7131 МНК

Функция y=f(x) задана таблицей
x 38 41 44 45 50 51 49 40 39 33
f(x) 3 9 8 5 5 7 6 9 4 4
Методом наименьших квадратов найти аппроксимирующую функцию y=F(x) в виде:
1) y  ax  b ;
2) y  ax m ;
3) y  a ln x  b ;
x
8) y 
.
ax  b
1) Случай линейной функции y  ax  b .
Параметры a, b находятся при решении системы линейных уравнений по формулам
Крамера:
a  S x 2  b  S x  S xy
.

a  S x  b  n  S y
Для составления системы заполним вспомогательную таблицу:
x
38
41
44
45
50
51
49
40
39
33
430
y
3
9
8
5
5
7
6
9
4
4
60
x2
1444
1681
1936
2025
2500
2601
2401
1600
1521
1089
18798
xy
114
369
352
225
250
357
294
360
156
132
2609
F(x)
5,5292
5,8117
6,0942
6,1883
6,6591
6,7532
6,5649
5,7175
5,6234
5,0584
60
ε2
6,3970
10,1653
3,6322
1,4121
2,7526
0,0609
0,3192
10,7746
2,6354
1,1203
39,2695
18798a  430b  2609;

430a  10b  60.
Решая систему, получаем уравнение:
y  0,0942 x  1,9513
2) Случай y  ax m легко сводится к случаю 1) при помощи преобразования:
ln y  ln( ax m )  ln a  m ln x .
Введем обозначения: A  m, B  ln a, u  ln x, v  ln y . Найдем аппроксимирующую
функцию в виде линейной функции v  A  u  B .
Составляем вспомогательную таблицу:
x
38
41
44
45
50
51
49
40
39
y
3
9
8
5
5
7
6
9
4
u=lnx
3,6376
3,7136
3,7842
3,8067
3,9120
3,9318
3,8918
3,6889
3,6636
v=lny
1,0986
2,1972
2,0794
1,6094
1,6094
1,9459
1,7918
2,1972
1,3863
u2
13,2320
13,7906
14,3201
14,4907
15,3039
15,4593
15,1463
13,6078
13,4217
uv
3,9963
8,1596
7,8690
6,1266
6,2962
7,6510
6,9732
8,1053
5,0788
F(x)
5,0194
5,4220
5,8251
5,9596
6,6325
6,7672
6,4978
5,2878
5,1536
ε2
4,0781
12,8018
4,7302
0,9207
2,6650
0,0542
0,2478
13,7806
1,3307
33
430
4
60
3,4965
37,5266
1,3863
17,3016
12,2256
140,9979
4,8472
65,1030
4,3495
56,9144
0,1222
40,7313
 А  S u 2  В  S u  S uv
 А  140,9979  В  37,5266  65,1030
Составляем систему: 
→ 
 А  37,5266  В  10  17,3016
 А  Su  В  n  Sv
В результате решения системы получаем параметры A=1,0154, B=-2,0803. Искомые
параметры a, m находятся по формулам: a  e B  0,1249, m  A  1,0154.
F ( x)  0,1249 x1.0154 .
3) Случай y  a ln x  b легко сводится к случаю 1) при помощи замены u  ln x . Найдем
аппроксимирующую функцию в виде линейной функции y  a  u  b .
Составляем вспомогательную таблицу:
x
38
41
44
45
50
51
49
40
39
33
430
u
3,6376
3,7136
3,7842
3,8067
3,9120
3,9318
3,8918
3,6889
3,6636
3,4965
37,5266
y
3
9
8
5
5
7
6
9
4
4
60
u2
13,2320
13,7906
14,3201
14,4907
15,3039
15,4593
15,1463
13,6078
13,4217
12,2256
140,9979
uy
10,91276
33,42215
30,27352
19,03331
19,56012
27,52278
23,35092
33,19992
14,65425
13,98603
225,9157
F(x)
5,497611
5,829342
6,137636
6,235746
6,695717
6,782169
6,607518
5,721542
5,611012
4,881706
60
ε2
6,238061
10,05307
3,468398
1,527068
2,875457
0,04745
0,369079
10,74829
2,59536
0,777405
38,69964
140,9979a  37,5266b  225,9157;
Получаем систему: 
37,5266a  10b  60.
В результате решения системы получаем параметры a  4,37; b  10,38 .
F ( x)  4,37 ln x  10,38.
x
1 ax  b
4) Случай y 
сводится к случаю 1) при помощи преобразования 
или
ax  b
y
x
1 b
  a.
y x
1
1
Введем обозначения: u  , v  . Найдем аппроксимирующую функцию в виде
x
y
линейной функции v  b  u  a .
Составляем вспомогательную таблицу:
x
38
41
44
45
50
51
49
40
39
u
0,0263
0,0244
0,0227
0,0222
0,0200
0,0196
0,0204
0,0250
0,0256
y
3
9
8
5
5
7
6
9
4
v
0,3333
0,1111
0,1250
0,2000
0,2000
0,1429
0,1667
0,1111
0,2500
u2
0,0007
0,0006
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0006
0,0007
uv
0,0088
0,0027
0,0028
0,0044
0,0040
0,0028
0,0034
0,0028
0,0064
F(x)
4,6372
5,0937
5,5670
5,7286
6,5678
6,7421
6,3958
4,9397
4,7875
ε2
2,6804
15,2593
5,9196
0,5309
2,4581
0,0665
0,1566
16,4861
0,6202
33
430
0,0303
0,2366
4
60
0,2500
1,8901
0,0009
0,0057
0,0076
0,0457
3,9113
54,3708
0,0079
44,1856
0,0057b  0,2366a  0,0457;

0,2366b  10a  60.
10,0369
-0,0485
В результате решения системы получаем параметры a  0,0485, b  10,0369 .
x
.
F ( x) 
 0,0485 x  10,0369
Вывод: сравнивая значения суммы квадратов отклонений ε2 видно, что наилучшее
приближение МНК даёт логарифмическая функция F ( x)  4,37 ln x  10,38.