К вопросу об устойчивости нелинейных систем по

Соколов С.В., Соколова А.В.
К вопросу об устойчивости нелинейных систем по первому, в
широком смысле, приближению.
1. Введение.
К основным проблемам теории управления относятся задачи
исследования устойчивости стационарных режимов сложных
динамических систем [1, 2]. Подобные задачи, связанные также с
построением и контролем управления, возникают при изучении
широкого
класса
электромеханических,
биологических,
экономических систем.
Сложность таких объектов заключается в многомерности,
наличии большого числа различных связей между подсистемами, а
также в нелинейном характере описывающих их уравнений. Все это
приводит
к
возникновению
существенных
трудностей,
заставляющих при синтезе управляющих систем искать пути
упрощения исследуемых уравнений. Поэтому при анализе сложных
систем часто применяется метод декомпозиции, то есть разбиения
системы на не влияющие друг на друга блоки [3, 19]. Таким
образом, можно значительно понизить порядок систем. Для
каждого блока подбирается своя функция Ляпунова, затем с их
помощью строится общая функция, которая применяется для
исследования устойчивости всей сложной системы.
А. М. Ляпунов определил условия, при выполнении которых
одни линейные члены решают вопрос устойчивости нулевого
решения [4]. Случаи, когда рассмотрение линейных членов не дает
необходимого результата, называются критическими. В таких
случаях часто приходится рассматривать системы вообще не
содержащие линейных членов. Таким образом, возникает задача об
устойчивости по нелинейному приближению.
Задача об устойчивости по нелинейному приближению была
исследована И.Г. Малкиным, Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым в
работах [5, 6, 7]. В.И. Зубов рассмотрел задачу об устойчивости по
обобщенно-однородному нелинейному приближению [7]. Для
решения проблемы устойчивости невозмущенного движения в
дальнейшем В.И. Зубовым было предложено в качестве системы
первого приближения использовать не только линейные уравнения
или уравнения с однородными правыми частями, но и более
широкие классы нелинейных систем (задача об устойчивости по
первому, в широком смысле, приближению) [8].
Эта проблема тесно
связана
с задачей
об абсолютной
устойчивости.
Широкий
описывается
класс
систем
нелинейными
автоматического
системами
регулирования
дифференциальных
уравнений, при этом точное аналитическое выражение для
регулятора может быть неизвестно, предполагается лишь, что он
описывается
функцией
f ( ) ,
обладающей
некоторыми
специальными свойствами. Часто предполагается, что f ( )  0 при
  0. Одной из основных задач, возникающих при анализе таких
систем, является задача поиска условий абсолютной устойчивости,
т.е. устойчивости при любых допустимых функциях f ( ).
В работе [9] рассмотрена система вида
x  AF (x),
где
x(t )  ( x1 (t ),  , xn (t ))  n ,
A–
постоянная
квадратная

матрица размерности n, F ( x)  ( f ( x1 ), , f ( xn )) . Предполагалось, что
fi ( xi ) xi  0 при xi  0. При этом функция Ляпунова строилась в виде
n
V   i  f i ( )d , i  0, i  1,, n.
i 1
xi
0
Дальнейшее развитие исследования задачи об устойчивости по
первому, в широком смысле, приближению (и соответствующих
задач абсолютной устойчивости), было произведено в работах
А.Ю. Александрова и А.В. Платонова. В работе [10] получены
условия устойчивости системы вида
mi
xi  ai fi ( xi )   bij f1
k 1
Здесь
| x | H
 i(1k )
 in( k )
( x1 )  f n
( xn ), i  1, , n.
(1)
fi ( xi ) – функции, определенные и непрерывные при
(H
– положительная постоянная) и удовлетворяющие
(k )
условию fi ( xi ) xi  0 при xi  0, i  1,  n. Показатели степеней  ij –
неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями,
ai и bik – постоянные коэффициенты, причем ai  0,
i  1, , n,
k  1, , mi . Предполагалось, что
mi

k 1
(k )
ij
bik  0,
 0 для всех
i, j  1,  , n. При выполнении этих условий у рассматриваемой
системы существует нулевое решение.
Исследование устойчивости нулевого решения проводилось при
помощи функции Ляпунова
n
V   i  f i  i ( )d ,
(2)
где i – положительные рациональные
числа с нечетными
xi
0
i 1
числителями и знаменателями, i  0 – постоянные.
Будем говорить, что для системы (1) выполнено условие
Мартынюка-Оболенского, если для любого   0 найдутся числа
1 , ,  n , удовлетворяющие системе неравенств
mi
aii   bij  i1   in  0, i  1, , n,
(k )
(k )
k 1
(3)
такие, что 0  i   i .
В работе [10] была доказана теорема
Теорема 1.
Пусть bij  0. Тогда если выполнено условие МартынюкаОболенского, то нулевое решение системы (1) асимптотически
устойчиво.
2. Исследование устойчивости
нелинейных систем по
первому, в широком смысле, приближению.
К сожалению, в общем случае из условий (3) не удается
исключить постоянные 1 , ,  n , и установить ограничения на
коэффициенты системы (1) в явном виде. В связи с этим
целесообразно исследовать частные случаи со специальным видом
правой части уравнений (1). В ряде работ рассмотрено несколько
классов
систем,
для
которых
удается
устойчивости в явном виде.
В [11] исследована система каскадного вида
получить
условия
mi



 ij( i 1)
 ij( n )

 i  1,  , n  1,
x

r
(
x
)
a
f
(
x
)

b
f
(
x
)

f
(
x
)
 i i i  i i i  ij i 1
i 1
n
n ,

j 1


(4)

 xn  rn ( xn )an f n ( xn ).
Здесь функции fi ( xi ), ri ( xi ) определены и непрерывны при
| x | H ( H – положительная постоянная), fi ( xi ) xi / ri ( xi )  0 при xi  0,
i  1,  , n. Кроме того, ri ( xi )  0, i  1,  n. Показатели степеней  ij( p )
–
неотрицательные
рациональные
n
знаменателями,
ai  0,

p  i 1
i  1, , n,
( p)
ij
числа
с
нечетными
 0, ai и bij – постоянные коэффициенты;
j  1, , mi .
( p)
соответствующие величины  ij ,
Если
какие-то
bij  0,
то
p  i  1,, n, можно считать
сколь угодно большими. При выполнении этих условий у
рассматриваемой системы существует нулевое решение.
При сделанных предположениях доказана
Теорема 2. [11] Нулевое решение системы (4) асимптотически
устойчиво.
( p)
Далее рассмотрен случай, когда справедливы равенства  ij   ip
для всех j  1, , mi . Предполагалось, что функции fi ( xi ), ri ( xi )
определены и непрерывны при всех xi  .
Теорема 3. [11] Предположим, что существует 0  0, такое,
что для всех рациональных чисел  с нечетными числителями и
знаменателями, таких, что при   0 , выполнено

xi
0
fi  ( )
d   при | xi | , i  1,  , n.
ri ( )
Тогда нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво
в целом.
Полученное в работе [10] достаточное условие абсолютной
устойчивости в виде теоремы 1 не конструктивно, так как не
содержит явных, зависящих от параметров системы (1) условий
устойчивости. В связи с этим, представляет интерес исследование
систем со специальной структурой связей, для которых возможно
получение условий в явном виде.
Так, в [12, 13, 14, 15] получены условия устойчивости некоторых
классов нелинейных связей в уравнениях вида (1).
Рассмотрим теперь систему с мультипликативной связью
центрального типа
 xi  ai f i ( xi )  bi f ni ( xn ), i  1,, n  1,

 xn  an f n ( xn )  bn f11 ( x1 )  f nn11 ( xn1 ).
(5)
Здесь fi ( xi ) – допустимые функции, обладающие указанными
выше свойствами, i и i
знаменателями,
 i  0,
n  1    n 1  0.
– рациональные числа с нечетными
i  0,
Величины
i  1, , n  1,
aj
и
bj
кроме
–
того,
постоянные
коэффициенты, причем a j  0, j  1,  , n. При выполнении этих
условий у рассматриваемой системы существует нулевое решение.
Исследование устойчивости нулевого решения системы (5)
проведем при помощи функции Ляпунова (2).
Требуется найти множество значений параметров ai , bi , i и  i ,
для которых числа i и i можно выбрать так, чтобы производная
функции (2) в силу системы (5) была отрицательно определена.
Определим сначала, каким условиям должны удовлетворять
показатели
степеней
i
и
i ,
чтобы
нулевое
решение
рассматриваемого уравнения являлось асимптотически устойчивым
для любых значений коэффициентов b j , i  1, , n  1, j  1,  n.
Теорема 4. [12] При выполнении неравенства
n 1
 
i 1
i
i
1
нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.
n 1
В случае, если выполнено равенство
 
i 1
i
i
 1,
то для
асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5)
достаточно выполнения неравенства
1
 b 
 b 
bn   1     n 1 
 a1 
 an 1 
 n 1
 an  0.
В работе [14] была рассмотрена система с мультипликативной
связью циклического типа
 x1  a1 f1 ( x1 )  bi f n1 ( xn ),


 xi  ai f i ( xi )  bi f i1i ( xi1 ), i  2,, n  1,

 n 1
1
 xn  an f n ( xn )  bn f1 ( x1 ) f n1 ( xn1 ).
(6)
Для системы (6) доказано [13], что если показатели степеней
удовлетворяют неравенствам
1 i i  1, i  1,, n  1,
(7)
то нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво, а в
пограничном случае, то есть в случае, когда неравенство (7)
обращается в равенство, для асимптотической устойчивости
нулевого решения достаточно выполнения условия
1
b 
b 
bn  1   n 1 
 a1 
 an 1 
 n1
 an  0.
В работах [12, 15] была рассмотрена система с аддитивной
связью центрального типа
 xi  ai f i ( xi )  bi f ni ( xn ), i  1,, n  1,

n 1


x

a
f
(
x
)

bnj f j j ( x j ).

n n
n
 n
j 1

(8)
Здесь все параметры удовлетворяют указанным выше условиям,
кроме того, i  0, i  1,  , n.
Для системы (8) доказано, что если показатели степеней
удовлетворяют неравенствам
i i  1, i  1,, n,
то нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво. В
пограничном
случае,
когда
некоторые
из
этих
неравенств
обращаются в равенства, т.е. справедливо
 i i  1, i  i1 ,  , i p ,
для
асимптотической
устойчивости
достаточно
выполнения
неравенства

i  i1 ,, i p
b 
bni  i 
 ai 
i
 an  0.
В работе [13] была рассмотрена система с аддитивной связью
циклического типа

 x  a f ( x )  b f 1 ( x ),
1 1 1
i n
n
 1
i
 xi  ai f i ( xi )  bi f i1 ( xi1 ), i  2,, n  1,

n1
 xn  an f n ( xn )   bnj f j j ( x j ).

j 1
(9)
при аналогичных ограничениях на коэффициенты.
Для системы (9) получены достаточные условия устойчивости
1 i i  1, i  1,, n  1,
и
в
пограничном
случае,
когда
справедливы
равенства
1  i i  1, i  i1, , i p , достаточно выполнения условия

i  i1 ,, i p
i
b 
bni  i   an  0.
 ai 
Здесь  n 1  n 1,  i  i  i 1 i 1, i  1,  , n  2.
3. Устойчивость нелинейных систем с нестационарными
возмущениями
В части 2 были получены условия устойчивости систем в
пограничных случаях при постоянных коэффициентах ai и bi ,
i  1,  , n,
Рассмотрим
коэффициенты
теперь
изменятся
со
нестационарый
временем.
Для
случай,
когда
использования
достаточных условий приходится производить оценку сверху для
функций ai (t ) и bi (t ), что приводит к огрублению результатов.
Более того, для многих асимптотически устойчивых систем
достаточные условия выполняться не будут.
В [16, 17] рассмотрен способ получения более мягких условий
на коэффициенты.
1.
Рассмотрим
систему
с
мультипликативной
связью
центрального типа
 xi  (ai  a~i (t )) xii  (bi  b~i (t )) xni , i  1, , n  1,

~
n
 n 1
1
~
 xn  (an  an (t )) xn  (bn  bn (t )) x1  xn1 .
(10)
Здесь и далее в этом параграфе условия на показатели степеней
i , i  1,  , n,  j ,  j ,
j  1, , n  1 и постоянные коэффициенты
ai , bi совпадают с ограничениями из части 2.
~
Возмущения a~i (t ), bi (t ), i  1, , n  1, непрерывны и ограничены
при всех t  0 .
Невозмущенная система имеет вид
 xi  ai xi i  bi xn i , i  1,, n  1,

n
 n1
1
 xn  an xn  bn x1  xn 1 .
(11)
Для невозмущенной системы функцию Ляпунова V строим в
виде
n
V   i x i i i 1 , i  0, i  1,  , n.
i 1
Здесь и далее в этом параграфе будем предполагать, что
рассматриваемый случай пограничный и для невозмущенной
системы
справедливы
полученные
в
части 2
условия
существования постоянных  1, ,  n , 1, , n , таких, что функция
dV
dt
отрицательно определена.
(11)
Предположим, что существует такое число 0    1, что для
возмущений коэффициентов правой части справедливы следующие
соотношения
lim t 
1
t
1 t~
~ ( ) d  lim
a
t    bi ( ) d  0.
0 i
t 0
t
Введем обозначения
i 
i
1
1

, n 
.
 i i  1
n  1
(12)
Справедлива
Теорема 5 [17]. При выполнении неравенства

min i1,,n i
max i1,,n i
нулевое решение системы (10) асимптотически устойчиво.
Доказательство основано на методе, предложенном в работе
[18]. Исследование устойчивости нулевого решения системы (10)
проводится при помощи функции Ляпунова
n 1
V1  V  
i 1
V
xi
 x  i t a~ ( )d  x i t b~ ( )d  
n  i
0
 i 0 i

t~
V   n t ~


 xn 0 an ( )d  x1 1  xn n11 0 bn ( )d .

xn 
2. Рассмотрим систему с аддитивной связью центрального типа
 xi  (ai  a~i (t )) xii  (bi  b~i (t )) xni , i  1,, n  1,

n 1


~
n
~
x

(
a

a
(
t
))
x

(bnj  bnj (t )) x j j .

n
n
n
 n
j 1

(13)
Вновь будем предполагать, что рассматриваемый случай
пограничный
полученные
и
в
для
части 2
невозмущенной
условия
системы
существования
справедливы
постоянных
 1, ,  n , 1, , n , таких, что производная функции Ляпунова V в
силу невозмущенной системы отрицательно определена.
Пусть существует число 0    1 такое, что для возмущений
коэффициентов
правой
части
справедливы
следующие
cоотношения
lim t 
1
t
1
0 a~i ( ) d  lim t  t 
t
1
~
0 bi ( ) d  lim t  t 
t
t
~
b
0
nj
( ) d  0.
Используя обозначения (12), получаем, что справедлива
Теорема 6 [16]. При выполнении неравенства  
min i1,,n i
max i1,,n i
нулевое решение системы (13) асимптотически устойчиво.
Для доказательства используем метод, предложенный в работе
[18]. Исследование устойчивости нулевого решения системы (13)
проводим при помощи функции Ляпунова
n 1
V2  V  
i 1
V
xn
3.
V  i t ~
 t~
 x i 0 ai ( )d  xn i 0 bi ( )d  

xi 
n 1
 n t ~

i t ~
x
a
(

)
d


x
 n  n

i  bni ( )d .
0
0
i 1


Рассмотрим
систему
с
мультипликативной
связью
циклического типа
 x1  (a1  a~1 (t )) x11  (b1  b~1 (t )) xn1 ,

 xi  (ai  a~i (t )) xi i  (bi  b~i (t )) xii1 , i  2,, n  1,
 x  (a  a~ (t )) x  n  (b  b~ (t )) x 1  x  n1 .
n
n
n
n
n
1
n 1
 n
(14)
в пограничном случае при возмущениях, удовлетворяющих
соотношениям ( 0    1 )
lim t 
1
t
1
~ ( ) d  lim
a
i
t


0
t
t

t
0
~
bi ( ) d  0.
Используем обозначения
i 
1   i
1
1

, n 
,
1  i  i  1
n 1
(15)
приходим к следующему результату
Теорема

min i1,,n i
max i1,,n i
7
[17].
При
выполнении
нулевое решение системы
неравенства
(14) асимптотически
устойчиво.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5, но в
настоящем случае используется функция Ляпунова
n 1
V3  V  
i 1
t~
V  i t ~

 x i 0 ai ( )d  xi i1 0 bi ( )d  

xi 
t~
V   n t ~


 xn 0 an ( )d  x1 1  xn n11 0 bni ( )d .

xn 
4. Рассмотрим систему с аддитивной связью циклического типа
 x1  (a1  a~1 (t )) x11  (b1  b~1 (t )) xn1 ,

 xi  (ai  a~i (t )) xii  (bi  b~i (t )) xii1 , i  2,, n  1,

n1
 x  (a  a~ (t )) x n  (b  b~ (t )) x  j .

n
n
n
nj
nj
j
 n
j 1
Используем
обозначения
(15),
приходим
(16)
к
следующему
результату
Теорема 8 [17]. При выполнении неравенства  
min i1,,n i
max i1,,n i
нулевое решение системы (16) асимптотически устойчиво.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5, но в
настоящем случае используется функция Ляпунова
V  i t ~
i t ~
V4  V  
 x i 0 ai ( )d  xi 1 0 bi ( )d  

i 1 xi 
n 1
n 1
t~

V   n t ~
 xn  an ( )d   xi i  bni ( )d .
0
0
xn 
i 1

Список литературы.
1. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
2. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости //
Автоматика и телемеханика. 1969. №12. С. 5-11.
3. Метод векторных функция Ляпунова в теории устойчивости.
Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. 1987.
4. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.;
Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.
5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.:
Гостехиздат, 1952. 432 с.
6. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости
движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.
7. Зубов В. И. Математические методы исследования систем
автоматического регулитрования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.
8. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в
широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т.346, №3.
С. 295-296.
9. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука,
1967. 223 с.
10. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости и
диссипативности некоторых классов сложных систем // Автоматика
и телемеханика. 2009. №8. С. 3-18.
11. Соколов С. В. Об асимптотической устойчивости в целом
одного
класса
нелинейных
систем
//
Математическое
и
информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 9.
Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 2007. C. 163-169.
12. Александров А. Ю. О существовании функций Ляпунова для
одного класса нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф.
"Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2003.
Часть 3. С. 7-9.
13. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одной
нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестник
СПбУ. Серия 1. 2004. Вып. 3. С. 3-10.
14. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций
Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды
Средневолжского математического общества. 2004. Т. 6, \No 1.
С. 69-74.
15. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки
решений некоторых
классов нелинейных систем // Труды
Средневолжского математического общества. 2005. Т. 7, № 1.
С. 113-123.
16. Соколов С. В. Условия устойчивости одной нелинейной
системы с постоянно действующими возмущениями // Труды 3-ей
Всерос. научн. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи».
Самара, 2006. Часть 3. Дифференциальные уравнения и краевые
задачи. C. 205-208.
17. Соколов С. В. Анализ устойчивости некоторых классов
нелинейных систем с постоянно действующими возмущениями //
Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной
научной конференции аспирантов и студентов / Под ред.
Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. С. 6167.
18. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по
нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38,
№ 6. С. 1203-1210.
19. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SIAM J. Contr. Ser. A.
1962. №1. Pp. 32–34.