§ 6

§ 6. Арифметические функции.
Определение. Функция f (n) называется арифметической, если она
определена на множестве натуральных чисел.
Примеры. 1). n  x  x - целая часть числа (“пол”), наибольшее
целое число, не превосходящее x , или n  x  n  1 .
2). x  x  x - дробная часть числа.
3).  (n)  1 - число делителей числа n .
d n
4).  (n)   d - сумма всех делителей числа n .
d n
5). Целое число m  x  x такое, что m 1  x  m называют верхней целой
частью (“потолок”).
6). Число x  min( x  x, x  x) называется расстоянием до ближайшего
целого числа, а само это ближайшее целое число обозначается (( x )) .
Теорема 1. Пусть   R , d  N . Число положительных чисел, не

превосходящих  и делящихся на d , равно   .
d 
Доказательство. Рассмотрим натуральные числа, кратные d и не
превосходящие  ; пусть наибольшее из них будет равно s  d , так что
( s  1)  d уже больше, чем d ; число таких чисел d ,2  d ,3  d ,..., s  d равно s ,
где s  d    ( s  1)  d , следовательно,
s

 
 s  1 , т.е. s    .
d
d 
Теорема 2. Показатель, с которым данное простое число p входит
в каноническое представление числа n! 1 2  3  ...  n , равен
n  n   n 
      2    3   ...
 p  p   p 
n
Ряд (*) – конечный, т.к. если p s  n , то  s   0 .
p 
(*).
Указание. Вычисления удобно располагать следующим образом:
n p
r1 q1 p
r2 q2 p
r3 q 3

qs p
0,
тогда   q1  q2  ...  qs (при этом деление ведется до тех пор, пока не
получим частного, меньшего p ).
39
n
Доказательство. Среди чисел 1, 2, …, n кратных p есть   чисел;
 p
n 
кратных p 2 -  2  ,
p 
n
кратных p 3 -  3  и т.д.
p 
n  n 
Поэтому количество чисел, кратных p , но не кратных p 2 , равно     2  ,
 p  p 
далее
n n
3
2
 2    3  - число чисел кратных p , но не кратных p и т.д.
p  p 
Каждое число 1, 2, …, n , кратное p , но не кратное p 2 , дает в произведении
n! один простой сомножитель, равный p . Числа, кратные p 2 , но не кратные
p 3 , дают два таких множителя и т.д. Поэтому общее число простых
сомножителей, равных p , в каноническом разложении числа n! такого:
 n   n 
 n   n 
 n   n 
n
n
       2    2    2    3    3    3    4    ...      2   ...
 p  p 
 p  p 
 p   p 
 p   p 
k
k
Теорема 3. Если n  p1 1  p2 2  ...  ps s , то
k
 (n)  (k1  1)  (k2  1)  ...  (ks  1) ,  (n) 
p1k1 1  1 p2k 2 1  1
p k s 1  1

 ...  s
.
p1  1
p2  1
ps  1
Пример. 1. Найти 1)[5, 7]; 2) [  ]; 3) [3-lg3714]; 4) 
23 
.
 7
Решение. 1). –6<-5, 7<-5 , следовательно, [-5, 7]=-6.
2). 3<  <4, следовательно, [  ]=3.
3). 103<3714<104  3  lg 3714  4  4   lg 3714  3  1  3  lg 3714  0 
3  lg 3714  1 .
23
23
23
23
5
4).           (4)  .

7
7

7
7
7
Пример 2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих
107 и не делящихся ни на одно их простых чисел 3, 5, 7.
Решение. Обозначим искомое число B  (107 3,5,7) . Количество чисел,
107
кратных 3 (5, 7) и не превосходящих 107, есть    35 (соответственно  3 
107 
 5   21 ,


107 
 7   15 ).


Однако число 107          меньше
 3   5   7 
требуемого в ответе, т. к. числа, кратные одновременно двум из трех
простых, были выброшены дважды. Количество таких чисел надо
107
107
107
107
прибавить, т. е. прибавить         .
3  5
3  7 
40
5  7 
107
107
Числа, кратные всем трем простым одновременно, трижды выброшены и
трижды возвращены обратно, а значит их еще раз следует выбросить, т.е.
107 
отнять 
 . Итак,
3  5  7 
 107 
107 
107    107 
 107 
 107  
B  (107 3,5,7) =107   
   5    7   +   3  5    3  7    5  7   –
3


 

 107   107   107  
 


 =107-35-21-15+7+5+3-1=50.



3

5
3

7
5

7
 
 


Пример 3. Найти сумму и число всех натуральных делителей числа
90 и перечислить эти делители.
Решение. Находим каноническое разложение числа 90.
90 45 15 5 1
2
3
3
5
2
90  2  3  5 .
Теперь по формулам вычисляем
 (90)  (1  1)  (2  1)  (1  1)  2  3  2  12 ;
22  1 33  1 52  1


 3  13  6  234 .
2 1 3 1 5 1
С другой стороны  (90)  (1  2)  (1  3  32 )  (1  5) .
 (90) 
Используя (7), находим все делители числа 90:

(7)

Д (90)  1,2,3,2  3,32 ,2  32 ,5,2  5,3  5,2  3  5,32  5,2  32  5 =
1,2,3,6,9,18,5,10,15,30,45,90.
Пример 4. Найти натуральное число, зная, что оно имеет два
простых делителя, всего 6 делителей, сумма которых 28.
Решение. Обозначим искомое число n .
 n  p  q 

Тогда  (n)  (  1)  (   1)  6
 (n)  28

  1  3
(8), либо 
  1  2
Рассмотрим лишь (8) (в противном случае простые числа можно
переобозначить).
Итак,   1 ,   2 .
Запишем  ( p  q 2 )  ( p  1)  (q 2  q  1)  28  22  7 .
Так как p  1 и q 2  q  2 , то ни один из множителей не равен 2.
  1  2
  1  3
Так как   1 и   1 , то либо 
p 1  4
p  3
. Следовательно, n  3  22  12 .


2
q  q  1  7 q  2
Если p  1  7 , то p  6 . Получили противоречие, т.к. p - простое; других
Пусть 
случаев нет.
41
Упражнения.
№1. Привести примеры мультипликативных числовых функций.
№2. Привести примера 1) совершенных чисел; 2) дружественных чисел; 3)
чисел «близнецов».
№3. Найти целую часть чисел:
1) –2, 7;
4)
7  21
;
2
13  
6) 3  sin
;
7
2) 2+ 3 987 ;
3)

10
;
3 3
5) 1, (3)+ 2  tg ;
4
7) 3  2  cos
90  
;
181
9) 2  lg abcd .
8) 2  lg 512 ;
№4. Доказать, что    l   l     .
№5. Найти дробную часть чисел:
1) 2, 6;
2)
8
;
3
l 
 
1
8
3) 7; 4) -4, 35; 5) 0, 4; 6)  2 .
№6. Решить уравнения: 1) x 2   2 ; 2) 3  x 2  x  x  1 ; 3) x    x ;
4) x 2   x .
№7. Доказать, что если m - число нечетное, то
3
4
m
m 1
1)   
; 2) x1  x2  ...  xn   x1   x2   ...  xn  ;
2
2
3) n  x  n  x, где n  N .
№8. Путешественник был в пути целое число дней и проезжал каждый
день столько километров, сколько всего дней был в пути. Если бы он
проезжал каждый день по 20 км и останавливался на один день через
каждые 40 км, то время его путешествия увеличилось бы на 37 дней.
Определить, сколько всего дней путешественник был в пути.
№9. найти число натуральных чисел:
1) на отрезке от 165 до 926,1, делящихся на 11;
2) не превосходящих 180 и не делящихся ни на одно их простых чисел 5, 7,
11:
3) не превосходящих 2311 и не делящихся ни на одно из чисел 5, 7, 13, 17;
4) меньших 1000 и не делящихся ни на 5, ни на 7;
5) не превосходящих 100 и взаимно простых с 36;
6) не превосходящих 12317 и взаимно простых с 1575;
7) не превосходящих 1000 и не взаимно простых с 363.
№10. Найти показатель степени числа a в каноническом разложении
числа n :
1) a  3 , n  100! ; 2) a  11 , n  1000! ; 3) a  6 , n  50! .
№11. Сколькими нулями оканчивается число 100!?
№12. Найти каноническое разложение чисел: 1) 10!; 2) 15!; 3) 20!; 4)
29!; 5) 35!;
6)
20!
40!
50!
; 7)
; 8)
.
10!10!
20!20!
25!25!
42
№13. Найти число и сумму всех делителей следующих чисел: 1) 375; 2)
720; 3) 957; 4) 988; 5) 990; 6) 1200; 7) 360; 8) 600.
№14. Найти все делители чисел: 1) 360; 2) 375; 3) 4520.
№15. N  p  q  , где p и q  p - простые числа. N 2 имеет 15 различных
делителей. Сколько делителей имеет N 3 ?
№16. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его
квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого
числа?
№17. Найти натуральное число, если оно делится на 3 и на 4 и имеет 14
делителей.
№18. Найти наименьшее натуральное число, имеющее m натуральных
делителей:
1) m  10 ; 2) m  15 ; 3) m  8 .



№19. Найти число N  2  3  5 , зная, что половина его имеет на 30
делителей меньше, треть на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем
само число.
  
№20.   R и d  N      .
 d  d 
0

№21.   R    2      .
 2  1
№22. Если p - простое число, то x  p  x  p , x  R , i  1, n .
№23. x1  x2  ...  xn   x1   x2   ...  xn  .
№24. Если x  y , то x  y  1 .
n
n  1  n  2 
 n  k  1

 ...  
№25.    


  n , где n, k  N .
k   k   k 
 k

n
n
n
№26.       ...      (1)   (2)  ...   (n) .
1 2
n
№27. (n  1)  (n  2)  (n  3)  ...  (2  n  1)  2  n  2n  (2  n  1)!!
(( 2  k ))!! 2  4  8  ...  (2  k ) , (2  k  1)!! 1  3  5  7  ...  (2  k  1) .
№28. Докажите, что если n  x  n  y  n  ( x  y) при всех натуральных n , то
либо x , либо y - число целое.
№29. (q, p )  1 .
 q   2  q  3  q 
 ( p  1)  q  ( p  1)  (q  1)
.
 

  ...  

p
p
p
p
2
  
 



1
№30. Докажите, что  x    2  x   x  , x  y  1  x  y  x  y,
2

0  2  x  2  x  1 , 2  x  2  y  x  y  x  y .
1
№31. Докажите, что  x    2  x  x , x  y  1  x  y  x  y ,
2

 x   x 
0  2  x  2  x  1 , 2  x  2  y  x  y  x  y ,      .
 n  n
43
№32. Докажите, что
x   x  1    x  2   ...   x  n  1  n  x.

n
n
n 


1
2 1



№33. ( x    2)  ( x    )  ...  ( x 
n
n 2



n 1
1
  )  n  x  .
n 2
2
 n  2k 
n  1  n  2   n  4 
№34. 



...

 k 1   ...  n .
 
 

 2   4   8 
x  1 , log n x  log n x при x 
№36. Докажите, что
1)
 1  2  ...  
n
2
n
4

x 
 x   x ,    x  при x  0 ,
№35. Докажите, что
log n x  log n x при
 2

n2  1 
1
.
n
n  (n  1)  4  n  1)
6
n
8
2) n  (( ))  (( ))  (( ))  ...
3) 2  n 
1
1
1
.

 ... 
(( 1)) (( 2 ))
(( n  n  1))
№37. Докажите, что 

 x   
x.

№38. Докажите, что (1  3 ) 2n 1   (1  3 ) 2n 1
№39. Докажите, что (2  3 ) n  - четно.
№40. Найти наивысшую степень двойки, на которую делится число
(1  3)n .
№41. Решите уравнения:
5  6  k  15  x  7
1). 


5

x  2
2). x  1  

 2 
3). x3  x  3
8  x  19  16  ( x  1)
4). 

7
11


8
 x2  2 
  x
 3 
5). 
6). x 4  x  1  2
x  y  8  6  x
.
x  5   y  4  15  x  y
7). 
44