Автономная некоммерческая образовательная организация высшего профессионального образования

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего
профессионального образования
МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЛАВЯНСКИЙ ИНСТИТУТ
Факультет «Экономики и организации предпринимательства»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
На тему: «Теория вероятностей математического программирования».
По курсу: «Математика».
Выполнила:
Студентка 1курса
Гр. БУА-11/к
Яковлева Н. А.
Проверил: Шаповалов Е.П.
Москва
2011г.
1
Содержание
Задача №1…………………………………………………………………………3
Задача №2………………………………………………………………………...4
Задача №3………………………………………………………………………...5
Задача №4………………………………………………………………………...6
Задача №5………………………………………………………………………...8
Задача № 6 .............................................................................................................. 10
Список использованных источников .................................................................. 11
2
ВАРИАНТ№ 2
Задача 1. Производится испытания прибора. За один час прибор выходит из строя с
вероятностью р=0.05. Найти вероятность, что прибор выйдет из строя в течение первых трех
часов. Найти вероятность, что прибор не выйдет из строя ровно на втором часе работы.
Решение : Согласно формуле Пуассона, определяющей вероятность появления k событий
за время длительностью t
( t ) k  e   t
Pt (k ) 
k!
вычислим вероятность того, что прибор выйдет из строя в течение первых трех часов
работы, если P1 (1)  0,05 , где k  1, t  1 . Тогда по формуле Пуассона найдем
e  0,05   , e  0,05    0 . Разложим функцию e по степеням  в ряд Маклорена,
получим


2 3

 ...   0,05    0,    0,053 ,
1   
2! 3!


где
 - среднее число приборов, которые могут выйти из строя в течение 1 часа.
Найдем
(0,053  3)  e0,0533
P3 (1) 
 0,136,
1!
(0,053  2)  e0,0532
P2 (1) 
 0,095,
1!
P1 (1)  0,05.
Тогда вероятность того, что прибор выйдет из строя в течение первых трех часов,
равна
P3 (1)  P2 (1)  P1 (1)  0,136  0,095  0,05  0,281 .
Вероятность того, что прибор не выйдет из строя ровно на втором часе работы, равна
1  P2 (1)  (0,053  2)  e0,0532  1  0,095  0,905 .
3
Задача 2. Среди семян ржи 0.5% сорняки. Какова вероятность, что при случайном отборе
1000 семян обнаружить 5 сорняков.
Решение: Вероятность обнаружить сорняк в одном испытании равна p  0,05 . По
локальной теореме Лапласа вероятность того, что в n  1000 испытаниях нужное событие
появится ровно k  5 раз, равна
 k  np 
1
 
 , где  ( x) - табличная дифференциальная
np(1  p)  np(1  p) 
функция Лапласа,  ( x)   ( x) .
Pn (k ) 

k  np  5  1000  0,05
 2,846 ,  (2,846)  0,007 , тогда
 
np
(1

p
)
1000

0,5

0,5


Если 

P1000 (5) 
1
0,007  0,0004427 .
1000  0,25
4
Задача 3. На отрезок длины L=10 бросаются наугад и независимо друг от друга две точки ξ1,
ξ2. Какова вероятность, что расстояние между ними будет не более 1=7.
Решение:
Построим
рисунок,
0  1  10, 0  2  10, 1  2  7 .
используя
заданные
в
задаче
ограничения:
10
7
2
0
1
7
10
Вероятность того, что расстояние между двумя точками не превысит 7, геометрически
выражается в виде отношения площади равнобедренного прямоугольного треугольника с
катетами равными 7 и площади квадрата со стороной 10 (условие того, что расстояние между
точками будет любым), т.е.
P
S
0,5  7  7 24,5


 0,245.
S
10  10
100
5
Задача 4. Задана плотность вероятности
А sin x,
f (x) =
0,
x ϵ [0.π]
x [0.π]
Решение: Найдем коэффициент А, для этого вычислим определенный интеграл вида


1   A sin xdx   A cos x 0   A cos   A cos0  A(1  (1))  2 A, 2 A  1, A  1/ 2.
0
Итак, А=1/2. Отсюда, интегральная функция распределения F ( x) равна
0, x  0,

F ( x)  1/ 2cos x, 0  x   ,
0, x   .

Определим числовые характеристики: M ( x) - мат. ожидание, D ( x) - дисперсию
случайной
величины.
u  x, du  dx,



1
1

M ( x)   x sin xdx 
   x cos x 0   cos xdx  

dv   sin xdx, v   cos x 2 
20
0




1
1


( x cos x  sin x) 0  ( cos   sin   0cos0  sin 0)  ;
2
2
2


1 

1 
2 
D( x)    x   sin xdx    x 2   x 
 sin xdx 
2 0
2
2 0
4 
2




1 2

2
1
  x sin xdx   x sin xdx   sin xdx   x 2 sin xdx 
20
20
8 0
20





2

 2 2 
1 2

  x sin xdx   cos x    x sin xdx   x sin xdx      
20
20
8 
 8
0 2 0
 8
u  x, du  dx,
1 2


  x sin xdx   x sin xdx 


20
20
4 dv   sin xdx, v   cos x dv   sin xdx, v   cos x


2
u  x 2 , du  2 xdx,


 


1 2


   x cos x  2  x cos xdx     x cos x 0   cos xdx  
 2

0
4 2 
0
0



2


 
1 2



   cos   2  x sin x 0   sin xdx     cos   sin x 0 

 2
4 2 
0



2
2


1


  2  2  cos x 0
4 2

  2  4  2  2  2  4  2.
2
2
2
2
2
6
Вероятность P(0     / 4) того, что случайная величина
1
P(0     / 4) 
2
 /4

0
  0;  / 4 равна
 /4
1
1
 1
2 1 2 2
sin xdx  cos x   cos  cos0  
 
.
2
2
4
2
4
2
4
0
7
Задача 5. Выработка бригады У зависит от ее численности Х:
Х
2
4
6
8
10
12
У
4
7
13
15
19
25
Определить коэффициент корреляции Rxy между случайными величинами и построить
уравнение регрессии в виде y = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 2
Решение: Составим таблицу:
2
4
4
X
Y
Z=X2
4
7
16
6
13
36
8
15
64
10
19
100
12
25
144
Подсчитаем коэффициент корреляции rxy по следующей формуле:
, где
- средние значения случайных величин Х и Y, соответственно, n  6 - объемы выборок.
1
1
x  (2  4  6  8  10  12)  7, y  (4  7  13  15  19  25)  13,833.
6
6
6
 ( x  x )( y  y )  (2  7)(4  13,833)  (4  7)(7  13,833)  ...  (12  7)(25  13,833) 
i
i
i 1
 143,
6
(x  x )
2
i
 (2  7) 2  (4  7) 2  ...  (12  7) 2  70,
i 1
6
( y  y)
2
i
 (4  13,833) 2  (7  13,833) 2  ...  (25  13,833) 2  296,833.
i 1
6
rxy 
 ( x  x )( y  y )
i
i

i 1
6
6
(x  x )  ( y  y)
2
i
i 1
2
143
 0,992.
70  296,833
i
i 1
Найдем уравнение нелинейной регрессии y  a0  a1x . Выборочное уравнение
2
прямой линии регрессии Y на X2 =Z имеет вид yx  y  ryz
y
(z  z ) .
z
1
z  (4  16  36  64  100  144)  60,666,
6
1
y  (4  7  13  15  19  25)  13,833.
6
8
6
ryz 
 ( z  z )( y  y )
i
i
6
6
(z  z )  ( y  y)
2
i
i 1
y 
 0,98.
i 1
2
i
i 1
1 6
1
( yi  y ) 2 
296,833  7,705,

6  1 i 1
5
1 6
1
z 
( zi  z ) 2 
2020,667  20,103.

6  1 i 1
5
Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:
y x  y  ryz
y
( z  z ),
z
7,705
( z  60,666),
20,103
y x  112,046  0,376 z,
y x  134,833  0,98
y x  112,046  0,376 x 2 .
9
Задача 6. Решить графически задачу линейного программирования. Провести анализ
чувствительности.
w = 3𝑥1 + 2𝑥2 → max
0.1𝑥1 + 0.4𝑥2 ≤ 7
𝑥1 ≥ 1
𝑥2 ≥ 0.6
Решение: Построим графический аналог системы ограничений в исходной задаче линейного
программирования (ЛП).
3х1+2х2=С3
Х2
grad(W)
50
3х1+2х2=С2
А
В
0 Е
А
100
Х1
3х1+2х2=С1
Целевая функция W представляет собой прямую (жирная линия), которая,
продвигаясь в направлении вектора градиента grad (W ) , причем вектор всегда  прямой,
выходит из замкнутой области (заштрихованный треугольник), представляющей систему
ограничений задачи ЛП, в точке В с координатами
 x  0,6,
 x  0,6,
 x  0,6,
B: 2
 2
 2
 B(67,6; 0,6).
0,1x1  0,4 x2  7,
0,1x1  0,24  7,
 x1  67,6,
В этой точке целевая функция достигает своего максимума в системе ограничений,
причем Wmax  3  67,6  2  0,6  202,8  1,2  204 .
10
Список использованных источников.
Математические методы в экономике : учебное пособие
Издательство: Волтерс Клувер.
Год издания: 2009 Количество страниц: 132
Михайлова И.В. Исследование операций. Специальный курс. Часть 1.
Математическая модель операции: Учебное пособие. - Воронеж: Изд-вo ВГУ,
2003. - 23 с.
«Математич.методы в экономике»/ Под ред. Черника Д. Г. — М.: Финансы и
статистика, 2000.
2009 112 с. 8 Иахмаи А.Д. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебио-метод. разработки.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.,
Высш.шк., 2003.- 479 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. - М., Высш.шк., 2004.- 404 с.
Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов /
Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1999. -448 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для
вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
11