Объем пирамиды

Тема: «Объем пирамиды».
Цели урока:
Образовательные: продолжить формировать умения и навыки в решении задач.
Развивающие: развивать логическое, образно-пространственное мышление учащихся,
умения действовать по алгоритму, составлять алгоритм действий..
Воспитательные: воспитывать познавательную активность, самостоятельность, культуру
графического труда.
Тип урока: урок-практикум
Вид урока: смешанный.
Прогнозируемый результат:
знать формулы для нахождения площади плоских фигур, объема пирамиды,
уметь применять при решении задач.
Оборудование урока.
Программное обеспечение: 1. «Пирамида» (электронное приложение);
2. Microsoft Power Point;
3. Microsoft Word;
4. раздаточный материал;
Техническое обеспечение: интерактивная доска Activ Board.
План урока.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Организационный момент.
Постановка цели урока.
Актуализация знаний.
Решение задач.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание.
Найти ошибку.
Подведение итогов.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учителя.
II. Постановка цели урока.
Систематизация знаний учащихся, применение при решении задач.
III. Актуализация знаний.
Дифференцированная работа в группах.
А) заполнить закрытые рамки. Каждая группа получает задание, затем обмениваются и
проверяют, используя ключ.
Фронтальная работа.
В) закончить определение перетаскиванием правильного продолжения.
Вопросы.
1.Объем любой пирамиды равен…
2.Пирамида правильная…
3.Боковыми гранями пирамиды …
4.Апофемой называется…
5.Тетраэдр…
Ответы.
а) одной трети произведения площади ее основания на высоту.
б) половине произведения периметра основания на апофему.
в) если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром основания, является высотой.
г) многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников.
д) являются треугольники.
е) являются трапеции.
ж) высота боковой грани пирамиды.
з) высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
и) треугольная пирамида.
к) пирамида, гранями которой являются правильные треугольники.
Ключ: 1-а; 2-в; 3-д; 4-з; 5-к.
С) используя чертеж правильной пирамиды, выделить на нем указанный элемент:
а) высоту пирамиды б) высоту боковой грани в) угол между боковой гранью и основанием г) угол между боковым ребром и основанием д) угол между апофемой и высотой е) радиус окружности, описанной около основания ж) радиус окружности, вписанной в основание -
D) В заданиях ЕНТ часто встречаются задачи, в которых ученик должен определить, куда
проектируется вершина пирамиды, поэтому необходимо повторять:
1) В каких случаях высота пирамиды пройдет через центр вписанной окружности?
-Если все двугранные углы при основании пирамиды равны.
-Если все высоты боковых граней равны.
-Если все высоты боковых граней составляют равные углы с высотой пирамиды.
-Если пирамида правильная.
2) В каких случаях высота пирамиды пройдет через центр описанной окружности?
-Если все боковые ребра равны.
-Если все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.
-Если все боковые ребра составляют равные углы с высотой пирамиды.
-Если пирамида правильная.
Вывод: знают теоретический материал для нахождения объема пирамиды.
IV. Закрепление - решение задач.
Фронтальная работа.
Задача №1.
Ученик для решения задачи использует готовый чертеж из библиотеки ресурсов.
Найти объем пирамиды с высотой h: h=2,2м, а основанием
служит треугольник АВС, в котором АВ=20см, ВС=13,5см,
АВС=300.
1
1
Решение. V=3 𝑆осн ∙ ℎ; ℎ = 2,2м = 220см; 𝑆осн = 2 ∙ 20 ∙ 13,5 ∙ 𝑠𝑖𝑛300 =
1
135
2
135
см2 ;
V=3 ∙ 220 ∙ 2 = 45 ∙ 110 = 4950см3 .
Ответ: 4950см3 .
Задача №2.
Ученик достраивает четырехугольную пирамиду из библиотеки ресурсов.
Основанием пирамиды служит ромб со стороной 6см и
острым углом 600. Двугранные углы при основании
пирамиды по 450. Найти объем пирамиды.
1
Решение. V=3 𝑆осн ∙ ℎ; Socн=66sin600=18√3см2, r=a/2=3cм, KOT(КТО=450):
h=OT=r=ОА= 3см, V=1/3 3 =18√3см3.
Ответ: 18√3см3.
Задача №3.
Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона
основания равна 1. Найти боковое ребро.
1
Решение: 𝑉 = 3 𝑆осн ℎ,
1 3√3
12
𝑆осн = 6
𝑎2 √3
4
= 6
1 √3
4
=
3√3
2
; R=a=1;
6 = 3  2 ℎ; ℎ = ; из АОТ по Th Пифагора АТ =7ед.
√3
Ответ: 7ед.
Вывод: знают и умеют применять теоретический материал при решении задач, строить
чертеж.
Задача №4.
Объем правильной четырехугольной пирамиды КABCD
равен 12. Точка Е - середина ребра КB. Найти объем
треугольной пирамиды ЕАDС.
Объем пирамиды равен одной трети произведения ее основания и высоты: V=1/3 Socн h .
Для пирамиды КABCD: 12=1/3SABCD  h; 36= SABCD  h
Площадь основания пирамиды ЕADC по условию в 2 раза меньше площади основания
пирамиды КABCD, т.к. диагональ АС делит квадрат ABCD пополам. Также высота
данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды KАDС, т.к. точка Е середина ребра КD.
VSABC= 1/3  SABCD/2  h/2 = 1/3  36/2  1/2=3ед.
Ответ: 3ед.
V. Самостоятельная работа /задачи на готовых чертежах/.
№1
Найти высоту правильной
треугольной пирамиды,
стороны основания которой
равны 2, а объем равен √3.
№2
DABC - пирамида, АВ=20,
ВС=21, АС=29.
Найти объем пирамиды.
№3
DABC - пирамида, ABC правильный, DA=13,
а = 12√3. Найти объем
пирамиды.
Вывод: учащиеся умеют самостоятельно решать задачи.
VI. Домашнее задание.
№1.Боковые ребра
треугольной пирамиды
взаимно перпендикулярны,
каждое из них равно 6.
Найти объем пирамиды.
№2. В основании пирамиды
лежит прямоугольный
треугольник с гипотенузой,
равной 1, и острым углом
300. Боковые ребра
пирамиды наклонены к
плоскости основания под
углом 450. Найти объем
пирамиды.
№3. Апофема боковой грани
правильной
четырехугольной пирамиды
равна 6√3, а угол между
апофемой боковой грани и
плоскостью основания - 600.
Найти объем пирамиды.
VII. Развивающее задание. Найти ошибку на чертеже.
№1.
№2
VIII. Подведение итогов.
1.Объем любой пирамиды равен…
2.Пирамида правильная…
3.Площадь боковой поверхности равна …
4.Апофемой называется…
5.Формулы площади треугольника.
Литература.
1. Геометрия,10-11, Атанасян
2. И.П.Рустюмова, С.Т.Рустюмова, Тренажер по математике для подготовки к ЕНТ,
Алматы, 2011.
3. Цифровые образовательные ресурсы
4. Э.Н,Балаян, Геометрия: задачи на готовых чертежах, Ростов-на-Дону, 2013