Разработка и исследование ссудо-сберегательных программ: динамическая модель 1.Введение

Разработка и исследование ссудо-сберегательных программ:
динамическая модель
Д.Г.Ильинский (ЦЭМИ РАН),
В.М. Полтерович (ЦЭМИ РАН, МШЭ МГУ),
О.Ю. Старков (ЦЭМИ РАН)
1.Введение
Целью настоящей работы является создание математической модели, которая могла бы использоваться для разработки и анализа ссудо-сберегательных программ ипотечного кредитования (ССП). В работах Полтерович, Старков (2007, 2010) было показано,
что в странах с несовершенными институтами и высоким отношением цены жилья к
среднедушевому доходу внедрение именно таких программ целесообразно положить в
основу стратегии развития массового рынка жилищного ипотечного кредитования.
ССП характеризуются двумя принципиальными отличиями от других ипотечных
институтов. Во-первых, выдача кредита в рамках этих программ обусловлена регулярным
накоплением вкладчиком первоначального взноса в течение достаточно длительного времени (обычно 4-6 лет). Во-вторых, регулярное накопление стимулируется субсидиями из
государственного (федерального или регионального) бюджета - премиями на стройсбережения. При этом вкладчики, нарушающие план накопления, лишаются премий, а при
многократных нарушениях исключаются из программы вовсе. Благодаря этим особенностям а) ССП доступны для граждан с невысокими доходами; б) ненадежные заемщики
выявляются уже на стадии накопления и не получают кредита; в) проценты по депозитам
и кредиту могут быть достаточно низкими (обычно, 2-3% и 5-6%), так чтобы эффективный процент по депозитам с учетом премии оказался на достаточно высоком уровне, а
ставка по кредиту привлекала вкладчиков и обеспечивала достаточно высокую маржу.
Вывод о целесообразности внедрения ССП базировался на изучении эволюции
ипотечных институтов, на рассмотрении 125 эпизодов заимствования ипотечных
институтах в 63 странах за 230 лет, на анализе недавнего опыта стран Восточной
Европы и России, включая и кризисный период, и, наконец, на расчетах по математической модели на российских данных. В Полтерович, Старков (2010) было предложено
начать формирование массовой ипотеки в России с эксперимента в одном из регионов.
ССП могут быть реализованы в рамках специализированных институтов – стройсберкасс (ССК) или строительно-сберегательных кооперативов, либо в форме специаль1
ных жилищных накопительных счетов в банке (ЖНС). Хотя в практике других стран
ЖНС используются сравнительно редко, исследование, проведенное в
Полтерович, Старков (2011), показало, что именно эта форма имеет наибольшие шансы
на успех в современной России, поскольку ее внедрение связано с наименьшим сопротивлением заинтересованных игроков.
Идея построения экспериментальной системы ЖНС на уровне региона реализована администрацией Краснодарского края и Сбербанком РФ. К ноябрю 2012 г. около 4000
жителей края открыли жилищно-накопительные счета. При разработке этой системы нами
была использована описываемая ниже модель (см. Ильинский, Полтерович, Старков,
2012) .
Качество работы ССП зависит от сочетания величин экзогенных параметров и
управляющих переменных. К первым относятся приток вкладчиков1, процент по внешним кредитам, ставка резервирования, норма страховых отчислений, частота нарушений
планов накопления, вероятность невыплаты кредита, доля друзей вкладчиков2, распределение помесячных взносов вкладчиков, цены предпочитаемых ими квартир . К управляющим переменным относятся ставки по депозитам и кредитам, сроки накопления и кредитования, ставка премии на сбережения, предельный уровень премии в месяц. Управляющие переменные следует выбирать так, чтобы при изменениях экзогенных параметров в
достаточно широком диапазоне обеспечить преимущество ССП перед альтернативными
ипотечными программами для населения, банка и государства (региональной администрации). Такова первая и главная задача, стоящая перед разработчиком. Модель ССП
должна предоставлять разработчику возможность решить эту задачу.
Вторая задача, тесно связанная с первой, состоит в том, чтобы обеспечить финансовую устойчивость ССП. Поясним это понятие.
При заданном наборе экзогенных параметров каждая ССП порождает ссудосберегательную траекторию (ССТ), характеризующуюся множествами вкладчиков, находящихся на той или иной стадии накопления и выплаты кредитов, суммами их средств на
счетах и задолженностей, и т.п. В системе CCП возможны финансовые разрывы – ситуации, когда объем накопленной в системе кредитной массы недостаточен для выполнения
текущих кредитных обязательств. В этом случае CCП предусматривает либо создание
очереди вкладчиков, выполнивших программу сбережений и ожидающих кредит, либо
Строго говоря, параметры ССП могут влиять на приток вкладчиков; эту связь мы не учитываем.
Друзьями вкладчиков называют участников ССП, накапливающих средства в течение достаточно длительного времени (обычно, пять лет), но отказывающихся от кредита. Накопления друзей вкладчиков используются для кредитования заемщиков. Поэтому друзьям разрешено выйти из ССП, забрав не только накопленные средства с процентами, но и премии на сбережения.
1
2
2
внешние заимствования3. Мы говорим, что CCП финансово устойчива на заданном множестве возможных изменений экзогенных параметров, если она не допускает неограниченных разрывов и сколь угодно длинных очередей. ССП финансово устойчива в сильном
смысле, если на любой порожденной ею траектории, начиная с некоторого момента времени очереди и разрывы отсутствуют вовсе. Модель должна позволить разработчику исследовать ССП на финансовую устойчивость.
Третья важная задача состоит в исследовании ССП на асимптотическую устойчивость. Она имеет место, если все порожденные ею траектории с течением времени сходятся друг к другу. В случае, когда экзогенные параметры постоянны, это означает стационарность ССТ – независимость ее характеристик от времени.
Очевидно, для решения сформулированных задач необходима динамическая модель ССП. Между тем, ни одна из известных нам прикладных моделей ССК не позволяет достаточно полно учесть переходную динамику, возникающую при изменении экзогенных параметров, в то время как именно такие изменения могут привести к кризису
стройсберкасс. Поэтому на практике модели дополняются эвристическими процедурами
для поддержания баланса в условиях существенного роста цен на жилье и нестабильности вступления в систему новых участников. Практически во всех прикладных работах
предполагается, что параметры накопления и кредитования не меняются со временем, и
анализируются соответствующие стационарные режимы (см., в частности, Laux (2005)).
Статической является и модель, разработанная в монографии Полтерович, Старков (2007)
для других целей. Нестационарную динамику на стартовом периоде учитывает модель ростовского кооператива, автором которой является участник проекта Чуев Н.В. В ней, однако, экзогенные параметры также предполагаются неизменными; модель предусматривает расчет эндогенных параметров, обеспечивающих выход ССК на стационарный режим.
Наиболее близкой к нашей модели является модель с перекрывающимися поколениями, использованная в статье Scholten (2000) для анализа простейшего типа ССП. Однако при анализе и в этом случае фактически рассматриваются только стационарные режимы. В этой модели все вкладчики одинаковы, их приток постоянен, не предусматривается бюджетная премия на сбережения, принято упрощенное правило назначения очередности при выдаче кредита (жребий).
Предлагаемая нами модель представляет собой систему нелинейных рекуррентных соотношений, описывающих динамику системы спецсчетов. Она позволяет для каждого момента времени рассчитать число вкладчиков с разными сроками накопления, чисЕсли ССП реализуется в виде специальных банковских счетов, то привлекаются дополнительные ресурсы
самого банка.
3
3
ло вкладчиков, получивших право на кредит с разными сроками его ожидания (либо
структуру внешних заимствований), число заемщиков, получивших кредиты в разное
время, сумму накопленную на депозитах, кредитную массу, и остаток денег на счете (резерв). Модель позволяет учесть изменения притока вкладчиков, наличие инфляции, изменения темпа роста доходов и ставок процента на внешнем рынке, а также вариацию внутренних параметров спецсчетов: процентных ставок, сроков и объемов накопления и кредитования.
Благодаря этому модель дает возможность решать все три описанные выше задачи,
и, таким образом, разрабатывать планы по накоплению и кредитованию участников спецсчетов, устойчивые к колебаниям экзогенных параметров.
Нами изучены стационарные ССТ. Доказано, что при некоторых ограничениях на
входные параметры ССП любая ССТ будет стационарна. Исследованы границы сильной
финансовой устойчивости ССП.
Расчеты показали, что в российских условиях существует широкий спектр ССП,
которые обеспечивают устойчивое кредитование участников программы в широком диапазоне изменения условий работы спецсчетов. При этом максимальный размер дефицита
и длительность его существования достигалась не в стационарном, а в переходном режиме.
Последний результат явственно демонстрирует преимущество предлагаемой модели над известными, описывающими лишь стационарные режимы. Убыток от длительного дефицита средств является важнейшей характеристикой ССП, характеризующей ее
устойчивость: при высоком и длительном дефиците возникает опасность отказа банка от
данного тарифа. А в случае невозможности обслужить потенциальных заемщиков возникает опасность массового «бегства вкладчиков». Стационарные модели дают чрезмерно
оптимистические оценки и не позволяют получить своевременную информацию об угрозе
кризиса.
2. Агенты ССП: общая схема взаимодействия.
В данном разделе дается описание общей схемы взаимодействия участников
ипотечной системы (потребителя, банка и регионального или федерального
правительства). Под банком здесь и далее подразумевается организация, которая
занимается всеми операциями ССП: это может быть как и управление общественной ССК,
так и управление спецсчетами в банке. Там где две модели различаются будет указано,
что выполнено для общественной ССК, а что для системы спецсчетов.
Потребители.
4
Потребитель, вступив в ССП, последовательно проходит три стадии: накопление,
очередь (если она существует) и выплата кредита.
Накопление.
Агент каждый месяц вносит определенную сумму денег (взнос), на которую начисляются определенные заранее проценты. Кроме того, в начале каждого нового месяца государство выплачивает премию (социальную выплату), исчисляемую как определенный
процент от этих взносов.
Очередь.
После окончания накопления банк либо выдает требуемую сумму агенту, либо просит его
подождать. В последнем случае агент попадает в очередь, которую образуют все агенты
ожидающие кредита. Правила формирования очереди могут учитывать объем и регулярность накопительных взносов агента.
Выплата кредита.
В течение срока кредитования агент выплачивает взносы. После уплаты агент выходит из
системы с приобретенным в собственность жильем.
Банк.
Для выдачи кредитов формируется кредитная масса из целевых вкладов физических
лиц, выплат в счет погашения ранее выданных кредитов и резерва. Если денег для выплаты кредитов не хватает, то банк для преодоления кассового разрыва может привлечь собственные средства (поступившие от операций, не связанных с ССП, а также заемные средства). Средства ССП, временно свободные от обязательств перед вкладчиками и иными
кредиторами, банк может использовать на вложения в государственные ценные бумаги
или на иные рыночные операции. Возврат заемных средств, незаконно начисленной премии государства и иных средств, использованных для пополнения распределяемой массы,
происходит вне очереди, то есть до обслуживания вкладчиков.
Для покрытия кассовых разрывов банк может также создать специальный фонд пополнения распределяемой массы (резерв). Формирование резерва осуществляется за счет
процентных доходов, полученных от вложений временно свободной части распределяемой массы в рыночные операции и государственные ценные бумаги.
Государство.
Помогает агентам получать данный кредит при помощи социальных выплат, субсидируя их на стадии накопления.
3. Модель ССП (спецсчетов и стройсберкассы).
5
3.1. Накопление.
Обозначим через 𝐴 множество всех агентов. При появлении в системе агент a  A задается тремя параметрами: размерами взноса 𝑃(𝑡, 𝑎), временем появления в системе 𝑇нач (𝑎),
временем накопления 𝜏(𝑎). (для удобства записи формул там, где это несущественно, будем опускать параметр 𝑎.) Каждый месяц агент получает процент 𝑝 на вклад. Кроме этого, каждый месяц агент получает социальные выплаты 𝑠. Для разделения моделей ССК и
1 для модели ССК;
спецсчетов мы введем параметр 𝛿, по определению 𝛿 = {
0 для модели спецсчетов.
На момент времени 𝑡, где 𝑡 определяется неравенством 𝑇нач ≤ 𝑡 ≤ 𝑇нач + 𝜏 − 1, накопленная сумма 𝑀(𝑡, 𝑎) вычисляется по формуле :
𝑡−𝛽
𝑡−𝛽
𝑀(𝑡) = ∑𝑡−1
+ 𝑠 ∙ ∑𝑡−1
(1)
𝛽=𝑇нач 𝑃(𝛽)(1 + 𝑝)
𝛽=𝑇нач 𝑃(𝛽)(1 + 𝛿 ∙ 𝑝)
Очередь.
После получения последних социальных выплат агент попадает в очередь за выдачей контрактов. При этом он прекращает вносить деньги, но каждый месяц на его средства продолжает начисляться процент 𝑝 . Ввиду этого, размер контракта каждый месяц меняется.
Опишем формулы для расчета размера контракта и кредита.
Итак, для данного агента 𝑎 в момент времени 𝑡 ≥ 𝑇кон количество накопленных средств
равно
𝑇кон −1
𝑇кон −1
𝑀(𝑡) = ∑ 𝑃(𝛽)(1 + 𝑝)𝑡−𝛽 + 𝑠 ∙ ∑ 𝑃(𝛽) (1 + 𝛿 ∙ 𝑝)𝑡−𝛽 (3)
𝛽=𝑇нач
𝛽=𝑇нач
Размер контракта 𝐾(𝑡, 𝑎) и кредита 𝐶(𝑎) вычисляются по формуле (4), где Λ – коэффициент отношения объёма кредита к объёму накоплений.
𝐾(𝑡) = 𝑀(𝑡) + 𝐶; 𝐶 = 𝑀(𝑇кон ) ∙ Λ.
(4)
3.3. Кредитование.
Обозначим через 𝑇кр (𝑎) время выдачи контракта агенту 𝑎, положим 𝐾(𝑎) =
𝐾(𝑇кр , 𝑎), 𝑀(𝑎) = 𝑀(𝑇кр , 𝑎).
Введем характеристики кредита.
Срок кредита 𝜏кр (𝑎) определяется временем накопления агента 𝑎 (без учёта очереди),
умноженного на коэффициент Υ.
6
Выплаты по кредиту рассчитываются по аннуитету и обозначаются через 𝐵(𝑎).
Через 𝑉(𝑡, 𝑎) обозначим оставшийся объём тела кредита в момент времени 𝑡, а через
𝐸(𝑡, 𝑎) – ту часть выплат 𝐵(𝑎), которая соответствует исходному объему кредита 𝐶(𝑎).
Друзья вкладчиков и нарушители контракта
Кроме обычных агентов, есть два отдельных типа.
Друзья вкладчиков.
Этот тип агентов фактически выполняет вспомогательную функцию в ССП: они только
копят взносы, а потом сразу забирают свой вклад и уходят. Друзьями могут быть только
агенты, накапливающие 5 лет или более.
Нарушители контракта
Это агенты, которые разрывают контракт на стадии накопления до ее завершения. Они
забирают свои деньги с накопленными процентами, но без социальных выплат, и таким
образом играют в модели роль, аналогичную друзьям вкладчиков.
Подмножества агентов.
Во множестве агентов 𝐴 выделим следующие подмножества:
𝐹(𝑡) – друзья вкладчиков, 𝑅(𝑡) - нарушители контракта, 𝑁(𝑡) –агенты на стадии накопления и очереди, 𝑊(𝑡) – заёмщики (все агенты рассматриваются в момент времени 𝑡).
Банк
Основная функция банка – сбор средств и выдача контрактов агентам. Упрощенно схема работы банка выглядит так. В начале периода производится начисление процентов.
После этого формируется так называемая кредитная масса, состоящая из взносов и выплат по кредитам агентов, а также резерва. Далее выдаются средства: сначала друзьям
вкладчиков и нарушителям. После этого агенты, которые ожидают выдачи контракта,
упорядочиваются по некоторому правилу (в зависимости от времени нахождения в очереди, размера взносов, времени накопления) и им последовательно выдаются контракты.
В результате либо будут обслужены все агенты, ожидающие выдачи контракта, либо будет исчерпана кредитная масса. В первом случае остаток кредитной массы распределяется
между резервом и инвестициями на рынке; процентный доход от инвестиций частично
поступает в резерв, а частично - в доход банка.
Будем говорить, что в момент времени 𝑡 произошёл кассовый разрыв, если в этот период кредитной массы не хватает на обеспечение контрактами всех агентов, получивших
право на кредит.
Для того, чтобы предотвратить формирование очереди, банк использует заём. А именно,
предполагается, что банк может взять деньги из своих внутренних средств, либо занять у
7
другого банка. Заём используется по следующей схеме. Назначается максимально возможное время нахождения в очереди 𝒯. Если в какой-то момент времени образуются
вкладчики, находящиеся в очереди 𝒯 периодов, то им выдаётся контракт за счёт займа
(внутреннего или внешнего). Каждый период заём пересчитывается.
Действия банка.
Будем обозначать через Δ(𝑡) размер кредитной массы в начале периода 𝑡, Θ(𝑡) – остаток денежной массы после выдачи контрактов, Σ(𝑡) – размер резерва, Ψ(𝑡) – размер займа.
3.4. Формирование и использование кредитной массы.
Формирование кредитной массы.
В кредитную массу поступают приток денежных средств вкладчика, находящегося на
стадии накопления, 𝑀(𝑡, 𝑎) − 𝑀(𝑡 − 1, 𝑎) и плата 𝑀кр (𝑡, 𝑎) за кредит заемщика без процентов, которая вычисляется по формуле:
𝑀кр (𝑡) = 𝐸(𝑡, 𝑎) + 𝛿(𝐵(𝑎) − 𝐸(𝑡, 𝑎)).
Кроме того, в кредитную массу включаем остаток прошлого периода Θ(𝑡) и сумму резерва Σ(𝑡). В модели ССК в кредитную массу также добавляется прибыль Ω(𝑡) . Итого,
получаем:
Δ(𝑡) = ∑𝑎∈𝑁(𝑡)(𝑀(𝑡, 𝑎) − 𝑀(𝑡 − 1, 𝑎)) + ∑𝑎∈𝑊(𝑡) 𝑀кр (𝑡, 𝑎) + Θ(𝑡 − 1) + Σ(𝑡) + Ω(𝑡)(1 −
𝛿) (8)
Выдача денег специальным агентам
Друзьям вкладчиков выдаётся размер накопленной суммы 𝑀(𝑡, 𝑎). Агентам-нарушителям
выдаётся размер накопленной суммы за вычетом социальных выплат: 𝑀(𝑡, 𝑎) − 𝑠 ⋅
∑Φ(𝑡)
𝛽=𝑇(𝑎) 𝑃(𝛽, 𝑎).
̃. Имеем:
Обозначим получившуюся кредитную массу через Δ(𝑡)
̃ = Δ(𝑡) − ∑𝑎∈𝐹(𝑡)∪𝑅(𝑡) 𝑀(𝑡, 𝑎) (9)
Δ(𝑡)
Выдача кредитов.
Пусть - упорядоченный список агентов, которым нужно выдать контракты, Ηi - 𝑖 −ый
агент. Пусть 𝑙 − последний номер агента, который находится в очереди 𝒯 периодов (если
таких нет, положим 𝑙 = 0).
Оставшуюся после выдачи контрактов кредитную массу можно найти по формуле
̃ − ∑max(𝑚,𝑙) 𝐾(𝑡, Ηi ) (11)
𝛥кон (𝑡) = Δ(𝑡)
𝑖=1
8
Распределение остатка
После выдачи кредитов остаток кредитной массы идет на погашение займа, затем идет на
пополнение резерва и на внешние инвестиции.
4.Финансовая устойчивость.
Опишем результаты исследования модели на финансовую устойчивость. Введем необходимые определения. Тарифным планом будем называть набор числовых характеристик
ССП. Перечень агентов со всеми их характеристиками определяет состояние тарифного
плана (режим) ССП. Упорядоченная по времени последовательность состояний называется ссудо-сберегательной траекторией (кратко - просто траекторией, или ССТ).
Траектория называется стационарной, если соответствующие ей состояния не изменяются, начиная с некоторого момента времени. ССТ допустима, если в каждый момент времени она предусматривает обязательства по кредитам, не превосходящие имеющейся
кредитной массы. Если данное правило нарушается, то используются очереди и внешние
займы. В этом случае говорят о финансовом разрыве.
Траектория называется финансово устойчивой, если она обеспечивает положительный доход. Траектория называется финансово устойчивой в сильном смысле, если она устойчива
и не допускает финансовых разрывов.
Нами получены ограничения на параметры, при которых достигается стационарность и
сильная финансовая устойчивость ССТ.
Назовем тарифный план равномерным, если каждый момент времени в системе появляется одно и то же (не зависящее от времени) число агентов с одинаковыми параметрами.
Теорема 1. При условии равномерного тарифного плана сильная финансовая устойчивость траектории достигается при выполнении следующего неравенства:
1
𝜏
1
1
( −
)
+
Λ
(
−
) − 𝜏кр ≥ 0
𝑝 (1 + 𝑝)𝜏 − 1
𝑐 (1 + 𝑐)𝜏кр − 1
9
Предположим, что в случае финансового разрыва, мы не используем резерв для пополнения кредитной массы.
Теорема 2.
При данном условии и равномерном потоке вкладчиков ССТ стационарна.
Литература
Ильинский Д.Г., В. М. Полтерович, О.Ю. Старков (2012). Моделирование накопительных жилищных счетов в г. Краснодаре. Отчет о научно-исследовательской работе.
Договор № 12/01 о проведении научно-исследовательской работы для ОАО «Агентство
развития Краснодарского края». Выполнено под рук. В.М. Полтеровича. М.: Новая экономическая ассоциация.
Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2007). Формирование ипотеки в догоняющих экономиках: проблема трансплантации институтов. М.: Наука. – 196 с.
Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2010). Поэтапное формирование массовой ипотеки и
рынка жилья. В кн.: Полтерович В.М. (отв. ред.) Стратегия модернизации российской
экономики// СПб.: Алетейа.
Полтерович В.М., Старков О.Ю. (2011). "Проектирование выхода из институциональной
ловушки (на примере ипотеки в России) "
http://www.mirkin.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1839&Itemid=270
Laux H. (2005). Die Buasparfinanzierung. Die finanziellen Aspekte des Bausparvertrages
als Spar- und Kreditinstrument. 7 Auflage. FrankfurtamMain: VerlagRecht and Wirtschaft
GmbH.
ScholtenU. (2000).Rotating Savings and Credit Associations in Developed Countries: The
German–Austrian Bausparkassen// Journal of Comparative Economics. № 28.
10