МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕЧЕНИЯ ИНФЕКЦИОННОГО ЗАБОЛЕВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ИММУНОТЕРАПИИ В СЛУЧАЕ СЛАБОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕЧЕНИЯ ИНФЕКЦИОННОГО
ЗАБОЛЕВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ИММУНОТЕРАПИИ В СЛУЧАЕ
СЛАБОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ
М.В. Чирков
Пермский государственный национальный исследовательский университет
E-mail: ozs-50@mail.ru
Современный
уровень
развития
иммунологии
позволяет
рассматривать различные заболевания с общих позиций как процесс
взаимодействия иммунной системы с возбудителями болезни. Это дает
возможность формирования математических моделей абстрактного
заболевания, в которых учтены закономерности развития определенного
класса болезней. Данные модели позволяют строить прогнозы течения и
исхода заболевания, а также давать рекомендации по выбору наиболее
адекватного лечения. Наиболее общие закономерности иммунной защиты
организма отражены в базовой математической модели инфекционного
заболевания, предложенной Г.И. Марчуком [1]. В рамках модели
описываются основные формы заболевания: субклиническая, острая с
выздоровлением, хроническая и острая с возможным летальным исходом.
Наибольшую опасность представляет летальный исход. Поэтому
актуальны постановка и решение задач управления иммунным ответом при
острой форме заболевания с возможным летальным исходом.
В качестве механизма управления иммунной системой будем
рассматривать иммунотерапию, которая заключается во введении
донорских антител. Базовая модель инфекционного заболевания с учетом
управления может быть представлена следующим образом [2]:
v  a1v  a2 fv,
s  a3ξ (m) f (t  τ)v(t  τ)  a5 ( s  1),
(1)
f  a ( s  f )  a fv  u,
4
8
m  a6v  a7 m,
где v, s, f – соответственно относительные концентрации антигенов,
плазматических клеток и антител, m – доля разрушенных антигенами
клеток, непрерывная невозрастающая неотрицательная функция (m),
учитывающая нарушение иммунной реакции вследствие значительного
поражения органа, определяется по формуле
 1,
0  m  m ,

ξ ( m)   m  1
(2)

,
m

m

1
.
 m  1
Начальные условия, характеризующие заражение здорового
организма, имеют вид
v(0)  v0 , s(0)  1, f (0)  1, m(0)  0,
v(t )  0, f (t )  0, t [ τ,0).
(3)
Значения параметров модели (1) – (3), характеризующие основные
формы заболевания, представлены в табл. 1. Данные наборы параметров
взяты из монографии [1].
Таблица 1
Значения параметров базовой модели инфекционного заболевания
Параметры
Форма
заболевания
a1
a2
a3
a4
a5 a6
a7
a8
v0
m

Субклиническая
8
10 10000 0,17 0,5 10 0,12 8
0,5 0,1 106
Острая с
2
0,8 10000 0,17 0,5 10 0,12 8
0,5 0,1 106
выздоровлением
Хроническая
1
0,8 1000 0,17 0,5 10 0,12 8
0,5 0,1 106
Летальный
1,54 0,77 880
0,15 0,5 12 0,12 8
2,5 0,1 106
исход
Рассмотрим управление при острой форме заболевания с возможным
летальным исходом. Как видно из таблицы, данная форма связана со
слабой иммунной реакцией, обусловленной малым коэффициентом
стимуляции иммунной системы a3 и большим запаздыванием в
формировании каскада плазматических клеток .
Воспользуемся подходом, при котором с помощью управления
функционированием иммунной системы необходимо вывести динамику
антигенов на желаемое состояние, в качестве которого выступает острая
форма заболевания с выздоровлением. Для этого на отрезке [0, T] зададим
равномерную сетку
T

  ti : ti  it , i  1, N , t  .
(4)
N

В узлах сетки (4) зафиксируем значения концентрации антигенов при
острой форме заболевания с выздоровлением:
vi , i  1, N .
(5)
Множество значений (5) назовем опорным решением. Будем считать,
что выполнение условия
v(ti )  vi , i  1, N ,
(6)
соответствует достижению желаемого иммунного ответа.
Управляющая функция, характеризующая скорость введения
донорских антител, выбирается из множества кусочно-постоянных
функций
U  {u(t ) : u(t )  ui1 [0, B], t [ti1, ti ), i  1, N , u(T )  uN 1}.
(7)
Для построения управляющей функции использовался алгоритм,
предложенный в работе [3]. Идея алгоритма заключается в том, что
решение задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений
системы на равных отрезках времени, причем значения фазовых
переменных в конце предыдущего отрезка служат начальными условиями
для следующего промежутка. При этом на каждом отрезке вычисляется
необходимая величина управления.
На рис. 1 представлена реализация алгоритма для острой формы
заболевания с возможным летальным исходом. Как видно из рисунка,
реализация иммунотерапии позволяет остановить рост числа антигенов,
что приводит к их выведению из организма.
Рис. 1. Динамика антигенов и управление
Таким образом, предложенный подход позволяет
динамику заболевания в острую форму с выздоровлением.
перевести
Библиографический список
1. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. – М.:Наука, 1980. 264 с.
2. Болодурина И.П., Луговскова Ю.П. Оптимальное управление иммунологическими
реакциями организма человека // Проблемы управления. 2009. №5. С.44–52.
3. Русаков С.В., Чирков М.В. Математическая модель влияния иммунотерапии на
динамику иммунного ответа // Проблемы управления. 2012. №6. С. 45–50.
Сведения об авторах
Чирков Михаил Владимирович
математики и информатики,
50@mail.ru
Вид доклада: устный / стендовый
– аспирант, магистр прикладной
дата рождения: 28.03.1989г, ozs-