1. Цели освоения дисциплины - Московская академия экономики

Реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОУ ВПО «МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»
Рязанский филиал
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УВР
_____________________
Ястребкова Л.В.
10 сентября 2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 3
Теория вероятностей и математическая статистика
Направление подготовки
38.03.02 «Менеджмент»
Профиль подготовки
«Финансовый менеджмент»
Квалификация (степень) выпускника
Академический бакалавр
Форма обучения
Очная, очно-заочная, заочная
Рязань
2014
Оглавление
1. Цели освоения дисциплины ..............................................................................................3
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ......................................................3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля)...............................................................................................................................3
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) .............................................................6
5. Образовательные технологии .........................................................................................14
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов ...............................................................................15
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины: (модуля) .....45
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) .................................48
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины являются:
- дать минимально-достаточные знания по данному разделу математики с тем,
чтобы подготовить необходимый фундамент для дальнейшего усвоения студентами
ряда прикладных задач из теории управления, теории массового обслуживания и т.д.
- формирование у студентов научного математического мышления, умения
применять математический аппарат для исследований экономических процессов.
- формирование у студентов навыков обработки статистических данных при
исследований экономических процессов
- научить студентов использовать компьютерные программы для обработки
статистических данных
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математика. Ч.3» является базовой дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по
направлению 38.03.02 Менеджмент (Бакалавр).
Дисциплина базируется на знаниях, полученных в рамках, курсов «Математика. Часть 1 и 2», «Информатика».
Дисциплина «Математика. Ч.3» является общим теоретическим и методологическим основанием для всех математических и управленческих дисциплин, входящих в ООП бакалавра менеджмента.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
– владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-15).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- классификацию событий;
- сумму, произведение событий, их свойства; графическое представление;
- различные определения вероятности;
- зависимые и независимые, совместные и несовместные события;
- условную вероятность;
- формулы сложения и умножения вероятностей событий;
- схему Бернулли проведения испытаний. Биномиальную вероятность;
- случайную величину. Дискретную и непрерывную случайные величины.
Функцию распределения;
- закон распределения дискретной случайной величины. Полигон;
- дифференциальный и интегральный законы распределения непрерывной случайной величины;
- связь между плотностью вероятности и функцией распределения;
- формулы для вероятности попадания случайной величины на отрезок на основе плотности вероятности или функции распределения;
3
- свойства плотности вероятности и функции распределения;
- законы распределения: биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный;
- функцию Лапласа, ее производную, графики;
- числовые характеристики случайной величины: положения (математическое
ожидание, медиана, мода, квантили), рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое
отклонение);
- двумерная случайная величина непрерывного типа, закон ее распределения;
- плотность вероятности и функция распределения. Связь между ними;
- зависимость и независимость двух случайных величин;
- корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции двух;
- начальные и центральные моменты одномерной и двумерной случайных;
- понятие об n -мерой случайной величине;
- центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых;
- формулу умножения вероятностей для любых событий;
- формулу сложения вероятностей для взаимно независимых событий;
- формулы полной вероятности и Байеса;
- формулу Бернулли для биномиальной вероятности;
- предельную теорему Пуассона;
- общие свойства математического ожидания и дисперсии (выборочно);
- математическое ожидание и дисперсия для законов распределения: биномиального, Пуассона, равномерного, показательного, нормального;
- свойства коэффициента корреляции двух случайных величии ;
- неравенство Чебышева;
- предельную теорему Бернулли для относительной частоты события. Формулу
сложения вероятностей для двух любых событий;
Уметь использовать:
- понятие случайного события и его вероятность;
- основные понятия о частоте и статистической вероятности события;
- основные правила умножения и сложения вероятностей;
- в примерах основные правила теории вероятностей;
- понятия дискретных и непрерывных случайных величинах и законах их распределения;
- числовые характеристики непрерывных и дискретных величин и уметь их
находить;
- важнейшие распределения дискретных и непрерывных случайных величин и
уметь их применять в решении задач;
- понятие случайного события и его вероятность;
- основные понятия о частоте и статистической вероятности события;
- основные правила умножения и сложения вероятностей;
- использовать в примерах основные правила теории вероятностей;
- понятия дискретных и непрерывных случайных величинах и законах их распределения;
- числовые характеристики непрерывных и дискретных величин и уметь их
находить;
- важнейшие распределения дискретных и непрерывных случайных величин и
уметь их применять в решении задач;
4
- понятия о системе двух случайных величин;
- находить числовые характеристики системы двух случайных величин;
- применять закон больших чисел и центральную предельную теорему;
- понятия о статистических оценках параметров распределения о системе двух
случайных величин;
- находить числовые характеристики системы двух случайных величин;
- применять закон больших чисел и центральную предельную теорему;
- понятия о статистических оценках параметров распределения;
Владеть навыками:
- решения задач на непосредственное вычисление вероятности;
Выражать одни события через другие на основе алгебры событий.
- применения теорем сложения и умножения вероятностей;
Вычислять вероятности событий по заданным вероятностям на основе алгебры
вероятностей
- нахождения вероятности событий с использованием формулы полной вероятности, формулы Бернулли, формулы Бейеса, теорем Лапласа;
- нахождения числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных
величин;
- решения задач на законы распределения случайных величин;
- решение задач с использованием закона больших чисел;
- решение задач с использованием системы двух дискретных случайных величин и системы двух непрерывных случайных величин;
- нахождения числовых характеристик системы двух случайных величин;
- статистической оценки параметров распределения;
- нахождения доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения;
- отыскания параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии и коэффициента корреляции.
- понятия случайного события и его вероятности;
- выражения одних событий через другие на основе алгебры событий;
- вычисления вероятности событий на основе классического определения;
- вычисления вероятности событий по заданным вероятностям на основе алгебры вероятностей;
- вычисления вероятности событий на основе закона распределения;
- по плотности вероятности находить функцию распределения и наоборот для
одномерного и двумерного законов;
- находить математическое ожидание и дисперсию одномерной случайной величины по ее закону распределения.
5
4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
Теория вероятностей
1 Случайные события. Основные понятия
теории вероятностей.
2 Теорема сложения вероятностей.
3 Теорема умножения вероятностей.
4 Следствии теорем сложения и умножения.
5 Повторение испытаний.
6 Случайные величины.
Задание дискретная случайной величины.
7 Математическое ожидание дискретной
случайной величины.
8 Дисперсия дискретной случайной величины.
9 Закон больших чисел.
10 Основные распределения дискретных
случайных величин
11 Функция распределения вероятностей
случайной величины.
12 Плотность распределений вероятностей
непрерывной случайной величины.
13 Основные распределения непрерывных
случайных величин
Математическая статистика
14 Выборочный метод
15 Статистические оценки параметров распределения.
16 Методы расчета свободных характеристик выборки.
17 Элементы теории корреляции.
18 Статистическая проверка статистических
6
Формы текущего
контроля успеваемости
Форма промежуточной аттестации
Самост.
работа
Лекции
Раздел
дисциплины
Виды учебных
занятий, включая
контактную работу с преподавателем и самостоятельную работу
обучающихся
(в академ.часах)
Семин.,
практич. занятия
Семестр
№ темы
Общая трудоемкость дисциплины «Математика» составляет 12 зачетных единиц,
432 акад.часа, трудоемкость 3 части дисциплины, приведенной в настоящей программе, составляет 4 зачетных единицы, 144 акад.часа.
(очная форма обучения)
Контр.работа
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
5
Тестирование
1
1
5
5
Тестирование
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
1
1
5
Тестирование
5
Контр. работа
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
5
Тестирование
Тестирование
1
1
1
1
3
3
3
1
1
гипотез.
19 Однофакторный дисперсионный анализ.
Метод Монте-Карло.
20 Первоначальные сведения о цепях Маркова.
Случайные функции.
21 Стационарные случайные.
22 Элементы спектральной теории стационарных случайных функций.
ИТОГО: 144 акад.часа
3
3
3
3
3
3
1
1
2
2
18
18
5
Тестирование
5
Тестирование
4
Тестирование
4
Тестирование
108
Экзамен
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Теория вероятностей
Случайные события. Основные понятия
теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей.
Следствии теорем сложения и умножения.
Повторение испытаний.
Случайные величины.
Задание дискретная случайной величины.
Математическое ожидание дискретной
случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Закон больших чисел.
Основные распределения дискретных
случайных величин
Функция распределения вероятностей
случайной величины.
Плотность распределений вероятностей
непрерывной случайной величины.
Основные распределения непрерывных
случайных величин
Математическая статистика
Выборочный метод
Статистические оценки параметров распределения.
7
Формы текущего
контроля успеваемости
Форма промежуточной аттестации
Самост.
работа
Лекции
Раздел
дисциплины
Виды учебных
занятий, включая
контактную работу с преподавателем и самостоятельную работу
обучающихся
(в академ.часах)
Семин,
практич.
занятия
Семестр
№ темы
(очно-заочная форма обучения)
Контр.работа
3
3
3
3
1
2
1
2
3
3
3
1
2
3
3
3
1
3
3
3
1
5
5
Тестирование
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Контр. работа
Тестирование
5
Тестирование
2
3
1
Тестирование
2
3
1
5
2
2
16 Методы расчета свободных характеристик выборки.
17 Элементы теории корреляции.
18 Статистическая проверка статистических
гипотез.
19 Однофакторный дисперсионный анализ.
Метод Монте-Карло.
20 Первоначальные сведения о цепях Маркова.
Случайные функции.
21 Стационарные случайные.
22 Элементы спектральной теории стационарных случайных функций.
ИТОГО: 144 акад.часа
3
1
2
3
3
1
3
3
3
3
3
3
1
2
2
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
5
Тестирование
Тестирование
5
Тестирование
1
2
4
Тестирование
Тестирование
1
2
4
Тестирование
12
24
108
Экзамен
Лекции
Раздел
дисциплины
Виды учебных
занятий, включая
контактную работу с преподавателем и самостоятельную работу
обучающихся
(в академ.часах)
Теория вероятностей
1 Случайные события. Основные понятия
теории вероятностей.
2 Теорема сложения вероятностей.
3 Теорема умножения вероятностей.
4 Следствии теорем сложения и умножения.
5 Повторение испытаний.
6 Случайные величины.
Задание дискретная случайной величины.
7 Математическое ожидание дискретной
случайной величины.
8 Дисперсия дискретной случайной величины.
9 Закон больших чисел.
10 Основные распределения дискретных
случайных величин
11 Функция распределения вероятностей
случайной величины.
12 Плотность распределений вероятностей
непрерывной случайной величины.
13 Основные распределения непрерывных
Семин.
практич.
занятия
Самост.
работа
Семестр
№ темы
(заочная форма обучения)
Формы текущего
контроля успеваемости
Форма промежуточной аттестации
Контр.работа
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
8
Тестирование
6
6
6
Тестирование
Тестирование
6
6
Тестирование
6
Тестирование
6
Тестирование
6
6
Тестирование
6
Тестирование
6
Тестирование
6
Тестирование
1
2
2
6
1
Тестирование
Тестирование
Тестирование
14
15
16
17
18
19
20
21
22
случайных величин
Математическая статистика
Выборочный метод
Статистические оценки параметров распределения.
Методы расчета свободных характеристик выборки.
Элементы теории корреляции.
Статистическая проверка статистических
гипотез.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Метод Монте-Карло.
Первоначальные сведения о цепях Маркова.
Случайные функции.
Стационарные случайные.
Элементы спектральной теории стационарных случайных функций.
ИТОГО: 144 акад.часа
2
1
2
5
2
1
2
2
1
5
5
1
2
2
2
0,5
2
2
2
5
5
1
1
0,5
4
1
14
Контр. работа
Тестирование
Тестирование
Тестирование
Тестирование
5
Тестирование
Тестирование
6
Тестирование
6
6
126
Тестирование
Тестирование
Тестирование
Экзамен
Случайные события
Основные понятия теории вероятностей
Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственно го вычисления вероятностей. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности.
Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
Теорема умножения вероятностей
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула включений и исключений
Следствии теорем сложения и умножения
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Условные вероятности.
Формула полной вероятности, вероятность гипотез, теорема Байеса.
Повторение испытаний
Перестановки и сочетания с повторениями. Применение формул комбинаторики
к вычислению вероятностей. Формула Бернулли и распределение Пуссона. Локальная
теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения
относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
9
Случайные величины
Задание дискретная случайной величины
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое
ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического
ожидания. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа
появлений события в независимых испытаниях.
Дисперсия дискретной случайной величины
Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства
дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. Среднее
квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин. Одинаково распределенные взаимно независимые
случайные величины. Начальные и центральные теоретические моменты.
Закон больших чисел
Предварительные замечания. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева Сущность теоремы Чебышева Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Функция распределения вероятностей случайной величины
Определение функции распределения. Свойства функции распределения. График функции распределения.
Плотность распределений вероятностей непрерывной
случайной величины
Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по
известной плотности распределения. Свойства плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения. Закон равномерного распределения вероятностей.
Нормальное распределение
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на
форму нормальной кривой. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной
случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех
сигм. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы.
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и
эксцесс. Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое
ожидание функции одного случайного аргумента. Функция двух случайных аргумен10
тов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения. Распределение «хи квадрат». Распределение Стьюдента. Распределение F
(Фишера — Снедекора).
Показательное распределение
Определение показательного распределения. Вероятность попадания в заданный
интервал показательно распределенной случайной величины. Числовые характеристики показательного распределения. Функция надежности. Показательный закон
надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности.
Система двух случайных величин
Понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины. Свойства функции распределения двумерной случайной
величины. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности). Нахождение функции распределения системы по известной плотности
распределения. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Свойства двумерной
плотности вероятности. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины. Условные законы распределения составляющих системы
дискретных случайных величии. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величии. Условное математическое ожидание. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем двух
случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на
плоскости. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Линейная корреляция. Нормальная корреляция.
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Задачи математической статистики. Краткая историческая справка. Генеральная
и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная
выборка. Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая
функция распределения. Полигон и гистограмма.
Статистические оценки параметров распределения
Статистические опенки параметров распределения. Несмещенные, эффективные
к состоятельные оценки. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней Устойчивость выборочных средних. Групповая и общая средние. Отклонение от обшей средней и его свойство. Генеральная
дисперсия. Выборочная дисперсия. Формула для вычисления дисперсии. Групповая,
внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии. Сложение дисперсий. Опенка
генеральной дисперсии по исправленной выборочной. Точность опенки, доверительная вероятность (надежность) Доверительный интервал. Доверительные интервалы
для оценки математического ожидания нормального распределения при известной
11
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения При неизвестной
Оценка истинного значения измеряемой величины. Доверительные интервалы
для оценки среднего квадратического отклонения о нормального распределения.
Оценка точности измерений. Оценка вероятности (биномиального распределения) по
относительной частоте. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного
ряда.
Методы расчета свободных характеристик выборки
Условные варианты. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты. Условные эмпирические моменты Отыскание центральных моментов по условным. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Сведение первоначальных вариантов к равноотстоящим. Эмпирические и выравнивающие
(теоретические) частоты. Построение нормальной кривой по опытным данным. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального Асимметрия и эксцесс.
Элементы теории корреляции
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные
средние. Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного
уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным. Корреляционная таблица. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции. Пример на
отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи. Выборочное корреляционное отношение. Свойства выборочного корреляционного отношения. Корреляционное
отношение как мера корреляционной Достоинства и недостатки этой меры. Простейшие случаи криволинейной корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Статистическая проверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия
гипотез. Критические точки. Отыскание правосторонней критической области. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей. Дополнительные сведения о выборе критической области Мощность критерия. Сравнение двух дисперсий
нормальных генеральных совокупностей. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки). Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки). Сравнение двух
средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и
одинаковы (малые независимые выборки). Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Связь между двусторонней
критической областью и доверительным интервалом. Определение минимального
объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних.
Пример на отыскание мощности критерия. Сравнение двух средних нормальных ге12
неральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки). Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений. Сравнение
нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема Критерий Бартлетга. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема Критерий Кочрена. Проверка гипотезы в значимости выборочного коэффициента корреляции. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Критерий согласия
Пирсона. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его
значимости. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка
гипотезы о его значимости. Критерий Внлкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок.
Однофакторный дисперсионный анализ
Сравнение нескольких средних Понятие о дисперсионном анализе. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений. Связь между обтек, факторной и
остаточной суммами. Общая, факторная и остаточная дисперсии. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа. Неодинаковое число испытаний на
различных уровнях.
Метод Монте-Карло. Цепи Маркова
Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло
Предмет метода Монте-Карло. Оценка погрешности метода Монте-Карло. Случайные числа. Разыгрывание дискретной случайной величины. Разыгрывание противоположных событий. Разыгрывание полной группы событий. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций. Метод суперпозиции. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины.
Первоначальные сведения о цепях Маркова
Цепь Маркова. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица
перехода. Равенство Маркова.
Случайные функции
Случайные функции
Основные задачи. Определение случайной функции. Корреляционная теория
случайных функций. Математическое ожидание случайной функции. Свойства математического ожидания случайной функции. Дисперсия случайной функции. Свойства
дисперсии случайной функции. Целесообразность введения корреляционной функции. Корреляционная функция случайной функции. Свойства корреляционной функции. Нормированная корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция.
Свойства взаимной корреляционной функции. Нормированная взаимная корреляционная функция. Характеристики суммы случайных функций. Производная случайной
функции и ее характеристики. Интеграл от случайной функции и его характеристики.
Комплексные случайные величины и их числовые характеристики. Комплексные случайные функции и их характеристики.
13
Стационарные случайные
Определение стационарной случайной функции. Свойства корреляционной
функции стационарной случайной функции. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции. Стационарно связанные случайные функции.
Корреляционная функция производной стационарной случайной функции. Взаимная
корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции. Определение
характеристик эргодических стационарных случайных функций из опыта Задачи.
Элементы спектральной теории стационарных случайных функций
Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. Дискретный спектр стационарной случайной функции. Непрерывный спектр стационарной случайной функции
Спектральная плотность. Нормированная спектральная плотность. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций.
Дельта-функция. Стационарный белый шум. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой.
5. Образовательные технологии
Образовательные технологии, используемые при реализации различных видов
учебной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
предусматривают широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.
В учебном процессе широко применяются компьютерные технологии. Поэтому
все занятия проводятся в компьютерном классе с интерактивной доской. Все занятия
обеспечены демонстрационными материалами, с помощью которых можно не только
визуализировать излагаемый материал, но производить расчёты, которые существенно ускоряют решения задач на семинарских занятиях.
Установленные междисциплинарные связи с курсом информатики позволяют
студентам использовать электронные таблицы Excel с подгруженными надстройками
ToolPak и «Поиск решения» при решении задач, требующих больших объёмов вычислений. Особенно это касается всех тем раздела «Математическая статистика».
Кафедрой разработана программа, позволяющая генерировать задачи на исследование случайных величин и случайных функций. Процесс решения таких задач визуализирован и позволяет студентам в процессе решения увидеть результаты решений как статически, пошагово и в режиме реального времени.
Кафедрой также собрана система электронных пособий, включающая также
электронный учебник.
14
Интерактивные формы проведения занятий
13
14
15
18
Заочная форма
обучения
4
5
12
Очно-заочная
форма обучения
1
Очная форма
обучения
№ раздела
Количество акад.часов
Лекциядискуссия
Кейс-стади
Кейс-стади
Кейс-стади
1
1
-
2
2
2
2
2
2
1
1
Кейс-стади
2
2
1
Кейс-стади
Кейс-стади
2
3
2
3
1
1
4
4
1
18
18
6
Вид интерактивной формы
проведения занятий
Раздел дисциплины
Случайные события. Основные понятия теории
вероятностей.
Следствии теорем сложения и умножения.
Повторение испытаний.
Плотность распределений вероятностей непрерывной случайной величины.
Основные распределения непрерывных случайных величин
Выборочный метод
Статистические оценки параметров распределения.
Статистическая проверка статистических гипотез.
Итого
Количество академических часов, проводимых в интерактивной форме, составляет 18 акад.час. (очная и очно-заочная формы обучения), 6 акад.час. (заочная форма
обучения).
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое
обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа по данному курсу состоит из двух частей:
1. Изучение теоретических основ курса, используя источники, данные в списке литературы, а также электронное учебное пособие, содержащееся в электронной версии
данного учебно-методического комплекса.
Контроль осуществляется с помощью:

выполнения контрольных работ;

ответов на вопросы теста;

подготовки ответов на вопросы подготовки к экзамену.
2. Подготовки к семинарским занятиям. Ниже приводятся задачи, которые необходимо самостоятельно решить к моменту проведения соответствующего семинара.
Система контроля освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» основывается на комплексной оценке работы студентов, которая
учитывает его посещения занятий, активность, выполнение заданий, а также качество
выполнения двух контрольных работ, предусмотренных в учебном плане.
Создана система контрольных заданий, позволяющая осуществлять проводить
фронтальный контроль знаний на каждом практическом занятии. В результате студент получает оценку каждом занятии, которая заносится в электронный журнал.
Оценки студентов на практических занятий анализируются преподавателем в конце
15
семестра, и они являются основой бальной оценки работы студентов, о которой говорилось выше.
Текущая аттестация (текущий контроль). Формами текущего контроля знаний
студентов по данной дисциплине являются две контрольные работы и тестирование.
Контроль самостоятельной работы осуществляется преподавателями во время проведения семинаров, при этом в конце каждого семинара студент получает оценку за выполнение индивидуальной самостоятельной работы.
Промежуточная аттестация (итоговый контроль знаний по дисциплине). Формой итогового контроля знаний студентов является устный экзамен, в ходе которого
оценивается уровень теоретических знаний и навыки решения задач математического
анализа.
Формирование итоговой оценки осуществляется при помощи балльнорейтинговой системы, приведенной далее в данном разделе программы.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
2
Случайные события и основные формулы теории
вероятностей. Алгебра случайных событий. Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения и
перестановки. Нахождение классических вероятностей.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Статистически независимые случайные события и их вероятности.
Глава 1, №№
1, 3, 7, 12, 13,
15, 25, 27, 30,
31, 32, 34, 37,
40, 45
Глава 2, №№
46, 47, 48, 50,
52, 54, 59, 60,
62, 64, 70, 82,
86, 90, 92
Задачи для
самостоятельного решения
Глава 1, №№
2, 4, 8, 14, 16,
17, 24, 26, 29,
35, 36, 38, 39,
41, 43, 44
Глава 2, №№
49, 51, 53, 55,
56, 57, 58, 61,
63, 66, 71, 83,
85, 91, 95
3
Формулы Байеса. Априорные и апостериорные вероятности.
Глава 2, №№
97, 99, 101, 103,
105, 107, 109
Глава 2, №№
98, 100, 102,
104, 106, 108
Дискретные случайные величины и их характеристики. Расчет математического ожидания и дисперсии случайных величин. Функция распределения
случайной величины.
Глава 4, №№
164, 166, 170,
175, 178, 179,
181, 193, 195,
220, 221, 228
Глава 3, №№
111, 113, 115,
117, 119, 121,
123, 125, 127
Глава 6, №№
270, 272, 274,
276, 280, 296,
304, 306, 312,
Глава 4, №№
165, 167, 171,
176, 180, 182,
186, 192, 194,
222, 224, 227
Глава 3, №№
112, 114, 116,
118, 120, 122,
124, 126, 128
Глава 6, №№
271, 273, 275,
282, 289, 295,
305, 311, 315,
Глава 10, №№
501, 504, 506,
507, 508, 510,
511, 521, 523
Глава 10, №№
503, 505, 509,
513, 515, 522,
524, 525, 530
№
1
4
5
6
7
Тема занятия и его краткое содержание
Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение и его свойства.
Непрерывные случайные величины и важнейшие
законы распределения непрерывных случайных величин.
Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин по выборке. Проверка статистических гипотез.
16
Задачи,
решаемые на
семинарах
8
Связь между случайными величинами. Коэффициент корреляции. Уравнение линейной регрессии.
Метод наименьших квадратов.
Глава 12, №№
535, 540, 550,
561, 562, 580,
591, 592, 597
Глава 12, №№
536, 543, 553,
564, 565, 582,
593, 595, 598
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1
Вариант 0
1. Из полного набора домино (28 костей) одновременно случайным образом
извлекаются две костяшки. Какова вероятность, что сумма очков на них окажется
равной 5 (пяти)?
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,5
1
2
0,25
22
3
0,13
43
4
0,06
64
5
0,03
85
6
0,02
106
7

127
8
0
148
9
0
169
10
0
190
3. По данному распределению плотности вероятности непрерывной случайной
величины p(x) определить константу С и вычислить интегральную функцию
распределения,
вычислить
математическое
ожидание,
дисперсию
и
среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности
p(x) = C ( 9 – ( x – 3 )2 ) при 0 ≤ x ≤ 6 и равна нулю при всех остальных х .
4. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с параметрами а = 0 и  = 2.
Найдите интервал [  ; ], в котором эта случайная величина принимает свои возможные значения с вероятностью P( X < ) = 0,61.
5. Найти верхнюю дециль (квантиль уровня 0,9)
для распределения Стьюдента fn ( x ) = Const · ( 1 + x 2 / n ) - ( n + 1 ) / 2
с числом степеней свободы n = 1.
Вариант 1
1. Наудачу взятый телефонный номер без нуля впереди состоит из 7 цифр. Найти
вероятность того, что все цифры различны.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,02
0
2
0,07
0,56
3
0,11
1,11
4

1,67
5
0,2
2,22
6
0,23
2,78
7
0,07
3,33
8
0,09
3,86
9
0,05
4,4
10
0,02
5
3. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 3, и среднеквадратичным отклонением равным 2. Найти
выражение для плотности вероятности этой случайной величины, а также вероятность того, 1 < Х < 5.
17
4. Найти моду для распределения χ2: f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 e - x / 2
с числом степеней свободы k = 4.
5. Найти верхнюю квартиль (квантиль уровня 0,75) для F-распределения Фишера –
Снедекора f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
Вариант 2
1. Пусть имеется 500 электрических лампочек. Завод-изготовитель гарантирует, что
из них не более 2 бракованных. Оценить, какова вероятность, что из 5 выбранных
лампочек нет ни одной бракованной.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,04
0
2
0,06
2
3
0,08
4
4
0,1
6
5
0,17
8
6
0,21
10
7

12
8
0,1
14
9
0,04
16
10
0,03
18
3. По данному распределению плотности вероятности непрерывной случайной величины p(x) определить константу С и вычислить интегральную функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности p(x) = C exp( – x ) при 0 ≤ x ≤ b =ln10 и равна нулю
при всех остальных х .
4. Найти интегральную функцию распределения F ( x )
для распределения Стьюдента
fn ( x ) = Const · ( 1 + x 2 / n ) - ( n + 1 ) / 2
с числом степеней свободы n = 1.
5. Найти верхнюю дециль (квантиль уровня 0,9) экспоненциального
распределения f a ( x ) = Const · e – a x при x  0 и a = 1.
Вариант 3
1. В лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных
выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого?
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,03
1
2
0,06
2
3
0,09
3
4
0,11
4
5
0,14
5
6
0,17
6
7
0,14
7
8
0,11
8
9
0,09
9
10

10
3. По данному распределению плотности вероятности непрерывной случайной величины p(x) определить константу С и вычислить интегральную функцию распределе18
ния, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности p(x) = C exp( – x ) при 0 ≤ x ≤ b = ln20 и равна нулю
при всех остальных х .
4. Найти медиану для распределения Стьюдента
fn ( x ) = Const · ( 1 + x 2 / n ) - ( n + 1 ) / 2
с числом степеней свободы n = 1 при x  0.
5. Найти верхнюю квартиль (квантиль уровня 0,75) для F-распределения Фишера –
Снедекора f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
Вариант 4
1. Имеются два бизнес-проекта. Вероятность получения прибыли для первого бизнеспроекта равна 0,8, а для второго - 0,7. Найти общую вероятность получения прибыли.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1

2
2
0,11
4
3
0,13
6
4
0,14
8
5
0,18
10
6
0,18
12
7
0,11
14
8
0,06
16
9
0,02
18
10
0,01
20
3. По данному распределению плотности вероятности непрерывной случайной величины p(x) определить константу Сonst и вычислить интегральную функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.
Плотность вероятности 0 < p(x) = Const при 1 ≤ x ≤ b = 3 и равна нулю при всех
остальных х .
4. Найти вероятность P ( | x | < 1 ) для распределения Стьюдента
fn ( x ) = Const · ( 1 + x 2 / n ) - ( n + 1 ) / 2
с числом степеней свободы n = 1.
5. Найти нижнюю дециль (квантиль уровня 0,1)
для распределения χ2:
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 e - x / 2
с числом степеней свободы k = 2.
Вариант 5
1. На предприятии изготавливают некоторые изделия на трех поточных линиях. На
первой производят 20 % всех изделий, на второй - 30 %, на третьей 50 %. Каждая линия характеризуется следующими процентами годности изделия: 95,
98, 97 %. Требуется определить вероятности того, что:
1. Bзятое наугад изделие окажется бракованным.
2. Бракованное изделие изготовлено на 1, 2, 3-й линиях.
19
1. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат.
ожидание случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и
постройте график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,03
1
2
0,06
2
3
0,09
3
4
0,11
4
5
0,14
5
6
0,17
6
7
0,14
7
8
0,11
8
9

9
10
0,06
10
3. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчиненную
нормальному закону распределения, с гарантией на 15 лет и средним квадратическим
отклонением, равным 3 годам. Определить вероятность того, что прибор прослужит
от 10 до 20 лет.
4. Найти интегральную функцию распределения F ( x )
для распределения χ2:
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 e - x / 2
с числом степеней свободы k = 4.
5. Найти верхнюю квартиль (квантиль уровня 0,75) для F-распределения Фишера –
Снедекора f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
Вариант 6
1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:
а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,02
21
2

22
3
0,07
23
4
0,12
24
5
0,15
25
6
0,17
26
7
0,25
27
8
0,13
28
9
0,05
29
10
0,01
30
3. Распределение веса консервных банок, выпускаемых заводом, подчиняется закону
нормального распределения со средним весом 250 г и средним квадратическим отклонением, равным 5 г. Определить вероятность того, что отклонение веса банок от
среднего веса по абсолютной величине не превысит 8 г.
4. Найти медиану для F-распределения Фишера – Снедекора
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
5. Найти нижнюю квартиль (квантиль уровня 0,25)
для распределения Стьюдента fn ( x ) = Const · ( 1 + x 2 / n ) - ( n + 1 ) / 2
с числом степеней свободы n = 1.
20
Вариант 7
1. Вероятность выигрыша по одному билету денежно-вещевой лотереи равна 0,2. Какова
вероятность того, что из шести приобретенных билетов два билета окажутся выигрышными?
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,01
11
2
0,04
13
3

15
4
0,17
17
5
0,35
19
6
0,17
21
7
0,09
23
8
0,04
25
9
0,02
27
10
0,01
29
3. Случайная величина X — отклонение размера детали от стандарта — имеет нормальное распределение вероятностей со средним квадратическим отклонением, равным 0,2. Систематическая ошибка отсутствует. Найдите вероятность изготовления
детали, отвечающей требованиям стандарта, если задан допуск ± 0,5.
4. Найти вероятность P ( x < 1 ) для распределения χ2:
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 e - x / 2
с числом степеней свободы k = 2.
5. Найти нижнюю квартиль (квантиль уровня 0,25)
для F-распределения Фишера – Снедекора
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
Вариант 8
1. Пусть в закрытой урне находится 20 пронумерованных шаров одинакового размера.
Найти вероятности событий, что наудачу вытащенный шар имеет:
1. четный номер;
2. номер больший, чем 11, а также
3. вероятности суммы, разности и произведения этих событий.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0,01
11
2
0,04
13
3
0,09
15
4
0,17
17
5
0,35
19
6

21
7
0,09
23
8
0,04
25
9
0,02
27
10
0,01
29
3. По данному распределению плотности вероятности непрерывной случайной величины p(x) определить константу С и вычислить математическое ожидание, дисперсию
и среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности p(x) = C ( b2 – x2 ) при -b ≤
x ≤ b = 4 и равна нулю при всех остальных х .
4. Найти моду для F-распределения Фишера – Снедекора
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 4 и s = 2.
21
5. Найти верхнюю дециль (квантиль уровня 0,9) экспоненциального
распределения f a ( x ) = Const · e – a x при x  0 и a = 2.
Вариант 9
1. Найдите вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по
телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что
разговор состоится, равна 0,7.
2. Пользуясь данными нижеприведенной таблицы, найдите значение , мат. ожидание
случайной величины, её дисперсию, среднеквадратичное отклонение и постройте
график функции распределения.
№ события
Вероятность
Сл.величина
1
0
1
2
0,01
3
3
0,06
5
4
0,31
7
5

9
6
0,16
11
7
0,08
13
8
0,04
15
9
0,02
17
10
0,01
19
3. При измерении детали ее длина X является случайной величиной, распределенной
по нормальному закону с параметрами а = 22 см и
= 0,2 см.
Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X.
4. Найти интегральную функцию распределения F ( x )
для F-распределения Фишера – Снедекора
f k ( x ) = Const · x ( k – 2 ) / 2 / ( k x + s ) ( k + s ) / 2
с числом степеней свободы k = 2 и s = 2.
5. Найти нижнюю квартиль (квантиль уровня 0,25) экспоненциального
распределения f a ( x ) = Const · e – a x при x  0 и a = 2.
Контрольная работа № 2
Контрольные работы по мат. статистике
Вариант 0
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
26
22
21
28
14
32
20
20
17
17
2
17
33
32
32
22
20
17
23
5
12
3
22
26
21
28
18
23
18
10
18
33
4
32
29
11
24
28
22
20
9
9
24
5
29
32
21
22
20
-1
22
19
16
27
6
17
25
18
21
22
26
26
11
21
23
7
13
17
17
12
14
18
22
21
14
10
8
20
14
26
13
15
24
16
34
16
34
9
9
26
15
19
18
31
29
7
18
12
10
27
18
28
9
22
22
28
23
24
20
11
19
24
22
26
22
9
15
10
25
6
12
12
34
14
11
9
25
19
18
16
17
13
11
25
21
22
14
24
23
27
14
29
14
3
13
19
3
29
22
18
25
26
24
15
29
19
28
22
25
19
12
20
35
17
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [-5 ; 40 ] c шагом x = 5 . Число шагов N = 10.
22
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
<xk>= -5
Nk = 0
2
2
2
3
8
5
4
14,5
17
5
21
46
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
27,5 34 40,5 47 53,5 60 66,5 66,5 66,5 66,5 66,5
85 119 141 146 149 150 150 150 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,9 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла
следующие значения:
i
Xi
1
25
2
27
3
23
4
28
5
26
6
29
7
24
8
24
9
28
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
5,5
0,78
2
4
1,07
3
4,4
1,25
4
1,7
0,38
5
2,7
0,46
6
1,2
0,28
7
6,1
1,89
8
0,92
0,27
9
3,2
0,54
10
3,5
1,12
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 1
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
48
32
41
63
30
54
46
77
46
83
2
30
46
56
48
70
70
76
78
51
70
3
16
77
78
48
56
21
24
80
43
36
4
56
53
55
45
87
33
32
50
83
64
5
44
56
35
45
24
31
75
48
74
64
6
52
9
86
67
26
33
43
60
44
52
7
44
87
60
29
41
64
82
67
25
36
8
39
47
50
56
71
35
30
63
39
34
9
70
25
90
51
44
57
45
54
40
69
10
46
32
55
66
43
91
50
45
45
67
11
25
44
67
54
63
-4
14
53
53
59
12
64
40
-9
46
65
74
56
73
57
21
13
38
25
42
62
25
41
50
38
58
80
14
80
69
80
41
73
46
55
43
50
51
15
51
29
68
12
47
57
40
70
40
58
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [-10 ; 100 ] c шагом x = 11 . Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1 2 3
<xk>= 10 14 18
Nk = 0 0 0
4
22
5
5
26
32
6
30
71
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
34 38 42 46 50 54 54 54 54 54
119 144 149 150 150 150 150 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
23
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,5 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
5
2
6
3
7
4
8
5
6
6
4
7
5
8
7
9
5,5
10
4,5
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi , таблицы:
i
Xi
Yi
1
-1,4
1,3
2
-1,6
0,43
3
-0,6
0,61
4
1,04
1,4
5
-2,6
0,46
6
-0,1
0,5
7
-0,6
0,48
8
-3
0,35
9
0,97
1,2
10
0,87
1,1
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 2
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
108
85
112
102
71
127
69
117
168
110
2
3
4
87
96 143
56 121 115
87
84 112
139 71 127
74
88
94
75
61
97
99
83
92
138 94 102
135 121 59
149 92 117
5
96
112
120
62
104
38
83
137
127
99
6
56
110
128
92
155
98
90
146
64
92
7
173
47
96
168
56
22
75
94
89
99
8
80
118
126
96
118
103
21
111
128
130
9
123
130
88
142
78
115
96
139
109
54
10
116
102
95
118
120
60
123
46
141
98
11
103
77
123
126
87
104
109
78
115
111
12
77
181
46
57
149
130
117
90
123
108
13
82
65
104
78
69
81
120
118
96
121
14
100
121
85
161
77
108
113
16
95
69
15
38
92
73
88
51
137
100
114
111
62
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [0 ; 225 ] c шагом x = 15 . Число шагов N = 16.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
<xk>= 5
Nk = 0
2
9
2
3
13
11
4
17
40
5
21
81
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
25 29 33 37 41 45 49 49 49 49 49
133 148 149 150 150 150 150 150 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,8 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
93
2
97
3
93
4
98
5
96
6
95,5
24
7
94,5
8
-
9
-
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
14
-0,9
2
16
-4,1
3
25
-2,2
4
27
-4
5
11
-0,8
6
22
-4
7
0
1,1
8
24
-4,2
9
7,8
-0,8
10
4,2
3
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 3
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
148
130
142
196
61
240
174
58
123
154
2
201
225
130
144
178
159
109
212
128
39
3
172
179
180
163
124
112
137
160
148
237
4
196
140
81
148
194
193
96
97
155
16
5
58
142
160
208
153
75
185
205
130
153
6
118
171
169
23
229
240
146
83
74
160
7
218
179
150
232
193
171
214
189
252
120
8
176
89
88
229
51
150
159
147
32
238
9
128
148
135
150
208
129
96
285
68
76
10
108
161
224
172
154
189
192
139
170
123
11
167
159
163
190
109
61
207
130
190
127
12
182
135
197
161
205
171
170
110
163
168
13
75
99
142
100
148
174
119
147
202
148
14
96
104
115
213
146
97
87
221
167
226
15
126
186
239
186
174
46
140
221
131
247
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [10 ; 310] c шагом x =20 . Число шагов N = 16.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
2
3
<xk>=
-25
-20
-14
Nk =
1
3
11
4
8,5
30
5
6
7
-3
2,5
8
53
88
115
8
13,
5
133
9
19
143
10 11
24,
30
5
150 150
12
35,
5
150
13
35,
5
150
14
35,
5
150
15
35,
5
150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,8 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
25
2
27
3
23
4
28
5
26
6
29
7
24
8
22
9
24
10
25
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
-0.7
1,5
2
-0.3
1,05
3
-2
0,97
4
-2.7
1,04
5
-3
1,78
6
0
0,94
7
0,56
0,86
8
-0,7
1,57
9
-1,5
0,83
10
-2
1,06
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
25
Вариант 4
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
101
97
16
15
55
48
75
111
54
26
2
33
-27
-6
-23
-48
-7
79
122
-39
14
3
-6
21
10
-35
-2
-55
9
20
67
-39
4
40
26
87
8
-34
15
-25
65
-33
71
5
33
30
91
9
54
86
-3
15
0
-13
6
-39
24
154
54
81
107
52
91
58
80
7
63
34
72
30
25
39
55
-57
48
37
8
54
80
70
-20
-3
9
28
65
18
14
9
56
52
71
14
58
104
-41
112
-3
57
10
11
12
83 -11 109
-20
55
82
65
60
17
-16
69
6
-80 141
1
15
-6
68
-6 102 -70
-5
36 -34
13
1
39
65
72
50
13
-52
7
61
-60
59
-27
69
18
65
92
14
-6
73
87
12
163
63
-24
-54
-31
126
15
12
77
93
-33
-12
49
9
58
36
-15
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [-130; 180] c шагом x = 31. Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
<xk>= 0
Nk = 0
2 3
12 24
0 4
4
36
18
5
48
44
6
60
83
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
72 84 96 108 120 132 132 132 132 132
116 132 144 148 150 150 150 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью
р = 0,8 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла
следующие значения:
i
Xi
1
85
2
88
3
83
4
88
5
86
6
85.5
7
84.5
8
-
9
-
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
8,6
-27
2
16
-43
3
-4,2
13
4
6
-22
5
3
-5,1
6
12
-41
7
13
-42
8
3,6
-7,9
9
-3,9
15,6
10
-0,5
2,4
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 5
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
1
59
87
54
99
31
69
35
58
2
84
103
64
51
57
84
69
41
3
78
43
29
55
48
53
63
65
4
85
53
40
75
76
78
72
73
5
57
62
58
66
57
72
62
35
6
71
50
63
60
64
77
52
23
7
94
80
55
37
49
81
39
63
8
48
26
72
53
101
51
71
53
26
9
94
57
41
88
39
25
74
55
10
28
54
40
18
35
39
25
68
11
68
40
67
44
114
67
51
40
12
67
59
86
19
34
56
44
49
13
55
76
64
55
69
68
66
59
14
39
90
36
60
45
71
72
20
15
69
29
65
36
56
35
52
72
9
10
95
47
34
51
37
76
45
61
51
41
54
63
38
49
71
100
39
36
91
33
108
63
67
87
58
55
70
46
54
46
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [0 ; 120 ] c шагом x = 12. Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
<xk>=
Nk =
1
130
2
99
0
0
3
4
5
6
7
8
-68
-37
-6
25
56
87
2
12
31
69
97
13
1
9
11
8
14
5
10
14
9
14
8
11
18
0
15
0
12
21
1
15
0
13
21
1
15
0
14
21
1
15
0
15
21
1
15
0
16
21
1
15
0
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,8 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
15
2
17
3
13
4
18
5
16
6
19
7
14
8
12
9
14
10
15
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
11
21
2
-54
-196
3
-15
-103
4
18
38
5
19
61
6
21
58
7
-13
-45
8
-50
-189
9
28
-40
10
71
314
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 6
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
-6
3
8
-6
-18
-10
-3
2
-2
2
-2
1
-11
-2
-14
0
1
18
-13
-16
3
-2
-4
3
-4
-4
3
-10
-3
-2
-2
4
8
5
3
18
-9
11
19
-16
-18
-6
5
-11
0
-15
6
-8
4
-3
7
16
-8
6
14
8
9
7
-1
6
-12
-7
-7
-3
7
-13
6
8
19
-9
-1
6
-20
20
9
8
-4
3
5
-6
7
-18
13
-4
-2
-6
9
9
0
-4
8
5
-8
-3
-10
9
5
10
-7
-7
-1
3
12
-27
-16
11
-4
0
11
-3
3
6
7
11
-2
6
1
5
22
12
-4
-9
-8
11
0
14
-14
-9
15
14
13
-10
-16
1
20
17
7
-20
-6
-1
-10
14
11
2
3
-2
12
23
-3
17
15
5
15
-10
1
-9
-7
-1
4
12
2
-9
22
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [-25 ; 30 ] c шагом x = 5,5. Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1 2 3
<xk>= 10 30 50
Nk = 0 2 5
4
70
11
5
90
20
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310
31 45 70 93 114 130 141 148 149 150 150
27
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,9 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
5
2
7
3
3
4
8
5
6
6
9
7
7
8
-
9
-
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
115
30
2
120
34
3
350
145
4
237
132
5
142
77
6
163
57
7
93
41
8
157
67
9
176
114
10
243
167
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 7
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
16
20
18
27
24
19
15
15
24
19
2
14
20
20
24
25
10
21
21
18
14
3
23
13
23
18
23
15
18
16
28
30
4
22
23
19
24
21
21
21
25
20
26
5
17
15
22
20
16
17
19
23
18
17
6
20
18
23
26
21
21
12
12
11
26
7
21
21
21
22
23
22
21
14
11
15
8
15
13
24
18
24
22
28
12
21
24
9
23
24
22
21
22
17
16
21
16
18
10
8
24
13
24
16
19
15
21
7
21
11
26
20
22
25
17
19
20
24
12
15
12
27
19
16
18
23
35
26
28
23
24
13
19
15
14
18
18
19
18
12
28
13
14
14
23
14
22
21
17
22
14
20
15
15
16
20
21
20
17
27
17
20
24
11
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [5 ; 45 ] c шагом x = 4. Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
<xk>= 0
Nk = 0
2 3
15 30
0 3
4
45
5
5
60
15
6
75
28
7
90
51
8
9
10 11 12 13 14 15 16
105 120 135 150 165 180 195 210 225
85 111 132 144 146 149 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,9 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
28
i
Xi
1
115
2
117
3
113
4
118
5
116
6
119
7
114
8
112
9
-
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xi 162 282 188 181 127 302 126
98
121 313
Yi 126 221
77
72
107 184
90
64
65
178
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
Вариант 8
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
36
25
28
28
30
31
28
36
32
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
30
31
23
30
24
34
31
32
28
24
3
32
41
30
34
35
27
30
33
31
30
4
29
25
30
34
31
24
25
27
30
23
5
31
33
23
35
34
21
29
28
33
24
6
39
31
30
34
28
26
25
25
36
31
7
38
39
23
22
32
26
26
32
28
28
8
33
27
36
24
34
27
25
32
32
30
9
25
18
27
26
29
27
32
24
37
28
10
28
37
31
24
35
23
29
19
34
29
11
30
27
29
35
32
37
26
33
28
30
12
35
35
32
28
30
28
24
32
43
25
13
34
30
31
32
33
36
32
31
28
20
14
28
29
35
28
29
41
24
33
30
28
15
34
34
33
22
30
20
23
27
23
28
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [ 10 ; 50 ] c шагом x = 4 . Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
<xk>=
-10
1
12
23
34
45
56
67
78
89
Nk =
0
2
3
8
27
54
91
11
5
13
6
14
8
11
10
0
15
0
12
11
1
15
0
13
11
1
15
0
14
11
1
15
0
15
11
1
15
0
16
11
1
15
0
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,9 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
125
2
127
3
123
4
128
5
126
6
129
7
124
8
124
9
128
10
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
0,11
9,35
2
0,72
3,83
3
0,23
2,18
4
1,46
7,77
5
0,93
0,14
6
0,99
8,2
7
0,5
3,94
8
0,86
6,3
9
1,33
9,21
10
0,91
0,11
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
29
Вариант 9
1. В нижеследующей таблице дана выборка 150-ти случайных чисел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
14
28
26
15
29
21
23
18
15
15
2
40
10
35
21
33
12
17
23
18
25
3
24
47
34
29
31
40
18
27
5
26
4
29
27
38
23
22
47
20
15
36
34
5
31
38
29
27
30
8
18
7
32
26
6
38
23
19
38
32
15
1
28
14
28
7
19
25
24
21
46
29
23
28
23
18
8
18
33
19
23
20
14
28
13
32
17
9
32
15
45
35
31
35
17
32
14
28
10
25
23
23
18
28
28
27
38
24
29
11
13
56
35
25
30
24
19
33
34
17
12
43
14
34
9
35
18
17
9
0
26
13
22
42
48
40
20
25
34
21
27
28
14
18
33
33
28
25
21
27
20
28
33
15
34
42
19
40
22
24
21
5
38
30
Найдите интегральную функцию распределения в табличном виде и в виде графика в интервале [-5 ; 60 ] c шагом x = 6,5. Число шагов N = 11.
2. В таблице приводится интегральная функция распределения N(x < xk)
k=
1
<xk>= -5
Nk = 0
2
0
1
3
5
3
4
10
12
5
15
34
6
20
67
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
25 30 35 40 45 45 45 45 45 45
109 138 149 150 150 150 150 150 150 150
Найдите функцию плотности вероятностей в табличном виде и в виде графика.
Пользуясь программой «Поиск решения», найдите параметры нормального распределения, минимизируя сумму квадратов отклонений найденной плотности вероятностей и функцией нормального распределения.
3. Оцените математическое ожидание и доверительный интервал с надежностью р =
0,9 , если в результате независимых измерений случайная величина Х приняла следующие значения:
i
Xi
1
35
2
37
3
33
4
38
5
36
6
39
7
34
8
32
9
35
10
-
4. Найти коэффициент корреляции между величинами Xi и Yi таблицы:
i
Xi
Yi
1
0,71
0,27
2
3,1
0,74
3
1,05
0,3
4
1,6
0,38
5
2,6
0,5
6
3,9
0,77
7
0
6,76
8
3,2
0,48
9
1,4
0,49
10
5,3
1,57
Если коэффициент корреляции по модулю больше 0,3 ,то найдите параметры k и b
линейной зависимости между Xi и Yi ( Yi ≈ k•Xi + b ).
ПРИМЕРЫ КЕЙС-СТАДИ
Кейс 1
У стрелка имеется четыре патрона для стрельбы по удаляющейся цели, причем
вероятность попадания в цель первым выстрелом равна 0,9, а при каждом следующем
выстреле уменьшается на 0,3. Стрелок производит выстрелы по цели до первого попадания.
Найдите наивероятнейшее число произведенных выстрелов.
P ( 1 ) = 0,9 ; P ( 2 ) = [ 1 – ( 1 – 0,9 ) ]· 0,6 ;
P ( 3 ) = [ 1 – 0,9 – ( 1 – 0,9 ) · 0,6 ] · 0,3 ; P ( 4 ) = [ …. ]·0 = 0
Ответ: N P=max = N P=0.9 = 1
30
Кейс 2
У стрелка имеется четыре патрона для стрельбы по удаляющейся цели, причем
вероятность попадания в цель первым выстрелом равна 0,9, а при каждом следующем
выстреле уменьшается на 0,3. Стрелок производит выстрелы по цели до первого попадания.
Найдите вероятность поражения цели третьим выстрелом
Ответ: P ( 3 ) = [ 1 – 0,9 – ( 1 – 0,9 ) · 0,6 ] · 0,3 = 0,012
Кейс 3
У стрелка имеется четыре патрона для стрельбы по удаляющейся цели, причем
вероятность попадания в цель первым выстрелом равна 0,9, а при каждом следующем
выстреле уменьшается на 0,3. Стрелок производит выстрелы по цели до первого попадания.
Среднее число произведенных выстрелов равно …
< N > = 1 · 0,9 + 2 · ( 1 – 0,9 ) · 0,6 + 3 · [ 1 – 0,9 – ( 1 – 0,9 ) · 0,6 ] · 0,3
Ответ: < N > = 1,056
Кейс 4
По плану социального развития города в 2008 г. предусматривалось расширение
объема жилищного строительства в 1,3 раза по сравнению с 2004 г. Фактические темпы прироста строительства жилых домов (в % к предыдущему году) составили: в 2004
г. -2,8; в 2005 г. -0,5; в 2006 г. -2,0; в 2007 г. +3,4; в 2008 г. +5,6.
Рассчитайте: а) среднегодовой темп роста объема жилищного строительства по
плану социального развития города; б) фактический среднегодовой темп роста (снижения) строительства жилья; в) степень выполнения плана по этому показателю.
Кейс 5
Имеются следующие данные Росстата в целом по РФ:
Показатели
Среднегодовая численность
постоянного населения, млн чел.
Валовой внутренний продукт,
млрд руб.
Денежные доходы населения,
млрд руб.
2006 г.
2007 г.
142,5
142,1
26 880,0
32 987,0
17 289,9
21 223,5
Определите возможные относительные величины. Напишите выводы.
Кейс 6
Имеются следующие данные о распределении населения России по среднедушевому денежному доходу:
Среднедушевой денежный доход за период, руб. в месяц
До 2000,0
2000,1-4000,0
4000,1-6000,0
6000,1-8000,0
8000,1-1000,0
10000,1-15000,0
15000,1-25000,0
31
Численность населения, млн чел.
3,7
16,9
21,2
19,3
16,1
27,2
23,5
Свыше 25000,0
Итого:
14,3
142,2
Определите: 1) среднедушевой месячный доход, медианный доход, нижний и
верхний децили; 2) децильный коэффициент дифференциации доходов и коэффициент фондов;3) коэффициент концентрации доходов Джини.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
ПРИМЕРНЫЙ СПИСОК ВОПРОСОВ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Классическое и статистическое определения вероятности.
Действия над случайными событиями и алгебра их вероятностей.
Независимые случайные величины. Необходимое и достаточное условие статистической независимости.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Условие нормировки.
Математическое ожидание и среднее значение дискретной случайной величины.
Свойства математического ожидания.
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение дискретных случайных величин.
Вероятностный смысл этих величин.
Распределения Пуассона и Бернулли для дискретных случайных величин. Связь
между этими распределениями.
Непрерывные случайные величины. Закон распределения непрерывной случайной
величины. Условие нормировки.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности
вероятности. Основные свойства этих функций
Важнейшие законы распределения непрерывных случайных величин. Закон Гаусса, распределение Стьюдента и распределение хи-квадрат.
Гистограммы частот и относительных частот. Их связь с функциями распределения и оценка основных интегральных характеристик. Построение эмпирической
функции распределения случайной величины.
Обработка статистических данных при помощи распределения Стьюдента.
Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.
Аппроксимация статистических данных. Метод наименьших квадратов. Полиномиальные линии тренда.
Связь между различными случайными величинами. Коэффициент корреляции.
Уравнение линейной регрессии.
Условие применимости метода наименьших квадратов.
Линеаризация зависимости случайных величин.
Вариационный ряд как статистический аналог закона распределения случайной
величины
Критерии согласия
Однофакторный дисперсионный анализ для зависимых выборок
Гистограмма, правила ее построения
Стандартные законы распределения случайной величины
Биноминальное распределение
Распределение Фишера
32
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Генеральная и выборочная совокупность
Проверка статистических гипотез
Сравнение двух независимых совокупностей
Многомерный статистический анализ
Случайная и систематическая ошибка
Частотная таблица и вариационный ряд
Полигон распределения частот
Корреляционный и регрессионный анализы
Понятие ковариации, корреляции и регрессии
Многомерный корреляционный анализ: коэффициент множественной корреляции, частный коэффициент корреляции
Проверка эмпирического распределения на соответствие равномерному и нормальному
Основные свойства коэффициентов корреляции
Критерий знаков и критерий T-Вилкоксона
Кластерный, дискриминантный, факторный анализы
Линейная парная регрессия и коэффициент линейной корреляции Пирсона
Понятие о квантилях: квартили, квинтили, децили, процентили
Проверка значимости корреляционной и регрессионной зависимости
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
ВОПРОСЫ ТЕСТИРОВАНИЯ
Раздел: «Теория вероятностей»
Тема: “Теория вероятностей: основные понятия”
Задание № 1
Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 1 /2 .
Задание № 2
В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 черных. Событие А – “вынули белый
шар”. Событие В – “вынули черный шар”. Опыт состоит в выборе только одного шара. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:
Задание № 3
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет 5 очков, равна …
1) 0,1;
2) 5 / 6 ;
3) 1 / 6 ;
4) 1 / 5 .
Задание № 4
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет нечетное число очков, равна …
1) 0;
2) 2 / 3 ;
3) 1 / 2 ;
4) 1/ 6 .
33
Задание № 5
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков больше, чем три, равна …
1) 0;
2) 1;
3) 1 / 2 ;
4) 1 / 3.
Задание № 6
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет не менее пяти очков, равна …
1) 1 / 3 ;
2) 5 / 6 ;
3) 1 / 2 ;
4) 1 / 6 .
Задание № 7
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет не менее трех очков, равна …
1) 1 / 6 ;
2) 2 / 3 ;
3) 1 / 2 ;
4) 1 /3.
Задание № 8
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет четное число очков, равна …
1) 1 / 2;
2) 1;
3) 1 / 6 ;
4) 1 / 3.
Задание № 9
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет не более четырех очков, равна …
1) 5 / 6 ;
2) 1 / 6 ;
3) 1 / 2 ;
4) 2 / 3.
Задание № 10
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет не менее четырех очков, равна …
1) 2 / 3 ;
2) 1 / 6 ;
3) 1 / 2;
4) 1 / 3.
Задание № 11
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет более одного очка, равна …
1) 2 / 3 ;
2) 1 / 3 ;
3) 1 / 6 ;
4) 5 / 6 .
Задание № 12
Наиболее вероятным числом выпадений герба при 5 бросаниях монеты является …
1) 2;
2) 3;
3) 3 и 2;
4) 4.
Задание № 13*
В слове “WORD” меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных
различных “слов” равно …
1) 8;
2) 16;
3) 24;
4) 20.
Задание № 14*
Количество различных двузначных чисел, которые можно составить из четырех цифр: 1, 2, 3, 4 (все цифры в числе разные), равно …
34
1) 12;
2) 24;
3) 6;
4) 4.
Задание № 15*
Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 2 томов
из 12-томного собрания сочинений Л.Н. Толстого равно …
1) 66;
2) 132;
3) 24;
4) 2.
Задание № 16*
Количество способов, которыми читатель может выбрать 4 книги из 11, равно …
1) 341;
2) 330;
3) 353;
4) 326.
Задание № 17*
Количество способов, которыми можно разделить 6 различных учебников поровну между 3-мя студентами, равно …
1) 9;
2) 90;
3) 15;
4) 6.
Задание № 18*
Количество способов, которыми можно рассадить 4 человека в поезд из 8-ми
вагонов при условии, что все они поедут в разных вагонах, равно …
1) 32;
2) 4096;
3) 1680;
4) 70.
Тема «Теоремы сложения и умножения вероятностей»
Задание № 19
A , B , C - попарно независимые события. Их вероятности: p( A) = 0,4, p( B) =
0,8, p(C ) = 0,3. Укажите соответствие между событиями и их вероятностями:
1. A · B .
2. A · C .
3. B · C .
4. A · B · C .
Варианты ответов:
A) 1,5;
B) 0,32;
C) 0,12;
D) 0,24;
E) 0,096.
Задание № 20
Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятности прорастания семян в
первом и втором пакетах соответственно равны 0,9 и 0,7. Взяли по одному семени из
каждого пакета, тогда вероятность того, что оба они прорастут равна …
1) 0,9;
2) 0,63;
3) 1,6;
4) 0,8.
Задание № 21
По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,2 и 0,25. Тогда вероятность банкротства
обоих предприятий равна …
1) 0,05;
2) 0,6;
3) 0,45;
4) 0,5.
Задание № 22
По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,1 и 0,25. Тогда вероятность банкротства
обоих предприятий равна …
1) 0,675;
2) 0,35;
3) 0,025;
4) 0,25.
35
Задание № 23
Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель
для первого и второго стрелков равны 0,6 и 0,3 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна …
1) 0,18;
2) 0,28;
3) 0,9;
4) 0,15.
Задание № 24
Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель
для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,75 соответственно. Тогда вероятность
того, что цель будет поражена, равна …
1) 0,60;
2) 0,40;
3) 0,95;
4) 0,55.
Задание № 25
Из урны, в которой находятся 3 черных и 7 белых шаров, вынимают 2 шара.
Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна …
1) 2 / 15 ;
2) 47 / 90 ;
3) 1 / 15 ;
4) 4 / 15.
Задание № 26
Из урны, в которой находятся 4 черных и 6 белых шаров, вынимают 2 шара.
Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна …
1) 4 / 15 ;
2) 11 / 15 ;
3) 2 / 15 ;
4) 1 / 3.
Задание № 27
Из урны, в которой находятся 4 черных и 7 белых шаров, вынимают 2 шара.
Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна …
1) 4 / 55 ;
2) 73 / 110 ;
3) 6 / 55;
4) 21 / 55.
Задание № 28
Из урны, в которой находятся 4 черных и 8 белых шаров, вынимают 2 шара.
Тогда вероятность того, что оба шара будут черными, равна …
1) 14 / 33;
2) 1 / 11 ;
3) 4 / 33 ;
4) 20 / 33.
Задание № 29*
В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 17 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 1 / 5 ;
2) 9 /20 ;
3) 11 / 40 ;
4) 9 / 40.
Задание № 30*
В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 13 белых и 7 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 8 / 15;
2) 17 / 40 ;
3) 19 / 40;
4) 19 / 20.
Задание № 31*
36
В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 5 белых и 15 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 19 / 40 ;
2) 19 / 20 ;
3) 21 / 40 ;
4) 2 / 5 .
Задание № 32*
В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 9 белых и 11 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 23 / 40 ;
2) 21 / 40;
3) 8 / 15 ;
4) 1 / 8.
Задание № 33*
В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 0,9;
2) 0,15;
3) 0,45;
4) 0,4.
Задание № 34*
В первой урне 7 белых и 3 черных шаров. Во второй урне 11 белых и 9 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 3 / 20 ;
2) 23 / 40 ;
3) 5 / 8 ;
4) 3 / 5 .
Задание № 35*
В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 7 белых и 13 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот
шар окажется белым, равна …
1) 1 / 3 ;
2) 13 / 20 ;
3) 13 / 40 ;
4) 11 / 40 .
Задание № 36*
В первом ящике 7 красных и 11 синих шаров, во втором 5 красных и 9 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий, равна …
1) 11 / 18 × 9 / 14 ;
2) (11+9)/(18+14) ;
3) 11 / 18 + 9 / 14;
4) 0,5 · (11 / 18 + 9 / 14)
Тема «Биномиальный закон распределения вероятностей»
Задание № 37
Вероятность выиграть у равносильного противника 2 из 4 партий (ничьи не в
счет) равна …
1) 11 / 16 ;
2) 1 / 8 ;
3) 3 / 8 ;
4) 1 / 2 .
Задание № 38
Игральную кость бросают 10 раз. Вероятность того, что ровно 3 раза появится
четная грань, равна …
1) 1 / 1024;
2) 15 / 128 ;
3) 3 / 8 ;
4) 1 / 2 .
Задание № 39
37
Вероятность появления события A в 20 независимых испытаниях, проводимых
по схеме Бернулли, равна 0,9. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна
…
1) 0,18;
2) 0,45;
3) 1,8;
4) 18.
Задание № 40
Вероятность появления события A в 20 независимых испытаниях, проводимых
по схеме Бернулли, равна 0,4. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна
…
1) 4,8;
2) 0,48;
3) 8;
4) 0,02.
Задание № 41
Вероятность появления события A в 40 независимых испытаниях, проводимых
по схеме Бернулли, равна 0,5. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна
…
1) 1,25;
2) 1;
3) 20;
4) 10.
Задание № 42
Вероятность появления события A в 40 независимых испытаниях, проводимых
по схеме Бернулли, равна 0,8. Тогда дисперсия числа появлений этого события равна
…
1) 0,64;
2) 32;
3) 0,02;
4) 6,4.
Тема «Законы распределения вероятностей дискретных
и непрерывных случайных величин»
Задание № 43
Дан закон распределения вероятностей дискретной
случайной величины X:
Тогда значение a равно …
1) 0,2;
2) 0,7;
3) 0,1;
4) – 0,7.
Задание № 44
Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:
Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно …
1) 2,2;
2) 1,4;
3) 2;
4) 1.
Задание № 45
Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:
Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно …
1) 2,2;
2) 2,8;
3) 1;
4) 5.
Задание № 46
38
Пусть X - дискретная случайная величина, заданная законом распределения:
X
2
3
6
P
0,2
0,3
0,5
Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно …
1) 4,3;
2) 11;
3) 3,0;
4) 0,9.
Задание № 47
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
X
-1
2
4
P
0,1
a
b
Тогда ее математическое ожидание равно 3,3, если …
1) a = 0,2, b = 0,7; 2) a = 0,1, b = 0,8; 3) a = 0,8 , b = 0,1; 4) a = 0,1, b = 0,9 .
Задание № 48
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
X
-1
0
3
P
0,1
0,3
0,6
Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 2 X равно …
1) 3,4;
2) 4;
3) 3,8;
4) 3,7.
Задание № 49
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
X
1
3
5
P
0,3
0,2
0,5
Тогда математическое ожидание случайной величины Y = X 2 равно …
1) 14,6;
2) 81;
3) 1,8;
4) 1,46.
Задание № 50
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
X
3
4
7
P
0,4
0,1
0,5
Тогда дисперсия этой случайной величины равна …
1) 3,69;
2) 74;
3) 29,7;
4) 24,6.
Задание № 51
График плотности распределения вероятностей для нормального распределения изображен на рисунке
39
1) A;
2) B;
3) C;
4) D.
Задание № 52
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно …
1) 9;
2) 4;
3) 18;
4) 3.
Задание № 53
График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид:
Тогда значение a равно …
1) 0,20 ;
2) 1 ;
3) 0,25 ;
4) 0,33
Задание № 54
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2, 5]. Распределение случайной величины Y =3X -1 имеет …
Задание № 55
Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке
[-11, 20]. Тогда вероятность P( X  0) равна
1) 10 /31;
2) 11 / 32;
3) 5 / 16 ;
4) 11 / 31.
Задание № 56
Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке
[-11, 26]. Тогда вероятность P( X > - 4) равна …
1) 29 / 38;
2) 29 / 37;
3) 30 / 37 ;
4) 15 / 19.
Тема: «Статистическое распределение выборки»
Задание № 57
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
n1
11
10
9
40
Тогда n1 равен …
1) 21;
2) 50;
3) 20 ;
4) 12.
Задание № 58
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
10
9
8
n4
Тогда n4 равен
1) 23 ;
2) 24;
3) 7 ;
4) 50 .
Задание № 59
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
n1
9
8
7
Тогда n1 равен …
1) 10;
2) 50;
3) 27 ;
4) 26.
Задание № 60
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
Тогда n2 равен …
1) 25;
10
2) 26;
n2
8
7
3) 50;
4) 9.
Задание № 61
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
Тогда n4 равен …
1) 50;
13
2) 14;
12
11
n4
3) 15;
4) 10.
Задание № 62
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
xi
1
2
3
4
ni
Тогда n3 равен …
1) 19;
2) 10;
12
11
3) 18;
n3
9
4) 50.
Задание № 63
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 50, полигон частот которой имеет вид.
41
Тогда число вариант xi = 4 в выборке равно …
1) 14;
2) 50;
3) 16;
4) 15.
Тема «Точечные оценки параметров распределения»
Задание № 64
Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 8;
2) 8,25;
3) 7;
4) 8,5.
Задание № 65
Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 5, 6, 9, 10, 11. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 9;
2) 8,2;
3) 10,25;
4) 8,4.
Задание № 66
Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 6, 7, 10, 11, 12. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 11,5;
2) 10;
3) 9,2;
4) 9,4.
Задание № 67
Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 7, 8, 11, 12, 13. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 10,2;
2) 11;
3) 10,4;
4) 12,75.
Задание № 68
Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 8, 9, 12, 13, 14. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 14;
2) 11,2;
3) 12;
4) 11,4.
Задание № 69
Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 9, 10, 13, 14, 15. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …
1) 12,2;
2) 15,25;
3) 12,4;
4) 13.
42
Задание № 70
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без
систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 12, 14, 16. Тогда
несмещенная оценка дисперсии измерений равна …
1) 4;
2) 3;
3) 14;
4) 8.
Задание № 71
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без
систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 12, 15, 15. Тогда
несмещенная оценка дисперсии измерений равна …
1) 14;
2) 6;
3) 2;
4) 3.
*
Задание № 72
Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5 равна …
1) 17;
2) 5;
3) 2;
4) 3.
Задание № 73*
Мода вариационного ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна …
1) 4;
2) 5;
3) 1;
4) 9.
Тема «Интервальные оценки параметров распределения»
Задание № 74
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна
10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
1) (10; 10,9);
2) (8,5; 11,5);
3) (8,4; 10);
4) (8,6; 9,6).
Задание № 75
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 20.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
1) (19; 21);
2) (19; 20);
3) (20; 21);
4) (0; 20).
Задание № 76
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна
21. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
1) (20; 22);
2) (21; 22);
3) (0; 21);
4) (20; 21).
Задание № 77
Точечная оценка параметра распределения равна 24. Тогда его интервальная
оценка может иметь вид …
1) (23; 24);
2) (24; 25);
3) (0; 24);
4) (23; 25).
Задание № 78
Точечная оценка параметра распределения равна 25. Тогда его интервальная
оценка может иметь вид …
1) (0; 25);
2) (24; 25);
3) (24; 26);
4) (25; 26).
Задание № 79
Точечная оценка параметра распределения равна 27. Тогда его интервальная
оценка может иметь вид …
43
1) (26; 28);
2) (26; 27);
3) (27; 28);
4) (0; 27).
Задание № 80
Точечная оценка параметра распределения равна 29. Тогда его интервальная
оценка может иметь вид …
1) (29; 30);
2) (0; 29);
3) (28; 29);
4) (28; 30).
Тема «Проверка статистических гипотез»
Задание № 81
Если основная гипотеза имеет вид H0:a = 6, то конкурирующей может быть гипотеза …
1) H1: a  6;
2) H 1 : a < 5 ;
3) H 1 : a ≠ 6 ;
4) H1: a > 7.
Задание № 82
Если основная гипотеза имеет вид H0:a = 7, то конкурирующей может быть гипотеза …
1) H1:a = 6;
2) H 1 : a  6 ;
3) H 1 : a ≠ 7 ;
4) H1:a 7.
Задание № 83
Если основная гипотеза имеет вид H 0:a = 10, то конкурирующей может быть
гипотеза …
1) H1:a≠10;
2) H 1 : a  2 0 ;
3) H 1 : a  1 0 ;
4) H1:a10.
Задание № 84
Если основная гипотеза имеет вид H0: 2 = 2 , то конкурирующей может быть
гипотеза …
1) H1: 2  2;
2) H 1 : 2 < 2;
3) H1 2  1,9 ;
4) H1:2 = 1.
Задание № 85
Если основная гипотеза имеет вид H 0: p = 0,5, то конкурирующей может быть
гипотеза …
1) H 1 : p > 0 , 6 ;
2) H 1 : p = 0,6;
3) H 1: p  0 , 5 ;
4) H 1 : p ≠ 0 , 5 .
Задание № 86
Если основная гипотеза имеет вид H 0: p = 0,6, то конкурирующей может быть
гипотеза …
1) H 1 : p  0 , 7 ;
2) H 1 : p = 0,7;
3) H 1: p  0 , 6 ;
4) H 1 : p < 0 , 6 .
Балльно-рейтинговая система
Количественные характеристики оценки работы студентов приводятся в нижеследующей таблице:
№
п/п
1
2
Наименование
компоненты
Лекционные занятия
Практические занятия
Критерии оценки
Посещение, активность слушания
Посещение, выполнение заданий,
активность участия
44
Максимальное
число баллов
(или стат.вес в %)
5
10
3
Первая контрольная
4
Вторая контрольная
5
6
Тест
Экзамен
Количество
и
качество
решённых задач
Количество и качество решённых
задач
Количество верных ответов
Качество ответа
ИТОГО
20
20
15
30
100
При формировании итоговой оценки учитываются баллы, полученные студентом по всем компонентам.
Формирование итоговой оценки
Оценка и словесное выражение, Оценки
Балльное выражение,Балл
5- отлично
84100
Описание
Выполнен полный объем работы ( >84%).
Ответ студента полный и правильный. Студент
способен обобщить материал, сделать собственные выводы, выразить свое мнение, привести
примеры.
4- хорошо
Выполнено ~75% работы.
6583
Ответ студента правильный, но неполный. Не
приведены иллюстрирующие примеры, обобщающее мнение студента недостаточно четко
выражено.
3- удовлетворительно
Выполнено ~50% работы.
4764
Ответ студента правилен в основных моментах,
нет иллюстрирующих примеров, нет собственного мнения, есть ошибки в деталях и/или они
просто отсутствуют.
2- неудовлетворительно
Выполнено менее 50% работы.
 46
В ответе студента имеют место существенные
ошибки в основных аспектах темы
Если Балл >28, то Оценку можно рассчитать по формуле:
Оценка = { 0,5 + 0,054 · Балл } , где фигурные скобки означают целую часть.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины: (модуля)
а) основная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров. Базовый курс / В.Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. и доп.- Рек. МО РФ. - М.:
Юрайт, 2013. - 479 с. - (Бакалавр)
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов
/ Н.Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп.- Рек. МО РФ. - М.: ЮНИТИ, 2012.551 с.
3. Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин; под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия) – До45
ступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL :
http://znanium.com/bookread.php?book=451329
4. Теория вероятностей и математическая статистика: [Электронный ресурс] : Учебник /
Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. - 2-e изд., испр. и перераб. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 240 с. – Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL : http://znanium.com/bookread.php?book=447828
б) дополнительная литература:
1. Агапова Т.Н.
Очерки вероятностного мира / Т.Н. Агапова, М.М. Юзбашев. - М.:
МАЭП, 2008. - 76 с.
2. Балдин К.В.
Математический анализ: Учебник для вузов / К.В. Балдин,
В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - Рек. УМО. - М.: Флинта, 2013. - 368 с.
3. Батуева А.Д. Статистика: Учебное пособие для вузов / А.Д. Батуева, Е.П. Петецкая,
М.А. Кокарев. - М.: Экзамен, МАЭП, 2008. - 255 с.
4. Высшая математика для экономических специальностей. Части 1 и 2: Учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп.- Рек. МО РФ. - М.: Высшее
образование, 2007. - 893 с.
5. Годин А.М.
Статистика: Учебник для вузов / А.М. Годин. - 10-е изд., перераб. и
испр.- Рек. МО РФ. - М.: Дашков и К, 2013. - 452 с.
6. Елисеева И.И.
Практикум по макроэкономической статистике: Учебное пособие /
И.И. Елисеева, С.А. Силаева, А.Н. Щирина. - М.: Проспект, 2007. - 288 с.
7. Ефимова М.Р. Общая теория статистики : Учебник для вузов / М.Р. Ефимова,
Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. - 2-е изд., испр. и доп.- Рек. УМО. - М. : ИНФРА-М,
2013. - 416 с. - (Бакалавриат)
8. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров. Базовый курс / под общ.
ред. А.М. Кытманова. - Рек. МО РФ. - М.: Юрайт, 2012. - 607 с. - (Бакалавр) .
9. Сиденко А.В.
Домашние контрольные работы по статистике: Учебное пособие /
А.В. Сиденко. - М.: МАЭП, 2010. - 84 с.
10. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / под ред.
В.И.Ермакова. - Рек. УМО. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 287 с.
11. Теория статистики: Учебник для вузов / под ред. Р.А. Шмойловой. - 5-е изд.- Рек. МО
РФ. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 656 с.
12. Шершнев В.Г. Математический анализ : Учебное пособие для вузов. Соотв. ФГОС-3
/ В.Г. Шершнев. - М. : ИНФРА-М, 2013. - 288 с. - (Бакалавриат) .
13. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. - М.: Высшая школа, 2007.- 304
с.
14. Шипачев В.С.
Высшая математика: Учебник для бакалавров. Базовый курс /
В.С.Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп.- Рек. МО РФ.- М.: Юрайт, 2013. - 447 с.
15. Шмойлова Р.А.
Практикум по теории статистики: Учебное пособие /
Р.А. Шмойлова. - 3-е изд.- Рек. МО РФ. - М.: Финансы и статистика, 2007. 416 с.
16. Салин В.Н. Статистика [Электронные ресурсы] : Электронный учебник для СПО /
В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова, Е.П. Шпаковская. - Рек. МО РФ. - М. : КНОРУС, 2008. CD-ROM
17. Статистика [Электронные ресурсы] : Электронный учебный курс / под ред. М.Г.
Назарова. - М. : КНОРУС, 2008 + аним.,зв.
18. Статистика [Электронные ресурсы] : Электронный учебник / под ред. М.Г. Назарова.
- Рек.УМО. - М. : КНОРУС, 2009. - CD-ROM
19. Годин, А. М. Статистика [Электронный ресурс] : Учебник / А. М. Годин. - 10-е изд.,
перераб. и испр. - Издательско-торговая корпорация "Дашков и К°", 2013. - 452 с. –
Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL :
http://znanium.com/bookread.php?book=430372
20. Статистика: [Электронный ресурс] : Учебное пособие / О.А. Шумак, А.В. Гераськин.
- М.: ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2012. - 311 с... - (Высшее образование: Бакалавриат).
46
– Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL :
http://znanium.com/bookread.php?book=261152
21. Общая и прикладная статистика: [Электронный ресурс] : Учебник для студентов
высшего проф. образов. / Р.Н.Пахунова, П.Ф.Аскеров, А.В.Пахунов; Под общ. ред.
Р.Н.Пахуновой - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 272 с.: – Доступ с сайта электроннобиблиотечной
системы
Znanium.
–
URL
:
http://znanium.com/bookread.php?book=404310
22. Улитина, Е. В. Статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е. В. Улитина, О.
В. Леднева, О. Л. Жирнова; под ред. Е. В. Улитиной. - 3-е изд., стереотипное. - М.:
Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия) – Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL :
http://znanium.com/bookread.php?book=451324
23. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям
/ Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 551 с. – Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL :
http://znanium.com/bookread.php?book=394979
24. Шапкин, А. С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию [Электронный ресурс] : Учебное пособие для бакалавров / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. - 8-е изд. - М. :
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. - 432 с. – Доступ с сайта
электронно-библиотечной
системы
Znanium.
–
URL
:
http://znanium.com/bookread.php?book=430613
25. Чжун, К. Л. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и
финансовая математика [Электронный ресурс] / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа ; пер. с
англ. - 2-е изд. - (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. - 455 с.: – Доступ с
сайта
электронно-библиотечной
системы
Znanium.
–
URL
: http://znanium.com/bookread.php?book=477952
26. Теория вероятностей [Электронный ресурс]: Учебник / Р.Ш. Хуснутдинов. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 175 с. – Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. –
URL : http://znanium.com/bookread.php?book=363773
27. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика [Электронный ресурс] : учебное
пособие / М. Б. Лагутин. - 3-е изд. (эл.). - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 472 с. – Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Znanium. – URL
: http://znanium.com/bookread.php?book=366065
28. Васильева Э.К. Статистика [Электронный ресурс] : Учебник для вузов / Васильева
Э.К., Лялин В.С. - Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.- 399 с. . - Доступ с сайта электронно-библиотечной
системы
IQlib.
–
URL
:
http://www.iqlib.ru/book/preview.visp?uid=FBA189A2-583B-4AE7
29. Воронин В.Ф. Статистика [Электронный ресурс] : Учебное пособие для вузов / Воронин В.Ф., Жильцова Ю.В., Эриашвили Н.Д. - Москва:ЮНИТИ-ДАНА, 2012.- 535 с.
. - Доступ с сайта электронно-библиотечной системы IQlib. – URL :
http://www.iqlib.ru/book/preview.visp?uid=EEEB2E17-0BF2-4402
30. Гусаров В.М. Общая теория статистики [Электронный ресурс] : Учебное пособие
для вузов / Гусаров В.М., Проява С.М..- Москва:ЮНИТИ-ДАНА, 2012.- 207 с. . - Доступ
с
сайта
электронно-библиотечной
системы
IQlib.
–
URL
:
http://www.iqlib.ru/book/preview.visp?uid=1877C0DE-6191-4DA8
в) программное обеспечение и интернет-ресурсы:
1. Электронная библиотечная система «ZNANIUM.COM» http://www.znanium.ru
2. Электронная библиотечная система «IQlib» http://www.IQlib.ru
3. Электронная библиотека по теории вероятностей – http://zyurvas.narod.ru/bibtver.html
47
4. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения –
http://www.teorver.ru/upravlyaemye-markovskie-processy-i-ix-prilozheniya/
5. И.Н. Володин. Лекции по теории вероятностей и математической статистике –
http://www.ksu.ru/infres/volodin/
6. Лекция: Теория вероятности – http://works.tarefer.ru/75/100129/index.html
7. Теория вероятностей и математическая статистика: учебники, лекции, сайты, примеры, - http://www.matburo.ru/st_subject.php?p=tv
8. Учебник по теории вероятности – http://mathem.h1.ru/index.html
9. Учебник по теории вероятности –http://www.matburo.ru/tv_book.php
10. Формулы по теории вероятности –http://www.matburo.ru/tv_spr.php
Перечень обучающих, справочно-информационных,
контролирующих компьютерных программ
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование рекомендуемых программ
Зайцев Г.О., Курилин А.В. Электронные тесты
по высшей математике: МАЭП, Москва, 2008
Комплексы демонстрационных и вычислительных программ по темам:
Графики функций распределения
Геометрический смысл интегральных величин
t-критерий Стьюдента
Критерий согласия Пирсона
Корреляционный анализ
Доверительные интервалы регрессионных моделей
Ранговая корреляция Спирмена
Генераторы задач
Наименование разделов и
тем
По всем темам
Темы 10,13
Темы 7,8,12
Темы 14,15
Тема 15,16
Темы 17,18
Темы 17-18
Тема 19
По всем темам
8. Материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля)
Наименование технического средства
Компьютерные классы
Интерактивная доска
Компьютеры
Стандартное программное обеспечение (Windows + MS Office)
Локальная сеть с дистанционным управлением
Безлимитный Internet
Планшетные сканеры
Принтеры
48
Количество
4
1
60
60
1
1
1
1
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 38.03.02 «Менеджмент», профиль подготовки «Финансовый менеджмент».
Автор:
к.ф.-м.н., проф. Г.О.Зайцев
Рецензент: к.ф.-м.н., д.пс.н. Г.В.Семья, директор Межрегионального НИИ
профессиональных компетенций СФГА
Программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры.
Протокол № 1 от 2 сентября 2014 г.
© Г.О. Зайцев, 2014
© Московская академия
экономики и права, 2014
49
Скачать