования
Все многообразие научных методов исследований можно условно разбить на три большие группы:
 Теоретические
 Теоретико-эмпирические
 Эмпирические
1.1.1. Теоретические методы
Можно выделить четыре основных теоретических метода:
 Метод формализации
 Метод аксиоматизации
 Метод идеализации
 Метод восхождения от абстрактного к конкретному.
Метод формализации. Метод базируется на представлении содержания и структуры изучаемого объекта в знаковой форме с помощью искусственных языков и символов. Этот метод широко используется при исследовании мехатронных систем, например, в виде использования различного рода
операторных преобразований (Фурье, Лапласа.), описания свойств мехатронных систем с помощью передаточных функций и т.д.
Метод аксиоматизации. Метод основан на использовании в исследовании некоторых логических аксиом (постулатов), на основании которых все
остальные результаты получаются чисто логическим путем, посредством доказательств.
Метод идеализации. Метод основан на изучении объекта путем наделения его некоторыми идеальными свойствами. Этот метод широко используется при исследовании мехатронных систем, например, в случае описания
мехатронной системы в целом или отдельных ее частей как линейных или
нелинейных объектов.
3
Метод восхождения от абстрактного к конкретному. Метод основан
на получении результатов исследования путем перехода от логического изучения абстрактного расчлененного объекта к его целостному конкретному
представлению.
1.1.2. Теоретико-эмпирические методы
Можно выделить четыре основных теоретико-эмпирических метода:
 Метод абстрагирования
 Метод анализа и синтеза
 Метод индукции и дедукции
 Метод моделирования.
Метод абстрагирования. Метод основан на мысленном отвлечении от
несущественных свойств исследуемого объекта и изучении в дальнейшем
наиболее важных его сторон на модели. Этот метод является обязательным
при исследовании мехатронных систем.
Метод анализ и синтеза. Метод основан на различных способах расчленения изучаемого объекта на элементы и отношения (анализ), а также соединения в единое целое отдельных элементов (синтез). Этот метод является
одним из основных при исследовании и проектировании мехатронных систем.
Метод индукции и дедукции. Метод основан на получении результатов исследований на базе процесса познания от частного к общему (индукция) и от общего к частному (дедукция).
Метод моделирования. Метод используется для изучения объекта путем замены его моделью, отражающей структуру, связи, отношения, и т.п.
Результаты исследования интерпретируются на реальный объект. Этот метод
является чрезвычайно эффективным инструментом при исследовании и проектировании мехатронных систем.
1.1.3. Эмпирические методы
Можно выделить четыре основных эмпирических метода:
4
 Метод наблюдения
 Метод измерения
 Метод сравнения
 Метод эксперимента.
Метод наблюдения. Метод базируется на фиксации и регистрации параметров и показателей свойств изучаемого объекта. Широко используется
при исследовании мехатронных систем.
Метод измерения. Метод состоит в формировании численной оценки
исследуемого параметра объекта. Широко используется при исследовании
мехатронных систем.
Метод сравнения. Метод позволяет определить различия или общность исследуемого объекта с аналогом (эталоном).
Метод эксперимента. Метод основан на исследовании изучаемого
объекта в искусственно созданных для него условиях. Условия могут быть
натуральные и моделированные. Метод предполагает использование ряда
других методов – в том числе эмпирических. Широко используется при исследовании и проектировании мехатронных систем. Дальнейшее изложение
настоящего материала связано исключительно с различными аспектами использования именно этого метода.
1.2. Классификация экспериментов
Все эксперименты можно классифицировать по следующим признакам:
 По структуре
 По стадии проведения
 По организации
 По способу проведения.
1.2.1. Классификация экспериментов по структуре
По этой классификации все многообразие экспериментов можно разделить на две группы:
5
 Натурные эксперименты
 Модельные эксперименты.
Натурные эксперименты. В этом случае средства эксперимента взаимодействуют непосредственно с объектом исследования.
Модельные эксперименты. В этом случае средства эксперимента взаимодействуют не с самим объектом исследования, а с его заменителем – моделью. Существует разновидность модельного эксперимента – модельнокибернетический эксперимент, в котором характеристики изучаемого объекта вычисляются с помощью моделирующего алгоритма на ЭВМ.
Оба типа экспериментов характерны для мехатронных систем.
1.2.2. Классификация экспериментов по стадии проведения
По этой классификации все многообразие экспериментов можно разделить на три группы:
 Лабораторные
 Стендовые
 Промышленные.
Лабораторные эксперименты. Это эксперименты по изучению общих закономерностей явлений и процессов, по проверке гипотез и теорий. Для мехатронных систем они в большинстве случаев не характерны.
Стендовые эксперименты. Это эксперименты по изучению вполне конкретных процессов в исследуемом объекте (системе, изделии). По результатам стендовых экспериментов определяют:
1. Недоработки при расчетах и конструировании;
2. Рекомендации по серийному выпуску;
3. Рекомендации по эксплуатации.
Этот тип эксперимента весьма характерен для мехатронных систем.
Промышленные эксперименты. Это эксперименты, которые проводятся в
случае:
6
1. Создания нового изделия по данным лабораторных и стендовых экспериментов;
2. Контрольно-выборочного испытания серийно выпускаемого изделия.
Этот тип эксперимента также характерен для мехатронных систем.
1.2.3. Классификация экспериментов по организации
По этой классификации все многообразие экспериментов можно разделить на четыре группы:
 Обычные
 Специальные
 Уникальные
 Смешанные.
Обычные эксперименты. Это достаточно простые эксперименты, проводимые, как правило, в лабораторных условиях. Для них характерно использование относительно несложных методик и оборудования, а также многократно-повторяющихся однообразных измерений и вычислений. Этот тип эксперимента характерен для мехатронной системы, особенно в случае исследования работы ее отдельных компонент, например, электродвигателей, датчиков координат и т.п.
Специальные эксперименты. Это эксперименты, связанные с созданием и
исследованием свойств объекта (системы, изделия) в целом.
Уникальные эксперименты. Эти эксперименты проводятся на сложном
единичном оборудовании. Для них свойственны большой объем экспериментальных данных и высокая скорость протекания процессов. Для мехатронных
систем они не характерны. Объектом их исследования являются новые самолеты, ракеты, силовые установки и т.п.
Смешанные эксперименты. Представляют собой совокупность разнотипных экспериментов, связанных единой программой.
7
1.2.4. Классификация экспериментов по способу проведения
По этой классификации все многообразие экспериментов можно разделить на три группы:
 Пассивные
 Активные
 Активно-пассивные.
Пассивные эксперименты. Эти эксперименты основаны на регистрации
входных и выходных параметров объекта без вмешательства в ход эксперимента и предполагают обработку результатов только после его окончания.
Активные эксперименты. Эти эксперименты основаны на активном воздействии на объект специальных возмущений. Различают следующие активные эксперименты:
 Неуправляемые
 С программным управлением
 С обратной связью на каждом шаге эксперимента.
Неуправляемые эксперименты предполагают отсутствие изменений в ходе
эксперимента. Программное управление предполагает изменение в ходе эксперимента в соответствии с заранее разработанным планом. Наконец, эксперимент с обратной связью предполагает интерпретацию результатов на каждом шаге эксперимента с целью выработки оптимальной стратегии его дальнейшего проведения.
Активно-пассивные эксперименты. В этих экспериментах одна часть данных просто регистрируется, а другая обрабатывается и используется для
управления экспериментом.
1.3. Основные этапы экспериментального исследования
На рис.1 представлена процедура экспериментального исследования,
отражающая в общем случае его основные этапы. Процедура обычно состоит из шести этапов. Один из наиболее ответственных этапов – третий, где
выбирается тип модели. Физическая (аналитическая) модель соответствует
8
случаю, когда имеется достоверная информация о протекающих в объекте
процессах, причем он может быть описан уравнениями, например, алгебраическими, дифференциальными, интегральными, интегродифференциальными. Статистическая (эмпирическая) модель соответствует
случаю, когда нет достоверной информации о протекающих в объекте процессах. В этом случае структура модели остается неизвестной, а взаимосвязи
между входными и выходными параметрами находят свое выражение в случайных коэффициентах, определяемых из опытных данных, т.е. эмпирически. Такое представление модели называется «черным ящиком».
Этап 1
Постановка задачи
Определяются цели и средства
решения задачи эксперимента
Этап 2
Сбор априорной
информации
Собирается информация об
аналогичных задачах
(литература, документация,
опросы и т.д.)
Этап 3
Выбор способа
решения задачи
1. Выбирается тип модели исследования
- Физическая (аналитическая)
- Стохастическая (эмпирическая)
2. Определяются входные и выходные
параметры модели
3. Определяются алгоритм и программа
обработки экспериментальных данных
4. Строится установка
Этап 4
Проверка способа
решения задачи
Проводится предварительный
эксперимент для выявления ошибок
ДА
Изменить способ решения задачи ?
НЕТ
Этап 5
Реализация
выбранного
способа
Этап 6
Анализ и
интерпретация
результатов
Рис.1. Основные этапы экспериментального исследования
9
1.4. Статистическая модель «черный ящик»
На рис.2 представлена универсальная статистическая модель мехатронной системы типа «черный ящик».
U1
Um
X1
Y1
Yj
"Черный ящик"
Ys
Xn
Z1
Zk
Рис.2. Модель «черный ящик»
Все параметры, характеризующие работу мехатронной системы, в общем
случае можно объединить в четыре группы. Группа входных параметров
X=(X1, X2,…, Xn) – это контролируемые параметры, которые допускают их
целенаправленное изменение в эксперименте. Например, это могут быть коды управляющих воздействий мехатронной системы, напряжения питания,
режимы ее работы и т.д. Группа входных параметров U=(U1, U2, …, Um) –
это контролируемые параметры, которые не допускают их целенаправленного изменения, но которые могут быть измерены количественно. Например,
это параметры окружающей среды (температура, давление и т.д.). Группа
входных параметров Z=(Z1, Z2, …, Zk) – это смесь контролируемых и неконтролируемых параметров, которые нельзя измерить количественно.
Обычно это медленноменяющиеся воздействия, которые приводят к дрейфу
характеристик объекта, например, старение радиоэлементов. Группа выходных параметров Y=(Y1, Y2, …, YS) – это параметры, характеризующие технико-экономические показатели мехатронной системы. Они могут быть количественными и качественными, например, ошибка слежения, время переходного процесса, устойчивость, ремонтопригодность и т.д. Независимые
параметры X 1 , X 2 ,..., X n называются факторами и образуют факторное пространство.
10
2. Экспериментальные определения параметров мехатронных систем
2.1. Экспериментальное определение статических характеристик
Статической характеристикой мехатронной системы называется математическая зависимость какого-либо выходного параметра Yi (см. рис.2) от
нескольких параметров из числа входных X i (i  0,1,..., n) на отрезке времени,
когда все производные этих параметров тождественно равны 0. Во многих
случаях задача определения статической характеристики сводится к определению зависимости одного выходного параметра Y от одного входного параметра X .
2.1.1. Статическая характеристика для одного параметра
Пусть имеется выборка данных объемом N , т.е. зафиксировано N пар
наблюдаемых значений входного X и выходного Y параметров. Обозначим
их, как xi , yi (i  1,2,..., N ) . Требуется по этим значениям определить зависимость вида
Y  f (X ),
(1)
которая является искомой статической характеристикой. Так как результаты
опытных измерений являются случайными величинами, то для их обработки
используется один из наиболее распространённых методов математической
статистики – метод регрессионного анализа. Возможно два варианта решения задачи – эмпирическим методом и методом наименьших квадратов.
Эмпирический (графический) метод. Весь диапазон наблюдения (от X S до
X E ) входного параметра X разбивается на равные интервалы X . Для каж-
дого i-го интервала определяется среднее арифметическое значение для попавших в него значений выходного параметра
yi 
1
mi
mi
y
k 1
ik
,
(2)
11
где mi - количество всех значений y ik выходного параметра в i-м интервале.
Затем строится график зависимости значений (2) выходного параметра от
значений середин соответствующих интервалов входного параметра. Полученный график представляет собой искомую статическую характеристику в
виде эмпирической линию регрессии. В математике регрессией называют зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой
другой величины (парная регрессия) или нескольких величин (множественная регрессия). Пример эмпирической линии регрессии представлен на рис.3.
При стремлении N  ., X  0 получаем предельную теоретическую линию
регрессии. Очевидно, что эмпирический метод обладает большой наглядностью.
Y
X
XS
XE
X
Рис.3. Эмпирическая линия регрессии
Метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов
искомая зависимость (1) должна удовлетворять условию
N
E   [ yi  f ( xi )]2  min .
(3)
i 1
В общем случае задачу можно решить с помощью т.н. метода нормальных
уравнений. Считают, что в зависимость (1) входят несколько неизвестных
коэффициентов bi (i  0,1,..., k ) . Тогда необходимым и достаточным условием
достижения минимума (3) является
E E
E

 ... 
 0,
b0 b1
bk
(4)
12
что соответствует системе уравнений
i
 f ( xi , b0 , b1 ,..., bk )]
f ( xi )
0
b0
i
 f ( xi , b0 , b1 ,..., bk )]
f ( xi )
0
b1
.
N
 2 *[ y
i 1
N
 2 *[ y
i 1
(5)
..........................................................
N
 2 *[ y
i 1
i
 f ( xi , b0 , b1 ,..., bk )]
f ( xi )
0
bk
Всего система (5) содержит (k+1) уравнений, что позволяет определить (k+1)
неизвестных коэффициентов bi (i  0,1,..., k ) . Однако для полного решения задачи необходимо выбрать конкретный вид зависимости (1).
В общем случае аппроксимирующая функция f (x) строится, как линейная комбинация базисных функций F j (количество функций M обычно
меньше числа точек N)
M 1
f ( x)   b j F j ( x) .
(6).
j 0
На практике в качестве базисной функции обычно выбирают функцию
Fj ( x)  xi , что соответствует случаю полиномиальной регрессии, причем
наиболее часто используют два ее частных случая:
 линейную зависимость
 квадратичную параболу.
Линейная регрессия от одного параметра Y  b0  b1 * X . В этом случае систему уравнений (5) можно привести к виду:
N
N
b0 * N  b1 *  xi   yi
i 1
N
i 1
N
N
b0 *  xi  b1 *  x   xi * yi
i 1
i 1
2
i
.
(7)
i 1
В результате искомые коэффициенты равны
b0 
N
N
i 1
i 1
N
N
 yi *  xi2   xi *  xi * yi
i 1
i 1


N *  xi2    xi 
I 1
 i 1 
N
N
2
N
, b1 
N
N
N *  xi * y i  xi *  yi
i 1
i 1
i 1
2


N *  xi2    xi 
I 1
 i 1 
N
N
.
(8)
13
Можно ввести следующие обозначения:
N
mx 
1
N
 xi , m y 
 выборочный начальный момент 2-го порядка a2 
1
N
x
 выборочные средние значения
 a11 
1
N
i 1
1
N
N
y
i 1
i
N
i 1
2
i
N
x *y .
i 1
i
i
b0 
Тогда искомые коэффициенты равны
b1 
m y * a2  mx * a11
a2  mx2
.
a11  mx * m y
(9)
a2  mx2
Параболическая регрессия от одного параметра Y  b0  b1 * X b 2 * X 2 .
В этом случае система уравнений (5) приобретает вид
N
N
N
b0 * N  b1 *  xi  b2 *  xi2   yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
b0 *  xi  b1 *  xi2  b2 *  xi3   xi * yi .
(10)
b0 *  xi2  b1 *  xi3  b2 *  xi4   xi2 * yi
Можно также ввести обозначения:
 выборочный начальный момент 3-го порядка
 выборочный начальный момент 4-го порядка
 a21 
1
N
a2 
1
N
a2 
1
N
N
x
i 1
3
i
N
x
i 1
4
i
N
x
i 1
2
i
* yi
В результате система уравнений (10) приобретает вид
b0  b1 * mx  b2 * a2  m y
b0 * mx  b1 * a2  b2 * a3  a11 .
b0 * a2  b1 * a3  b2 * a4  a21
Тогда искомые коэффициенты равны
(11)
14
b0 
b0
b
b
, b1  1 , b2  2 ,



1 m y a2
m y mx
  mx
a2
a3 , b0  a11
a2
a3 , b1  mx
a11
a3 , b2  mx
a2
my .
a3
a2
a3
a4
a3
a4
a21
a4
a3
a4
a21
a2
1
mx
my
1
mx
a2
a2
(12)
Кроме полиномиальной регрессии на практике часто используют
трансцендентную регрессию в виде зависимостей показательного типа
Y  b0 * b1X , дробно-показательного типа Y  b0 * X b1 или логарифмического типа
Y  b0  b1 * x  b2 * lg x . Однако наилучшие результаты достигаются в случае ис-
пользования в качестве базисных функций полиномов Чебышева I-го рода
Tn (x) и II-го рода U n (x) , которые определяются, как Tn ( x)  cos(n * arccos x) и
U n ( x)  sin(( n  1) arccos x) / sin(arccos x) . Иногда в качестве базисных функций ис-
пользуют кубические сплайны.
2.1.2. Статистическая характеристика для нескольких входных параметров
Для нахождения статической характеристики в этом случае используют
два варианта - линейную и нелинейную множественные регрессии.
Линейная множественная регрессия. Пусть имеются результаты наблюдения, которые записаны в виде таблицы 1.
Таблица 1
№
Y
X1
X2
…
1
y1
x11
x21
xn1
2
y2
x12
x22
xn 2
yN
x1N
x2 N
xnN
Xn
…
N
n
Линейная множественная регрессия имеет вид Y  b0   bi * xi , (13). Задачу
i 1
нахождения неизвестных коэффициентов bi удобно решать в матричной
15
форме. При этом коэффициенту b0 целесообразно поставить в соответствие
фиктивный параметр X 0 , который всегда равен 1. Если ввести в рассмотрение матрицу измеренных значений X, вектор наблюдений Y и вектор коэффициентов B
X
x01
x02
x11
x12
... xn1
... xn 2
...
x0 N
...
x1N
... ...
... xnN
y1
y2
,
...
, Y
b0
B
yN
b1
,
...
(14)
bN
то система уравнений (5) приобретает следующий матричный вид:
X T * X * B  X T *Y .
(15)
Тогда искомые коэффициенты bi могут быть вычислены как

B  XT *X

1
* X T *Y .
(16)
Решение возможно, если обратная матрица в выражении (16) является невырожденной, т.е. если параметры x1 , x2 ,..., xn линейно не зависимы.
Нелинейная множественная регрессия. В этом случае связь между входным параметром и выходными параметрами обычно записывают в виде
n
C n2
n
Y  b0   bi * xi   bii * x   bij * xi * x j ,
i 1
где Cn2 
i 1
2
i
(17)
i , j 1
n!
, ( j  0,1,...  n  0,1,...) - число сочетаний из n элементов по 2.
j!*(n  j )!
Можно представить члены 2-го порядка как некоторые новые переменные.
Тогда уравнение (17) приобретает вид
n
Y  b0   bi * xi 
i 1
Cn2
b
k  n 1
k
* xk .
(18)
Уравнение (18) содержит m  2 * n  Cn2 переменных и может быть решено по
варианту линейной множественной регрессии.
2.1.3. Особенности определения статических характеристик
Для экспериментального определения статических характеристик используется как активный, так и пассивный методы исследования. Пассивный
16
метод используется в тех случаях, когда уровень помех для входных и выходных параметров невелик, а использование искусственных возмущений по
каким-либо причинам затруднительно. В остальных случаях следует использовать активный метод.
Особенности пассивного эксперимента. Можно отметить следующее:
 Все исследуемые входные параметры X 1 , X 2 ,..., X n по возможности
должны быть независимы друг от друга;
 Для каждого входного параметра, соответствующего случайному непрерывному стационарному процессу, время между соседними замерами должно быть больше времени затухания его автокорреляционной
функции (см. раздел 2.3.1.);
 Количество опытов N должно быть на порядок больше числа определяемых коэффициентов bi (i  0,1,..., k ) , т.е. N  10 * k ;
 Для сведения к минимуму влияния динамических свойств объекта на
статические характеристики моменты регистрации входного и выходного параметров должны быть разделены во времени на величину, соответствующую максимуму их взаимной корреляционной функции.
Особенности активного эксперимента. Процедура определения статической характеристики состоит в последовательном изменении значения одного из входных параметров при сохранении неизменными значений всех
остальных входных параметров. Каждый изменяемый параметр варьируется
от своего минимально возможного значения до своего максимально возможного значения. Полученный массив данных обрабатывается или эмпирическим (графическим) методом или методом наименьших квадратов.
2.2. Экспериментальное определение динамических характеристик
Данная группа экспериментов относится к классу активных экспериментов и предполагает использование так называемых пробных сигналов.
17
2.2.1. Частотная характеристика
Теоретическое обоснование эксперимента
Под частотной характеристикой объекта (звена, устройства, системы)
принято понимать отношение изображения Фурье F{Y (t )} некоторой выходной координаты Y (t ) объекта к изображению Фурье F{ X (t )} некоторой его
входной координаты X (t )
( j ) 
F Y (t )
 ( j * e  j*arg  ( j ) ,
F X (t )
(19)
где ( j - амплитудная частотная характеристика,
arg  ( j ) - фазовая частотная характеристика.
Для экспериментального определения частотной характеристики обычно используют один из трех типов пробных сигналов:
 Синусоидальный сигнал;
 Прямоугольную волну;
 Трапецеидальную волну.
В таблице 2 представлены характеристики этих сигналов.
Таблица 2
№
Тип
1
Синусоидальный
Вид
Разложение в ряд Фурье
Y (t )  A * sin t

2 *
T
T
2
Прямоугольная
Y (t ) 
волна
Y (t ) 
волна


*
i 0

T
3 Трапецеидальная
4* A
2 *
T
2 * A *T  sin( 2 * i  1)t1
*
* sin( 2 * i  1)t
 2 * t1 i 0 (2 * i  1) 2
t1
T
sin( 2 * i  1)t
2*i 1

2 *
T
18
Использование синусоидального пробного сигнала. Данный пробный
сигнал применяют для линейных и нелинейных объектов.
Для линейного объекта при подаче на его вход синусоидального пробного сигнала
X (t )  A * sin i t
(20)
выходная координата будет иметь вид
Y (t )  A * ( ji ) * sin( it  arg ( ji )) .
(21)
Таким образом, для линейного объекта на частоте пробного сигнала i значение амплитудной частотной характеристика ( ji определяется отношением амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала, а значение фазовой частотной характеристики arg ( ji ) - фазовым сдвигом между
этими сигналами. Совокупность указанных значений для нескольких фиксированных частот i , i  1,2,...., k образует экспериментальную амплитуднофазовую частотную характеристику (АФЧХ).
Для нелинейного объекта при подаче на его вход пробного сигнала
вида (20) выходная координата будет иметь вид
YH (t )  f H ( X (t ), X (t )) ,
(22)
где f H - функция нелинейности объекта. Первая гармоника выходного сигнала в этом случае имеет вид
YH 1 (t )  q ( A, i ) * sin i t  q ' ( A, i ) * cos i t ,
(23)
где
1
q( A, i ) 
A *
2
F
H
(A * sin  , A * i * cos ) sin d -
(24)
0
- коэффициент гармонической линеаризации по синфазной составляющей,
q ' ( A, i ) 
1
A *
2
F
H
(A * sin  , A * i * cos ) cosd -
(25)
0
- коэффициент гармонической линеаризации по квадратурной составляющей.
Первая гармоника (23) может быть представлена в следующем виде
YH 1 (t )  AH * sin( i t   э ) ,
(26)
19
где
AH  RЭ ( A, i ) * A,
RЭ ( A, i )  q 2 ( A, i )  q '2 ( A, i )
 Э  arctg
,
(27)
q ' ( A, i )
q( A, i )
RЭ ( A, i ) - эквивалентный коэффициент передачи,
Э ( A, i ) - эквивалентный фазовый сдвиг.
Таким образом, частотная характеристика (19) для нелинейного объекта приобретает вид эквивалентного комплексного коэффициента передачи
WЭ ( j , A)  RЭ ( A,  ) * e  j э ( A, ) ,
(28)
где
RЭ ( A,  ) - эквивалентная амплитудная частотная характеристика,
Э ( A,  ) - эквивалентная фазовая частотная характеристика.
Методика экспериментального определения частотной характеристики
для нелинейного объекта следующая:
 Для фиксированной частоты выделяется первая гармоника выходного
сигнала, по амплитудам и фазовым сдвигам входного сигнала и первой
гармоники вычисляются эквивалентные коэффициент передачи и фазовый сдвиг (27);
 Выбирается несколько фиксированных частот и для каждой из них
проводится эксперимент по первому пункту, в результате чего определяется частотная характеристика (28) для фиксированного значения
амплитуды A входного сигнала;
 Выбирается несколько значений амплитуд входного сигнала и для
каждого из них проводится эксперимент по второму пункту, в результате чего определяется частотная характеристика (28) для разных значений амплитуды A входного сигнала.
В результате эксперимента получается семейство эквивалентных частотных
характеристик нелинейного объекта.
20
Использование пробного сигнала в виде прямоугольной и трапецеидальной волн. Данные пробные сигналы используются для линейных объектов.
Каждый из пробных сигналов можно представить в виде разложения в

ряд Фурье X (t )   Ai * sin i t , (29). В соответствии с принципом суперпозиции
i 1
и соотношением (21) для линейных систем выходной сигнал будет иметь вид

Y (t )   Ai *  ( ji ) * sin( i t  arg  ( ji )) .
(30)
i 1
Выделив первые гармоники во входном и выходном сигналах, можно вычислить частотную характеристику по аналогии с вариантом синусоидального
пробного сигнала.
Определение частотной характеристики мехатронной системы кроме
вышеизложенного варианта можно также осуществить косвенным образом
по экспериментальным результатам определения единичной переходной
функции (см. 2.2.3) или по экспериментальным значениям спектральных
плотностей ее входного и выходного сигналов (2.3.2).
Проведение эксперимента
Для проведения эксперимента требуется генератор пробного сигнала и
регистрирующая аппаратура, позволяющая измерить амплитуды входного и
выходного сигналов, а также оценить фазовый сдвиг между ними.
Процедура определения первой гармоники из выходного сигнала следующая:
 Выделяют период T пробного сигнала в реализации выходного сигнала Z (t ) ;
 Разбивают период T на ( N  1 ) равноотстоящих частей ( N точек, обозначение Z (i), i  0,1,...N  1 );
 Раскладывают реализацию Z (t ) в ряд Фурье
21
Z (t ) 
b0 
  (ak * sin kt  bk * cos kt ),
2 k 1
bk 
2 N 1
2 * * k * i
*  Z (i ) * cos
, k  0,1,... .
N i 0
N
ak 
2 N 1
2 * * k * i
*  Z (i ) * sin
, k  1,2,...
N i 0
N
(31)
Амплитуда первой гармоники A1 и ее фазовый сдвиг 1 определяются как
A1  a12  b12 , 1  arctg
b1
.
a1
(32)
На практике для расчета удобен вариант N  12 . В этом случае
1
a1  * ( Z (3)  Z (9) 
6
1
b1  * ( Z (0)  Z (6) 
6
3
1
* ( Z (2)  Z (4)  Z (8)  Z (10))  * ( Z (1)  Z (5)  Z (7)  Z (11)),
2
2
. (33)
3
1
* ( Z (1)  Z (11)  Z (5)  Z (7))  * ( Z (2)  Z (10)  Z (4)  Z (8)),
2
2
Обработка результатов эксперимента
Обычно обработка результатов эксперимента сводится к получению
математического выражения для экспериментальной частотной характеристики и (или) соответствующей ей передаточной функции объекта, т.е. к аппроксимации их тем или иным методом.
Аналитический метод аппроксимации. Пусть имеется N значений экспериментальной АФЧХ  Э ( j ) . Можно предположить, что передаточная функция и соответствующая ей АФЧХ исследуемого объекта имеют вид
m
( p) 
b *p
i
 a *p
i
i 0
m
i 0
i
или ( j ) 
P1 ( )  j * Q1 ( j )
.
P2 ( )  j * Q2 ( j )
(34).
i
Экспериментальную частотную характеристику также можно представить в
виде суммы действительной и мнимой частей
 Э ( j )  PЭ ( )  j * QЭ ( ) ,
(35)
где
PЭ ( )   Э ( j ) * cos(arg  э ( j )),
QЭ ( )   Э ( j ) * sin(arg  э ( j )).
(36)
22
Приравняв отдельно действительные и мнимые части выражений (34) и (35)
для N известных точек, можно получить систему из 2 * N уравнений, содержащую искомые коэффициенты ai и bi :
P2 (k ) * PЭ (k )  Q2 (k ) * QЭ (k )  P1 (k )  0,
Q2 (k ) * PЭ (k )  P2 (k ) * QЭ (k )  Q1 (k )  0,
(37)
k  1,2,..., N
Для решения системы уравнений (37) необходимо задать значения n и m .
Для этого можно воспользоваться следующими соображениями
1. Если крайняя высокочастотная асимптота экспериментальной характеристики имеет наклон  20 * r дБ/дек, то n  m  r ;
2. Если объект соответствует замкнутой системе или разомкнутой статической системе, то
b0
  Э ( 0) ;
a0
3. Если объект соответствует разомкнутой астатической системе и крайняя низкочастотная асимптота экспериментальной характеристики
имеет наклон  20 * дБ/дек, то a0  a1  ...  a  0, b0  1 .
Таким образом, значения n и m можно определить как:
1. Для замкнутой системы или разомкнутой статической системы
n
2* N  r
2* N  r
2 * N 1  r
2 * N 1 r
, m
, если r - четное и n 
, m
,
2
2
2
2
если r - нечетное;
2. Для разомкнутой астатической системы
n
2 * N  r 
2 * N  r 
2 * N  1  r 
, m
, если (  r ) - четное и n 
,
2
2
2
m
2 * N  1  r 
, если (  r ) - нечетное.
2
Графический метод аппроксимации. Суть метода в отображении экспериментальных данных в виде логарифмической АФЧХ и замены ее (аппроксимации) асимптотами, соответствующими элементарным звеньям (интегратору, апериодическому и колебательному звеньям, дифференцирующим звень-
23
ям 1-го и 2-го порядка), включая неминимально-фазовые звенья. Очевидно,
что с инженерных позиций это наиболее удобный метод, но он весьма груб.
Метод наименьших квадратов. Суть метода состоит в уточнении коэффициентов передаточной функции объекта, предварительно полученной с помощью одного из рассмотренных выше методов.
Пусть аппроксимированная передаточная функция объекта имеет вид
(34), а поправки к ее первоначальным коэффициентам обозначаются, как
a i и bi . Согласно методу наименьших квадратов аппроксимируемая АФЧХ
 ( j ) должна удовлетворять следующему условию:
N
E   ( jk )   Э ( jk )  min
2
k 1
.
(38)
2* N  n  m 1
Условие (38) эквивалентно следующему
N
E   {P(k )  PЭ (k )   Q(k )  QЭ (k )  }  min .
2
2
(39)
k 1
Тогда, разложив в выражении (39) действительную P(k ) и мнимую Q(k )
части в кратный ряд Тейлора относительно всех коэффициентов ai и bi , и
оставив в разложении только члены, содержащие первые разности (т.е искомые поправки a i и bi ), можно получить следующее выражение для E
2
n
 m P(k )

P(k )
E   {  (
) 0 * bi   (
) 0 * ai  P(k )  
bi
ai
k 1  i  0
i 0

N
2
n
 m Q(k )

Q(k )
   (
) 0 * bi   (
) 0 * ai  Q(k )  }
bi
ai
i 0
 i 0

,
(40)
где P(k )  PЭ (k )  P0 (k ) и Q(k )  QЭ (k )  Q0 (k ) .
Нулевые индексы при действительной P(k ) части и мнимой Q(k ) части в
выражении (40) соответствуют их вычислению со значениями коэффициентов ai и bi , полученными в результате предварительной аппроксимации.
Очевидно, что необходимым и достаточным условием достижения минимума (38) является
24
E E
E E E
E

 ... 


 ... 
0.
a0 a1
ak b0 b1
bk
(41)
Тогда из (40) и (41) можно получить расчетные уравнения для вычисления
поправок к коэффициентам
N

m
{  (
k 1
 i 0
n
 P(k )
P(k )
P(k )
) 0 * bi   (
) 0 * ai  P(k )  * (
)0 
bi
ai
bg
i 0

n

 Q(k )
Q(k )
Q(k )

 (
) 0 * bi   (
) 0 * ai  Q(k )  * (
) 0 }  0,
bi
ai
bg
i 0
 i 0

g  0,1,..., m;
m
(42)
n
 m P(k )
 P(k )
P(k )

{  (
) 0 * bi   (
) 0 * ai  P(k )  * (
)0 

bi
ai
bh
k 1  i  0
i 0

N
n
 m Q(k )
 Q(k )
Q(k )
   (
) 0 * bi   (
) 0 * ai  Q(k )  * (
) 0 }  0, ,
bi
ai
bh
i 0
 i 0

h  0,1,..., n.
(43)
Окончательно, необходимо оценить величины поправок a i и bi относительно исходных коэффициентов ai и bi . Если эти отношения значительны, то необходимо произвести новую предварительную аппроксимацию
АФЧХ  ( j ) аналитическим или графическим методами.
2.2.2. Импульсная (весовая) функция
Теоретическое обоснование эксперимента
Под импульсной (весовой) функцией k (t ) мехатронной системы понимается ее реакция на  - функцию (функцию Дирака) следующего вида
0, t  0
, причем
, t  0
 (t )  

  (t )dt  1 .
При помощи импульсной весовой функции

можно определить реакцию мехатронной системы Y (t ) на произвольный

входной сигнал X (t ) следующим образом. Y (t )   X (t   ) * k ( ) * d , (44). При
0
X (t )   (t ) из (44) имеем Y (t )  k (t ) («фильтрующие» свойства  - функции).
Очевидно, что если сделать входной сигнал «достаточно близким» к  -
25
функции, т.е. X (t )   (t ) , то выходной сигнал мехатронной системы можно
будет принять за ее импульсную функцию, т.е. Y (t )  k (t ) .
Проведение эксперимента
В качестве пробного сигнала выбирается короткий импульс, имитирующий  - функцию. Он должен удовлетворять следующим условиям:
 Длительность импульса не должна превышать четверти
наименьшей постоянной времени мехатронной системы;
 Длительность импульса должна быть меньше промежутка времени, в течение которого импульсная (весовая) функция может существенно измениться.
В этом случае реакцию мехатронной системы на пробный сигнал принимают
за ее импульсную (весовую) функцию.
В качестве альтернативы определению импульсной функции k (t ) путем
подачи короткого импульса на вход мехатронной системы можно предложить ее аналитическое вычисление по известной (например, экспериментальным путем) единичной переходной функции h(t ) в силу известного соотношения
k (t ) 
dh(t )
.
dt
(44)
2.2.3. Переходная функция
Теоретическое обоснование эксперимента
Под переходной функцией h(t ) мехатронной системы понимается ее ре A, t  0
. В качестве пробного
0, t  0
акция на ступенчатое воздействие вида A(t )  
сигнала обычно используют три типа сигналов, указанные в таблице 3. Частным случаем переходной функции является единичная переходная функция,
т.е. реакция на единичное ступенчатое воздействие A  1 .
26
Таблица 3
№
Тип
1
Ступенчатое воздействие
Вид
+A
t
2
Прямоугольный импульс
+A
t
T
3
Прямоугольная волна
+A
t
-A
T
Проведение эксперимента
Ступенчатое воздействие. Величину ступенчатого воздействия A следует
выбирать так, чтобы мехатронная система работала в линейном режиме.
Для получения единичной переходной функции результат h(t ) следует нормировать h(t ) 
1
* h(t ) .
A
Прямоугольный импульс. Пусть hИ (t ) - реакция системы на прямоугольный
импульс. Очевидно, что для линейной системы искомая функция hИ (t ) есть
сумма реакций системы на два ступенчатых воздействия  A и  A , разнесенные во времени на длину импульса T . Тогда на каждом отрезке времени
(m  1) * T  t  m * T , m  1,2,... , кратном длине импульса T , искомая функция
может быть определена как
h(t )  hИ (t )  h(t  T )
(45)
с учетом того, что h(t )  hИ (t ) на интервале 0  t  T , (m  1) . На рис. 4 представлен пример графического вычисления переходной функции в соответствии с (45).
27
T
2T
3T
h1+h2+h3
h1+h2+h3+h4
h4
h1+h2
h3
h2
h1
h1
h(t)
hи(t) t
4T
5T
Рис.4. Пример графического вычисления переходной функции h(t ) .
Прямоугольная волна. По аналогии с вариантом применения прямоугольного импульса искомая функция h(t ) есть сумма реакций системы на три ступенчатых воздействия  A ,  2 * A и  A , два последних из которых отстают
во времени от первого соответственно на половину и целую длину импульса
T . Тогда на каждом отрезке времени (m  1) * 0.5 * T  t  m * 0.5 * T , m  1,2,... ,
кратном половине длине импульса 0.5 *T , искомая функция может быть
определена как
h(t )  hИ (t )  2 * h(t  0.5 *T )  h(t  T )
(46)
с учетом того, что h(t )  hИ (t ) на интервале 0  t  0.5 * T , (m  1) и
h(t )  hИ (t )  2 * h(t  0.5 *T ) на интервале 0.5 * T  t  T , (m  2) .
Обработка результатов эксперимента
Обработка результатов эксперимента обычно состоит в их сглаживании в
случае сильного искажения помехами. Суть сглаживания - в уменьшении доли ошибки измерения в массиве данных. Существует множество методов
сглаживания.
Сглаживание осреднением. Суть метода в следующем. Если реально
наблюдаемый переходной процесс Z (t ) можно представить как Z (t )  h(t )  n(t ) ,
где n(t ) - стационарная случайная помеха с нормальным законом распределения и математическим ожиданием, равным 0, то необходимо сделать m записей (реализаций) переходной функции и осреднить их. Результат вычисления
h* (t ) принимается за оценку переходной функции
28
h* (t ) 
1 m
1 m
1 m
Z (t )   h(t )   n(t )  h(t ) .

m i 1
m i 1
m i 1
(47)
Очевидно, что 1-ое слагаемое в выражении (47) представляет собой искомую
переходную функцию h(t ) , а значение 2-го слагаемого может быть достаточно близким к 0, т.к. представляет собой оценку математического ожидания
помехи n(t ) . Таким образом, оценка h* (t ) может быть весьма близка к переходной функции h(t ) . Обычно для удовлетворительного результата требуется
использовать N  50 100 реализаций.
Кроме этого метода сглаживания возможны другие методы, но они
применимы для монотонных переходных функций и предполагают наличие
массива данных, полученных с постоянным периодом измерения t . Следует заметить, что результат сглаживания сильно зависит от применяемых
формул, причем их выбор зависит скорее от интуиции экспериментатора, чем
от каких-либо правил.
Сглаживание скользящим усреднением. Суть метода в последовательном
усреднении каждой точки Z k (k  0,..., N  1) массива данных путем использования значений соседних точек на некотором интервале сглаживания l ,
рис.5.
z(t)
Zi
Z i2
Z i 1
Z i 1
Zi2
hi*
t
t
t * l
Рис.5. Пример сглаживания скользящим усреднением для l  4 .
Оценка переходной функции в каждой точке в общем случае имеет вид:
hi* 
1 l
Z l ,
l  1 k 0 ( i  k  2 )
l l
l
i  ,  1,..., N 
2 2
2
,
(48)
29
где l - длина интервала сглаживания в периодах измерения. Такое сглаживание эквивалентно обработке переходного процесса фильтром низких частот с
частотной характеристикой
 ( j ) 
sin
 * l * t
2
 * l * t
.
(49)
2
Этот фильтр существенно уменьшает гармонические составляющие Z k на частотах  
2 *
. Рекомендуется выбирать четное значение l . На практике
l * t
наиболее распространены следующие варианты:
 l  2 - линейное сглаживание по 3-м точкам;
 l  4 - линейное сглаживание по 5-и точкам.
1
3
В случае l  2 формула (48) приобретает вид hi*  ( Z i 1  Z i  Z i 1 ) , i  1,..., N  1 .
При этом на краях диапазона необходимо использовать значения
1
1
h0*  (5 * Z 0  2 * Z1  Z 2 ) и hN*  ( Z N  2  2 * Z N 1  5 * Z N ) .
6
6
Сглаживание четвертыми разностями. Суть метода в аппроксимации с
помощью метода наименьших квадратов каждых пяти соседних точек Z k
параболой 2-го порядка. При этом вычисляется поправка лишь к средней из
пяти точек. Величина поправки пропорциональна центральной четвертой
разности  4 Z i  Z i 2  4 * Z i 1  6 * Z i  4 * Z i 1  Z i  2 , i  2,3,..., N  2 , (50). Оценка переходной функции имеет вид hi*  Z i 
1
*  4 Z i . На краях диапазона используют12
ся следующие формулы:
1
1
h0*  Z 0  *  3 Z1/ 2  *  4 Z 2
5
12
2
1
h1*  Z1  *  3 Z 2 / 3  *  4 Z 2
5
7
,
2 3
1 4
*
hN 1  Z N 1  *  Z ( N  2) /( N 1)   Z N  2
5
7
1
1
hN*  Z N  *  3 Z ( N  2) /( N 1)   4 Z N  2
5
12
(51)
30
где  3Z  /( 1)  Z  1  3* Z   3* Z  1  Z  2 ,   1,2,..., N  2 - центральная 3-я разность.
Процедуру сглаживания можно проводить несколько раз.
Сглаживание рядом Фурье. Метод основан на различной скорости убывания коэффициентов разложения в ряд Фурье для функций с различными аналитическими свойствами. Если разложить таблично заданную функцию
Z (ti ), i  0,1,..., N в ряд Фурье по синусам, то первые быстро убывающие коэф-
фициенты разложения будут относиться к h(t ) , а остальные – к шуму n(t ) .
Обрывая ряд на коэффициенте bm , относящемуся к разложению h(t ) , можно
отфильтровать помеху n(t ) . Методика состоит из следующих шагов:
 Из всех значений Z (t i ) вычитается двучлен    * ti , что дает новую
~
функцию Z (ti )  Zi     * t . Коэффициенты  и  определяются из
следующих граничных условий
~
Z (0)  0
, где TУ  t * N .
~
Z (TУ )  0
(51)
~
 Функция Z (ti ) разлагается в ряд по синусам


2 N 1 ~

~
Z (ti )   bk * sin( *k * t ) , где bk  *  Z (ti ) * sin( k * i * ) .
TУ
N i 1
TУ
k 1
 Анализируются величины коэффициентов bk и выбирается необходимое значение m . Методика определения m следующая.
1. Выбирается произвольно l коэффициентов bk с конца выборки
(желательно в конечном счете обеспечить l  m ).
1
l
2. Определяется значение   (bN2 1  bN2 2  ...  bN2 l ) (при возрастании
N значение   const ).
3. На графике спектра bk проводятся горизонтальные прямые   .
Значение m определяется как точка пересечения прямых линий
  с графиком спектра bk . Коэффициенты bk с индексами k  m
отбрасываются.
31
 Определяется оценка переходной функции
m

k 1
TУ
h* (t )     * t   bk * sin( k *
* t ),0  t  TУ .
(52)
Обычно перед сглаживанием рядом Фурье рекомендуется предварительно осуществить сглаживание скользящим усреднением.
Использование результатов эксперимента
Результаты эксперимента по определению переходной функции h(t )
позволяют вычислить конкретные показатели качества мехатронной системы
(время переходного процесса, перерегулирование, показатель колебательности) и дают возможность косвенно определить ее частотную характеристику
или передаточную функцию несколькими методами.
Определение передаточной функции через аппроксимацию переходной
функции трапециями. Пусть имеется N  1 равноотстоящая точка
hi  h(ti ), (i  0,..., N ) , переходной функции, соответствующей реакции на еди-
ничное ступенчатое воздействие, рис.6.
h(t)
h(ti ) h(ti1 )
Si
t
ti
t
ti 1
Рис.6. Пример аппроксимации переходной функции h(t ) трапециями
При соединении вершин hi прямыми линиями S i получается N прямоугольных трапеций. Уравнение произвольной линии имеет вид
Si  a0  a1 * t , ti  t  ti 1 ,
a0 
.
1
1
(hi * ti 1  hi 1 * ti ), a1  (hi 1  hi )
t
t
Изображение Лапласа для переходной функции h(t ) имеет вид:
(53)
32

H ( p)   h(t ) * e  p*t * dt  I 
h(Ty )
p
0
*e
 p*Ty
Ty
, где I   h(t ) * e  p*t * dt , (54). В первом при0
ближении интеграл I можно заменить выражением
I
Ty N 1
N 1
 p*t
  Si * e * dt  [
0 i 0
i 0
1
1
(hi 1  hi )(e  p*ti1  e  p*ti )  (hi 1 * e  p*ti1  hi * e  p*ti )] . (55)
p * t
p
2
Передаточная функция мехатронной системы  ( p ) связана с единичной переходной функцией h(t ) следующим образом

dh(t )  p*t
* e * dt . Тогда в случае ступенчатого воздействия величиной A
dt
0
( p )  
(см. табл. 3) передаточная функция мехатронной системы в соответствии с
(54) и (55) может быть записана как
( p ) 
h(Ty )  p*Ty
H * p 1 N 1 hi 1  hi
. (56)
 * [
* (e  p*ti  e  p*ti1 )  hi 1 * e  p*ti  hi 1 * e  p*ti1 ] 
*e
A
A i 0 p * t
A
Передаточная функция (56) является трансцендентной, что затрудняет ее
применение для анализа мехатронной системы. Для получения передаточной
функции в дробно-рациональном виде можно использовать соотношение
e x  lim
F , ( x)
,
G , ( x)
где
(57)
 , 
F , ( x)  1 

 * (  1)
 * (  1)...2 *1
*x
* x 2  ... 
* x ,
(   ) *1!
(   ) * (    1) * 2!
(   ) * (    1)...(  1) * !

 * (  1)
(1)  *  * (  1)...2 *1
2
G , ( x)  1 
*x
* x  ... 
* x .
(   ) *1!
(   ) * (    1) * 2!
(   ) * (    1)...(  1) * !
При     k можно считать
e  pt 
Fk ( pt )
1  a1 * ( pt )  a2 * ( pt ) 2  ...  (1) k * ak * ( pt ) k
или e  pt 
.
Gk ( pt )
1  a1 * ( pt )  a2 * ( pt ) 2  ...  ak * ( pt ) k
(58)
Подставляя (58) в (56), можно получить передаточную функцию  ( p ) в дробно-рациональном виде. В таблице 4 представлены некоторые коэффициенты
выражения (58).
33
Таблица 4
k
ai
1
a1 
2
a1 
3
a1 
4
a1 
1
2
1
1
, a2 
2
12
1
1
1
, a2  , a3 
2
10
120
1
3
1
1
, a2  , a3  , a4 
2
28
84
1680
Определение частотной характеристики путем аппроксимации переходной функции треугольниками. Этот способ пригоден только для случаев
использования входных воздействий типа прямоугольный импульс или прямоугольная волна, т.е. когда h(0)  h(Ty )  0 , (59). Пусть имеется всего N  1
равноотстоящих точек hi  h(ti ), (i  0,..., N ) , переходной функции, удовлетворяющей условию (59), рис.7.
h(t)
hi
t
ti1
t
t
ti
ti1
Рис.7. Пример аппроксимации переходной функции h(t ) треугольниками
Соответствующим построением можно образовать ( N  1) равнобедренных
N 1
треугольников с основанием 2 * t и высотой hi . Очевидно, что h(t )   f i (t ) ,
i 1
где f i (t ) - функция треугольника, рис.8.
34
fi (t)
t
t
ti1
ti
ti1
Рис.8. Пример функции треугольника f i (t )
Преобразование Фурье для функции треугольника с учетом ее свойства четности имеет вид
Fi ( j )  t * hi * e  jti *[
sin
 * t
2
 * t
]2 . Тогда преобразование Фурье от переходной
2

N 1
0
i 1
функции h(t ) можно записать как H ( j )   h(t ) * e  jt * d   Fi ( j ) . Искомая
частотная характеристика может быть определена как ( j ) 
H ( j )
, где
G( j )
G ( j ) - изображение Фурье для входного воздействия. Итак:
 ( j ) 
 ( j ) 
j
* H ( j ) в случае прямоугольного импульса;
A * (1  e  jT )
j
A * (1  e
 j
T
2
* H ( j ) в случае прямоугольной волны.
)
Определение передаточной функции путем аппроксимации переходной
функции тригонометрическими выражениями. Следует выделить два варианта.
Первый вариант соответствует условию h(Ty )  0 и отвечает применению входных воздействий типа прямоугольный импульс или прямоугольная
волна. Пусть имеется всего N  1 равноотстоящих точек hi  h(ti ), (i  0,..., N ) .
Можно разложить h(t ) в ряд Фурье по синусам на полупериоде T y . Тогда
35
m
h(t )   bk * sin(
k 1
2
N
bk 
N 1
k *
* t ),
Ty
 h * sin(
i
i 1
k *
* i ),
Ty
(60)
0  t  Ty , k  1,2,..., m.
Для гладких переходных функций h(t ) ряд (60) хорошо сходится, причем
обычно достаточно иметь m  3  4 . Преобразование Лапласа от h(t ) имеет вид
T p
1  (1) k * e y
. Тогда передаточная функция системы может быть
H ( p)   bk *
k * 2
2
k 1
p (
)
Ty
m
определена как:
m
 ( j )   bk *
k 1
1  (1) k * e
A * (1  e
T y p
k * 2
)*( p  (
) )
Ty
 pT
* p в случае прямоугольного им-
2
пульса;
m
 ( j )   bk *
k 1
1  (1) k * e
A * (1  e

pT
2
T y p
k * 2
)*( p  (
) )
Ty
* p в случае прямоугольной вол-
2
ны.
Второй вариант соответствует условию h(Ty )  0 и отвечает применению
ступенчатого входного воздействия. В этом случае необходимо ввести в рас~
смотрение новую функцию h (t )  h(t )  (   * t ),0  t  Ty , которая должна удовлетворять граничным условиям
~
h (0)  0
, из которых можно определить коэффициенты  и  .
~
h (Ty )  0
~
После разложения h (t ) в ряд Фурье на полупериоде T y можно записать
m
~
k *
h(t )     * t   bk * sin(
* t ),0  t  Ty ,
Ty
k 1
~
2 N 1 ~
k *
bk  *  hi * sin(
* i), k  1,2,..., m.
N k 1
Ty
Импульсная весовая функция может быть вычислена как
(61)
36
k (t ) 
d
 m ~ k *
k *
h(t )    bk *
* cos(
* t ) . Передаточная функция может быть
dt
A k 1
A * Ty
Ty
получена преобразованием Лапласа от импульсной весовой функции
( p) 

A* p
* (1  e
 pTy
 pT
m
~ 1  (1) k * e y
k *
.
)   bk *
* p*
k * 2
A
*
T
2
k 1
y
p (
)
Ty
(62)
2.3. Экспериментальное определение характеристик случайных
процессов
В ряде случаев в экспериментах невозможно или нежелательно использовать пробные сигналы. Тогда для определения динамических характеристик мехатронной системы могут быть использованы статистические характеристики сигналов на ее входе и выходе. В качестве статистических характеристик для данной задачи интерес представляют корреляционная функция
и спектральная плотность.
2.3.1. Корреляционная функция
Корреляционная (автокорреляционная) функция стационарного случайного процесса x(t ) определяется как
Rxx ( )  lim
T 
1
2 *T
T
 x(t ) * x(t   ) * dt .
(63)
T
Для двух стационарных случайных процессов x(t ) и y (t ) взаимная корреляционная функция определяется как
Rxy ( )  lim
T 
1
2 *T
T
 x(t ) * y(t   ) * dt .
(64)
T
Для оценки корреляционной функции принято использовать выражение
1
Rxx ( ) 
2 *T
T
 x(t ) * x(t   ) * d .
(65)
T
Пусть имеется запись реализации случайного процесса на интервале наблюдения T , состоящая из N 1 замеров через равные промежутки времени  .
Если придавать t и  дискретные значения соответственно t  n * , (n  1,2,...)
37
и   m * , (m  0,1,...) , и обозначить x(n * )  x[n], x(m * )  x[m] , то оценку (65)
можно представить в виде:
Rxx (m) 
N
1
 x[n] * x[n  m] .
2 * N  1 n N
(66)
Если ограничиться положительным временем и учесть, что для значений
n  N  m справедливо x[n  m]  0 , то оценка корреляционной функции при-
обретает вид
1 N m
 x[n] * x[n  m] .
N  m n 1
Rxx (m) 
(67)
Аналогичным образом оценивается взаимная корреляционная функция
Rxy (m) 
1 N m
 x[n] * y[n  m] .
N  m n 1
(68)
При проведении эксперимента по оценке корреляционной функции необходимо учитывать следующие рекомендации:
 Выбор интервала дискретности времени  должен удовлетворять
условию  

, где 0 - ожидаемая наивысшая частота спектра сигнала
0
x(t ) ;
 Выбор максимального значения интервала корреляции должен удовлетворять условию mmax 
2 *
p
,
где  p - низшая частота спектра сигнала x(t ) ;
 Выбор интервала наблюдения должен удовлетворять условию
T  (10  20) * mmax .
2.3.2. Спектральная плотность
Спектральная плотность случайного процесса x(t ) определяется как
S xx ( )  lim
T 
1
2
* F ( j ) ,
2 *T
(69)
38

где F ( j )   x(t ) * e  jt * dt - преобразование Фурье для x(t ) . Спектральная

плотность характеризует среднюю мощность процесса x(t ) и связана с его
корреляционной функцией через преобразование Фурье
S xx ( ) 

R
xx
( ) * e  j * d .
(70)

Определение спектральной плотности по реализации процесса
Пусть на некотором интервале наблюдения T имеется реализация слу x(t ),0  t  T
.
0, t  T
чайного процесса x(t ) , которую можно обозначить как xT  
T
Выражение xT ( j )   xT (t ) * e jt * dt называется «текущим спектром».
0
В качестве оценки спектральной плотности используется выражение
ST ( ) 
1
2
xT ( j ) .
T
(71)
Анализ показывает, что математическое ожидание от ST () стремиться к
спектральной плотности S xx ( ) в пределе при T   . Реализацию xT (t ) можно разложить в ряд Фурье

xT (t )  b0   (ai * sin( i * t )  bi * cos(i * t ))
i 1
T
ai 
2
* xT (t ) * cos(i * t ) * dt ,
T 0
T
2
bi  *  xT (t ) * sin( i * t ) * dt ,
T 0
i 
2 *
*i
T
Тогда оценка спектральной плотности приобретает вид
.
(72)
39
ST (i ) 
1
* (ai2  bi2 ) .
T
(73)
На рис. 9 представлен пример оценки спектральной плотности.
ST ()

 
2*
T
Рис.9. Пример оценки спектральной плотности
В случае дискретной записи случайного процесса в виде N значений с интервалом дискретности t коэффициенты в (72) вычисляются как
2 N 1
2 * * k
ai  *  xT (t k ) * cos(
* i ),
N k 1
N
2 N 1
2 * * k
bi  *  xT (t k ) * sin(
* i)
N k 1
N
.
(74)
Оценкой взаимной спектральной плотности для случайных процессов
x(t ) и y (t ) по аналогии с (73) является выражение
STxy ( ) 
1
* (ai  j * bi ) * (ci  j * d i ) ,
T
(75)
где коэффициенты ai и bi вычисляются согласно (74), а коэффициенты ci и di
определяются как
ci 
2 N 1
2 * * k
*  yT (t k ) * cos(
* i ),
N k 1
N
2 N 1
2 * * k
d i  *  yT (t k ) * sin(
* i)
N k 1
N
.
(76)
40
Определение спектральной плотности по корреляционной функции
Определение спектральной плотности возможно путем выполнения
численного преобразования Фурье от корреляционной функции.
Пусть известно M  1 равноотстоящих значений корреляционной функции на интервале T  T0 , где T0 соответствует моменту затухания корреляционной функции до 3-5 % от начального значения
Rxx (T0 )  (0.03  0.05) * Rxx (0) .
(77)
В соответствии с (70) спектральную плотность можно определить через корреляционную функцию как
T
S xx ( )  2 *  Rxx ( ) * cos( * ) * d .
(78)
0
Для вычисления выражения (78) удобно применить метод численного интегрирования функции y (x) для равноотстоящих узлов – правило трапеций:
x0  n*x
n 1
x0
i 1
 y( x) * dx  x * (0.5 * y0   yi  0.5 * yn ) .
(79)
Тогда в соответствии (78) и (79) спектральная плотность вычисляется как
M 1
S xx ( )  Rxx (0)  2 *  Rxx (m) * cos( m *  )  Rxx ( M ) * cos( M *  ) .
(80)
m 1
После этого можно построить зависимость спектральной плотности от дискретных значений равноотстоящих значений частот (например, см. рис.9).
Ординаты спектральной характеристики S xx (i ) рекомендуется вычислять с
шагом дискретности по частоте  

10 * M
.
Определение спектральной плотности с использованием таблиц преобразования Фурье
В силу линейности преобразования Фурье целесообразно корреляционную функцию представить в виде нескольких элементарных функций, преобразование Фурье для которых известно. Тогда спектральная плотность бу-
41
дет равна сумме спектральных плотностей элементарных функций. Пусть
имеет место соотношение
k
Rxx ( )   Rxxi ( ) ,
(81)
i 1

причем спектральная плотность Si ( )   Rxxi ( ) * e  j * d известна. Тогда ис
комая спектральная плотность равна
k
S ( )   Si ( ) .
i 1
В случае монотонной корреляционной функции Rxx ( ) для ее расчета по
формуле (81) удобно использовать единичную треугольную функцию, представленную на рис.10, которая имеет спектральную функцию вида
 ( ) 
1
sin( 0.5 *  ) 2
*(
) .
2 *
0.5 * 
(82)
Для функции (82) разработаны подробные таблицы. Для произвольного треугольника с высотой H i и основанием Ti справедливо соотношение
Si ( )  (Ti ) * H i .
(83)
На рис.11 представлен пример аппроксимации треугольниками монотонной
корреляционной функции.
Rxx()
Rxx()
1

1
3
2

1
Рис.10. Единичная треугольная функция
Рис.11. Пример аппроксимации треугольниками 1,2,3 монотонной корреляционной функции.
42
Определение импульсной весовой функции мехатронной системы по корреляционным функциям ее входного и выходного сигналов
В основе определения импульсной весовой функции k (t ) статистическими методами лежит интегральное уравнение

R yx ( )   R xx (   ) * k ( ) * d
0
.
(84)
     
Оно связывает автокорреляционную функцию Rxx ( ) сигнала на входе x системы с взаимной корреляционной функцией Rуx ( ) между сигналами на входе x и выходе y .
Если перейти от бесконечного верхнего предела к конечному интервалу T , разбив его на ( N  1) отрезков длины  , и заменить интеграл конечной
суммой, то уравнение (84) примет вид
N 1
Ryx ( )   ( Rxx (  i * ) * k (i * ) * ) .
(85)
i 0
Рассматривая уравнение (85) в фиксированные моменты времени
  0, ,2,..., ( N  1) , можно получить N уравнений с N неизвестными значе-
ниями импульсной весовой функции k ( i ), i  0,1,..., N . К сожалению, такое решение очень сильно зависит от погрешностей определения корреляционных
функций, что существенно снижает его достоверность.
Определение частотной характеристики мехатронной системы по
спектральным плотностям ее входного и выходного сигналов
Интегральное уравнение (84) можно перевести из временной области в
частотную, связав частотную характеристику ( j ) мехатронной системы со
спектральными плотностями входного и выходного сигналов
S yx ( )   ( j ) * S xx ( ) .
(86)
Очевидно, что спектр частот входного сигнала S xx ( ) должен быть значительно шире предполагаемой полосы пропускания мехатронной системы. Только
43
в этом случае можно существенно ограничить влияние погрешностей экспериментального определения спектральных плотностей на конечный результат – определение частотной характеристики
( j ) 
S yx ( )
S xx ( )
.
(87)
44
Оглавление
Экспериментальные исследования в мехатронных системах ........................1
Часть 1 ......................................................................................................................1
Бошляков Андрей Анатольевич, Кузьмина Ангелина Олеговна, ............1
Овсянников Сергей Всеволодович ..................................................................1
Введение ........................................................................................................................................1
1.
Методы исследований мехатронных систем ..................................................................2
1.1. Классификация научных методов исследования .............................................................2
1.1.1. Теоретические методы ................................................................................................2
1.1.2. Теоретико-эмпирические методы ..............................................................................3
1.1.3. Эмпирические методы ................................................................................................3
1.2. Классификация экспериментов.........................................................................................4
1.2.1. Классификация экспериментов по структуре ...........................................................4
1.2.2. Классификация экспериментов по стадии проведения ...........................................5
1.2.3. Классификация экспериментов по организации ......................................................6
1.2.4. Классификация экспериментов по способу проведения .........................................7
1.3. Основные этапы экспериментального исследования .....................................................7
1.4. Статистическая модель «черный ящик» ........................................................................9
2. Экспериментальные определения параметров мехатронных систем ........................10
2.1. Экспериментальное определение статических характеристик ................................10
2.1.1. Статическая характеристика для одного параметра ..............................................10
2.1.2. Статистическая характеристика для нескольких входных параметров ...............14
2.1.3. Особенности определения статических характеристик.........................................15
2.2. Экспериментальное определение динамических характеристик ...............................16
2.2.1.
Частотная характеристика ..................................................................................17
Теоретическое обоснование эксперимента ..................................................................17
Проведение эксперимента ..............................................................................................20
Обработка результатов эксперимента .......................................................................21
2.2.2. Импульсная (весовая) функция ................................................................................24
Теоретическое обоснование эксперимента ..................................................................24
Проведение эксперимента ..............................................................................................25
2.2.3. Переходная функция .................................................................................................25
Теоретическое обоснование эксперимента ..................................................................25
Проведение эксперимента ..............................................................................................26
Обработка результатов эксперимента .......................................................................27
Использование результатов эксперимента .................................................................31
2.3. Экспериментальное определение характеристик случайных процессов ...................36
2.3.1. Корреляционная функция .........................................................................................36
2.3.2. Спектральная плотность ...........................................................................................37
Определение спектральной плотности по реализации процесса ..............................38
Определение спектральной плотности по корреляционной функции........................40
Определение спектральной плотности с использованием таблиц преобразования
Фурье.................................................................................................................................40
Определение импульсной весовой функции мехатронной системы по
корреляционным функциям ее входного и выходного сигналов...................................42
45
Определение частотной характеристики мехатронной системы по
спектральным плотностям ее входного и выходного сигналов .................................42