Лекции_Крист,микроскоп

1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА
Кристаллы характеризуются закономерным упорядоченным расположением
частиц в пространстве, что соответствует минимуму внутренней энергии в условиях
существования твердого тела. Анизотропия и симметрия физических свойств –
характерная особенность кристаллов, обусловленная закономерностью и симметрией
их внутреннего строения.
В кристаллическом многограннике и в вырезанной из него пластине
наблюдается одинаково закономерное, симметричное, периодическое расположение
частиц. Частицы, из которых сложены кристаллы, т.е. атомы, ионы, молекулы,
образуют правильные симметричные ряды, сетки, решётки.
Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок и симметрия в
расположении частиц, четко установившиеся расстояния между частицами. Вследствие
того, что в структуре кристалла в разных направлениях различны расстояния и силы
связи между частицами, большинство свойств кристалла анизотропные, т.е. различны в
разных направлениях, но одинаковы в направлениях, симметричных друг другу.
Закономерность расположения частиц, их природа, их энергетический спектр и силы
связи между ними определяют физические свойства кристалла. Внешние воздействия,
такие как электрическое или магнитное поле, механическое воздействие или легирование
кристаллического тела чужеродными атомами, могут нарушать динамическое равновесие
и менять свойства кристалла. Отсюда закономерность и симметрия структуры кристалла
– следствие динамического равновесия многих сил и процессов. Таким образом,
симметрия, периодичность и закономерность структуры – основные характеристики
кристаллического состояния вещества.
Для каждой структуры характерен выбор её элементарных трансляций, или
трансляционных
групп,
которые
определяют
пространственную
решётку.
Пространственная
решётка
является
геометрической
схемой,
описывающей
расположение материальных частиц в кристалле. Она строится на трех основных
некомпланарных осях трансляции, или периодах решётки: a, b, c. В зависимости от
отношения величин и взаимной ориентации трех основных трансляций
a, b, c
получаются решётки, отличающиеся друг от друга своей симметрией. Симметрия
кристаллической структуры ограничивает число возможных решёток. Решётка должна
быть инвариантной по отношению ко всем преобразованиям симметрии, возможным для
данного кристаллического пространства. Основные трансляции, а значит, и решётка
должны соответствовать симметрии структуры кристалла.
Точки пересечения, образующие пространственную решётку, называются узлами.
Узел может находиться как в промежутке между материальными частицами, так и в
центре тяжести одной частицы или группы частиц. Для металлических кристаллов узел
совпадает с центром тяжести атома (иона).
Три элементарные трансляции определяют элементарную ячейку решётки,
или параллелепипед повторяемости. Исходя из идеи о периодическом расположении
центров тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О.
Бравэ в 1848г. показал, что всё многообразие кристаллических структур можно описать
с помощью 14 типов решёток, отличающихся по типам элементарных ячеек (рис.1) и
по симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний.
Решёткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется
трансляционным повторением одной точки. Таким образом, каждая решётка Бравэ – это
группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в
пространстве. В соответствии с решётками Бравэ кристаллы описываются 14
трансляционными группами. Решётки Бравэ играют исключительно важную роль в
кристаллографии. Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью
одной из 14 решёток Бравэ.
Рис. 1. Типы элементарных ячеек
Для выбора элементарной ячейки Бравэ используют три условия:
1. Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, т.е.
наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл; ребра
элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки.
2. Элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов
или равных углов и равных ребер.
3. Элементарная ячейка должна иметь минимальный объём.
Эти условия должны выполняться последовательно, т.е. при выборе ячейки первое
условие важнее второго, а второе важнее третьего. По
характеру
взаимного
расположения основных трансляций или по расположению узлов все кристаллические
решётки разбиваются, по Бравэ, на четыре типа (табл.1.)
Выбор примитивной ячейки, у которой узлы имеются только в вершинах, по условию
Бравэ, даёт систему координат, которая является самой удобной для описания
структуры и свойств кристалла. Примитивные ячейки Бравэ – это те основные ячейки, по
которым были характеризованы сингонии кристалла. Требования выполнения условий
выбора ячеек Бравэ предопределяет использование непримитивных (сложных)
элементарных ячеек для описания
некоторых кристаллических структур разных
сингоний. К непримитивным (сложным) элементарным ячейкам относятся ячейки,
которым принадлежит больше одного атома на каждую. В сложных ячейках имеются ещё
узлы: в объемно-центрированной I ячейке – один узел в центре ячейки, в
гранецентрированной F ячейке – по одному узлу в центре каждой грани, в
базоцентрированной С (А,В) - ячейке – по одному узлу в центрах пары параллельных
граней. Приняв один из узлов пространственной решётки за начало координат (за узел с
символом [[000]]), можно найти все остальные узлы решётки с помощью трансляционной
группы, т.е. совокупности основных трансляций элементарной ячейки (Rj ).
У
примитивных решёток достаточно определить три основные трансляции а, b, с,
соответствующие рёбрам элементарной ячейки. Для всех остальных решёток нужно
учитывать ещё дополнительные трансляции ρ j , соединяющие нулевой атом с
неидентичными атомами, расположенными внутри элементарной ячейки или на её
гранях.
Для того, чтобы выделить в структуре элементарную ячейку Бравэ, нужно,
согласно правилам выбора элементарной ячейки, найти три кратчайшие некомпланарные
трансляции а, b, с, которые обязательно должны соединять одинаковые узлы.
Полученную элементарную ячейку необходимо проверить:
1. Можно ли на этих трансляциях построить ячейку, отвечающую правилам выбора
ячейки Бравэ?
2. Все ли частицы в структуре можно получить с помощью такого выбора трансляций?
Согласно этим требованиям, элементарная ячейка описывается базисом. Базисом
называется совокупность координат неидентичных атомов, входящих в элементарную
ячейку. Атомы идентичны, если они химически одинаковы и структурно эквивалентны
(т.е. их положение в структуре эквивалентно при заполнении бесконечного
кристаллического пространства с помощью элементарной ячейки). Если атомы химически
неодинаковы или структурно неэквивалентны, они называются неидентичными.
Например, в чистых кристаллических веществах, имеющих ОЦК решётку, в элементарной
ячейке содержится два неидентичных атома, которые химически одинаковы, но имеют
разное положение в структуре. Атомы одного типа располагаются в вершинах
элементарной ячейки и принадлежат одновременно 8-ми ячейкам. Следовательно, на одну
элементарную ячейку приходится 1 ⋅атом с 8 координатами [[000]]. Второй с
координатами [[1/2 1/2 1/2 ]] находится в центре элементарной ячейки. Таким образом,
базис ОЦК решётки чистого вещества записывается как [[000; 1/2 1/2 1/2 ]].
Если рассматривать расположение атомов NaCl, то атомы Na и Cl располагаются
в плоскостях {100} в шахматном порядке, причем в соседних плоскостях этого типа
атомы натрия чередуются с атомами хлора. Обычно такое чередование атомов в
решётке описывается элементом решётки, как показано на рис.2.
Рис. 2. Элемент решетки NaCl:
- Na; - Cl
Однако этот элемент решётки NaCl не является элементарной ячейкой,
поскольку его нельзя транслировать в пространстве. Для возможного транслирования
в пространстве необходимо увеличить трансляции по осям Х, У, Z таким образом, чтобы с
помощью полученной элементарной ячейки можно было описать все бесконечное
пространство решётки NaCl: по осям Х, У и Z нужно удвоить расстояние между
атомами, которые будут соединять между собой химически одинаковые атомы
согласно закону их чередования в структуре. Эти расстояния и будут периодами
кристаллической решётки NaCl, а элемент пространства – элементарной ячейкой NaCl,
содержащей 8 ячеек (рис.1.10), в которой показано чередование атомов в трёхмерном
пространстве и которую можно транслировать по осям координат (рис.3).
Рис.3. Элементарная ячейка решетки NaCl:
- Na; - Cl
После определения базиса решётки становится возможным описание
положения узлов, направлений и плоскостей в решётке. Любой узел решётки
определяется радиус-вектором R =ma+nb + рс , соединяющим выбранный за нулевой
узел с данным узлом.
Совокупность чисел m, n, р, записанная в двойных квадратных скобках [[mnр]],
называется символом узла, а три числа m, n, р – индексами узла. Числа в символе
пишутся подряд, без запятых, читаются порознь. Знак минус пишется над цифрой. Ряд
или узловая прямая в решётке, а также ребро кристаллического многогранника
характеризуются наклоном в выбранной системе координат. Если ряд не проходит
через начало координат, он проводится параллельно самому себе через начало
координат.
В виду этого все параллельные направления в кристалле равнозначны и
обозначаются как [UVW], где U, V, W – проекции на оси координат атома, ближайшего к
«нулевому» в ряду [UVW], проходящему через «нулевой» атом. Все направления
данного семейства обозначаются <UVW>. Если индексы в символе ряда кратные, их
необходимо сокращать на целое положительное число.
Любая
грань
кристалла
или
плоскость,
проведенная
через
узлы
пространственной решётки, параллельна какой-либо плоской сетке, а значит
бесконечному числу плоских сеток. Если плоскость решётки пересекает все три оси
координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc, то отношение чисел m:n:p характеризует
наклон плоскости к осям координат. Этим отношением определяется и ориентировка
всего семейства параллельных ей плоскостей.
Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных
плоскостей можно представить как отношение целых взаимно простых чисел p:q:r,
которые называются параметрами Вейсса. Например, если параллельные плоскости
отсекают на осях координат отрезки: 1-я плоскость - а b∞, 2-я плоскость а2b∞ и т.д.,
то полученные соотношения будут 1 :1 : ∞ = 1: 2 : ∞
3233
и т.д. = p:q:v = 3:2: ∞.
В кристаллографии принято характеризовать плоскости или нормали к ним не
параметрами, а индексами Миллера. Индексы Миллера – это величины, обратные
параметрам Вейсса, приведённые к целым числам. Если параметры плоскости p,q,r
(отрезки, отсекаемые плоскостью по осям координат), то индексы Миллера
определяются из соотношения:
1 : 1 : 1 = h: k : l .
(1.1)
рqr
В приведённом примере h : k : l =1 : 1 : 1 = 1 : 1 :1/∞ = 2 : 3 : 0.
pqr32
Числа h,k,l называются индексами плоскости; индексы, написанные подряд и
заключённые в круглые скобки (hkl), называются символом плоскости. Символом (hkl)
характеризуется вся совокупность параллельных плоскостей. Этот символ означает,
что система параллельных плоскостей рассекает отрезок а на h частей, отрезок в на k
частей и отрезок с на l частей, т.е. величины h,k,l обратно пропорциональны отрезкам,
отсекаемым этой плоскостью на осях координат. Все плоскости данного семейства
обозначаются фигурными скобками: {hkl}. Если индексы в символе ряда кратные, их
необходимо сокращать на целое положительное число (рис.4).
Символы осей координат не зависят от углов между осями координат и от
осевых отрезков, они одинаковы в любой системе координат. В общем виде уравнение
плоскости записывается как
hx+ky+lz=N,
(1.2)
где N – всегда целое число;
h,k,l – взаимно простые, целые числа.
Для плоскости, проходящей через начало координат, N = 0, для плоскости, ближайшей к
началу координат, N=1.
Каждое семейство направлений <UVW> и плоскостей {hkl}, в котором все индексы
имеют разные значения, содержит 48 разных вариантов [uvw] или (hkl), тогда как в
семействах < uvo > и {hko} − их 24, в семействах <uuu> и {hhh} – 8, в <uuo> и {hho} –12,
в семействах <uoo> и {hoo} – 6.
Следует отметить, что прежде чем характеризовать положение узлов, индексы
направлений и плоскостей в решётке, необходимо сначала выбрать элементарную
ячейку и описать её базис. От координат атомов базиса и выбора периодов элементарной
ячейки зависят индексы узлов, направлений и плоскостей в решётке. Например, фаза
имеет примитивную кубическую решётку состава АВ, в которой атомы компонентов А и
В хаотично занимают узлы решётки. В этом случае элементарной ячейкой фазы
является куб с периодом а, описываемый положением нулевого атома.
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
В геометрической кристаллографии в физическом металловедении обычно не
рассматривается внешняя форма, размеры граней и самих кристаллов, так как, например,
внешняя форма и размеры кристаллов зависят прежде всего от внешних условий, в
которых кристалл образовался. Главная задача кристаллографии в физическом
металловедении – точно отобразить углы между плоскостями. Существует закон
постоянства углов: для всех кристаллов одного и того же вещества в одной и той же
модификации углы между соответствующими плоскостями одинаковы.
Цель кристаллографических проекций: удобно и точно изобразить и измерять
на плоском листе бумаги угловые соотношение между плоскостями, направлениями и
элементами их симметрии. С помощью кристаллографических проекций исследуют в
металловедении линии скольжения, двойники, выделения новых фаз, ориентировку
монокристаллов, преимущественную ориентировку зерен в поликристаллах и целый ряд
других задач.
Кристаллографический и полярный комплексы
В кристаллографии проектируется не кристалл,
комплекс, полученный от данного кристалла.
а
кристаллографический
Кристаллографический комплекс получается при параллельном перемещении
плоскостей в пространстве до взаимного пересечения их в одной точке. В некоторых
случаях проектируется полярный комплекс, который обратен кристаллическому (рис.3.2).
Полярный комплекс получается при восстановлении из центра кристаллографического
комплекса перпендикуляров ко всем плоскостям. Таким образом, в полярном комплексе
плоскость заменяется её нормалью.
Для упрощения рассмотрения кристаллографических задач - плоскости или
нормали к ним проектируют на различные поверхности (плоскость, сферу), что приводит
к различным кристаллографическим проекциям.
В кристаллографии чаще других рассматриваются следующие проекции:
1) сферическая;
2) гномосферическая;
3) стереографическая; 4) гномостереографическая,
5 ) гномоническая;
Сферическая и гномосферическая проекции.
Вокруг
центра кристаллографического комплекса произвольным радиусом
описывается сфера, которая называется сферой проекции. Плоскости кристалла
пересекают сферу по кругам наибольшего диаметра, т.е. по большим кругам. Если все
плоскости проектировать подобным образом на сферу, то большие круги пересекутся под
тем же углам, что и плоскости кристалла (рис.).
Если в центр сферы проекций поместить полярный комплекс, то получится
гномосферическая проекция, в которой кристаллографическая плоскость отображается
полюсом Р – точкой пересечения перпендикуляра к плоскости с поверхностью сферы
(рис.). Совокупность полюсов на сфере называется полюсной фигурой. По размещению
полюсов на сфере, образующих полюсную фигуру, можно определить ориентировку
кристаллографических плоскостей, т.к. угол между двумя плоскостями в кристалле
равен углу между их полюсами.
Стереографическая и гномостереографическая проекции.
Практически более удобно пользоваться не сферой проекций, а её плоским
изображением, т.к. как при этом вся работа может быть выполнена на листе бумаги.
Необходимо спроектировать сферу без нарушения углов между плоскостями или
полюсами. Углы на сфере проектируются на стереографическую проекцию без
искажений. Для этого источник света S (или центр проекции) необходимо поместить в
какой-либо точке, лежащей на поверхности сферы, а плоскость проекции
расположить перпендикулярно к диаметру, проходящему через центр сферы и центр
проекции. Расстояние плоскости от поверхности сферы не имеет значения, так как, при
изменении расстояния меняется только увеличение изображения, но не угловые
соотношения.
Возможно отобразить всю сферу в пределах основного круга при совмещении
двух проекций и различать их знаками + и −. Любая плоскость, проходящая через точки
NS, рассечёт сферу по большому кругу, который спроектируется на плоскость
проекции в виде прямой линии. Любой большой круг, проходящий через точку N,
проектируется на плоскость в виде прямой линии. Отображающий диаметр основного
круга проекций (круг SN – горизонтально проектируется в ЕЕ). Большой круг – это
окружность на поверхности сферы, радиус которой равен радиусу сферы. Если большой
горизонтальный круг разделить на градусы, то его проекция ЕЕ′ будет служить шкалой
для стереографически спроектированных точек, лежащих на горизонтальном круге. Так
же наносятся деления на вертикальный круг ML, которые проектируются на основной
круг.
По экватору измеряется угол ρ в пределах 0-1800, по основному кругу
меридиану - угол ϕ в диапазоне 0-3600 по часовой стрелке. Таким образом, можно
спроектировать на плоскость глобус с линиями широты и долготы (меридианами и
параллелями). Если ось, проходящую через северный и южный полюсы, спроектировать
перпендикулярно к плоскости проекции, то стереографическая проекция всех параллелей
и меридианов образует сетку Болдырева (рис. 3.9). Если ось, проходящая через
северный и южный полюсы сферы, параллельна плоскости проекции, то линии долготы
и широты образуют стереографическую сетку, называемую сеткой Вульфа. Важно
отметить, что углы между пересекающимися плоскостями сохраняются неизменными в
стереографической проекции и легко поддаются измерению. Исходя из таких
предпосылок, формируются свойства стереографической и гномостереографической
проекций.
Стереографическая проекция полюсов всех важнейших плоскостей и направлений
кристалла с малыми индексами называется стандартной проекцией. Ясно,
что
стандартная
проекция (стандартная
сетка)
кубического кристалла
может
рассматриваться и как стереографическая проекция (тогда в точки-полюсы
проектируются кристаллографические направления), и как гномостереографическая
проекция (тогда кристаллографические плоскости отображаются полюсами на сетке).
Если оси Х и У кристалла лежат на плоскости проекции, то полюсы плоскостей
(100) и (010) расположены на основном круге (рис.). Ось Z перпендикулярна к
плоскости проекции, поэтому полюс плоскости (001) находится в центре этого круга.
Изображение производится путем откладывания углов между полюсами и
кристаллографическими осями с помощью стереографической сетки.
Процесс построения значительно сокращается при использовании:
1) свойства симметрии кристалла;
2) зональных соотношений – определении полюсов посредством пересечений кругов
зон.
Стандартные кристаллографические проекции для кристаллов кубической системы
одинаковы для всех кристаллических веществ с кубической решёткой. Это объясняется
тем, что уравнение, описывающее связь углов между плоскостями и индексами
плоскостей в кубической решётке не содержит значений периодов решётки и
координатных углов:
В кубических решётках всех типов (примитивной кубической ПК, объемноцентрированной ОЦК, гранецентрированной ГЦК) с любыми периодами углы между
плоскостями
одинаковы и одинаковы кристаллографические проекции для любых
веществ с кубической решёткой.
В кристаллах более низкой симметрии, чем кубическая, углы между плоскостями
зависят от соотношений периодов решётки и координатных углов. Например, в
тетрагональной решётке
Следовательно, для кристаллов средних и низших сингоний кристаллографические
проекции строятся для конкретных соотношений периодов и координатных углов.
Свойства стереографической и гномостереографической проекций
1. На стереографической проекции кристаллографическая плоскость, совпадающая с
большим кругом, параллельным плоскости проекции, изображается основным кругом.
2.
Кристаллографические
плоскости,
совпадающие
с
большим
кругом,
перпендикулярным плоскости проекции, проектируются в виде диаметра основного
круга.
3. Наклонные плоскости изображаются в виде проекций наклонных больших
кругов, которые при повороте сетки Вульфа могут совпадать с одним из меридианов.
4. Кристаллографические направления на стереографической проекции изображаются
в
виде
точек (полюсов). Поэтому
стереографическая проекция плоскостей,
принадлежащих одной зоне, изображаются в виде проекции кругов, пересекающихся в
одной точке.
5.
Гномостереографическая
проекция
есть
проекция
обратной
решетки.
Кристаллографические плоскости на гномостереографической проекции изображаются
в виде полюсов, а кристаллографические направления в виде проекции больших
кругов. Поэтому на гномостереографической проекции полюса плоскостей,
принадлежащих одной зоне, лежат на проекции одного круга, который при вращении
сетки можно совместить с одним из меридианов.
6. Для кристаллов кубической сингонии можно пользоваться одними и теми же
стандартными
проекциями
при
изображении
кристалла
в
стереоили
гномостереографической проекциях. Это связано с тем, что в кубической сингонии
плоскости и перпендикулярные к ним направления имеют одни и те же индексы, а углы
между пересекающимися плоскостями равны углам между нормалями к
соответствующим плоскостям.
7. Углы между двумя точками на проекции не изменяются при вращении точек вокруг оси
(центра) стереографической проекции.
8. Угол между двумя полюсами на проекции равен разности их широт, угол между
двумя точками равен разности их долгот, когда они лежат на экваторе
(горизонтальном диаметре). Для измерения угла между двумя полюсами необходимо,
поворотом сетки Вульфа вокруг её центра, совместить их с экватором или меридианом,
которые служат шкалой для отсчёта угловых градусов.
Построение гномостереографических проекций
Для построения гномостереографических проекций важно то, что плоскость,
индексы которой (h3k3l3) равны сумме одноименных индексов двух плоскостей зоны
[UVW], принадлежит той же зоне [UVW]:
h3 = h1 + h2;
k3 = k1 + k2;
l3 = l1 + l2.
В
На
гномостереографической
проекции
полюса
плоскостей,
принадлежащие зоне, располагаются на
угловом расстоянии 90о от проекции,
изображающей ось зоны, и находятся на
одном меридиане сетки Вульфа, если
проекция оси зоны располагается на
экваторе. При этом угол между полюсами
плоскостей, лежащих на меридиане,
является углом между этими плоскостями.
случае если заданы две плоскости и
нужно найти их зону и её ось, следует
концентрическим
поворотом
кальки
установить проекции плоскостей на меридиан и от точки его пересечения с экватором
отсчитать 90о к центру проекций. Полученная на экваторе точка и будет проекцией оси
зоны, так как отстоит на 90о от любой из точек меридиана (рис.). Проекция плоскости
(hkl), принадлежащая двум зонам, на сетке Вульфа является точкой пересечения двух
меридианов, на которых расположены проекции плоскостей, образующих эти зоны.
При построении стандартных проекций с помощью закона зон достаточно в
качестве исходных данных знать положение четырёх непараллельных друг к другу
плоскостей кристалла (трех координатных и единичной (111)). Это положение
определяется величинами углов между плоскостями (001) и (111), (100) и (111), (010)
и (111), которые рассчитываются по формуле, устанавливающей значение косинуса угла
между плоскостями в зависимости от значений индексов плоскостей по формулам для
решётки кристаллов соответствующих сингоний.
Гномостереографическая проекция кристаллов строится на сетке Вульфа.
Поскольку каждая плоскость кристалла принадлежит, по крайней мере, двум зонам, то
положение плоскости определяется точкой пересечения зон. Четыре исходные плоскости
(001), (010), (100) и (111) принадлежат шести зонам индексы которых находятся по
формуле для расчёта оси зоны: [100], [010], [001], [111],[101],[011]. В качестве оси
проекции выбирается перпендикуляр к плоскости (001) прямой кристаллической
решётки. Проведя эти шесть зон как соответствующие меридианы, в точках их
пересечения находят новые плоскости, индексы которых вновь определяются по
закону зон: на пересечении зон [100] и [011] расположена плоскость (011) , на
пересечении зон [101] и [010] – плоскость (101), на пересечении зон [001] и [110]плоскость (110).
Следует отметить, что для кристаллических решёток, имеющих симметрию более
низкую, чем кубическая,
в качестве исходных плоскостей для построения
гномостереографической проекции лучше выбрать шесть плоскостей (001), (010), (100),
(110), (101), (011), так как положение соответствующих полюсов легче найти на плоскости
проекции. Углы между ними рассчитываются по формуле косинуса угла между
плоскостями для решётки данной сингонии, и положение полюсов данных плоскостей
обозначаются на проекции. В центре проекции, как и в первом случае, устанавливается
полюс (001), который является перпендикуляром к плоскости (001) для решётки данной
сингонии. Далее проводятся меридианы через полюса (100) и (011), (001) и (110), (010) и
(101) и находится точка их пересечения, которая является полюсом (111) и вершиной
сферического треугольника (рис.). Затем операции продолжают, приняв во внимание
новые зоны и точки их пересечения.
Построение следует вести в сферическом треугольнике, ограниченном проекциями
плоскостей (001) – (100) – (010). После разделения сферического треугольника (001) –
(100) – (010) на три области, ограниченные проекциями (полюсами) плоскостей,
(001)-(011)-(111)-(101);
(110)-(111)-(011)-(010) и
(100)-(101)-(111)-(110) ,
находят их вершины, которые получаются на пересечении зон с осями: первая - [110] и
[111], вторая [101] и [111], третья [011] и [111] (рис.4.3). Индексы проекций плоскостей,
находящихся на пересечении зон в вершинах сферических треугольников, рассчитывают
по правилу зон или сложением одноимённых индексов плоскостей, лежащих в их
основании и принадлежащих одной зоне:
(001) + (111) = (112) или (101) + (011) = (112);
(100) + (111) = (211) или (101) + (110) = (211);
(110) + (011) = (121) или (111) + (010) = (121).
Затем деление сферических треугольников продолжают, получив новые зоны и точки их
пересечения, которые являются вершинами новых сферических треугольников и
полюсами плоскостей.
Гномостереографическая проекция строится в пределах сферического
треугольника, ограниченного полюсами (100)-(010)-(001), а положения полученных
полюсов плоскостей внутри него симметрично переносятся в соответственные положения
других секторов проекции. Достаточно осуществить построение одной стереографической
проекции кристаллической решётки сечением (001), получение других сечений решётки
данного типа осуществляется поворотом таким образом, чтобы интересующая ось
проекций вышла в центр проекции.
При этом следует помнить, что на
гномостереографических проекциях для кристаллических решёток некубических
сингонии ось проекций является нормалью к соответствующей плоскости, а не
направлением в кристалле.
Для того чтобы получить гномостереографические проекции направлений
кристаллов более низких сингоний, чем кубическая, нужно “перейти в обратное
пространство”, т.е. по формулам обратной решётки для кристаллов анализируемой
сингонии найти её периоды а*, в*, с*, симметрия же обратной решётки сохраняется такой
же, как у прямой кристаллической. В обратной решётке, как было показано выше,
нормали к плоскостям обратной решётки являются направлениями прямой
кристаллической
решётки
с
соответствующими
индексами.
Построение
гномостереографических проекций производится аналогичным образом. Как правило,
ограничиваются построением гномостереографической проекции [001], отображающей
направление в кристалле.
На построенных гномостереографических проекциях углы между полюсами
являются истинными углами между плоскостями на проекции плоскостей и углами между
направлениями на проекции направлений. Построенные гномостереографические
проекции для плоскостей и направлений накладываются друг на друга таким образом,
чтобы осуществлялось точное совмещение полюсов одноименных плоскостей и
направлений и/или между ними выполнялся точный угол разориентировки. Проще всего
осуществить совмещение сечений (001) прямой и (001)* обратной решёток, поскольку для
решёток всех сингоний, кроме триклинной, нормаль к плоскости (001) совпадает с
направлением [001] в кристалле. Как правило, вторым полюсом для проведения
совмещения проекций выбирается полюс (100) на проекциях плоскостей и направлений.
Полученная объединенная гномостереографическая поверхность плоскостей и
направлений, на которой обозначены положения полюсов как плоскостей, так и
направлений в кристалле, очень удобна для анализа структур кристаллов, имеющих
решётки не кубической сингонии, особенно для кристаллов с тетрагональной и
гексагональной решётками.
При определении взаимной ориентации кристаллов, когда на микродифракционной
картине наблюдается много рефлексов, полученных от кристаллов разных ориентировок,
правильность расшифровки электронограммы можно проверить, построив теоретические
дифракционные картины, соответствующие рассчитанным. Найдя на объединённой
гномостереографической проекции плоскостей и направлений кристалла анализируемой
сингонии нужную ось зоны, т.е. полюс направления, проекцию поворачивают таким
образом, чтобы этот полюс находился в центре проекции, а полюса плоскостей
располагались на большом круге проекций (рис.). Соединив прямыми линиями,
проходящими через центр круга проекции, положение полюса оси зоны, полюсы
плоскостей с одноимёнными индексами, получаем сечение электронограммы, на котором
показаны углы между плоскостями для данной зоны, так как полюсы плоскостей являются
точками пересечения перпендикуляров к плоскостям со сферой проекций.
Определение угла между двумя направлениями.
Поскольку все направления и плоскости кристаллографического комплекса проходят
через общую точку – центр комплекса, то любые два направления комплекса всегда лежат
в одной плоскости. Угол между двумя рассматриваемыми направлениями находится в
этой же плоскости, которая на стереографической проекции изображается меридианом.
Поэтому кальку с нанесенными на ней точками, являющимися
проекциями
рассматриваемых направлений, поворачивают вокруг центра сетки Вульфа до тех пор,
пока эти точки (1–2) не окажутся на одном меридиане сетки (рис.). Искомый угол α
определяют по разности широт, определяемым параллелями точек 1, 2. Если проекции
двух направлений получены проектированием из разных полусфер (на кальке отмечены
соответственно точка 3' и крестик 4), то кальку поворачивают таким образом, чтобы оба
выхода направлений попали на симметричные меридианы относительно нулевого
меридиана. Искомый угол α определяется суммой углов α1 и α2, отсчитываемых по
соответствующим меридианам до полюса сетки.
Возможен и другой вариант нахождения угла α. Для этого следует перевести
проекцию направления 4 (крестик) в точку 4', что будет
отвечать
случаю
проектирования обоих рассматриваемых направлений из одной (северной) полусферы.
Перевод крестика 4 в точку 4' осуществляется просто: крестик 4 соединяют прямой с
центром проекции, на продолжении этой прямой откладывают расстояние, равное
расстоянию от крестика до центра. Полученную точку 4' располагаем на одном
меридиане с точкой 3'. Искомый угол α' = 180° – α отсчитывают вдоль этого меридиана.
Определение направляющих углов для направления.
Направляющие углы α, β, γ для произвольного направления можно определить
после последовательного измерения углов между стереографической проекцией этого
направления R и стереографическими проекциями осей системы координат x, y, z (рис.).
Если известны направляющие углы α, β, γ для направления, то координаты Rx и Ry
стереографической проекции этого направления вычисляют как
Процедура определения сферических углов φ и θ для произвольной прямой
показана на рис., а координаты Rx и Ry стереографической проекции этой прямой
вычисляют как
Определение угла между двумя плоскостями.
Поскольку угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям, то достаточно определить угол между гномостереографическими проекциями
плоскостей. Сначала найдем нормали N1 и N2 к плоскостям P1 и P2 (рис), затем,
поворачивая кальку, добиваемся совмещения точек N1 и N2 с одним из меридианов
сетки Вульфа. Искомый угол α определяется вдоль этого меридиана.
Симметрия кристаллов
Симметрия кристаллического пространства определяется заданием всех
преобразований, которые сохраняют расстояния между любыми точками пространства и
приводят к совмещению пространства с самим собой. Элементы симметрии делят на
закрытые и открытые. Открытые элементы симметрии содержат трансляции и поэтому
описывают симметрию бесконечного пространства. Закрытые элементы симметрии
оставляют одну точку неподвижной и после конечного числа операций возвращают
кристаллическое пространство в исходное положение. Закрытые элементы симметрии
задаются матрицами ортогонального преобразования R с detR = ± 1. Они могут быть
сведены к поворотным осям симметрии (чистое или собственное вращение с detR = + 1) и
к инверсионным осям (вращение с отражением в точке, лежащей на оси, или
несобственное вращение с detR = − 1).
Поворотные оси симметрии
Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на некоторый
угол αn гомологические (эквивалентные) точки кристаллического
пространства
совмещаются. Угол поворота αn равен 360о/n, где n − целое число. Значит, через n
поворотов в одном направлении на угол αn кристаллическое пространство возвращается в
исходное положение. Наименьший угол поворота αn для данной оси симметрии называют
элементарным углом оси симметрии, а n − порядком оси поворота. В
кристаллографической системе координат при повороте вокруг оси симметрии
произвольный вектор x, задающий узел пространственной решетки, переходит в вектор x′:
x′ = Rx,
где R − матрица вращения, а x и x′ − векторы-столбцы.
В ортогональной системе координат преобразование R будет описываться
матрицей подобия R′ = CRC-1, где C − матрица перехода от кристаллографической
системы координат к ортогональной системе. Если ортогональную систему координат
выбрать таким образом, чтобы ось симметрии совпала с осью x, то поворот вокруг этой
оси будет описываться матрицей R′ вида
След этой матрицы trR′ = trR = N = 1 + 2 cosα; N может принимать значения 0, ±1,
+2, +3. Отсюда следует, что возможны лишь повороты на угол α, равный 0, 60, 90, 120 и
180° (табл. 1.2). Таким образом, в кристаллическом пространстве возможны оси
симметрии первого, шестого, четвертого, третьего и второго порядков.
Таблица 1.2