§1 - Сайт учителя математики и информатики Масаловой

Министерство образования и науки Российской Федерации
Новосибирский государственный педагогический университет
Математический факультет
кафедра алгебры
Масалова Татьяна Николаевна
Элементы теории вероятностей в школьном курсе математики
Дипломная работа
Научный руководитель:
к.м.н. доцент кафедры алгебры
Ю.В. Сосновский.
Новосибирск - 2005
2
Содержание:
Введение
Глава 1. Теоретические основы теории вероятностей
§1. Классическое определение вероятности
1.1. Пространство элементарных событий
1.2. Действия над событиями
1.3. Классическое определение вероятности
1.4. Свойства вероятностей
§2. Элементы комбинаторики
2.1. Число размещений
2.2. Число перестановок
2.3. Число сочетаний
§3. Правила сложения и умножения вероятностей
3.1. Вероятность объединенных событий
3.2. Условная вероятность
3.3. Произведение вероятностей
§4. Формула полной вероятности Байеса
4.1. Формула полной вероятности
4.2. Формула Байеса
§5. Математическое ожидание дискретной случайной величины
5.1. Случайная величина
5.2. Схема Бернулли
5.3. Примеры дискретного распределения.
5.4. Математическое ожидание случайных величин и его свойства
§6. Дисперсия дискретной случайной величины
6.1. Дисперсия случайной величины
6.2. Свойства дисперсии
§7. История возникновения теории вероятностей
7.1. Зарождение науки теории вероятностей
7.2. От Я. Бернулли до Муавра
7.3. Предельные теоремы А. де Муавра
7.4. Теорема Байеса
7.5. Работы Д. Бернулли
7.6. Лаплас
7.7. П.Л. Чебышев
7.8. А.А. Марков
7.9. Развитие теории вероятностей в XIX-XX веках
Глава 2. Преподавание элементов теории вероятностей в школе
§1. Введение стохастической содержательной линии в школьный курс
математики
1.1. Непрерывность изучение элементов стохастики
1.2. Методические рекомендации к изучению комбинаторики,
вероятности, статистики
1.3. Как преподавать вероятность?
4
6
6
6
7
9
12
13
13
13
14
17
17
18
19
21
21
22
24
24
25
26
27
30
30
30
32
32
35
36
38
39
40
40
41
43
44
44
45
46
51
3
1.4. Связь стохастической содержательной линии с другими
содержательными линиями школьного курса математики?
1.5. Межпредметные связи стохастической содержательной линии
§2. Обзор и анализ существующих учебных пособий.
2.1. «Математика 5» и «Математика 6» под редакцией Г.В. Дорофеева
и И.Ф. Шарыгина.
2.2. «Математика 6» Г.М. Серегин, А.Ж. Жафяров
2.3. «Математика 10-11», под редакцией А.А. Никитина.
2.4. «Теория вероятностей и математическая статистика» Г.В.
Горлова, И.А. Кацко
2.5. «Математика после уроков» М.Б. Балк, Г.Д. Балк
2.6. «Факультативный курс по математики. Теория вероятностей»
В.С. Лютикас.
§3. Факультативный курс «Вероятность и статистика» для 6 класса.
3.1. Объяснительная записка.
3.2. Тематическое планирование факультатива
3.3. Анализ факультатива.
Заключение
Приложения
Список литературы
57
58
59
59
62
63
65
66
67
69
69
70
83
91
92
102
4
Введение.
«Замечательно,
началась
с
что
наука,
рассмотрения
которая
азартных
игр,
обещает стать наиболее важным объектом
человеческого знания… Ведь по большей части
важнейшие жизненные вопросы являются на
самом
деле
лишь
задачами
теории
вероятности.»
П. Лаплас (1749-1827гг.)
Действительно, общество все глубже начинает изучать себя и
стремится сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые
требуют представлений о вероятности.
Ориентация на многовероятность возможного развития реальных
ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать
в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития
вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения.
Однако
не
только
социально-экономическая
ситуация
диктует
необходимость формирования вероятностного мышления. Ребенок не
отделен
от мира глухой стеной, да и в своей жизни он ежедневно
сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют
существенную
часть
жизни
ребенка.
Круг
вопросов,
связанных
с
соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора
наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и
шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в
играх и в реальных жизненных коллизиях – все это находится в сфере
реальных интересов детей. Подготовку к решению таких проблем и должен
взять на себя курс школьной математики.
Именно поэтому для дипломной работы я выбрала тему «Элементы
теории вероятности в школьном курсе математики».
5
Это тема меня заинтересовала тем, что она может быть полезна мне в
работе. Работая в школе, я являюсь руководителем центра «Исследователь»,
задача которого проводить различные социологические исследования.
Проведя исследования необходимо освещать результаты и делать выводы.
Но выводы, основанные на интуиции, не могут быть достоверными, в этом
случае на помощь приходит математическая статистика.
Задачи, которые я ставлю перед собой:
- изучить теоретические основы теории вероятностей;
- историю возникновения теории вероятностей;
- выяснить место теории вероятностей в школьном курсе математики;
- проанализировать учебные пособия по теории вероятностей;
- разработать и опробовать факультативный курс «Вероятность и
статистика» для 6 класса.
6
ГЛАВА 1. Теоретические основы теории вероятностей
§1. Классическое определение вероятности
1.1. Пространство элементарных событий
Рассмотрим три задачи:
1. Бросается одна игральная кость.
2. Бросаются две игральные кости.
3. Выбираются два экзаменационных билета из 35.
Выясним, сколько различных событий может произойти в этих задачах.
1. 6 событий.
2. 36 событий.
3. (35*34)/2=630
Нас могут интересовать не только количество событий, но и
определенные совокупности этих событий.
1. Бросающий выигрывает, если выпадет четное количество очков. В
скольких случаях это произойдет? (3 случая)
2. В скольких случаях сумма очков на двух костях будет больше
восьми? ((3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6))
3. Не выучил десять последних вопросов и надеется, что это
произойдет незамеченным. (25*24/2=300)
К числу первоначальных понятий теории вероятностей относится
понятие события. Первоначальные понятия, как правило, не определяются. В
рассмотренных задачах нам легко удавалось выделить события, которые
разлагаются на более простые и которые на более простые не разлагаются.
Определение. События, которые не разлагаются на более простые,
называются элементарными событиями (иногда исходами).
Определение. Совокупность всех элементарных событий задачи
(испытания)
называется
пространством
элементарных
событий.
Обозначается Х. Таким образом Х – множество, элементами которого
являются элементарные события.
Примеры: В задаче №1 Х={1,2,3,4,5,6}.
7
В задаче №2 Х={(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2)…(6;6)}
В задаче №3 пространство Х состоит из 1260/2 событий.
С учетом определения элементарного события и пространства
элементарных событий мы будем смотреть на событие, как совокупность
элементарных событий или как на подмножество множества Х. Поэтому
события будем обозначать заглавными буквами A, B, C, D ... Чтобы
подчеркнуть, что события носят случайный характер говорят о случайном
событие.
Случайное событие может произойти, а может не произойти.
Определение. Случайное событие называется достоверным, если оно
заведомо произойдет.
Определение. Случайное событие называется невозможным, если оно
не может произойти.
Х всегда достоверное событие, а Ø - всегда невозможное.
1.2. Действия над случайными событиями.
Определение. Объединением двух случайных событий А и В (А U B)
называется объединением двух подмножеств А и В множества Х.
Таким образом элементарное событие х
Х
лежит в А U В тогда и только тогда, когда
А
оно лежит либо в А, либо в В.
В
Пример: событие А={появление 6 очков при бросании игральной
кости},
Событие В={появление пяти очков при бросании игральной кости},
Событие С={появление 4 очков при бросании игральной кости}?
В чем состоит событие А U В U С?
А U В U С={появилось не меньше 4 очков}.
Определение.
Х
А
В
Пересечением
случайных
событий А и В называется пересечением
А ∩ В подмножеств А и В множества Х.
8
Таким образом элементарное событие х из Х лежит в А ∩ В тогда и
только тогда, когда оно лежит и в А и в В.
Пример: Пусть событие А={входящий в автобус человек - мужчина},
Событие В={входящий в автобус человек - светловолосый}. В чем
состоит событие С= А ∩ В?
С={Входящий в автобус человек – светловолосый мужчина}.
Определение: Разностью А\В двух событий А и В называется разность
двух подмножеств А и В множества Х.
Таким образом элементарное событие х из Х
Х
лежит в А\В тогда и только тогда, когда х
лежит в А и не лежит в В.
А
В
Пример: Пусть событие А={сумма очков в бросании двух игральных
костей больше 8},
В={сумма очков в бросании двух игральных костей делится на 5}.
В чем состоит событие А\В?
А\В={(3,6), (6,3), (6,6), (4,5), (5,4), (6,5), (5,6)}.
Определение: Противоположным к событию А называется разность
множеств Х\А. Обозначается Ā.
Таким образом элементарное событие х из Х
Х
А
лежит в А тогда и только тогда, когда х не лежит в А.
Определение. Два лучайных события называются
несовместимыми, если они не могут произойти
одновременно.
Отметим, что события А и Ā всегда несовместимы.
Теорема. Для произвольных событий А, В, С справедливы равенства:
1) A  B  B  A
1’)
2) A  X  X
2’) A  X  A
3) A Ø  A
3’) A  Ø  Ø
A B  B  A
9
4) A  A  Х
4’) A  A  Ø
5) ( A  В)  C  ( A  C )  ( B  C )
6) A  B  A  B
7) A  B  A  B
8) A \ B  A  B
9) ( A \ B)  C  ( A  C ) \ ( B  C )
Доказательство этих равенств проводится по единой схеме. Дадим для
примера доказательство равенства 6): Равенство A  B  A  B доказывается
через доказательство двух включений A  B  A  B и A  B  A  B .
Возьмем x  A  B . По определению A B это означает, что x  A  B . Из
определения объединения следует, что x  A и x  B . Тогда x A и x B ,
значит x  A  B и включение
A B  A B .
Возьмем
x A B .
По
определению пересечения x A и x B . По определению противоположного
события x  A и x  B . Значит x  A  B и x  A  B .
1.3. Классическое определение вероятности
Пусть пространство Х элементарных событий х1, х2, …, хn.
Определение. Будем говорить, что на пространстве Х задана
вероятность, если каждому элементарному событию хi сопоставлено
неотрицательное число Р(хi), Причем Р(х1) + Р(х2) + …, Р(хn)=1.
Величину Р(хi) будем называть вероятностью элементарного события
х i.
Пример: Считая, что игральная кость идеально изготовлена, можно
считать, что появление любой грани равновероятно, то есть Р(х1)=Р(х2)=
Р(х3)= Р(х4)= Р(х5) = Р(х6).
Тогда
из
равенства
1=Р(х1)+Р(х2)+Р(х3)+Р(х4)+Р(х5)+Р(х6)=6Р(х1),
получим Р(х1)=1/6.
Определение. Вероятностью случайного события А, состоящего из
элементарных
событий
Р(х1)+Р(х2)+…+Р(хn).
х1,
х2,
…,
хn,
называется
число
Р(А)=
10
Пример: Подсчитаем вероятность события А, состоящего в том, что
сумма очков на двух игральных костях будет больше 8. Считаем кости
идеально
изготовленными,
поэтому
появление
любых
двух
граней
равновероятны. Всего имеется 36 равновероятных возможностей, значит
вероятность одной возможности равна 1/36. Событие А состоит из 10 таких
возможностей, значит Р(А)=10/36.
Этот
пример
показывает,
что
при
равновероятных
исходах,
вероятность А равна отношению количества элементов множества А
(благоприятных
исходов)
к
количеству
элементов
множества
Х
(всевозможных исходов).
Отметим, что вероятность достоверного события должна быть равна 1,
а невозможного 0.
Пример 1: В нашем городе в течение первого квартала родились:
в январе- 145 мальчиков и 135 девочек.
в феврале – 142 мальчика и 136 девочек.
в марте – 152 мальчика и 140 девочек.
Какова вероятность рождения мальчика?
Решение: найдем сколько всего детей родилось в эти месяцы:
в январе- 145 + 135=280
в феврале – 142+136=278
в марте – 152 + 140 =292
Тогда доля рождения мальчиков:
в январе: Р(А)=145/280=0,218=51,8%
в феврале: Р(А)=142/278=0,511=51,1%
в марте: Р(А)=152/292=0,521=52,1%.
Найдем,
сколько
мальчиков
родилось
145+142+152=439.
всего
родилось детей 280+278+292=850. Р(А)=439/850=0,516.
Ответ: Р(А)=0,516
Пример 2: В ряде практически важных задач существенно знание того
как часто могут встречаться в тексте те или иные буквы русского алфавита.
11
Так, например, при форматировании типографских касс нерационально
записывать все буквы в одинаковом количестве, т.к. одни буквы в тексте
встречаются значительно чаще, чем другие. Поэтому стремятся, чтобы чаще
встречающиеся буквы были представлены в большем числе.
Исследования, проведенные над литературными текстами, привели к
оценке частоты букв русского алфавита, включая пробелы между словами,
которая сведена в следующую таблицу:
Буква
пробел
о
е,ё
а
и
т
н
с
р
в
л
к
м
д
п
у
я
ы
з
ь,ъ
б
г
ч
й
х
ж
ю
ш
ц
щ
э
ф
Частота
появления
0,175
0,090
0,072
0,062
0,062
0,053
0,053
0,045
0,040
0,038
0,035
0,028
0,026
0,025
0,023
0,021
0,018
0,016
0,016
0,014
0,014
0,013
0,012
0,010
0,009
0,007
0,006
0,006
0,004
0,003
0,002
0,002
Таким образом, исследования показывают, что в
среднем из 1000 наудачу выбранных в тексте пробелов
и букв на двух местах будет стоять буква «ф», на
двадцати восьми – буква «к», на девяносто буква «о» и
на 175 окажутся пробелы между словами.
Эти данные являются достаточно ценными
указаниями для формирования наборных касс.
12
1.4. Свойства вероятностей.
1) Р(Х)=1.
Доказательство: Так как Х={ х1, х2, …, хn} и Р(Х) = Р(х1) + Р(х2) + … +
Р(хn) =1, то Р(Х)=1.
2) Р(Ø)=0 так как в множестве Ø нет элементов, то полагаем Р(Ø)=0.
3) Если A  B , то Р(А)≤Р(В) .
Доказательство: Пусть А={ х1, х2, …, хk}, В={х1, х2, …, хk, хk+1,…, хn}
Тогда Р(А)= {Р(х1) + Р(х2) + … + Р(хk)}≤ Р(х1) + Р(х2) +… + Р(хk) + Р(хk+1)+…
+ Р(хn)=Р(В), поскольку Р(хk+1)≥0, …, Р(хn) ≥0.
4) Для любого события А справедливо 0≤Р(А)≤1. Т.к. A  X и Р(Х)=1,
то 0≤Р(А)≤Р(Х)≤1.
5) Р( A )=1-Р(А)
Доказательство: Пусть А={ х1, х2, …, хk}, Х={х1, х2, …, хk, хk+1,…, хn}.
Тогда A ={хk+1,…, хn} и Р( A )=Р(хk+1)+… + Р(хn)=( Р(х1) + Р(х2) +… + Р(хk) +
Р(хk+1)+… + Р(хn))- (Р(х1) + … + Р(хk))=1-Р(А).
13
§2. Элементы комбинаторики
2.1. Число размещений
Определение. Размещениями из n элементов по k называются такие
соединения по k элементов, которые отличаются друг от друга самими
элементами или их порядком.
Теорема. Число всех размещений из n различных элементов по k
содержит в точности Аnk=
n!
(n  k )!
Доказательство: Пусть множество А состоит из n элементов. Первый
элемент можем выбрать n способами. Второй элемент можем выбрать (n-1)
способами. Тогда 1 и 2 элемент можно выбрать n(n-1) способами.
Аналогично размещения по k элементов n(n-1)(n-2)…(n-(k-1)) способами.
Таким образом,
Аnk= n(n-1)(n-2)…(n-(k+1)).
Преобразуем формулу умножая и деля правую часть на произведение
(n-k)(n-k-1)(n-k-2)…3*2*1.
Получаем:
Аnk=
n(n  1)( n  2)...3 * 2 *1
n!
=
(n  k )( n  k  1)( n  k  2)...3 * 2 *1 (n  k )!
2.2. Число перестановок
Определение.
Факториалом
целого
положительного
числа
n
(обозначается n!) называется произведение 1*2*3*4…n=n!
Для удобства принято считать 0!=1.
Например:
1!=1,
2!=1*2=2,
3!=1*2*3=6,
4!=1*2*3*4=24,
5!=1*2*3*4*5=120.
Рассмотрим множество А, состоящее из n элементов А={а1, а2, … аn}.
В этом пункте мы выясним сколькими способами можно упорядочить
множество из n элементов.
Теорема: Произвольное множество А, состоящее из n элементов,
можно упорядочить n! способами.
14
Доказательство: Пусть А={а1, а2, … аn}. Упорядочим элементы
множества А. В качестве первого элемента можно взять любой из n
элементов множества А, т.е. имеется n возможностей. Если первый элемент
уже выбран, то для выбора второго существует (n-1) возможность. Таким
образом для выбора 1-го и 2-го элементов существует n(n-1)(n-2)…2*1
возможностей. Последнее число равно n!
Пример 1: Сколькими способами можно расположить на
шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг
друга?
Решение: В этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали
шахматной доски может быть расположено только по одной ладье. Число
возможных позиций – число перестановок из 8 элементов:
Р8=8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320.
2.3. Число сочетаний.
Пусть k, n – целые положительные числа, причем k≤n. Пусть А –
множество состоящее из n элементов а1, а2, … аn. Подсчитали количество Сkn
подмножеств множества А, состоящих из k элементов.
Теорема: Множество А, состоящее из n элементов, содержит в
точности Ckn=
n!
подмножеств состоящих из k элементов.
k!(n  k )!
Доказательство: Пусть В подмножество множества А, состоящее из k
элементов, в качестве первого элемента множества А, т.е. для этого имеется n
возможностей. Если первый элемент множества В уже выбран, то на роль
второго элемента множества В годится любой из n-1 элементов множества А.
Таким образом для выбора первого и второго элементов множества В
имеется n(n-1) возможностей. Рассуждая аналогично, получим, что для
выбора k элементов множества В имеется n(n-1)…(n-(k-1)) возможностей.
При таком выборе элементов множества В мы учитывали порядок
элементов на множестве В, поэтому полученное число надо разделить на
15
количество упорядочений на множестве из k элементов. Так мы приходим к
числу:
n(n  1)...( n  (k  1)) n(n  1)...( n  (k  1))( n  k )!
n!


k!
k!(n  k )!
k!(n  k )!
Определение:
Число
различных
подмножеств
из
k
элементов
множества из n элементов называется числом сочетаний из n по k.
Сkn=
n!
k!(n  k )!
Пример 1: В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяли
четыре фрукта. Найти вероятность того, что
а) взято четыре яблока;
б) взято четыре груши;
Решение: Общее число элементарных событий испытания равно
С4100=
100! 97 * 98 * 99 *100

4!*96!
2 *3* 4
а) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию
А={все
С490=
взятые
наугад
4
фрукта
являются
яблоками},
равно
90!
87 * 88 * 89 * 90
87 * 88 * 89 * 90

. Р(А)=
=0,65
4!*86!
2 *3* 4
97 * 98 * 99 *100
б) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию
В={все
С410=
взятые
наугад
4
фрукта
являются
грушами},
равно
10! 7 * 8 * 9 *10
7 * 8 * 9 *10

, Р(В)=
=0,00005.
4!6!
2 *3* 4
97 * 98 * 99 *100
Пример 2: Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий
экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник,
второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка
может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два
бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих
устройство космического, и врач из числа 8 медиков. Сколькими способами
можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?
Решение: При выборе командира и его помощников важно определить,
какой из летчиков лучше других справляется с теми или иными функциями.
16
Значит, здесь важен не только персональный состав командующей тройки, но
и соответствующая расстановка подобранных людей. Поэтому командирская
тройка может быть укомплектована А253 способами.
Обязанности у обоих бортинженеров примерно одинаковые. Они могут
выполнять их по очереди. Следовательно, пара бортинженеров может быть
укомплектована С220 способами. Аналогичное положение и с врачом – его
можно подобрать С18 способами.
В силу основного свойства комбинаторики весь экипаж может быть
укомплектован
А253* С220* С18=20976000.
17
§3. Правила сложения и умножения вероятностей.
3.1. Вероятность объединения событий.
Теорема: Для любых событий А, В справедлива формула.
Р( A  B )=Р(А)+Р(В)-В( A  B ) (1)
Доказательство: Запишем из каких элементарных событий состоят
события А, В, A  B , A  B .
Пусть A  B ={С1, …, Сk}
A={C1,…,Ck, ak+1, …, ae}?
B={ С1, …, Сk, bk+1, …, bm}
A  B ={ C1,…,Ck, ak+1, …, ae, bk+1, …, bm}.
Имеем
Р(
A B
)
Р(C1)+…+Р(Ck)+Р(ak+1)+Р(ae)+Р(bk+1)+
=
…
+Р(bm)=Р(А)+[ Р(C1)+…+Р(Ck) +Р(bk+1)+ …+Р(bm)] - (Р(C1)+…+Р(Ck))=
Р(А)+Р(В)-Р( A  B ).
Следствие: Если событие А и В несовместны, то Р( A  B )=Р(А)+Р(В)
(2).
Доказательство. Т.к. А и В несовместны, то A  B =Ø. По формуле (1)
имеем Р( A  B )=Р(А)+Р(В)-Р( A  B )=Р(А)+Р(В)-Р(Ø)=Р(А)+Р(В).
Пример: В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10
выигрышей по 200 рублей, 100 – по 100 рублей, 500 по 25 рублей и 1000
выигрышей по 5 рублей. Вы купили один билет. Какова вероятность того,
что вы выиграете не меньше 25 рублей?
Решение: Обозначим событие: А={выигрыш не меньше 25 рублей},
А1={выигрыш равен 25 рублям}, А2={выигрыш равен 100 рублям},
А3={выигрыш равен 200 рублям}. Поскольку куплен только один билет,
значит
события
А1,
А2,
А3
попарно
не
совместимы,
Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3).
Р(А1)=500/10000=0,05
Р(А2)=100/10000=0,01
Р(А3)=10/10000=0,001
Р(А)=0,05+0,01+0,001=0,061
Ответ: Р(А)=0,061
поэтому
18
3.2. Условная вероятность
Пример: Электролампочки производятся на двух заводах, причем 1-й
поставляет 70%, а второй 30% всей продукции рынка.
Из каждых 100 лампочек 1-го завода 87 стандартных, а у 2-го только
79.
Какова
вероятность
купить
на
рынке
стандартную
лампочку?
Стандартная лампочка горит 1200 часов, а по остальным признакам она не
отличается от нестандартной.
Рассмотрим партию из 1000 лампочек на рынке. Из них 700 лампочек
будет с 1-го завода и 300 со 2-го. Найдем количество стандартных лампочек
среди 700 и среди 300. Составим пропорции:
100 700
700 * 87

 x1 
 609
87
x1
100
100 300
79 * 300

 x2 
 237
79
x2
100
В партии из 1000 лампочек стандартных будет 609+237=846.
Поскольку по внешнему виду стандартные лампочки не отличаются от
бракованных, то все элементарные исходы равновероятны. Их будет 1000.
Благоприятных событий 846. Искомая вероятность Р=846/1000=84,6%.
А теперь попробуем разобраться с задачей с помощью новых понятий.
Введем
обозначения
А={купили
стандартную
лампочку},
В1={взяли
лампочку с 1-го завода}, В2={взяли лампочку со 2-го завода}.
Тогда
Р(А)=846/1000,
Р(В1)=7/10,
Р(В2)=3/10,
РВ1(А)=87/100,
РВ2(А)=79/100, где через РВ1(А), РВ2(А) обозначены вероятности события А,
при условии, что произошли события В1 и В2 соответственно.
Определение. Вероятностью события А при условии, что произошло
событие В называется условной вероятностью. Обозначается РВ(А).
Теорема. Для любых событий А и В справедлива формула
РВ(А)=
P( A  B)
(3).
P( B)
Доказательство: Если известно, что произошло событие В, то
пространство элементарных событий сузилось с Х до В. Из элементарных
19
событий, входящих в А могут произойти только те, которые входят и в В, т.е.
те которые лежат в A  B . Получаем пропорцию
PB ( A) 
P(B) P(A  B)

, отсюда
1
PB (A)
P( A  B)
.
P( B)
3.3. Произведение вероятностей.
Теорема. Для произвольных событий А и В справедлива формула.
Р( A  B )=Р(В)*РВ(А) (4)
Доказательство:
По
формуле
(3)
PB ( A) 
P( A  B)
P( B)
,
отсюда
Р( A  B )=Р(В)*РВ(А).
Определение. Событие А называется независимым от события В, если
Р(А)=РВ(А).
Пример: Бросают 2 игральные кости. Введем события: А={на первой
кости выпало четное число}, В={на второй кости выпало четное число},
С={сумма очков на двух костях делится на 3}.
Р(А)=1/2, Р(В)=1/2, ясно, что РВ(А)=
P( A  C )
.
P(C )
Все элементарные события равновероятны, поэтому достаточно найти
число элементарных исходов в A C и в С. Имеем
A C ={(2,4), (4,2), (6,6)}.
С={(1,5), (1,2), (2,1), (2,4), (3,3), (3,6), (4,2), (4,5), (5,1), (5,4), (6,3),
(6,6),}.
Р( A C )=3/36=1/12, Р(С)=12/36=1/3
РС(А)=1/12 : 1/3=1/4. Т.о. событие А зависит от события С.
Следствие. Для любых событий А и В, для которых Р(А)>0 и Р(В)>0,
если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от
события А.
20
Доказательство: По условию Р(А)=РВ(А), т.е. Р(А)= РВ(А)=
откуда Р(А)*Р(В)=Р( A  B ) и далее Р(В)=
P( A  B)
,
P( B)
P( A  B)
=РА(В); т.о. событие В не
P( A)
зависит от события А.
Определение. Если для событий А и В выполняется условие
Р(А)=РВ(А) и Р(А)>0, Р(В)>0, то они называются независимыми.
Теорема. Если события А и В независимые, то Р( A  B )=Р(А)*Р(В).
Доказательство: По определению независимых событий Р(А)= РВ(А).
По формуле (4) имеем Р( A  B )=РВ*РВ(А)=Р(В)*Р(А).
Пример 1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в
течении часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого
станка 0,9, для второго 0,8, и для третьего 0,85. Найти вероятность того, что в
течении некоторого часа ни один станок не потребует к себе внимания
рабочего.
Решение. Станки работают независимо друг от друга, тогда искомая
вероятность Р(А)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0,9*0,8*0,85=0,612.
Ответ: Р(А)=0,612.
Пример 2. Бросают две игральных кости. Какова вероятность
появления на первой кости четного числа очков и на второй пяти очков?
Решение: Обозначим события:
А={появление нечетного числа очков при бросании первой кости},
В={появление пяти очков при бросании второй кости}
Т.к. события А и В совместимы и независимы, то Р(АВ)=Р(А)*Р(В),
Р(А)=3/6=1/2, Р(В)=1/6, Р(АВ)=1/2*1/6=1/12.
Ответ: Р(АВ)=1/12.
21
§4. Формула полной вероятности и формула Байеса
4.1. Формула полной вероятности
Определение. Если пространство Х элементарных событий является
объединением попарно несовместимых событий В1, В2, …,Вk, то Х называют
полной группой событий.
Таким образом В1, В2, …,Вk – полная группа событий, если
Х= B1  B2  ...  Bk и Bi  B j =Ø.
Для любого события А: оно и противоположное событие A всегда
образует полную группу событий.
Теорема. Если В1, В2, …,Вk – полная группа событий, вероятности
которых неотрицательны, то для любого события А справедлива формула:
Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+ Р(В2)*РВ2(А)+…+ Р(Вk)*РВk(А).
Доказательство: Имеем
А= A  X = A  ( B1  B2  ...  Bk )  ( A  B1 )  ( A  B2 )  ...  ( A  Bk ) ..
Тогда
Р(А)=
P( A  B1 )  P( A  B2 )  ...  P( A  Bk )
=
Р(В1)*РВ1(А)+
Р(В2)*РВ2(А) + …+ Р(Вk) * РВk(А).
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Пример: Имеются 3 урны. В первой находится 5 белых и три черных
шара, во второй 4 белых и 4 черных шара, в третьей 8 белых. Наугад
выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар.
Какова вероятность того, что он окажется черным.
Решение: Обозначим события А={извлеченный шар - черный},
Н1={шар вытащен из 1 урны}, Н2={шар вытащен из 2 урны}, Н3={шар
вытащен из 3 урны}.
Т.к. имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3.
Находим условные вероятности:
РН1(А)=3/8, РН2(А)=4/8, РН3(А)=0/8.
Отсюда
22
Р(А)=РН1(А)*Р(Н1)+РН2(А)*Р(Н2)+РН3(А)*Р(Н3)=
3/8*1/3+4/8*1/3+0/8*1/3=1/8+4/24=7/24.
Ответ: 7/24.
Пример 2. Ученик знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В
каком случае вероятность сдать экзамен больше: когда ученик подходит
тянуть билет первым или вторым по счету?
Решение. Обозначим событие А={вытягивает выученный билет,
подходя первым}, В={вытягивает выученный билет, подходя вторым}.
Р(А)=10/25=0,4.
Событие В может наступить при появлении одного из двух
несовместных событий Н1={первый взятый билет был известен нашему
ученику}
и
Н2={первый
взятый
билет
был
невыученный}
Тогда
Р(В)=РН1(В)Р(Н1)+ РН2(В)Р(Н2)=9/24*10/25+10/24*15/25=240/600=0,4.
4.2. Формула Байеса.
Теорема. Пусть В1, В2, …,Вk – полная группа событий, вероятности
которых положительны. Тогда для любого события А с положительной
вероятностью справедлива формула:
РА(Вi)=
P( Bi ) * PBi ( A)
P( B1 ) * PB1 ( A)  P( B2 ) * PB 2 ( A)  ...  P ( Bk ) * PBk ( A)
Доказательство:
Имеем РА(Вi)=
P( Bi ) * PBi ( A)
P( A  Bi )
=
P( B1 ) * PB1 ( A)  P( B2 ) * PB 2 ( A)  ...  P ( Bk ) * PBk ( A)
P( A)
Пример: В некоторой отрасли 60% продукции производится фабрикой
I, 25% продукции фабрикой II, а остальная продукции фабрикой III. На
фабрике I в брак идет 1% всей производимой ею продукции, на фабрике II –
1,5%, на фабрике III – 2%.
Купленная покупателем единица продукции оказалась браком. Какова
вероятность того, что она произведена фабрикой I?
Решение. Введем обозначения для событий:
А={купленная единица оказалась браком},
Н1={изделие произведено фабрикой I},
Н2={изделие произведено фабрикой II},
23
H3={изделие произведено фабрикой III}.
Имеем:
Р(Н1)=0,60,
Р(Н2)=0,25,
Р(Н3)=0,15,
РН1(А)=0,01,
РН2(А)=0,015,
РН3(А)=0,02.
Р(А)=
РН1(А)*Р(Н1)+
РН2(А)*Р(Н2)
РН3(А)*Р(Н3)=
0,01*0,6+0,015*0,25+0,02*0,15=0,006+0,00375+0,003=0,01275.
РА(Н1)=
P( H 1 ) * P
P( A)
H1
( A)

0,01* 0,60
 0,47 .
0,01275
Ответ: 0,47.
Пример. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй 5 белых и
4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают не глядя один шар,
после чего из второй урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что
это белый шар. Какова вероятность, что из первой урну во вторую
переложили черный шар, если извлеченный из урны шар оказался белым?
Решение. Пусть события А={извлеченный шар из второй урны белый},
Н1={из первой урны во вторую переложили белый шар}, Н2={из первой урны
во вторую переложили черный шар}. Н1 и Н2 – гипотезы. Р(Н1)=4/10=2/5,
Р(Н2)=6/10=3/5, РН1(А)=6/10=3/5, РН2(А)=5/10=1/2.
По формуле полной вероятности
РН1(А)*Р(Н1)+ РН2(А)*Р(Н2)=2/5*3/5+3/5*1/2=27/50.
По формуле Байеса: РА(Н2)=
3 / 5 *1 / 2
 5/9
27 / 50
Ответ: 5/9
24
§5. Математическое ожидание дискретной случайной
величины
5.1. Случайная величина
Определение. Случайной величиной, связанной с данным опытом,
называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта
принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Примеры случайных величин: число попаданий в мишень при данном
числе выстрелов; число очков, выпадающее при бросании игральной кости и
т.д.
Дискретная случайная величина.
Определение. Мы говорим, что задана дискретная случайная величина
х, если указано конечное или счетное множество чисел.
{х1, х2, х3 …}
и каждому из этих чисел хi сопоставлено некоторое положительное
число Рi , при чем сумма всех Рi равно 1.
Числа х1, х2, … называется возможными значениями случайной
величины х, а числа р1, р2, … - вероятностями этих значений.
Итак, дискретная случайная величина задается таблицей вида
хi х1 х2 …
pi p1 p2 …
с условием, что рi – положительны и их сумма равна 1.
Эту таблицу называют законом распределения дискретной случайной
величины Х.
Пример. Дважды бросается игральная кость. Случайная величина х –
сумма очков при обоих бросаниях. Возможные значения величины
х:2,3,…,12. Вероятности этих значений легко подсчитываются и найдя все
вероятности получаем следующую таблицу:
Значение х
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Вероятности 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
25
Проверим, верно ли мы ее получили.
1/36+2/36+3/36+4/36+5/36+6/36+5/36+4/36+3/39+2/36+1/36=36/36=1
5.2. Схема Бернулли.
Определение. Испытания называются независимыми относительно
события А, если при нескольких испытаниях вероятность события А не
зависит от исходов других испытаний.
Задача: Пусть производится n независимых опытов, в каждом из
которых с одной и той же вероятностью Р может наступить некоторое
событие А. Требуется для заданного числа k найти вероятность следующего
события: в n опытах событие А наступит ровно k раз, и не наступит n-k.
Для решения этой задачи удобно пользоваться формулой Бернулли:
Рn(k)=Cnkpkqn-k
Итак, говорят, что испытания проводятся по схеме Бернулли, если для
них выполняются следующие условия:
1) испытания независимы;
2) количество испытаний известны заранее;
3) в результате испытания может произойти только два исхода:
«успех» или «неуспех»;
4) вероятность «успеха» в каждом испытании одна и та же.
Пример 1: В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих
детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Решение: Т.к. выполняются все условия схемы Бернулли, то
вероятность будем искать по формуле Бернулли.
Вероятность
рождения
мальчика
равна
р=0,51.
Следовательно,
вероятность рождения девочки равна q=1-р=1-0,51=0,49.
Искомая вероятность равна.
Р5(2)=С52р2q5-2=
5!
(0,51)2*(0,49)2=0,306.
2!*3!
Ответ: 0,306.
26
Пример 2. Вероятность того, что лампа останется исправной после
1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не
менее трех останется исправными после 1000 часов работы?
Решение. Рассматривая горение каждой лампы в течении 1000 часов
как отдельный опыт, можно сказать, что производится 5 опытов, причем нас
интересует вероятность события S=А3+А4+А5, где Аk означает, что в
результате пяти опытов успех (лампа осталась исправной) наступил ровно k
раз; иначе говоря, Аk обозначает исправность k ламп из пяти. По формуле
Бернулли имеем: Р5(k)=С5k(0,2)k(0,8)5-k, следовательно,
Р(S)=Р5(3)+Р5(4)+
Р5(5)=С35(0,2)3(0,8)2+
С45(0,2)4(0,8)1+
С55(0,2)5=
10*0,008*0,64+5*0,0016*0,8+0,00032=0,05792=0,06.
Ответ: 0,06.
5.3. Примеры дискретных распределений.
Биноминальное распределение.
Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной
величины х-числа появления «успеха» в n независимых испытаниях
(возможные значения случайной величины х – 0, 1, 2, …, n), в каждом из
которых вероятность появления «успеха» равна р;
вероятность возможного значения х=k (число k появлений «успеха»)
вычисляют по формуле Бернулли:
Рn(k)=Cnkpkqn-k
Т.е.
Значение х
0
1
2
… n-1
n
Вероятность Pn(0) Pn(1) Pn(2) … Pn(n-1) Pn(n)
Пример. Монету бросают 5 раз. Случайная величина х – число
выпадений герба. Найти закон распределения случайной величины х.
Решение: возможные значение величины х -0, 1, 2, 3, 4, 5. Их
вероятности подсчитаем с помощью формулы Бернулли:
27
P5(0)=С50р0q5=
5!
*(1/2)0*(1/2)5=1/32
0!5!
P5(1)=
5!
*(1/2)1*(1/2)4=5/32
1!4!
P5(2)=
5!
*(1/2)2*(1/2)3=10/32
2!3!
P5(3)= 10/32
P5(4)=5/32
P5(5)=1/32
Таким образом закон распределения имеет вид:
Значения х
0
1
2
3
4
5
Вероятность 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
5.4. Математическое ожидание случайной величины и его свойства
Определение. Математическим ожиданием или средним значением
дискретной случайной величины х с законом распределения.
хi x1 x2 …
Pi P1 P2 …
называется число М[х]=х1р1+х2р2…, т.е. сумма произведений всех ее
возможных значений на их вероятности, если этот ряд абсолютно сходится.
Свойства математического ожидания
Теорема.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой:
М[С]=С.
Доказательство:
Действительно, постоянную величину С можно рассматривать как
дискретную случайную величину х, принимающую только одно значение С с
вероятностью 1. Но тогда: М[х]=1*С=С что и требовалось доказать.
Теорема.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания: М[Сх]=СМ[х].
28
Доказательство: Пусть х имеет закон распределения:
х1 х2 …
р1 р2 …
то Сх будет иметь закон распределения:
Сх1 Сх2 …
р1
р2
…
Откуда следует:
М[Сх]=Сх1*р1+Сх2*р2+…=С(х1*р1+х2*р2+…)=СМ[х], что и требовалось
доказать.
3. Теорема: Математическое ожидание суммы двух случайных величин
равно сумме их математических ожиданий, т.е. М[х+y]=М[х]+М[у].
4. Теорема: Если случайные величины х и у независимы, то
математическое ожидание их произведения равно произведению их
математических ожиданий, т.е. М[хy]=М[х]*М[у].
Доказательство: возможные значения х обозначим, как х 1, х2, …,
возможные значения у – у1, у2, … . Тогда
М[ху]=  xi y j pij , где рij есть вероятность события х=хi, у=уi.
ij
Ввиду независимости величин х,у имеем:
р(х=хi, у=уi) = р(х=хi)р(у=уi) (*)
Обозначив р(х=хi)=ri, р(у=уi)=sj, перепишем равенство (*) в виде:
рij=risj.
Итак, М[ху]=
x y rs
i
j i
ij
j
=  xi ri y j s j = ( xi ri ) ( y j s j ) =М[x]M[y], что и
ij
i
j
требовалось получить.
Пример: Даны два распределения случайных величин х и у:
х
1
3
4
5
Вероятность 1/6 1/6
1/6
1/6
1/6 1/6
у
4
9
0
2
1
Вероятность 0,4 0,22 0,25 0,13
6
29
Найти: М[х], М[у], М[6х], М[х+у], М[ху].
Решение. М[х]=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=21/6.
М[у]=0*0,4+1*0,22+4*0,25+9*0,13=2,39, M[6x]=6М[х]=6*21/6=21,
М[х+у]=М[х]+М[у]=21/6+2,39=5,59, М[ху]=М[х]М[у]=3,5*2,39=8,365
30
§6. Дисперсия дискретной случайной величины
6.1. Дисперсия случайной величины
Определение.
Дисперсией
случайной
величины
х
называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
D[x]=M[(x-M[x])2]
Определение.
Средним
квадратическим
отклонением
случайной
величины называется квадратичный корень из дисперсии:
 [ x]  D[ x]
6.2. Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
Доказательство: Рассматривая постоянную величину С как дискретную
случайную величину с единственным возможным значением С, получим:
0


D[C ]  M [(C  M
[c]) 2 ] =0.

C
2. Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, предварительно возведя в квадрат:
D[cx]=C2D[x]
Доказательство: D[cx]=М[(Сх-М[Сх])2]=М[С2(х-М[х])2]=С2М[(х-М[х])2]
=С2D[х]
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий слагаемых.
D[x1+х2+…+хn]=D[x1]+ D[x2]+…+ D[xn]
Теорема. Справедлива формула: D[x]=M[x2]-(M[x])2
Докажем ее:
D[x]=M[(x-M[x])2]=M[x2-2xM[x]+(M[x])2]=M[x2]2M[x]*М[х]+M[(M[x])2] = M[x2]-2(M[x])2+(M[x])2=M[x2]-(M[x])2
Что и требовалось доказать.
Пример: Пусть х – число очков, выпадающих при бросании игральной
кости. Найти D[х].
31
Решение: Распределение величины х описывается таблицей:
Величина
1
2
3
4
5
6
Вероятность 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
D[x]=M[x2]-M[x]2
M[x]2 =(1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6)2=(3,5)2
M[x2]= 12*1/6+22*1/6+32*1/6+42*1/6+52*1/6+62*1/6=91/6
D[x]=91/6-147/12=41/12
Ответ:D[x]=41/12
32
§7 История возникновения теории вероятностей.
Еще первобытный вождь понимал, что
у десятка охотников
вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и
охотились тогда коллективно.
Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как
Александр Македонский и Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали
только на доблесть и искусство воинов.
Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного
руководства умели как-то оценивать вероятность возвращения со щитом или
на щите, знали, когда принимать бой, когда уклоняться от него. Они не были
рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории
вероятностей.
Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные
события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные,
достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют
объективные закономерности. Вот простейший опыт – подбрасывают
монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но
при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что
появление герба происходит примерно в половине случаев.
7.1. Зарождение науки теории вероятностей.
Как наука теория вероятностей зародилась в XVII веке. Возникновение
понятия вероятности было связано как с потребностями страхования,
получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли
торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных
игр. Слово «азарт» под которым обычно понимается сильное увлечение,
горячность, является транскрипцией французского слова hasard, буквально
означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры (карты,
домино и т.п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения
игрока, а от случайности. Риск, играющий важную роль в этих играх, и
33
приводит участников в необычайное состояние сильного увлечения и
горячности.
Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди
знати, феодалов и дворян. Особенно была распространена игра в кости. Было
замечено, что при многократном бросании однородного кубика, все шесть
граней которого отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, число
очков от 1 до 6 выпадает в среднем одинаково часто, иными словами
выпадение определенного числа очков имеет вероятность равную 1/6.
Вероятность события А в науке обозначает символом Р{А}, где Р –
начальная буква французского слова probabilite – вероятность, А – слово
accident – случайность, происшествие. Итак, в данном случае Р{А}=1/6, а в
общем случае Р{А}=М/n, где n – общее число всех случаев, а М – число
случаев, благоприятствующих событию.
Если А невозможно, то Р(А)=0, если же А – достоверное событие, то
Р(А)=1.
Если 0≤М≤n, то вероятность Р(А) любого события А можно считать
лежащей между нулем и единицей, т.е.
0≤Р(А)≤1
Один из представителей французской знати того времени, страстный
игрок кавалер де Мере написал одному из крупнейших ученых того времени
Блезу Паскалю письмо, в котором просил ответить на ряд вопросов,
возникших у него в связи с игрой в кости. Вот один из вопросов: что
происходит чаще при четырехразовом бросании кости – невыпадение
шестерки или появлении ее? Решение этой задачи приводит к следующим
результатам: 1) бросая четырежды кость, могут представиться всего 64=1296
различных случаев; 2) шестерка ни разу не появится в 54=625 случаях и,
значит, появится хотя бы раз в 1296-625=671 случае. Итак, вероятность
671/1296 того, что шестерка появится хоть раз, больше вероятности 625/1296
невыпадения шестерки ни разу.
34
Подсчет всех возможных и благоприятствующих данному событию
случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения
таких задач некоторые игроки обращались к крупным ученым.
Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались
заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало
разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в
том числе и правил действий над ними. Отсюда не следует, конечно,
заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали
азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся
ими новой отрасли науки. На развитие теории вероятностей оказали влияние
более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь
страховое дело, начатое в некоторых странах еще в XIVв. В XVI-XVII вв.
учреждение
страховых
обществ
и
страхование
судов
от
пожара
распространилось во многих европейских странах. Азартные игры были для
ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий
теории вероятностей. Об этом заметил еще Гюйгенс в своей книге «О
расчетах в азартной игре» (1657 год), которая была первой книгой в мире по
теории вероятностей. В труде Гюйгенса, как и в работах и письмах Паскаля и
Ферма, содержится теорема сложения вероятностей, которая утверждает, что
вероятность наступления либо одного, либо другого из двух несовместимых
событий А1, А2 равна сумме вероятностей, т.е.
Р{ А1 или А2 }=Р{ А1}+Р{ А2}
Упомянутые
ученые
применяли
также
теорему
умножения
вероятностей, имеющую следующее содержание: вероятность совмещения
двух независимых событий (А1 и А2) равна произведению вероятностей
каждого из них, т.е. Р{ А1 и А2 }=Р{ А1}*Р{А2}. Гюйгенс первый ввел важное
для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое
получило дальнейшее развитие в трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др.
35
Если некоторые события А1, А2, …, Аn, имеющие соответственно
вероятности Р1, Р2, … , Рn, дают право на суммы S1, S2, …, Sn, то
математическое ожидание выражается суммой произведений:
Р1S1+ Р2S2+…+ РnSn.
Понятие математического ожидания находит немало применений в
разных других областях человеческой деятельности.
Т.о., в 60-е годы XVII века были выработаны первые понятия и
некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века ученые
столкнулись с множеством новых задач связанных с исследованием
случайных явлений.
7.2 От Я. Бернулли до Муавра.
Начало
XVIII
века
ознаменовалось
посмертной
публикацией
«Искусство предположений» Я. Бернулли (1713г.). Доказанный в ней закон
больших чисел оказал сильнейшее влияние на последующее развитие теории
вероятностей. Сам Бернулли сформулировал свой закон в виде, который
является прообразом локальной предельной теоремы. Именно, он оценил
отношение суммы 2n членов ряда (r+S)(r+S)n, симметрично расположенных
относительно максимального члена, к сумме остальных членов ряда и
соответственно получил при (r+S)n≥8226+5758 lgC

1
M
r
1 
C
P 




 r  S (r  S)n r  S r  S  1  C
Здесь C>0 – любое наперед заданное число, (r+S)n число испытаний и
r: (r+S) – вероятность (Р), причем (r+S) может быть сделано сколь угодно
большим.
Хотя
Я.
Бернулли
и
предполагал
применить
вероятностные
рассуждения «к гражданским, моральным и экономическим вопросам», но
он этого не сделал, оставив свою книгу незавершенной по сравнению с
первоначальным планом. Книга обрывается после доказательства «теоремы
Бернулли». В этом направлении работа была продолжена племянником
36
Якова и Иоганна Бернулли, Николаем I Бернулли (1687-1759), который
посвятил этим вопросам свой «Опыт применения искусства предположений к
правовым вопросам». Здесь теоретика вероятностные идеи и методы
применялись к оценке свидетельских показаний, к объявлению безвестноотсутствующих умерших, подсчет пожизненных рент, вопросам смертности,
страховании жизни и товаров, а так же так называемому генуэзскому лото, на
основе которого в последствии возникла нумерное лото.
Но роль Н. Бернулли отнюдь не ограничивается указанным выше. Он
был редактором посмертного издания «Искусство предположений» Я.
Бернулли, опубликовал несколько статей по теории вероятностей, состоял в
переписке с рядом математиков. Н. Бернулли вывел формулу для
математического ожидания длинны случайного интервала АВ, образованного
фиксированной точкой А и самой правой из случайных точек В i(i=1,2,…,n),
равномерно распределенных на заданном отрезке АВ (Вi≤C).
Н. Бернулли сообщил 23 января 1713 года, то есть еще до выхода в свет
«Искусства предположения», в письме к любителю математики П.Р. де
Моймору (1678-1719). Моймор опубликовал это письмо во втором издании
своего «Опыта анализа азартных игр» и в последствии на это письмо
сослался Муавр. В «Опыте» содержался теоретико-вероятностный разбор
ряда азартных игр, а в качестве предложений приведена переписка автора с
Н. Бернулли и И. Бернулли.
7.3. Предельные теоремы А. де Муавра.
Француз по национальности гугенот по религиозной принадлежности,
Абрахам де Муавр (1667-1754) вынужден был покинуть Францию. Примерно
в 1688г. ему удалось переселиться в Лондон, где он и прожил всю
оставшуюся жизнь. Здесь он самостоятельно восполнял свое математическое
образование и вскоре выдвинулся как талантливый математик; в 1697 году он
был
избран
членом
Королевского
общества.
Он
пользовался
благожелательным отношением и уважением Ньютона. В поздние годы своей
37
жизни Ньютон имел обыкновение отсылать к Муавру всех, обращавшихся к
нему с вопросами математического характера. В 1735 году Муавр был избран
членом Берлинской академии наук, а незадолго до смерти (1754) –
иностранным членом Парижской академии.
Основные
теоретико-вероятностные
сочинения
Муавра
таковы:
«Учение о случаях, или метод вычисления вероятности событий при игре»,
развернутое из объемистой статьи «О мере случая» и «Аналитические Этюды
о рядах и квадратурах» с двумя, очевидно, позднее приплетенными
дополнениями. В одном из дополнений «Метод аппроксимации суммы
членов разложенного в ряд бинома (а+b)n с выводом некоторых практических
правил
для
оценки
степени
согласия,
которую
следует
придать
экспериментом».
Муавр доказал теоремы, которые сейчас называются локальной и
интегральной
предельными
теоремами
Муавра-Лапласа.
Не
владея
введенными позже понятием равномерной сходимости, Муавр доказал, что
Z
b



  np
1
2
P
a


b

e
dx


lim

npq
2 a

n 

2
Где µ - число наступлений события в n независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность этого события равна р  1-q. При выводе
своих теорем Муавр широко использовал разложение функций в степенные
ряды, а так же так называемую формулу Стирлинга
n
n! ( ) n 2n ,
e
которая, однако, была известна и самому Муавру и которую следовало
бы назвать формулой Муавра-Стирлинга. Это тем более справедливо, что
Муавр в первом дополнении к «Аналитическим этюдам», опубликовал
первую таблицу ln n! для n=10,20,30,…,900.
В дальнейшем изложении Муавр распространял ход рассуждений на
бином (а+b) и тем самым доказал в общем случае локальную и интегральную
предельные теоремы.
38
И с точки зрения Муавра и с современной точки зрения, «предельные
теоремы Муавра-Лапласа» являются непосредственным развитием закона
больших чисел Я. Бернулли.
Заслуги Муавра не ограничиваются выводом нормального закона
распределения и доказательством предельных теорем. В связи с вопросами
смертности и подсчетом пожизненных рент он систематически употреблял
непрерывное равномерное распределение: он исследовал целый ряд азартных
игр и для этой цели разработал новый аналитический аппарат – теорию
возрастных последовательностей, продолженную далее Эйлером, Лагранжем
и Лапласом.
7.4. Теорема Байеса.
Томас Байес (1702-1761), священник и член Королевского общества, в
посмертно заданной статье «Опыт решения одной задачи учения о случаях»
исследовал воображаемый опыт – падение материальной точки на квадрат
АВСD со стороной а=1
С
В
S
O
D
c
b
А
Опыт проводится р+q=n раз. Если р раз падение произошло правее
случайной прямой SO и q раз левее этой прямой, то полагая, что вероятность
падения в любую точку квадрата одна и та же,
c
PO  [bc] 
x
p
(a  x) q dx
p
(a  x) dx
(a  1)
b
a
x
o
q
(1)
39
Т.о., по результатам опыта фактически определялась, фактическая,
априорная вероятность падения материальной точки правее SO в единичном
испытании.
Некоторые примеры применения формулы Байеса привел Р. Прайс
(1723-1791). В частности, он отметил, что при «полном незнании» законов
природы можно было бы по формуле Байеса определять вероятность
последующих восходов солнца. Прайс подчеркнул, что формула Байеса в
некотором смысле обратна результатам Муавра, более непосредственно
применима к определению воли провидения от случайного и применима так
же к малым р.
7.5. Работы Д. Бернулли.
В середине и во второй половине XVIII века, до Лапласа, в теории
вероятностей работал целый ряд ученых, среди которых первое по значению
место принадлежит Д. Бернулли.
С 1738 года по 1778 год он опубликовал 7 мемуаров, содержащих
решение важных вероятностных проблем статистики народонаселения и
астрономии. Ему принадлежит первенство в систематическом употреблении
дифференциальных уравнений для вывода целого ряда формул, публикации
таблицы нормального распределения, во введении в литературу нормального
распределения. Вторым после Муавра он вывел нормальный закон
распределения и доказал «предельные теоремы Муавра-Лапласа» и вторым
после Ламберта применил принцип наибольшего правдоподобия.
Непосредственной целью мемуаров Д. Бернулли «Опыт новой теории
меры случая» было решение парадокса одной придуманной Николаем I
Бернулли азартной игры, которая получила название «петербургской».
Д. Бернулли составил и решил дифференциальное уравнение между
статистически-средними величинами, получив формулу для подсчетов
относительного количества лиц, не болевших оспой. Наиболее интересным
является все же мемуар «Приложение меры случая к случайным
40
последовательностям
естественных
событий»,
в
котором
ставился
классический вопрос о соотношении рождаемости мальчиков и девочек.
7.6. Лаплас.
Выдающийся вклад в теорию вероятности внес Пьер Симон Лаплас
(1749-1827). Юношей Лаплас переехал в Париж, где обратил на себя
внимание Даламбера и по его рекомендации стал преподавателем
математики в военном училище. Уже первые работы Лапласа в области
исчисления конечных разностей и по небесной механике показали силу его
дарования. В 1773 году он был избран адъютантом и в 1783 членом
Парижской академии наук; с 1802 года он был почетным членом
Петербургской академии.
Работы Лапласа по теории вероятностей в XVIII веке охватывают 17741786 года. На много позже он подготовил сжатое изложение теории
вероятностей в рамках «Лекции по математики для Нормальной школы»,
послужившие
основой
для
будущего
«опыта
философии
теории
вероятностей».
В 1812 году Лаплас издал свою грандиозную «аналитическую теорию
вероятностей», подытожив в ней все свои предыдущие результаты, ровно как
и результаты своих предшественников.
Работами Лапласа завершился «классический» этап развития теории
вероятности. С другой стороны, изложение теории вероятности у Лапласа
было основано на рассмотрении конкретных задач.
7.7. Пафнутий Львович Чебышев
П.Л. Чебышев (1821-1894) оставил неизгладимый след в истории
мировой науки. Два основных закона теории вероятностей – закон больших
чисел и центральная предельная теорема – это те два закона, которые в их
современной трактовке ведут свое начало от Чебышева. Созданный им
элементарный метод позволил доказать с изумительной легкостью закон
41
больших чисел в столь широких предположениях, какие не могли осилить
даже
несравненно
более
сложные
аналитические
методы
его
предшественников. Для доказательства центральной предельной теоремы
Чебышев создал свой метод моментов, продолжающий играть значительную
роль и в современном математическом анализе, но доказательство до конца
он довести не успел; его завершил позднее академик А.А. Марков. Пожалуй,
еще более важное значение, чем фактические результаты Чебышева, для
теории вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней
своих учеников и создал школу своих последователей, а так же то, что
именно он впервые предал ей лицо настоящей математической науки.
Чебышев впервые создал ей недостававший идейный и методологический
стержень и научил своих современников и последователей относится к ней с
той же суровой требовательностью и той же тщательной и серьезной
внимательностью и заботливостью, как ко всякой другой математической
дисциплине. Такое отношение, в настоящее время разделяемое всем научным
миро и даже единственно мыслимое, был для XIX века новым и
необычайным; и зарубежный мир научился ему от русской научной школы в
которой оно со времени Чебышева стало незыблемой традицией.
7.8 Андрей Андреевич Марков
Развитие классических работ Чебышева по теории вероятности тесно
связано с именем русского математика А.А. Маркова (1856-1922).
Первые
работы
Маркова
по
теории
вероятности
являются
непосредственным продолжением и завершением исследований Чебышева и
относятся к установлению наиболее общих условий, при которых имеет
место закон больших чисел, и к доказательству центральной предельной
теоремы теории вероятностей. Маркову удалось осуществить идеи Чебышева
и дать безупречное доказательство указанной теоремы в весьма широких
условиях. Марков шел сложным и остроумным путем через разложение в
непрерывную дробь интеграла особого вида. В 1900-1902 годах эти
42
результаты Маркова были перекрыты академиком А.М. Ляпуновым, шедшим
своим собственным путем, отличным от идей Чебышева. При этом казалось,
что теорема, сформулированная, в таком виде, уже не может быть доказана
методом Чебышева. Несколько лет Марков размышлял от том, каким
способом можно восстановить метода моментов, и, наконец, нашел
исключительное по силе, простое и изящное доказательство теоремы
Ляпунова. Это доказательство помещено в качестве дополнения к книге
Маркова «Исчисление вероятностей».
Исследования Маркова и все, что делалось до него, относилось к так
называемой схеме последовательностей независимых случайных величин.
Общая идея, заложенная в этой схеме, состоит в том, что случайные
колебания рассматриваемы величин представляются как суммы взаимно
независимых случайных величин. Она находит многочисленные приложения
в различных вопросах естествознания и техники.
Однако,
изложенная
схема
не
в
состоянии
изложить
всего
многообразия физических явлений. Огромное количество явлений физики,
естествознания и техники протекает по более сложным законам.
Математическую теорию, способную описать более сложные явления
начал строить и это строительство далеко продвинул Марков. Он предложил
изучать с точки зрения теории вероятностей схемы, в которых предыдущее
состояние системы влияет на состояние системы в следующие моменты.
Если вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит
только от этих состояний и не зависит от предыдущей истории развития
системы, то такие переходы системы от состояния к состоянию Марков
предложил называть простыми цепями. Если же эти вероятности зависят от
предыдущих состояний, то он их называл сложными цепями. Марков
обнаружил, что основные теоремы, полученные для схемы независимых
случайных величин, могут быть доказаны и для схемы сложных систем. Это
было колоссальным завоеванием в науке.
43
В честь творца теории описанная схема названа «схема цепей
Маркова».
7.9. Развитие теории вероятностей в XIX-XX вв.
Первая половина XIX века поставила новые задачи, для решения
которых потребовалось понятие случайной величины. Прежде всего – это
исследование бельгийского естествоиспытателя А. Кетле, в которых он
отметил,
что
размеры
органы
животных
определенного
возраста
подчиняются нормальному распределению. С середины XIX века работы
Максвелла и других о математической теории молекулярной физики газов
также приводили к нормальным распределениям.
Пуассон ввел понятие случайной величины, однако, в самых
авторитетных трактатах по теории вероятностей Пуанкаре, Бертрана, Чубера
и др., изданных до 1912 года, понятие функции распределения не вводилось.
Только в конце 20-х годов XX века понятию случайной величины было дано
строгое формализованное определение. Это сделал А.М. Колмогоров. Он
также провел широкое обобщение усиленного закона больших чисел.
Из мощного потока исследований проблем случайных величин
выделим группу работ, где изучали безгранично делимые распределения.
Ввел безгранично делимые распределения итальянский математик Бруно де
Финетти; подробные исследования провели Колмогоров, Леви и Хинчин.
Позднее уже многие математики занимались подобными вопросами.
Получено много прекрасных результатов.
44
ГЛАВА 2. Преподавание элементов теории вероятностей в
школе.
§1. Введение стохастической содержательной линии в
школьный курс математики.
На
основании
письма
Министерства
образовании
Российской
Федерации от 23 сентября 2003г. №03-93ин/13-03 «О введении элементов
комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание
математического образования основной школы» одним из важнейшим
аспектов модернизации содержания математического образования является
включение в школьные программы элементов статистики и теории
вероятностей. «…Это обусловлено ролью, которую играют вероятностностатистические знания в общеобразовательной подготовке современного
человека. Без минимальной
вероятностно-статистической
грамотности
трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую
информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные
физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук
построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без
соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих
дисциплин уже в средней школе.
Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей
в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения
федерального компонента государственного стандарта общего образования.
Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала
требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта,
Министерство образования РФ рекомендует образовательным учреждениям
начинать его преподавание в основной школе с 2003/04 учебного года …»
После опубликования этого письма многие методисты начали
разрабатывать программы, методические рекомендации и т.д. В своей работе
я попробую осветить некоторые из них.
45
1.1. Непрерывность изучения элементов стохастики.
Зарубежный
свидетельствуют
опыт
о
и
том,
исследования
что
знакомство
отечественных
учеников
методистов
с
элементами
комбинаторики, вероятности, статистики целесообразно (и это возможно)
начинать в начальной школе и продолжать практически в течение всего
периода обучения.
На всех ступенях обучения фактически формируются одни и те же
виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами.
Рассмотрим содержание обучения для каждого этапа обучения.
Начальная школа.
Комбинаторика.
Игровые
комбинаторные
задачи,
решаемые
непосредственным перебором возможных вариантов.
Вероятность. Формирование таких понятий, как «наверняка», «ни в
коем случае», «возможно да, возможно нет». Качественная оценка шансов
наступления того или иного события.
Статистика. Проведение экспериментов, регистрация результатов
этих экспериментов, изображение их, например, в виде таблиц, их
интерпретация. Чтение таблиц, в частности таблиц 2x2.
5-6 классы.
Комбинаторика.
Решение
комбинаторных
задач
перебором
невозможное,
случайное
возможных вариантов.
Вероятность.
Достоверное,
событие.
Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных
соображений, на классической, статистической основах, с помощью
геометрических соображений.
Статистика.
Сбор,
регистрация
статистических
данных,
представление их в виде таблиц, диаграмм. Чтение таблиц и диаграмм.
7-9 классы.
Комбинаторика.
Решение
комбинаторных
умножения и сложения. Треугольник Паскаля.
задач
на
правила
46
Вероятность.
вероятности
Случайный опыт, случайное событие. Вычисление
наступления
случайных
событий
на
классической,
статистической основах, с помощью геометрических соображений.
Статистика.
Первичная
обработка
статистических
данных.
Выборочные материалы (среднее арифметическое, мода, медиана и др.)
10-11 классы.
Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания.
Вероятность. Случайный опыт и случайное событие. Относительная
частота
события.
Вероятность
события.
Операции
над
событиями.
Вероятность суммы и произведения событий.
Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые
характеристики дискретной случайной величины и их свойства. Понятие о
законе больших чисел.
Статистика.
Выборочный
метод
в
статистике.
Выборочные
характеристики. Оценивание неизвестных параметров. Проверка гипотез.
В нашей школе элементы стохастики изучают на всех этапах обучения
школьников; в начальной школе - это факультативы и кружки по подготовке
к игре «Кенгуру»; в средней и старшей школе – на уроках, в рамках
углубленного
и
предуглублённого
изучения
математики,
а
в
общеобразовательных классах на факультативных занятиях. Конечно, сейчас
идет апробация этих занятий и поэтому не всегда удается сохранить
непрерывность изучения стохастической линии.
1.2. Методические рекомендации к изучению комбинаторики,
вероятности, статистики.
Комбинаторика.
Если в начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором
возможных вариантов, осуществляемых путем предметной деятельности с
конкретными вещами, то в 5-6-х классах можно перейти уже к кодированию
47
предметов с помощью букв или чисел, так как вырос уровень абстрактного
мышления учащихся. Постепенно можно перейти к использованию других
способов перебора: «дерева» возможных вариантов, таблиц, совокупности
точек и отрезков и т.д. В 7-9 классах основное внимание отводится решению
комбинаторных задач на применение правил умножения и сложения. Здесь
целесообразно вводить понятия размещений, перестановок, комбинаций,
выводить соответствующие формулы. Методами, отличными от методов,
использованных в начальной школе рассматриваются фактически одни и те
же комбинаторные задачи; задачи на нахождение количества вариантов
выбора некоторой совокупности элементов из заданной совокупности, если
выбор осуществляется с возвращением или без возвращения, если результаты
выбора зависят от порядка извлечения элементов или не зависят; на
определение количества способов разбиения совокупности разных или
одинаковых предметов на заданное число групп и т.п.
В старшей школе при изучении комбинаторики вводятся понятия
размещения, размещения с повторением, перестановки, перестановки с
повторениями, сочетания. Изучение основных комбинаторных схем в
учебной литературе проводится или на языке множеств, или на языке
выборок. Выгоднее отдать предпочтение второму подходу. Во-первых, для
учащихся оказывается сложным понятие упорядоченного множества. Вовторых, язык выборок позволяет опираться на содержание конкретной
рассматриваемой задачи. Обоснование формулы для числа размещений
может опираться на правило умножения.
Главным при изучении комбинаторики должны быть не тождественные
преобразования выражений или решение уравнений, которые содержат
выражения для числа размещений, перестановок, сочетаний, а решение
содержательных задач, применение элементов комбинаторики к решению
вероятностных задач.
Вероятность.
48
Что касается элементов вероятности, то в начальной школе в игровой
ситуации целесообразно начинать учить детей размечать такие понятия как
«возможно да» или «обязательно да» (наверняка), «не обязательно да» или
«обязательно нет». Таким образом, начинается формирование понятия
случайного события. Уже в раннем возрасте следует подвести детей к
пониманию
таких
понятий,
как
«вероятнее»,
«менее
вероятно»,
«равновозможно».
Другими словами можно научить детей качественно оценивать шансы
наступления случайного события. Фактически в примерах, используемых для
формирования этих понятий, речь идет о применении классической
вероятности.
классической
Но
прийти
вероятности
к
сознательному
младшие
применению
школьники
смогут
формулы
после
предварительного экспериментирования с пуговицами, шарами, монетами,
бусинками, игральными костями и т.п. Спустя некоторое время учащиеся
начальной школы смогут решать подобные задачи, не прибегая к
эксперименту.
В основной школе необходимо продолжить формулирование понятия
случайного события. Следует начать формировать понятия случайного
эксперимента, понятия случайного события как любого исхода случайного
эксперимента. В 5-6 классах, пока учащиеся еще не владеют свободно
дробями, целесообразно сравнивать шансы наступления разных событий,
пользуясь интуицией, предыдущим опытом, классическим, геометрическим
подходами. Здесь можно постепенно вырабатывать понимание того, что
вероятность события можно изменять так же, как длину, массу, время и
другие величины.
Начиная с 6-7 класса, следует перейти к вычислению вероятности.
Сначала можно рассмотреть классическую схему, то есть опыты с конечным
числом равновозможных исходов. Следует учить учащихся правильно
проводить опыты, формировать понимание того, что для получения
обоснованных выводов количество опытов может быть довольно большим,
49
что с возрастанием количества опытов относительная частота приближается
к вероятности события. Поскольку проведение большого количества опытов
требует определенных усилий и затрат значительного времени, можно
поручить каждому ученику провести небольшое количество опытов, а потом
объединить результаты опытов, проведенных всеми учащимися. Проведение
даже незначительного количества опытов может быстро надоесть ученикам,
и они могут перейти к фальсификации их результатов. Чтобы предупредить
такое нежелательное явление, можно перейти постепенно к моделированию
экспериментов с помощью таблицы случайных чисел. Целесообразно
пользоваться готовыми таблицами в бумажном варианте или учить учащихся
строить нужные таблицы случайных чисел с помощью компьютера.
В основной школе целесообразно постепенно формулировать понятие
равновозможности, учить школьников различать понятие вероятности и
относительной частоты, понимать, что классическая вероятностная модель
пригодна для опытов с конечным числом равновозможных исходов.
Ограниченный характер этой модели может служить мотивом для
рассмотрения геометрической вероятности.
При изучении элементов теории вероятностей в старшей школе следует
использовать статистическую интерпретацию основных понятий и фактов
для того, чтобы приобретенные навыки и знания имели практическую
направленность.
В учебной литературе для школы используется три подхода к формированию
понятия вероятности: статистический, классический и аксиоматический.
Опытом
подтверждено,
что
в
общеобразовательной
школе,
в
гуманитарных классах, в классах технического, естественно-научного,
экономического профилей целесообразно строить изложение материала на
статическом определении вероятности. Этот подход экономичней по
времени, более доступный для учащихся в сравнении с другими благодаря
тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию,
здравый смысл. Что касается классов математического профиля, то там
50
наиболее приемлемым является так называемый аксиоматический подход.
Он отличается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью. Он
позволяет
строить
простейшие
вероятностные
модели
случайных
экспериментов. При аксиоматическом определении вероятности можно
рассматривать и эксперименты с неравновозможными исходами.
Учитывая то, что случайная величина является математической
моделью многих реальных явлений и процессов, необходимо акцентировать
внимание на изучении случайных величин, их числовых характеристик, их
предельного поведения (закон больших чисел). Следует сформировать у
учеников понимание смысла средних показателей. Умение ориентироваться в
этих показателях помогает человеку принимать правильные решения,
адекватно
воспринимать
поступающую
информацию.
Статистическое
исследование окружающих явлений нельзя реализовать без понимания меры
изменчивости.
Поэтому
возникает
необходимость
в
качественном
оценивании разброса статистических данных.
Статистика.
Фактически
с
проведения
экспериментов
начинается
изучение
статистики. Младших школьников можно учить интерпретировать таблицы,
схемы, диаграммы, графики, привлекать к проведению экспериментов,
опросов. В начальной школе целесообразно изучать явления, не зависящие от
нашего контроля. Известно, что все ученики ведут дневники погоды. Он дает
отличный материал для обучения школьников интерпретации статистических
данных.
В младших классах можно и целесообразно начать формировать
понимание важных статистических идей, а именно: идеи оценивания и идеи
проверки статистических гипотез.
В основной школе рассматривается описательная статистика (способы
изображения данных, числовые характеристики). Следует сформировать у
учащихся понимание того, что статистика дает краткую, концентрированную
характеристику изучаемого явления, и научить учащихся пользоваться ее
51
методами и результатами. Здесь большое внимание следует уделить
процентным вычислениям, использованию линейных и круговых диаграмм
как способом изображения статистических данных. Важно не ограничиваться
вычислением статистических характеристик (моды, медианы, выборочного
среднего), а выяснять, когда целесообразно применять ту или иную
характеристику. Можно рассматривать различные средние показатели
(среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое,
среднее квадратичное) и привести примеры содержательных задач, решение
которых требует вычисление этих показателей.
Изучение элементов статистики в старшей школе не должно
дублировать то, что изучается в основной школе. При наличии времени и
готовности учащихся, в классах с углубленным изучением математики
можно познакомить учащихся с некоторыми идеями математической
статистики,
опираясь
на
неравенство
Чебышева,
биноминальное
распределение.
1.3. Как преподавать вероятность?
Экспериментирование.
Первый шаг на пути ознакомления детей с миром вероятности состоит
в длительном экспериментировании, т.е. многочисленных манипуляциях с
разнородными предметами (игральными костями, волчками, монетами,
шарами и т.д.).
Эксперимент повторяется много раз при одних и тех же условиях, а
детям предлагают пытаться угадывать результат. Например, бросают две
кости, и мы интересуемся суммой выпавших очков. Детей просят записывать
последовательные результаты и исследовать, что могло бы помочь их
предсказывать.
Потом
условия
эксперимента
изменяются.
В
предшествующем примере можно бросать три кости, откладывать в сторону
ту из них, на которой выпало наибольшее число очков, и вычислять сумму
очков на двух оставшихся костях.
52
Важно также изучать случайные явления, полностью независящие от
нашего
контроля:
наблюдение
за
погодой,
изучение
рождаемости,
смертности и т.д.
Элементарные рассуждения.
Второй шаг состоит в том, что детям предлагают игры, в которых
можно качественным образом сравнить вероятности некоторых событий.
Положим в урну 3 желтых, 3 синих и 3 красных шара. Производятся
последовательное
извлечение
с
возвращением
групп
по
4
шара.
(Вытаскивается четыре шара, записывается их цвета, после чего шары
возвращаются в урну и ее содержимое перемешивается).
- Можно ли получить все шары одного цвета? – Нет.
- Можно ли получить четыре цвета? – Нельзя. Можно получить только
два или три цвета.
- Какой из этих случаев более вероятен? Дети производят десять
последовательных извлечений.
- Как вы думаете, будут более часто, получаться два цвета или три?
Или одинаково часто?
Если дети работают группами по 2-3 человека, они могут провести
большое количество испытаний; тогда они убеждаются, что более вероятно
вытащить три цвета, нежели два. От них можно ожидать неких рассуждений,
объясняющих этот результат.
Нужно заметить, что на данном этапе ограничиваемся простым
сравнением и пока не ставим вопроса о характеризации вероятности числом;
это будет целью третьего этапа.
С этого момента станут полезными дроби; изучение и следование этого
средства
постепенно
сделается
необходимым.
А
использование
приближенных значений сделает проще и полезнее экспериментальный
подход.
Перейдем к третьему этапу.
Измерение вероятности.
53
Относительная частота есть грубый измеритель вероятности; между
тем она ведет к тому, что с вероятностью ассоциируется число из отрезка
[0;1].
Представим себе случайную машину, имеющею два состояния А и Б.
Допустим, что машина сработала 100 раз, и при этом 28 раз реализовалось
состояние А и 72 раза - состояние Б. Практически мы можем отбросить
гипотезу о том, что вероятность А больше или равно ½; скорее ее следует
искать вблизи значения 0,28.
Вот такие простые примеры подводят детей к тому, чтобы оценивать
вероятности численно. В качестве связи с теоретико-множественными
понятиями – объединением, дополнением, декартовым произведением –
можно предлагать ситуации, в которых вероятности приходилось бы
складывать, вычитать и умножать.
Анализ таких задач упрощается, если использовать «деревья».
Рассмотрим примеры:
Пример 1.
А
герб
2,3,4,
5,6
Г
решка
В
Б
1
1
Д
2,3,4,
5,6
Е
Поставим 120 фишек на кружок А.
1 этап: Будем подбрасывать монету и перемещать фишки одну за
другой из А в Б, если выпал герб, из А в В, если выпала решка.
Второй этап: Пусть все фишки уже находятся в Б или В. С фишками из
Б поступаем так: будем подбрасывать игральную кость и перемещать фишки
одну за другой – если 1, то в Д, если не, то в Г – и так до тех пор пока клетка
Б не опустеет. Тогда перейдем к фишкам из В: при выпадении 1 будем
отправлять их в Д, иначе – в Е, и так до тех пор, пока клетка В не опустеет
Сколько приблизительно фишек окажется в клетках Г, Д, Е?
54
После первого этапа приблизительно 60 фишек окажется в Б и 60 в В.
В течение второго этапа приблизительно 5/6 фишек находившихся в Б,
т.е. примерно 50 штук, окажутся в Г; точно также примерно 50 штук,
окажутся в Е; все остальные, т.е. примерно 20 фишек окажутся в Д.
Пример 2. Положим в урну 1 красный и 2 синих шара. Вытаскиваем 1
шар, записываем его цвет, и возвращаем в урну. Вытаскиваем еще один шар
и записываем его цвет.
Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к
следующим четырем исходам:
Какова вероятность каждого из этих исходов? В таблице показаны все
9 возможных случаев.
извлечение
Первое
Второе извлечение
Таким образом,
в одном случае получится исход
в двух случаях получается исход
в двух случаях получается исход
в четырех случаях получается исход
55
Следовательно:
Вероятность вытащить 2 красных шара равна 1/9; вероятность
вытащить красный шар, а затем синий равна 2/9; вероятность вытащить
синий, а затем красный равна 2/9; вероятность вытащить два синих шара
равна 4/9.
К тем же результатам ведет и следующее «дерево» :
1/3*1/3=1/9
1/3*2/3=2/9
2/3*1/3=2/9
2/3*2/3=4/9
первое второе
исход вероятность
извлечение
Рассмотрим снова ту же ситуацию, но на этот раз не будем возвращать
первый вытащенный шар обратно вы урну.
Два последовательных извлечения (без возвращения) могут привести к
следующим трем исходам:
Какова вероятность каждого из этих исходов? В таблице показаны все
шесть возможных случаев:
Первое извлечение
Второе извлечение
56
Следовательно, вероятность каждого из исходов равна 2/6=1/3.
К тем же результатам ведет и следующее «дерево»:
1/3*1=1/3
2/3*12=2/6=1/3
2/3*1/2=2/6=1/3
первое
второе
исход
вероятность
извлечение
Пример 3. Подбросим монету два раза подряд:
бросание
Первое
Второе бросание
Г
Р
Г
ГГ
ГР
Р
РГ
РР
Возможны четыре исхода: ГГ, ГР, РГ, РР.
Все эти исходы равновероятны. Значит, каждый имеет вероятность ¼.
К тем же результатам ведет следующее «дерево»:
Г
ГГ 1/2*1/2=1/4
Г
ГР 1/2*1/2=1/4
Р
Р
РГ 1/2*1/2=1/4
Г
РР
1/2*1/2=1/4
Р
Первое
второе
бросание
исход вероятность
57
На более поздних стадиях комбинаторика должна позволить более
сложные вероятностные ситуации.
Наконец, для того чтобы подготовиться к статистике, важно на
простых примерах ввести понятие математического ожидания и изучить его
связь с понятием среднего.
1.4. Связь стохастической содержательной линии с другими
содержательными линиями школьного курса математики.
Почти
все
содержательные
линии
курса
математики
находят
применение при изучении комбинаторики и теории вероятностей. Это и
вычисления, и преобразование выражений, и уравнения, и элементы
геометрии.
Но с применением элементов стохастики в традиционных разделах
школьного курса математики дело обстоит значительно хуже. Важно, чтобы
новая
содержательная
линия
естественно
использовалась
в
курсе
математики. Во-первых, если новый материал будет изучаться не в рамках
одной темы, а на протяжении всего периода обучения, то с повестки дня
снимается вопрос о применении изученного материала. Во-вторых, три
раздела новой содержательной линии – комбинаторику, вероятность,
статистику – надо изучать в тесной связи друг с другом (именно поэтому я
рассматриваю элементы теории вероятностей с элементами комбинаторики и
статистики).
Но
все
казанное
касается
внутренних
связей
новой
связать
новую
содержательной линии. Этого слишком мало.
Перед
методистами
содержательную
линию
стоит
курса
задача
естественно
математики
с
другими.
Стержнем,
связывающим новую линию с традиционными линиями школьного курса
математики, является метод математического моделирования. Следует
усилить внимание к анализу данных, обработке статистического материала.
Однако общие подходы не исключают и установления отдельных,
лишь бы не искусственных, связей. Например, если в начальной школе
58
рассматривалось качественное оценивание вероятности событий, что можно
подвести учеников к выводу о количественном оценивании вероятности.
Основные комбинаторные схемы целесообразно применять при решении
комбинаторных геометрических задач.
Известны
применения
вероятностей
к
решению
неравенств.
Статистический характер имеют правила подсчета цифр. Наверно перечень
таких примеров можно продолжить, но мы на этом остановимся.
1.5. Межпредметные связи стохастической содержательной линии.
Надежды на успех введения новой содержательной линии во многом
зависят от того, будет ли материал новой содержательной линии применяться
в таких предметах, как физика, химия, биология, история, география. И
наоборот, будет ли материал из этих дисциплин использоваться на уроках
математики как мотив для изучения новых понятий, фактов, методов, как
иллюстрация
изучаемого
материала,
как
источник
построения
математических (вероятностных) моделей и т.п.
Для сознательного усвоения определенного материала из других
предметов учащийся, а еще больше учитель смежных предметов, должен
владеть соответствующими вероятностно-статистическими понятиями и
фактами. С другой стороны, учитель математики должен быть знаком с
применениями элементов теории вероятностей и математической статистики
в школьных предметах, использовать их на уроках математики. Программу
для
курсов
повышения
квалификации
учителей
«Изучение
теории
вероятностей и статистики в школьном курсе математики» В.А. Булычев,
Е.А. Бунимович представили в ж. «Математика в школе» №4, 2003 года.
59
§2. Обзор и анализ существующих учебных пособий.
Существует множество учебных пособий, включающих элементы
комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Но для анализа я выбрала
несколько учебных пособий, которые могут применяться как на уроках, так и
во внеурочной работе по математике:
- «Математика 5» и «Математика 6», под редакцией Г.В. Дорофеева и
И.Ф. Шарыгина
- «Математика 6», Г.М. Серегин, А.Ж. Жафяров;
-«Математика 10-11», под редакцией А.А. Никитина;
- «Теория вероятностей и математическая статистика», Г.В. Горелова,
И.А. Кацко;
- «Математика после уроков», М.Б. Балк, Г.Д. Балк;
- «Факультативный курс по математике. Теория вероятностей», В.С.
Лютикас.
2.1 «Математика 5» и «Математика 6» под редакцией
Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина.
Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной
школы работают по вышеуказанным учебным комплектам. Это первые
российские комплекты учебников, в которых последовательно с 5 по 9 класс
проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с
другими темами курса.
Эти комплекты содержат как учебники, так и рабочие тетради,
дидактические материалы и методические рекомендации для учителей.
В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию
вероятности,
который
методически
и
психологически
соответствует
возрастным особенностям учеников основной школы.
Упомянутые книги написаны живым языком с постоянной опорой на
здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В них предусмотрена
60
разнообразная практическая деятельность читателя. Школьники учатся
оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала
на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит
позднее.
В этом курсе вводится ряд базовых понятий теории вероятностей.
Рассматриваются случайные, достоверные, невозможные, более вероятные,
менее вероятные, маловероятные, равновероятные события. Новые термины
связываются с известными из жизни словами – часто, редко, всегда, никогда,
«это очень возможно», «это обязательно произойдет», «это маловероятно»,
«это никогда не случится» и другими, определяющими частоту наступления
случайных событий.
Курс начинается с того, что вводится базовое понятие случайное
событие. Это такое событие, которое при одних и тех же условиях может
произойти, а может и не произойти. Например, купив лотерейный билет, мы
можем выиграть, а можем и не выиграть, на очередных выборах партия
может победить, завтра на уроке математики ученика могут вызвать к доске,
а могут и не вызвать.
События обозначаются заглавными латинскими буквами. Приведем
примеры.
А: в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье.
В: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз.
С: при бросании кубика вы получите шестерку.
D: при бросании кубика вы получите четное число очков.
Все перечисленные выше события A, B, C, D – случайные.
Невозможное событие вводится как событие, которое в данных
условиях произойти не может. Таковы, например, события Е и F.
Е: в следующем году снег в Москве вообще не выпадет.
F: при бросании кубика вы получите 7.
Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его
называют достоверным. Ниже указаны два таких события:
61
G: свалившийся со стола бутерброд упадет на пол.
Н: при бросании кубика вы получите число меньше 7.
Правда достоверность события G оказывается под вопросом в
невесомости. Но там обычно не едят бутербродов с маслом. Невозможные и
достоверные события встречаются в жизни сравнительно редко. Можно
сказать, что мы живем в мире случайных событий.
Следует отметить, что события достоверные и невозможные на этом
предварительном этапе авторы предлагают не относить к случайным
событиям. Опыт преподавания данного материала показал, что школьникам
10-12 лет трудно считать случайными те события, которые происходят
всегда, либо не происходят никогда. Введение предельных случаев, удобное
для
построения
представлениям,
формальной
оказывается
теории,
но
противоречащее
преждевременным.
Понятие
бытовым
случайного
события соответственно уточняется на более поздних ступенях обучения.
Качественная оценка вероятности событий приводит к тому, что при
обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько
разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на
уроках математики и для ученика, и для учителя. Например, при обсуждении
вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку»
ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы:
«это маловероятное событие»;
«это очень возможное событие»;
«это достоверное событие».
При решении таких задач главное – приводимая аргументация,
понимание школьником смысла используемых понятий. Если аргументация
вполне логична и разумна, ответ следует считать верным.
Чтобы доказать, что данное событие – случайное, предлагается
привести пример такой ситуации или такого исхода, когда событие
происходит, и пример такого исхода когда оно не происходит
62
Так событие D – случайное, потому что оно происходит, когда на
кубике выпадет, например, четверка, и не происходит, когда на кубике
выпадает, допустим, пятерка.
При бросании кубика может выпасть только от одного до шести очков,
поэтому событие F – невозможное, а событие Н – достоверное.
Для
общеобразовательной
школы
предлагается
следующее
тематическое планирование учебного материала по элементам теории
вероятностей (программа для общеобразовательных учреждений по ред.
Кузнецовой 2001г.) . 5 класс «Случайные события» (4ч.).
Случайные
события.
Достоверные
и
невозможные
события.
Равновероятные события.
Основная цель – сформировать на интуитивном уровне начальные
вероятностные представления, освоить словарь.
Параграф «Случайные события» является фрагментом содержательной
методической линии «Анализ данных».
6 класс «Вероятность случайных событий» (9 ч.)
Эксперименты со случайными исходами. Частота и вероятность
случайного события.
Основная цель – научить оценивать вероятность случайного события
на основе определения частоты события в ходе эксперимента.
Изучение вероятности начинается в теме «Обыкновенные дроби».
2.2«Математика 6» Г.М. Серегин, А.Ж. Жафяров
Данный учебник для 6 класса предназначен для общеобразовательных
учреждений. В нем кратко рассматривается частота и вероятность
случайного события.
В начале рассматривается пример с подбрасыванием монеты и на
основе его вводится понятие равновероятностного события.
63
«…Результаты эксперимента примерно равны и равны с некоторой
погрешностью числу 0,5. Что же выражает это числа?
При подбрасывании монеты (правильной формы) возможности
выпадения «орла» и «решки» одинаковы. Такие события называют
равновозможными, или равновероятными».
Дальше дается определение вероятности события. «…пусть некоторое
событие А в n экспериментах может появиться m раз (1≤m≤n). Тогда
вероятностью события А называется число P(A)=m/n. … вероятность
события А равна отношению числа объективной возможности появления
этого события к числу всех равновозможных событий».
Также рассматриваются понятия достоверного и невозможного
событий «… Достоверным называется событие, которое в результате опыта
непременно должно произойти. … Невозможным называется событие,
которое в результате данного опыта произойти не может»
Хочу отметить, что основные понятия теории вероятностей вводятся
очень кратко, но, на мой взгляд, для 6 класса этого вполне достаточно.
2.3. «Математика 10-11», под редакцией А.А. Никитина.
В
этом
учебном
пособии
элементы
теории
вероятностей
рассматриваются очень кратко и сжато. Автор выбрал свою оригинальную
методику введения материала. Он не забивает голову учащимся трудными и
объемными определениями. Он дает очень краткое описание величины,
потом дает на это определение пример, ставит вопрос, и сам тут же на него
отвечает.
«Теория вероятностей изучает вероятности событий, встречающихся в
явлениях со случайными, то есть практически непредсказуемыми исходами.
Условимся такие явления называть экспериментами со случайными
64
исходами, или, для краткости, просто экспериментами. Разберем некоторые
примеры таких экспериментов.
Пример . Спортлото «5 из 36».
На 36 шарах написаны номера от 1 до 36 по одному номеру на каждом
шаре. Шары кладут в специальный барабан и тщательно перемешивают.
Затем из барабана по одному последовательно вынимают 5 шаров. Зрители
предварительно записали на особых бланках по 5 номеров, стремясь угадать
те номера, которые будут извлечены из барабана.
Какова вероятность, что мы угадаем первый вынутый шар?
На этот вопрос нетрудно дать правильный ответ: один из 5 записанных
нами номеров будет выбран с вероятностью 5/36, так как всего шаров 36»
Далее автор на основе проведенных выше примеров вводит некоторые
предположения, на которые он опирался, решая данные примеры.
«Предположение
1.
Рассматриваемый
эксперимент
состоит
в
случайном выборе одного элемента из некоторого конечного множества
элементов.
Предположение 2. Пусть А – некоторое подмножество множества всех
возможных исходов рассматриваемого эксперимента. Если выбранный в
результате эксперимента элемент оказался одним из элементов множества А,
то говорят, что произошло событие А.
Предположение 3. Все исходы эксперимента – равновероятны;
классическое определение вероятности: «вероятностью события А называют
число Р(А) равное отношению числа элементов во множестве А к числу всех
возможных исходов эксперимента».
Так же автор вкратце разбирает геометрическую вероятность (в
пространстве, в плоскости, на прямой) и понятие о законе больших чисел.
Хочу отметить, что в данном учебнике наиболее просто и доступно
объясняются основные понятия теории вероятностей, поэтому данный
учебник я рекомендовала бы для работы в общеобразовательном классе.
65
2.4. «Теория вероятностей и математическая статистика»Г.В.
Горелова, И.А. Кацко
Главной особенностью этого учебного пособия является то, что он
содержит огромное количество примеров с подробными пояснениями. Дело в
том, что автор подошел к раскрытию темы с очень интересной стороны. В
начале он дает очень краткое изложение материала и тут же поясняет его на
огромном количестве примеров. Например, автор буквально в нескольких
словах вводит определения и понятия элементарного события, пространства
элементарных событий, события, совместимых и несовместимых событий,
равновозможных событий, операции, выполняемые над событиями; а потом
поясняет каждое утверждение и определение отдельным примером.
Так же хочу отметить, что это единственное учебное пособие (из
рассматриваемых мною) в котором приводятся примеры решения задач по
теории вероятностей и математической статистики с использованием
компьютера и, в частности, с использованием приложения Excel. Как говорит
автор
«…известно,
что
любая
математическая
теория
становится
общепринятой, как только появляется соответствующее программное
обеспечение. С нашей точки зрения таким обеспечением для решения целого
ряда вычислительных задач может служить Excel. … Большим плюсом Excel
является возможность создания и использования готовых функций для
обработки массивов чисел (а так же текстов и символов)».
На мой взгляд – это самый хороший учебник. Но я бы рекомендовала
использовать его в классах с углубленным изучением математики, с условие,
что ученики знакомы с приложениями Exel и его основными функциями, так
как без использования информатики данное пособие не сильно выделяется на
фоне остальных.
66
2.5 «Математика после уроков» М.Б. Балк, Г.Д. Балк
Данная книга может быть использована как сборник задач по теории
вероятностей для учащихся, которые уже знакомы с теорией, для
закрепления или практического применения полученных теоретических
знаний.
Для удобства в данном пособии задачи разделены по темам:
1. Занимательные комбинаторные задачи (решение задач на соединения
без повторений и с повторениями);
2. Биноминальная формула Ньютона (историческое развитие вопроса о
разложении выражения вида (x+a)n по степеням х; формула для бинома
Ньютона,
возможность
доказательства
этой
формулы
с
помощью
дифференциального счисления; решение задач, в частности, доказательство
комбинаторных тождеств с помощью биноминальной теоремы);
3.
Понятие
о
теории
вероятностей
(понятие
о
вероятности:
определение, примеры; задачи на вычисление вероятностей; теорема
сложения, условные вероятности и теорема умножения: задачи; понятие о
законе больших чисел);
4. Теория игр (чем занимается теория игр; стратегия, платежная
матрица, нижняя и верхняя цена игры, решение игры; смешанные стратегии;
связь между теорией игр и линейным программированием);
5. Как изменяется информация (неопределенность эксперимента; мера
информации, содержащейся в сообщении; решение задач на вычисление
информации; о практических применениях теории информации.)
В заключении хочу отметить, что данное пособие я рекомендовала бы
использовать в большей степени как сборник задач по теории вероятностей в
совокупности с хорошим теоретическим учебником.
67
2.6. «Факультативный курс по математике. Теория вероятностей»
В.С. Лютикас.
Данная книга является учебным пособием по факультативному курсу
теории вероятностей для учащихся 9-11 классов.
Понятно
изложить
самые
элементарные
сведения
из
теории
вероятностей, научить читателя применять их при решении практических
задач – такова основная цель, которую преследовал автор. Поэтому в ней
достаточно доступно и элементарно изложены начала теории вероятностей, а
так же предоставлен набор упражнений по данным темам. В начале книги
изложена небольшая предыстория теории вероятностей и ход ее развития с
участием таких знаменитых людей, как Л. Пачиоли (1454-1514), Д. Кардано
(1501-1576), Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), А. Муавр (16671754), П. Лаплас (1749-1827), и конечно В.Я. Буянковского (1804-1889), П.Л
Чебышева (1821-1894), А.Н. Колмогорова (1903-1987) и многих других.
Большой плюс данного пособия заключается в том, что перед вводом
определения автор приводит пример из жизни понятный каждому
школьнику: «При бросании монеты выпал герб, а ведь могла выпасть и
цифра. То, что появился герб, - случайное событие», или «При осмотре
почтового ящика найдены три письма, а ведь писем могло и не быть. Три
письма случайное событие». Далее точно также на примерах поясняет, что
такое достоверное событие, а что такое невозможное событие. Множество
элементарных событий также сначала вводится на примере. Отношения
между
событиями
и
операции
над
событиями
сопровождаются
пояснительными рисунками, что, на мой взгляд, очень облегчает понимание
данных тем.
Одну из глав автор отдает науке о подсчете числа комбинаций –
комбинаторики.
Так же рассматривается: вероятность события и операции над
вероятностями, независимые повторные испытания, дискретные случайные
величины и их характеристики.
68
Наиболее интересной является IX главе «немножко странно, но
интересно», в которой даны различные интересные задачи и парадоксы с
подробными объяснениями и решениями.
В общем, книга написана на доступном и понятном для учащихся
языке. В ней все продуманно: теория отлично сочетается с примерами. На
мой взгляд, данное пособие можно использовать ученику как материал для
внеклассного чтения по математике и для подготовки к факультативным
занятиям, а учителю для проведения факультативных занятий по теории
вероятностей.
69
§3. Факультативный курс «Математика и вероятность»
для 6 класса.
3.1. Объяснительная записка.
Факультативные занятия, являясь специфической формой внеурочной
работы, в то же время содержат в себе многие признаки урока. Они
проводятся
по
расписанию
с
постоянным
составом
учащихся,
по
утверждённой программе. В то же время в них многое от внеклассной
работы: учащимся можно не выставлять отметки, добровольность выбора
учеником факультатива и др.
Факультатив предназначен для тех, кто интересуется математикой и
хочет узнать о ней больше, чем можно прочитать в учебнике или услышать
на уроке. Возможно он будет полезен и тем, кто безразличен к математике.
Ведь, чтобы узнать вкус яблока, надо его попробовать. Факультатив даёт
возможность, опираясь на первоначальные знания, полученные на уроках,
самостоятельно или с помощью учителя «вгрызться» в математику и ощутить
вкус к ней.
Факультатив «Вероятность и статистика» разработан мной на
двенадцать занятий и охватывает следующие темы: случайные события,
сравнения шансов, частота абсолютная и относительная, статистическое
определение
вероятности,
классическое
определение
вероятности,
элементы комбинаторики.
Выбор тем обусловлен учебными возможностями 6 класса.
При рассказе о любой достаточно развитой математической теории
возникает дилемма: ограничиться ли рассмотрением нескольких задач,
относящихся к этой области математики, или же попытаться дать
представление о некоторых её методах и результатах. Разрабатывая
факультатив, я попыталась объединить эти подходы.
70
Цели факультатива:
1.Увлечь учащихся математикой, помочь почувствовать её красоту,
обнаружить в себе математические способности (а они есть у многих!),
пробудить интерес к математике у тех, кто его до сих пор не испытывал.
2.Помочь ребёнку в формировании вероятностного мышления.
3.Вырабатывать у учащихся умение самостоятельно учиться.
4.Обеспечить усвоение основ теории вероятностей.
5.Подготовить учащихся к работе в центре «Исследователь».
Почасовая разбивка материала.
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
КолОсновные понятия
Тема
во
часов
Случайные события
2
Случайные события, невозможные
события, достоверные события
Сравнение шансов.
2
Более вероятные, маловероятные события;
(Что вероятнее?)
вероятностная шкала; равновозможные или
равновероятные события.
Частота абсолютная и
2
Абсолютная частота, относительная
относительная
частота. Вычисление относительной
(эксперименты со
частоты.
случаем)
Статистическое
2
Статистическое определение вероятности
определение
вероятности (Куда
стремятся частоты?)
Классическое
2
Равновозможные исходы. Благоприятный
определение
исход, вероятность случайного события
вероятности
P(A)=m/n
Подсчет шансов в
2
Комбинаторика, «дерево возможных
многоэтапных
переборов»
экспериментах
12
3.2.Тематическое планирование факультатива.
Основные
Знания
Умения
(5)
Определение
случай-ных,
невозможных,
достоверных
событий
(6)
Разли-чать
случай-ные,
невозможные,
достоверные
события,
при этом
объяснять
почему оно
является
тем или
иным событием; обозначать
события;
приво-дить
свои
примеры на
разли-чные
события
Мотивация
познавательной
деятельности
(7)
Вокруг нас
постоянно
происходят
какие-либо
события.
Оценивая
возможность
наступления
какого-либо
события мы
часто говорим
«это очень
возможно», «это
непременно
произойдет»,
«это
маловероятно»,
«это никогда не
случится».
Сегодня мы
будем говорить
о событиях
Активи(8) зация
опорных
знаний.
(4) Вид тип
Изучение нового материала
Цель
(3)
Обеспечить усвоение понятий: случайное событие, достоверное событие, невозможное
событие. Учить различать события, объяснять свою точку зрения
Тема
(2)
(1)
1.
Случайные события
№
Инструктивная карта занятия
Последовательность
Закрепление изученного
изложения нового материала
материала
Мониторинг.
(9)
Купив лотерейный билет, мы
можем выиграть, а можем и не
выиграть; завтра на уроке
математики вас могут вызвать
к доске, а могут и не вызвать.
Все это примеры случайных
событий, которые при одних и
тех же условиях могут
произойти, а могут и не
произойти.
Мы будем обозначать события
заглавными латинскими
буквами и заключать их в
фигурные скобки.
Пример А={в следующем
году первый снег в
Черепаново выпадет в
воскресенье}
В={при бросании кубика
выпадет шестерка}
События А и В – случайные.
Есть и такие события, которые
в данных условиях произойти
не могут. Их называют
невозможными событиями.
(10)
Задача 1. Бросаем два
кубика. Какие из следующих
событий невозможные,
какие случайные, а какие
достоверные:
A={На кубиках выпало
одинаковое количество
очков};
В={Сумма очков на кубике
не превосходит 12}
С={сумма очков на кубиках
равна 11}
D={Произведение очков на
кубках равно 11}
Ответ:
А-случайное,
В- достоверное, Сслучайное,
Д- невозможное
Задача 2. В коробке 3
красных, 3 желтых, 3
зеленых шара. Вытаскиваем
наугад 4 шара. Какие из
следующих событий
невозможные, какие
случайные, а какие
достоверные:
А={все вынутые шары
одного цвета}
B={все вынутые шары
разных цветов}
(11)
1.Какие из следующих
событий случайные,
достоверные,
невозможные:
А={черепаха может
научиться говорить}(н)
В={ваш день рождения 19
октября}(с)
С={день рождения вашего
друга-30февраля}(н)
D={вы выиграете
участвуя в лотерее}(с)
Е={вы не выиграете
участвуя в беспроигрышной лотерее}(н)
F={сегодня четверг}(с)
G={После четверга будет
пятница}(д)
H={после пятницы будет
четверг}(н)
2.Приведите примеры
случайных событий,
достоверных и
невозможных событий.
3
Случайные события
2.
4
5
6
||-||
Закрепления ЗУНов
2
Закреплять умение различать события, умение обосновать свой ответ. Учить решать задачи по теме.
1
||-||
7
8
Представим себе
следующую
ситуацию: среди
100 билетов
школьной
лотереи 20
выигрышных.
Сколько билетов
вам надо купить
чтобы событие
А={вы ничего не
выиграете} было
невозможным
Задачи такого
типа мы сегодня
будем решать
- Какое
событие
называется
случайным
?
достоверн
ым?
невозможн
ым?
-Как
обозначаю
т события
9
Пример С={в следующем году
снег в Черепаново вообще не
выпадет}; D={при бросании
кубика выпадет семерка}
Если же событие в данных
условиях обязательно
произойдет, то его называют
достоверным.
Пример: Е={в следующем
году в Черепаново выпадет
снег}; F={при бросании
кубика выпадет число очков,
меньше 7}.
Чтобы доказать, что данное
событие случайное нужно
привести пример такой
ситуации или такого исхода,
когда событие происходит, и
пример такого исхода, когда
оно не происходит.
10
С={Среди вынутых шаров
есть шары разных цветов}
D={Среди вынутых шаров
есть шары всех цветов}
Ответ: А-невозможное,
В -невозможное,
С- достоверное, Дслучайное.
Задача 3. В школе учится N
учеников. При каких
значениях N событие А={в
школе есть ученики с
совпадающими днями
рождения} является
случайным, а при каких
достоверными. Выясните,
произошло ли это событие в
вашем классе?
Ответ: При N<=366 событие
А-случайное
При N>366 событие
А-достоверно.
Задача 4. В шкафу 10 пар
ботинок с 36-го по 45-й
размер по одной паре
каждого размера. Ботинки
достают из шкафа наугад.
Какое наименьшее кол-во
ботинок надо вынуть из
шкафа, чтобы событие
А={из вынутых ботинок
можно составить хотя бы
одну пару} было
достоверным?
Ответ: 11.
11
Изучение нового материала
Обеспечить успешное усвоение понятий, маловероятных, более вероятных событий
вероятностной шкалы
Сравнение шансов
3
Определен
ие маловероятных,
более
вероятных
событий;
определение
вероятностной
шкалы;
способ
сравнения
шансов
через
дроби
Уметь:
определять
более
вероятные,
маловероятные
события;
строить
вероятностную
шкалу;
определять
равновозможные
или
равновероят
ные
события;
сравнивать
шансы, как
дроби: в
числителе
сколько
шансов за
осуществлен
ие этого
события, а в
знаменателе
– сколько
всего
возможных
исходов.
Итак,
случайные
события при
одних и тех же
условиях
могут
произойти, а
могут не
произойти.
При этом у
одних
случайных
событий
шансов
произойти
больше, а у
других
меньше.
Сегодня мы
будем учиться
сравни-вать
шансы.
- какие
события
называются случайны-ми.
Итак, попытаемся расположить
на специальной вероятностной
шкале события:
А={в следующем году первый
снег в Черепаново выпадет в
воскресенье};
В={Свалившийся со стола
бутерброд упадет на пол маслом
вниз};
С={при бросании кубика
выпадет шестерка};
D={при бросании кубика
выпадет четное число очков};
Е={в следующем году снег в
Черепаново вообще не
выпадет};
F={при бросании кубика
выпадет семерка};
G={в следующем году в
Черепаново выпадет снег};
Н={при бросании кубика
выпадет число очков, меньше
7}.
Пусть слева, в начальной точке
шкалы будут располагаться
невозможные события,
Задача1. Вова хочет
вытянуть наугад одну
карту из колоды с 36-ю
картами. Маша, Саша,
Гриша и Наташа
предсказывают
следующее:
М: это будет король
С: это будет пиковая
дама
Г: эта карта будет
красной масти
Н: эта карта будет
пиковой масти
Как сравнить м/у собой
шансы предсказателей?
Решение: королей-4;
пиковая дама-1; карт
красной
масти-18; пик-19. Чем
больше карт, тем
вероятнее будут
соответствующие
события:
С М Н Г
|________________|
невозм. случ. достоверн
Задача2. На основе
нашего опыта общения
по телефону сравните
1. Использую
выражения «более
вероятно», «менее
вероятно»,
«равновероятные
события»,
«невероятные
события», «вероятные
события», сравните
возможность
наступления
случайных событий А
и В:
а) Вы просыпаетесь
утром А={это будет
будний день}(б.в.);
В={это выходной
день}(м.в.).
б) Вы бросаете монету:
А={выпал орел},
В={выпала решка}(А
и В равновероятные)
в) вы покупаете булку
хлеба в магазине: А=
{хлеб
позавчерашний},
В={хлеб свежий}(б.в.)
г) вы переворачиваете
стакан с жидкостью
А={жидкость
выльется}(в.)
В={жидкость
останется в
стакане}(н.с)
Комбинирование
Обеспечить усвоение способа сравнения шансов через сравнение дробей
||-||
Сравнение шансов
4
||-||
Вы выиграете
если стрелка
вертушки
останавливает
ся на черном.
Какая из
вертушек,
изображенных
на рисунке,
дает вам
больше
шансов на
выигрыш
Сегодня в
конце занятия
мы сможем
ответить на
этот вопрос.
Какие
собы-тия
наз-ся
маловероятными,
более
вероятными
справа, в конечной точке, достоверные, а между ними
случайные. При этом, чем
больше у случайного события
шансов произойти, тем оно
более вероятное и тем правее
его следует расположить на
вероятностной шкале; чем
меньше шансов – тем левее.
Если два события на ваш взгляд
имеют равные шансы, будем
располагать их в одном и том же
месте шкалы друг над другом:
F
H
E A C
D B G
|___________________|
невозм.
случ. достоверн.
Построенная вероятностная
шкала не совсем настоящая – на
ней нет числовых меток,
делений. Совсем скоро вы
узнаете, как вычислять
вероятность, пока же
потренируемся в сравнении
шансов и в расположении
событий на вероятностной
шкале. Шансы имеет смысл
сравнивать как дроби: в
числителе – сколько шансов за
осуществление этого события, а
в знаменателе – сколько всего
возможных исходов.
между собой степень
вероятности следую-щих
событий:
A={вам никто не
позвонит с 5 до 6 утра};
B={вам кто-нибудь
позвонит с 5 до 6 утра};
С={вам кто-нибудь
позвонит с 18 до 21}
D={вам никто не
позвонит с 18 до 21}
Решение: ранним утром
звонки бывают очень
редко => А-очень
вероятное, почти
достоверное, Вмаловероятное, почти
невозможное. Вече-рние
часы, наоборот, время
самого актив-ного
телефонного общения,
поэтому событие С для
большинства людей
вероятнее чем D.
Задача3. Что вероятнее:
А={получит шестерку
при бросании кубика}
или В={вытянуть
шестерку из колоды
карт}
Решение: шестерок на
кубике-1, а всего граней6; шестерок в колоде-4, а
всего карт в колоде-36.
Ясно, что «1 шанс из 6»
лучше чем «4 шанса из
36», ведь 1/6>4/36
2. Придумайте
примеры случайных
событий A, B, C, D, E,
которые
расположились бы на
вероятностной шкале
так как на рисунке:
A B
C
D E
|________________|
невозм. случ.
достоверн
3. Вини-Пух и Пятачок
обычно решают, к
кому идти в гости с
помощью
вертушки изображеной
на рисунке. Если
стрелка
останавливается на
черном поле, то они
идут к Винни-Пуху,
если на белом – к
Пятачку. К кому они
ходят чаще? Во
сколько раз? (К П. в 3
раза чаще)
4. Гена учится в 6А
кл., Боря – в 6Б, Саша
в 6В. От каждого
класса по жребию
выбирают одного
делегата в школьный
хор. Как вы думаете у
кого из друзей больше
шансов если в 6А – 25
чел., в 6Б-22, а 6В-28
человек.
3
Обеспечить усвоение понятий абсолютной и относительной частот. Учить вычислять
абсолютную и относительную частоту
4
Изучение нового материала
2
Частота абсолютная и относительная
1
5
5
Определение
абсолютной и
относительной
частот;
способ
нахождения
относительной
частоты
6
Высчитывать
абсолютную и
относительные
частоты;
прово-дить
серию
экспериментов и
фиксировать
резуль-таты
7
Перед
началом
футболь-ного
матча судья
подбрасы-вает
монету, чтобы
определить,
какая из
команд начнет
матч с центра
поля. У
команд
равные шансы
начать игру. А
имеет ли
право судья
вместо
монеты
подбросить,
например,
кнопку?
Одинаковы ли
шансы у
команд? На
этот вопрос
мы сможем
ответить в
конце занятия.
8
9
Т. вероятностей имеет дело с
экспериментами исходы
которых непредсказуемы: они
зависят от случая. Чтобы
выяснить, насколько вероятно
то или иное событие случайное,
связанное с экспериментом,
нужно подсчитать, как часто оно
происходит. Для этого
используют две важные
величины: абсолютная частота
показывает, сколько раз в серии
экспериментов наблюдалось
данное событие;
Относительная частота
(которую иногда называют
просто частотой) показывает,
какая доля экспериментов
завершилась наступлением
данного события.
Относительную частоту можно
найти поделив абсолютную
частоту на число экспериментов.
Пример: проведем 50
экспериментов по
подбрасыванию кубика. Исходы
эксперимента будем заносить в
таблицу. После чего выясним
абсолютную и относительную
частоту каждого исхода
10
Задача1. Учениками 6Б
класса была проведена
серия испытаний по
подбрасыванию кубика.
Полученные результаты
представлены в таблице.
Найдите относительную
частоту каждого исхода.
Исхо Аб.ч Отн.ч
-ды
1
26
0,173333
2
25
0,166667
3
19
0,126667
4
27
0,18
5
25
0,166667
6
28
0,186667
Задача2. Ученики 6Б
класса провели серию из
300 экспериментов по
подбрасыванию кубика.
Полученные результаты
представлены в таблице.
Найдите абсолютную
частоту каждого исхода.
Исхо Отн.ч
Аб.
-ды
ч
1
0,1533
46
2
0,1933
58
3
0,16
48
4
0,1533
46
5
0,1467
44
6
0,1933
58
11
1. Проведите 100
испытаний по
подбрасыванию двух
одинаковых монет и
заполните таблицу.
Исход Абс.ч
Отн.
ы
ч
Два
орла
Две
решки
Орел и
решка
2. В урне 3 красных, 3
желтых и 3 зеленых
шара. Из нее 150 раз
подряд извлекались и
возвращались обратно
три шара. По
результатам
испытаний была
заполнена таблица.
Исходы
Аб.ч
3к
3
3ж
5
3з
2
2к1ж
16
2к1з
14
2ж1к
27
2ж1з
23
2з1к
15
2з1ж
13
1к1ж1з
32
||-||
Закрепления
Закреплять умение вычислять абсолютную и относительную частоты; проводить серию
экспериментов и фиксировать их результаты
Частота абсолютная и относительная
6
||-||-||
Проведем
экспери-мент
с кнопками. (с
преды-дущего
урока)
(каждый по 50
раз)
Что такое
абсолютная
частотаотн
оси-тельная
частота?
Как вычислить
относительную
частоту?
От. Задача3. В начале XXв.
английский математик
ч.
1
0,18 Карл Пирсон провел
серию экспериментов по
2
6
0,12 подбрасыванию монеты.
В результате чего
3
8
0,16 получил следующую
таблицу.
Отн.
4
11 0,22 Исход Абс.ч
ы
ч
Орел
12.012
5
9
0,18
Решка 11.988
6
7
0,14 Сколько случайных
опытов провел Пирсон?
(24000)
50 1
Какова относительная
Полученная таблица, обладает
частота выпадения орлов
некоторыми замечательными
в его опытах (0,5005)
свойствами, которые
какова относительная
сохраняются независимо от
частота выпадения решек
результатов проведенных
(0,4995)
экспериментов:
Задача 4. Узнав о
- сумма абсолютных частот в
результатах Пирсона я
ней равна числу экспериментов
провела свою серию
(в нашем случае 50);
экспериментов и
- сумма относительных частот
получила следующие
равна 1.
Проверка этих свойств поможет результаты
Исход Абс.ч
Отн.
вам избежать ошибок при
ы
ч
заполнении аналогичных
Орел
141
0,47
таблиц.
Решка 159
0,53
Я не стала заполнять все
клетки. Права ли я? Если
да восстановите записи
исход
ы
подсче
т
|-|-|-|-|
||||
|-|-|-|-|
|
|-|-|-|-|
|||
|-|-|-|-|
|-|-|-|-| |
|-|-|-|-|
||||
|-|-|-|-|
||
Аб
.ч
9
С помощью этой
таблицы найдите
относительные
частоты следующих
событий:
А={все вынутые шары
одного цвета}; 0,0667
В={все вынутые шары
разного цвета}; 0,2133
С={среди вынутых
шаров не красных};
0,2866
D={среди вынутых
шаров есть красные};
0,7133
7
На
прошлых
уроках
мы
находили
абсолютные и
относительные
частоты
после
завершения всей
серии
случайных
эксперементов.
Сегодня
мы будем
выяснять,
что
происходит с
частотами в ходе
такой
серии
8
9
Была предложена серия опытов с
кубиками, но относительная частота
шести исходов вычислялась после
каждой очередной сотни экспериментов.
В результате была получена следующая
таблица.
Кол-во
исп.
50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1
0,18
0,16
0,16
0,167
0,168
0,164
0,152
0,153
0,159
0,156
0,158
2
0,12
0,16
0,135
0,160
0,153
0,146
0,157
0,164
0,164
0,164
0,170
Частота исходов
3
4
0,16
0,22
0,2
0,15
0,185 0,16
0,163 0,153
0,175 0,163
0,182 0,16
0,183 0,153
0,180 0,151
0,181 0,155
0,183 0,166
0,182 0,165
5
0,18
0,19
0,18
0,183
0,185
0.186
0.188
0.186
0.180
0.171
0.168
6
0.14
0.14
0.18
0.173
0.158
0.162
0.161
0.166
0.161
0.160
0.157
Нарисуем график зависимости частоты
выпадения единиц от числа
экспериментов
10
Задача1. По
результатам
предыдущего
проследим, как
изменяются
частоты
следующих
событий, и
оценим
вероятности:
А={на кубике
выпало четное
число очков};
В={на кубике
выпало нечетное
число очков}
Чтобы
относительную
частоту события
А, нужно
сложить частоты
исходов 2,4 и 6,
а для события В
– исходов 1,3 и
5.
Кол-во
испыт
50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Частота
событий
А
В
0,48
0,52
0,45
0,55
0,475 0,525
0,487 0,513
0,473 0,528
0,468 0,532
0,477 0,523
0,481 0,519
0,48
0,52
0,49
0,51
0,492 0,508
11
1. Проведите 100
испытаний по
подбрасыванию монеты.
После каждых из 10
испытаний подсчитайте
частоты и заполняйте
таблицу
Колво
ипыт
орел
решка
Разн
абс
част
Разн
отн
част
отн
6
Вычеcлять
вероятность,
Пользуясь
статистическим
определением
вероятности
абс
5
Статистическое
определение
вероятности
абс
отн
4
Комбинированный
3
Обеспечить усвоение статистического определения вероятности
2
Статистическое определение вероятности
1
7
10
…
100
К каким числам
приближается с ростом
проведенных опытов:
а) относительная частота
выпадения орлов;1/2
б) оптимальная частота
решек; 1/2
в) разность
относительных частот
орлов и решек.
2. После 1000 испытаний
монеты орел выпал 542
раза, а решка – только
458 раз. К какому
значению будет
приближаться
относительная частота
орлов и решек, если в
каждой тысяче их будет
выпадать поровну? К 1/2
Закрепление ученного
0,185
0,18
0,175
0,17
0,165
0,16
Ряд1
0,155
0,15
0,145
0,14
90
0
10
00
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
0,135
20
0
Сформулируйте
статистическое
определение
вероятности
50
Уметь
вычислять
минимальные
и
максима
льные
значения
частоты
после n
испытан
ий
10
0
Закреплять умение находить вероятность наступления случайного события,
основываясь на статистическом определение вероятности
||-||
Статистическое определение вероятности
8
Устойчивость частот является скорее не
математическим, а экспериментальным
фактом. На нем основывается частотное,
или статистическое, определение
вероятности: за вероятность случайного
события можно приближено принять его
относительную частоту, полученную в
длинной серии экспериментов. Чем
больше число проведенных
экспериментов, тем точнее можно
оценить вероятность события по его
частоте.
Задача2. После
десяти бросаний
двух кубиков
сумма 12 не
была получена
ни разу. Можно
ли утверждать,
что вероятность
этого события
равна нулю?
(нет)
Задача3. После
100 испытаний
по
подбрасыванию
монеты частота
«орлов»
равнялась 0,52.
а) можно ли
утверждать, что
после 200
испытаний она
будет между 0,5
и 0,52?
б) Найдите
минимально и
максимально
возможные в
этой ситуации
значения
частоты после
200 испытаний.
а) нет; б) от 0,26
до 0,76
3. За 20 последних
тиражей «Русское лото»
номер 8 выигрывал три
раза, а номер 13 ни разу.
Можно ли утверждать,
что шансы номера 13 в
предстоящем тираже
выше? (нет)
3
4
Обеспечит усвоение: классического определения вероятности; понятий
равновозможных и благоприятных исходов
Изучение нового материала
2
Классическое определение вероятности
1
9
5
Формулу
нахождения
вероятности,
определение
равновозможных и
благоприятных
исходов
6
Находить
вероятность
событий
для
опытов с
равновозможными
исходами
7
Мы
научились
оценивать
вероятность
случайного
события по
относительной частоте
его
появления в
длинной
серии
одинаковых
опытов. Но,
во-первых,
какой бы
длинной ни
была
проведенная
серия
испытаний,
она дает
только
приближенн
ое значение
вероятности
8
Сформулируйте
статистическое
определение
вероятности
9
Рассмотрим случайный
эксперимент, который может
завершиться одним из n
возможных исходов, причем
все исходы равновозможны,
т.е. нет никаких оснований
считать один исход вероятнее
другого.
Пример: а) бросим монету
n=2; б) бросим кубик n=6;
в) вытянем карту из колоды
n=36.
Конечно, во всех этих
примерах можно говорить о
равновозможности только при
определенных условиях:
монета и кубик правильные,
колода хорошо перетасована.
Пусть ровно m из этих n
исходов приводят к
наступлению некоторого
события А. будем называть
такие исходы
благоприятными для этого
события.
Например: а) выпадет герб:
m=1; б) на кубике выпадет
четное число: m=3; в) из
колоды вытянут туза: m=4.
10
Задача1. Колоду из 36 карт
хорошо перетасовали и
вытянули из нее одну
карту. Для каждого из
следующих событий
найдем его вероятность:
А={вытянем красную
масть};
В={вытянем пику};
С={вытянем красную
пику};
D={вытянем даму};
Е={вытянем даму пик};
Решение: общее число
исходов в этом
эксперименте равно 36,
причем, поскольку колода
хорошо перетасовалась,
все они равновозможны,
следовательно, n=36.
Для события А
благоприятный исход –
любая карта красной
масти. В колоде 18 карт
красной масти, значит
m=18. Р(А)=18/36=1/2=0,5.
Аналогично рассуждая:
Р(В)=9/36=1/4=0,25
Р(С)=0/36=0
Р(D)=4/36=1/9=0111
Р(E)=1/36=0,028
11
1.Для каждого из
следующих
событий найдите
число всех
равнодействующих
исходов, число
благоприятных
исходов и
вероятность.
а) В урне 15 белых
и 25 черных шаров.
Из урны наугад
вынимается 1 шар.
Какова вероятность
того, что он будет
белым?
m=15 n=40
P=15/40=3/8
б) Из русского
алфавита
случайным образом
выбирается буква.
Какова вероятность
того, что она
окажется гласно?
m=10 n=33 H=10/33
в) из слова
[событие]
случайным образом
выбирается 1 буква
10
Закрепление изученного материала
Закреплять умение решать задачи на нахождение вероятностей в
равновозможных исходах
Классическое определение вероятности
||-||
||-||
Во-вторых,
далеко не
всегда
такую
серию
можно
осуществить:
скажем, на
эксперимен
тальное
вычисление
вероятности
выигрыша в
лотерею вам
может
просто не
хватить
денег! К
счастью, во
многих
ситуациях
существуют
более
экономичные
способы
расчета
вероятности
Какие
исходы
называются
равновозможными
Какие
исходы
называются
благоприятными?
Что называют
вероятностью?
Вероятностью случайного
события А назовем дробь m/n,
где n-число всех возможных
исходов эксперимента, mчисло исходов,
благоприятных для события А
P(A)=m/n
Обозначение P(A) происходит
от первой буквы
французского слова
probabilite- вероятность.
Пример:
а) Р{выпадет герб}=1/2;
б) Р{на кубике выпадет
четное число} =3/6=1/2
в) Р{из колоды вытянут
туза}=4/36=1/9
рассматриваемое выше
определение вероятности
было впервые дано в работах
французского математика
П.Лапласа и называется
классическим. Использовать
его можно только для опытов
с равновозможными
исходами!
Задача2. В классе учится
10 мальчиков и 20 девочек.
а) На класс дали один
билет в цирк, который
было решено разыграть по
жребию. Какова
вероятность, что в цирк
пойдет девочка?
m=20 n=30 Р=20/30=2/3
б) учитель истории знает,
что 3 мальчика и 5 девочек
из класса были накануне в
кино, поэтому не выучили
д.з К сожалению он не
знает их фамилий, но очень
хочет поставить комунибудь двойку. Кого ему
лучше вызвать к доске –
мальчика или девочку?
3/4>5/20, поэтому лучше
вызвать мальчика.
в) Федя не решил
домашнюю задачу по
математике. Какова
вероятность, что учитель
этого не узнает, если за
урок он успевает спросить
пятерых?
25/30=5/6
Какова вероятность
того, что она
окажется гласной?
m=4 n=7 P=4/7
г) из 366 дней 2004
года случайно
выбирается один.
Какова вероятность,
что он будет
воскресеньем, если
известно что 2004
год начинается в
четверг?
m=52 n=366
P=52/366
2. Абонент забыл
последнюю цифру
телефонного номера
и набрал её наудачу
помня только, что
эта цифра нечетная.
Найдите
вероятность того,
что номер набран
правильно.
5/10=1/2
4
Изучение нового материала
3
Учить подсчитывать все возможные варианты и перебирать их используя
дерево возможных переборов
2
Элементы комбинаторики
1
11
5
Какие
задачи
называются
комбинаторными.
Способы решения
таких
задач.
6
Строить
«дерево
возможных
переборов»,
подсчитывать
количество
возможных
вариантов
7
8
В жизни не
редко перед
нами
возникают
проблемы,
которые
имеют не
одно, а
несколько
различных
вариантов
решения.
Некоторые
из этих
решений
нас
устраивают,
а другие
нет. Чтобы
сделать
правильный
выбор,
очень важно
не упустить
ни одного
из них.
9
Давайте решим задачу:
Сколько двузначных чисел
можно составить используя
цифры 1, 4 и 7?
Решение: Для того, чтобы не
пропустить и не повторить ни
одно из чисел, будем
выписывать их в порядке
возрастания. Сначала
запишем числа начинающиеся
с цифры 1, затем с цифры 4 и,
наконец с цифры 7.
11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77
Таким образом, из данных
цифр можно составить всего 9
различных двухзначных
чисел. Эту задачу можно
решить другим способом,
который называется «дерево
возможных вариантов» или
«дерево возможных
переборов» это своего рода
специальная схема, которая
при правильном построении
исключает потерю возможных
вариантов
10
Задача1. Сколько
трехзначных комбинаций
можно составить используя
цифры 0 и 1?
*
Первая цифра
1
0
Вторая цифра
0
0
1
1 0
1
0
Третья цифра
1
1 0
1 0
Полученные комбинации
000, 001, 010, 011, 100, 101,
110, 111.
Ответ: 8.
Задача2. Слово,
полученное из данного
слова перестановкой (но не
обязательно имеющее
смысл в языке) называют
анаграммой: например нос
и сно – анаграммы слова
нос
11
1. Служитель
зоопарка должен
дать зайцу два
различных овоща.
Запишите все такие
пары, если имеются
морковь, свекла и
капуста.
*
М
К
С
К
С М К М С
МК, МС, СМ, СК,
КМ, КС
2. Выпишите все
анаграммы слова
мама?
Ответ: аамм, амам,
амма, маам, мама,
ммаа.
12
Закрепление изученного
Закрепление умения решать комбинаторные задачи
Элементы комбинаторики
||-||
||-||
Для этого
надо
осуществить
перебор
всех
возможных
вариантов
или хотя бы
подсчитать
их число.
Такого рода
задачи
называются
комбинатор
ными
- Что
значит
подсчитать все
возможные
варианты?
- Как
решают
комбинаторные
задачи?
*
*
Н
Первая цифра
1
4
О
7
Вторая цифра
1
4
71
4
7 1
4
7
Полученное число
11 14 17 41 44 71 74 77
Эта схема действительно
похожа на дерево, правда,
«вверх ногами» и без ствола.
Знак «*» изображает корень
дерева, ветви дерева –
различные варианты решения.
Чтобы получить двузначное
число, надо сначала выбрать
первую его цифру, а для этого
есть три варианта: 1,4,7.
Поэтому из точки *
проведены 3 отрезка и на
концах поставлены цифры 1, 4
и 7. и опять от каждой цифры
проведено по три отрезка, на
концах которых снова
записано 1,4 и 7. Итак,
получено всего 9 различных
чисел.
О
С
Н
С
С
Н
О
С
О С Н О Н
Ответ: нос, нсо, онс, осн,
сно, сон.
Задача 3. Сколькими
способами можно
представить число 20 в
виде суммы двух
натуральных чисел, если
две суммы отличающиеся
только порядком
слагаемых считаются
одинаковыми?
Решение: 1+19, 2+18, 3+17,
4+16, 5+15, 6+14,
7+13, 8+12, 9+11, 10+10.
Ответ: 10 способами
3. Сколько словарей
необходимо
переводчику, чтобы
он мог переводить
непосредственно с
любого из четырех
языков – русского,
английского,
немецкого,
французского – на
любой другой из
этих языков?
Решение.
*
Р
А
Н Ф
АНФ РНФ РАФ РАН
РА , РН, РФ, АР, АН,
АФ, НР, НА, НФ, ФР,
ФА, ФН.
Ответ: понадобится
12 словарей.
83
3.3.Анализ факультатива.
1. Психолого-педагогическая характеристика класса.
Я проводила факультатив в 6 «В» классе ОГОУ СОШ №1 г.
Черепанова. В этом классе я работаю второй год. Совместно с психологом
школы были проведены различные диагностики. Интересы и возможности
учащихся изучила, используя данные о (об):
- здоровье;
-
принадлежности
к
художественному
или
мыслительному
типу
(исследование психолога);
- уровнях сформированности учебной деятельности (на основе наблюдения);
- успеваемости по математике;
- работоспособности (методика Мюнстенберга Приложение 1);
- способности или склонности к творчеству (Приложение 2);
- стремлении к познанию нового (Приложение 3);
- самооценке (Приложение 4);
- отношении к предмету и к учителю (методика Р. Г. Чураковой
Приложение 5);
-концентрации внимания (Приложение 6);
- заинтересованности в учебной деятельности (на основе наблюдения);
- темпе деятельности (Приложение 7);
- мотивации(методика Н. Г. Лускановой Приложение 8);
-
сформированности
компонентов
учебной
деятельности
(методика
Репкиной);
- преобладающем виде памяти (методика А.В. Петровского Приложение 9).
Исследование ассиметрии головного мозга обучающихся показало
преобладание у 80% школьников художественного типа мышления. Для
таких ребят характерно использование пространственного мышления,
интуитивного подхода в решении учебных задач. Логическим типом
мышления обладают 20% учащихся. Ученики с таким типом мышления
решают проблемы активно, с помощью словестно - логического подхода,
84
уделяют большое внимание деталям, контролю и осознанию ответственности
за результат. Выполняя какую-либо работу, они тщательно продумывают
порядок действий, предпочитают точно определённые конкретные задачи.
При организации работы на занятии, а также при отборе форм
предъявления содержания учебного материала учитываю средний темп
деятельности, потребность учеников в дифференцировании учебных заданий,
создаю условия для развития каждого школьника.
По результатам исследования работоспособности и устойчивости
внимания можно сделать вывод о среднем уровне этих способностей
примерно у 50% учащихся.
Тип и объём памяти можно считать достаточно выраженным; наиболее
развитой памятью у учащихся является комбинированная память, поэтому
считаю целесообразным на этапах усвоения и закрепления учебного
материала использовать схемы, рисунки и т.д. с чётким проговариванием
основного материала.
Диагностика учащихся 6 «В» класса.
№
Ф.И. ученика
Ассиметрия
нервной
Интересы
системы
(логический – Л,
художественный
– Х тип
мышления).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Бредихин Дима
Волкова Алёна
Дмитрюк Юля
Ермакова Маша
Ерохина Аня
Епанчинцева Вера
Зазуля Вика
Ставский Костя
Федосов Саша
Якушева Женя
ПЛПЛ \Х
ЛППП \Л
ПЛПЛ \Х
ЛЛЛП \Л
ЛППЛ \Х
ЛЛЛП \Х
ЛЛПЛ \Х
ЛЛПЛ \Х
ЛЛПП \Х
ПЛПЛ \Х
Х – 80%
Л – 20%
Уровни сформированности
Познавательного Целеполагания
Учебных
(1
–
отсутствие,
интереса
действий
(1 – отсутствие,
2 – ситуативный,
3 – по необходимости,
4 – интерес к предмету,
5 - повышенный).
Танцы
Танцы
Танцы
Танцы
Танцы
Танцы
Рисование
3
2
3
4
3
4
3
2
2
1
1 – 10%
2 – 30%
3 – 40%
4 – 20%
2 – принятие
практической задачи,
3 – принятие
познавательной цели,
4 – переопределение
практической задачи в
познавательную,
5 – самостоятельная
постановка).
3
2
2
4
3
5
3
3
3
2
2 – 30%
3 – 50%
4 – 10%
5 – 10%
(1 – отсутствие,
2 – в сотрудничестве с
учителем,
3 – при неизменных
условиях,
4 – самостоятельное
выполнение,
5 - обобщение).
3
2
3
4
3
4
3
3
3
2
2 – 20%
3 – 60%
4 – 20%
Учебные возможности учащихся 6 «В» класса.
Слуховая
Зрительная
Комбинирован
ная
Работоспособность
Уровень учебных возможностей
С
В
В
С
С
В
В
В
В
В
С
Н
Н
В
С
В
В
С
С
Н
С
С
С
С
С
В
С
С
С
С
В-30%
С-60%
Н-10%
В-60%
С-40%
В-40%
С-60%
В-70%
С-30%
В-30%
С-40%
Н-30%
В-10%
С-90%
Числовые ряды
быстрота
С
С
С
С
С
В
С
В
В
В
Внимание
В
В
С
С
В
В
С
В
В
С
Заинтересованность в учебной
деятельности
Н
В
С
С
В
В
С
С
С
С
Учебная активность
Бредихин Дима
Волкова Алёна
Дмитрюк Юля
Ермакова Маша
Ерохина Аня
Епанчинцева Вера
Зазуля Вика
Ставский Костя
Федосов Саша
Якушева Женя
Самооценка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Направленность на творчество
Ф. И. ученика
Стремление к познанию нового
№
Обучаемость
Уровень Объём и тип памяти
развития
логическ
ого
мышлен
ия
C
C
C
В
С
В
С
С
С
Н
Н
Н
С
С
С
В
С
Н
Н
Н
В
С
С
С
С
С
С
С
С
С
Неуст.
Неуст.
Неуст.
Уст.
Неуст.
Уст.
Неуст.
Неуст.
Неуст.
Неуст.
Н
Н
Н
В
С
В
С
С
Н
Н
С
С
Н
Н
Н
С
С
Н
С
Н
3
5
7
5
8
8
9
5
5
8
В - 20%
С - 70%
Н - 10%
В-10%
С-40%
Н-50%
В-10%
С-90%
У-20%
Н-80%
В-20%
С-30%
Н-50%
С-50%
Н-50%
Характеристика успеваемости 6 «В» класса по математике.
№
Ф.И. ученика
Выполнение
классной
работы
(1 – никогда,
2 – редко,
3 – на половину,
4 – почти всегда,
5 - всегда).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Бредихин Дима
Волкова Алёна
Дмитрюк Юля
Ермакова Маша
Ерохина Аня
Епанчинцева Вера
Зазуля Вика
Ставский Костя
Федосов Саша
Якушева Женя
4
2
3
5
3
5
3
4
2
2
2-30%
3-30%
4-20%
5-20%
Выполнение Отношение к Глубина
Ответственность Уровни
домашней
предмету
понимания (1 – нуждается в
мотивации
помощи,
(1
–
негативное,
(2
–
слабое,
(1 – негативная,
работы
2 - самостоятелен).
2 – безразличное,
3 – среднее,
2 – низкая,
(1 – никогда,
3 -положительное)
4 – хорошее,
3 – средняя,
2 – редко,
3 – на половину,
4 – почти всегда,
5 - отличное).
4 – хорошая,
5 - высокая).
5 - всегда).
5
2
2
5
2
5
3
4
2
2
2-50%
3-10%
4-10%
5-30%
2
3
3
3
3
3
3
2
2
3
2-30%
3-70%
4
2
3
4
3
5
3
3
3
2
2-20%
3-50%
4-20%
5-10%
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1-40%
2-60%
4
3
3
3
5
3
3
4
3
4
3-60%
4-30%
5-10%
2. Анализ занятий.
Я провела 13 занятий с октября по декабрь.
Учащиеся по желанию записались на факультатив (все 10 человек). Я
думаю это вызвано тем, что почти все учащиеся класса (70%) положительно
относятся к математике и ко мне, как к учителю. Радует то, что нет
негативного отношения к предмету и ко мне.
Дети заинтересовались темой факультатива, (по опросам) так как
теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью и
факультатив подготовит их к решению насущных жизненных задач: выбору
наилучшего из возможных вариантов, оценке степени риска, шансов на успех
и других.
Каждое занятие начиналось с мотивации познавательной деятельности
учащихся, в качестве мотивации выступал проблемный вопрос, который
решался в результате изучения нового материала. Этот
момент занятия
считаю одним из главных, потому что именно то, как заинтересуешь ребёнка
деятельностью, даёт тот или иной результат этой деятельности.
Далее, для того, чтобы перейти к изучению нового материала нужно
активизировать опорные знания учащихся. На этом этапе дети вспоминали
понятия и определения, которые нужны для работы на этом занятии, обычно
этот этап проходил в форме фронтального опроса учащихся.
На каждую тему я отвела два занятия: первое- изучение нового
материала и первичное закрепление; второе- закрепление и мониторинг.
Изучение нового материала проходило в форме беседы (темы 2,4,6)
или в форме лекции (темы 1,3,5). Очень интересно детям было проводить
эксперименты с монетой, кубиком. Для того, чтобы дети не «подделывали»
результаты эксперимента (дети быстро утомляются при одной и той же
деятельности) каждому ученику отводилась своя небольшая серия опытов,
после чего все эти серии объединялись в одну.
Закрепление изученного материала проходило фронтально, а учащиеся,
которые усвоили материал, выполняли дополнительные задания. Ими было
проведено исследование списков учащихся школы и выяснено следующее:
-каким является событие А={в школе есть ученики с совпадающими
днями рождения};
-какова вероятность того, что взятая наугад школьница лена?
Хочется отметить, что учащиеся всегда приходили на занятия
подготовленными. Факультативные занятия носили, как обучающую,
развивающую, так и воспитывающую роль: приучали детей к труду,
самостоятельной работе, взаимопомощи, коллективной работе, умению
отстоять свою точку зрения. Дети были активны на занятиях, выполняли все
предъявляемые требования.
На последнем занятии я провела проверочную работу, которая
показала следующее:
-все учащиеся умеют различать случайные, достоверные, невозможные
события, строить вероятностную шкалу, считать абсолютную частоту,
проводить серию опытов и фиксировать их результат;
-70-80% учащихся умеют считать относительную частоту, высчитывать
вероятность, пользуясь статистическим и классическим определением
вероятности. (Подробнее в таблице на стр. 90)
Таким образом, количественная успеваемость составляет 100%, а
качественная-70%, тогда как общее качество составляет 50%. Из этого можно
сделать вывод, что поставленные мною цели факультативных занятий
достигнуты.
Считать относительную
частоту
Проводить серию опытов и
фиксировать результат
№
Ф.И.ученика
1
Бредихин Дима
+
+
+
+
+
+
+
5
2
Волкова Алёна
+
+
+
+
3
3
Дмитрюк Юля
+
+
+
+
+
+
+4
4
Ермакова Маша
+
+
+
+
+
+
+
5
5
Ерохина Аня
+
+
+
+
+
+
+
5
6
Епанчинцева Вера
+
+
+
+
+
+
+
5
7
Зазуля Вика
+
+
+
+
+
+
+
5
8
Ставский Костя
+
+
+
+
+
++4
9
Федосов Саша
+
+
+
+
+
+3
10 Якушева Женя
+
+
+
+
3
умения
отметка
Вычислять вероятность,
пользуясь классическим
определением вероятности
Вычислять вероятность,
пользуясь статистическим
определением вероятности
Считать абсолютную частоту
Строить вероятностную
шкалу
различать случайные,
достоверные, невозможные
события
Результаты проверочной работы
Заключение
Решив поставленные задачи, можно сделать следующие выводы, что при
изложении первой части дипломной работы было достигнуто достаточно полное
разъяснение основных принципов теории вероятностей и истории возникновения и
становления данной теории.
Проведенный во второй части анализ действующих в школе учебников по
математики показывает, что изложенная в них теория вероятностей доступна для
понимания и усвоения школьников. Тот материал, который изложен в учебниках,
довольно широко раскрывает школьникам основные понятия и положения теории
вероятностей. Недостающие сведения по теории вероятностей можно получить из
дополнительной литературы.
Недостатком материала, изложенного в этих учебниках, на мой взгляд, является то,
что изучения теории вероятностей носит необязательный характер, и что при недостатке
учебных часов учитель может опустить данную тему. Но я надеюсь, что начатая
Министерством образования модернизация содержания математического образования
будет закончена и в школьные программы будут включены элементы статистики и теории
вероятностей.
На основании изученной литературы был разработан факультатив для 6-го класса,
в котором изложены основные понятия теории вероятностей. В нем присутствует не
только теория, но так же подобранны задачи, иллюстрирующие основные теоретические
положения. Тема факультатива выходит за рамки принятого программного минимума по
математике, тем самым способствует развитию у детей новых представлений об этой
науке и вызывает интерес к математике.
Приобретенный учеником минимум знаний по теории вероятностей может быть
использован для решения различных житейских задач, которые он может придумать и
сам, а так же на полученной основе возможность углубить эти знания и, конечно же,
поможет при работе в центре «Исследователь».
Моя дипломная работа является лишь одним «звеном» в моей работе в школе,
поэтому работа в этом направлении не прекращается, а будет продолжаться и учащиеся,
окончив
школу,
будут
обладать
вероятностным
мышлением
и
смогут
ориентироваться в нашем вероятностном мире.
Таким образом, я считаю, что выполнила все поставленные мной задачи.
легко
Приложения.
Приложение 1.
Методика Мюнстенберга.
Инструкция.
Среди буквенного текста имеются слова. Ваша задача, как можно
быстрее считывая текст, подчеркнуть эти слова. Время работы – 2 минуты.
Пример: рюклбюсрадостьуфркнп.
бсолнцевтргщоцэрайонзгучновостьъэьгчяфактьуэкзаментрочягщ
шгцкппрокуроргурсеабетеорияемтоджебьамхоккейтройцафцуйгахт
телевизорболджщзхюэлгщьбпамятьшогхеюжипдргщхщнздвосприятие
йцукендшизхьвефыпролдблюбовьабфырплослдспектакльячсинтьбюн
бюерадостьвуфциеждлоррпнародшалдьхэшщгиернкуыфйшрепортажэк
ждорлафывюфбьконкурсйфнячыувскапрличностьзжеьеюдшщглоджин
эпрплаваниедтлжэзбьтрдшжнпркывкомандаяшлдкуйфотчаяниейфрлнь
ячвтлжэхъгфтасенлабораториягшдщнруцтргшчтлроснованиезхжьб
Приложение 2.
Опросник «Направленность на творчество».
Если бы у вас был выбор, то вы бы предпочли?
1.
2.
3.
4.
а) читать книгу
0
б) сочинять книгу
2
в) пересказывать содержание книги друзьям
1
а) выступать в роли писателя
2
б) выступать в роли читателя
0
в) выступать в роли критика
1
а) рассказывать всем о прочитанном на уроке
0
б) не рассказывать об этом никому
1
в) прокомментировать то, что прочитал
2
а) придумывать новые темы сочинений
2
5.
6.
7.
б) писать, используя испытанные темы
0
в) искать темы хорошо раскрытые в литературе
1
а) исполнять указания учителя
0
б) давать поручения одноклассникам
2
в) быть помощником учителя
1
а) работать на уроке каждому за себя
2
б) работать на уроке, где можно проявить себя
1
в) работать всем классом
0
а) смотреть интересный фильм дома
1
б) читать книгу
2
в) проводить время в компании друзей
0
14-10 высокий, 9-4 средний, 3-0 низкий.
Приложение 3.
Опросник «Стремление к познанию нового».
Выберите тот ответ, который соответствовал бы Вашему поступку в
предложенных ниже ситуациях (заполняется символ ответа в карточках)
1. Среди предложенных на уроках внеклассного чтения заданий я выбираю
а) оригинальное
2
б) трудное
1
в) простое
0
2. Если бы я написал сочинение, то выбрал бы для него название:
а) красивое
1
б) точное
0
в) необычное
2
3. Когда я пишу сочинение, то
а) подбираю слова как можно проще
0
б) стремлюсь употребить те слова, которые привычны для слуха и 1
хорошо отражают мо мысли.
в) стараюсь употребить новые, оригинальные для меня слова.
2
4. Мне хочется, чтобы на уроках литературы:
а) все работали
1
б) было весело
0
в) было много нового
2
5) Для мня при общении во время совместной работы на уроке главное:
а) хорошее отношение товарищей
0
б) возможность узнать новое («родство душ»)
2
в) взаимопомощь
1
6) Если бы я был учителем литературы, то:
а) стремился бы к тому, чтобы все мои ученики получали хорошие 0
оценки и были довольны
б) придумывал бы новые уроки и задания
2
в) старался бы хорошо провести
1
7. Из трех предложенных книг я бы выбрал:
а) приключенческий роман
0
б) научно-популярную книгу
1
в) фантастический роман о космосе
2
8) если бы я отправился в путешествие, то выбрал бы:
а) наиболее удобный маршрут
0
б) неизвестный маршрут
2
в) маршрут, который хвалили мои друзья
1
16-13 высокий, 12 – 8 средний, 7 – 0 низкий.
Приложение 4.
Самооценка (контрольный опрос)
При ответе ставите в карточку если:
а) да – 2;
б) трудно сказать – 1;
в) нет – 0.
1.
Мне нравится сочинять фантастические истории.
2.
Могу представить себе то, чего не бывает на свете.
3.
Буду участвовать в той работе на уроке, которая для меня нова.
4.
Быстро нахожу решения в трудных ситуациях.
5.
При выполнении задания мне трудно выделить главную задачу.
6.
Убедительно могу доказать свою правоту.
7.
Могу легко составить план сочинения.
8.
У меня часто рождаются интересные мысли и идеи.
9.
Мне интереснее что-то придумывать, чем запоминать.
10. Стремлюсь всегда вступить в то дело, где могу проявить свое
творчество.
11. Мне нравиться организовывать своих товарищей на интересные
дела.
12. Для меня очень важно как оценивают мой труд окружающие.
13. Когда обсуждается произведение, стараюсь иметь свое мнение.
14. Часто не могу понять, почему плохо выполнил работу.
15. Стараюсь
дать
оценку
прочитанному
на
основе
своих
собственных убеждений.
16. Могу объяснить, почему мне нравится или нет литературное
произведение.
Приложение 5.
Аспект межличностного отношения между учителем и учеником
(баллы: 0,1,2,3) (таблица составлена Р.Г. Чураковой)
№ Вопросы
1. Содержание самого предмета меня интересует
2. Предмет интересно преподается
3. Вызывает уважение учитель и эго эрудиция
4. Предмет имеет большое практическое значение
5. Учитель пробуждает к самостоятельному поиску на уроке
Математика
6. Предмет необходим для дальнейшей учебы
7. предмет легко дается
Подсчитать баллы:
3+1+2+0+1+1+2
10
7х3
=21 =0,47
Оптимальный уровень – 0,8<0n<1
Допустимый уровень 0,6<Д.ур.<0,8
Критический уровень 0,3<К. ур. <0,6
0,47 – критический уровень – за счет чего смотрим параметры 2,3,5.
1+2+1 = 5 = 0,5 не сложились отношения с учителем.
3х3
Приложение 6.
Исследование концентрации внимания.
Инструкция: Вам предложен тест с изображенным на нем квадратом,
треугольником, кругом и ромбом. По сигналу «начали» расставьте как можно
быстрее и без ошибок следующие знаки в эти геометрические фигуры: в
квадрат – плюс, в треугольник минус, в кружок ничего не ставьте и в ромб –
точку. Знаки расставьте подряд построчно. Время на работу отпущено 60
секунд. По моему сигналу «стоп» расставлять знаки прекратите.
Обработка и анализ результатов.
Результатом
тестирования
является:
количество
обработанных
испытуемым за 60 с. геометрических фигур, считая и кружок, и количество
допущенных ошибок.
Уровень концентрации внимания определяют по таблице.
Число обработанных фигур Ранг Уровень концентрации внимания
100
1
Высокий
91-99
2
Высокий
80-90
3
Высокий
65-79
4
Средний
64 и меньше
5
Низкий
За допущенные ошибки при выполнении задания ранг снижается. Если
ошибок 102, то ранг снижается на единицу, если 3-4 – на 2 ранга
концентрация внимания считается хуже, а если ошибок больше 4, то на три
ранга.
+
.
-
Приложение 7.
Темп и работоспособность.
Важно:
1.
в точности повторить размер квадратов (два ряда по три квадрата,
каждый из них 4 на 4 сантиметра, а вместе они составляют общий
прямоугольник 8 на 12 см.)
2.
объяснить ребенку, что прямоугольник заполняется в порядке,
пронумерованном цифрами от 1 до 6.
3.
при выполнении теста ребенок не должен облокачиваться на стол,
рука должна быть на весу.
4.
на заполнение каждого квадрата отводится 5 секунд
Инструкция: Перед каждым из вас лист с пронумерованными
квадратами.
Сейчас вы будете стучать карандашом по квадратам в указанном
порядке от 1 до 6 заполняя каждый квадрат просто точками. При этом нельзя
облокачиваться на стол, рука должна быть на весу. Переходить к
следующему квадрату можно только по команде «дальше». Начинаем
работать – стучать – по команде «начали». На каждый квадрат отводится по 5
сек., а потом, напоминаю, по команде «дальше» переходим к следующему
квадрату. Ваша задача поставить в квадрате как можно больше точек. Итак,
все готовы? Начали!
Подсчитайте количество точек в каждом квадрате и запишите. Затем
подсчитайте среднее количество точек для 6 квадратов (для этого сложите
количество точек в каждом квадрате и разделите на 6).
1
2
3
4
5
6
Обработка результатов для детей 12-15 лет.
24 точек и меньше – медленный темп.
25-30 точек – нормальный, средний темп.
30 точек и больше – ребенок умеет и может работать в очень быстром
темпе.
Приложение 8.
Оценка уровня школьной мотивации учащихся.
1. Тебе нравится в школе или не очень?
а) не очень
б) нравится
в) не нравится
2. Утром, когда ты просыпаешься, ты всегда с радостью идешь в
школу?
а) чаще хочется остаться дома.
б) бывает по разному.
в) иду с радостью.
3. Если бы учитель сказал, что завтра в школу не обязательно
приходить всем ученикам, желающим можно остаться дома, ты пошел бы в
школу или остался дома?
а) не знаю
б) остался бы дома
в) пошел бы в школу.
4. Тебе нравится когда у вас отменяют какие-нибудь уроки?
а) не нравится
б) бывает по разному
в) нравится
5. Ты хотел бы, чтобы тебе не задавали домашних заданий?
а) хотел бы
б) не хотел бы
в) не знаю
6. Ты хотел бы, чтобы в школе остались одни перемены?
а) не знаю
б) не хотел бы
в) хотел бы.
7. Ты часто рассказываешь о школе родителям?
а) часто
б) редко
в) не рассказываю
8. Ты хотел бы, чтобы у тебя был строгий учитель?
а) не знаю
б) хотел бы
в) не хотел бы
9. У тебя в классе много друзей?
а) мало
б) много
в) нет друзей
10. Тебе нравятся твои одноклассники?
а) нравятся
б) не очень
в) не нравятся
№ вопроса Оценка за 1-й ответ Оценка за 2-й ответ Оценка за 3-й ответ
1
1
3
0
2
0
1
3
3
1
0
3
4
3
1
0
5
0
3
1
6
1
3
0
7
3
1
0
8
1
0
3
9
1
3
0
10
3
1
0
1. 25-30 баллов – высокий уровень школьной мотивации.
2. 20-24 балла – хороший уровень школьной мотивации
3. 15-19 баллов – положительное отношение к школе, но школа
привлекает больше внеучебными сторонами (внешняя мотивация)
4. 10-14 баллов низкая школьная мотивация.
5. ниже 10 баллов негативное отношение к школе, школьная
дезадаптация.
Приложение 9.
Определение видов памяти (методика А.В. Петровского)
Слуховая Зрительная Комбинированная
Самолет
Дирижабль
Волк
Чайник
Лампа
Бочка
Бабочка
Яблоко
Коньки
Ноги
Карандаш
Самовар
Хомут
Гроза
Пила
Бревно
Утка
Весло
Свеча
Обруч
Загадка
Тачка
Мельница
Кафтан
Журнал
Попугай
Прогулка
Машина
Листок
Книга
Нормальным объемом памяти считается запоминание 5-9 слов.
Литература
1. К.А. Рыбников, История математики.
2. А.П. Юшкевич, История математики. Том III.
3. Н.А. Бурова, История математики.
4. В.А. Лютикас, Факультативный курс по математике. Теория
вероятностей.
5. Г.И. Глейзер, История математики в средней школе.
6. Б.В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России.
7. Программа по математике для общеобразовательных учреждений.
8. Г.Ф. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Математика -5.
9. Г.Ф. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Математика – 6.
10. А.А. Никитин, Математика 10-11.
11. Г.М. Серегин, А.Ж. Жафяров, Математика -6.
12. Г.В. Горелова, И.А. Кацко, Теория вероятностей и математическая
статистика.
13. М.Б. Балк, Г.Д. Балк, Математика после уроков.
14. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев, Вероятность и статистика.
15. В.А. Гусев и др., Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.
16. И.Л. Никольская, Факультативный курс по математике 7-9.
17. Р. Грешем и др., Конкретная математика.
18. А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, Введение в теорию вероятностей.
19. Б.В. Гнеденко, Основы теории вероятностей.
20. А.С. Солодовников, Теория вероятностей.
21. Газета «Математика» приложение к газете «Первое сентября»,
2002г. №4, 2003г. №4, №5, 2004г. №6,
22. Вестник Образования России, 2003г. №21
23. В.Д. Степанов, Активизация внеурочной работы по математике в
средней школе.
24. А.А. Боровков, Курс теории вероятностей.