Пример - Сумський державний університет
реклама
Министерство образования и науки Украины
Сумский государственный университет
Р. П. Борисенко, П. Г. Бердник, О. М. Бочарова
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
В двух частях
Часть 1
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины
Сумы
Сумский государственный университет
2014
3
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я729
Б51
Рецензенты:
Ф. Н. Лиман – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
математики Сумского государственного педагогического университета им. А. С. Макаренко;
Л. В. Курпа – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной
математики Национального технического университета «ХПИ»;
Г. Ч. Куринной – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии
механико-математического факультета Харьковского национального университета
им. В. Н. Каразина
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся на подготовительных отделениях высших учебных заведений Украины
(письмо № 1/11-7901 от 23.05.2014 г.)
Б51
Борисенко Р. П.
Математика : учебное пособие : в 2 ч. / Р. П. Борисенко, П. Г. Бердник,
О. М. Бочарова. – Сумы : Сумский государственный университет, 2014. – Ч. 1. –
226 с.
ISBN 978-966-657-525-1
ISBN 978-966-657-526-8 (часть 1)
Учебное пособие предназначено для иностранных студентов,
обучающихся на подготовительных отделениях высших учебных заведений
Украины.
Теоретический и практический материал, изложенный в пособии,
соответствует программе по русскому языку подготовительных отделений. В
учебном пособии приведено большое количество заданий разных уровней. В
текстах выделены основные понятия, термины и определения, в конце каждого
параграфа даются перечень новых слов, ответы к упражнениям, контрольные
вопросы.
Учебное пособие построено таким образом, чтобы помочь иностранным
студентам быстрее преодолеть языковой барьер.
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я729
ISBN 978-966-657-525-1
ISBN 978-966-657-526-8 (часть 1)
© Борисенко Р. П., Бердник П. Г.,
Бочарова О. М., 2014
© Сумский государственный университет, 2014 Бочарова О
4
СОДЕРЖАНИЕ
С.
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 8
РАЗДЕЛ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ............................................................... 9
§ 1. Цифры и целые числа. Математические знаки ............................................ 9
§ 2. Арифметические действия ............................................................................ 12
§ 3. Признаки делимости чисел ........................................................................... 15
§ 4. Делитель и кратное. НОД и НОК ................................................................. 17
§ 5. Обыкновенные дроби ..................................................................................... 20
§ 6. Все действия с дробями ................................................................................. 24
§ 7. Десятичные дроби .......................................................................................... 28
§ 8. Отношения. Пропорции. Проценты ............................................................. 32
РАЗДЕЛ 2. МНОЖЕСТВА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА .............................. 38
§ 1. Множества....................................................................................................... 38
§ 2. Рациональные числа ....................................................................................... 42
§ 3. Возведение в степень ..................................................................................... 50
РАЗДЕЛ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ............................................... 57
§ 1. Одночлены и многочлены ............................................................................. 57
§ 2. Алгебраические дроби ................................................................................... 73
РАЗДЕЛ 4. КОРЕНЬ. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ ..................................................................................................... 86
§ 1. Корень .............................................................................................................. 86
§ 2. Подобные корни ............................................................................................. 94
§ 3. Иррациональные выражения....................................................................... 100
§ 4. Степень с рациональным показателем ....................................................... 106
РАЗДЕЛ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ ............................................................................................................... 112
§ 1. Равенства. Тождества. Уравнения .............................................................. 112
§ 2. Линейные уравнения .................................................................................... 114
§ 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными............................ 119
5
§ 4. Решение системы двух линейных уравнений с помощью
определителей ...................................................................................................... 126
РАЗДЕЛ 6. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ......................................................................................................... 131
§ 1. Квадратные уравнения ................................................................................. 131
§ 2. Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители ....... 135
§ 3. Биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним ..................... 138
§ 4. Иррациональные уравнения ........................................................................ 142
§ 5. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными ......................... 145
РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ ........................................................................................ 150
§ 1. Функция ......................................................................................................... 150
§ 2. Свойства функции ........................................................................................ 152
§ 3. Линейная функция ....................................................................................... 155
§ 4. Способы построения графиков функций ................................................... 158
§ 5. Обратная пропорциональность ................................................................... 162
§ 6. Дробно-линейная функция .......................................................................... 164
§ 7. Квадратичная функция ................................................................................ 167
§ 8. Степенная функция ...................................................................................... 171
РАЗДЕЛ 8. НЕРАВЕНСТВА ............................................................................... 173
§ 1. Числовые неравенства ................................................................................. 173
§ 2. Доказательство неравенств ......................................................................... 177
§ 3. Неравенства с переменными, системы и совокупности неравенств ....... 179
§ 4. Решение линейных и квадратных неравенств ........................................... 181
§ 5. Решение неравенств методом интервалов ................................................. 186
§ 6. Решение неравенств, которые содержат переменную под знаком
модуля ................................................................................................................... 191
§ 7. Решение иррациональных неравенств ....................................................... 193
РАЗДЕЛ 9. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИИ ............................................................................................................. 197
§ 1. Показательная функция ............................................................................... 197
§ 2. Показательные уравнения ........................................................................... 199
6
§ 3. Показательные неравенства ........................................................................ 203
§ 4. Обратная функция ........................................................................................ 206
§ 5. Логарифм ....................................................................................................... 208
§ 6. Логарифмическая функция ......................................................................... 214
§ 7. Логарифмические уравнения ...................................................................... 217
§ 8. Логарифмические неравенства ................................................................... 222
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 227
7
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие «Математика. Часть 1» предназначено для иностранных
студентов, обучающихся на подготовительных факультетах высших учебных
заведений Украины. Оно содержит такие разделы: «Начальные сведения»,
«Множества. Рациональные числа», «Рациональные выражения», «Уравнения.
Системы уравнений первой степени», «Корень. Степень с рациональным
показателем», «Квадратные уравнения и системы уравнений второй степени с
двумя неизвестными», «Функции», «Неравенства», «Показательная и
логарифмическая функции».
Учебное пособие построено таким образом, чтобы помочь иностранным
студентам быстрее преодолеть языковой барьер. Во всех разделах
теоретический и практический материал адаптирован в соответствии с
программой по русскому языку подготовительных факультетов. Материал
изложен кратко и доступен для понимания. Приведено большое количество
примеров разных уровней, в том числе и для самостоятельной работы. Это
делает учебное пособие удобным для работы в группах с различным уровнем
подготовки; дает возможность студентам с более высоким уровнем знаний
закрепить и углубить их, а слабо подготовленным студентам получить новые
необходимые знания. Также для удобства работы студентов-иностранцев в
текстах выделены основные понятия, термины и определения, в конце каждого
параграфа дается перечень новых слов, а также ответы к упражнениям.
Данное учебное пособие может быть использовано преподавателями
подготовительных факультетов для иностранных граждан.
Учебное пособие подготовили:
Введение: П. Г. Бердник, Р. П. Борисенко;
Раздел І: О. М. Бочарова, П. Г. Бердник;
Раздел ІІ, ІІІ, ІV, V: Р. П. Борисенко;
Раздел VІ: О. М. Бочарова;
Раздел VІІ, VІІІ, ІX: П. Г. Бердник.
Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Ф. Н. Лыман
(Сумской государственный педагогический университет им. А. С. Макаренко);
доктор технических наук, профессор Л. В. Курпа (Национальный технический
университет «ХПИ»); кандидат физико-математических наук, доцент
Г. Ч. Куренной (Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина).
8
РАЗДЕЛ 1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. ЦИФРЫ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ
Арифметика – это наука о числах.
Арифметика изучает свойства чисел и правила вычислений.
Понятие о целом (натуральном) числе появилось из счета предметов.
1, 2, 3, 4, 5, …, n , … это натуральные числа.
2, 4, 6, 8, 10, …, 2n , … это чётные числа.
1, 3, 5, 7, …, 2n–1 , … это нечётные числа.
Цифра – это математический знак числа.
Десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – это цифры.
Для названий цифр используют слова:
0 – ноль
5 – пять
1 – один
6 – шесть
2 – два
7 – семь
3 – три
8 – восемь
4 – четыре
9 – девять
4, 7, 9 − это однозначные числа (число содержит один знак).
10, 25, 79 – это двузначные числа (число содержит два знака).
374, 619, 812 – это трёхзначные числа (число содержит три знака).
1861, 2047– это четырёхзначные числа (число содержит четыре знака).
...
Двузначные числа, трёхзначные числа, четырёхзначные числа и т. д. это
многозначные числа.
Как читать многозначные числа?
Названия однозначных чисел – это названия цифр.
Для названий двузначных и трёхзначных чисел используют слова:
11 – одиннадцать
10 – десять
100 − сто
12 – двенадцать
20 – двадцать
200 – двести
13 – тринадцать
30 – тридцать
300 – триста
14 – четырнадцать
40 – сорок
400 – четыреста
15 – пятнадцать
50 – пятьдесят
500 – пятьсот
16 – шестнадцать
60 – шестьдесят
600 – шестьсот
17 – семнадцать
70 – семьдесят
700 – семьсот
18 – восемнадцать
80 – восемьдесят
800 – восемьсот
19 – девятнадцать
90 – девяносто
900 – девятьсот
Эти слова состоят из названий цифр и слов десять (-дцать) и сто (-сот).
Пример. 18 – восемнадцать, 70 – семьдесят, 400 – четыреста.
Исключение: число 40 – сорок.
9
Двузначные и трёхзначные числа читаем так:
21 – двадцать один, 47 – сорок семь, 64 – шестьдесят четыре, 236 – двести
тридцать шесть, 491 – четыреста девяносто один, 712 – семьсот двенадцать.
Четырёхзначные числа, пятизначные числа, шестизначные числа и
т. д. при чтении делят на классы: справа отделяют три цифры (первый класс),
затем ещё три цифры (второй класс), затем ещё три цифры (третий класс) и т. д.
Пример. 35261049
первый класс
второй класс
третий класс
Единицы классов называются так:
Единица первого класса – единица.
Единица второго класса – тысяча.
Единица третьего класса – миллион.
Единица четвёртого класса – биллион (миллиард).
Единица пятого класса – триллион.
...
Число единиц классов читаем так:
1
один миллион (м. р.)
одна тысяча (ж. р.)
2
два миллиона
две тысячи
3
три миллиона
три тысячи
4
четыре миллиона
четыре тысячи
5
пять миллионов
пять тысяч
6
шесть миллионов
шесть тысяч
7
семь миллионов
семь тысяч
...
...
...
20
двадцать миллионов
двадцать тысяч
Многозначные числа читаем так:
35261049 – 35 261 049 – тридцать пять миллионов двести шестьдесят
одна тысяча сорок девять.
521032412 – 521 032 412 – пятьсот двадцать один миллион тридцать две
тысячи четыреста двенадцать.
3706519000 – 3 706 519 000 – три миллиарда семьсот шесть миллионов
пятьсот девятнадцать тысяч.
Математические знаки
+ плюс
> больше (чего?) или
минус
больше, чем (что?)
× (∙) умножить на (что?)
< меньше (чего?) или
(?отч) ан ьтилед(зар) ׃
меньше, чем (что?)
= равно (чему?) , будет (что?)
≥ больше или равно (чему?)
≠ не равно (чему?)
≤ меньше или равно (чему?)
10
Запомните!
равно (чему?)
(Дательный падеж)
0 – нулю
1 – одному
2 – двум
3 – трем
4 – четырем
5 – пяти
6 – шести
7 – семи
…
20 – двадцати
21 – двадцати одному
…
40 – сорока
100 – ста
Скобки читаем так:
( ) – круглые скобки; [ ] – квадратные скобки; { } – фигурные скобки.
( – открыть круглую скобку;
) – закрыть круглую скобку.
[ – открыть квадратную скобку; ] – закрыть квадратную скобку.
{ – открыть фигурную скобку; } – закрыть фигурную скобку.
Слова и словосочетания: арифме́тика, сво́йствo, пра́вило, вычисле́ние,
ци́фра, счита́ть, знак, миллио́н, ты́сяча, отделя́ть, матема́тика, математи́ческий,
называ́ть (-ся), число́, це́лое число́, натура́льное число́, чё́тное число́, нечё́тное
число́, однозна́чное число́, двузна́чное число́, многозна́чное число́,
испо́льзовать, состоя́ть, содержа́ть, изуча́ть, за́пись, запи́сывать, счёт.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прочитайте числа:
а) 8, 12, 19, 28, 51, 74, 51, 87, 275, 396, 453, 675, 699, 708, 780, 807, 919, 990;
б) 1009, 1010, 2012, 2019, 2120, 2386, 3597, 4719, 7022, 21835, 75863, 90019;
в) 123456, 157751, 871293, 902030, 1315411, 190005, 2549351, 12019090.
2. Считайте десятками до 100.
3. Считайте сотнями до 1000.
4. Считайте тысячами до 25000.
5. Считайте миллионами до 10000000.
6. Напишите из упражнения 1а): нечётные двузначные числа, чётные
трёхзначные числа.
7. Напишите числа цифрами:
11
а) семь, двенадцать, девятнадцать, двадцать, шестьдесят семь, семьдесят
восемь, девяносто два, сто двадцать один, триста четыре, шестьсот девяносто
девять;
б) сто тринадцать, сто тридцать, двести девятнадцать, девятьсот двенадцать,
одна тысяча сто сорок, две тысячи тринадцать, три тысячи, сто тысяч двести.
8. Прочитайте:
а) 3 + 2 = 5;
д) 9 + 3 = 12;
з) 28 + 6 = 34;
б) 11 – 4 = 7;
е) 10 – 1 = 9;
и) 34 – 9 = 25;
в) 5 · 3 = 15;
ё) 8 · 5 = 40;
й) 8 · 7 = 56;
г) 8 : 2 = 4;
ж) 33 : 11 = 3;
к) 63 : 7 = 9.
9. Прочитайте:
а) 90 : 3 19 56 :14 5 3 ;
б) 2 148 72 : 4 55 : 9 35 ;
в) 160 : 13 810 : 96 32 15:80 3 4 ;
г) 367710 : 35 302 49 50702 :101 24802 .
10. Запишите математическими знаками:
а) тридцать один плюс два будет тридцать три;
б) двадцать восемь минус двадцать четыре равно четырем;
в) девять разделить на три будет три;
г) два умножить на пять равно десяти;
д) открыть круглую скобку. Десять плюс восемь разделить на два. Закрыть
круглую скобку. Умножить на четыре. Равно пятидесяти шести;
е) пять умножить. Открыть фигурную скобку. Двадцать два минус три
умножить. Открыть квадратную скобку. Шесть плюс четыре разделить.
Открыть круглую скобку. Двадцать восемь минус три умножить на восемь.
Закрыть круглую скобку. Закрыть квадратную скобку. Закрыть фигурную
скобку. Равно пяти.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Что изучает арифметика?
Сколько цифр вы знаете? Назовите цифры.
Из каких слов состоят названия многозначных чисел?
Как делят многозначные числа на классы при чтении?
Назовите математические знаки.
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Арифметическое действие – это действие с двумя числами (a и b).
Результат действия – это тоже число (с).
12
Арифметические действия:
1. Сложение:
2. Вычитание:
3. Умножение:
a+b=c
a–b=c
a·b=c
a − слагаемое
a − уменьшаемое a − множитель
b − слагаемое
b − вычитаемое
b − множитель
c − сумма
c – разность
c − произведение
4. Деление:
a׃b=c
a − делимое
b − делитель
c – частное
Порядок арифметических действий
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение,
деление) делаем по правилу: сначала выполняем действия умножения и
деления, а потом – действия сложения и вычитания в порядке записи
(слева направо).
Пример 1. 2 · 5 – 3 · 3 + 18 : 2 : 3 = 4
2 · 5 – 3 · 3 + 18 : 2 : 3 = 4
2 · 5 – 3 · 3 + 18 : 2 : 3 = 4
сначала 1
2
3
потом
4
5
это – порядок действий
1 2 3 4
5
это – порядок записи
Сначала выполняем действия умножения и деления (в порядке записи):
2 · 5 = 10; 3 · 3 = 9; 18 : 2 : 3 = 3.
Потом выполняем действия сложения и вычитания (в порядке записи):
10 – 9 + 3 = 4.
Если нужно выполнить действия в другом порядке, то используют
скобки:
2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6 сначала выполняем умножение, потом – сложение;
(2 + 2) · 2 = 4 · 2 = 8 сначала выполняем сложение, потом – умножение.
Если запись содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия
в скобках и получить результат. Говорим: «раскрыть скобки».
Потом заменить выражение в скобках на полученный результат и
выполнить остальные действия.
Пример 2. 9 + 16 : 4 – 2· (16 – 2 · 7 + 4) = 1.
Сначала выполняем действия в скобках: 16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6.
Число 6 – это полученный результат.
Заменяем выражение в скобках на полученный результат (на 6) и выполняем
остальные действия: 9 + 16 : 4 – 2 · 6 = 9 + 4 – 12 = 1.
Пример 3. [100 – 2 · (35 + 12 – 2 · 5)] ·3 – 70 = 8.
Эта запись содержит квадратные и круглые скобки.
Выражение в круглых скобках стоит внутри квадратных скобок. Сначала
раскрываем круглые (внутренние) скобки: 35 + 12 – 2 · 5 = 35 + 12 – 10 = 37.
Число 37 – это полученный результат.
Заменяем выражение в круглых скобках на полученный результат:
[100 – 2 · 37] · 3 – 70.
Раскрываем квадратные скобки: 100 – 2 · 37 = 100 – 74 = 26.
13
Число 26 – это полученный результат.
Заменяем выражение в квадратных скобках на полученный результат (на 26) и
выполняем остальные действия: 26·3 – 70=78 – 70=8.
Основные законы арифметических действий
Законы сложения
1. Коммутативный (переместительный) закон: a+b = b+a.
3+5=8 и 5+3=8.
2. Ассоциативный (сочетательный) закон: (a+b)+с = a+(b+с).
(3+5)+2=8+2=10 и 3+(5+2)=3+7=10.
Законы умножения
1. Коммутативный (переместительный) закон: a·b = b·a.
3·5=15 и 5·3=15.
2. Ассоциативный (сочетательный) закон: (a·b)·с = a· (b·с).
(3·5)·2=30 и 3·(5·2)=30.
3. Дистрибутивный (распределительный) закон: (a+b)·с = a·с+b·с.
Слова и словосочетания: дéйствие, остальны́е, ну́жно, поря́док
дéйствий, основно́й; е́сли…, то…;
поря́док за́писи, друго́й; снача́ла…,
пото́м …; результа́т, заменя́ть (на что?), внутри́, получа́ть результа́т,
полу́ченный результа́т, выполня́ть, вну́тренние, испо́льзовать, раскры́ть ско́бки,
выраже́ние, содержа́ть.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Прочитайте выражение и выполните действия:
[(324 – 13·12:6+21) – 19]:100+27·2,
раскрываем круглые скобки:
1) умножение: 13·12=156;
2) деление: 156:6= 26;
3) вычитание: 324 – 26=298;
4) сложение: 298+21=319;
раскрываем квадратные скобки:
5) вычитание: 319 – 19=300;
выполняем остальные действия:
6) деление: 300:100=3;
7) умножение: 27·2=54;
8) сложение: 3+54=57.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прочитайте выражения и выполните действия:
а) 26+2·[(16 – 10) : 3] – 5·4;
б) 10– [(20+8) : 4 +3] : (7 – 2);
в) {125 – [20+(119 – 35 : 7 +6) :8] · 2} : 11 + 5;
14
г) 36 42 50 : 39 22 : 2 25 5 199 4 .
2. Напишите математическими знаками и выполните действия:
а) тридцать минус. Открыть квадратную скобку. Открыть круглую скобку.
Двенадцать плюс двадцать. Закрыть круглую скобку. Разделить на восемь,
минус два. Закрыть квадратную скобку. Умножить на десять. Равно десяти;
б) двадцать пять минус. Открыть фигурную скобку. Девятнадцать плюс.
Открыть квадратную скобку. Двадцать минус. Открыть круглую скобку. Сорок
пять разделить на пятнадцать, плюс двенадцать. Закрыть круглую скобку. Плюс
семь. Закрыть квадратную скобку. Минус десять. Закрыть фигурную скобку.
Будет четыре.
3. Выполните действия с помощью законов арифметических действий:
а) 63 46 50 37 54 ;
д) 141 14 14 859 ;
б) 25 31 4 ;
е) 341 27 241 27 ;
в) 16 125 2 4 ;
ё) 56 3: 7 20 3 5 ;
г) 51 212 :106 ;
ж) 30 2 5 49 3: 7 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как называются арифметические действия?
2. Как называются результаты арифметических действий?
3. В каком порядке выполняются арифметические действия?
4. Для чего используют скобки в записи арифметических действий?
5. Как вы понимаете слова «раскрыть скобки»?
§ 3. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
1. Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
Пример. Числа 22, 30, 546, 4378 делятся на 2, потому что их последние цифры
делятся на 2.
2. Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.
Пример. Числа 15, 50, 245, 480 делятся на 5, потому что их последние цифры 0
или 5.
3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Пример. Число 192 делится на 3, потому что 1+9+2=12, а 12 делится на 3.
4. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Пример. Число 252 делится на 3, потому что 2+5+2=9, а 9 делится на 9.
5. Число делится на 10, если его последняя цифра – ноль.
Пример. Число 3560 делится на 10, потому что его последняя цифра – ноль.
15
6. Число делится на 4, если две его последние цифры делятся на 4.
Пример. Число 1972 делится на 4, потому что две его последние цифры – число
72, а 72 делится на 4.
7. Число делится на 25, если две его последние цифры делятся на 25 или
две его последние цифры – нули.
Пример. Число 175 делится на 25, потому что две его последние цифры – число
75, а 75 делится на 25; число 2000 делится на 25, потому что две его последние
цифры – нули.
8. Число делится на 8, если три его последние цифры делятся на 8 или
три его последние цифры – нули.
Пример. Число 3128 делится на 8, потому что три его последние цифры – число
128, а 128 делится на 8; число 2000 делится на 8, потому что три его последние
цифры – нули.
9. Число делится на 125, если три его последние цифры делятся на 125
или три его последние цифры – нули.
Пример. Число 1375 делится на 125, потому что три его последние цифры –
число 275, а 375 делится на 125; число 2000 делится на 125, потому что три его
последние цифры – нули.
10. Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
Пример. Число 1068, делится на 6, потому что оно делится на 2 (последняя
цифра 8) и на 3 (сумма цифр 1+0+6+8=15, а 15 делится на 3).
Слова и словосочетания: при́знак, дели́мость чи́сел, при́знаки
дели́мости чи́сел, после́дний, после́дняя ци́фра – после́дние ци́фры, число́
де́лится (на что?).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Назовите три числа, которые:
а) делятся на 2;
е) делятся на 8;
б) делятся на 3;
ё) делятся на 9;
в) делятся на 4;
ж) делится на 10;
г) делятся на 5;
з) делятся на 25;
д) делятся на 6;
и) делятся на 125.
2. Прочитайте сначала числа, которые делятся на 2; потом числа, которые
делятся на 3; потом числа, которые делятся на 6: 378, 3008, 255, 1024, 3120, 741,
5170, 6300, 258, 7875, 12048, 555.
3. Напишите все двузначные числа, которые делятся на 25.
4. Напишите все трехзначные числа, которые делятся на 125.
16
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Какие числа делятся на 2?
Какие числа делятся на 3?
Какие числа делятся на 4?
Какие числа делятся на 5?
Какие числа делятся на 6?
Какие числа делятся на 8?
Какие числа делятся на 9?
Какие числа делятся на 10?
Какие числа делятся на 25?
Какие числа делятся на 125?
§ 4. ДЕЛИТЕЛЬ И КРАТНОЕ. НОД И НОК
При делении одного целого числа на другое целое число частное может
быть точным или неточным.
Пример 1. 30 7
4 – это неточное частное,
28 4 − частное
потому что 4∙7≠30,
2 – остаток
но 4∙7+2=30.
Это деление с остатком.
Говорим так: «число 30 не делится на число 7».
Пример 2. 35 7
5 − это точное частное,
35 5
потому что 5∙7=35,
0
остаток равен нулю.
Это деление без остатка.
Говорим так: «число 35 делится без остатка на число 7» или
«число 35 делится на число 7».
Если число a делится без остатка на число b, то число b – это делитель
числа a; число a – это кратное числа b.
Делитель числа a – это число, на которое a делится без остатка.
Кратное числа b – это число, которое делится на b без остатка.
Пример. Число 35 делится на числа 5 и 7 без остатка.
Число 35 – это кратное чисел 5 и 7.
Числа 5 и 7 – это делители числа а.
Число1 и само число 35 – это тоже делители числа 35.
Простые и составные числа
Простое число – это число, которое имеет только два делителя: 1 и само
число.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … это простые числа.
Составное число – это число, которое имеет больше, чем два делителя.
17
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … это составные числа.
Любое составное число можно записать как произведение простых чисел
(множителей): 4=2∙2; 6=2∙3; 8=2∙2∙2; 9=3∙3∙3; 10=2∙5; 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; …
Говорим так: «разложить число на простые множители».
Наибольший общий делитель (НОД)
Общий делитель двух чисел – это число, на которое каждое из двух
чисел делится без остатка.
Пример. Найдём общие делители чисел 12 и 18.
Для этого разложим каждое число на простые множители:
12=2∙2∙3
1, 2, 3, 4(=2∙2), 6(=2∙3), 12 – это делители числа 12;
18=2∙3∙3
1, 2, 3, 6(=2∙3), 9(=3∙3), 18 – это делители числа 18;
1, 2, 3, 6 − это общие делители чисел 12 и 18;
(1 – это всегда общий делитель любых чисел).
6 – это наибольший общий делитель чисел 12 и 18.
Пишем так: НОД(12, 18) = 6.
Чтобы найти НОД двух чисел, нужно эти числа разложить на простые
множители, выписать только общие множители и найти их произведение.
Пример 1. Найдём НОД(12, 18).
Разложим числа 12 и 18 на простые множители и пронумеруем эти множители:
12 = 21∙22∙3121 и 31 – это общие множители.
18 = 21∙31∙32НОД(12, 18) = 2∙ 3 = 6.
Пример 2. Найдём НОД(70, 84).
Разложим числа 70 и 84 на простые множители и пронумеруем эти множители:
70 = 21∙51∙71
21 и 71 – это общие множители.
84 = 21∙22∙31∙71 НОД(70, 84) = 2∙7 = 14.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Общее кратное двух чисел – это число, которое делится без остатка на
каждое из двух чисел.
Пример. Найдем общие кратные чисел 6 и 10.
На число 6 делятся числа: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …
На число 10 делятся числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, …
Числа 30, 60, 90, 120, … − это общие кратные чисел 6 и 10.
30 – это наименьшее общее кратное чисел 6 и 10.
Пишем так: НОК(6, 10) = 30.
18
Чтобы найти НОК двух чисел, нужно эти числа разложить на простые
множители, выписать все множители и найти их произведение. Общие
множители выписываем только один раз.
Пример 1. Найдем НОК(6, 10).
Разложим числа 6 и 10 на простые множители и пронумеруем эти множители:
6=21∙31
21 – это общий множитель;
10=21∙51
21, 31, 51 – это все множители.
НОК(6, 10)= 2∙3∙ 5 = 30.
Пример 2. Найдем НОК(70, 84).
Разложим числа 70 и 84 на простые множители и пронумеруем эти множители:
70 = 21∙51∙7121 и 71 – это общие множители.
84 = 21∙22∙31∙71 НОК(70, 84) = 2∙2∙3∙5∙7 = 420.
ab
НОК двух чисел можно также найти по формуле НОК a, b
.
НОД a, b
Слова и словосочетания: просто́е число́, составно́е число́, оста́ток,
кра́тное (ср.р.), разложи́ть – раскла́дывать, разложе́ние, наибо́льший о́бщий
дели́тель (НОД), наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Верно ли, что: а) 5 – делитель числа 45; б) 16 – делитель числа 8;
в) 27 – кратное числа 3; г) 6 – кратное числа 12?
2. Из чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 назовите: а) делители числа 20;
б) кратные числа 4; в) делители числа 16; г) кратные числа 3.
3. Напишите все делители числа: а) 12; б) 19; в) 27; г) 36.
4. Напишите все двузначные числа, кратные числа: а) 8; б) 11.
5. Назовите однозначные простые числа. Назовите однозначные
составные числа.
6. Прочитайте сначала простые числа, а потом составные числа: 5, 8, 9,
12, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 29, 31, 36, 42, 45, 47, 49, 51, 62, 67, 77, 83, 90, 91, 95,
97, 101, 109.
7. Разложите числа на простые множители: 27, 36, 46, 72, 84, 100, 243,
368, 420, 1000.
8. а) Разложите на простые множители числа 48 и 64.
б) Назовите все делители числа 48.
в) Назовите все делители числа 64.
г) Назовите общие делители чисел 48 и 64.
д) Назовите НОД чисел 48 и 64.
9. Назовите:
а)все двузначные числа, кратные числа 10.
б) все двузначные числа, кратные числа 15.
в) НОК чисел 10 и 15.
19
10. Найдите НОД и НОК чисел:
а) 39 и 27;
б) 14 и 49;
в) 156 и 66;
г) 18, 36 и 72;
д) 35, 28 и 56;
е) 16, 64 и 96;
ё) 12, 18 и 36;
ж) 112, 152 и 48.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется делителем числа a?
2. Что называется кратным числа b?
3. Что такое простое число?
4. Что такое составное число?
5. Что такое НОД?
6. Что такое НОК?
§ 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
Разделим единицу на равные части (рис. 1.1, 1.2).
1
3
1
3
1
1
3
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
Рис. 1.1
Рисунок
1.1
Рис. 1
Рис. 1.21.2
Рисунок
Рис. 2
1 1 1
На рис. 1.1 единица разделена на 3 равные части: 1 . На
3 3 3
1 1 1 1 1
рис. 1.2 единица разделена на 5 равных частей: 1 .
5 5 5 5 5
Одна часть единицы или несколько равных частей единицы – это
обыкновенная дробь.
1 2 3 4 1 3 5 6
Пример. , , , , , , , – это обыкновенные дроби.
3 3 3 3 5 5 5 5
числитель дроби
a
Общий вид обыкновенной дроби:
черта дроби
b
знаменатель дроби
Числитель показывает, сколько равных частей имеет дробь. Знаменатель
показывает, на сколько равных частей разделена единица (или на какие равные
части разделена единица).
3
Пример. – обыкновенная дробь, 3 – числитель, 4 – знаменатель.
4
20
Знаменатель 4 показывает: единицу разделили на 4 части. Числитель 3
показывает: дробь имеет 3 таких (четвертых) части.
Обыкновенные дроби читаем так:
сколько? частей
каких ? мн.ч.
или
...одна часть
какая? ед.ч.
Примеры:
2 сколько? две
– две третьих.
3 каких ? третьих
11 сколько? одиннадцать
− одиннадцать пятнадцатых.
15 каких ? пятнадцатых
1 сколько? одна
− одна третья.
3 каких ? третья
41 сколько? сорок одна
− сорок одна пятидесятая.
50 каких ? пятидесятая
605 сколько? шестьсот пять
− шестьсот пять сто двадцать первых.
121 каких ? сто двадцать первых
Если a b (числитель меньше, чем знаменатель), то дробь меньше
единицы. Это правильная дробь.
1 2 3 8 7 9 17
,
,
Пример. , , , ,
– это правильные дроби.
2 3 5 9 10 21 40
Если a b (числитель больше или равен знаменателю), то дробь больше
или равна единице. Это неправильная дробь.
7 7 19 22 41 51
,
,
,
Пример. , ,
– это неправильные дроби.
5 7 12 21 40 51
Неправильную дробь можно записать как смешанное число.
Говорят: «обратить неправильную дробь в смешанное число».
Пример. Обратим смешанные числа в неправильные
7
2 7
19
1 100
7
1 ;
1;
2 ;
3 .
5
5 7
9
9
31
31
Смешанное число имеет целую часть и дробную часть (дробь).
Смешанные числа читаем так:
21
дроби:
целая часть
дробная часть
… 1 – одна целая (ед. ч.)
2, 3, 4,…, 15,…, 20 – целых (мн. ч.)
читаем как дробь
Примеры:
1
– одна целая одна вторая;
2
2
21 – двадцать одна целая две третьих;
3
3
2 – две целых три четвертых;
4
6
15 – пятнадцать целых шесть седьмых;
7
21
– восемь целых двадцать одна сороковая.
8
40
Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно
числитель дроби разделить на знаменатель дроби.
Частное – это будет целая часть смешанного числа.
Остаток – это будет числитель дроби.
дробная часть
Делитель – это будет знаменатель дроби.
1
Пример. Обратить
Разделим 23 на 5:
23
в смешанное число.
5
.
23
20
5 – это делитель
4 – это частное
3 − это остаток
23
3
4 .
5
5
Смешанное число – это сумма целого числа и дроби.
Смешанное число можно обратить в неправильную дробь.
3
3 4 5 3 23
.
Пример. 4 4
5
5
5
5
Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно сложить
целую часть и дробную часть.
Слова и словосочетания: дробь (какая?), обыкнове́нная дробь,
пра́вильная дробь, непра́вильная дробь, часть (какая?), це́лая часть, дро́бная
часть, о́бщий вид, числи́тель, знамена́тель, черта́ дро́би, ра́вен – равна́ – ра́вный,
ско́лько, не́сколько, обрати́ть – обраща́ть, пока́зывать – показа́ть.
22
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прочитайте дроби:
3 5 7 11 29 41 12
А. ; ; ;
;
;
;
;
5 7 6 12 37 42 19
101 198 217 326 513
Б.
;
;
;
;
;
341 523 412 651 395
17
;
70
891
;
715
19 9
;
.
19 99
999
.
1000
2. Прочитайте смешанные числа:
2
4
1
1
11
21
3
А. 1 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 17 ; 61 .
3
9
7
10
13
22
51
11
123
27
154
7
Б. 111
.
; 231
; 359
; 721
; 900
100
207
962
811
1000
3. Напишите только правильные дроби:
3 6 9 14 23 71 83 93 97 124 376 423 571 800 453 711
; ; ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
7 5 9 11 79 96 61 17 2
7 503 18 903 999 377 600
4. Напишите цифрами:
а) одна пятисотая, шестьдесят одна семьдесят пятая, сто тридцать одна
семьсот семьдесят седьмая, пятьсот сорок три тысячных, триста двадцать семь
восемьсот сорок девятых, шестьсот пятнадцать девятьсот двадцать вторых, сто
сорок девять трехсотых, двести девяносто девять пятьсот пятнадцатых,
шестнадцать девяносто девятых, триста тридцать три семьсот первых;
б) одна целая, двенадцать сотых; четыре целых, три седьмых; двадцать
шесть целых, семнадцать двадцатых; сто двенадцать целых, девятнадцать
сотых; пятьсот пятьдесят семь целых, шесть сотых; пятнадцать целых, три
сотых; ноль целых, двести двадцать восемь тысячных; восемь целых, пять
девятнадцатых; одиннадцать целых, шесть тысячных.
5. Обратите неправильные дроби в смешанные числа:
12 15 50 107 142 307 472
;
;
;
;
;
;
.
5
7
9
36
47
2
60
6. Обратите смешанные числа в неправильные дроби:
5
1
15
2
2
1
1 ; 3 ; 2 ; 5 ; 11 ; 30 .
7
9
16
17
13
30
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое обыкновенная дробь?
2. Какая дробь называется правильной?
3. Какая дробь называется неправильной?
23
4. Какие части имеет смешанное число?
5. Что показывает числитель дроби?
6. Что показывает знаменатель дроби?
§ 6. ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ
1. Основное свойство дроби
Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби
умножить или разделить на одинаковое число, не равное нулю:
a a m a:m
m 0 .
b bm b:m
1 1 2 2
12 12 : 6 2
.
Примеры:.
;
18 18 : 6 3
2 22 4
2. Сокращение дробей
Если числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые делители, то
дробь можно сократить.
Сократить дробь – это значит разделить числитель и знаменатель дроби
на одинаковое число.
42
Пример. Сократить дробь
.
105
Р е ш е н и е . Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
42 2 3 7
,
105 3 5 7
3 и 7 – это одинаковые множители и одинаковые (общие) делители чисел 42 и
105.
3 7 21 – это наибольший общий делитель (НОД).
42
Дробь
можно сократить на 3 и на 7
42 2
105
.
42
105
5
или дробь
можно сократить на 21
105
3. Приведение дробей к общему (наименьшему) знаменателю
Привести дроби к общему знаменателю – это значит преобразовать дробь
так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми.
Общий знаменатель – это любое общее кратное знаменателей.
Наименьший общий знаменатель – это НОК знаменателей.
24
3 5
и .
8 6
Р е ш е н и е . 8 6 48 – это общее кратное чисел 8 и 6. Преобразуем дроби:
3 3 6 18 5 5 8 40
и
. Мы привели дроби к общему знаменателю.
8 8 6 48 6 6 8 48
Пример. Приведем к общему знаменателю дроби
Найдем наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее
общее кратное (НОК) чисел 8 и 6:
86
8 2 2 2
=24.
НОД(8, 6)=2, НОК(8, 6)=
6 23
2
Число 24 – это наименьший общий знаменатель.
3
24 : 8 3 – это дополнительный множитель для дроби .
8
5
24 : 6 4 – это дополнительный множитель для дроби .
6
3 33 9
5 5 4 20
Преобразуем дроби:
и
. Мы привели дроби к
8 8 3 24
6 6 4 24
наименьшему общему знаменателю.
4. Сравнение дробей
1) Если две дроби имеют одинаковые числители, то
Пример.
1 1
;
3 4
a a
, когда b d .
b d
5 5
.
7 9
2) Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то
a c
, когда a c .
b b
5 3
11 7
;
.
8 8
12 12
3) Если дроби имеют разные числители и знаменатели, то их нужно привести к
общему (наименьшему) знаменателю, а потом сравнить.
Пример.
7
13
и
.
20 12
Р е ш е н и е . Найдем наименьшее общее кратное чисел 20 и 12.
20 12
20 2 2 5
=60.
НОД(20, 12)=4, НОК(20, 12)=
12 2 2 3
4
Число 60 – это наименьший общий знаменатель.
13
60 : 20 3 – это дополнительный множитель для дроби
.
20
7
60 :12 5 – это дополнительный множитель для дроби
.
12
25
Пример. Сравнить дроби
Приведем дроби к общему знаменателю:
13 13 3 39 7
7 5 35
;
.
20 20 3 60 12 12 5 60
39 35
Теперь дроби можно сравнить:
.
60 60
5. Арифметические действия с дробями
1. Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем
сложение (вычитание) числителей. Знаменатель не изменяется. Полученную
дробь, если можно, сокращаем.
7 5 7 5 12 4
Примеры:
;
9 9
9
9 3
7 5 75 2
.
9 9
9
9
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно привести
дроби к общему (наименьшему) знаменателю, а потом выполнит сложение
(вычитание).
7 5 7 4 5 3 28 15 28 15 43
Примеры:
;
9 12 9 4 12 3 36 36
36
36
7 5 7 4 5 3 28 15 28 15 13
.
9 12 9 4 12 3 36 36
36
36
Чтобы сложить (вычесть) смешанные числа, нужно выполнить сложение
(вычитание) целых и дробных частей отдельно, а результат записать как
смешанное число.
3 2 5
1
2
13
Примеры: 3 2 1 2 13 5 ;
5
3 15
5 3 15
1
2 1 2
6 6
2 4 2 2
1
5 2 , тогда 5 запишем как 4 4 2 6 2 8 2 8 .
5
3 5 3
5 5
3 15
5
5 3 15
2. Умножение и деление дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель и
результат записать в числитель; знаменатель умножить на знаменатель и
результат записать в знаменатель. Полученную дробь, если можно, сокращаем.
9 5 9 5 3 1 3
.
Пример.
10 6 10 6 2 2 4
26
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель делимого умножить на
знаменатель делителя и результат записать в числитель; а знаменатель
делимого умножить на числитель делителя и результат записать в знаменатель.
3 6 3 7 1 7 7
Пример. :
.
4 7 46 42 8
Чтобы умножить (разделить) смешанные числа, нужно обратить их в
неправильные дроби, а потом выполнить умножение (деление).
5 1 26 7 26
2
Примеры: 3 2
8 ;
7 3 7 3 3
3
1 1 7 19 7 6 14
2 :3 :
.
3 6 3 6 3 19 19
Слова и словосочетания: величина́ дро́би, сократи́ть – сокраща́ть,
сокраще́ние, сравни́ть – сра́внивать, сравне́ние, сложи́ть, вы́честь, умно́жить,
раздели́ть, ра́зный одина́ковый, мо́жно, ну́жно, измени́ть – изменя́ть,
преобразова́ть – преобразо́вывать, привести́ – приводи́ть, приведе́ние, приведе́ние
дробе́й к о́бщему знамена́телю, дополни́тельный мно́житель, наиме́ньший о́бщий
знамена́тель.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Сократите дроби:
2 9 15 14 21 32 36 24 15 19 14 17
А. ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
12 21 63 35 28 40 84 32 40 57 49 51
17 3 9
19 8 3 11
15 13 6
49 77 56 100
; 2)
; 4)
Б. 1)
; 3)
.
6 51 15
22 4 20 19
69526
33 70 42 28
2. Приведите дроби к общему знаменателю:
1 1 7
8 7
13 11 19 3
1
А. и ;
и
;
и
;
и
;
и
.
6 8 12 15 10 25 36 48 4
28
15 15
7
7 19
23 17
29 8
7
Б.
и
;
и
;
и
;
и
;
и
.
32 24 16 36 40 72 56 63 15 33
3. Сравните дроби:
3
7 25
18 4
7 17
17 15
10 17
19 8
29
и
;
и
;
и
;
и
;
и
;
и
;
и
;
10
10 31
31 15
15 35
33 36
37 33
48 15
40
5 5
и .
3 2
27
4. Выполните вычисления:
1 1
2 3 2 8 19
а) 2 : 1 2 : 3 : 8 ;
4 2
3 4 3 9 20
1 5
2 3 5
4 5
б) 8 6 1 : 1 : 1 : 3;
4 18
25 5 7
7 11
3 2
1 1
3
1
3 2 6 :3
6 5
8 2 4
2;
в) 4 3
2
5
55 : 1
26 : 3
3
7
1 3
1 2 30
1
:
1
2 15 77 1
2
10
:
.
г)
3 5 : 3 2 3 22 25 3 307
5
5 25 7
О т ве ты : 4. а) 9; б) 2; в) 2; г) 3.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое свойство дроби нужно использовать:
а) чтобы сократить дробь?
б) чтобы привести дроби к общему знаменателю?
2. Как сравнить две дроби:
а) с одинаковыми числителями?
б) с одинаковыми знаменателями?
в) с разными числителями и знаменателями?
3. Как сложить (вычесть) дроби:
а) с одинаковыми знаменателями?
б) с разными знаменателями?
4. Как умножить (разделить) дробь на дробь?
§ 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Если знаменатель дроби равен 10, или 100, или 1000,…, то такую дробь
можно записать как десятичную дробь:
3
51
302
0,3 ;
0,302 – это десятичные дроби.
0,51 ;
10
1000
100
Запись десятичной дроби содержит целую часть и дробную часть.
Сначала пишут целую часть, ставят запятую, потом пишут цифры дробной
части. Первая цифра после запятой означает число десятых, вторая – сотых,
третья – тысячных и т.д.
Место каждой цифры в десятичной записи числа называется разрядом.
28
…, …
…
разряд тысячных
разряд сотых
разряд десятых
разряд единиц
разряд десятков
разряд сотен
…
Читают десятичные дроби как смешанные числа.
Пример: 0,1 – ноль целых одна десятая;
0,82 – ноль целых восемьдесят две сотых;
0,019 – ноль целых девятнадцать тысячных;
7,2 – семь целых две десятых;
31,03 – тридцать одна целая три сотых;
500,112 – пятьсот целых сто двенадцать тысячных.
Десятичную дробь можно обратить в обыкновенную дробь
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, нужно записать ее
как обыкновенную дробь и, если можно, сократить.
Примеры:
2 1
125
1
0,2 ;
2,125 2
2 ;
10 5
1000
8
25 1
4
1
0,25
;
3,04 3
3 .
100 4
100
25
7
0,7 ;
10
Обыкновенную дробь можно обратить в десятичную дробь
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель
дроби разделить на знаменатель.
1. Если знаменатель содержит только множители 2 и (или) 5, то
получится конечная десятичная дробь.
3
2
7
5
0,4;
0,35;
0,625.
Примеры: 0,75;
4
5
20
8
2. Если знаменатель содержит и (или) другие множители, то получится
бесконечная десятичная периодическая дробь.
2
5
0,8333 ... 0,83;
Примеры: 0,666... 0, 6;
3
6
29
4
1 1,363636... 1, 36 ;
11
5
7
5,2333 ... 5,23 .
30
Читаем периодические дроби так:
0,(6) – ноль целых шесть в периоде. (6) – это период дроби.
0,8(3) – ноль целых восемь десятых и три в периоде. (3) – это период дроби.
1,(36) – одна целая тридцать шесть в периоде. (36) – это период дроби.
5,2(3) – пять целых две десятых и три в периоде. (3) – это период дроби.
Действия с десятичными дробями
1. Сложение и вычитание
Десятичные дроби складывают (вычитают) как целые числа. При этом
нужно записывать дроби так, чтобы одинаковые разряды были один под
другим.
16,200
0,9320
9,871
2,3541
6,320
4,752
Примеры:
;
;
.
3,2861
3,551
11,448
2. Умножение
Десятичные дроби умножают как целые числа (запятую не пишут). В
полученном результате отделяют справа запятой столько цифр, сколько их
(цифр) было после запятой в сомножителях вместе (в сумме).
Пример. 2,064 0,5 .
Р е ш е н и е . Выполним умножение целых чисел: 2064 5 10320 . В первом
сомножителе три цифры после запятой. Во втором сомножителе одна цифра
после запятой. Вместе (в сумме) получаем 3 1 4 – четыре цифры. В
полученном результате отделяем справа запятой четыре цифры и получаем:
2,064 0,5 1,0320 1,032 .
3. Деление
При делении десятичной дроби (или целого числа) на десятичную дробь
нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр,
сколько их (цифр) было после запятой в делителе. Потом выполнить деление на
целое число.
Пример 1. 1,92 : 0,6 .
Р е ш е н и е . В делителе после запятой одна цифра. Перенесем запятую в
делителе на одну цифру и выполним деление:
30
119,2 6
1,92 : 0,6 3,2 .
18
3,2
112
12
0
Пример 2. 24 : 2,5 240 : 25 9,6 .
Пример 3. 0,4 : 0,11 40 :11 3,636363 ... 3, 63 .
Слова и словосочетания: десяти́чная дробь, десяти́чная за́пись числа́,
коне́чная десяти́чная дробь, бесконе́чная периоди́ческая дробь, разря́д,
пери́од, вме́сте; сто́лько…, ско́лько….
УПРАЖНЕНИЯ
1. Прочитайте десятичные дроби:
0,7; 0,19; 1,43; 12,711; 0,003;
531,0241.
31,02;
19,0101;
0,1357; 123,301;
2. Прочитайте периодические дроби. Назовите период дроби:
0,(2);
0,(147);
0,5(6); 1,(901); 15,(4329); 1,8(12);
12,1(352); 6,23(41).
2,645(73);
3. Обратите десятичные дроби в обыкновенные дроби:
А. 0,2; 0,15; 0,375; 0,005; 0,025; 0,105.
Б. 0,205; 0,015; 0,268; 0,0545; 0,1005.
4. Прочитайте дроби, которые можно обратить в конечные десятичные
дроби, и обратите эти дроби:
2 1 3
2
5 1
6
13
7
15
9
29
41
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
3 2 5 15 8 4 31 28 20 16 25 35 250
5. Выполните вычисления:
3
1
5
а) 3 0,25 2 : 28,75 92 15 : 0,0625 ;
4
4
8
2
1 10
7
1
1
б) 0,75 1 2 0,5 17,5 8 3 2,3 2 ;
9
4 11
9
2
3
2
4
1
8 5 0,625 7 : 3
5
5
2
20 ;
в)
4
7
1 8 8 8,9 5,2 : 3 34,4
31
1
5
43 25
84,63 : 2,1 0,875 35 2 7 : 7
5
42
48 56
г)
.
2 229
1
1
14 3,2 : 4 : 17 : 2,3
15 802
6
4
О т ве ты : 5. а) 1; б) 1; в) 2; г) 1.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
дроби?
Какие части содержит десятичная дробь?
Как обратить десятичную дробь в обыкновенную?
Как обратить обыкновенную дробь в десятичную?
Какие обыкновенные дроби можно обратить в конечные десятичные
§ 8. ОТНОШЕНИЯ. ПРОПОРЦИИ. ПРОЦЕНТЫ
Отношение – это частное от деления числа а на число b, не равное нулю.
a
n или a : b n b 0 ,
b
n – это отношение;
a – это предыдущий член отношения;
b – это последующий член отношения.
a
Отношение n читаем так: «отношение а к b равно n».
b
a
– Если a b , то отношение показывает, во сколько раз число а больше, чем
b
число b.
Пример. Во сколько раз 6 больше, чем 3?
6
Найдем отношение 2 .
3
6 больше, чем 3 в два раза.
a
– Если a b , то отношение
показывает, какую часть составляет число а от
b
числа b.
Пример. Какую часть составляет 4 от 12?
4 1
.
Найдем отношение
12 3
4 составляет одну третью часть от 12.
32
a
n , то a b n; b a : n .
b
Пример. Найдите неизвестный член отношения. х – это неизвестный
член отношения.
x
а)
5 x 0,8 5 4 .
0,8
3
7
3 7 11 7 11 8 22
б) 2 : x
.
x2 : :
4
8
4 8 4 8 4 7 7
– Если
Основное свойство отношения: величина отношения не изменится, если
его члены умножить или разделить на одинаковое число, не равное нулю.
9 3 6 1
.
Пример.
27 9 18 3
a c
Пропорция – это равенство двух отношений:
или a : b c : d ,
b d
b 0, d 0 .
а и d – это крайние члены пропорции;
b и с – это средние члены пропорции.
Пропорцию a : b c : d читаем так: «а так относится к b, как с относится к
d» или «отношение а к b равно отношению с к d».
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции
равно произведению средних членов пропорции:
a c
если (a : b = c : d), то a d b c .
b d
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение
средних членов разделить на известный крайний член пропорции:
bc
bc
a
или d
.
d
a
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение
крайних членов разделить на известный средний член пропорции:
a d
a d
b
или c
.
c
b
Пример. Найти неизвестный член пропорции:
13 17
, х – это неизвестный средний член пропорции.
а)
x 85
13 85
x
13 5 65 .
17
б) x : 0,35 0,72 : 0,007 , х – это неизвестный крайний член пропорции.
33
x
0,35 0,72 350 0,72
50 0,72 36 .
0,007
7
Процент – это сотая часть числа, % – это знак процента.
Читаем проценты так:
1% – один процент (м.р.)
2% − два
3% − три
процента
4% − четыре
5% − пять
6% − шесть
…
…
процентов
20% − двадцать
Примеры: 31% – тридцать один процент;
83% – восемьдесят три процента;
97% – девяносто семь процентов;
115% – сто пятнадцать процентов.
Есть три типа задач на проценты:
1. Найти Р% от данного числа А (или найти проценты от числа).
Чтобы найти Р% от данного числа А, нужно это число А разделить на 100
(найти 1% от числа) и умножить на число процентов Р:
AP
Р% от А равны
.
100
Пример. Найти 35% от числа 60.
60 – 100%
60 35
х – 35%
x
21
100
Ответ: 35% от числа 60 равны 21.
2. Найти число, если Р% его равны данному числу B (или найти число
по его процентам).
Чтобы найти неизвестное число х по его процентам, нужно данное число
В разделить на число процентов Р и умножить на 100:
B 100
если Р% от х равны В, то x
.
P
Пример. Найти число, если 45% его равны 540.
34
540 – 45%
540 100
1200
45
Ответ: число, 45% которого равны 540, составляет 1200.
x
х – 100%
3. Найти процентное отношение двух чисел.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В (узнать, сколько
процентов составляет число А от числа В), нужно число А разделить на число В
и умножить на 100%.
A
Процентное отношение А к В равно ∙ 100 %.
B
Пример. Найти процентное отношение 14 к 35. (Сколько процентов
составляет 14 от 35?).
14
x=
∙ 100 % = 40 %.
35
Ответ: процентное отношение 14 к 35 равно 40%. (14 составляет 40% от
35).
Слова и словосочетания: отноше́ние, относи́ться, пропо́рция, проце́нт,
зада́ча, найти́, найди́те, составля́ть, пока́зывать, изве́стный, неизве́стный,
кра́йний член пропо́рции, сре́дний член пропо́рции, проце́нтное отноше́ние, во
ско́лько раз бо́льше, каку́ю часть составля́ет; так…, как… .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите неизвестный член отношения:
2 3
А. 1) 2,5: x 0,5 ; 2) 18,24 : x 22,8 ; 3) x : 6 .
9 4
3
31
1
3
3
Б. 1) x :1 9 ; 2) 0,45: x 3 ; 3) 9 : x 3 .
36
3
5
5
4
2. Найдите неизвестный член пропорции:
А. 1) x :16 3: 6 ; 2) 24 : x 8:5 ; 3) x :15 8: 24 .
Б. 1) 36 : x 54 : 3 ; 2) 1,04 : x 4 : 5 ; 3) 0,02: 2,5 x : 0,35 .
3. Найдите х из пропорции:
3
1
2
1
3 2
1
5
А. 1) 1 x : 7 4 : 33 ; 2) 1,5 : 3 x : 4 ; 3) 1 : 0,4 1 : 0,3x .
7
3
7
3
14 7
4
7
2
6
5 2
2 0,5
2 : 5 0,8 0,625
7
7 6 3
Б. 1)
;
3
x
21,12 : 4,8
5
35
11
9 ∙ (1 − 0,945: 0,9)
𝑥
20
2)
=
.
3
3
10,5 ∙ 0,24 − 15,15 ∶ 7,5
1 −4 :7
40
8
4. Найдите проценты от числа:
А. 1) 10% от 25; 2) 30% от 2000; 3) 26% от 150.
Б. 1) 128% от 12,5; 2) 137% от 0,84; 3) 235% от 6,4.
5. Найдите число по его процентам:
А. 1) 75% его равны 1,5; 2) 20% его равны 7,3; 3) 210% его равны 8,2.
2
1
Б. 1) 0,43% его равны 3 ; 2) 3 % его равны 86.
5
6
6. Найдите процентное отношение чисел А и В, если
5 4
3
3
A 1 0,22 : 0,3 0,96 , B 0,2 1,6 : .
2 11
40
5
1
68,17 : 3,4 4 3,9
2
7. Найдите 7% от результата С: C
.
1
8 0,4 0,9
2
8. Найдите число, если 25% его равны результату С:
3
5
0,2 + 0,5 ∙ (0,25 + 0,5 ∙ ) ∙ 0,4 +
4
8
𝐶= 1
.
2
14
+ 3,5 ∙ (7 − 0,5 ∶ 2 ) ∙ 2,8 ∶ 3
4
9. Решите задачи:
а)
В библиотеке 5000 книг. 20% – учебники. Сколько учебников в
библиотеке?
б)
В группе 9 студентов из Иордании. Это 75% от числа всех студентов в
группе. Сколько студентов в группе?
в)
В общежитии 400 студентов. 260 студентов – иностранцы. Сколько
процентов составляют иностранцы?
г)
Две книги стоят 175 гривен. Сколько стоит каждая книга, если одна книга
стоит на 12% больше, чем другая?
д)
В диктанте 150 слов. 6% слов студент написал неправильно. Сколько слов
студент написал правильно?
е)
В четверг на экскурсию записалось 18 студентов. В пятницу число
записавшихся увеличилось на 300%. Во сколько раз увеличилось число
студентов?
36
ё)
На сколько процентов площадь прямоугольника ABKM меньше площади
прямоугольника ABCD (рис. 1.3)?
A
K
C
B
M
D
Рисунок 1.3
ж)
В группе 40 студентов. 30 % занимаются спортом. Из них 25 % ходят в
бассейн. Сколько студентов ходит в бассейн?
з)
В университете 60 % студентов из Украины, 25 % оставшихся студентов
– из Китая, остальные – из Иордании. На какой из диаграмм правильно
показано распределение студентов (рис. 1.4)?
а
– Украина
б
в
– Китай
– Иордания
Рисунок 1.4
О т ве ты : 3. Б. 1) 2,5;
2) 5;
6. 30%; 7. 0,07; 8. 4.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое отношение? Как его читают?
Что показывает отношение?
Что такое пропорция? Как ее читают?
Как читают основное свойство пропорции?
Что такое процент?
Какие задачи на проценты вы знаете?
37
г
РАЗДЕЛ 2. МНОЖЕСТВА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. МНОЖЕСТВА
Множество – это основное понятие математики. В математике
множество – это объединение предметов (объектов, чисел, цифр, фигур, букв
и др.), которые имеют определенные характерные признаки или свойства.
Например, множество студентов группы, множество деревьев в парке,
множество четных чисел и так далее.
Элементы множества – это предметы (объекты), из которых состоит
множество.
Например: а) Каждый студент группы – это элемент множества всех
студентов группы.
б) Числа 2, 4, 6 – это элементы множества четных чисел.
Пусть объект а есть элемент множества А. Это записываем так: а А .
Читаем: "а есть элемент множества А",
или "а принадлежит множеству А",
или "а содержится в множестве А".
Пусть объект а не является элементом множества А.Это записываем так:
а А .
Читаем: "а не элемент множества А",
или "а не принадлежит множеству А",
или "а не содержится в множестве А".
Множества бывают конечные и бесконечные.
Множества можно задать такими способами:
1) перечислить его элементы. Например, запись М = {1,2,3} говорит о
том, что множество состоит из элементов – чисел 1, 2, 3.
Запись А = {г, р, у, п, п, а} говорит о том, что множество состоит из
элементов – букв в слове «группа».
Но не все множества можно задать так. Если множество содержит
бесконечно много элементов, то перечислить все элементы невозможно;
2) указать свойство, которым обладают все элементы множества и не
обладают
никакие
другие
объекты.
Такое
свойство
называется
характеристическим свойством множества. Например: множество К состоит
из элементов – чисел, которые являются корнями уравнения x 1 x 2 0 .
Это записываем так: K x / x 1 x 2 0 .
38
Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного
элемента. Пустое множество обозначается Ø.
Числовые множества
Элементами любых множеств могут быть любые объекты: числа, буквы,
атомы, уравнения, точки, углы и т.д.
Числовое множество – это множество, элементы которого есть числа.
Примеры числовых множеств:
а) множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, …};
б) множество целых чисел: Z = {0, ±1, ±2, ±3, …};
m
в) множество рациональных чисел: Q = { x / x , m Z, n N }.
n
Множества N, Z и Q – это бесконечные множества.
Подмножества
Подмножество множества А – это множество B такое, что каждый
элемент множества В является элементом множества А (рис. 2.1).
Говорят: В – подмножество А.
Пишут: В А ; знак подмножества.
А
В
Рисунок 2.1
Примеры подмножеств:
a) множество четных чисел есть подмножество множества натуральных
чисел;
б) множество натуральных чисел есть подмножество множества целых
чисел: N Z ;
в) множество всех квадратов есть подмножество множества всех
прямоугольников;
г) пустое множество есть подмножество любого множества: Ø А,
Ø В.
Действия над множествами
1.Пересечение множеств А и В – это новое множество Х, которое
содержит общие элементы для А и В (рис. 2.2).
39
А
Х
В
Рисунок 2.2
Пересечение множеств А и В записывают так: А В .
знак пересечения.
Пусть А = {1, 2, 3, 4} и В = {3, 4, 5, 6, 7}. Тогда Х А В {3, 4}.
2. Объединение множеств А и В – это новое множество Х, которое
состоит из всех элементов множеств А и В (рис. 2.3).
Х
А
В
Рисунок 2.3
Объединение множеств А и В записывают так: А В .
знак объединения.
Если множества А и В имеют общие элементы, то они входят в
объединение множеств только один раз.
Пусть А = {1, 2, 3, 4} и В = {3, 4, 5, 6}.
Тогда Х А В {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Множества называются равными, если они состоят из одинаковых (одних
и тех же) элементов.
Пусть А = {– 2, 2} и В = {– 2, 2}, тогда А = В.
Если В А и В = А, то пишут В А. Если А А, то пишут А А, если
Ø А, то можно написать Ø А.
3. Разностью двух множеств А и В называют множество Х, которое
состоит из всех элементов множества А и не являются элементами множества В
(рис. 2.4).
40
Х
А
В
Рисунок 2.4
Разность множеств А и В пишут так: Х = А\В.
Например, а) А = {4, 6, 10, 12}, В = {1, 2, 6, 12}, тогда Х=А\В = {4, 10}.
б) А = {4, 6, 10}, В = {1, 2}, тогда Х=А\В = {4, 6, 10}.
в) А = {3, 6}, В = {3, 6, 10}, т.е. В А, тогда Х=А\В = Ø.
Новые слова и словосочетания: мно́жество(а), подмно́жество(а),
элеме́нт(ы), при́знак (м.р.) = сво́йство (с.р.), характе́рные, принадлежа́ть
(чему?), содержа́ть (что?), содержа́ться (в чем?), пересече́ние мно́жеств,
объедине́ние мно́жеств, пусто́е мно́жество, перечисля́ть (что?), задава́ть (что?),
зада́ть мно́жество, записа́ть = написа́ть (что?), за́пись (ж.р.), состоя́ть (из чего?).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вместо знака поставьте знаки или : 1) 4 N ; 2) 4 Z ; 3) 0 N ;
3
3
4) 0 Z ; 5) 1,2 N ; 6) 1,2 Z ; 7) N ; 8) Z .
4
4
2. Вместо знака поставьте знаки или : 1) {3, 7} {3, 7, 8};
2) 7 {3, 7, 8}; 3) Ø {3, 7, 8}; 4) {5, 6} N; 5) N Z.
3. Дано множество М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Напишите: a) подмножество четных чисел; б) подмножество нечетных чисел;
в) подмножество однозначных чисел; г) подмножество двузначных чисел.
1 2 4 2 5 7
4. Дано множество К={ , , , , , }. Напишите: a) подмножество
2 3 3 5 2 7
правильных дробей; б) подмножество неправильных дробей.
5. Даны
множества:
А={б,в,г,д,е,ж};
В={б,г,е,и,л};
С={в,д,ж}. Найдите: А В; А В; В А; В А; А С; А С; В С; В С.
6. Даны множества: А={2, 4, 7, 6, –1}, В = {–1, 4, 9}, C = {5, 9, –1, 4}.
Найти пересечение множеств А В С .
7. Найти объединение множеств А = {1, 2, 3, 5} и В = {2, 4, 6, 8}.
8. Записать: a) множество всех четных чисел; б) множество всех
нечетных чисел; в) множество всех натуральных чисел больших, чем 100.
9. Найти разность множеств А = {5, 6, 8, 12} и В = {1, 2, 8, 12};
С = {2, 4, 6, 8} и D = {2, 4, 6, 8, 14}.
41
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое элементы множества?
2. Как прочитать записи n M и n M ?
3. Как можно задать множества? Приведите примеры.
4. Какие множества мы называем числовыми множествами? Приведите
примеры.
5. Что такое пустое множество? Приведите примеры пустых множеств.
6. Что означает запись A B ? Как прочитать эту запись? Приведите
примеры подмножеств.
7. Что такое объединение и пересечение множеств? Приведите примеры.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Все положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и число
нуль образуют множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел записывают так:
m
Q = { x / x , m Z, n N }.
n
Таким образом, любое рациональное число можно записать в виде
m
несократимой дроби , где m – целое, а n – натуральное число.
n
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной
13
3
1,181818... =
десятичной периодической дроби. Например,
0,375;
8
11
4
1, 18 ;
0,571428... 0, 571428 и т.д. И наоборот, любая бесконечная
7
десятичная периодическая дробь есть рациональное число.
Пример. Показать, что числа a = 0,136136136… и b = 0,27171717…
являются рациональными.
Решение: а = 0,136136136… (1)
Умножим обе части этого равенства на 1000: 1000а = 136,136136… (2)
Вычитаем (1) из (2). Получим
1000а = 136,136136…
а = 0,136136…
999а = 136;
136
а=
.
999
42
Аналогично, b = 0,27171717…
(1)
Умножим обе части этого равенства на 100: 100b = 27,171717…
Вычитаем (1) из (2). Получим
100b = 27,171717…
b = 0,271717…
(2)
99b = 26,9;
26,9 269
b=
.
99
990
В общем случае, сначала нужно умножить периодическую дробь на 10m ,
где m – это число цифр в периоде.
Любое рациональное число можно изобразить (показать) точкой на
числовой прямой (рис. 2.5).
положительное
направление
Е
О
0
РисунокРис.
2.52.5
Точка О начало отсчета.
ОЕ единичный отрезок.
Это числовая прямая.
1
Покажем числа 1; 3; 5 ; –2; –3,5; –6 на числовой прямой (рис. 2.6).
2
-6
-3,5
-2
F
E
D
0
1
3
A
B
5
1
2
C
Рисунок 2.6
Рис. 2.6
Можно сказать, что числовая прямая – это прямая линия, все точки
которой показывают числа. Каждое число называется координатой
1
соответствующей точки. Записывают F (–6), E (–3,5), A (1), C ( 5 ).
2
Противоположные числа
Рассмотрим числовую прямую (рис. 2.7):
-а
а
0
а
а
Рис. 2.7 2.6
Рисунок
43
Числа а и –а находятся на одинаковом расстоянии вправо и влево от
точки 0. Это противоположные числа. Например, 5 и –5 – противоположные
числа. Говорят: 5 противоположно –5, а –5 противоположно 5.
Модуль числа
Модуль числа а – это расстояние от начальной точки до точки, которая
показывает число а на числовой прямой.
Модуль числа а записывают так: а .
Так как модуль числа – это расстояние, а расстояние не может быть
отрицательным числом, то модуль любого числа – положительное число
(или 0).
1. Модуль любого положительного числа равен этому числу:
6 6 , 1,2 1,2 .
2. Модуль нуля равен нулю: 0 0 .
3. Модуль любого
противоположному:
отрицательного
числа
равен
3 3 , 2,7 2,7 .
Все это можно записать так:
а, если а положительное число (а 0);
а 0, если а 0;
а, если а отрицательное число (а 0).
Например:
2 x, если 2 х 0;
2 x, если x>2;
2 x 0, если 2 х 0;
2 x 0, если х 2;
2 х , если 2 х 0;
х 2, если x 2.
Свойства модуля
Для всех рациональных чисел а и b
1. ab a b .
Модуль произведения равен произведению модулей.
a
a
2.
, если b ≠ 0.
b
b
Модуль частного равен частному модулей.
44
числу,
ему
3. a n a n , где n – целое четное число.
Модуль степени числа а равен степени этого числа, если n целое четное число.
Действия с рациональными числами
1. Сравнение рациональных чисел
Сравнить два числа – это значит определить (найти), какое число больше
или меньше.
1) Любое положительное число больше нуля и больше любого
отрицательного числа.
2) Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого
положительного числа.
3) Из двух отрицательных чисел то больше, у которого модуль меньше.
4) Из двух любых чисел то больше, которое на числовой прямой
находится правее.
2.Сложение рациональных чисел
Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить
их модули и поставить общий знак:
(+5) + (+3) = +8,
(–5) + (–3) = –8.
Обычно знак сложения не пишут, а пишут только знаки чисел:
+5 + 3 = +8,
–5 – 3 = –8.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо из большего
модуля вычесть меньший модуль и в результате поставить знак числа, у
которого модуль больше:
(+8) + (–3) = +5,
(–8) + (+3) = –5.
Знаки сложения здесь тоже можно не писать:
+8 – 3 = +5,
–8 + 3 = –5.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Говорят, что эти числа
взаимно уничтожаются:
+5 – 5 = 0,
–3 + 3 = 0,
–а + а = 0.
3. Вычитание рациональных чисел
Чтобы из одного числа вычесть другое, необходимо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому.
(+5) – (– 3) = (+5) + (+3) = +5 + 3 = +8,
(–3) – (+5) = (–3) + (–5) = –3 – 5 = –8.
45
4. Умножение и деление рациональных чисел
Чтобы умножить (разделить) два рациональных числа, необходимо
умножить (разделить) их модули.
Результат будет положительным, если множители (делимое и делитель)
имеют одинаковые знаки.
Результат будет отрицательным, если множители (делимое и делитель)
имеют противоположные знаки:
(+5) · (+3) = +15,
(–5) · (–3) = +15,
(+5) · (–3) = –15,
(–5) · (+3) = –15,
(+16) : (+2) = +8,
(–16) : (–2) = +8,
(+16) : (–2) = –8,
(–16) : (+2) = –8.
Алгебраические выражения
В алгебре числа часто обозначают не цифрами, а буквами.
1
7; 2 ; 0,3 – это числа.
3
a, b, c – это любые числа.
Алгебраическое выражение – это запись, которая состоит из чисел, букв
и знаков действий.
2c b
3 x y ;
Например: 2a b ;
.
7c
a 3
Пусть в алгебраическом выражении A
; a 5 . Тогда 5 – это
a 1
значение буквы а.
53 8
Подставим вместо а его значение, получим: А
2.
5 1 4
a 3
Число 2 – это числовое значение алгебраического выражения A
a 1
при а = 5.
При а =1 это алгебраическое выражение не имеет числового значения.
Говорят, что при а =1 оно не имеет смысла.
Чтобы найти числовое значение алгебраического выражения, необходимо
подставить вместо букв их значения и выполнить действия.
Новые слова и словосочетания: положи́тельный (-ая, -ое, -ые),
отрица́тельный (-ая, -ое, -ые), изобража́ть = пока́зывать (что? где?),
изображе́ние, противополо́жный, мо́дуль, сравни́ть (что? с чем?), сравне́ние;
46
выраже́ние, обознача́ть (обозна́чить) (что? где?), обозначе́ние, значе́ние,
подставля́ть (подста́вить) (что? вместо чего?).
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Найдите числовое значение алгебраического выражения:
1) F = bc – a
при a = 48; b = 13; c = 4;
2) F =ab – c(a – b)
при a = 13; b = 5; c = 8;
b 4c
3) F
при a = 53; b = 28; c = 13;
a c a b
1
3a b
2
19
при a = ; b = ; c =
;
2c b
7
28
4
p q p q
5) F
при p = 1,5; q = 0,5.
2p q
4) F
2. Поставьте вместо знака знаки > или < :
1) 8,9 9,2; 2) –5,5 –7,2; 3) –240 3,2;
4) –96,5 –90,3; 5) 4,5 –800;
6) –100 0.
3. Найдите числовое значение выражений:
1) x y
при x = –3,9; y = 1,1;
a b b
ab
l k m
3)
lk m
2)
при a = 15; b = –3;
при l = 3; k = –3; m = –1,5.
4. Выполните действия:
1) (– 2,5) + (–10); 2) (–0,6) + (–0,3);
1
1
9
4) 4 2 ; 5) 2 6 ;
2
11 11
7)
2
5
4 1
6) ;
5 2
1
3
3) 1 1 ;
1 1
.
3 2
5. Вычислите:
47
1 1
2 1
3) ;
8 2
3 3
3 4
1 1
5) ;
6) ;
5 5
2 6
2) ;
1) 4,3 – (–1,2);
4) (–5,9) – (–13,8);
7)
1 1 1
;
2 3 5
8)
1 1 1
1 .
4 2 8
6. Найдите значение выражения:
3 1 2 7
1) –1,2 – 2 + 3,5 – 4,1 + 6;
2) 5 7 8 ;
5 3 15 30
3) (–3,2) – (–8,6) + (– 4,6) – (–2);
4) –3,8 + 17,15 – 6,2 – 6,15.
7. Найдите произведение:
1) (–3,2) · (–2);
5)
2) 1,3 · (– 3);
7 2
2
7 ; 6) ;
8 7
5
1
2
1
4) 2 ;
3
3) – 5,1 · 0,4;
1 3
7) 2 ;
5 22
1 1
8) 1 1 ;
2 3
3
4
9) 4 .
8. Найдите значение дроби:
0,7 1,5
0,9 1,5
1)
;
2)
;
1,3 0,3
0,9 1,5
4)
1,5 3,2 0,5
;
0,3
1 1
5) 3 5 ;
4 2
5 3
3)
1,2 3,1 0,8
;
0,01
5 2
9
3;
6)
2
7)
Б
1. Укажите на числовой оси все целые числа:
а) меньше 2, но больше – 5; б) больше – 10.
2. Укажите на числовой оси числа х, для которых:
а) х 2 ; б) |x| > 7; в) x 1 .
3. Выполните действия:
2
4
1) 3,2 16 9 4,3 0,7;
3
5
3
3
2) 65,6 87 75 36,32;
4
4
48
4
1
25
2
.
2
3
3 5 3 1
4 6 8 3
1
3
1
4) 32,6 54 44 5,65 4 ;
2
8
5
3) 3 2 1 3 3 ;
1
3 2
2
5) 2 6 26 5,4 3,5 2 ;
3
4 5
5
3
6) 63,2 10,6 65 25,7 52,8 ;
5
3 15 1 6 4 15
7) 7 37 5 ;
5 19 3 7 5 29
2 3 5 1
2
0,6 7 1,5 ;
3 5 8 5
5
1
1 1
9) 4 : 20 : 1 3,5 5 ;
4 7
3
1,2 : (0,003) 1,5 : 0,005
10)
.
1 1
1 1
3 : 2 2 : 2
2 2
3 2
8) 4 : 5 3
Ответы: А. 8. 1) 0,5;
Б. 3. 1)
3) – 110;
5) – 1;
1
7) 1 .
7
1
5
; 3) 4 ; 5) 61,4 ; 7) 29; 9) 5,5.
15
8
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие числа называются: а) положительными; б) отрицательными;
в) противоположными; г) рациональными?
2. Где и как изображаются рациональные числа?
3. Что такое числовая прямая?
4. Что называется модулем числа?
5. Чему равен модуль: а) положительного числа; б) отрицательного числа;
в) нуля?
6. Что значит сравнить два числа?
7. Как сравнивают рациональные числа?
8. Как сложить два числа: а) с одинаковыми знаками; б) с разными
знаками?
9. Чему равна сумма двух противоположных чисел?
49
10. Как вычитают рациональные числа?
11. Как умножают и делят рациональные числа?
12. Что называется алгебраическим выражением?
13. Как найти числовое значение алгебраического выражения?
§ 3. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
2 2 2 23
2 2 2 2 24
3 раза
4 раза
Это действие возведения в степень.
Возведение в степень – это умножение нескольких одинаковых
множителей: a n a a ... a , n N ,
n раз
а – основание; n – показатель степени; b – степень.
Например: 25 2 2 2 2 2 32 ;
25 2 2 2 2 2 32 .
Читаем:
а1 “a” в первой степени;
а 2 “a” в квадрате;
а 3 “a” в кубе;
а 4 “a” в четвертой степени;
а 5 “a” в пятой степени;
……………………………
а n “a” в “энной” степени;
a k “a” в степени “k”.
Свойства степени с натуральным показателем
Пусть а и b – рациональные числа, а m и n – любые натуральные числа.
1. Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели
складывают:
а m a n a mn .
50
Пример. Упростить выражения:
1) 24 25 29 ;
3) a8 a n a n 8 .
3 5 2
10
2) y y y y ;
2. Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели
вычитают:
am
a
a m n , а ≠ 0.
n
Примеры: 1) Упростить выражение
2) Сократить дробь
2а12
а 8с
=
х15
х
8
х158 х 7 ;
2а128 2а 4
.
с
с
3. Степень степени
При возведении степени в степень показатели перемножают:
am
n
a mn .
Пример. Упростить выражения:
1) х3
4
х34 х12 ;
2) 35
4
20
3 .
4. Степень произведения
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый
множитель и результаты перемножают:
ab n a n bn .
Пример. Возвести в степень:
1) 2xy2
3
2 x 3 y 2
3
3
8x 3y6 ;
2) x 2 y
4
x4
2 4
y x8 y 4 .
5. Степень дроби
При возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно ее
числитель и знаменатель:
n
an
a
n , b ≠ 0.
b
b
Пример. Возвести в степень:
51
3
3
5
3a 2b
3
2
8
2
2
1) 3 3 ; 2)
c3
х
х
х
х
b
5
c3
3 a 2
5
5 5
243a10b5
c15
.
6. Степень с нулевым показателем
Всякое рациональное число (кроме 0) в нулевой степени равно единице:
a0 1, a 0 .
Примеры:
0
1
1) 1 ;
3
0
1
2) 6 4
1;
245
3) x 1 1 , x 1 .
0
7. Степень с целым отрицательным показателем
Число с отрицательным показателем равно дроби, у которой числитель 1
(единица), а знаменатель – то же число, но с положительным показателем:
1
а n
, a 0 , nZ.
an
Примеры:
1) 2
1
1
;
2
2) 4
a
Вообще,
b
3
n
2
1
; 3)
3
43 64
1
2
2
3
.
2 2
2
3
1
n
b
, а ≠ 0, b ≠ 0, n N .
a
Новые слова и словосочетания: возводи́ть (что? во что?), возведе́ние,
сте́пень (ж. р.), основа́ние, показа́тель (м. р.).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Запишите выражение без отрицательного показателя:
2
2
1
1
3
52 25
4
5
;
1) 2
6) 2 ;
2 3 8
16
5
4
4
3
3
1
1
1
2
27
2
3
2) 3х
;
7) ;
2
2 2
2
3х 3 х 9х
8
3
2
52
3) 104
4) 4
3
5) 5y
3
1
104
2х
8)
5y
;
1
43
1
5y
3
1
;
64
1
3 3
1
5 y
3
1
5y
.
2x
;
125y
2. Запишите выражение с отрицательным показателем:
1
1
4
6
1
5 ;
2х ;
1)
2)
3)
43 ;
43
54
2х 6
4)
1
8х
8х ;
5
5
b 10
7) 10 10 b
x y
5)
10 10 10
x
y
20
5x 1y1 ;
4хy
6)
x2y
z
7
x 2 yz 7 ;
a 2b 3
8) 3 2 a 2b 3x 3y 2 .
x y
;
3. Умножьте и упростите:
1)25 ∙ 2−3 = 25+(−3) = 22 = 4;
2) 3
3
3 3
7
37
3 81 ;
4
3) (3a3 b−3 ) ∙ (−5a−4 b) = 3 ∙ (−5)a3+(−4) b−3+1 = −15a−1 b−2 или
15
ab 2
4. Разделите и упростите:
1)
107
10−4
3)
5)
7−3
7−2
= 107−(−4) = 1011 ;
= 7−3 −(−2) = 7−1 или
25х8 y 4
10x 2 y3
2)
9 2
95
92 5 97 или
1
97
;
1
12a 5b6 12 a 5 b6
; 4)
3a 2b 4 ;
3
2
3
2
4 a b
7
4a b
25 x8 y 4 5 10
x y.
10 x 2 y3 2
53
.
5. Упростите:
1) t 4
3
t
3) 2x 2 y3z 4
3 2
4) 4t z
4 3
5
t12 ; 2) m7
25 x 2
4
2
5
y3
t
5
z 4
3 2 2
z
5
2
m
7 2
m14 или
1
14
;
m
64x10 y15z 20 или
1
4
64x10 y15
z 20
;
t6
6 1
t
;
2
2
2
z
16z
2
5 2
5
a
a
a10
a10b 4
6)
.
2
2
4
6
6
b 2 c 3
b2 c3 b c c
4
4
m2
m2
m8
5)
;
4
12
2n 3
16n
24 n 3
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Вычислите:
2
2) 3 ;
1) 7 2 ;
3
5)
4
4
3
2
3) ;
3
5
6
4) 83 54 ;
2
2
1
1 ; 6) 62 ;
2
9) 0,4 ;
2
4
8) ;
5
3
7) 5 ;
10) 1,33 .
2. Умножьте и упростите:
5
1) 4 4
2
5)
3
3
4
; 2) 2
3
2 ;
8
2
;6) 81 83 ;
3
11) 4a 2 b2 6a 1b3 ;
13) 9m3n 3 4mn 6 .
9) 5m3n 4 2m9 n 2 ;
7
5
1
3)
2
1
2
2
; 4) b2 b7 ;
7) x 8 x5 x3 ; 8) 8x 4 y 2 3x 3y ;
12) 5t 5s 2 3t 2s3 ;
10) 3a 4 25a 10 ;
54
3. Разделите и упростите:
1
1)
5)
9)
57
53
;
2)
9 2
9 5
3
4
3)
;
3
3
4
;
0,5 2 ; 6) 16x 4 y7 ;
0,5 4 8x 3y9
33a 5b 2
7 4
;
10)
22a b
13)
20x 6a
2x a
14a 4b 3
8 5
8a b
36x a y b
; 14)
7)
12x 2 y5
;
14x 4 y7
4x 5 y 5
;
15)
11)
4)
;
28x 5a
8)
18x 2 y3
5 5
12x y
100x 3a y 5
25x a y6
0,52 ;
0,54
2x 3a
;
; 16)
12)
;
21a14b 5
18a
24x 5y
3x 6y
2 10
;
b
.
4. Упростите:
5 7
1) 3
;
;
2) x
3 5 2 4
6) 5x y z
5 4
3) t
5
2x 3y 2
x 3
; 12) 4
11)
3y 4
y
3
3
3
5
4) ; 5) 3x 2 y 2 ;
3
;
; 9) 10x
4 2 5
; 7) 2xy ; 8) 2x y
3
3 2
3
;
4 7 2 3
y z
43
13) 4 ; 14)
3
x2
; 10) 3
y
3
52
3 ;
4
4
4x 4 y 2
.
16)
5x 1y 4
Б
1. Вычислите x y x y x y x y , если x = 1 и y = – 2.
2. Упростите:
55
5
;
3
2xy2
;
15)
3y3
1) 2 2 2
0
3
1
2 2
4
2
;
2) 2 61 61 61 60 ;
3)
82 8 80
2
6
;
;
2
3
22 25
2
2 5 3
3x y
5)
.
2
4
8
2x y
22
4
23
2
4)
7
Ответы: А. 2. 9) 10m12n 2 ; 11) 24ab ; 13) 36m4n 3 . 3. 7) x 1y12 ;
2
3 2 2
3x 3
4a 11
9)
или a b ; 11) 2 ; 13) 10x 5a ; 15) 4x y .
2
2y
2a 2
7
12 20 8
20 10
4. 1) 335 ; 3) t 6 ; 5) 1 ; 7) 625x y z ; 9) 32x y ;
9
3b 2
9 12
13) x y ; 15)
56
4
9
Б. 1. 27. 2. 5)
; 17)
625y 24
256x
16x 4
729y62
20
.
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое возведение в степень?
2. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?
3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?
4. Как возвести степень в степень?
5. Как возвести в степень произведение?
6. Как возвести в степень дробь?
7. Чему равно число с показателем ноль?
8. Чему равно число с отрицательным показателем?
56
11)
1
х10 y15
;
РАЗДЕЛ 3.РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ
Одночлен – это алгебраическое выражение, в котором есть только
действия умножения и возведения в степень.
2
Например: 2a; 3a 2b ; a 2 b ; 0,4bc .
3
Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена.
Например, в одночлене 10a 2b 10 – это коэффициент; a 2b – это
буквенное выражение.
Многочлен – это алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Члены многочлена – это одночлены, из которых состоит многочлен.
Например:
a 2 2bc
3x 2 5x 8
ax 2 2bc 3ax 2 0,5a
двучлен
трехчлен
многочлен
Например: в многочлене ax 2 2bc 3ax 2 ax 2 ; 2bc и 3ax 2 это члены
многочлена.
Подобные члены – это члены многочлена, которые имеют одинаковые
буквенные выражения.
Так, в многочлене ax 2 2bc 3ax 2 0,5x члены ax 2 и 3ax 2 подобные.
Подобные члены можно заменить их суммой. Эта операция называется
приведением подобных членов.
Приведем подобные члены в многочлене
3x 4 5x 7x 2 8x 4 5x 5x 4 7x 2 .
Члены 5x и 5x взаимно уничтожаются.
Действия над многочленами
1.Сложение одночленов и многочленов
Чтобы сложить одночлены, необходимо написать их последовательно с
их знаками и привести подобные члены.
1) Выполним сложение одночленов: 13x 2 ; 8x ; 4x3 ;
Получим 13x
2
8x 4x 5 3x .
3
Знаки сложения можно не писать: 13x 2 8x 4x3 5 3x .
Приведем подобные члены, получим 4x3 13x 2 11x 5 .
57
5 ; 3x .
Чтобы сложить многочлены, необходимо написать последовательно их
члены с их знаками и привести подобные члены.
2) Выполним сложение многочленов: x y ; x 3 ; x y ; x 27 .
Получим x y x 3 x y x 27 .
Знаки сложения можно не писать: x y x 3 x y x 27 .
Приведем подобные члены, получим 4x 24 .
2. Вычитание одночленов и многочленов
Чтобы вычесть одночлены, необходимо к первому одночлену написать
все другие одночлены с противоположными знаками и привести подобные
члены.
1) Выполним вычитание одночленов: 13x 2 ; 8x ; 4x3 ; 5 ; 3x .
Получим 13x 2 8x 4x 3 5 3x .
Заменим вычитание сложением: 13x 2 8x 4x 3 5 3x .
Знаки сложения можно не писать: 13x 2 8x 4x3 5 3x .
Приведем подобные члены, получим 4x3 13x 2 11x 5 .
Чтобы вычесть многочлены, необходимо к первому многочлену написать
все члены других многочленов с противоположными знаками и привести
подобные члены.
2) Выполним вычитание многочленов: x 3 ; x y ; x + y – 27.
Получим x 3 x y x y 27 .
Заменим вычитание сложением: x 3 x y x y 27 .
Знаки сложения можно не писать: x 3 x y x y 27 .
Приведем подобные члены, получим – x – 2y + 30.
3. Как открыть скобки
Если перед скобкой стоит знак “плюс”, то скобки можно не писать. Знаки
членов, которые стоят в скобках, не изменяются.
Например:
1) A a b c A a b c ;
2) 5x 2 7x 8 x 3 3x 2 6x 9 5x 2 7x 8 x 3 3x 2 6x 9
= x3 2x 2 x 1.
Если перед скобкой стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, но
знаки членов, которые стоят в скобках, изменяются на противоположные.
Например:
1) A a b c A a b c ;
58
2) 10a 3b a 2b 2 b 4 3a 3b ab3 5b 4
= 10a 3b a 2b2 b4 3a 3b ab3 5b 4 13a 3b a 2b 2 ab3 4b 4 .
4. Как заключить в скобки
Иногда необходимо часть членов многочлена (или все его члены)
объединить в группы, заключить в скобки.
Знаки членов, которые заключаем в скобки, не изменяются, если перед
скобкой ставим знак “плюс”.
Знаки членов, которые заключаем в скобки, изменяются на
противоположные, если перед скобкой ставим знак “минус”.
Например:
1) A x y c A (x y c) A x (y c) ;
2) A x y c A (x y c) A x (y c) .
5. Умножение одночленов и многочленов
1) Умножим одночлен на одночлен:
1) 2a 3ab2 6a 2b2 ;
2) 7b 2ab 14ab 2 .
2) Умножим многочлен на одночлен:
1) 5a b 3ab 15a 2b 3ab2 ;
2) 7x 8ax 2 3xy 56ax 3 21x 2 y .
Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо умножить
каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена.
3) Умножим многочлен на многочлен:
а) 5a b 3a 2 2b 15a 3 3a 2b 10ab 2b2 ;
б) a 2 2a 3 a 4 a 3 2a 2 3a 4a 2 8a 12 a 3 6a 2 11a 12 .
6. Деление одночленов и многочленов
Правило. Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо
разделить каждый член многочлена на этот одночлен.
1) Разделим одночлен на одночлен:
а) 6a 2b : 3a 2ab ;
3 2
2
б) 10x y : 5xy 2x y .
59
2) Разделим многочлен на одночлен:
б) 18a 2b 6a 3b2 : 3ab 6a 2a 2b .
а) 12x 3y2 4x 4 y5 : 2x 2 y2 6x 2x 2 y3 ;
3) Разделим многочлен на многочлен:
а) 6x 3 x 2 5x 2 : 2x 2 x 1 .
Запишем этот процесс в “столбик”:
6 x 3 x 2 5x 2
6x 3 3x 2 3x
2x 2 x 1
3
2
1) 6 x : 2 x 3x
3x 2
2) 2x 2 x 1 3x
4x 2 2x 2
4x 2 2x 2
3
2
= 6x 3x 3x
3) 6x 3 x 2 5x
– 6x 3 3x 2 3x 4x 2 2x
0
4) 4 x : 2 x 2
5) 2x 2 x 1 2 4x 2 2x 2
4
2
2
2
б)(х − 3х + 2): (х − 1).
x 4 3x 2 2
x–1
4
3
1) x : x x
x 4 x3
x 3 x 2 2x 2 2) x 1 x 3 x 4 x 3
x 3 3x 2 2
3
2
3) x : x x
4) x 1 x 2 x 3 x 2
x3 x 2
2x 2 2
2x 2 2x
2
5) 2x : x 2 x
6) x 1 2x 2x 2 2x
7) 2x : x 2
8) x 1 2 2x 2
2x 2
2x 2
0
Формулы сокращенного умножения
1. Квадрат суммы (разности) равен сумме квадрата первого члена,
удвоенного произведения первого члена на второй член и квадрата второго
члена:
a b 2 a b a b a 2 ab ab b2 a 2 2ab b2 ,
a b 2 a 2 2ab b2 .
60
Здесь a 2 квадрат первого члена; 2ab удвоенное произведение первого
члена на второй член; b 2 квадрат второго члена.
Например:
а) 2x y 2x 2 2xy y2 4x 2 4xy y2 ;
2
2
б) 3mn 2k 3mn 2 3mn 2k 2k 9m2n 2 12mnk 4k 2 .
2
2
2
2. Куб суммы (разности) равен сумме куба первого члена, утроенного
произведения квадрата первого члена на второй член, утроенного произведения
первого члена на квадрат второго члена и куба второго члена:
a b 3 a b 2 a b a 2 2ab b 2 a b
a 3 2a 2b ab2 a 2b 2ab2 b3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 ,
a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 .
Например:
а) m 2n m 3m2 2n 3m 2n 2n m3 6m2n 12mn 2 8n3 ;
3
3
2
3
б) 2x y 2x 3 2x y 3 2x y y
3
3
2
2
3
8x3 12x 2 y 6xy2 y3 .
3. Разность квадратов равна произведению разности двух выражений на
их сумму:
a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 b2 ,
a 2 b2 a b a b .
Например:
а) x 2y x 2y x 2 2y x 2 4y2 ;
2
б) 8a 3 3b3 8a 3 3b3 8a 3
2
3b3
2
64a 6 9b6 .
4. Сумма кубов равна произведению суммы двух выражений на
неполный квадрат их разности:
a b a 2 ab b2 a 3 a 2b a 2b ab2 ab2 b3 a3 b3 ,
3
a 3 b a b a 2 ab b 2 .
Например:
а) p 5 p 2 5p 25 p3 53 p3 125 ;
61
б) 2x y 4x 2 2xy y 2 2x 3 y3 8x 3 y3 .
5. Разность кубов равна произведению разности двух выражений на
неполный квадрат их суммы:
a b a 2 ab b2 a 3 a 2b a 2b ab2 ab2 b3 a3 b3 ,
a 3 b3 a b a 2 ab b2
.
Например:
б) 3 5n 9 15n 25n 2 27 125n 3 .
а) 2b 1 4b 2 2b 1 2b 2 13 8b3 1 ;
Разложение многочленов на множители
Разложить многочлен на множители – это значит записать его как
произведение нескольких множителей.
Есть три основных способа разложения многочленов на множители.
I. Вынесение общего множителя за скобку
Пример 1. am bm cm m a b c .
Здесь m – общий множитель, который вынесли за скобку. Чтобы узнать,
что написать в скобках, необходимо разделить каждый член многочлена на
общий множитель и результат записать в скобках.
Пример 2. 3b x 1 5a x 1 x 13b 5a .
Здесь общий множитель x– 1.
Пример 3. 3b a b 7a b a .
Здесь общего множителя нет. Изменим знак перед второй скобкой и в
скобке. Получим 3b a b 7a a b a b 3b 7a .
Пример 4. 12a 2b 18ab 2 30ab3 6ab 2a 3b 5b 2 .
II. Группировка членов
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разложить на множители многочлен ax bx by ay .
Члены этого многочлена не имеют общего множителя. Сгруппируем
члены так, чтобы эти группы членов имели общий множитель:
ax bx by ay ax bx by ay x a b y b a a b x y .
Примечание. Сгруппировать члены можно и по-другому:
ax bx by ay ax ay bx by a x y b x y x y a b .
Видно, что результаты одинаковые.
62
Пример 2. Разложить на множители многочлен
ax 2 bx 2 ax cx 2 bx cx ax 2 ax bx bx 2 cx 2 cx
ax x 1 bx 1 x cx x 1 ax x 1 bx x 1 cx x 1 x x 1 a b c
III. Разложение многочленов на множители с помощью формул
сокращенного умножения
Напишем формулы сокращенного умножения справа налево. Получим
формулы разложения многочленов на множители:
a 2 2ab b2 a b ,
(1)
a 2 2ab b2 a b ,
(2)
2
2
a3 3a 2b 3ab2 b3 a b ,
(3)
a3 3a 2b 3ab2 b3 a b ,
(4)
3
3
a 2 b2 a b a b ,
(5)
a 3 b3 a b a 2 ab b2 .
a 3 b3 a b a 2 ab b 2 ,
(6)
(7)
Формулу (5) читаем так: разность квадратов раскладывается на разность и
сумму оснований.
Формулу (6) читаем так: сумма кубов раскладывается на сумму
оснований и неполный квадрат разности.
Формулу (7) читаем так: разность кубов раскладывается на разность
оснований и неполный квадрат суммы.
Рассмотрим примеры:
Пример 1. 4 p 2 22 p 2 2 p 2 p .
Пример 2. x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 x 4 .
2
2
Пример 3. c2 2cd d 2 c d .
Пример 4. 25b2 20b 4 5b 2 .
2
Пример 5. t 3 1 t 1 t 2 t 1 .
Пример 6. 8c3 p3 2c 3 p3 2c p 4c2 2cp p 2 .
Новые слова и выражения: одночле́н(-ы), многочле́н(-ы), отлича́ться
(чем? от чего?), подо́бный (-ая, -ое, -ые), приводи́ть (что? к чему?), привести́
(что? к чему?), приведе́ние (чего?), припи́сывать (что? к чему?), приписа́ть
(что? к чему?), опуска́ть (что?), опусти́ть (что?), заключа́ть (что?), заключи́ть
(что?), изменя́ть (что?), измени́ть (что?), сократи́ть, сокраща́ть (что?),
сокращё́нный (-ая, -ое, -ые), удво́ить (что?), удво́енный (-ая, -ое, -ые), утро́ить
63
(что?), утро́енный (-ая, -ое, - ые), непо́лный (-ая, -ое, -ые), разлага́ть (что? на
что?), разложи́ть (что? на что?), разложе́ние, выноси́ть (что? куда?), вы́нести
(что? куда?), вынесе́ние, группирова́ть (что?), сгруппирова́ть (что? с чем?),
группиро́вка.
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Приведите подобные слагаемые:
2
2
2
2
1) x 2y 3z 3x z x y 2z 2x ;
2) 9m2 12mn 6n 2 6m2 15mn 9n 2 3m2 3mn;
3) 2a3 5a 2b 5ab2 2b3 5ab2 5a 2b a 3 b3;
1
3
1
4) 5a 2b 4ab2 a 2b ab2 4,75a 2b 3a 4 4,75ab2 a 2b;
2
4
4
3
1
5) 11mn 2 4,3m2n 7,4mn 2 3m2n 3 mn 2 2,5m3 0,3m2n m3 .
5
2
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
3 2 2 2 1 2 1 2
a b ax a b 1 ax ;
4
3
2
3
5
2 a 4a
1,01a 2 ;
2) a 1,26a
6
12 3
3) 1,2a 4 3a 3 2a 2 0,7a 15 0,8a 4 3a 3 2a 2 0,7a 14 ;
1)
4) a 3 9a 2 1 72 2a 2 8a 3 ;
5) 11a 3 8a 2b 7ab 2 6b3 9a 3 7a 2b 5ab 2 3b3 3a 3 a 2b 2ab 2 ;
1
1
6) 3,5mn 2 m2n n 3 1 m 2n 2n 3 3 m 2n 4mn 2 n 3 ;
2
4
2
1
3
3
8) 3,7a 5,2b 4,3c 2,7a 3,2b 4,3c ;
3 2
3
1 2
3
3
9) 0,7x 2 x 8x 3 11,9x 13 x 8x 3,75 ;
4
4
5
5
2
7
5
7
2
5
7
7) 3a ab a b 0,5a 2a b 2ab 4a 3 a b ;
10) 5a 3 11a 2 b 16ab2 3b3 4b3 7ab2 8a2 b a3 7b3 3a2 b 24ab2 6a3
3. Выполните умножение:
1) 2a 5b 2c 5a 3c4 ;
6) 3
64
9 3 2 11 4 5 6
a b c a b c ;
22
15
7) 5с 4 3с 4 ;
2) 0, 4b6c3x 7 25c7 x ;
2) 2b3y6 by5 : 4y5 ;
3) 125x 5 y6 : 25x 2 y ;
6) 35a 2b 49a 2b 2 21ab3 : 7ab ;
7) 18,18a 3b 4 36a 2b3 a 2b 2 : 18a 2b 2 ;
34
5 4
4 5
3 6
3 4
8) 18x y 33x y 21x y : x y .
5. Возведите одночлены в степень:
2
5) 18m3n 2 21m 4n 3 : 3m 2n 2 ;
5 2
2 2
4) a b : a b ;
1) 0,5ab2с3
10) 7x 2 2 49x 4 14x 2 4 .
1) 12a 2b 18b 2 : 6b ;
1
2
9) 2b 1 4b 2 2b 1 ;
4. Выполните деление:
3
4
8) с3 2с2 с 5 2с4 ;
8 5 8 55 3
3) 3 x y z xy t ;
11
82
1 3 2 3 4 4 3
4) a b ab a b ;
4
2
3
5 2 3 7 4
5) x y x y ;
7
10
;
3
4) 2 3x 4 y3 ;
2
1
5) 5a 3b 4c 2 .
2
3) 1,6ab4
;
3
1 3 6
2) x y ;
3
2
6. Упростите выражение и найдите его числовое значение:
3
1) a 4 a 2 a 1 a 3 при a 1 ;
4
3
2) m 5 m 1 m 2 m 3 при m 2 ;
5
3) x 2 x 3 x 6 x 5 2 x 2 7x 13 при x 5,6;
5
1
2
2
4) 16x 8x : 4x x 2 4 x при x ;
8
3
4
5) ax 2 a 2 a x 1 2 2 a 2 4 3a 2x
7. Разделить многочлен на одночлен:
1) 12x 3 8x 2 x 4 : 4x ;
: 2ax , a 1, x 2 .
5) 18y7 27y 4 3y 2 : 3y 2 ;
65
3) 8x 4 3x 3 5x 2 : 2x 2 ;
4) 14a 3 28a 2 21a : 7a ;
2) 15y 4 6y 4 18y3 : 3y 2 ;
7) 6p 2q 2 9p 2q 12pq 2 : 3pq .
6) a 2b a 3b3 a 3b 2 : a 2b ;
8. Разделите многочлен на многочлен:
2) y 2 3y 2 6 2y3 : y 2 ;
3) 2a 4 6a 3 a 2 6a 1 : 2a 2 2 ;
4) 5x 5 15x 4 x 2 x 6 : 3 x ;
5) x 2 5x 8 : x 3 ;
1) 2x 3 13x 2 2x 4 : x 4 ;
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) y3 11y 2 6 : y 3 ;
8) 9y 4 14y 2 8 : 3y 2 ;
9) x 2 10x 21 x 3 ;
10) a 2 8a 16 : a 4 .
6) x 2 3x 10 : x 2 ;
9. Выполните действия с помощью формул сокращенного умножения:
2
m n m n ;
x y
21) ;
a 3 a 3 ;
2 3
5 d 5 d ;
2
22) 2x 3 3y 2 ;
5x y 5x y ;
2
2a 3 2a 3 ;
23) 2x 2 3y ;
5x 3y 5x 3y ;
1
1
2
2
1 1
1
1
8) x y x y ;
2 3
2
3
9) a 2 b 2 a 2 b 2 ;
7) 2d 2d ;
10) c3 d3 c3 d3 ;
11) 8a 3 3b3 8a 3 3b3 ;
12) 4x 2 7 4x 2 7 ;
13) m n ;
2
14) c d ;
2
2
24) 4x 2 5y ;
2
25) 5x 3 2y 2 ;
26) y 5 ;
3
27) t 7 ;
3
3
28) m2 2n ;
29) x 4y ;
3
3
1
30) ab c ;
3
31) 2f 3d ;
3
66
15) 2 a ;
2
32) 2a 3 5b 2
16) 3 b ;
2
;
3
34) x 1 x 2 x 1 ;
35) 2c p 4c2 2cp p 2 ;
36) 10x 3y 100x 2 30xy 9y 2 .
33) x 2 x 2 2x 4 ;
17) 3a 2b ;
2
18) 5x 2y ;
2
19) 6a 7b ;
2
2
a b
20) ;
4 3
10. Выполните действия:
1) x y x y ;
5) m 1 3 m 1 5 m 1 m 1 ;
2) x 4 4 x 1 ;
6) 4 m 3n 3 4m n 2 m n m n ;
3) 3 2 y 4 y 5 ;
7) 2c 5d 2c 5d 6 2d 5c 35c 2d .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4) 5 3 5a 5 3a 7 ;
11. Разложите на множители методом вынесения общих множителей за
скобку:
10) 5 x 3 a 3 x ;
1) 2x 2y ;
2) ax ay ;
11) 2a x y y x ;
3) 6a 2 ;
12) 3x x 1 1 x ;
4) 7ab 7ac ;
13) 3a x 1 2b x 1 c x 1 ;
5) 15ax 2ay ;
14) a m 2 1 b m 2 1 c m 2 1 ;
2
2
6) 3a x 6ax ;
15) x p a y a p z p a ;
7) 9a 2 12a 3b ;
16) m n 2 p n 2 2 n ;
8) 18ab3 9b4 ;
17) x a b c y a b c 2 a b c .
9) x 2 x 1 b 1 x ;
2
2
12. Решите уравнения способом разложения на множители левой части
уравнения:
3) 3x 10 x 2 2x 5 ;
1) 4x 2 16x x 2 12x ;
2
2
2) x 40 x 3 2x 7 ; 4) x 3 x 5 x 2 x 1 x 1 x 13 .
13. Разложите многочлены на множители способом группировки:
2
1) ax ay bx by ;
8) x xy 2x 2y ;
2)
3)
a 2 ab ac bc ;
x3 3x 2 3x 9 ;
9) a 2 ab 3a 3b ;
10) 10ay 5by 2ax bx ;
67
4) 3a 3b ax bx ;
5) 2a x y x y ;
6) 4x a b a b ;
7) m2 mn 5m 5n ;
11) 5a 2 5ax 7a 7x ;
12) 6by 15bx 4ay 10ax ;
13) a 2 ab 8a 8b ;
14) 5a 3c 10a 2 6bc 3abc2 .
14. Разложите многочлены на множители по формулам сокращенного
умножения:
3
1) a 2 4 ;
18) y 0,125 ;
2
2) 36q 25 ;
19) a 2 6a 9 ;
2 2
3) 1 x y ;
20) m2 n 2 2mn ;
4
4) 4p 9 ;
4
16
5) x 2 y 2 ;
9
25
4
6) 100a 81b6 ;
7) 125a 3 b3 ;
8) a 3 8 ;
2
2
21) 2pq p q ;
9) x3 8 ;
10) 8a 3 b3 ;
11) a 3 27 ;
3
22) a 2 2a 1 ;
23) 9m2 6m 1 ;
24) 25m4 10m2n n 2 ;
25) 9c2 12cd 2 4d 4 ;
4
2 2
4
26) 25x 10x y y ;
4
2 2
3
12) 27x 8y ;
13) 1 8a 3 ;
14) 27 8a 3 ;
15) 125x3 1 ;
16) 343x3 27 ;
1 3
17) 64b3
a ;
27
29) a 3 6a 2b 12ab2 8b3 ;
30) 125m3 75m2 15m 1 ;
31) 64 96a 48a 2 8a 3 ;
32) a3 18a 2 108a 216 ;
27 3 6 9 2 4 2
8
33)
a b a b c ab2c4 c6 .
64
8
27
15. Разложите на множители:
1) m n p2 ;
7) 1 2a 3b ;
2) a 3b 16c2 ;
8) 25m2 m n ;
3) 5p 3q 25 ;
9) 9a 2b4 c d ;
4 2
2
y x y ;
10)
25
2
2
2
4) a 2 b
2
1;
5) m n 25m2n 2 ;
2
4
27) 36p 12p q q ;
28)m3 + 6m2 n + 12mn2 + 8n3 ;
2
2
2
11) 25a 2 a b ;
2
68
12) a b a 2 a b .
6) 16a 2 x y ;
3
2
Б
1. Сложите многочлены:
2) 47x 4a 3x 3a 22x 2a x a 1 37x 3a 8x 2a 3 .
1) 2x 2a 4x a 3 6x 2a 3x a 4 ;
2. Вычесть многочлены:
2) 8ab 2c 10ab 2 2ac 15b 2c 11ab 2c 2ab ab 2c 9b 2c 10ab 2 ;
3) 17 24pq 2 4p 2q p 2qr 8pq 2r 6q 2p 8q 2pr 4qp 2 7qp 2r 3pqr .
1) 3x 2 y 5x 2z 2y 2z xyz 5xy 2 11x 2z 7xyz z 2 y ;
3. Выполнить умножение:
2
1 2 3
1) x y ;
5
2
2
1 2 2
2) x y ;
3
4
;
2
4) 0,3x 0,8y 2 ;
3) 0,5x 0,7y
2 2
5) 2x 3y 4 2x 3y 4 ;
7) x 1 x 1 x 2 1 ;
8) y 2 y 2 y 2 4 ;
6) x 2 3y y 2 x 2 3y y 2 ;
9) 2x y 2x y 4x 2 y 2 ;
10) 5x y 5x y 25x 2 y 2 ;
11) 4x x 1 ;
2
2
3 5
12) 3x ;
11
13) x a yb x a y b x 2a y 2b ;
a b
14) x a b
;
2
15) 2x 12 1 ;
16) y 1 y 1 ;
17) a b c d a b c d .
3
4. Выполните деление:
2) 3x 5 3x 4 4x 3 11x 2 11x 4 : 3x 3 7x 4 ;
3) a 7 b7 : a b ;
4) 4a 3b 5a 2b 2 a 4 2ab3 : a 2 2b 2 3ab ;
1) 2x 3 9x 2 7x 6 : x 2 5x 6 ;
69
3
5) x 4 x 3y x 2 y 2 2x 2 y 2xy 2 2y3 : x 2 xy y 2 .
5. Разложите на множители:
1) 3 x y x y ;
2) 4 x y x y x y ;
13) 9 m n m n ;
3) 2 a b a b a b ;
15) 3a 2b 3a 5b ;
2
2
14) 16 a b 9 m n ;
2
2
5) a 2 b2
2
2
2
2
17) 16 x y 25 x y ;
2
2
18) 49 2m 3n 9 m n ;
2
6) a b b a b ;
2
2
19) 4 3p 5q 16 2p q ;
2
7) x y x y ;
2
2
20) p q 2pq p q ;
3
2
2
8) 0,04x 0,09y ;
1 4 1 2
9)
y x ;
36
81
3
3
21) 2y 54z ;
22) 125с6 8d6 ;
23) a m a m1 ;
24) 152n 3 25n 1 .
4a
2a
2a
10) 4y 12y 10y 30 ;
11) 2x 3 x 1 ;
2
2
16) b 5c 9 b c ;
a 2 a 2 b2 ;
3
2
2
4) a b a a b ;
3
2
2
12) 3a 2b a b ;
2
2
6. Найдите числовые значения выражений (сначала разложите их на
множители):
5
8
1) a 2b b ab2 a при a 1 ,b ;
8
13
2
1
2
3
2 2
2) 3x 2y 6x y y при x , y .
3
2
7. Выполните деление (сначала разложите делимое и делитель на
множители):
x 2 49b2
1)
;
x 7b
25x 2 10x 1
3)
;
5x 1
8b6 1
a9 8
2)
1 2b 2
;
4)
a 6 2a 3 4
;
a 3 3a 2 3a 1
5)
;
a 1
64b 2 48by 9y 2
6)
.
8b 3y
Ответы: А.
2. 3) 2a 4 4a 2 1,4a 1 ; 5) a 3 3b3 ; 7) 0,5a5 ab2 2a 7b ;
9) 11,2x3 15,95x 2 ; 10) ab2 .
70
6 11
4 4
3. 1)10a8b2c5 ; 3) 2,5x y zt ; 5) 0,5x y ; 7)15c2 8c 16 ; 9) 8b3 1.
1
3 5
4. 1) 2a 2 3b ;3) 5x y ; 5) 6m 7m2n ; 7)1,01ab 2 2b .
18
5. 1) 0,25a 2b4c6 ; 3) 2,56a 2b8 ; 5) 12,5a 6b8c4 .
1
3
6. 1) 1,5; 3) 6; 5) ax a 1; 3,5 .
2
2
1 1
3
5
5
2
7. 1) 3x 2 2x ; 3) 4x 2 x ; 5) 6y 9y 1 ; 7) 2pq 3p 4q .
4 x
2
2
76
1
2
8. 1) 2x 2 5x 18
; 3) a 2 3a ; 5) x 2
;
x3
x4
2
66
7) y2 8y 24
; 9) x 7 .
y3
9. 17) 9a 2 12ab 4b2 ; 19) 36a 2 84ab 49b2 ; 21)
x 2 xy y2
;
4
3
9
4
2
2
6
3 2
4
23) 4x 12x y 9y ; 25) 25x 20x y 4y ; 27) t 3 21t 2 147t 343 ;
3
2
2
3
29) x 12x y 48xy 64y ; 31) 8f 3 36f 2d 54fd 2 27d3 ;
2
10. 1) 4xy ; 3) 7y 52y 112 ; 5) m2 4m 9 ; 7)13d 2 79c2 180cd ;
11. 9) x 1 x 2 b ; 11) x y 2a 1 ; 13) x 1 3a 2b c ;
15) p a x y z .
1
3
13. 1) a b x y ; 3) x 3 x 2 3 ; 5) x y 2a 1 ; 7) m n m 5 ;
12. 1) 0; 1 ; 3) 0;2 .
9) a b a 3 ; 11) a x 5a 7 ; 13) a b a 8 .
1
3
4
3
1
9
2
2
14. 15) 5x 1 25x 2 5x 1 ; 17) 4b a 16b ab a ;
3
3 2 2 2
25) 3c 2d ; 27) 6p q ; 29) a 2b ; 31) 4 2a ; 33) ab c .
3
4
15. 7) 1 2a 3b 1 2a 3b ; 9) 3ab 2 c d 3ab 2 c d ;
2 2
2
2 2
3
3
11) 4a b 6a b .
Б.
1. 1) 8x 2a 7x a 7 ; 2) 47x 4a 34x3a 30x 2a x a 2 .
2
2
2
2
2
2
2
2. 1) 3x y 5xy 16x z 2y z z y 8xyz ; 3)17 30pq 8p qr 3pqr .
71
1
3
9
2
2
4
3. 1) x 4 x 2 y y2 ; 3) 0,25x 0,7xy 0,49y ;
4
5
25
2
2
4
4
5) 4x 12xy 9y 16 ; 7) x 4 1; 9)16x y ; 11)16x 4 32x3 16x 2 ;
13) x
4a
y 4b ; 15)16x 4 32x3 16x 2 ; 17) a 2 2ac c2 b2 2bd d2 .
2
4. 1) 2x 1; 3) a 6 a 5b a 4b2 a 3b3 a 2b4 ab5 b6 ; 5) x 2y .
5. 1) x y x y 3 ; 3) a b a 3b ; 5) b 2 a 2 b 2 ;
1 1
1
1
9 6
9
6
13) 4 n 2m m 2n ; 15) 3b6a 7b ; 17) x 9 y y 9 x ;
2
2
7) x y 1 x y ; 9) y x y x ; 11) 3x 2 x 4 ;
19) 4 7q p 7p 3q ; 21) 2 y 3 y 2 3y 9 ; 23) a m a 1 .
6. 1) 0; 2)
5
2
. 7. 1) x 7b ; 3) 5x 1; 5) a 1 .
12
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое алгебраическое выражение называется: а) одночленом;
б) многочленом?
2. Какие члены многочлена называются подобными?
3. Какие члены многочлена взаимно уничтожаются?
4. Как сложить: а) одночлены; б) многочлены?
5. Как вычесть: а) одночлены; б) многочлены?
6.
Как открыть скобки?
7.
Как заключить члены многочлена в скобки?
8.
Как умножить: а) многочлен на одночлен; б) многочлен на
многочлен?
9.
Как разделить многочлен на одночлен?
10.
Чему равен: а) квадрат двучлена; б) куб двучлена?
11.
Чему равно произведение: а) разности двух выражений на их
сумму; б) суммы двух выражений на неполный квадрат их разности;
в) разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?
12.
Что значит разложить многочлен на множители?
13.
Какие вы знаете способы разложения многочленов на множители?
14.
На что раскладывается: а) разность квадратов; б) разность кубов;
в) сумма кубов?
72
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Алгебраическая дробь – это дробь вида
a
, где а и b – алгебраические
b
выражения.
1
a
a b
a это алгебраические дроби.
Например: ;
;
1
x
y
b
a
a
Числитель дроби может иметь любое значение. Знаменатель дроби может
иметь любое значение, кроме нуля. Если знаменатель дроби равен нулю, то
дробь не имеет смысла.
2
;
x
2
a
2
Свойства алгебраических дробей
a
равна нулю, если а = 0, b ≠ 0.
b
2. Величина дроби (значение дроби) не изменится, если числитель и
знаменатель дроби умножить или разделить на одинаковое выражение, не
равное нулю. Это основное свойство дроби:
a am a:n
, где m ≠ 0; n ≠ 0.
b bm b:n
Это свойство позволяет (дает возможность) сокращать дроби.
Сократить дробь – это значит разделить числитель и знаменатель дроби
на одинаковое выражение (или число), не равное нулю.
Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить на
множители числитель и знаменатель, а затем сократить их на общий
множитель.
2a 2 2a 2a a 1 2a
.
Пример. Сократить дробь
3ab 3b 3b a 1 3b
Здесь (а + 1) – общий множитель числителя и знаменателя.
Если у числителя и знаменателя нет общих множителей, то дробь
сократить нельзя. Такая дробь называется несократимой.
1. Дробь
3. Величина дроби не изменится, если
противоположные:
а) у числителя и знаменателя;
в) у числителя и перед дробью;
с) у знаменателя и перед дробью:
a a
a
a
.
b b
b
b
Пример 1. Сократить дробь
2b 2b 2
3b 2 3
73
.
изменить
знаки
на
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби,
получим:
2b 1 b
2b b 1
2b 2b2
2b
.
3 b 1 b 1
3 b 1
3b2 3 3 b 1 b 1
Здесь мы изменили знаки перед дробью и у числителя. Можно было
изменить знаки перед дробью и у знаменателя:
2b 1 b
2b 1 b
2b 2b2
2b
.
2
3
b
1
b
1
3
1
b
1
b
3
b
1
3b 3
Как видим, результат получился одинаковый.
Действия с алгебраическими дробями
1. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняются по тем же
правилам, что и арифметических дробей.
a b ab
a b ab
Например:
;
.
m m
m
n n
n
Эти дроби имели одинаковые знаменатели. Если же дроби имеют не
одинаковые знаменатели, то их необходимо привести к наименьшему общему
знаменателю.
a c ad bc
Пример 1.
; bd – наименьший общий знаменатель.
b d
bd
a 1 a 1 3a 3 2a 2 5a 1
Пример 2.
.
4
6
12
12
ab 3b ab 3a
a 3
b3
a 3
b 3
Пример 3.
ab a b
a 2 ab ab b2 a a b b a b
3 a b
ab 3b ab 3a
3a 3b
3
=
.
ab a b
ab a b ab a b ab
4m
2m 1 2m 1
Пример 4.
2
4m 1 6m 3 4m 2
4m
2m 1
2m 1
=
2m 1 2m 1 3 2m 1 2 2m 1
=
24m 2 2m 1 2m 1 3 2m 1 2m 1
6 2m 1 2m 1
=
24m 2 4m 2 4m 1 3 4m 2 4m 1
=
6 2m 1 2m 1
24m 8m 2 8m 2 12m 2 12m 3
4m 2 4m 1
=
6 2m 1 2m 1
6 2m 1 2m 1
74
2
2m 1
2m 1
.
6 2m 1 2m 1 6 2m 1
2b
5
4b 2 9
2b
5
4b 2 9
Пример 5.
2b 3 3 2b 4b2 9 2b 3 3 2b 2b 3 2b 3
2b 2b 3 5 2b 3 4b 2 9
2b
5
4b 2 9
2b 3 2b 3 2b 3 2b 3
2b 3 2b 3
8 2b 3
4b2 6b 10b 15 4b2 9
16b 24
8
.
2b 3 2b 3
2b 3 2b 3 2b 3 2b 3 3 2b
2. Умножение алгебраических дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители, а
затем знаменатели. Первое произведение будет числителем, а второе –
знаменателем результата:
a c ac
.
b d bd
3. Деление алгебраических дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь,
обратную второй дроби:
a c a d ad
: .
b d b c bc
ax x ax x x 2
Пример 1.
.
3 a 3 a
3
x 2 ax a x x a x a
x 2 ax a
Пример 2.
.
2
2
2 2
2
ax
a
x
a x
ax
x 3 27 12x 9
x 3 27 12x 9
Пример 3.
8x 6 x 2 3x 9 8x 6 x 2 3x 9
x 3 x 2 3x 9 3 4x 3
2 4x 3 x 2 3x 9
Пример 4.
3 x 3
.
2
1 4a 4a 2 4a 2 1 1 4a 4a 2 5a 3
:
15a 2
5a 3
15a 2
4a 2 1
2
2
1 2a 5a 3
2a 1 a
a 2a 1
.
15a 2 2a 1 2a 1 3 2a 1 2a 1 3 2a 1
75
Пример 5.
a 4 64ab3
a 2 b2
:
a 2 2ab b 2 a 2b 16b3
a 3 4a 2b 16ab 2
ab 4b 2
a 4 64ab3 a 2 b2 ab 4b2
=
2
2
2
3
3
2
2
a
2ab
b
a
b
16b
a
4a
b
16ab
a a 4b a 2 4ab 16b 2 a b b a 4b
ab
.
2
2
2
a
b
a b b a 4b a 4b a a 4ab 16b
4. Все действия с алгебраическими дробями
При решении примеров на все действия с дробями необходимо помнить
порядок действий:
1) выполняем возведение в степень.
2) выполняем умножение и деление.
3) выполняем сложение и вычитание.
2
1
1
2 1 1 p q
:
Пример 1. Выполнить действия: 2 2
p q p q
pq
q
p
2
1
p q
1
2 q p
pq
q 2 p 2 2pq
pq
1
2
q 2 pq pq p q 2
p 2q 2
p q 2 pq p q 2 pq
p
.
m m m m n m
Пример 2. Выполнить действия: 1 : 1 : 1 :
n n
n n m
n
m n nm
m m n m n m n m m n
1 :
:
1
n
n
n n m n m n n n m n m
n
m
m n m n 2 m 2 mn m 2 mn m 2 n m
1
nm
n m n m
n m n m n m
n 2 m2 n m
n 2 m2
n m n m n m n m 2
.
Пример 3. Доказать тождество
2
2ab 4b 3a 6 4b 21 a 2
6
.
:
2b 3
2 2b
2 2b
Чтобы доказать тождество, необходимо упростить ту часть тождества, в
которой находится более сложное выражение. Если результат будет такой же,
как и выражение в другой части тождества, то тождество доказано. В нашем
примере более сложная левая часть.
76
Упростим ее:
2
2
2ab 4b 3a 6 4b 21 2ab 4b 3a 6 4b 21 12 12b
6
=
:
:
2 2b
2
1
b
2
1
b
2 2b
=
2b a 2 3 a 2
2 1 b
a 2 2b 3 a 2 .
2 1 b
2b 3
4b 2 12b 9
2b 32
a2
a2
, правая
. Тождество доказано.
2b 3
2b 3
Пример 4. Найти числовое значение выражения
2
1 a2 a 1
при a 2 .
a
: 2
1 a a 2a 1
3
Сначала упростим это выражение, а затем в результат подставим значение
Левая часть
а.
2
a 2 a 1 1 a
1 a a 1 a a 1 a 1
a
:
2
1 a
1 a a 2 2a 1
a2 a 1
1 a a a 1
2
2
2
2
2
1 a a 1 2 1 1 .
3
3
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. При каких значениях а следующие дроби не имеют смысла?
4а 7
а2
а 8
;
2)
; 3)
; 4)
а а 5
2а 10
а 4 а 9
а 3
1)
;
а7
5)
2а 9
16а 2 1
.
2. При каких значениях букв дроби равны нулю?
5a 1
4x 2
10b 2 5b
а
3b
1)
.
; 4)
; 5)
; 2)
; 3)
a 3
x 13
b 2 5
а 2 81
16 b 2
3. Сократите дроби:
60ac
1)
;
24ac2
2)
3)
140a 4b3
42a 3b 6
a 2 k
a
4)
k
2k 3
2k 5
5)
;
2
b y b y
4
3 3
2
6)
;
7)
;
b5 y 3 b y
15а 10ab
8b 2 12ab
m n
2
n 2 m2
;
;
8)
9)
1 x x2
x3 1
4 2a a 2
10)
;
77
;
a3 8
;
45b 2b 7
18b2 7 2b
;
11)
3a x y
2
25)
;
x y
5a x y
;
12)
15a y x
2
3 a b a c
13)
;
6 a b a c
2
10a 2b x y
14)
;
3
15a 4b x y
9a
2
3x 3y
15)
;
6x
4m 4n
;
16)
8a 8b
3m x 1
;
17)
2
9m 1 x
18)
8a 2b3 x 5
12ab 4 5 x
a2
;
19) 2
a ab
ax bx
;
20)
ax bx
6p 6q
21)
;
12x 12y
23)
24)
a b
;
2a 2b
x2 4
27)
;
;
39)
ax ay bx by
;
ax ay bx by
;
40)
ab ac b 2 bc
;
ax ay bx by
;
2
a b c2
;
41)
3x 2 4xy
9x 2 y 16y3
1 x3
3 3x 3x 2
abc
2
a 2 b 2 c2 2ab
;
42) 2
a b 2 c2 2ac
a 2 b2
;
43) 2
a a b b2
5a 3 a 2b 5ab 2 b3
;
44)
5ab b 2
xx
;
28) 2
x 1
2
a b
;
29)
a 2 b2
30)
a2 1
a 1
2
;
45)
2
31)
3x 3xy
3 x y
2
;
2
;
32)
35)
3
x 2 4x 4
26)
34)
;
22) 2
a b 3ab 2
3
2x3 y2 −x4 y2
33)
a 2 3ab
x3 −2x2
20a 45b
2a 3b
p3 q 3
2
p q
;
2
47)
;
48)
2x 3 2y3
5x 2 5y 2
;
49)
3a 2 6ab 3b 2
6a 2 6b 2
3
36)
2
46)
2
5x y 5xy
;
50)
3
x 4 y4
2a 4
37)
;
a3 8
3n 2 3m 2
38)
;
6m3 6n 3
;
51)
52)
4. Выполните сложение и вычитание дробей:
4
1
a
b
1)
;
;
2)
xy x
x 1 1 x
78
1 c2
c3 2c2 c
a 2 ab b 2
a 6 a 3b3
;
;
m 2 6m 9
m3 9m
ab 2 16a 3
4a b
2
;
;
2a b
3b2 12a 2
;
x 3y 2x 2 y 2 xy3
2
y x
2
b 3 c3
b3 2b 2c bc 2
m 2 2mn n 2
2m3n 2n 4
;
.
;
1
3
;
a2 a
7x
5x
4)
;
2 x 1 x 1
3)
5)
22)
3c2 5ab b2 3ac
;
23)
ac
bc
4x
3x
;
5 x 3 2 x 3
1
1
;
xy xy
1
1
7)
;
3x y 3x y
x
x
8)
;
ab ab
26)
27)
5
3
;
2x 2 4x 4
7
3
;
10)
5a 5 10a 10
a
2a
;
11)
3a 3b 6a 6b
9)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
7x
2x
;
3x 3y 3x 3y
5a
2a
;
ax ay bx by
x x
;
ab ac
a 5 a 5
;
a 3 3a
3a 1 2a 3
;
xy xy
a
b
c
;
xy yx xy
m 3n 2m n
;
12
8
12b2 3a 2 5a 2 b2
19)
;
5
4
x y y 2x
20)
;
xy yx
2
21)
24)
25)
6)
12)
a 1 a 2
;
a 1 1 a
2
2a 3b 4a 5b
;
a
ab
p
5
2p
;n
p2 2p p2
3c 2
c 1
2
2x
x 1
3
x2
4c 2
1 c
2
1
1 x
3
2c 5
1 c
2
;
x
1 x
3
;
x2
;
x 2 2x 1 x 2 1
7a
5a
a
28)
;
x2 9 x 3 x 3
5
x2
x 1
29)
;
x 3 x 2 9 2x 6
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
79
4
3
x2 2
;
x 2 x 2 x2 4
5a
6
;
2
5a
20
a 8a 16
mn
m2 n 2
;
2m 2n m 2 n 2
1
x 1
;
2
2x 2 3x 6x 3
7a 1
5 3a
;
2
2a 6a a 2 9
5
2
n 1
;
2n 3 2n 3 9 4n 2
7
3
12
;
2
2x 4 x 2 x 4
1
4
3m 5
;
3m 2 2 3m 4 9m2
1
1
1
;
2
2
2
8a 18b
2a 3ab 4ab 6b2
1 a 1 2a a 1 a
;
a 3 3a
9 a2
40)
41)
2
n 3
3n 1
;
n 2 n 2 4 n 2 4n 4
x 1 x x 3 x 2 ;
x5
x 2 25
4x 3 4 5x 3 x 10x 2
42)
.
3 2x 3 2x
4x 2 9
5x
5. Выполните умножение и деление дробей:
a 2 3ax ax 3x 2
28a 2 63x 4
:
;
9)
;
1)
3 140a
12x
36a
27x
25a 2
10a 4
:
;
10) 3
a b 8b 4
3
2
2
2)
;
6a
6b
9a
9ab
9b
3
2
4b a ab
x 3 27
8x 2
3)
;
16x 3 x 2 3x 9
x 2 y2 x y
:
;
11)
6x 2 y 2 3xy
a 2 ab b2
4)
;
b
a
5 5a 10 10a 2
:
;
12)
2
3
3a
1
a
5)
6)
ab b 2 3a
;
9
b2
a 2b 4b3
3ab
7)
2
x 2 xy xy y 2
13)
:
;
x
y
a 2b
2
a 2ab
;
2a 3 2b3 6a 2 6b 2
;
3a 3b a 2 2ab b 2
a 2 b 3 a 3b 2
:
;
8)
16c 4 80c5
14)
5m 5n 8m 8n
;
4m 4n 15m 15n
15)
4p 2 9q 2 2ap 3aq
:
;
2 2
2pq
p q
16)
x2 + xy
5x2 −5y2
17)
:
x2 −xy+y2
3x3 +3y3
;
a 2 25 a 2 5a
.
:
2
2
a 3a a 9
6. Выполните действия:
2m 1 2m 1 4m
; 2)
1)
:
2m
1
2m
1
10m
5
3a
2a 6a 2 10a
3)
;
:
2
1 3a
3a 1 1 6a 9a
a a 2b ab2
a 1
6
a 3 4a 2 4
2a 2 2
3 ;
2a 2 2a 2
a
4)
x a
a x 2 2ax a 2
;
2
xa
2a
b
2a
2a
8a a 4
; 6)
5) 2
: a 2;
2
2
2
2
a
2
6
3a
a 4
a ab b ab a b
6a c
6a c a 2 36c2 5a 5b
ba5
ab
; 8)
7) 2
;
:
a 6ac a 2 6ac a 2 c2
a 3 b3 a 2 ab b 2 a 3 b3
80
x 2 xy y 2 3x
2x y
10) 1
.
2
2 2x y
x
x
y
Б
ab
2a 1
9) a
b:
1 ;
ab
a 2 b2
1. Выполните действия:
1)
1
2
6a 12a 6
3
1
2
1
; 2)
2
3x 2
2
6
2
3x 2
2
3a 3 6a 12a 6
x 2x 1 x 1 x 2x 1
m
n
m2 n 2
4
5
3)
.
; 4)
mn n 2 m 2 mn m 2 mn
a 2 2ab b2 a 2 2ab b2 a 2 b2
2. Выполните умножение и деление дробей:
a4 x4 a2 x2
1)
:
;
a3 x3 a 2 x 2
3)
4)
x 3z 125z
x 2 16z 2
:
x 3 25x
x 2 4y 2
x 4 16y 4
15 x 2y
x 4z
x 2 8xz 16z 2 x 2 5x 25
a 4 a 2 6a 9
a4 a2
2)
5x 2 10xy
a6 1
:
2
;
;
a4 a2 1
a 4 2a 3 a 2 9 a 4 a 3 3a 2
.
3. Приведите дроби к простому виду:
a
1
1) b ;
a
1
b
ab
3
2) c
;
ab
1
c
bc
a
bc;
3)
ac
b
ac
a2 1 1
2
a
a
4)
.
1
a 2
a
4. Выполните действия:
b
ab x a
xb
x
1)
;
x b x a ax ab b2 bx ab
2) (
a−x
1
− a−x) ∙ (
a2 +ax+x2
2x+a
a
+
2a+x
x
);
5a
5x
10ax a
x
2ax
3)
;
a x a x a2 x2 a x a x a2 x2
a 1
1 3a a 2
1 a2 1
:
4)
;
3
3a a 12
1 a
a
1
a
1
1
3b
2 4a 2 b 2
:
1 ;
5)
2
2 2a b 2
2
2a
b
b 4a
4a b
81
;
2ab
b 2a 3b
6)
;
: 1
4a 2 9b2 3b 2a 2a 3b
1
3
3
2a 1
7)
a
;
a 1
a 1 a3 1 a 2 a 1
8) (
2x2 +x
−
x+1
) ∙ (1 +
x+1
−
x2 +5x
x3 −1
x2 +x+1
x
x2 +x
2x 2 3x
3x 2 4x 1 2x 3
;
9) 2
4x 12x 9 2x 3 2x 3 2x 3
);
3a 2 18a 3 a 9 3a 2 a 2 10a 25
;
:
10) 2
4
2
4
3a 1
9a
1
3a
1
9a
1
4a 2b
8ab
2a b 2a b
11)
;
:
3ab 12a 2 3b2 2a b 6a 3b
xy
x2
2xy2
y2
;
12)
:
4
2
2
4
2
2
2
xy
x 2x y y
x y x y
x y x y
a 2 b 2 6a b 6a 3 b3 a 2b 6ab 2
ab
:
;
13)
2
2
2
2
a 2 b2
ab
2ab 2a b
a b
.
5. Найдите неизвестные члены пропорции:
1) p 2q 2 : p
pq
pq
q
:x ;
pq
pq
ab ab
2
:
x a 3 ab2 : a b ;
2
a
3
8a
4 2a a 2
5a 10
3)
.
:x
:
ab
a 2 b2
2a 3 2ab 2 4a 2b
2)
6. Докажите тождества:
1
6q
2 p 2 4q 2
1
:
1 ;
1)
2
2 p 2q 2
2
2p
p 2q 4q p
p 4q
2)[
c2
c2 d
c
d
d
c
− c2 +d2 ∙ (cd+d2 + c2 +cd)] : c−d = c+d ;
c2 −d2
x
4xy
y
2xy
3) x
y:
x y;
xy
y x y x x 2 y2
2
2 ab
2a
a b
4)
a b :
;
a b
a
3a a b 3a
82
n
m
m n m n
: 2 : 1
;
n m n m
m mn
2x 2 x
x 1 x 1 x 2 5x x
1
1
;
6) 3
2
x 1 x2 x 1
x
x
1
x
1
x x
5)
15
x 2 10
7) x 5
x 5;
:
x 5 25 10x x 2
4x 2 21 4x 6 2xy 3y 2x 3
;
:
8) 6
2
2x
2x
2
2
y
9)
a 3 b3
ab
2b
: a 2 b2
1;
ab
a 2 b2 a b
a
b
10)
b
b
b a b
2 1 : 1 ;
a
a
a b a
2
2
2
2
11) a 1
a 1
8 .
a 1
a 1
7. Найдите значение выражения:
3
2a 2
1) 3
b
2)
3)
4
b2
при а = – 5, b = 2,5;
2a
27 a 3 a 2 3a 9
при а = 1,5;
:
3
2
27 a a 3a 9
x 2 16y 2
16y 2 4xy x 2
:
16y 2 8xy x 2
64y3 x 3
1
при x 2,7; y .
4
1
Ответы: А. 1. 1) a 7 ; 3) a 0; a 5 ; 5) a .
4
1
1
2. 1) a 0 ; 3) a ; 5) b 0,b .
5
2
5
3. 1) ;
3c
2
3) a ;
5)
b2
b y
;
2
7)
nm
;
nm
9)
1
;
ab
11)
xy
1
a
pq
15)
;
17)
;
19)
;
21)
;
3m
ab
2x
2x 2y
x2
1 x
ab
x
25)
;
27)
;
29)
;
31)
;
2
2
a
b
3
x
y
2xy x y
83
xy
;
3a
13)
a c
;
2
a 2 ab b 2
23)
;
2
33)
p 2 pq q 2
;
pq
35)
ab
;
2a b
37)
2
a 2 2a 4
;
39)
xy
;
xy
41) a b c ;
43)
ab
;
a b 1
1 c
m3
1
b2 bc c2
45)
; 47)
; 49)
; 51)
.
c 1 c
m m 3
3 b 2a
b b c
5x y
7x
13
2 a 3
6x
4. 1)
; 3)
; 5)
; 7)
; 9)
;
2
2
x x y
10 x 3
4
x
1
a a 2
9x y
5b 2a
10
53b2 37a 2
abc
11) 0; 13)
; 15)
; 17)
; 19)
;
b x y
3a
20
xy
2 2a 2 ab 4b 2
21)
29)
ab
x 2 4x 37
2
2 x 9
2 a2 a 3
39)
;
; 31)
;
3 bc2 2ab2 a 2c
23)
abc
a 1
5 a 4
; 33)
2
x 5
6 x 1
;
25)
; 35)
2
2x
1
; 27)
;
2
c 1
x 1 x 1
15n 8
2
4n 9
; 37)
6m 5
2
9m 4
x 2 4x 5
41)
.
x 2 25
a2 9
x3
7ax
a a b
3a 2
xy
2
2
5. 1)
; 3)
; 5)
; 7) 4 a ab b ; 9)
; 11)
;
15
2x
3b
2xy
x2
2 2p 3q
a 5 a 3
13) 1; 15)
; 17)
.
apq
a2
2
1 3a
10
a b
ba
12
6. 1)
; 3)
; 5)
; 7) ; 9)
.
2 1 3a
a b 1
ba
a
2m 1
Б. 1. 1)
2
2
3 a 1
2
; 3)
2
a x a x
2. 1)
;
a 2 ax x 2
ab
ac
3.1)
; 3)
.
ab
bc
6a 2 4b 2 14ab
a
3)
2
b
2 2
.
z x 4z
.
x x 5
2 2a b
a 2 b2
1
2x 3
4. 1) – 1; 3) 5; 5) ; 7) 1; 9)
; 11)
; 13)
;
3(2a b)
ab a b
4a
2x 3
6
15)
.
ax
84
;
5. 1) x
1
p2 q 2
7. 1) 5; 3) – 3,7.
; 3) x
5 a2 4
.
2a a b
3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
дроби?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Какая дробь называется алгебраической?
Какие значения могут иметь: а) числитель дроби; б) знаменатель
Когда дробь равна нулю?
Когда дробь не имеет смысла?
Что значит сократить дробь?
Как сократить алгебраическую дробь?
Перечислите свойства алгебраических дробей.
Как умножить дробь на дробь?
Как разделить дробь на дробь?
85
РАЗДЕЛ 4. КОРЕНЬ. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 1. КОРЕНЬ
Корень степени n из числа а есть число b, если bn a, n N,
a R,b R,(a 0),b n a .
n a n a,n N,a 0.
Имеет место равенство
Арифметический корень степени n из неотрицательного числа а есть
такое неотрицательное число b, что bn a, а 0,b 0,n N.
Рассмотрим два случая:
n – четное число, n = 2k, k N ;
n – нечетное число, n = 2k–1, k N .
Положительный корень четной степени из положительного числа а
( n 2k,a 0 ) есть арифметический корень степени 2k из а.
Отрицательный корень четной степени из положительного числа а
( n 2k,a 0 ) есть число, противоположное арифметическому корню степени
2k из а: 2k а b, b2k a, a 0, b 0, k N.
4
Пример 1.
16 2 .
4
4
16 2, -2 16
Корень четной степени из отрицательного числа не существует на
множестве действительных чисел.
Корень нечетной степени есть число, которое имеет знак подкоренного
числа: 2k 1 а b, k N , b2k 1 a, 2k 1 а 2k 1 а b, k N , a 0, b 0 .
4 16 2, 24 16
5
Пример 2. а) 5 32 5 32 2; 2 32 ;
б) 3 27 3; 33 27.
Корень любой степени из числа нуль есть нуль.
Корень степени n обозначается с помощью знака корня n ;
n a b – это действие извлечения корня (здесь n – показатель корня;
а – подкоренное выражение; b – корень).
Читаем: 9 3 – корень квадратный из девяти равен трём;
3 8 2 – корень кубический из восьми равен двум;
4 81 3 – корень четвертой степени из восьмидесяти одного равен трём;
5 32 2 – корень пятой степени из тридцати двух равен двум.
Если а R , то
n n
a a при n = 2k–1, k N;
n n
a a при n = 2k, k N.
86
Пример 3. а) 3 33 3;
б)
32 3 3.;
x, при х 0
x2 x
;
х,при
х
0
x 1, при х 1
4
г) 4 x 1 x 1
.
1
х,при
х
1
в)
Иррациональные числа
Каждое рациональное число можно записать в виде бесконечной
десятичной периодической дроби.
2,232323…=2,(23) – это чистая периодическая дробь.
Читаем: две целых, двадцать три в периоде.
1,17555…=1,17(5) – это смешанная периодическая дробь.
Читаем: одна целая, семнадцать сотых и пять в периоде.
1,23789635…– это бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Иррациональные числа это числа, которые имеют вид бесконечной
десятичной непериодической дроби.
Примеры иррациональных чисел:
2 1,414213........
3,14.........
lg 2 0,3010.........
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел, которое обозначается буквой R.
R – множество действительных чисел;
R – множество положительных действительных чисел;
R – множество отрицательных действительных чисел.
Множество всех действительных чисел можно записать с помощью
открытого числового промежутка: R , .
Множество R 0, .
Множество R ,0 .
Множество действительных чисел, которые удовлетворяют следующим
неравенствам, можно записать в виде числовых промежутков, а именно:
a x b x a,b ;
a x b x a,b ;
a x b x a,b ;
a x b x a,b ;
a x x a, ;
a x x a, ;
87
x b x ,b ;
x b x ,b .
Свойства арифметического корня n-степени
1. Корень из произведения
n a b c n a n b n c; a 0,b 0,c 0.
Чтобы извлечь корень из произведения, необходимо извлечь корень из
каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.
2. Корень из дроби
a na
n
; a 0, b 0.
b nb
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь корень из числителя
и знаменателя отдельно, и первый результат разделить на второй.
3. Корень из степени
n m
a
m
a n ; a 0,m N,n N .
Чтобы извлечь корень из степени, необходимо разделить показатель
подкоренного выражения на показатель корня, т.е. записать степень с дробным
показателем.
4. Корень из корня
nm
a nm a ; a 0.
Чтобы извлечь корень из корня, необходимо перемножить показатели
корней и извлечь корень этой степени.
5. Основное свойство арифметического корня
n
m
p
np
n m
a a mp a p ; p N.
Арифметическое значение корня не изменится, если показатель корня и
показатель подкоренного выражения умножить (разделить) на одинаковое
число.
Преобразование корней
1. Вынесение множителя из-под корня
n n
a b an b ;
a 2b a b .
Если подкоренное выражение раскладывается на такие множители, из
которых можно извлечь точный корень, то после извлечения из них корня их
пишут перед корнем.
88
Примеры: a 4b2c a 4 b2 c a 4b c; a 0, b 0 ;
3 10 4
3
a b a9 a b3 b a3b 3 ab;
3
3
3
81c5d 7 27 3 c3 c2 b6 d 3cd 2 3c2d.
2. Внесение множителя под корень
a b a 2b, если a 0,b 0 ;
a b a 2b, если a 0,b 0 ;
n
an b anb .
Если перед корнем есть множитель, то его можно ввести под корень в
степени, равной показателю корня.
Примеры: 2 2 222 8 ;
2 2 222 8 ;
5
a 2b 5 cd a10b5cd .
3. Освобождение подкоренного выражения от дроби
a
ab
ab
ab 1
ab;
Пусть a > 0, b>0, тогда
2
b
bb
b
b
b
n 1
n 1
n 1
a
a
b
ab
ab
1 n n 1
n n
n
ab .
n 1
n
n
n
b
b
bb
b
b
4. Сокращение показателя корня и показателя подкоренного
выражения
n
nk mk
n
a m , если a 0 .
Если показатель корня и показатель подкоренного выражения имеют
общий множитель, то их можно сократить на этот множитель.
a
6
3
Примеры: а 4 а 2 ;
15 6
5
а а2 .
Слова и словосочетания: ко́рень (м. р.), показа́тель (м. р.) ко́рня,
подкоренно́е выраже́ние, арифмети́ческий ко́рень,
квадра́тный ко́рень,
куби́ческий ко́рень, ко́рень сте́пени n, иррациона́льные чи́сла, действи́тельные
чи́сла, извлече́ние (чего?) ко́рня, извле́чь (что?) ко́рень, вы́нести мно́житель из–
под ко́рня, внести́ мно́житель под ко́рень, освободи́ть, освобожде́ние,
промежу́ток.
89
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Упростите выражение:
х 4 2
1)
2) x 2 2x 1 при х 1;
при х 4;
3) 4 7 y 4 при y 7;
1 3
5)
2
;
4)
6)
2 1
2
;
11 10
2
.
2. При каких значениях переменной верно равенство:
1) y 2 y ;
2)
c10 c5 ;
3)
y4 y2 ;
3. Извлеките квадратные корни из чисел:
1) 841;
2) 784;
3) 1849;
5) 94864;
6) 879844;
7) 3587236;
4. Извлеките корень из произведения (устно):
2) 100 4;
3) 81 36;
64 25;
1)
5) 3 8 27 ;
6) 3 216 512;
7) 3 27 125 8;
x 4 x 2 .
4)
4) 17424;
8) 2934369.
49 36 100;
4)
8) 4 16 81;
9) 5 32 243 .
5. Найдите значение корней:
1
2) 3 8 216 512; 3) 4 5 ;
16
1) 25 16 9 ;
4 8
6) 3 8;
5) 3 ;
1)
6)
11)
7)
а12m 6
n 20
6.1 Извлеките корень из дроби:
49
b
64
;
;
;
2) 3
3) 3
36
343
125
10
2 ;
27
27x 6 y5
125a 9b3
7) 4
;
12)
16
;
81
8)
243a10
32b15
;
4)
;
1
4) 4 ;
16
a 2b
;
9
9) 3
13) 4
16a 4
81b 2
x6y
a 3b9
;
3 6
2 ;
8)
25x10
225y16
5) 3
; 10)
14) n
.
1
;
16
25n 3
36m 4
a 4b 2n
x 3n y n
;
.
Здесь и дальше буквы в подкоренном выражении обозначают положительные числа, а разность вида (a–b)
рассматривается при a > b.
1
90
7. Вынесите множители из-под корня:
1) 4a;
2) 18b;
6
7) 10c8 ; 8) 4 16c;
13) 4 48;
50x3 ; 4) 3 27y;
3)
9) 98;
5)
3
5a 4 ;
6)
363; 11) 3 250;
10)
14) 4 243; 15) 5 1215; 16) 5 96;
17)
3
4
81b6 ;
12) 3 54;
4
72a 6b5 ; 18) 81a 5b9c23 .
8. Внесите множители под знак корня:
1) 2 3;
2) 34 2;
3) 2 6 3;
7) 53 2;
8) а 5 7;
9)
13)
x
a3b
; 14)
b a
y2
2
3;
3
1
;
ab
3x
3
;
11) b b2 ; 12) 2xy
2y
4) а 3 а;
5) ab
3
a;
5
10)
a
;
b
6) a b
y
2
; 15) a b
.
2
2
x
a b
9. Сократите показатели корней и подкоренных выражений:
6 4
1)
4 4
2)
5)
6
6) 4
x ;
4 6
9a b ;
3) 4 25x 2 y 2 ;
b ;
4m6
9n
2
7) 9
;
8a 6b12
3
;
4)
6
8) 6 64x 9 y3z12 .
27c
10. Освободите подкоренное выражение от дроби:
1
2
3
1
1
;
;
;
1)
2)
3)
4)
5) 1 ;
;
3
5
7
2
2
1
1
1
1
5
7) 3 ;
8) 3 ;
9) 4 ;
10) 5 ;
11)
;
3
9
2
2
12
13) 4
3
;
8
19) x y
14)
а
;
b
xy
;
xy
15) 3
27m3n3 ;
a
;
b
20) x
1
2 ;
7
2
12) 3 ;
9
6)
a 5 b3
ab2
ab2
3
7
4
;
; 17)
; 18)
16)
c
1 x
2c
x
n
; 21) n 3 .
y
m
11. Упростите корни:
2ab2
5a
;
4)
c
8b4c5
xy 24
;
1)
4 xy
3ab 2 3 8
;
2)
2
ab
4m 4 m6p3
3)
;
n
4m2
12
;
5) 3x y
xy
5a 2 49b3
;
6)
7b
5a
2xy2 9a 3b4
x 3y
; 8) 3
;
7)
y 2x 2
3ab 8xy3
2
9)
25m 2 50n 2 .
91
Б
1. Найдите арифметическое значение корня:
1)
х 2 2 ;
2)
x 2 4x 1;
5) 4
4) 4
4
3 1 ;
4
3) 4 1 2 ;
4
3 1 ;
x2 4
6)
x2 4
x 4
2x
, x 0;
2
2
7)
x2 1
1
2x
4x 4 x 1
, x 0; 8)
, x 0; 9)
2
1
2
x 2x x 1
x 1
x
1
2
x 4x 4
x2 .
2. Вынесите множитель из-под знака корня:
1
1
1)
;
a2 a
5)
2)
b2
;
3a 2 9a
1 4n 9 m 6
a
b
;
64
b
6)
7
2x 5y3
3)
n
3x n 3 ;
4)
n 1 n 2 2n
.
2
343 2x 5y3
4x 2 25y6
4
3. Внесите множитель под знак корня:
2
3x 2 3y 2
;
xy
2
13 3 4
3)
a a ;
a
2) x 3 1
1)
ab
5)
ab
a 2 ab
a b
2
9)
1
ab
m n
x
a
;
a b a 2 2ab b2
6)
;
3
2
ab
a b
8)
m n1 2m n
2
4) ab n ab;
, a b 0;
7) xy n 1 xy 2 ;
1
a n 1 bn 2
;
2n
b
a
bm 2n a m 2n b2m n .
92
a
;
4. Освободите подкоренное выражение от дроби:
1) b 4
a
b3
2) y 5
;
1
;
ab
4) a b
7) x y 4
10) 3
x y
a a b
;
ab
y3
;
5) 15mn 4
xy
2
x2
2
; 8) b 5
a
b3
3)
a 3m
;
27m2n3
a
11) a 4b 5
b
c
b2
2
4
6) m n 3
9) 3
;
4a 3 3m
;
3m 2a
c2
3
mn
m n
xy
x y
2
2
;
;
.
b
Ответы: А. 1. 1) x 4 ; 3) 7 y ; 5) 3 1 .
2. 1) y 0 ; 3) y R .
3. 1) 29; 3) 43; 5) 308; 7) 1894.
3
6. 11)
3 x y2
5a 4b
2a 2 4 2
y
b .
; 13)
ab
3b
2a 2b4
3
9. 5) 3a b ; 7)
.
3
2 3
3c
34
46
49
2
6
14
15
10. 1)
; 3)
; 5)
; 7)
; 9)
; 11)
; 13)
;
3
2
2
7
6
2
2
4 ab 2 1 x 3
ab2
n3
15)
; 17)
; 19) x 2 y 2 ; 21)
nm2 .
1 x
b
m
3
2m 2 4 4p3
6xy
b
11. 1)
; 3)
; 5) 6x 3xy ; 7)
2axy ; 9) 5 m 2 2n 2 .
n
2
2
1
x2 .
Б. 1. 1) x 2 ; 5) 3 1 ; 9)
x2
1 a
a 2n 4b3
n
3
x
3x
2. 1)
; 3)
; 5)
abm .
a
8
6 x y
a 3b3
a
n 2 n 3
n
1
3
x
y
3. 1)
; 3) 1 a ; 5)
; 7)
; 9)
.
mn
ab
xy
ab
93
3
2 12a 2m
3)
;
3m
4. 1) 4 ab ;
9)
3 x 2 y2
xy
4
5) 5 3a 3m3n ;
7) x y 4 xy x y 2 ;
5
; 11) a 4 ab 2 c2b 2 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется корнем степени n из числа а?
2. Что называется извлечением корня?
3. Какой корень называется арифметическим?
4. Сколько значений имеет арифметический корень?
5. Какие числа называются: а) рациональными; б) иррациональными;
в) действительными?
6. Напишите и прочитайте: а) чистую периодическую дробь;
б) смешанную периодическую дробь.
7. Чему равен корень: а) произведения; б) дроби; в) степени; г) корня?
8. Назовите свойства арифметического корня.
9. Как вынести множитель из-под корня?
10. Как внести множитель под корень?
11. Как сократить показатель корня и показатель подкоренного
выражения?
§ 2. ПОДОБНЫЕ КОРНИ
Подобные корни это корни, у которых одинаковые показатели и
одинаковые подкоренные выражения. Подобные корни отличаются только
коэффициентами.
Примеры подобных корней: 3 ab, 2a 3 ab, -8b2 3 ab.
Чтобы узнать, подобны ли корни, необходимо привести их к простейшему
виду (упростить). Для этого следует:
1) вынести (или внести) множители из-под корня;
2) освободить подкоренное выражение от дроби;
3) сократить показатель корня и показатель подкоренного
выражения.
Пример. Доказать подобие корней:
Упростим эти корни:
bx 2
b
ba x
x
x
ab;
a
a
a a a
94
bx 2
,
a
bx 4
,
a
x2
.
ab
2
bx 4
2 b
2 ba x
x
x
ab;
a
a
a a
a
x2
1
ab
x
x
x
ab.
ab
ab
ab ab ab
Мы видим, что корни подобны.
Действия с корнями
1. Сложение и вычитание корней
Чтобы сложить или вычесть корни, необходимо соединить их знаками
плюс или минус и привести подобные корни.
Пример. Сложить корни:
1) 5 18 2 8 50 15 2 4 2 5 2 24 2.
1 31
1
1
1
1
2 3 27
2 39 2 3 3 9
2 3.
2)
2
3
2
3
3
2
2. Умножение и деление корней
Чтобы умножить или разделить корни с одинаковыми показателями,
необходимо умножить или разделить подкоренные выражения, а из
произведения (частного) извлечь корень той же степени.
n a n b n ab ; a 0, b 0.
n a : n b n a ; b 0.
b
Примечание. Чтобы умножить или разделить корни с разными
показателями, необходимо привести эти корни к общему показателю или
заменить степенями с дробными показателями.
Например:
3a
4x3
3a 4x3
4x 2
2x 16x
1) 2
4
8
8
8
;
x
a
a
3a 3
x 3a 3
a2
120a 3b
40a 2 2a 10;
2) 120a b : 3ab
3ab
3
3)
3
6
6
6
a b2 a3 b4 a3b4 ;
5
2
3
1
6 5
3 2
4 3
4) 12 a 8 a 20 a : 4 a 12a 6 8a 4 20a 3 : 4a 2
5 1
2 1
1
1
3 1
1
3a 6 2 2a 4 2 5a 3 2 3a 3 2a 4 5a 6 33 a 2 4 a 56 a.
95
3. Возведение корней в степень
Чтобы возвести корень в степень, необходимо возвести в эту степень
подкоренное выражение и извлечь корень той же степени:
n a
m
n
am .
2
3 a2 3 a2 2 3 a4 .
5 3
Например: 3 2 25 3 32 ;
4. Извлечение корня из корня
Чтобы извлечь корень из корня, нужно извлечь корень, показатель
которого равен произведению показателей корней:
nm
Например:
2 3
3b 6b;
a nm a .
53
3 15 3 ;
3
22 3 4 12 ; 3 3 2
32 2 6 18 .
Слова и словосочетания: подо́бные ко́рни, подо́бие, просте́йший вид.
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Докажите подобие корней:
1 1
1
2
1) 4 75 и 5 48 ;
2) 2 3 1 и 5 3 2 ;
2 8
4
3
3) 3 54, - 3 16, 2 3 432;
4) 2 a3bc, 5 ab3c3 , 3 16a 7bc5 ;
5) 3
4 3 x 2 y2 3 5 5
,
, 4x y ;
xy
54
6)
7) 3
x
1
y2
2
3
, -x y 3
,
;
y
x2y
x2
2 a 3b3c 3
,
8)
ab
4 a 2c 2
a 6 b8 a 2 3 a 4
b 3 a10
,
,
;
b a4 b
b2 a 2 b5
a 3bc3 4
ab3c3
,
;
81 b3c3
64
n 2 3 m4
m2 3 n 2
3 2 3 1
9)
.
,m n
,
2
2
2
2
n
m
m n n
m
2. Выполните сложение и вычитание корней:
2
1
1 1
5 4
2 9
20
7
;
1) 3 40 3 5 2 3 3 135;
2) 5
3
5
3 2
4 5
5 5
45
1
1
49
1
3 180 5
;
3)
4) 5 4х 4 х 6 9х 8 2х 8 х;
4
6
18
2
4
1
1
4,5 12,5 0,5 200 242 6 1 24,5;
5)
2
8
96
2
1
3
3 1
29
1
11 2
20
6
24 ;
3
4
4
5 18
36
2
11 3 3
3
54 3 16 44 3,53 32 .
7) 2
9 4
8
3. Выполните умножение:
1
8 2 6; 2) 3 2
1) 6 3 3 5 2
2
6)
3)
4) 7
2 3 4 4 8 2;
3 5 ;
5 4 2 5 1 ;
1
6
3
4
5) 8 m5 6 m3 12 m 2 2 m; 6) 33 4 53 43 54 3 16 3 128 ;
2
3
1
3
1
27
48
75 4 3;
7) 12
8
2
4
4
1 1 1
2 1 5
24,5 3 18
6
2.
8) 1 4
5
2
7
5
4
6
4. Выполните деление:
1
1
1
2) 3 9 2 3 3 33 : 2 3 ;
3
3
2
1) 10 48 6 27 4 12 : 3;
1 1 3 1 4 3 8 1
;
3)
4) х 3y xy3 : xy;
:
2 2 2 3 5 4 15 8
1
2 1
83 2 2 23 2
4
3
3
a b
ab 6 a 2b2 : 3 ab; 6) 6 54 4 18 3 9 : 6 3;
5)
3
2
3 2
9
9
4
3х x
3 1 xy 4 3y
0,4
7)
.
:
2
y
xy
3
2
15
2x
5. Возведите в степень:
1) 6
2
5) 2 a
;
3
3
4
6) 3 a 3 ;
;
2
4
7
4) n 3 ;
2
2
8) 3 xy2 ;
3
3) m2 ;
4
2) 3 4 ;
4
3
7) a 2b ;
3
5
4
9) 0,1 a 4b 2 ; 10) 0,2 m 2n 3 ; 11)
97
3
0,57 x 3y 4z ; 12)
3
25 2
x ;
3
4
3
2
x x y
a a b
13)
14)
;
5 2
4
xy
a a b
6. Извлеките корень из корня:
6
.
3) 3 5 ;
4)
6) 4 5 y ;
7)
2 3;
8) 3 2 5 ;
9) 4 5 2 ;
11) 3 ab a ;
12)
5 3 10 5
a
13) 4
b
2;
a b ;
2
3
5) 4 m3 ;
3 2
2) 8 3;
1)
x ;
10)
b2
.
a
Б
1. Приведите корни к простейшему виду:
m 3
8
1
1)
2) 3 8x 6 y3 24x 9 y6 ; 3) a 2
;
n mn 2 ;
n
a 4 a3
4) 2m 4
1
m
3
1
m
4
2a 2 3 b3 b5
5)
;
3b a 4 a 6
;
3b 5 32a 6 64a 5
7)
;
4a 3b5 27b4
5x
6) 2 3
3y
y5
x
4
y4
x
5
;
x y x 4 y3 x3y4
3
, x y 0;
8)
y
x 2 2xy y2
a
a 3b 4a 2b2 4ab3
, a-2b 0 .
9)
a 2b
a
2. Докажите подобие корней:
1
с bd 2 ab2d 2
a и
;
b
d
c2
1)
ab
a b
a2 1
3
и ab
;
2
3 b
2
2
2b a 4 a 2
2 ac bc
и a b
, a b 0, b 0;
3a b4 b2
ab
3)
4)
2) a b 3
2
b 12
b3
5) 3
3
b5 b6
b 1 b3 b2
и
;
3
3
2
2
b
b 1
b 1
ab
a b 2
6) a 2 b 2 и
и
1 a2
;
b b3
3 2
b a2 .
98
b
33 2 ;
3. Выполните сложение и вычитание корней:
1
3
1
1
1)
45x
20x 4 2x
245x;
2
4
3
6
1
1
2) 2 3 16y 1 3 54y 1,53 128y 1,4 3 250y .
2
3
4. Выполните умножение и деление корней:
3
3
1) m 2 3 mn n 2 3 m 3 n ;
2a
5 4 6 3 a 7b
27a 4b
1
3
3
20 ab
4
: 23
;
2)
2
6
a 48
6
b
6a
a
2a
3) x 2 y2 3
;
x x y 2
4
4
4) 8a 6b9 ab 8a 4b5 ab 2 2a 4b : 4 2b .
5. Возведите в степень:
1)
2 3 ;
2
2)
2
5) a 3 b b 3 a ; 6)
5 7
2
;
3) 2 5 3 2
4 7 4 7
; 7)
2
2
2
; 4) 3 a a ;
3 5 3 5
.
2
6. Извлеките корень из корня:
1)
ab ab
;
ab ab
m m m
;
n n n
2)
Ответы: А. 2. 1)
23 3
2
5 3 25 ;
3
5
1
1
11 1 3 2 7 3 4 .
3
2
3. 1) 12 18 2 16 3 ;
7) –28,5.
a b2
3) 3
b a
3) 17
1
a
2
.
1
1
54 2;
2
3
5) 6,5 2 ;
7) 1
3) 2 26 2 24 2 ;
5)16m 3 m 12m 4 m 24m6 m ;
15x 2
3 2 5x 3
13
33
15 3 6
6
4. 3)
; 5) 15 ab
.
b ; 7)
8y
2y
12
8
2
2
99
5. 1) 6;
3
3) m 2 m 2 ;
5) 8a a ;
3
7) a ab 2 ;
5
9) 0,01a a3b4 ;
2
x4 3 x y
2 5 3
7
11) 0,125xy x y z ; 13)
.
2
x y
a 3b 2 ; 13) 8 a 3 .
5 81a 18b
2 2
2
Б. 1. 1) m n m ; 3) 8 a ; 5)
; 9) a.
a b ; 7)
2
3
1
7
3. 1) 4 2x
5x .
3
6
a x y 3
2a x y .
4. 1) m n ; 3)
x
6. 1) 4 2 ; 3) 6 5 ; 5) 4 m ; 7) 4 12 ; 9) ; 11)
6
3
3
5. 1) 5 2 6 ; 3) 38 12 10 ; 5) a 2 b 2 2ab 3 ab b 2 a 2 ; 7) 2.
ab
6. 1) 4
; 3) 1.
ab
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Какие корни называются подобными?
Как привести корни к простейшему виду?
Как доказать подобие корней?
Как сложить и вычесть корни?
Как умножить и разделить корни с одинаковыми показателями?
Как умножить и разделить корни с разными показателями?
§ 3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Иррациональное выражение это выражение, в котором переменная
находится под знаком корня.
Например: m n m , 8a a это иррациональные выражения.
Разложение иррациональных выражений на множители
Рассмотрим примеры. Разложить на множители:
1) 6 2 2 3 2 2 3 1 ;
2)
3)
a b c ;
ab ac a b a c
3 2
3
a b ab2 3 ab 3 a 3 b ;
4) a a a 2 a a
a 1 ;
100
2
2
6) a b a b a b a b ;
3
3
2
2
7) a 3 b3 a b a b a a b b
= a b a ab b ;
8) a 3 b3 a b a ab b .
5) ab b a 2b 2 b b a 2b 1 b a b 1 ;
Освобождение знаменателя дроби от иррациональности
Некоторые дроби, которые содержат корни в знаменателе, можно заменить
дробями, которые не будут содержать корни в знаменателе. Этот процесс
называется освобождением знаменателя дроби от иррациональности.
Если A, B, C, D – некоторые алгебраические выражения, то можно указать
правила, по которым освобождаются от знаков корня в знаменателе выражения
A
A
A
A
вида
,
,
,
.
nB
3B3C
BC D
B C D
Во всех случаях от корней в знаменателе освобождаются умножением
знаменателя и числителя дроби на такой множитель, чтобы его произведение на
знаменатель дроби было рациональным.
Рассмотрим некоторые из этих случаев:
A
1. Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида
nB
умножим знаменатель и числитель на
Вn 1 :
A Bn 1
;
nB n
n n 1
B
B B
A
A Bn 1
n
n
n
A Bn k
.
n k
n k n n k
B
B
B B
A
A Bn k
n
4a 2b
n
4a 2b 3 2ac
2
3
4a 2b 4a 2c2 2ab 3 2 2
Пример.
4a c .
3 2ac 3
2
2ac
c
2ac 3 2ac
A
A
или
, то знаменатель и
BC D
B C D
числитель первой дроби умножаем на выражение B C D , а знаменатель и
числитель второй дроби – на выражение B C D .
2. Если есть дроби вида
101
Получим
A BC D
A BC D
A BC D
A
;,
2
2
2
2
BC D
BC D BC D
B C D
B C D
A B C D
A B C D
A
.
2
2
2
BC D
BC D
B C D
Примеры:
2
5 3
а)
2
5 3
5 3
5 3
2
5 3
53
2
5 3
2
5 3;
xy x 2 y 2 x
xy x 2 y 2 x
xy
б)
2
2
x 2 y2 x 2
x 2 y 2 x x 2 y 2 x
x y x
xy x 2 y2 x
x x 2 y2 x .
y
y2
Примечание. Выражения A + B и A – B называются сопряженными.
3. В случае выражений типа
преобразование формул: a b a 2
A
или
A
3 B C3 D
В С3 D
ab b 2 a 3 b3 ,
используем
3
3
A В2 ВС 3 D С D 2
A В2 ВС 3 D С 2 D 2
A
3
В С3 D
B3 C3D
В С 3 D В2 ВС 3 D С2 D 2
Примеры:
3
3 52 3 5 1
3 3 25 3 5 1
3
а) 3
=
5 1
5 1 3 5 1 3 52 3 5 1
3 25 3 5 1 ;
3 3 25 3 5 1
6
2
3
3
1 a 2 2 3 ab 4 b 2
3 2
3
1
a 2 3 ab 4 b 2
б) 3
.
a 8b
3 a 2 3 b 3 a 2 2 3 ab 4 3 b 2
a 23 b
102
В некоторых случаях требуется освободить от иррациональности
числитель дроби. Освобождение числителя от иррациональности выполняем
аналогично.
ab a b
2b
Пример.
a b a b
2b
ab ab
Слова
и
иррациона́льность,
выраже́ния.
2b
ab a b
2b
a ba b
a b a b
словосочетания:
освобожде́ние от
a b a b
ab ab
1
.
ab ab
иррациона́льное
иррациона́льности,
выраже́ние,
сопряже́нные
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Выполнить действия:
5
1
6
7 5
1)
2
4 11 3 7
7 2
5 4 11
1 3 7
6
7 2
4 11 4 11 3 7 3 7 7 2
5 4 11 3 7 6 7 2
7 5
16 11
5 4 11
97
3
74
7 2
7 2
7 5
2
2
7 5
5
2
3
2
8 2 11 3 7 4 7 8 7 5 2 11 6 7 8
11 3 7 4.;
2
2
2
2 a
a ab b
2)
: 4 ab
a
b
a
a
b
b
a
b
2
a b
2
a b
7
6
a ab b 1
a b 4 ab
a b a ab b
2 a b 2 a
1
2 a
1
a b
a b 4 ab
a b
a b 4 ab
2 a
103
2 a 2 b 2 a
a b
a b 4 ab
2 b
1
.
a b 4 a b 2 a a b
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Освободите знаменатель дроби от иррациональности:
2
4
ab
2x
;
1)
2)
3)
4)
;
;
;
48
2
ab
3 2x 2
1
;
5)
1 2
6)
4
;
11 7
9)
3
;
3 5
10)
5 3
;
5 3
m2 n 2
;
7) 3
mn
x y
;
11)
x y
4 x 8 y
3 32 2
m
; 14)
;
; 15)
3a 3b
4 x 8 y
3 32 2
1
1
17)
18)
;
;.
3335
233
13)
8)
7 6
;
3 6
12)
m 1
;
3 m 2 n
mn mn
;
mn mn
16)
2. Выполните действия:
4
3
2
3 1
; 2)
6
5 2
5 2
32
1)
5 3
5 3
5 1
;
5 3
5 3
3 1
a
: a a 2 b 2 ;
4) 1
a 2 b2
a
b
;
a b
a b
3)
3
3
1 x :
1 ;.
5)
1 x
1 x 2
3. Разложите на множители:
4)
7)
1)
3
3 2
3
a x b2x;
2) 3 3 3 ;
3)
6a 2b 9ab2 ;
5) 4 mn 4 m;
6) a b a b;
a 2 b2 a b;
8)
1) 15 21;
3
m3 n3 m2 mn n 2 ;.
Б
1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
xy
n
1
; 2)
; 3)
; 4)
3 49 3 35 3 25
3 2 3
3 2
x y
a ab b
104
1
;.
3 5 7
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2. Выполните действия:
x x y y
2 y
xy : x y
;
x
y
x
y
ab ab
b
a
:
;
a b ab
ab a
ab b
y xy
y
x
xy
x :
;
xy x
x
y
xy
y
xy
xy
xy
x
y
x
y
x
y
x
y
;
x
y
x
y
m m 2 n 2 m m 2 n 2 4m m 2 n 2
:
;
2
m m2 n 2 m m2 n 2
n
2
2 a
a ab b
: 4 ab;
a
b
a
a
b
b
a
b
a a b b
2 b
ab : a b
;
a
b
a
b
x y
x y 1 1
;
y
x
x
y
x
y
2
x x y y
x y
9)
xy
.
x y
x y
Ответы: А. 1. 1)
11)
2 ; 3)
x 2 xy y
;
xy
a b ; 5)
2 1; 7) m n 3 m n 2 ; 9) 11 7
x 4 xy 4y
;
x 4y
13)
3
3
m a 2 3 ab b 2
;
ab
15)
4 23 3 3 9
ab
14 5 2 2 13 3 23
17)
. 2. 1)
; 3)
; 5) 1 x .
5
ab
6
3
3
3. 1) 3 5 7 ; 3) 3 x a 2 b 2 ; 5) 4 m 4 n 1 ; 7) a b a b 1 .
Б. 1. 1)
xy
x y
xy
;
3)
37 35
2
. 2. 1) 1; 3)
y x ; 5) 1; 7) 1; 9) 1.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие выражения называются иррациональными?
105
2. Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби вида
A
nB
?
3. Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби вида
A
A
или
?
BC D
BC D
4. Какие выражения называются сопряженными?
§ 4. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Пусть а – произвольное положительное число, а m и n – произвольные
m
n
натуральные числа. Тогда a n a m .
Читаем: а в степени m делить на n равно корню степени n из а в
m
степени m. положительный дробный показатель степени.
n
5
4
4
4
Например: 9 4 95 94 9 94 9 9 32 9 3.
2
3
3
8 3 82 26 22 4.
Формула (1) не имеет места для отрицательного значения основания а.
Подобно тому, как в разделе ІІ была определена степень a n числа а с
отрицательным
показателем
–n,
можно
определить
и
m
a n
степень
m
положительного числа а с отрицательным дробным показателем – .
n
Пусть а – произвольное положительное число, а m и n – натуральные
m
1
числа. Тогда a n
.
m
an
Читаем: а в степени минус m делить на n равно единице, деленной на а в
степени m делить на n.
2
1
1
1
1
Например: 8 3
;
2
3 6 4
3 2
8
2
83
106
5
1
27 6
5
27 6
1
6
5
27
1
6 15
3
1
5
3
1
9 3
.
1
Читаем: а 2 “a” в степени одна вторая;
3
а 4 – “a” в степени три четвёртых;
1
а 3 – “a” в степени минус одна третья;
7
а 8 – “a” в степени минус семь восьмых.
Основные свойства степени с рациональным показателем
1.Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели
складывают:
p
m p
m
q
n
q
n
a a a
.
1 2
1 2
Например: 33 3 3 33 3 3 ,
1 2
2
1
11
4
3
2 12
2 4 2 3 2
1
12 11
.
2
2. Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели
вычитаются:
p
m p
m
q
n
q
n
a :a a
.
5 1
5 1
2
3
3
Например: 4 6 : 4 6 4 6 6 4 3 42 24 2 3 2 ;
3 1
3
1
3 1
1
4
2
b 4 2 b 4 1 1 .
b 4 :b 2 b
1
4b
b4
3.Степень степени
При возведении степени в степень показатели умножают:
p
m p
m
q
a n a n q .
107
2
3 2
3
1
3
1
1
Например: a 4 a 4 3 a 2
.
1
a
a2
4.Степень произведения
При возведении в степень произведения в эту степень возводят каждый
множитель и полученные степени умножают:
m m
m
a b n a n b n .
3 3
3
Например: 2a 7 2 7 a 7 .
5.Степень дроби
При возведении в степень дроби в эту степень возводят отдельно
числитель и знаменатель и полученные степени делят:
m
an
b
1
3
x 3
Например:
8
1
x3 3
1
83
m
an
m
bn
.
1
x 3 x
.
38
2
3
Слова и словосочетания: сте́пень с рациона́льным показа́телем.
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Вычислите:
3
1 2
2
1) 64 3 ;
2) ;
4
2
8) 18 3 ;
3
7) 12 2 ;
13) 25
3
2;
5
4
3) 125 6 : 5; 4) 27 3 ;
4
1 3
9)
8
14) 6,25
3
; 10) 9 2 ;
3
4 4
3
6) 144 4 : 9;
5) ;
9
4
1 3
11)
64
; 12) 27
5
2,5
6 3 ;
3 1 3
4 .
2. Докажите тождества:
1 1
1
1
1) a 2 b 2 a 2 b 2 a b;
5
1 2
1 1
2
1
2) a 3 b 3 a 3 a 3 b 3 b 3 a b;
108
1 2
1 1
2
1
3) a 3 b 3 a 3 a 3 b 3 b 3 a b .
3. Вычислите:
3 0
1)
4
0,5
3
4
7,5 4 2 2 810,25;
1
2
1
0
2) 0,027 3 2560,75 31 5,5 ;
6
1
2
1
5
3
4
6
2
3
9 10 25 2
:
3)
16
36
3
5
;
3
1
6 0
2
5
4
10
1
1
1
3 2
4) 9 3 25 2
.
7 : 36 2
4
9
5
2
1
3 а
а 7 3а 0
4. Упростите:
а6 3 а
, а 0.
а
а
а
Б
1. Вычислите:
4
3
1
4
4 1 0,25
1) 4
4
2 2 3 ;
3
2
2
1
1 1
1
3
ax
3
2) a x
a x
2 ax 3 ;
1
1
a3 x3
1
2 2
3) 1 a
2
1
1 a 1 a
2 1
1
1
2 2
2
2 2
1 a
a 1 a
1 a2
109
, a 1.
2. Вычислите:
1
1
3
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
1) x a x
a a x
при x 1 a 3 .
3. Упростите выражение:
4
3
3
1
1 1
a 4b4 b2
xy
x2 y2
;
1)
2)
;
1
1 1
x
y
x
y
a 2 a 4b4
2
1 1
2
ab
a 3 a 3b 3 b 3
1
a b 1 ;
3)
1
1
ab
3
3
a b
3 3
3
3
a 4 b 4 a 4 b 4
1
2 2,5 a b
ab
4)
.
1
1
1
10 2
a 2 b2
4. Какое значение принимает выражение
3
5
9 3
27x 10
3
2 4
6 x при условии, что x 3 310 .
x 3 42
10
1 1
3 2 x 10
2 2
1
Ответы: A. 1. 1) 16; 3) 25 5 ; 5)
; 7) 24 3 ; 9) 16; 11) 256; 3)
.
3 3
125
7
a a2
3. 1) 3; 3) 0; 4.
.
a
7
Б. 1. 1)
; 3)
16
a4
1 a2
; 2.
a3 a
3 2
a 1
; 3. 1)
110
1
a
; 3)
; 4. 33 9 .
3a 3b
b
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что
такое возведение в степень с положительным дробным
m
показателем ?
n
2. Что такое возведение в степень с отрицательным дробным показателем
m
– ?
n
3. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?
4. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?
5. Как возвести степень в степень?
6. Как возвести в степень произведение?
7. Как возвести в степень дробь?
111
РАЗДЕЛ 5.УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ
§ 1. РАВЕНСТВА. ТОЖДЕСТВА. УРАВНЕНИЯ
Равенство это два алгебраических выражения, которые соединяются
знаком равенства (=).
Равенства имеют следующие свойства:
если a = b, то b = a;
если a = b и b = с, то а = с;
если a = b, то а + с = b + а;
если a = b, то ас = bс;
если a = b и с ≠ 0, то а:с = b:с.
Равенство может быть числовым и с переменными. Числовое равенство
может быть верным или неверным.
Например, 8 – 3 =20 : 4 – верное числовое равенство;
15 + 2 = 30 : 2 – неверное числовое равенство;
х + y = 7 – равенство с переменными х и y.
Переменные в этом равенстве могут принимать разные числовые значения.
Если х = 4, а y = 3, то 4 + 3 = 7 – это верное равенство; если х = 10, а y = –3, то
10 + (–3) = 7 – это верное равенство; если х = 2, а y = 1, то 2 + 1 = 7 – это
неверное равенство.
Областью определения равенства называется множество значений
переменных, при которых левая и правая части равенства имеют смысл и
обозначается D.
x2 1
x 1.
x 1
Решение. Левая часть этого равенства не имеет смысла при х = 1, а правая
часть имеет смысл при всех действительных значениях х. Поэтому
D(х) = {x/x ,1 1, }.
Пример 1. Найти область определения равенства
Тождество – это равенство, которое верно при любых значениях
переменных из области определения.
Примеры тождеств:
1) 7 6 k 42 7k, k R;
2) a b b a , a R, b R;
2x
3)
2, x 0, D x x / x ,0 0, ;
x
x 2 9 x 2 6x 9
4)
, x 3, x 3, D x x / x , 3 3, .
x 3
x 3
2
2
112
Уравнение – это равенство, которое является верным числовым
равенством только при определённых значениях переменных.
Примеры уравнений:
1) 3x x 8; 2) x 2 x 1 x 7 0;
3) x 3 x 1;
2x x 2
0.
x2 4
Областью определения уравнения называется множество значений
переменных, при которых левая и правая части уравнения имеют смысл, и
обозначается D.
4) x x ;
Пример
5)
1.
Для
уравнения
D x x / x , 2 2,2 2, .
Пример
2.
Для
D x x / x 5, .
уравнения
2x x 2
x2 4
0 область
x 5 3
область
определения
определения
Корень или решение уравнения – это значение переменной, при котором
уравнение есть верное числовое равенство.
Решить уравнение значит найти множество всех его корней.
Пример 1. Уравнение x 2 x 4 x 9 0 имеет три корня: –2, 4, 9.
Множество корней этого уравнения S 2, 4, 9 .
Пример 2. Уравнение x 5 x 2 не имеет корней: S = Ø.
Пример 3. Уравнение x x имеет бесчисленное множество решений;
любое неотрицательное число есть решение этого уравнения.
Два уравнения называются равносильными, если множества их
решений (корней) совпадают.
Равносильными могут быть три, четыре или большее число уравнений.
Пример. Рассмотрим уравнения: x 2 x 3 0
(1)
x x 2 x 3 0
(2)
x x 2 3 x 2
(3)
Множество корней уравнения (1): S1 2; 3 .
Множество корней уравнения (2): S2 0; 2,3 .
Множество корней уравнения (3): S3 2; 3 .
Множества S1 и S3 совпадают, а множества S1 и S2 не совпадают.
113
Уравнения (1) и (3) – равносильные, так как множества их корней равны.
Уравнения (1) и (2) – неравносильные, так как множества их корней не равны.
Свойства равносильных уравнений
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то
получим равносильное уравнение.
Следствие: Член уравнения можно переносить из одной части в другую с
противоположным знаком.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же
число (кроме нуля), то получим равносильное уравнение.
При решении уравнений мы заменяем сложные уравнения более
простыми, но равносильными уравнениями.
Новые слова и словосочетания: ра́венство, ве́рное ра́венство, неве́рное
ра́венство, числово́е ра́венство, ра́венство с переме́нными, ле́вая и пра́вая ча́сти
(чего?) ра́венства, о́бласть определе́ния (чего?) ра́венства, то́ждество,
уравне́ние, реше́ние (чего?) уравне́ния, мно́жество (чего?) корне́й уравне́ния,
равноси́льные (эквивале́нтные) уравне́ния, мно́жества корне́й совпада́ют.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется равенством, тождеством, уравнением?
Что такое область допустимых значений переменной?
Что называется корнем уравнения?
Какие уравнения называются равносильными?
Назовите свойства равносильных уравнений.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейное уравнение это уравнение вида ax b cx d (1) .
Здесь a, b, c, d – заданные числа; х – переменная величина.
Если в уравнении (1) а ≠ с, то уравнение называется уравнением первой
степени.
Линейные уравнения решаем так:
ax b cx d ax cx d b a c x d b ;
a c m и d b n.
Любое линейное уравнение эквивалентно уравнению mx n . Откуда
n
x .
m
Чтобы решить линейное уравнение, нужно данное уравнение привести к
виду mx n . Это делаем так:
114
1) Если в уравнении есть дробные члены, нужно освободиться от них. Для
этого умножаем все члены уравнения на наименьший общий знаменатель.
2) Если есть скобки, то их нужно раскрыть.
3) Переносим все члены с переменной в одну часть, а свободные члены в
другую часть уравнения.
4) Приводим подобные члены.
5) Если есть буквенные коэффициенты, выносим переменную за скобку.
В результате получим уравнение вида mx n .
6) Разделим обе части уравнения на коэффициент при х.
Пример
Решить уравнение:
6х 5 3х 7 12х 2 30х 21
1.
.
4х 3 3 4х
16х 2 9
Решение:
1) изменим знак перед вторым членом и у знаменателя:
6х 5 3х 7 12х 2 30х 21
3
, D x x / x .
4х 3 4х 3 4х 3 4х 3
4
Наименьший общий знаменатель: 4х 3 4х 3 .
2) умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель.
6х 5 4х 3 3х 7 4х 3 12х 2 30х 21 .
3) раскроем скобки:
24х 2 20х 18х 15 12х 2 28х 9х 21 12х 2 30х 21 .
4) приведем подобные члены в левой и правой частях уравнения:
12х 2 21х 6 12х 2 30х 21.
5) перенесем члены, которые содержат переменную, в левую часть, а
другие члены в правую часть:
12х 2 21х 12х 2 30х 21 6.
6) еще раз приведем подобные члены: 9х 27 .
7) разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной:
27
х
3
9
Ответ: 3 .
7
9,5
5х 2
;
2 2х 3 2х 3
3
D x x / x ;
2
2.
115
Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель
.
2 2х 3 : 7 2х 3 9,5 2 2 5х 2
Раскроем скобки и приведем подобные члены: 14х 21 19 10х 4 ;
6 3
14х 10х 4 21 19 ;
х Dx .
4х 6;
4 2
Ответ: Ø.
db
3. ax b cx d ax cx d b a c x d b х
.
a c
Чтобы узнать, сколько корней имеет уравнение, для этого нужно его
исследовать.
Так как линейное уравнение ax b cx d можно привести к виду mx n
n
и x , тогда:
m
1) если m ≠ 0, то уравнение имеет один корень;
2) если m = 0, а n ≠ 0, то уравнение не имеет корней;
3) если m = 0 и n = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней.
Линейные уравнения с модулем
Если линейное уравнение содержит переменную под знаком модуля, то
оно называется линейным уравнением с модулем.
Решениями уравнения х а есть те значения х на числовой прямой,
расстояние до которых от 0 равно а.
Рассмотрим числовую прямую (рис. 5.1):
а
-а
-3
-2
-1
0
1
2
Рисунок 5.1
Рис. 5.1
Пример
Решить уравнение:
1. 3х 15 .
Решение: 3х 15 или 3х 15
х 5 х 5 .
Ответ: 5; 5 .
2. 5х 4 41 .
Решение. Обозначим 5х 4 N,
5х – 4 = 41 или 5х – 4 = –41
5х = 45
5х = –37
2
х=9
х = 7 .
5
3
тогда N 41, т. е.
116
х
2
Ответ: 7 ; 9 .
5
3. 9 4х 3 .
Решение. Обозначим 9 4х N, тогда N 3, т. е.
9 – 4х = 3 или 9–4х = –3
–4х = –6
–4х = –12
3
х = 3.
х
2
3
Ответ: ; 3 .
2
Новые слова и словосочетания: лине́йное уравне́ние, о́бщий вид,
переме́нная в пе́рвой сте́пени, уравне́ние с мо́дулем.
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Решите уравнения:
1) 2х 4 х 4 3х ;
2) 5m 17 2m 6m 1 m ;
3
1
1
3) x 2 ;
4) y y 15 0 ;
4
8
3
3х 5х 13х 2 5
5)
6) 7y 1 23 5y ;
;
2
3
6
3 6
7) x x 2 x 3 x 3 13 ;
8) 4x x 1 2x 5 2x 5 1 ;
9) 3x 5 x 1 x 1 5 x 2 x 2 6 ;
10) 4 2x 1 2x 1 4 3x 2 3x 2 5x 4x 1 32 ;
11) 3 x 1 3x x 5 21;
12) 3x 5 3x 5 3x 1 10 ;
3х х 2х
2
13) 2 2x 1 8 x 1 x 1 34 ; 14)
13 ;
2 6 9
5x 4 16x 1
1 9y 19 3y
15)
;
16)
.
2
7
5
8
2
2
2. Решите уравнения путем разложения левой части уравнения на множители:
1) х 2 36 0 ;
2) х 2 9 0 ;
1
3) х 2 0 ;
4) 3х 2 27 0 ;
4
2
5) 4х 25 0 ;
6) 4х 2 16х х 2 12х ;
7) х 40 х 3 2х 7 ;
2
2
8) 3х 10 х 2 2х 5 .
117
3. Решите уравнения:
1) 5х 4 11 ;
2) 3 4х 7 ;
1
х 5 3;
2
5
1
7) 3х ;
9
6
4)
3) х 15 7 ;
2
3
5) 1 х ;
3
4
1
3
8) 1 х 8 ;
4
4
6) 2,3 4,2х 3,5 ;
9) 2 2х 7 11 25 .
Б
1. Решите уравнения:
x4
2x 41
3x 7 x 17
1)
;
2) 2
9
0;
5
9
4
5
x 5 x 1 x 3 x 4
97
x2
3)
;
4)
х
36 ;
2
8
4
3
2
7
7 9x
2х
2x 7 3x 1
x6
5)
6) х
;
1
7х ;
5
4
9
2
5
2
2x 5 x 2 5 2х 6 7х
7)
х;
6
4
3
4
2 5x 2
4 23 2х 5 11x 1
8)
;
17
9
5
9
20x 10 3х 26x 51 2 1 3х
9) х
;
156
52
13
8 x 10
1 7х 2 11х 5
10)
;
24
15
2 10
5
2x 1 2x 1
8
11)
;
2х 1 2х 1 1 4х 2
12
1 3х 1 3х
12)
.
1 9х 2 1 3х 3х 1
2. Решите буквенные уравнения, в которых переменная обозначена буквой х.
Найденные корни проверьте.
ax xb
2ab
1)
;
a b a b a 2 b2
x a x b x c
2)
0;
bc
ac
ab
x 2a
2x 2 13a 2
3
3)
.
x 3a
x 2 9a 2
118
3. Решите уравнения:
1) 6 2x 3x 1 ; 2) x 2 2 х 3 0 ;
5) х 1 2 2x 5 .
3) 7х 2 x 4 ;
4) х 1 x 3 ;
5
Ответы: А. 1. 1) ; ; 3) 2 ; 5) 1; 5 ; 7) 2 ; 9) 7 ; 11) {2 };
6
1 1
5 5
13) 4 ; 15) 10 . 2. 1) 6; 6 ; 3) ; ; 5) ; ; 7) 11; 0 .
2 2
2 2
3 21
13 7
3. 1) 1,4; 3 ; 3) 22; 22 ; 4) 16; 4 ; 5) ; ; 7); { ; }
54 54
8 8
9) 0; 7 . 4. 1) (3; 1); 3) (3; 2); 5) (1; –5); 7) (2; 1); 9) (2,5; –2).
a 2 b2
1
Б. 1. 1) 34 ; 3) 1,4 ; 5) ; 7) 1 ; 9) 11 . 2. 1) x
; 3) x 4a .
2a
5
1
3. 1) 1 ; 3) ; 1 ; 5) {Ø}.
4
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое уравнение называется линейным?
2. Что значит исследовать уравнение?
3. Сколько корней могут иметь линейные уравнения?
§ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными это уравнение вида
ax + by = c , где a и b – коэффициенты при переменных, с – свободный член, x и
y – переменные.
Решение уравнения ax + by = c есть пара чисел x 0 , y0 , которые
обращают уравнение в верное равенство.
1
Например: уравнение 2x + y = 10 имеет решения (1; 8); (–3; 16); ( ; 9).
2
Таких пар можно написать очень много.
Говорят, что уравнение ax + by = c имеет бесконечное множество решений и
называется неопределенным уравнением.
119
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Несколько уравнений, в которых одинаковые переменные обозначают
одинаковые числа, образуют систему уравнений.
a1x b1y c1
– это общий вид системы двух линейных уравнений с
a
x
b
y
c
2
2
2
двумя переменными, где a1 , a 2 , b1 , b 2 – коэффициенты при переменных x и y,
c1 и c2 – свободные члены.
Решить систему уравнений – значит найти множество общих решений
для обоих уравнений.
Общих решений может быть одно, бесконечное множество или ни одного.
Систему двух линейных уравнений с двумя переменными можно решать
несколькими способами.
Рассмотрим три возможных случая решения такой системы.
Первый случай. Коэффициенты при переменных непропорциональны:
a1 b1
, a1b 2 a 2b1 0 .
a 2 b2
Рассмотрим способы решения системы в этом случае.
(1)
a1x b1y c1
, если a1b 2 a 2b1 0 .
(I)
(2)
a 2 x b 2 y c 2
1. Способ подстановки
При решении системы способом подстановки нужно из любого уравнения
выразить одну переменную через другую.
Решим систему (I).
c a x
Из уравнения (1) выразим y через x: y 1 1 .
b1
c a x
Выражение y 1 1
подставим во второе уравнение. Получим
b1
c a x
a 2 x b2 1 1 c2 – уравнение с одной переменной. Решим уравнение,
b1
c b c b
найдем x 1 2 2 1 , a1b2 a 2b1 0 . Подставим это значение в выражение
a1b2 a 2b1
c a c a
для y, получим y 1 2 2 1 .
a1b 2 a 2b1
Чтобы решить систему способом подстановки, нужно:
1) из одного уравнения выразить одну переменную через другую;
120
2) подставить полученное выражение во второе уравнение и найти первую
переменную;
3) найти значение второй переменной из первого уравнения.
(1)
5x 3y 22
Пример 1. Решить систему уравнений
способом
2x
y
11
(2)
подстановки.
Решение. a1b2 a 2b1 5 1 2 3 5 6 11 0 . Из уравнения (2) найдем
y = 11 – 2x. Подставим это выражение в (1). Получим 5x 311 2x 22 .
Найдем 5x – 33 + 6x = 22, 11x = 55, x = 5.
Подставим х = 5 в выражение для y: y = 11– 2·5 = 1.
Ответ: {(5; 1)}.
2. Способ алгебраического сложения
При решении системы способом алгебраического сложения нужно
уравнение (1) умножить на b 2 , а второе на (– b1 ). Тогда коэффициенты при
переменной y будут равны по модулю и противоположны по знаку. Получим:
a1b 2 x b1b 2 y c1b 2 ;
a 2b1x b1b 2 y c2b1.
a1b 2 x b1b 2 y c1b 2 ;
Сложим эти уравнения: a 2b1x b1b 2 y c 2b1;
a1b2 a 2b1 x c1b2 c2b1.
c b c b
Отсюда найдем x 1 2 2 1 , a1b2 a 2b1 0 .
a1b2 a 2b1
Подставим значение х в любое из уравнений, найдем y.
2x 5y 15
Пример 2. Решить систему уравнений
способом
3x
8y
1
алгебраического сложения.
Решение. a1b2 a 2b1 2 8 3 5 1 0. Сделаем так, чтобы коэффициенты
при х были равны по модулю и противоположны по знаку. Для этого умножим
уравнение (1) на (–3), а уравнение (2) – на 2. Получим
6x 15y 45
2x 5y 15 3
, или
.
6x
16y
2
3x
8y
1
2
Выполним сложение уравнений и получим y = –47. Подставим y = –47 в
(1). Получим 2х 5 47 15 , 2х 235 15 , 2х = 250, х = 125.
Ответ: S = {(125; –47)}.
3. Графический способ
Чтобы решить систему уравнений графическим способом, нужно:
121
1) построить график первого уравнения;
2) построить график второго уравнения;
3) найти координаты точек пересечения графиков.
В случае системы линейных уравнений (I) графиком каждого уравнения
есть прямая линия. Координаты точки пересечения графиков есть пара чисел (x;
y), которая является решением системы.
a
c
График первого уравнения y 1 x 1 – прямая линия с угловым
b1
b1
a
a
c
коэффициентом k1 1 . График второго уравнения y 2 x 2 – прямая
b1
b2
b2
a
a
a
линия с угловым коэффициентом k 2 2 . Так как 1 2 , то k1 k 2 .
b2
b1 b2
Графики уравнений не параллельные прямые, они пересекаются.
3x 2y 12
Пример 3. Решите графически систему
.
x 2y 4
Решение. Построим первую прямую: (0; –6) и (4; 0) – точки пересечения
графика с осями координат (рис. 5.2).
Построим вторую прямую: (0; –4) и (–2; 0) – точки пересечения графика с
осями координат (рис. 5.2).
Рисунок 5.2
Точка M(x; y) – точка пересечения графиков. Ее координаты х = 2, y = –3.
Следовательно, решение системы S = {(2; –3)}.
Ответ: S = {(2; –3)}.
Второй случай. Коэффициенты при переменных и свободные члены
a
b
с
пропорциональны: 1 1 1 .
a 2 b 2 с2
122
a
b
с
Пусть 1 1 1 k . Тогда a1 ka 2 , b1 kb 2 , c1 kc 2 .
a 2 b2 с2
a1x b1y c1
ka 2 x kb 2 y kc1
Систему
можно записать так:
.
a 2 x b 2 y c 2
a 2 x b 2 y c 2
Первое уравнение разделим на k ≠ 0.
a 2 x b 2 y c 2
Получим систему
из двух одинаковых уравнений. Такая
a 2 x b 2 y c 2
система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае графики
уравнений совпадают.
x y
2 2 5
Пример 4. Решить графически систему:
.
3x
3y
15
2
2
x y 10
x y 10
Решение.
.
3x 3y 30 x y 10
Прямые совпадают. Система имеет бесчисленное множество решений.
(0; –10) и (10; 0) – точки пересечения графика с осями координат
(рис. 5.3).
Рисунок 5.3
Третий случай. Коэффициенты при переменных пропорциональны, но не
a
b
с
a
b
пропорциональны свободным членам: 1 1 1 . Пусть 1 1 k , откуда
a 2 b2 с2
a 2 b2
a1 ka 2 , b1 kb 2 .
a1x b1y c1
ka 2 x ka 2 y c1
Систему
можно записать так:
.
a
x
b
y
c
a
x
b
y
c
2
2
2
2
2
2
Разделим первое уравнение на k ≠ 0.
123
c
a 2 x b 2 y 1
Получим систему
k .
a 2 x b2 y c2
Вычтем из первого уравнения второе:
c
a 2 x b 2 y 1
k
a 2 x b2 y c2
с
0 = 1 c2 .
k
с
c
c
Здесь 1 c2 или 1 k , но по условию 1 k . Следовательно, мы
c2
c2
k
получили неверное равенство. В этом случае система не имеет решения.
Графики уравнений – параллельные прямые, так как угловые коэффициенты
a
a
k1 1 и k 2 2 – равны.
b1
b2
x y 3
Пример 5. Решить графически систему
7 2x .
y
2
Решение.
x y 3;
x y 3;
x y 3;
2y 7 2x; 2y 2x 7; x y 3,5.
Построим графики (рис. 5.4).
Прямые параллельны. Система не имеет
решения.
Ответ: .
Новые слова и словосочетания: систéма
уравнéний, линéйное уравнéние, коэффициéнты
пропорционáльны
(не
пропорционáльны),
спóсоб подстанóвки, спо́соб алгебраи́ческого
сложéния, графи́ческий спо́соб.
Рисунок 5.4
УПРАЖНЕНИЯ
А
1. Решите графически системы уравнений:
x y 4
x y 3
1)
;
2)
;
x y 2
x y 5
124
2x y 4
3)
;
5x y 13
3x y 5
4)
;
x
2y
4
a 1 b
7)
;
b
2a
5
4x y 9
5)
;
x
3y
16
x y 1
8)
;
2x
3y
2y 6 х
6)
;
3x
2y
6
2u v 3
9)
.
2u
v
7
2. Решите системы уравнений способом подстановки:
2y x 1
5x 3y 6
2x y 6
1)
;
2)
;
3)
;
3y-2x
12
x
y
1
3x
4y
4
5m n 8
4)
;
3m
4
14
3b a 7
7)
;
5a
6b
14
4x y 1
5)
;
x
2y
16
x 3y 12
8)
;
2x
4y
90
4x 12y 4
6)
;
5x
y
11
2x 5y 15
9)
.
3x
8y
1
3. Решите системы уравнений способом алгебраического сложения:
x 3y 4
6x 7y 40
12x 16y 1
1)
;
2)
;
3)
;
5x
3y
1
5y
2x
8
3x
4y
2
x 3y 7
4)
;
x
4y
7
9x 3y 3
7)
;
2x
3y
8
x y 9
5)
;
2x
y
3
5x 3y 9
8)
;
2x
5y
16
2x y 6
6)
;
x
y
3
3x 2y 22
9)
.
9x
8y
4
Б
1. Решите системы уравнений способом алгебраического сложения:
0,3x 0,2y 0,3;
0,7x 0,3y 0,5;
1)
2)
0,2x 0,3y 0,3;
0,4x 0,7y 1,3;
1,3x 0,2y 12;
0,3x 0,5y 0,1;
3)
4)
0,4x 17y 89;
0,01x 0,4y 0,38;
2
1
x
y 1;
2
0,2x 0,3y 0,1;
3
5)
6)
;
0,03x
0,01y
0,07;
3
1
x y 2;
4
3
2
3
19
3
1
x
y
14;
x
y
;
5
8
3
5
2
7)
8)
3
1
3 x 7 y 1.
x y 14;
10
4
20
3
125
2. Решите системы уравнений:
1 1
2 1
2;
x y
x y 5;
1)
2)
2
3
7;
4 4 4;
x y
x y
1 3
x y 1;
3)
4)
3
1
1;
x y
1
Указание. Введите новые переменные:
u,
x
1
относительно u и v и найдите x и y из равенства x ,
u
1 1
x y 10;
1 1 1.
2x 2y
1
v . Решите систему
y
1
y .
v
Ответы: А. 1. 1) (3; 1); 3) (3; 2); 5) (1; –5); 7) (2; 1); 9) (2,5; –2).
1 7
2. 1) (–3; 2); 3) (5; –4); 5) (2; –7); 7) (4; –1); 9) (125; –47). 3. 1) ( ; );
2 6
3) Ø; 5) (2; 7); 7) (–1; 2); 9) (4; 5).
1
5 3
Б. 1. 1) (3; –3); 3) (10; 5); 5) ; ; 7) (20; 3). 2. 1) ( 1; ); 3) (4; –4).
3
2 8
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое линейное уравнение с двумя переменными?
2. Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
3. Что такое система уравнений?
4. Что значит решить систему уравнений?
5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений?
6. Какие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя
переменными вы знаете?
§ 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
a1x b1y c1
Решим систему
способом алгебраического сложения:
a
x
b
y
c
2
2
2
a1b2 x b1b 2 y c1b 2
a1x b1y c1 b2
c b c b
x 1 2 2 1 .
a1b 2 a 2b1
a 2b1x b1b 2 y c2b1
a 2 x b2 y c2 b1
a1b2 a 2b1 x c1b2 c2b1 .
a 2
a1a 2 x a 2b1y c1a 2
a1x b1y c1
a
x
b
y
c
a
2
2
2 1
a1b2 a 2b1 y a1c2 a 2c1
a c a 2c1
y 1 2
.
a
a
x
a
b
y
a
c
a
b
a
b
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
126
a1 b1
и называют
a 2 b2
определителем второго порядка. a1 , a 2 , b1 , b 2 – элементы определителя.
Определитель второго порядка имеет 2 строки и 2 столбца.
Аналогично получим:
с1 b1
с1b 2 с2b1 =
,
с2 b2
Разность
a1b2 a 2b1 обозначают
a1с2 a 2с1 =
символом
a1 с1
.
a 2 с2
Обозначим определители
a1
a2
b1
с
, 1
b2
с2
b1
a
х , 1
b2
a2
с1
y .
с2
y
Тогда x x , y
. Эти формулы называются формулами Крамера.
(Крамер – швейцарский математик, 1704–1752 гг.).
Δ – это главный определитель.
x и y – это вспомогательные определители.
Чтобы получить x , нужно заменить в главном определителе
коэффициенты при х свободными членами. Чтобы получить y , нужно
заменить в главном определителе коэффициенты при y свободными членами.
Пример. Решить систему с помощью определителей.
4x 5y 31
.
3x
2y
6
4 5
4 2 5 3 8 15 23 ,
Решение.
3 2
x
31 5
31 2 5 6 62 30 92 ,
6 2
4 31
4 6 31 3 24 93 69 ,
3 6
y 69
92
x x
4; y
3.
23
23
Ответ: {(4, 3)}.
y
Исследование системы двух линейных уравнений с помощью
определителей
Чтобы узнать, какое решение имеет система, нужно исследовать ее.
127
Первый случай.
a1 b1
= a1b2 a 2b1 ≠ 0; a1b 2 a 2b1 ,
a 2 b2
В этом случае система имеет единственное решение.
0 . Это значит, что
a1 b1
.
a 2 b2
Второй случай. 0 , x ≠ 0 или y ≠ 0. Пусть x ≠ 0. Это значит, что
a1 b1
a
b
= a1b2 a 2b1 = 0, 1 1 .
a 2 b2
a 2 b2
с1
с2
b1
0 , с1b 2 с2b1 0 ,
b2
b1 c1
.
b2 c2
a
b
c
Объединим обе пропорции в одну: 1 1 1 .
a 2 b2 c2
Система не имеет решения.
a
b
c
Третий случай. х y 0 . Это значит, что 1 1 1 .
a 2 b2 c2
Система имеет бесчисленное множество решений.
Пример
Исследовать и решить систему.
4x 10y 12
1.
.
6x
15y
18
Решение. Найдем определители:
4 10
4 15 6 10 60 60 0 ,
6 15
x
12 10
12 15 18 10 180 180 0 ,
18 15
4 12
4 18 12 6 72 72 0 .
6 18
Система имеет бесчисленное множество решений.
y
7x 3y 13
2.
.
x
2y
5
7 3
7 2 1 3 14 3 11 0 .
Решение.
1 2
Система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные
определители:
128
x
13 3
13 2 5 3 26 15 11 ,
5 2
y
7 13
7 5 13 35 13 22 .
1 5
y 22
11
Таким образом, x x
2 .
1, y
11
11
Ответ: S = {(1, –2)}.
x 2y 0
3.
.
4x 8y 16
1 2
0 2
1 8 4 2 8 8 0 , x
0 32 0 .
Решение.
4 8
16 8
Система не имеет решений.
Новые слова и словосочетания: гла́вный определи́тель систéмы,
вспомога́тельный определи́тель систе́мы, элемéнты строки́, элемéнт столбца́,
строкá, столбéц.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Исследуйте и решить систему с помощью определителей:
6x 2y 16
5x 3y 17
x 3y 1
1)
;
2)
;
3)
;
12x 5y 31
5x 2y 3
2x 6y 5
3x 2y 1
4)
;
6x 4y 2
3x 4y 7
7)
;
12x 4y 20
2s 3t 9
5)
;
4s 6t 9
2y x 8
8)
;
4x 3y 1
2x 7y 2
5x 3y 17
10)
; 11)
;
3x 5y 8
5x 3y 3
9x 3y 15
6)
;
6x 2y 10
4x 7y 23
9)
;
6x 3y 33
3x 2y 12
12)
.
x 2y 4
Ответы: 1. 1) 3, x 9, y 3; 3;1 . 3) 0, x 0, y 0; Система не
имеет решений. 5) 0, x 0, y 0; Система не имеет решений. 7) 36,
x 108, y 144; 3; 4 .
9) 54, x 162, y 270; 3; 5 .11)
7 10
30, x 42, y 100; ; .
5 3
129
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое главный определитель системы?
2. Что такое вспомогательные определители системы?
3. Напишите формулы Крамера.
130
РАЗДЕЛ 6. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратное уравнение (уравнение второй степени с одной переменной) –
это уравнение вида ах 2 bх с 0 , где а 0 .
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении b 0 , или с 0 , или b 0 и с 0 , то оно
называется неполным квадратным уравнением.
Решение неполных квадратных уравнений.
I. ах 2 bх 0 ( b 0, с 0 ):
х(ах b) 0
х1 0,
х 0,
b
ах b 0; х 2 .
а
II. ах 2 с 0 ( b 0, с 0 ):
с
с
х1,2 , если 0,
с
а
а
ах 2 c х 2
а
с
,
если
0.
а
III. ах 2 0 ( b 0, с 0 ):
х 2 0 х1,2 0 .
Приведённые квадратные уравнения
Если обе части уравнения ах 2 bх с 0 разделить на а 0 , то получим
b
с
х2 х 0 .
а
а
b
с
Обозначим р , q , получим общий вид приведённого квадратного
а
а
уравнения: х 2 рх q 0 .
Здесь р второй коэффициент; q свободный член.
Выведем формулу, по которой находят корни такого уравнения:
р
х 2 рх q 0 , х 2 рх q , х 2 2х q ,
2
2
2
2
2
р р р
р р
х 2х q , х q ,
2 2 2
2 2
2
131
2
2
р
р
р
р
х q , х1,2 q .
2
2
2
2
(1)
Вывод формулы корней квадратного уравнения общего вида
ax 2 bx c 0 – это уравнение общего вида (a 0) .
b
c
Его можно записать так: x 2 x 0 .
a
a
Получили приведённое квадратное уравнение. Найдём его корни по
формуле (1):
2
b
c
b
b2 c
b
b 2 4ac
b
x1,2
2a
a
2a
2a
2a
4a 2 a
4a 2
b
b2 4ac b b2 4ac
.
2a
2a
2a
b b2 4ac
Тогда x1,2
.
2a
(2)
Исследование корней квадратного уравнения
Чтобы узнать, сколько корней и какие корни имеет уравнение
ax bx c 0 , нужно исследовать его. Корни квадратного уравнения находим
2
b b2 4ac
.
2a
Выражение D b2 4ac называется дискриминантом. В зависимости от
знака дискриминанта могут быть 3 случая решения квадратного уравнения:
по формуле (2): x1,2
D 0 , то уравнение имеет два действительных корня:
b D b D
;
.
2a
2a
b
2. Если D 0 , то уравнение имеет один действительный корень: .
2a
3. Если D 0 , то уравнение не имеет действительных корней: .
1.
Если
Слова и словосочетания: квадра́тное уравне́ние, уравне́ние второ́й
сте́пени, непо́лное квадра́тное уравне́ние, по́лное квадра́тное уравне́ние,
приве́денное квадра́тное уравне́ние, дискримина́нт.
132
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите квадратные уравнения:
2
1) 3x 5x 0 ;
x(3x 5) 0 ;
x 0,
3x 5 0;
x1 0,
5
x2 .
3
5
Ответ: 0; .
3
2) x (x 15) 3 (108 5x) , x 2 15x 324 15x , x 2 324 , x1,2 324 18 .
Ответ: 18 .
x
x
8
,
x 1 x 1 3
D х : x 1 ;
x 3(x 1) x 3(x 1) 8 (x 1)(x 1) ,
3)
3x 2 3x 3x 2 3x 8x 2 8 ,
2x 2 8 ,
x2 4 ,
x 2 .
Ответ : 2 .
4) x 2 2x 15 0 ,
р = – 2,
q = – 15 это приведённое квадратное уравнение.
По формуле (1): x1,2 1 1 15 1 16 1 4 ,
x1 3 , x 2 5 .
Ответ: {– 3; 5}.
5) x 2 x 2 0 ,
р = 1, q = – 2, это приведённое квадратное уравнение.
1
1
1
1 8
1
9
1 3
По формуле (1): x1,2
2
,
2
4
2
4
2
4
2 2
1 3
1 1
4
x1 2 , x 2 1.
2 3
2
2 2
Ответ: {– 2; 1}.
6) 2x 2 3x 5 0 ,
а = 2, b = – 3, с = – 5 это уравнение общего вида.
3 9 4 2 5 3 9 40 3 49 3 7
По формуле (2): x1,2
,
22
4
4
4
37
3 7 10 5
x1
1 , x 2
2,5 .
4
4
4 2
133
Ответ: {– 1; 2,5}.
2. При каком значении m уравнение x 2 10х m 0 имеет один корень?
Решение. Уравнение имеет один корень, если D = 0, D = 100 – 4m =0;
100
m
25 .
4
Уравнение x 2 10х m 0 имеет один корень при m = 25.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неполные квадратные уравнения:
1) x 2 1 82 ;
А.
2) x 2 5 30 ;
3) 5x 2 20 ;
4)
5 2
x 3380 0 ;
9
1 2
1
5) 67 6x 2 13 ; 6) 2 x 2 2 ; 7) 4,3 6x 2 2,8 ; 8) 2x 2 7 0 .
4 9
8
Б. 1) x 2 4x 0 ; 2) 4x 2 6x 9x 2 7x ; 3) 8,5x 3x 2 3,5x 2x 2 .
2. Решите уравнения:
2
А. 1) 2x 5x 3 0 ;
x 2 2x 3x 10
2) 6x х 2 0 ; 3)
;
6
3
4
2
2
4) (3x 1)(3x 1) (3 2x) 38 x ; 5)
Б. 1)
x 112 6x 12 7 7x 3
5
13
17x 10
;
x 1 x3 1 5(x 2 x 1)
10
5
2
.
2
1
4
;
2 х 2 2x x 2
x
25
1
13
3)
;
2x 1 4x 2 1 27 1 2x
2
1
x
4)
0;
8x3 4x 2 2x 1 1 4x 2 4x 2 4x 1
1
x 1
3x
0;
5)
2
3
3
2
9x
4x
27x
18x
12x
8
3x
2
2)
6)
5
x3 2x 2 9x 18
2
4 x2
1
x2 9
.
3
2 1
Ответы: 2.А. 1) 1; ; 2) ; ; 4)
2
3 2
15
; 2 . Б. 1)
13
134
5
; 4 ; 2) 4 ; 3) 13 .
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое уравнение называется квадратным?
2. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями и
как они решаются?
3. Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?
4. Чему равны корни приведённого квадратного уравнения?
5. Чему равны корни уравнения общего вида?
6. Сколько корней может иметь квадратное уравнение и от чего это
зависит?
§ 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА
НА МНОЖИТЕЛИ
Теорема Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна
второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
Доказательство: х 2 рх q 0 общий вид приведённого квадратного
уравнения.
По формуле (1):
p
p2
x1
q,
2
4
p
p2
x2
q.
2
4
Найдем сумму корней этого уравнения:
p
p2
p
p2
p p
х1 x 2
q
q p .
2
4
2
4
2 2
Найдем произведение корней этого уравнения:
2
2
p
p
2
p2
p2
p2 p2
p p
x1 x 2
q
q
q
qq
4
4
4
4
2
2
2 4
x1 x 2 p,
Получим
x1 x 2 q.
Теорема Виета верна и для уравнения общего вида:
b
c
ax 2 bx c 0 x 2 x 0 ,
a
a
b
c
x1 x 2 , x1 x 2 .
a
a
135
С помощью теоремы Виета можно быстро решать элементарные
квадратные уравнения.
П р и ме р . Решите уравнение: x 2 5x 6 0 .
Р е ш е н и е . По теореме Виета: x1 x 2 5 и x1 x 2 6 . Корнями уравнения
могут быть делители числа 6, это числа 1, 2, 3, 6. Очевидно, что корни этого
уравнения будут 2 и 3.
О т ве т: {2, 3}.
По теореме Виета можно также составить квадратное уравнение, если мы
знаем его корни.
П р и ме р . Составьте квадратное уравнение, если его корни 5 и – 3.
Р е ш е н и е . Пусть x1 5 , x 2 3 , тогда
p x1 x 2 5 3 2 ,
q x1 x 2 5 3 15 .
Квадратное уравнение имеет вид x 2 2x 15 0 .
О т ве т: x 2 2x 15 0 .
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен – это многочлен вида ах2 + bх + с, где а ≠ 0.
Корнем многочлена с одной переменной называется значение
переменной, при котором значение многочлена равно нулю.
Чтобы найти корень многочлена, необходимо этот многочлен приравнять к
нулю и решить полученное уравнение.
П р и ме р . Найдите корни многочленов:
а) 2x-3 .
Р е ш е н и е . Решим уравнение: 2х– 3 = 0, 2х = 3, х =1,5.
1,5 – это корень двучлена.
б) x3 -4x .
Р е ш е н и е . Решим уравнение: x 3 -4x 0 x(x 2 -4) 0 x1 0 , x 2 -2 ,
x3 2 .
– 2; 0; 2 – это корни многочлена.
г) x 2 -5x 6 .
Р е ш е н и е . Решим уравнение: х2– 5х+6 = 0 х = 2, х = 3.
2 и 3 – это корни трехчлена.
136
Пусть трехчлен ax 2 bx c имеет корни x1 и
трехчлен можно разложить на множители так:
ax 2 bx c а x-x1 x-x 2 .
Преобразуем правую часть:
x 2 . Докажем, что этот
(3)
а x-x1 x-x 2 = а x 2 -xx1-xx 2 +x1x 2 = а x 2 -x x1 x 2 +x1x 2 =
b c
a x 2 -x - + = ax 2 bx c .
a a
Мы видим, что левая часть равенства (3) равна правой.
Итак, ax 2 bx c а x-x1 x-x 2
Если трехчлен ax 2 bx c имеет только один корень, то его тоже можно
разложить на множители: ax 2 bx c а x-x1 x-x 2 а x-x1 .
2
Слова и словосочетания: теоре́ма, соста́вить – составля́ть, квадра́тный
трехчле́н, ко́рень многочле́на.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите уравнение: х2 − 5х − 6 = 0.
Р е ш е н и е . По теореме Виета х1∙х2 = − 6 и х1 + х2 = 5.
Делители числа 6 − это числа: 1, 2, 3 и 6.
Корнями уравнения будут – 1 и 6.
О т ве т: {−1; 6}.
2.
Разложите на множители трехчлен 2x 2 -5x-3 .
Р е ш е н и е . Найдем корни трехчлена. Для этого решим уравнение:
2x 2 -5x-3 0 ,
5 25 24 5 49 5 7
x1,2
;,
4
4
4
1
x1 , x 2 3 .
2
1
Разложим многочлен на множители: 2x 2 -5x-3 2 x x 3 .
2
3. Составьте квадратное уравнение, если его корни: x1 = 5; x 2 6 .
Р е ш е н и е . По теореме Виета – р = 5 + (− 6) = − 1 р = 1; q = 5∙( − 6) = − 30.
Составим уравнение: x 2 x-30 0 .
137
УПРАЖНЕНИЯ
1. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:
1) 2х2 − 9х + 10 = 0;
4) 3х2 − 8х + 10 = 0;
2) 5х2 + 12х + 7 = 0;
5) 4у2 − 19 = 0;
3) х2 − 37х + 27 = 0;
6) х2 − 210х = 0.
2. Составьте квадратное уравнение по его корням:
1) 3 и 10;
3) 2− 3
и 2+ 3 ;
2) −7 и −4;
4) 5−3 2 и 5+3 2 .
3. Разложите на множители трехчлены:
1) 4х2 − 9х + 5;
4) х2−х−3;
2) 4b2 − 9b + 7;
5) 2у2−5у+8;
3) − 3у2 + 8у + 11;
6) 16а2 − 24а + 9.
4. Сократите дроби:
1)
5)
a 2 6a 91
a 2 8a 105
;
2)
27х 3 21x 2 7x 1
2
27x 6x 1
2x 2 8x 90
3x 2 36x 105
; 6)
;
3c2 11c 10
5 c
3
3
3)
х 2 4x 3
x 2 12x 27
; 4)
6y 2 5y 4
27y y 1
3
3
;
.
8c
5. Составьте квадратное уравнение, корни которого в два раза больше
корней уравнения x 2 5x 6 0 .
6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на единицу больше
корней уравнения x 2 10x 9 0 .
7. Найдите k для каждого уравнения, если 6x1 x 2 0 , где x1 и x 2 −
корни уравнения:
1) x 2 5x k 0 ; 2) x 2 kx 6 0 ; 3) kx 2 5x 2 0 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как формулируется теорема Виета?
2. Что называется корнем многочлена?
3. Как найти корни многочлена?
4. Как разложить на множители квадратный трехчлен?
§ 3. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ,
ПРИВОДИМЫЕ К НИМ
Биквадратное уравнение это уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где
a 0.
138
Введем новую переменную y.
Тогда y x 2 . Получим уравнение вида
ay2 by c 0 .
b b2 4ac
b b2 4ac
; y2
.
2a
2a
2
b b 2 4ac
b
b
4ac
2
x
x
, если y1 0,
,
1,2
2a
2a
Значит,
2
x 2 b b 4ac ;
b b 2 4ac
x1,2
, если y 2 0.
2a
2a
Итак, если y1 0 и y 2 0 , то биквадратное уравнение имеет четыре корня:
Если D b2 4ac 0 , то y1
b b 2 4ac
b b2 4ac
x1
, x2
,
2a
2a
b b 2 4ac
b b2 4ac
x3
, x4
.
2a
2a
Если y1 0 и y 2 0 , то биквадратное уравнение имеет только два
действительных корня. Если y1 0 и y 2 0 , то биквадратное уравнение не
имеет действительных корней.
Метод ввода новой переменной (еще используют термин «замена
переменной») часто применяют при решении уравнений.
Слова и словосочетания: биквадра́тное уравне́ние; уравне́ние,
приводи́мое к квадра́тному уравне́нию; ввод но́вой переме́нной, заме́на
переме́нной.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите биквадратные уравнения:
а) x 4 13x 2 36 0 .
Введём новую переменную
y x 2 . Тогда уравнение примет вид
y2 13y 36 0 .
13
169
13
169 144 13
25 13 5
36
;
2
4
2
4
2
4
2 2
13 5 8
y
4, 2
1
x 4, x1,2 4 2,
2 2 2
2
13
5
18
y 9; x 9; x 3,4 9 3.
2 2 2 2
y1,2
139
О т ве т: 2; 3 .
б) x 4 24x 2 25 0 .
Введём новую переменную
y x 2 . Тогда уравнение примет вид
y2 24y 25 0 ,
y1,2 12 144 25 12 13 ;
y1 25, х 2 25, ,
y 1; 2
х 1; x1,2 1.
2
О т ве т: { 1}.
2. Решите уравнения методом ввода новой переменной:
а) (x 2 3x 1)(x 2 3x 6) 44 .
Заметим, что в каждых скобках переменная х входит только в виде x 2 3x
Введем новую переменную y x 2 3x .
Получим уравнение (y 1)(y 6) 44 , y2 5y 50 0 .
Найдем корни уравнения (по теореме Виета): y1 5 , y 2 10 .
y1 5, x 2 3x 5, x 2 3x 5 0, , т.к. D 0,
y 10; 2
x 3x 10; x 2 3x 10 0; x1 2; x 2 5.
2
О т ве т: 5; 2 .
1
1
б) 7(x ) 2(x 2 ) 9 .
x
x2
D(х): x 0 ,
1
yx ;
x
Возведем обе части равенства в квадрат:
1 1
1
.
y2 x 2 2 x ; y 2 2 x 2
x x2
x2
Подставим оба выражения в исходное уравнение, получим
7y 2(y2 2) 9; 2y2 7y 5 0;
7 49 40 7 9 7 3
;
4
4
4
1
y1 1, x 1, x 2 x 1 0, ,
x
5
y2 ;
1 5 2x 2 5x 2 0; x1,2 5 25 16 5 3 .
x
;
2
4
4
x 2
1
О т ве т: ; 2 .
2
y1,2
140
УПРАЖНЕНИЯ
Решите уравнения:
А. 1) x 4 10x 2 9 0 ;
2) x 4 5x 2 4 0 ;
3)
4)
5)
6) 2x 4 19x 2 9 0 ;
7) 3x 4 7x 2 2 0 ;
x 4 29x 2 100 0 ;
x 4 17x 2 16 0 ;
4x 4 37x 2 9 0 ;
8) x 2 5x
Б. 1) x 6 9x3 8 0 ;
x2 1
x
2,5 ;
2)
x
x2 1
1
1
2 x 6 ;
4) x 2
x
x2
4
2
6) x 2
x 8 0;
x
x2
2
x 1
x 1
3)
6
5 0;
x
x
7) x 4
50
5) x 2 6x
2
2 x2 5x 24 0 .
2
2 x 3 81 ;
2
14 ;
2x 4 7
8) x 2 x 4 x 4 24 2x 2 x 2 5 ;
2x
3 x2 1
9
2x
6x 2 2 x
9)
5x 3 5x 2 1
4 2 x2
;
10
1 10x
.
2
2
x
1
x
x
1
x
x
Ответы: А. 1) {±3; ±1}; 2) {±0,5; ±3}; 3) {1; – 1; – 4; – 6}.
Б. 1) {1; 2}; 2) {– 1}; 3) {0,25}; 4) {1; – 2 3 }; 5) {3; 3; 2 3 };
6) {– 2; – 1; 2 2 }.
10)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое уравнение называется биквадратным?
2. Как называется метод решения биквадратных уравнений?
3. При каком условии биквадратное уравнение имеет
действительных корня?
141
четыре
§ 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Иррациональное уравнение это уравнение, в котором переменная
находится под знаком корня.
x 30
x 1 x 5 это иррациональные уравнения.
3 8 x 3 8 x 4
При решении иррациональных уравнений в случае корней четных
степеней, рассматривают только арифметические корни (т.е. 2n a 0 и a 0 ).
Чтобы решить иррациональное уравнение нужно:
1) освободиться от иррациональности в левой и правой частях уравнения;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку и исключить «посторонние корни».
П р и ме р
Решите уравнение x 3 x 3 .
x 3 0,
Dх :
х > 3.
x 3 0;
1) Чтобы освободиться от иррациональности, возведем обе части
уравнения в квадрат: x 3 x 2 6x 9; x 2 7x 6 0 .
Полученное уравнение может не быть равносильным исходному, т. к.
x 32 x 3
2
, а уравнение
x 3 x 3 не равносильно исходному.
2) Решим уравнение x 2 7x 6 0; x1 1; x 2 6 .
3) Выполним проверку исходного уравнения:
x 1 1, 1 3 1 3, 2 2 неверное равенство,
x 6;
2
3 6 6 3; 3 3 верное равенство;
x1 1 D х посторонний корень,
x 2 6 D х .
О т ве т: 6 .
или
Слова и словосочетания: иррациона́льное уравне́ние, посторо́нний
ко́рень, прове́рка.
142
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решите уравнения:
1. x 10 3 x 5 ;
x 10 0, x 10,
D(х):
xØ.
3
x
0;
x
3;
Значит, уравнение не имеет решений.
О т ве т: .
2. 15 x 3 x 6 ;
15 x 0, x 15,
D(х):
х ; 3 .
3 x 0; x 3;
Изолируем один корень:
15 x 6 3 x .
Возводим
обе
части
этого
уравнения
в
квадрат:
15 x 36 12 3 x 3 x .
Снова изолируем корень: 12 3 x 24 ,
3 x 2.
Снова возводим обе части уравнения в квадрат:
3 x 4; x 1 .
Делаем проверку: 15 1 3 1 6 .
О т ве т: -1 .
3. x 2 x 2 4 16 ;
D(х): x 2 4 0; х ; 2 2; .
Введем новую переменную: √x 2 − 4 = y, y 0 ,
тогда x 2 4 y2 x 2 y2 4
Получим уравнение: y2 4 y 16; y2 y 12 0 ;
[
y1 = −3
y2 = 4
− не удоволетворяет условию y ≥ 0
√x 2 − 4 = 4,
x 2 − 4 = 16,
x 2 = 20,
О т ве т: 2 5 .
4. 3 x 34 3 x 3 1 ,
D(х): хR.
Изолируем один корень: 3 x 34 1 3 x 3 .
Возведем обе части уравнения в куб:
x 34 1 33 x 3 33 x 3 x 3;
2
36 33 x 3 33 x 3 ;
2
3
3
√(x − 3)2 + √x − 3 − 12 = 0;
143
x1,2 = ±√20, x1,2 = ±2√5 ∈ D
Введем новую переменную y 3 x 3 .
Получим квадратное уравнение y2 y 12 0 , где
y1 3;
y 2 4 .
y1 3, 3 x 3 3, x 3 27, x1 30,
y 4; 3
x 3 4; x 3 64; x 2 61.
2
О т ве т: 61; 30 .
УПРАЖНЕНИЯ
1)
4)
1. Покажите, что данные уравнения не имеют корней:
2) 3x 5 6 x 7 ;
3)
x 3 x 3 1;
4 4x x 2 6 .
2x 7 x 0 ;
2. Решите уравнения:
А. 1) х х 2 х 1 2 ;
4) 2х 5 х 1 8 ;
2)
Б. 1) х 2 2 х 2 3х 11 3х 4 ;
х 1
х 1 3
;
2)
х 1
х 1 2
4
1
3
3)
;
х х2 х х х2 х 2
4) х 5 х 3 2х 8 ;
3
5
Ответы: 2. А. 1){ }; 2) 5 ; 3) ;
5
4
х 1 х 4 6 ;
5) х 1
12
х 1 х 1 1;
3)
6 х 1
14
16 ;
6) 3 13 х 3 22 х 5 ;
7) 3 5 x 3 5 x 3 5 ;
8)
9)
2x 6x 2 1 x 1 ;
3 2x 1 6 x 1
.
4) 10 .
5
Б. 1) 1, 2 ; 2) ; 3) {Ø}; 4) 4 ; 5) 17 ; 6) 14; 5 .
3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие уравнения называются иррациональными?
2. Какие действия нужно выполнить, чтобы решить иррациональное
уравнение?
3. Почему нужно делать проверку корней?
144
§ 5. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
F1(x, y) 0,
Система уравнений
называется нелинейной, если хотя бы
F
(x,
y)
0.
2
одно из его уравнений является нелинейным.
Решение нелинейных систем
Рассмотрим основные методы решения нелинейных систем.
I. Метод подстановки
Этим методом решают системы, которые содержат одно уравнение второй
степени и одно уравнение первой степени (простейшие системы).
2x 2 xy 3y2 7x 12y 1 0,
Пример. Решите систему уравнений
x y 1.
Из второго уравнения получим x y 1. Данная система равносильна
x y 1,
системе:
2
2
2(y 1) (y 1)y 3y 7(y 1) 12y 1 0.
Переход к этой системе называется подстановкой.
x y 1,
Упростим и получим
2
2y 11y 5 0.
1
Решаем второе уравнение и находим y1 5 и y1 .
2
1
1
Далее x1 y1 1 5 1 4, x 2 y2 1 1 .
2
2
1 1
Ответ: 4; 5 ; ; .
2 2
II. Метод алгебраического сложения
2x y xy 14,
Пример. Решите систему уравнений
x 2y xy 7.
Складываем левые части уравнений и правые части уравнений
соответственно. Получаем простейшую систему, равносильную данной
2x y xy 14, 2x y xy 14,
3x
y
7;
y 7 3x.
Решим эту систему способом подстановки:
145
2x 7 3x x(7 3x) 14,
2x 7 3x 7x 9x 2 14,
3x 2 2x 21 0,
2 4 252 2 16
x1,2
;
6
6
2 16 18
2 16 14
7
x1
3, x1
.
6
6
6
6
3
y1 7 3 3 2
и
y2 7 7 14.
7
Ответ: (3; 2); - ;14 .
3
III. Решение системы нелинейных уравнений с двумя переменными с
помощью теоремы Виета
x y a,
Системы вида
решают с помощью теоремы Виета.
xy b.
x y 5,
Пример 1.
Решите систему уравнений
xy 4.
Значения х и у можно рассматривать как корни приведённого квадратного
уравнения: z 2 5z 4 0 .
Тогда z1 1, z 2 4. Оба уравнения системы симметричны относительно x
и у. Поэтому получаем две пары решений: если одно решение x1 1, y1 4, то
второе, наоборот: x 2 4, y 2 1.
x y 7,
Пример 2. Решите систему уравнений
xy 18.
x ( y) 7,
Систему записываем в виде
x( y) 18.
Тогда x и – у будут корни квадратного уравнения z 2 7z 18 0.
Получаем z1 9, z 2 2.
Ответ: (9; 2); (-2; -9).
IV.
Решение
относительно х и у
x1 9,
x1 9,
y
2;
1
y1 2;
x 2,
x 2,
2
2
y 2 9;
y 2 9.
системы
уравнений,
146
которые
симметричны
Такие системы решают методом ввода новых переменных: x y u ,
xy v .
xy x y 29,
Пример 1.
xy 2 x y 2.
Пусть x y u, xy v .
v u 29, v 29 u,
v 29 u, v 20,
Тогда
v 2u 2; 29 u 2u 2; 3u 27; u 9.
x1 4,
xy 20, y1 5,
Имеем:
x y 9; x 2 5,
y 2 4.
Ответ: 4; 5 , 5; 4 .
Пример 2.
x y 34
y x 15 ,
x 2 y 2 34.
Сначала преобразуем систему:
x 2 y 2 34
,
xy 15,
xy
15
2
2
2
x y 34;
2
x y 34;
xy 15,
xy 15,
2
2
2
x 2xy y 2xy 34; x y 2xy 34.
Пусть x y u , xy v .
v 15,
v 15,
v 15, v 15,
Тогда 2
2
2
u 2u 34; u 2v 34; u 64; u 8.
xy 15, x1 3; y1 5,
x y 8, x 2 5; y 2 3,
Имеем
xy 15, x 3 3; y3 5,
x
y
8;
x 4 5; y 4 3.
Ответ: 3; 5 ; 5; 3.
V. Решение систем, которые содержат иррациональные выражения
В таких системах используют метод решения иррациональных уравнений
и метод ввода новых переменных.
147
4 x 4 y 1,
x 0,
Пример 1.
D(х, у):
y 0.
x y 5.
Введем новые переменные 4 x u; 4 y v;
u v 1,
u v 1,
u v 1,
тогда
2
2
2
2
2
u
v
5;
u
2uv
v
2uv
5;
u v 2uv 5.
Подставим u, v из первого уравнения во второе, получим
u v 1, u v 1, u 1 v,
u 1 v,
1 2uv 5; uv 2; 1 v v 2; v2 v 2 0.
Решаем второе уравнение и находим v1 1, v 2 2 ;
v1 1,
v1 1,
u1 1 v, u1 2,
v 2, v 2,
2
2
u 2 1 v; u 2 1;
4 y 1,
4 x 2,
4 y 2,
4
x 1;
y 1,
x 16,
нет решений.
Ответ: {(16; 1)}.
x y 0,
x y 2x y 2 7,
Пример 2.
D(х, у):
2x y 2 0.
3x 2y 23.
Возведем первое уравнение системы в квадрат:
x y 2 x y 2x y 2 2x y 2 49;
3x 2y 2
x y 2x y 2 47 .
Подставим в полученное уравнение значение 3x 2у 23 из второго
x y 2x y 2 47; x y 2x y 2 12 .
Снова возведем в квадрат полученное уравнение: x y 2x y 2 144.
уравнения: 23 2
Система уравнений примет вид
23 3x
23 3x
x
2x
2
144,
x y 2x y 2 144,
2
2
3x 2y 23;
y 23 3x .
2
Упростим первое уравнение:
x 2 4x 45 0,
x1 9, y1 25;
23 3x
0; x 2 5, y 2 4.
y
2
Ответ: {(– 9; 25), (5; 4)}.
148
Слова и словосочетания: нелине́йное уравне́ние, систе́ма нелине́йных
уравне́ний, симметри́чные уравне́ния.
УПРАЖНЕНИЯ
Решите систему уравнений:
х у 7,
А. 1)
ху 12;
х 2 ху у2 63,
2)
х у 3;
1 1
х у 5,
Б. 1)
1 1 13;
х 2 у2
5
4
х 1 у 1 1,
3)
3 2;
х 3 у
7x 2 3y2 5xy 2x 27 0,
4)
x y 5.
1
4
1
,
у 3
3) х
ху 9;
3 х 3 у 3,
4)
3 х 2 3 ху 3 у 2 3.
х 2 у ху 2 6,
2)
ху х у 5;
Ответы: А. 1) {(3; – 4), (4; – 3)}; 2) {(6; 9), (– 9; – 6)};
2
3) 3; 4 , 10, 4 ; 4) {(2; 3), (51; – 46)}.
3
1 1 1 1
Б. 1) ; , ; ; 2) 1; 2 , 2;1 ; 3) 1; 9 , 9;1 ; 4)
3 2 2 3
1; 8 , 8;1 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая система уравнений называется нелинейной?
2. Что является решением системы уравнений?
3. Какие основные методы решения систем нелинейных уравнений вы
знаете?
149
РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ
§ 1. ФУНКЦИЯ
Пусть X и Y – множества. X = {a, b, c} и Y = {1, 2, 3, 4} (рис. 7.1).
X
1
a
Y
2
b
3
c
4
Рис. 7.17.1
Рисунок
Между элементами множеств X и Y можно установить соответствия
(рис. 7.2, 7.3, 7.4, 7.5):
X
1
a
Y
X
2
b
3
c
4
1
a
Y
X
b
1
a
2
3
c
4
Рис.7.4
7.4
Рисунок
Y
2
b
3
c
4
Рис.
7.3 7.3
Рисунок
Рис.7.2
7.2
Рисунок
X
Y
2
b
3
c
1
a
4
Рис.
7.5 7.5
Рисунок
На рис. 7.3 и 7.4 каждому элементу из множества
X соответствует только один элемент из множества
Y. Это функции. На рис. 7.2 и 7.5 такого соответствия
нет.
Функция
–
это
соответствие
между
множествами X и Y, при котором каждому элементу
из множества X соответствует только один элемент
из множества Y.
Функцию можно записать формулой y = f(x),
которую читают «игрек равен эф от икс».
х – это аргумент, у – это функция.
Рисунок 7.6
Способы задания функций
Есть 3 способа задания функций: аналитический,
графический.
1. Аналитический способ: функцию задают формулой.
150
табличный
и
Пример: y=x2.
2. Табличный способ: функцию задают таблицей.
Пример.
x = n -2 -1 0 1 2
y = n2 4 1 0 1 4
3. Графический способ: функцию задают графиком функции y=f(x) в
системе координат хОу (рис. 7.6).
Область определения функции D(f) – это множество значений аргумента
х, для которых функция существует (имеет смысл).
Пример. 1) y = x2 + 5, D(f) = (– ∞; +∞).
2) y x , D(f) = [0; +∞).
Множество значений функции E(f) – это множество значений у, которые
соответствуют множеству аргументов из области определения D(f).
Пример.1) y = x2, E(f) = [0; +∞).
4
2) y
, E(f) = (– ∞; 0)(0; +∞).
x 3
Слова и словосочетания: фу́нкция, соотве́тствовать (чему?),
соотве́тствие, установи́ть соотве́тствие, аналити́ческий спо́соб, табли́чный
спо́соб, графи́ческий спо́соб, гра́фик, систе́ма координа́т, о́бласть определе́ния
фу́нкции, мно́жество значе́ний фу́нкции.
УПРАЖНЕНИЯ
1.
Найдите значения функций f(x):
А. 1) если f (x) 2x 2 3x 1 при х = 0; 3; – 3. 2) если f (x) x 2 5x 4
при х = 0; 1; (m+1).
2x
Б. 1) если f (x)
при х = 0; 3; – 3; 2; – 2.
1 x
1 1
1
2) Докажите, что f (a) f , если f (x) x 2 x
.
x x2
a
1
В. 1) при x 1 ; 1; 0; ; 3; 5, если функция задана таблицей:
3
x 4 2 1 0 1 2 3 4
y 17 5
2 1 2 5 10 17
Задайте эту функцию аналитически.
151
x 6, если x 2,
2) если f (x) 4 x 2 , если 2 x 2, при х = – 3; – 2; 0; 2; 5; 8; 2,75.
x 2, если 2 x ;
2.
Найдите область определения функции, заданной формулой:
x
1
1
А. 1) y
; 2) y
; 3) y
; 4) y 6 .
2
x 1
x2
x
1
1
x
x
Б. 1) y
; 2) y 2
; 3) y ; 4) y
.
2
2
x x 1
x
x 1 x
x 8 x 3
В. 1) y x ; 2) y x ; 3) y
1
2
x2
; 4) y
2
.
x
x 2
3. Формула y 5x 6 задает некоторую функцию. Найдите значение
функции, если аргумент равен – 1,2; 2,8. При каком значении аргумента
значение функции равно 6; 8; 100?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется функцией?
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое множество значений функции?
4. Какие способы задания функции вы знаете?
§ 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
1. Монотонность функции
Функция y = f(x) возрастает на интервале
х1, х 2 а; b x 2 x1 f x 2 f x1 .
Функция y = f(x) убывает на интервале
х1, х 2 а; b x 2 x1 f x 2 f x1 .
а; b ,
а; b ,
если для любых
если для любых
Монотонная функция – это функция, которая только возрастает или
только убывает на данном интервале.
Пример. Функция y x 2 монотонно убывает при x (; 0) и монотонно
возрастает при x (0; ) (рис. 7.7).
152
2. Четность и нечетность функции
Функция y = f(x) называется четной, если
f -x f x для всех x D f и x D f .
График
четной
функции
симметричен
относительно оси Oy, например график функции y=x 2
(рис.7.7).
Функция y = f(x) называется нечетной, если
f -x f x для всех x D f и x D f .
График
нечетной
функции
симметричен
относительно начала координат, например график
функции y = x3 (рис. 7.8).
Рисунок 7.7
Функция общего вида – это функция, которая не является ни четной, ни
нечетной.
3. Интервалы знакопостоянства
Интервалы знакопостоянства – это интервалы,
на которых функция остается только положительной
или только отрицательной.
Пример. Функция y x 3 (рис. 7.8) отрицательна
при x (; 0) и положительна при x (0; ) .
4.
Точки пересечения с осями
координат
1)
Точка с координатами (х; 0) – это
точка пересечения с осью Ох.
2)
Точка с координатами (0; у) – это
точка пересечения с осью Оу.
Нули функции – это корни уравнения
f(x) = 0.
5.
Асимптоты
Асимптота – это прямая, к которой график
функции неограниченно приближается, но не
пересекает (рис. 7.9).
Рисунок 7.8
y
горизонтальная
асимптота
x
О
Слова и словосочетания: моното́нность,
моното́нная
фу́нкция;
возраста́ть
(где?),
возраста́ющая;
убыва́ть
(где?),
убыва́ющая;
153
вертикальн ая
асимптота
Рисунок 7.9
че́тность, нече́тность, че́тная фу́нкция, нече́тная фу́нкция, фу́нкция о́бщего
ви́да;
симметри́чный,
симметри́чен
относи́тельно
оси́;
интерва́лы
знакопостоя́нства; ко́рни фу́нкции; прибли́зить, приближа́ть (что? к чему?),
асимпто́та.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Докажите, что функция f x 3x 2 , где х ≥ 0, возрастает.
Решение.
x 2 x1 0 .
Пусть
3 x 22 x12 3 x 2 x1 x 2 x1 0 .
f x 2 f x1 3x 22 3x12
Тогда
Значит,
f x 2 f x1
при
x 2 x1 .
Следовательно, функция f x 3x 2 возрастает на интервале 0, ) .
1
2. Определите четность или нечетность функции: 1) y x ;
x
2
2
2) y x 3 x 3 ; 3) y x 2 x 3 .
1
Решение. 1) Дана функция y x , D(y) = (, 0) (0, ) . Найдем
x
1
1
1
y -x : y x x
x x . Получили, что f x f x
x
x
x
Это нечетная функция. График ее симметричен относительно начала
координат.
2) Дана функция y x 3 x 3 , D(y)=R. Найдем y x :
2
2
y x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 y x
2
2
2
2
2
2
Получили, что f x f x . Это четная функция. График ее симметричен
относительно оси Оу.
3) Дана функция y x 2 x 3 , D(y) = R. Найдем y x :
y x x x 3 x 2 x 3 y x . Это функция общего вида.
2
УПРАЖНЕНИЯ
1. 1) Докажите, что функция f (x) 3x 2 , где x 0 ,
2) Докажите, что функция f x 0,5x 5 убывает, где x R .
2. Определите четность или нечетность функции:
убывает.
А. 1) y x 4 ; 2) y x 5 ; 3) y 2x 2 ; 4) y x 7 2х 3 .
Б. 1)
yx х ;
2)
y x 3 x 3 ;
3
4) y 0,5x3 5x 2 .
154
3
3)
y 9 x2 ;
В. 1) y
x
x2 4
x 3
2) y
;
x 1
;
5) y 3 x 12 3 x 12 ;
3 2
3) y x ;
6) y 2x 2 , где х≥0;
4) y
x x3
1 x2
;
7) y x 5 , где х≥0.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется: а) возрастающей; б) убывающей?
2. Какая функция называется: а) четной; б) нечетной?
3. Как расположены графики: а) четной функции; б) нечетной функции;
в) функции общего вида?
4. Что такое интервалы знакопостоянства?
5. Что такое корни функции?
§ 3. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Линейная функция – это функция вида y kx b , где kR и bR .
График линейной функции – прямая линия. Для построения графика
b
достаточно двух точек, например А(0, b) и B , 0 (рис. 7.10).
k
k – это угловой коэффициент.
k tg , где – это угол, который образует прямая y = kx + b с
положительным направлением оси Ох.
Если k > 0, то угол острый; если k < 0, то
угол тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси
Ох.
Свойства функции y kx b .
Df R .
1)
E f R .
2)
3)
Точки пересечения с осями
b
координат: (0; b) и ; 0 .
k
4)
Если k > 0, то функция монотонно
возрастает; если k < 0, то функция
монотонно убывает.
5)
Если k > 0, то функция
b
х ;
положительна
при
и
k
155
Рисунок 7.10
b
отрицательна при х ; ; если k < 0, то функция положительна
k
b
b
при х ; и отрицательна при х ; .
k
k
6)
Если b 0 , то это функция общего вида.
7)
Асимптот нет.
Пусть даны две функции y k1x b1 и
y k 2 x b 2 , то
если k1 k 2 , но b1 b 2 , то
прямые параллельны (графики функций
y 2x 1, y 2x 2 на рис. 7.11);
если k1 k 2 1 , то прямые
перпендикулярны
(графики
функций
y 2x 1 и y 0,5x 1 , y 2x 2 и
y 0,5x 1 на рис. 7.11).
Рисунок 7.11
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность – это функция вида y = kx, где kR.
Прямая пропорциональность – это частный случай линейной функции.
График – прямая, которая проходит через начало координат.
На рис. 7.12 показаны графики функций:
1
у х , у 2х , у х .
2
Свойства функции y kx .
Df R
1)
E f R
2)
3)
Точка пересечения с осями
координат: (0, 0).
4)
Если k 0 , то функция
монотонно возрастает; если k 0 , то
функция монотонно убывает.
5)
Если k 0 , то функция
положительна
х 0;
при
и отрицательна при
х ; 0 ;
156
Рисунок 7.12
если k 0 , то функция положительна при х ; 0 и отрицательна при
х 0; .
6)
Функция нечетная, т.к. k x kx . График симметричен
относительно начала координат.
7)
Асимптот нет.
Слова и словосочетания: лине́йная фу́нкция, углово́й коэффицие́нт,
пряма́я пропорциона́льность, ча́стный слу́чай≠о́бщий слу́чай.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте график функции:
1) у = 2х;
2)
3)
4)
5)
1
6) у х 7 ;
2
2
7) у х 5 .
3
у = – 2,5х;
y = х – 1;
y = 2х + 3;
y = 0,5х – 2;
8 3х
данные точки: (2; 7);
2
2 1
1
(2; 8); (3; 9); ; 5 ; ; 4,5 ; (– 2; 1); ; 5 ; (– 2; – 7); (– 5; – 3,5)?
3 3
2
3. Найдите значение k, если:
1) график функции у = kx + 2 проходит через точку P (– 7; – 12);
2) график функции у = kx + 6 проходит через точку M (3; 0,5);
3) график функции у = kx – 2 проходит через точку A (1; 2);
4) график функции у = kx + 3 проходит через точку B (– 2: 6).
4. Найдите значение b, если:
1) график функции у = 3x + b проходит через точку А (1; 4);
2) график функции у = – 1,5x + b проходит через точку B (– 2; 9);
1
3) график функции у = – 2,6x + b проходит через точку С 1; ;
2
5
4) график функции у = 6x + b проходит через точку D 0; .
4
5. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямой: 1) у = 2х – 3;
2) у = 0,5х + 4;
3) у = 2х + 0,8;
4) у = 2,5х – 5;
5) у = 1,2х + 6 и
отрезками осей координат.
6. Решите графически систему уравнений:
х у 7,
у 2х 2,
1)
6)
х у 3;
2х у 10;
2. Принадлежат ли графику функции у
157
2)
3)
4)
5)
у 3х 9,
1
у х 2;
2
у 2х 14,
2
у
х 2;
3
у 5 4х,
2х у 7;
2х у 6,
3х 5у 2;
7)
8)
9)
3х 5у 15,
2х 3у 10;
х у
4 1,
3 х у 3;
4
у 2х 14,
у 1,5х 12.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется линейной?
2. Как называется график линейной функции?
3. Назовите свойства линейной функции.
4. Что обозначает угловой коэффициент?
5. Какая функция называется прямой пропорциональной зависимостью?
6. Назовите свойства прямой пропорциональной зависимости.
7. Какое взаимное положение имеют графики функций:
1) у = 2х – 7 и у = 2х + 3;
6) у = 2,5х – 8 и у = 2,5х + 4;
2) у = 0,5х + 1 и у = – 0,5х – 2;
2
7)
у
=
–
0,75х
+
4
и
у
х 2;
3) у = 4х + 2 и у = – 0,25х + 1;
3
4) у = 0,5х + 3 и у = – 2х +1;
2
2
8) у х 2 и у х 2 .
5) у = 2х + 3 и у = – 2х – 3;
3
3
§ 4. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Если известен график функции y = f(x), то можно построить графики более
сложных функций.
y
1. График функции y = − f(x)
Чтобы построить график функции y = − f(x),
нужно построить график функции y = f(x) и
отобразить его симметрично относительно оси Ox
(рис. 7.13).
Этот способ построения графиков называется
«осевая симметрия».
y=f(x)
y=-f(x)
Рисунок 7.13
158
x
О
2. График функции y = f(− x)
Чтобы
построить
график
функции
y = f(− x), нужно построить график функции
y = f(x) и отобразить его симметрично
относительно оси Oу (рис. 7.14).
Этот способ построения графиков тоже
называется «осевая симметрия».
y
y=f(x)
y=f(-x)
О
x
3. График функции y = аf(x)
Рисунок 7.14
Чтобы построить график функции y = аf(x),
нужно построить график функции y = f(x) (рис. 7.15 а) и ординаты (координаты
у) этого графика умножить на число а
При этом происходит «деформация» графика:
− если |а| > 1, то эту деформацию называют растяжением (рис. 7.15 б);
− если |а| < 1, то эту деформацию называют сжатием (рис. 7.15 в).
а
б
Рисунок 7.15
в
4. График функции y = f(bx)
Чтобы построить график функции y = f(bx), нужно построить график
функции y = f(x) (рис. 7.16 а) и абсциссы (координаты х) этого графика
разделить на число а (рис. 7.16 б, 7.16 в).
а
б
Рисунок 7.16
в
5. График функции y = f(x) + n
Чтобы построить график функции y = f(x) + n, нужно построить график
функции y = f(x) (рис. 7.17 а) и сдвинуть его по оси Оу на |n| единиц вверх, если
n > 0, или вниз, если n < 0 (рис. 7.17 б).
Этот способ построения графиков называется «параллельный перенос».
159
а
б
Рисунок 7.17
6. График функции y = f(x + m)
Чтобы построить график функции y = f(x + m), нужно построить график
функции y = f(x) (рис. 7.18 а) и сдвинуть его по оси Оx на |m| единиц влево,
если m > 0 (рис. 7.18 б), или вправо, если m < 0 (рис. 7.18 в).
Этот способ построения графиков тоже называется «параллельный
перенос».
а
б
Рисунок 7.18
в
7. График функции y = |f(x)|
Чтобы построить график функции y = |f(x)|,
нужно построить график функции y = f(x). Участки,
которые лежат выше оси Ох, остаются без
изменения. Участки, которые лежат ниже оси Ох,
нужно отобразить симметрично относительно оси
Ох (рис. 7.19).
8. График функции y = f(|x|)
Чтобы построить график функции y = f(|x|),
нужно построить график функции y = f(x) при x 0.
Затем эту часть графика отобразить симметрично
относительно оси Оу (рис. 7.20).
Слова
и
словосочетания:
отобрази́ть,
отобража́ть (что? где?), осева́я симме́трия,
симметри́чный, перенести́, переноси́ть (что? куда?),
паралле́льный перено́с, деформа́ция, сжа́тие,
растяже́ние, сдвига́ть.
160
Рисунок 7.19
Рисунок 7.20
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Постройте график функции у 2х 1 3 .
1) Построим график у = 2х (рис. 7.21 а).
2) Сдвинем этот график на 1 единицу
вверх по оси Оу (рис. 7.21 б).
3)
Участки, которые лежат выше оси
Ох, останутся без изменения. Участки, которые
лежат ниже оси Ох, отобразим симметрично
относительно оси Ох (рис. 7.21 в).
4) Этот график сдвинем вниз на 3
единицы по оси Оу (рис. 7.21 г).
Это будет график функции у 2х 1 3 .
б
в
Рисунок 7.21
а
г
2. Постройте график функции у х 1 х 3 .
По определению модуля:
х 3,
х 3,
а)
у (х 1) (х 3); у 4.
Построим график функции у 4 при х 3
(рис. 7.22 а).
1 х 3,
1 х 3,
б)
у (х 1) (х 3); у 2x 2.
а
Построим график функции у 2x 2 при
Рисунок 7.22
1 х 3 (рис. 7.22 б).
а
х 1,
х 1,
в)
у (х 1) (х 3); у 4.
Построим график функции у 4 при х 1 (рис. 7.22 в).
График функции у х 1 х 3 построен на рис. 7.22 г.
161
б
в
Рисунок 7.22, лист 2
г
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте график функции:
А. 1) y x 2 ; 2) y x 2 ; 3)
5) y 3x 1 2 ; 6) y 3x 1 5 .
y x 2 4 ; 4)
y 5 x 1;
Б. 1) y x 6 ; 2) y x 1 x 2 ; 3) y x 1 x ; 4) y 2 x 2 x 1 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как построить график функции y = – f(x)?
2. Как построить график функции y = f(– x)?
3. Как построить график функции y = аf(x)?
4. Как построить график функции y = f(bx)?
5. Как построить график функции y = f(x) + n?
6. Как построить график функции y = f(x + m)?
7. Как построить график функции y = |f(x)|?
8. Как построить график функции y = f(|x|)?
§ 5. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Обратная пропорциональность – это функция вида y
k – это коэффициент обратной пропорциональности.
k
, где k 0 ,
x
1
На рисунке 7.23 показаны графики функций: у .
х
Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Гипербола –
это кривая, которая состоит из двух ветвей. Ветви симметричны относительно
начала координат.
162
Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и
III координатных четвертях; если k<0, то во II и IV
координатных четвертях (рис. 7.23).
Свойства функции y
k
.
x
1) D f : x 0 .
2) E f : y 0 .
3) Точек пересечения с осями координат нет.
4) Если k>0, то функция убывает; если k<0, то
Рисунок 7.23
функция возрастает.
5) Если k>0, то функция положительна при x 0; и отрицательна при
ax b
; если k<0, то функция положительна при x ;0 и отрицательна
y
cx d
при x 0; .
k
k
6) Функция нечетная, т. к. f x)
f x . График симметричен
x
x
относительно начала координат.
7) Вертикальная асимптота х 0 и горизонтальная асимптота y 0 .
Слова и словосочетания: обра́тная пропорциона́льность, гипе́рбола,
крива́я, ветвь, ве́тви гипе́рболы, че́тверть (ж. р.), координа́тные че́тверти.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте графики функций в одной системе координат: у
1
1
, у ,
х
х
2
1
, у
. Как изменяется каждая из этих функций в зависимости от
х
2х
коэффициента k?
2. Решите графически систему уравнений:
ху 12,
ху 1
1)
4)
х 2у 2;
х у 0;
k
х у 0,
5) y
2)
x
ху 12;
ху 10,
ху 6,
6)
3)
2х у 6.
х у 0;
у
163
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?
2. Как называется кривая, которая является графиком функции
k
y k 0 ? Как расположены ее ветви?
x
3. В каких координатных четвертях расположен график функции:
6
bc ad
а) y ; б) k
?
x
c2
4. Может ли гипербола пересекаться с осями координат? Почему?
5. Назовите свойства обратной пропорциональности.
§ 6. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Дробно-линейная функция – это функция вида
a,b,c,d R, c 0, ad bc .
y
ax b
, где
cx d
ax b
cx d
bc ad
d d
d
ad
d
ad
ax b ax b ax
b
c c
c
c
c
c a c2 .
d
d
d
d
d c
x
c x
c x
c x c x
c
c
c
c
c
bc ad
d
a
Пусть k
, m , n , тогда дробно-линейную функцию можно
c
c
c2
k
привести к виду y n
.
xm
k
График функции
можно
yn
xm
k
получить, если сдвинуть гиперболу y на m
x
единиц по оси Ох и на n единиц по оси Оу.
Направление сдвига зависит от знаков m и n (рис.
7.24).
k
При этом сдвиге асимптоты гиперболы y
Рисунок 7.24
x
Для построения графика выделим целую часть: y
164
(у
=
0
и
х
=
0)
перейдут
в
прямые
y
=
n
a
y
c
и
d
x = – m х .
c
Свойства функции y
ax b
.
cx d
d
1) D f : x .
c
a
2) E f : y .
c
b b
3) Точки пересечения с осями координат 0; и ; 0 .
d a
bc ad
4) Функция возрастает, если k < 0 k
, и убывает, если k > 0.
c2
5) Интервалы знакопостоянства зависят от точек пересечения с осями
координат и от знака k.
k
6) Функция общего вида, если она не имеет вид y .
x
d
a
7) Вертикальная асимптота х и горизонтальная асимптота y .
c
c
График дробно-линейной функции – гипербола.
k
Обратная пропорциональность y
− это частный случай дробно–
x
линейной функции.
Слова и словосочетания: дро́бно-лине́йная фу́нкция.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Постройте
график
функции
y
2x 3
x2
и
напишите ее свойства.
Решение.
Выделим
целую
часть:
2x 3 2x 4 1
1
y
2
.
x2
x2
x2
1
Построим график функции y . Сдвинем его на 2
x
единицы вправо по оси Ох и на 2 единицы вверх по
оси Оу (рис. 7.25).
165
Рисунок 7.25
Свойства функции y
2x 3
:
x2
1) D f : x 2 .
2) E f : y 2 .
3) Точки пересечения с осями координат
0;1,5 и 1,5; 0 .
4) Функция убывает на всей области
определения.
5) Функция
положительна
при
x ;1,5 2; ,
функция
отрицательна при x 1,5; 2 .
6) Функция общего вида.
7) Вертикальная
асимптота
и
х2
горизонтальная асимптота y 2 .
Рис. 7.26
2x 3
.
x2
2x 3
Решение. График функции y
построили в упражнении 1. Для того,
x2
2x 3
чтобы построить график функции y
, нужно часть графика функции
x2
2x 3
, которая лежит ниже оси Ох, отобразить симметрично относительно
y
x2
оси Ох (рис. 7.26).
2. Постройте график функции y
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте графики функций:
1
1
1
1
1
А. 1) у
; 2) у
; 3) у
; 4) у 6 ; 5) у 1 ;
х2
х2
2х
х
х
2
6) у 3 .
х
х5
2х 3
2х 1
2х 5
х3
Б. 1) у
; 2) у
; 3) у
; 4) у
; 5) у
;
х 1
х 1
х 1
х2
х 1
3х 12
6) у
.
х 3
2
4
8
6
8
В. 1) у ; 2) у
; 3) у
; 4) у
; 5) у
;
х 1
х2
2 х
х 1
х
6) у
1
2.
х
166
Г. 1) у
5) у
2) у
х 1
;
х 1
3) у
х2
х 2 5х 6
;
2) у
х 2 5х 6
х3
4) у
6
4 ;
х 5
;
3) у
х2
х 2 6х 8
;
2х 2 5х 2
2х 1
.
2. Напишите свойства функций: 1) у
4) у
х4
;
х2
2
1
.
х 1 2
Д. 1) у
4) у
2х 3
;
х 1
х5
.
х 1
1
1
1
; 2) у 6 ; 3) у 1 ;
х2
х
х
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется дробно-линейной функцией?
2. Как называется график дробно– линейной функции?
3. Назовите свойства дробно-линейной функции.
ax b
k
4. Как преобразовать функцию y
к виду y n
с помощью
cx d
xm
выделения целой части?
§ 7. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Квадратичная функция – это функция вида
у ax 2 bx c , где a, b, c R , a 0 .
На рисунке 7.27 показаны графики функций:
1
y x 2 , y 2x 2 , y x 2 , y x 2 .
2
График квадратичной функции – это парабола.
Парабола – это кривая, которая состоит из двух ветвей и
вершины. Ветви симметричны относительно оси Оу.
Если а>0, то ветви параболы направлены вверх и
вершина – это минимум (min) функции. Если а<0, то
ветви параболы направлены вниз и вершина это
максимум (max) функции (рис. 7.27).
167
Рисунок 7.27
Для построения графика функции у ax 2 bx c выделим полный
2 bx b 2
b2
2 bx
у ax bx c a x
квадрат:
c
c a x
2
2
a
a
4a
4a
2
2
bx b2 b2
b
b2
b
b2
2
a x
c
2 c a x 2 c a x
2
a
2a
2a
4a
4a 4a
4a
2
2
b
4ac b2
ax
.
2a
4a
b
4ac b 2
Пусть k , p
, тогда квадратичную функцию можно привести
2a
4a
к виду y a x k p .
2
График функции
y a x k p
2
можно получить, если сдвинуть
параболу y ax 2 на k единиц по оси Ох и на p единиц по оси Оу.
Направление сдвига зависит от знаков k и p.
Координаты вершины параболы можно определить по формулам
b
4ac b2
. Точка с координатами k; p есть вершина
х 0 , y0 y x 0
2a
4a
параболы.
Для более точного построения графика квадратичной функции нужно
найти точки пересечения с осями координат: с осью Ох x1; 0 и x 2 ; 0 , где
x1 и x 2 корни уравнения ax 2 bx c 0 ; с осью Оу – (0; с).
Свойства функции y x 2 .
1) D f : x R .
2) E f : y 0; .
3) Точка пересечения с осями координат (0; 0).
4) ymin 0 при х = 0.
5) Функция убывает, если x ; 0 , функция возрастает, если x 0;
.
6) Функция положительна при x ; 0 0; .
7) Функция четная, т. к. f x) x x 2 f x . График симметричен
относительно оси Оу.
8) Асимптот нет.
2
Слова и словосочетания: квадрати́чная фу́нкция, пара́бола, верши́на,
по́лный квадра́т, ма́ксимум, ми́нимум.
168
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Постройте график функции y 2x 2 8x 1 и напишите ее свойства.
Решение. Выделим полный квадрат: y 2x 2 8x 1 2 x 2 4x 1
= 2 x 2 4x 4 4 1 2 x 2 4 1 2 x 2 9 .
2
2
Построим график функции y 2x 2 . Сдвинем его на 2 единицы вправо по
оси Ох и на 9 единиц вниз по оси Оу (рис. 7.28).
График функции y 2x 2 8x 1 это парабола с вершиной в точке (2;– 9).
Свойства функции y 2x 2 8x 1 :
1) D f : x R .
2) E f : y 9; .
3) Точки пересечения с осями координат: ось Ох
18
18
2
;
0
2
; 0 ; ось Оу – (0; – 1).
и
2
2
4) y min 9 при х=2.
5) Функция убывает при x ; 2 ,
возрастает при x 2; .
6) Функция положительна при
18
18
x ; 2
; ;
2
2
2
функция
18
18
;2
функция отрицательна при x 2
.
2
2
7) Функция общего вида, т. к.
f x) 2 x 8 x 1 x 2 8x 1 f x .
8) Асимптот нет.
2
Рисунок 7.28
УПРАЖНЕНИЯ
1. Постройте графики функций в одной системе координат: y x 2 ;
1
1
y 3x 2 ; y x 2 ; y x 2 ; y 3x 2 ; y x 2 . Как изменяется каждая из этих
3
3
функций в зависимости от коэффициента а?
2. Постройте графики функций:
169
А. 1) y x 2 2 ;
2) y x 2 ;
2
3) y x 1 3 ;
2
4) y x 2 5x 6 ;
5) y x 2 2x 35 ; 6)
y x 2 4x ; 7) y x 2 2x 8 ; 8) y 2x 2 4x 6 ;
1
9) y x 2 16x 13 ; 10) y x 2 4x 6 .
2
Б. 1) y x 2 9 ; 2) y 4 x 2 ; 3) y x 2 3 1 ; 4) y x 2 5 x .
В.
y 4x x 2 3 ;
1)
2)
y x 2 2x 3 ;
3)
y x2 5 x 6 ;
4) y x 2 x 4 .
3.
Напишите свойства функций: 1)
y 2x 2 ;
2) y x 2 ;
2
3) y x 1 3 .
2
4. Вершина параболы у ax 2 bx c имеет координаты х = 6, у = –12.
Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точке (8; 0).
Найдите a, b, c.
5. Вершина параболы у ax 2 bx c имеет координаты х = –2, у = 7.
Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Оу в точке (0; 15).
Найдите a, b, c.
6. Решите графически систему уравнений:
х 2 у 4,
х 2 у 4,
ху 8,
1)
5)
3)
2
2
у 6 1;
у х ;
х у 10;
у х 2 3х 10,
х 2 у 8,
х 2 у 2х 1,
2)
6)
4)
х у 1;
у
х
1;
х 0,25у2 5.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется квадратичной?
2. Как называется график квадратичной функции?
3. По каким формулам можно найти координаты вершины параболы?
4. Назовите свойства функции y x 2 .
5. Как влияет коэффициент а на растяжение функции y ax 2 ?
6. Как преобразовать функцию у ax 2 bx c к виду y a x k p ?
2
7. При каком
квадратичной?
условии
функция
170
у a 3 x 2 2x
не
является
§ 8. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенная функция – это функция вида y ax n , аR, nN.
Рассмотрим степенную функцию для различных значений n.
1. Если n 1, то y ax .
Это прямая пропорциональность. Ее свойства описаны в § 3.
2. Если n 2k , k N , то y ax 2k .
На рисунке 7.29 показаны графики функций y x 2 , y x 4 . Графики этих
функций – парабола. Свойства этих функций аналогичны свойствам
квадратичной функции (§ 7).
Рисунок 7.29
3. Если n 2k 1, k N , то y ax 2k 1 .
На рисунке 7.30 показаны графики функций y x 3 ,
y x 5 . Графики этих функций – кубическая парабола.
Свойства функции y ax 2k 1 , kN.
1) D f : x R .
2) E f : y R .
3) Точка пересечения с осями координат (0; 0).
4) Если а>0, то функция возрастает; если а<0, то
функция убывает.
5) Если а>0, то функция положительна при x 0;
и отрицательна при x ;0 ; если а<0, то функция
171
Рисунок 7.30
положительна при x ;0 и отрицательна
при x 0; .
6) Функция нечетная, т. к.
2k 1
f x) а х
ax 2k 1 f x .
График симметричен относительно начала координат.
7) Асимптот нет.
Слова и словосочетания: степенна́я фу́нкция, куби́ческая пара́бола.
УПРАЖНЕНИЯ
Постройте графики функций: 1) y x 3 +1; 2) y x 1 ;
4
3) y x 2 2 ; 4) y x 2 .
3
3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется степенной?
2. Какие свойства имеет степенная функция, если n = 1?
3. Какие свойства имеет степенная функция, если n = 2k, kN?
4. Какие свойства имеет степенная функция, если n = 2k + 1, kN?
172
РАЗДЕЛ 8. НЕРАВЕНСТВА
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенство это выражение, у которого между левой и правой частями
может стоять знак > (больше), или < (меньше), или (больше или равно), или
(меньше или равно).
Пример. 6 2 ; a b ; 2 10 ; 2x 3 30 это неравенства.
Виды неравенств
Если неравенство содержит (имеет) знаки > или <, то это строгое
неравенство.
Если неравенство содержит знаки или , то это нестрогое неравенство.
Если неравенство содержит два знака > или <, то это двойное неравенство
( a b c или a b c ).
Пример. 16 5 2 .
Два неравенства, которые содержат одинаковые знаки, называются
неравенствами одинакового знака.
Пример. 6 2 и 5 1 это неравенства одинакового знака.
c d и –10<3 это тоже неравенства одинакового знака.
Два неравенства, которые содержат разные знаки, называются
неравенствами противоположного знака (знака).
Пример. 6 2 и –10<3 это неравенства противоположного знака.
Числовое неравенство это неравенство, которое в левой и правой части
содержит только действительные числа.
Действительные числа можно показать (изобразить) на числовой оси. Если
два числа а и b изображены точками на числовой оси и точка, которая
соответствует числу «а», лежит справа от точки, которая соответствует числу
«b», то a b (рис. 8.1).
Пусть а и b числа, а R, b R, тогда:
x
a b , если a b 0 ;
b
a
a b , если a b положительное число;
Рис. 8.1
Рисунок
8.1
a b , если a b отрицательное число.
Свойства числовых неравенств
Пусть а R, b R, с R.
1. Если a b , то b a .
2. Если a b и b c , то a c .
3. Если к обеим частям неравенства прибавить одинаковое число, то знак
неравенства не изменится.
173
Если a b , то a c b c .
Следствие. Член неравенства можно перенести из одной части в другую с
противоположным знаком.
Если a c b , то a b c .
4. Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное
число, то знак неравенства не изменится.
a b
Если a b и c 0 , то ac bc и .
c c
5. Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное
число, то знак неравенства изменится на противоположный.
a b
Если a b и c 0 , то ac bc и .
c c
1 1
6. Если a b 0 , то .
a b
Действия над числовыми неравенствами
1. Сложение неравенств
Два неравенства одинакового знака можно почленно сложить. Получим
неравенство того же знака:
am
ab
bn .
cd
или
acbd
abmn
2. Вычитание неравенств
Два неравенства противоположного знака можно почленно вычитать.
Получим неравенство, которое имеет знак первого неравенства:
ab
am
cd
bn .
или
a cbd
abmn
3. Умножение неравенств
Два неравенства одинакового знака с положительными членами можно
почленно умножать. Получим неравенство того же знака.
Если a b , c d и b 0 , d 0 , то ac bd .
4. Деление неравенств
Два неравенства противоположного знака с положительными членами
можно почленно делить. Получим неравенство, которое имеет знак первого
неравенства.
a b
Если a b и c d , b 0 , c 0 , то .
c d
174
5. Возведение неравенства в степень
Обе части неравенства с положительными членами можно возвести в
степень n, n N. Получим неравенство того же знака.
Если a b , b 0 и n N, то a n bn .
6. Извлечение корня из неравенства
Из обеих частей неравенства с положительными членами можно извлечь
корень степени n, n N. Получим неравенство того же знака.
Если a b , b 0 , n N, то n a n b .
Слова и словосочетания: нера́венство, стро́гое нера́венство, нестро́гое
нера́венство, нера́венства одина́кового зна́ка, нера́венства противополо́жного
зна́ка, изменя́ть (не изменя́ть) знак нера́венства, изменя́ть знак нера́венства на
противополо́жный; почле́нно умно́жить, почле́нно раздели́ть, возвести́
нера́венство в сте́пень, извле́чь ко́рень из нера́венства; сравни́ть–сра́внивать
(что? с чем?); дать–дава́ть (что?), да́нный (какой?).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Докажите, что если 4a 2b 3a b , то a b .
Д о к а за те ль с т во . Найдем разность левой и правой частей этого
(данного) неравенства.
4a 2b 3a b a b 0 , поэтому a b .
2. Выполните сложение неравенств 5 > – 8 и 8 > 5.
5 8
85
Решение.
5 8 8 5, 13 3.
3. Выполните умножение неравенств 14 > 6 и 2 > 1.
14 6
2 1
Решение.
14 2 6 1, 28 6.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть a b . Сравните числа:
А. 1) а + х и b + x; 2) а – 5 и b – 5; 3) a a 2 и b b2 ; 4) a x 2 и b x 2 .
2
2
Б. 1) 2 a 4 и 2 b 4 ; 2) a 5,2 и b 5,2 .
3
3
2. Умножьте обе части неравенства на данное число:
А. 1) 3,25 < 4 на 3; 2) 3,4 > 2,3 на 4; 3) 2а > 1 на 0,5; 4) – 3 < 2 на 2;
5) – 3 < 2 на – 2; 6) – 13 < – 7,5 на – 3.
175
2 5
1
2
Б. 1) 1 на – 12; 2) 2 1 на – 6; 3) – 4а < – 3 на – 0,25;
3 6
3
3
4) 3x y на x 2 3 .
3. Докажите, что:
В. 1) если x x 2 x 2 x 3 , то x 6 ;
2) если x x 6 x 1 x 4 , то x 4 ;
3) если x 3 x x 5 , то x 9 ;
2
4) если x x 3 x 2 , то x 4 .
2
4. Разделите обе части неравенства на данное число:
А. 1) 2 3 на 3; 2) 25 30 на – 5; 3) 3,9 2,7 на 3 ;
4) 20 12 на 4 .
2x
1
2
Б. 1) 3x 9a 15b на 3; 2) 5x 10a 5b на – 5; 3)
на ;
3
4
3
1
4) 0,75x на 0,75 .
3
В. 1) a 3 2a 2a 2 4 на a 2 2 ;
2) a 3 a 2a 2 2 на a 2 1.
5. Выполните сложение неравенств:
А. 1) 2 5 и 7 3 ; 2) 2 4 и 3 2 ; 3) 5 3 и 7 4 .
Б. 1) 3a 2 x 1 и 2a a 2 x 2 1 ; 2) 3x y 2a 1 и 3y 2x 14 2a .
В. 1) 2 32 и 22 33 ; 2) 22 32 5 и 22 2 .
6. Выполните умножение неравенств:
А. 1) 2 x и 3 y ; 2) x 1 и y 5 ; 3) 0,7 0,6 и 3,2 2,3 .
Б. 1) a 1 a и a 5 ; 2) b b 2 и 3 b .
В. 1) 2 32 и 22 32 ; 2) 22 32 52 и 22 2 ;
3 7 и
1
1
3) 42 5 и
; 4)
42 25
1
1
.
81 49
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое неравенство?
2. Что такое строгое неравенство?
3. Что такое нестрогое неравенство?
4. Что такое неравенства одного знака?
5. Что такое неравенства противоположного знака?
6. Что такое числовые неравенства?
176
7. Назовите свойства числовых неравенств.
8. Какие действия можно выполнять над числовыми неравенствами?
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Доказать неравенство это значит показать, что оно верное при
определенных значениях переменных, которые это неравенство содержит.
При доказательстве неравенств используют несколько способов.
Способ I. Использование определения понятий «больше» и «меньше»
(т.е. находят разность между левой и правой частями неравенств).
ab
Пример 1. Докажите, что
ab , если a 0 , b 0 .
2
Доказательство. Найдем разность между правой и левой частями
ab
ab2
ab
2
2
ab
Следовательно,
ab .
2
неравенства:
ab
a b
2
2
0.
Способ II. Использование известных неравенств.
a b
Пример 2. Докажите, что 2 , если a 0 , b 0 .
b a
a b
a b
a
b
Доказательство. Так как числа и положительны, то 2
b a
b a
b
a
a b
(пример 1), или 2 .
b a
Способ III. Использование очевидных (явных) неравенств.
Пример 3. Докажите, что ab ac bc 3abc , если a, b, с целые
положительные числа.
Доказательство. Так как а N, b N, с N, то неравенства ab abc ,
bc abc , ac abc очевидны. Сложим их почленно и получим ab ac bc 3abc
Слова и словосочетания: доказа́тельство нера́венств, сле́довательно,
очеви́дные нера́венства, очеви́дный = я́вный = легко́ ви́димый.
177
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Докажите неравенство a 2 b 2 c2 3 2 a b c .
Доказательство. Найдем разность между правой и левой частями
неравенства:
a 2 b2 c2 3 2 a b c
a 2 b2 c2 1 1 1 2a 2b 2c
a 1 b 1 c 1 .
2
2
2
Выражение a 1 b 1 c 1 0 , так как сумма неотрицательных
чисел есть число неотрицательное.
2
2
2
Следовательно, a 2 b 2 c2 3 2 a b c .
2. Докажите неравенство: a b c ab bc ac , если а, b, с
неотрицательные числа.
Доказательство. Используем известные неравенства: a b 2 ab ,
b c 2 bc , a c 2 ac . Сложим их: 2a 2b 2c 2 ab 2 bc 2 ac .
Сократим обе части на 2 и получим: a b c ab bc ac .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что при любом значении а верны неравенства:
А. 1) 3 a 1 a 4 2 a 0 ;
3) 7a 1 7a 1 49a 2 ;
2) a 2 a a 4 0 ;
2
Б. 1)
1 a 2 2a ;
2
1
2 при a 0 ;
a
В.1 2a 4 a 2 2a 3 .
2) a
4) a 2 15a 56 a a 15 .
3) 4a 2 1 4a ;
4) a 2 2a 1 .
2. Докажите неравенства:
1) a b4 a 3b ab3 , где a 0 , b 0 ;
4
2) a 4 2a 3b 2ab3 b4 6a 2b2 , где а и b одного знака;
2a
3)
1 , где a 0 ;
1 a2
3
a 3 b3 a b
4)
, где a 0 , b 0 ;
2
2
178
5) a 2 b2 c2 ab ac bc , где а, b, с действительные числа;
6) a 1 b 1 a c b c 16abc , где a 1, b 1 , c 1 ;
7) x 2 2y2 2xy 6y 10 0 ;
8) x 2 5y2 2xy 4y 3 0 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что значит доказать неравенство?
2. Назовите способы доказательства неравенств.
§ 3. НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ, СИСТЕМЫ И
СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
Если неравенство содержит переменную, то можно найти такие значения
переменной, при которых неравенство верное.
Решение неравенства – это значение переменной, которое обращает
неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Решить неравенство − значит найти множество его решений.
Пример. Неравенство x 2 0 верно, если x 2 . Следовательно,
x 2; есть множество решений неравенства x 2 0 .
Множество решений неравенства можно показать на числовой оси (рис.
8.2).
2
Рисунок 8.2
х
Равносильные неравенства с одной переменной – это неравенства, у
которых множества решений совпадают.
Примеры: 1. Неравенства 3х 6 и x 2 0 имеют одинаковые множества
решений x 2; . Эти неравенства – равносильные.
2. Неравенство 3x 6 верно при x 2; . Неравенство
x 2 2 0
верно при x ; 2 2; . Множества решений этих неравенств не
совпадают. Это неравносильные неравенства.
Свойства равносильных неравенств
Пусть P x Q x – неравенство, T x – выражение, которое имеет
смысл при всех действительных значениях х, x R .
1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или
179
одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной,
то получим неравенство, равносильное данному.
Если P x Q x , то P x T x Q x T x .
2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при всех
x R, перенести из одной части в другую с противоположным знаком, то
получим неравенство, равносильное данному.
Если P x T x Q x , то P x Q x T x .
3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное
число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях
переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Если P x Q x и T x 0 , x R , то P x T x Q x T x .
4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное
число или одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях
переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим
неравенство, равносильное данному.
Если P x Q x и T x 0 , x R , то P x T x Q x T x .
Запомните: нельзя умножать неравенство на выражение, знак которого
мы не знаем!
Систему неравенств с одной переменной в общем виде можно записать
так:
f x 0,
g x 0,
...
h x 0.
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, нужно решить
каждое неравенство отдельно и найти пересечение множеств решений всех
неравенств, которые входят в систему.
Решение системы неравенств − это значение переменной, при котором
каждое неравенство системы верно. Решить систему неравенств − это значит
найти множество ее решений.
Совокупность неравенств с одной переменной в общем виде можно
записать так:
180
f x 0,
g x 0,
...
h x 0.
Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, нужно
решить каждое неравенство отдельно и найти объединение множеств решений
всех неравенств, которые входят в совокупность.
Решение совокупности неравенств − это значение переменной, при
котором хотя бы одно из неравенств совокупности верно. Решить совокупность
неравенств − это значит найти множество ее решений.
Слова и словосочетания: нера́венство с переме́нной, равноси́льные
нера́венства; нера́венство, равноси́льное да́нному; измени́ть знак нера́венства
на противополо́жный; систе́ма нера́венств, совоку́пность нера́венств.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется решением неравенства с переменной?
2. Что такое равносильные неравенства?
3. Назовите свойства равносильных неравенств.
4. Почему нельзя умножать неравенство на выражение, знак которого мы
не знаем?
5. Что является решением системы неравенств?
6. Что является решением совокупности неравенств?
§ 4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Линейное неравенство – это неравенство вида ax b 0 (или ax b 0 ).
b
Если a > 0, то неравенство ax b 0 равносильно неравенству x ;
a
b
если a < 0, то неравенство ax b 0 равносильно неравенству x .
a
Пример. Решите неравенство 16 3х 0 .
16
16
Решение. 16 3х 0 3х 16 х х ; .
3
3
Квадратное неравенство или неравенство второй степени это
неравенство вида ax 2 bx c 0 (или ax 2 bx c 0 ), где a 0 .
При решении квадратных неравенств возможны три случая: D > 0, D = 0,
D < 0, где D b2 4ac дискриминант.
181
I.
Если
D b2 4ac 0 ,
то
график
квадратного
трехчлена
f x ax 2 bx c не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при а > 0
(рис.8.3 а) и ниже ее при а < 0 (рис. 8.3 б).
Если а > 0, то ax 2 bx c 0 при х R;
ax 2 bx c 0 при х .
Если а < 0, то ax 2 bx c 0 при х ;
ax 2 bx c 0 при х R.
y
y
a>0
x
O
x
O
a<0
а
б
Рисунок 8.3
Таким образом, если квадратный трехчлен не имеет действительных
корней, то знак трехчлена совпадает со знаком а.
II. Если
D b2 4ac 0 , то график квадратного трехчлена
f x ax 2 bx c пересекает ось Ох в точках x1 и x 2 ( x1 x 2 ), где x1 и x 2 –
корни квадратного уравнения ax 2 bx c 0 . Эти точки разбивают числовую
прямую на три интервала ; x1 , x1; x 2 , x 2 ; .
Если а > 0 (рис. 8.4 а), то ax 2 bx c 0 при x ; x1 x 2 ; ;
ax 2 bx c 0 при x x1; x 2 .
Если а < 0 (рис. 8.4 б), то ax 2 bx c 0 при x x1; x 2 ;
ax 2 bx c 0 при x ; x1 x 2 ; .
y
y
a>0
x1
O
x2
a<0
x
x1
а
O
б
Рисунок 8.4
182
x2
x
III.
Если
D b2 4ac 0 ,
то
график
квадратного
трехчлена
f x ax 2 bx c касается оси Ох в точке x1 , где x1 − единственный корень
квадратного уравнения ax 2 bx c 0 . Точка x1 разбивает числовую прямую
на два интервала ; x1 , x1; .
Если а > 0 (рис. 8.5 а), то ax 2 bx c 0 при x ; x1 x1; ;
ax 2 bx c 0 при х .
Если а < 0 (рис. 8.5 б), то ax 2 bx c 0 при х ;
ax 2 bx c 0 при x ; x1 x1; .
y
y
a>0
a<0
x1
x1 O
x
а
O
x
б
Рисунок 8.5
При решении квадратных неравенств не нужно точно строить параболу.
Нужно найти корни уравнения ax 2 bx c 0 (при D 0 ) и построить схему
графика.
Слова и словосочетания: лине́йное нера́венство, квадра́тное нера́венство,
нера́венство второ́й сте́пени, каса́ться–касну́ться (чего?, где?); разби́ть (что?, на
что?) числову́ю ось, схе́ма гра́фика.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите неравенство x 2 4x 3 0 .
Р е ш е н и е . График функции f x x 2 4x 3 парабола, ветви которой
направлены вверх, так как а 0 . Точки пересечения с осью Ох: x1 1 и x 2 3 .
Построим схему графика (рис. 8.6).
О т ве т: х ;1 3; .
2. Решите неравенство x 2 3x 8 0 .
Р е ш е н и е . График функции f x x 2 3x 8 парабола, ветви которой
направлены вверх. Точек пересечения с осью Ох нет, так как
d 32 4 8 23 0 . Построим схему графика (рис. 8.7).
183
О т ве т: х R .
3. Решите неравенство 3x 2 10x 3 0 .
Р е ш е н и е . График функции f x 3x 2 10x 3 – парабола, ветви
1
которой направлены вниз. Точки пересечения с осью Ох: x1 и x 2 3 .
3
Построим схему графика (рис. 8.8).
1
О т ве т: х ; 3; .
3
y
O 1
y
y
3
x
O
x
O
Рисунок 8.6
Рисунок 8.7
1
3
3
x
Рисунок 8.8
x 2 10x 25 0,
4. Решите систему неравенств
x 5 0.
Р е ш е н и е . Найдем решение первого неравенства: x 2 10x 25 0
x 5 0 , поэтому x ; 5 5; .
x 5 0,
Найдем
решение
второго
неравенства:
x 5; x ; 5 .
Найдем пересечение множеств решений:
; 5 5; ; 5 ; 5 .
2
отсюда
О т ве т: x ; 5 .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
А. 1) x 2 4x 0 ;
4) x 2 4x 0 ;
2) x 2 4x 0 ;
3) x 2 x 0 ;
Б. 1) х 2 х 2 0 ;
2) x x 2 2 0 ;
3) 3x x 2 4 0 ;
5)
6)
4)
5)
6)
x 2 4x 5 0 ;
x 2 4x 5 0 ;
х 2 3х 4 0 ;
3х 2 6х 8 0 ;
2х 2 4х 5 0 ;
184
7) x 2 4x 6 0 ;
8)
9)
x 2 4x 6 0 ;
x 2 4x 4 0 .
x2
7x
7)
;
2
10
10
x 2 2x 3x 10
8)
.
3
3
4
В. 1) x x 1 2 1 2x x 2 ;
2) x x 1 2 1 2x x 2 ;
x2
;
4
7) 2x x 1 3 x 1 ;
6) 6x 2 1 5x
8) 2x x 1 3 x 1 ;
1
3) x 2 2 3x x 2 ;
8
1
4) x 2 2 3x x 2 ;
8
1
5) 6x 2 1 5x x 2 ;
4
9) x 2 9 0 ;
10) 4x 2 12x 9 0 ;
11) x 5 37 x 10 .
2
2. Решите системы неравенств:
3х 18 0,
2х 4 0,
А. 1)
4)
4x 12 0;
4 3x 0;
7х 14 0,
2)
2x 8;
3 2х 0,
3)
4x 8 0;
3х 3 2x 1,
7)
3x 2 4x 2;
2х 5 0,
5)
9x 18 0;
10 2x 0,
6)
4x 8 0;
3 2х х 2 х
15 3 5 ,
Б. 1)
1 3х 5х 1 7х ;
12
3
4
5х 7 3х 11x 7
6 4 12 ,
2)
1 3x 1 4х x 1;
2
3
6
21x 2 39x 6 0,
В. 1)
x 0;
4x 2 5x 6 0,
2)
x 0;
x 2 144 0,
3)
x 3 0;
3. Решите двойные неравенства:
Б. 1) 3 2x 1 3;
2) 12 5 x 17;
3) 2 6 2y 5;
2
4х 2 5x 3,
8)
2 3x 7 2x.
2 4x 1 3x 5 x 2 7,
3) x 2 x 3
;
2
3
3x 4 8x 6,
4) 2x 1 5x 4,
11x 9 15x 3.
x 2 5x 0,
4)
x 7;
x 2 4x 5 0,
5)
x 2 2x 8 0;
x 2 1 x 2 3 x 2 2 0,
6)
x 3.
6x
1;
3
7) 1,2 1 2y 2,4;
6) 1
185
4) 1 5y 4 19;
5) 1 15x 14 44;
8) 2
4x 1
0.
3
Ответы: 1. А. 1) ; 0 4; ; 2) ; 4 0; ; 3) 0;1 ; 4) 4; 0 ;
5) ; 1 5; ; 6) 1; 5 ; 7) ; ; 8) нет решений; 9) – 2.
Б. 1) ; ; 3) ; ; 4) нет решений; 5) нет решений; 6) нет решений;
7) нет решений; 8) ; ; 9) ; .
1
4
В. 1) 2; ; 3) нет решений; 4) ; 5) нет решений; 6) 0,4; 7) 0,5; 3 ;
3
3
9) нет решений; 10) – 1,5.
2. А. 1) 6; ; 2) 4; ; 3) ; 2 ; 8) 5; 1 .
Б. 1) 1,3; 2,5 ; 2) 2,1; 3,5 ; 3) 5; ; 4) 2;1 .
1
В. 1) 0; ; 2) 0,75; ; 3) ; 12 ; 5) 1; 4 ; 6) ; 2 2; 3 .
7
3. Б. 1) 1; 2 ; 2) 12;17 ; 3) 0,5; 2 ; 4) 1; 3 ; 5) 1; 2 ; 6) 3; 9;
5 1
7) 0,7; 1,1 ; 8) ; .
4 4
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие неравенства называются линейными?
2. Какие неравенства называются квадратными?
3. Как расположена парабола f x ax 2 bx c , если
1) a>0, d<0;
3) a>0, d=0;
5) a<0, d>0;
2) a>0, d>0;
4) a<0, d<0;
6) a<0, d=0.
§ 5. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Рациональные
M n х 0 или Mn х 0 ,
неравенства
где
M n х a 0 x n ... a n многочлен степени n, a 0 0 , решают методом
интервалов.
Если a 0 0 , то умножим обе части неравенства на −1 и изменим знак
неравенства на противоположный.
Найдем корни многочлена M n x . Тогда неравенство можно записать в
виде х x1 х x 2 х x3
многочлена.
х xn 0 ,
186
где
x1 x 2 x 3 ... x n − корни
Если многочлен не имеет действительных корней, то знак многочлена
совпадает со знаком a 0 .
Разделим числовую ось на интервалы ; x1 , x1; x 2 , x 2 ; x 3 , …,
x n ; и определим знак произведения х x1 х x 2 х x3 х x n в
каждом интервале.
Рассмотрим неравенство четвертой степени: a 0x 4 a1x3 a 2x 2 a 3x a 4 0
a 0 0 . Пусть х1 , х 2 , х 3 , х 4 − корни многочлена. Разложим многочлен на
множители. Неравенство примет вид х x1 х x 2 х x3 х x 4 0 , где
x1 x 2 x 3 x 4 − корни многочлена. Точки x x1 , x x 2 , x x 3 , x x 4
делят числовую ось на пять интервалов: ; x1 , x1; x 2 , x 2 ; x 3 , x 3; x 4 ,
x 4 ; . Определим знак левой части неравенства в каждом интервале.
Таблица для определения знаков примет вид
х x1 x1 х x 2 x 2 х x 3 x 3 х x 4 x 4 x
х x1
+
+
+
+
х x2
+
+
+
х x3
+
+
х x4
+
х x1 х x 2
+
+
+
х x3 х x 4
Изменение знаков можно показать на числовой оси с помощью кривой,
которую чертят сверху справа налево (рис. 8.9).
х2
+
х1
х4
+
–
х3
+
–
х
Рисунок 8.9
Если неравенство не содержит множители вида х а , k N, то при
решении таких неравенств можно определить знак только в одном интервале
(крайний справа), а затем изменять при переходе из одного интервала в другой
(справа налево). На тех интервалах, где кривая проходит над числовой осью,
выполняется неравенство M n х 0 ; на тех интервалах, где кривая проходит
под числовой осью, выполняется неравенство M n х 0 .
2k
Если неравенство содержит множители вида х а , k N, то знак слева и
справа от точки х = а не изменится и кривая не проходит через эту точку.
При n = 4 решение неравенства х x1 х x 2 х x3 х x 4 0 имеет
x ; x1 x 2 ; x3 x 4 ; .
вид
Решение
неравенства
х x1 х x 2 х x3 х x 4 0 имеет вид x x1; x 2 x3; x 4 .
Аналогично решают неравенства, если степень многочлена n > 4.
2k
187
Дробно-рациональное неравенство
Mn x
0 , Qm x 0 , где M n x
Qm x
многочлен степени n, Qm x многочлен степени m, равносильно неравенству
M n x Qm x 0 . Такие неравенства тоже решают методом интервалов.
При решении нестрогих неравенств
Mn x
0 сначала решают уравнение
Qm x
Mn x
M x
0 , а потом строгое неравенство n
0.
Qm x
Qm x
Слова и словосочетания: ме́тод интерва́лов, знак нера́венства в ка́ждом
интерва́ле, перехо́д из одного́ интерва́ла в друго́й, рациона́льное нера́венство,
дро́бно-рациона́льное нера́венство.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите неравенство х 3 х 2 х х 1 0 .
Р е ш е н и е . Найдем корни многочлена х 3 х 2 х х 1 : x1 3 ,
x 2 2 , x 3 0 , x 4 1 . Разделим числовую ось на интервалы ; 3 ,
3; 2 , 2; 0 , 0;1 , 1; и определим знак левой части неравенства в
каждом интервале (рис. 8.10).
+
+
–3
–
–2
+
0
–
1
х
Рисунок 8.10
О т ве т: x ; 3 1; 0 1; .
2х
2. Решите неравенство
0.
х 2 5х 4
Р е ш е н и е . Так как старший коэффициент числителя меньше нуля, то
умножим обе части неравенства на – 1 и изменим знак неравенства на
х2
противоположный:
0 . Это строгое неравенство и оно равносильно
2
х 5х 4
неравенству х 2 х 2 5х 4 0 .
Разложим
многочлен
на
множители,
получим
неравенство
х 2 x 1 x 4 0 . Найдем корни многочлена х 2 x 1 x 4 : x1 2 ,
x 2 1 , x 3 4 . Разделим числовую ось на интервалы ;1 , 1; 2 , 2; 4 ,
4; и определим знак левой части неравенства в каждом интервале
188
(рис. 8.11).
+
–
1
+
–
2
х
4
Рисунок 8.11
О т ве т: x 1; 2 4; .
3. Решите неравенство x 2 3 x 1 x 12 x 2 2x 5 0 .
Р е ш е н и е . Трехчлен x 2 2x 5 при всех х R принимает положительные
значения, так как d 22 4 5 0 . Поэтому данное неравенство равносильно
неравенству x 2 x 1 x 1 0 .
Это нестрогое неравенство, поэтому сначала решим строгое неравенство
3
2
x 23 x 1 x 12 0 , а потом уравнение x 23 x 1 x 12 0 .
Найдем корни многочлена: x1 2 , x 2 1 , x 3 1 . Разделим числовую ось
на интервалы ; 1 , 1;1 , 1; 2 , 2; и определим знак левой части
неравенства x 2 x 1 x 1 0 в каждом интервале (рис. 8.12). В точке
3
2
х 1 знак меняться не будет, так как х 12 0 .
+
+
1
–1
–
–
2
х
Рисунок 8.12
Решение неравенства x ; 1 2; .
Решим уравнение x 2 x 1 x 1 0 : x1 2, x 2 1 x3 1 .
Найдем объединение решений строго неравенства и уравнения:
x ; 1 1 2; .
О т ве т: x ; 1 1 2; .
3
4. Решите неравенство
2
х 32 х 2 х 0 .
х 14 х 5
Решение. Это нестрогое неравенство, поэтому сначала решим строгое
2
2
х 3 х 2 х
х 3 х 2 х
0 , а потом уравнение
0.
неравенство
4
4
х
1
х
5
х
1
х
5
2
х 3 х 2 х
0 равносильно неравенству
Строгое неравенство
х 14 х 5
х 32 х 2 х х 14 х 5 0 . Найдем корни многочлена: x1 3 , x 2 2 ,
189
x 3 0 , x 4 1 , x 5 5 . Разделим числовую ось на интервалы и определим
знак левой части неравенства в каждом интервале (рис. 8.13). В точках х 3 и
х 1 знак меняться не будет, так как х 32 0 и х 14 0 .
+
+
–5
–
2
0
–
–1
+
3
+
х
Рисунок 8.13
Решение неравенства х 5; 1 1; 0 2; 3 3; .
х 3 2 х 2 х 0 .
х 14 х 5
Решим уравнение
D x : х 1, x 5.
Тогда x1 3, x 2 2, x 3 0 .
Найдем объединение решений строго неравенства
х 5; 1 1; 0 2; .
Ответ: х 5; 1 1; 0 2; .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
x 1
А. 1) x 1 x 2 0 ;
5)
0;
x2
2) x 1 x 2 0 ;
x
6)
0.
3) x 2 5x 0 ;
x 5
x 1
4)
0;
x2
Б. 1) x 2 1 x 3 0 ;
x 2 x 12
0;
7)
x
1
2) x 2 1 x 3 0 ;
x 2 4x 12
0;
8)
x2
3) x 32 x 2 25 0 ;
x 2 4x 12
2
0.
9)
4) x 3 x 9 0 ;
x2
5) x 3 x 2 9 0 ;
уравнения:
6) x 2 3 ;
x 2 2x 3
В. 1)
;
x 2 4x 1
2x 2 4x 6
2;
2)
4x 11
3) x 6 9x3 8 0 ;
и
5) x 4
6)
4) x 2 1 x 2 x 1 x 5 3 0 ;
190
x 52 x 6 x 3 0 ;
2x 3 4 x 3 x 2 0 ;
x 6 x 2 4x 6
2
2. Найдите целые значения х, которые удовлетворяют системе неравенств:
x 2 6x 5
3x 2 5x 1
0,
1,
2
x2 4
2)
3x
2x
7
1)
2
1
9x 2
x 16.
2
;
3
3
Ответы:1.А. 1) ; 2 1; ; 3) ; 0 5; ; 4) ; 2 1; ;
5) ; 2 1; ; 6) ; 0 5; .
Б. 1) ; 3 1;1 ; 3) ; 5 3 5; ; 4) ; 3 3; 3 ;
7) 3;1 4; ; 9) 2; 2 6; .
В. 1) ; 2 0,25;1 4; ; 2) 2; 2,75 4; ; 3) ;1 2; ;
4) 5; ; 5) 5, 4 3; 6 ; 6) 0 1,5; 4 6; .
2. 1) 2, 3; 2) 2, 3.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой вид имеет рациональное неравенство?
2. Какой вид имеет дробно-рациональное неравенство?
3. Каким методом решают рациональные неравенства?
4. Какому неравенству равносильно дробно-рациональное неравенство
Mn x
0?
Qm x
5. Какой порядок решения нестрогих неравенств
Mn x
0?
Qm x
§ 6. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, КОТОРЫЕ СОДЕРЖАТ ПЕРЕМЕННУЮ
ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
При решении неравенств, которые содержат переменную под знаком
модуля, используют определение модуля выражения
f (x), еслиf (x) 0,
f (x)
f (x), еслиf (x) 0.
Поэтому неравенство, которое содержит переменную под знаком модуля,
равносильно двум системам неравенств:
191
f (x) 0,
f (x) g(x);
f (x) g(x)
f (x) 0,
f (x) g(x).
Решение данного неравенства с модулем – это объединение решений
первой и второй систем.
Слова и словосочетания: содержа́ть переме́нную под зна́ком мо́дуля.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите неравенство х 2 5х 6 .
Решение.
Это неравенство равносильно двум системам неравенств:
x 2 5x 0,
x(x 5) 0,
2
х 2 5х 6;
х 5х 6 0;
Решим эти неравенства:
х 2 5х 6
x(x
5)
0,
х 2 5х 0,
2
(х 2 5х) 6.
х 5х 6 0.
x(x 5) 0,
х (1; 0] [5; 6),
(x 1)(x 6) 0;
x(x 5) 0,
x (0; 2) (3; 5).
(x 2)(x 3) 0;
Найдем объединение решений первой и второй систем: х (1; 2) (3; 6) .
О т ве т: х (1; 2) (3; 6) .
2. Решите неравенство: х 2 2 х 8 0 .
Р е ш е н и е . Пусть х у , тогда у2 2у 8 0 . Решим это неравенство:
y 2 y 4 0 y 2 или y 4 .
x 2, ,
x ; 4 4; .
Получим
x 4;
x ; 4 4; ;
О т ве т: x ; 4 4; .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
А. 1) x 3 2x 1 ; 2) 3x 1 7x 5 ; 3) x 5 2x 4 ; 4) 2 x 3 9x 5 ;
5) 2 x 1 3x 3 .
192
Б. 1) x x x ; 2) 2x 2 x 1 0 ;
3) x 2 8 x 7 0 ;
4) x 2 6 x 7 0 ;
5) (x 3)2 x 3 2 0 .
x 3
x3
2 ; 2)
В. 1) 2
2;
x2
x 5x 6
5) 2x 5 3x 4 2x 4 .
3)
x3
2;
x2
4)
x
2 ;
x 1
2
Ответы. 1. А. 1) ; ; 2) ;1,5 ; 3) ; 9 . 4) 1; ; 5) ; 1 .
3
Б. 1) 1; 0 1; . 2) ; 1 1; ; 3) ; ; 4) 7; 7 ; 5) 1; 5 .
1
2) ; 7; ;
3
5 13
5) 5; ; .
3 3
В.
1) 1,5; 2 ;
4
3) ; 3 3; 8 ;
3
4) ;1 1; ;
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Чему равен модуль выражения f x ?
2. Каким двум системам неравенств равносильно неравенство, которое
содержит переменную под знаком модуля?
§ 7. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Иррациональное неравенство – это неравенство, которое содержит
переменную под знаком корня.
Пример:
неравенства.
х 5 x,
3 2
x 3 x 8,
5 x x0
–
иррациональные
При решении иррациональных неравенств получают одну или несколько
систем неравенств. Рассмотрим решение иррациональных неравенств, которые
содержат квадратные корни.
Первый случай. f (x) g(x) .
Это неравенство имеет смысл, если f x 0 . Поскольку
f x 0 , то
g x 0 . Поэтому обе части неравенства можно возвести в квадрат, т. е.
освободиться от иррациональности. Получим следующую систему неравенств:
193
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
2
f (x) g(x) 2 .
Решение этой системы есть решение данного неравенства.
Второй случай. f (x) g(x) .
Это неравенство имеет смысл, если f x 0 . Правая часть g x может
иметь положительные значения, отрицательные значения или может быть равна
нулю. Поэтому:
f (x) 0,
а) при g x 0 имеем g(x) 0,
2
f (x) g(x) 2 .
f (x) 0,
б) при g x 0 имеем
g(x) 0.
Получим следующую совокупность систем неравенств:
f (x) 0,
g(x) 0,
2
f (x) g(x)
2
f (x) g(x)
f (x) 0,
g(x) 0.
Решение иррационального неравенства
решений систем а) и б).
f (x) g(x) есть объединение
Слова и словосочетания: иррациона́льное нера́венство.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите неравенство 3х х 2 4 x .
Р е ш е н и е . Это
иррациональное неравенство равносильно системе
3x x 2 0,
неравенств: 3x x 2 4 x 4 x 0,
2
2
3x x 16 8x x .
194
x(x 3) 0,
x [0; 3],
x (; 4], x [0; 3].
Решим эту систему: x 4,
2
x (; );
2x 11x 16 0;
О т ве т: x [0; 3] .
2. Решите неравенство
x 2 4x x 3 .
Р е ш е н и е . Это иррациональное неравенство равносильно совокупности
двух систем неравенств:
x 2 4x 0,
x 3 0,
x 2 4x x 3 x 2 4x x 2 6x 9;
2
x 4x 0,
x 3 0.
x(x 4) 0,
x 3,
x (4,5; ),
Решим эту совокупность: x 4,5;
x (; 0]
x(x 4) 0,
x 3;
x (; 0] (4,5; ) .
О т ве т: x (; 0] (4,5; ) .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
x 2 3x 2 2 ;
А. 1)
(x 1)(2 x) 2 ; 2)
Б. 1)
17 15х 2х 2
0 ; 3)
9x 20 x ; 2)
х3
4)
3)
6 x x2 6 .
x 2 x 12 x ;
4
2 x 2.
2x
В. 1)
x 3 x 1 x 2 ;
2)
1
x2
3) x 3 x 2 2x 4 0 ,
195
9 1 1
;
4 x 2
2. Решите системы неравенств:
2)
2)
4x 7 x,
А. 1)
x 5 5 x 4;
2a 1 0,
Б. 1)
1 2a 1 0;
x 2 9x 20 x 1,
x 1 x 2 13.
3 x x 2,
3x 5 x 4.
О т ве ты . 1. А. 1) 3; 2 1; 2 ; 2) ; 2 1; ; 3) 2; 0 1; 3 .
Б. 1)[ ; 4) ∪ (5; +∞); 2) 3;1 ; 3) ; 3 ; 4) ;
9
20
28
34 1
2
; ; 2)(0,4 ; ]; 3)
; .
В. 1)
3
3
2
7
2. А. 1) ; 4 ; Б. 2) нет решений.
4
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое иррациональное неравенство?
2. Как решить неравенство вида f (x) g(x) ?
3. Как решить неравенство вида
f (x) g(x) ?
196
20 4 .
РАЗДЕЛ 9. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Показательная функция – это функция вида y a x , a 1, a > 0, где xR.
x
1
Построим графики функций: y = 2 (рис. 9.1 а) и y (рис. 9.1 б).
2
x
а
б
Рисунок 9.1
Графиком показательной функции является экспонента.
Свойства функции y a x :
8) D f : x R .
9) E f : y 0; .
10) Точка пересечения с осью Оу (0; 1).
11) Если а>1, то функция возрастает; если 0<а<1, то функция убывает.
12) Функция положительна при x R .
1
13) Функция общего вида, т.к. f x) a x
f x .
ax
14) Горизонтальная асимптота y 0 .
Слова и словосочетания: показа́тельная фу́нкция, экспоне́нта.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
x
1
1. Постройте график функции y .
2
1
Решение. Построим график функции y
2
симметрично относительно оси Оу (рис. 9.2 б).
197
х
(рис. 9.2 а). Отобразим его
а
б
Рисунок 9.2
х 1
2. Постройте график функции y 3
.
Решение. Построим график функции y 3х при x0 (рис. 9.3 а). Затем эту часть
графика отобразим симметрично относительно оси Оу (рис. 9.3 б). Сдвинем
этот график на 1 единицу вправо по оси Ох (рис. 9.3 в).
а
б
Рисунок 9.3
в
УПРАЖНЕНИЯ
1. Что больше: 1) 2300 или 3200 ; 2) 4300 или 2400 ; 3) 3 0,01 или 4 0,001 ;
4)
3
1
или
3
1 6
;
2
5)
3
2
или
3
198
2 3
1 3
;
6)
4
2
или ?
4
3
2
2. Сравните с единицей: 4 ;
3
0,12 0 ;
3 2 ;
2
0,8 3 ;
5
7
5 6
;
4
0, 3
2
2 3
;
3
7
;
5
2 6
;
3
3
;
2
2,360 ;
2,7
;
3
е4 ;
1
3.
3. Постройте графики функций:
х
х
1
1
А. 1) у ; 2) у 2 2 ; 3) у 2 х ; 4) у 2 х 2 ; 5) y
3
2
1
Б. 1) у 2 ; 2) у
2
х
В. 1) у 2
х 1
х 2
1 ; 2) у 2
1
; 3) у
2
х х 1
х 2
1
; 4) у
4
х-1
2.
х 1
х
; 5) у 2 2 .
.
х
1
1
4. Напишите свойства функций: 1) у ; 2) у 2 х 2 ; 3) y
3
2
х-1
2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется показательной?
2. Как называется график показательной функции?
3. Назовите свойства показательной функции, если 0 a 1.
4. Назовите свойства показательной функции, если a 1.
§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Показательное уравнение – это уравнение, в котором переменная
находится в показателе степени.
2
Пример. 5x 3 5x 2 140 , 3x 6 1 0 − это показательные уравнения.
Основные способы решения показательных уравнений
I. Уравнение вида a f (x) a g(x) , a 0, a 1, равносильно уравнению
f x g x (так как если основания степени равны, то равны их показатели).
199
II. Уравнение вида
Aa 2f (x) Ba f (x) C 0, a 0, a 1 c помощью
f x
подстановки a y приводится к квадратному уравнению Ay2 By C 0 .
x
III. Уравнение вида x
– это показательно-степенное
уравнение, так как переменная находится в основании и в показателе степени.
Для решения такого уравнения нужно рассмотреть четыре случая: когда
основание степени равно – 1, 0, 1 и когда оно отлично от указанных значений.
f (x)
g(x)
Слова и словосочетания: показа́тельное уравне́ние; показа́тельностепенно́е уравне́ние.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
5
x2 x
7 79.
1. Решите уравнение: 3
2
5
2
x2 x
7 3 7 . Т. е. левая и правая части
Решение.
Так как 7 9 3 7 , то 3
уравнения приведены к одному основанию. Данное уравнение равносильно
2
x
,
2
2 5
1
квадратному уравнению: x x
7
7
7
x 2 1.
2
Ответ: ;
7
1 .
2. Решить уравнение 32x 2 32x 30 .
Р е ш е н и е . Так как 32x 2 32x 32 , то вынесем общий множитель 32x за
1
скобки: 32x 32 1 30 . Тогда 32x 3 , 2x 1 , x .
2
1
Ответ: .
2
3. Решите уравнение 52x 6 5x 5 0 .
5x 1,
y1 1,
x 0,
1
Р е ш е н и е . Пусть 5 y , тогда y 6y 5 0
5x 5; x 2 1.
y 2 5;
Ответ: 0; 1 .
x
2
4. Решите уравнение 3 16x 2 81x 5 36x .
Р е ш е н и е . Разделим обе части уравнения на 36x 0 , получим
x
x
16
81
3 2 5,
36
36
x
x
4
9
3 2 5 .
9
4
200
x
Пусть
4
y,
9
тогда
y1 1,
3y 5y 2 0
y2 2 ;
3
2
3y 5 ,
y
2
4 x
1,
x1 0,
9
x
x2 1 .
4
2
2
;
9
3
1
Ответ: 0; .
2
2
5. Решите уравнение x 3x 3 x 32x .
Решение.
1) Если x 3 1 , т.е. x 2 , то 11 14 – это верное равенство; значит,
x 2 – корень уравнения.
2) Если x 3 0 , т.е. x 3 , то в левой части уравнения получим 06 , а в
правой 06 – это выражение не имеет смысла; значит, x 3 не является
корнем уравнения.
3) Если x 3 1 , т.е. x 4 , то
является корнем уравнения.
4) Приравняем показатели, тогда
113 18 .
Значит, x 4 не
x1 1,
x 2 3 2x ,
x 2 3.
При этих
значениях х получим соответственно 22 22 и 66 66 – это верные
равенства; значит, x 1 и x 3 – это корни уравнения.
Ответ: 2; 1; 3 .
2x 3y 24,
6. Решите систему уравнений
2 y 3x 54.
2x 3y 23 3, 1
Р е ш е н и е . Запишем данную систему в виде:
2 y 3x 2 33. 2
Перемножим уравнения (1) и (2), получим:
2x y 3x y 24 34 ; 6x y 64 ; x y 4
Разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2), получим
2x y
22
2
2
3
2 3 ; хy 2 ;
3
3
3
x y 4, x 3,
Решим систему:
x у 2; y 1.
201
xy
yx
2
2
xy
2
2
; x y 2.
3
3; 1 .
Ответ:
УПРАЖНЕНИЯ
Решите уравнения:
1.
1
1
x
А. 1) 4x 64 ; 2) 3x 81 ; 3) 25 x ; 4) 8x 16 ; 5) 0,5 ;
5
64
x
x
1
1
1
6) 27 ; 7) ; 8) 2x 1 ; 9) 36 x 33x 2 ; 10) x 1 .
27
3
9
х 2 9х
1
Б. 1)
2
2) 3х 9 ;
1;
8) 2,56
2 х 3х 36 ;
3)
х
х 1
5
8
4 х 1
;
9) 4х 1,5 2х 2 4 ;
10) 33х 1 4 27 х 1 91,5х 1 80 .
4
2
5
4) ;
5
2
х
5
7) 2х 5х 0,1 10х 1 ;
х
27
2 9
5)
;
64
3 8
8х 1 42 х ;
3
6)
2
2
В. 1) 4x x 2 5 2x 1 x 2 6 ;
8)
2) 62x 4 2x 8 33x ;
3)
x 5 х
5 x 4 ;
x 1
x 1
5
4) 3
3
х 2
3
2 3
х
2 3
x
2
9) х 3x х 3x ;
x
5 5
x 1
5
х 2
2
10) x x 1
5) x 4 2х 6 х 9 0 ;
6) 62x 2 х 2 8 ;
x 2 1
1;
11) 3 4x 5 6x 2 9x 0 .
7) 32x 4 45 6x 9 22x 2 0 ;
Решите системы уравнений:
53x 54y 7 ,
2x 3y 12,
А. 1) y х
2)
2 3 18;
2x 4 y 16;
x y
3x 22y 77,
3 5 75,
Б. 1)
2)
y x
30,5x 2 y 7;
3 5 45;
2.
202
x
2 3 18,
3)
x y
4 5 16.
x y 6,
3) 2
x 7x 12
1.
y
4;
Ответы. 1. А. 1) 3; 2) 4;
3) 0,5;
4)
4
; 5) 6;
3
6) 3 ;
7) 1,5;
8) 0;
9) 2;
10) 0.
1
; 9) 1; 10) 1.
36
5) ; 6) ; 7) 2 ; 8) 2 ;
Б. 1) 3 ; 0; 3; 2) 4; 3) 4; 4) 4 ; 8)
В. 1) 1,5; 2) 4; 3) 25; 4) 2;
10) 1; 1; 2; 11) 0; 1.
2. А. 1) 2; 1 ;
2) 3; 0,5 ;
3) 4; 2 ; 5; 1 ; 3; 3 .
3)
2; 0 .
Б. 1)
9) 0; 1; 2; 3; 4;
1; 2 ;
2)
4; 1 ;
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое уравнение называется показательным?
2. Дано уравнение вида a f (x) 1. Можно ли сказать, что f x 0 ?
3. Дано уравнение вида a f (x) a k . Когда можно утверждать, что f x k ?
4. Дано уравнение вида Aa 2x Ba x C 0 .
подстановки оно сведется к квадратному уравнению?
С
помощью
какой
x x
Aa Ba 2 b 2 Cb x 0
x
5. Уравнение вида
приведите к квадратному
уравнению.
6. Какое уравнение называется показательно– степенным?
7. Какие случаи нужно рассмотреть при решении показательно–
степенного уравнения?
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Показательное неравенство – это неравенство, в котором переменная
находится в показателе степени.
Пример. 8x 16 , (x 2 8x 15) x 6 1 − это показательные неравенства.
Основные способы решения показательных неравенств
I. Неравенство вида
a a ; где a 0 , a 1 , равносильно
неравенству f x g x при a 1, или неравенству f x g x при 0 a 1.
f x
g x
f x
g x
x (основание степени
II. При решении неравенств вида x
содержит переменную) нужно рассмотреть два случая: x 1 и 0 x 1 .
Решение таких неравенств сводится к решению двух систем:
203
x 1,
а)
f x g x ;
0 x 1,
б)
f x g x .
Слова и словосочетания: показа́тельное нера́венство.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1.
1
Решите неравенство 3x .
9
1
32 , то 3x 32 . Основание степени больше, чем 1,
9
поэтому данное уравнение равносильно уравнению x 2 x ; 2 .
Р е ш е н и е . Так как
Ответ: x ; 2 .
2
2.
Решите неравенство 0,25 6x x 0,255 .
Р е ш е н и е . Так как 0 0,25 1 , то данное уравнение равносильно уравнению
6x x 2 5 x 1 x 5 0 x ; 1 5; .
Ответ: x ; 1 5; .
3.
Решите неравенство 4x 6 2x 8 0 .
Р е ш е н и е . Пусть 2x y , тогда y2 6y 8 0 y 2 y 4 0 2 y 4
2 2x 4 1 x 2 x 1; 2 .
Ответ: x 1; 2 .
4.
2
Решите неравенство x 32x 7x 1 .
Р е ш е н и е . Решим совокупность двух систем неравенств:
x 3 1,
x 4,
2
2x 7x 0; 2x x 3,5 0; x 4,
x 3; 3,5 4; .
3
x
3,5;
0
x
3
1,
3
x
4,
2
2x x 3,5 0;
2x 7x 0;
Ответ: x 3; 3,5 4; .
204
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
А. 1) 4x 64 ;
2) 3x 81 ;
1
3) 25 x ;
5
4) 8x 16 ;
1
5) (0,5) x
;
64
x
1
6) 27 ;
5
x
1
1
7) ;
27
9
8) 2x 1 ;
9) 36 x 33x 2 .
3
Б. 1) 29x x 1 ;
2
4) 0,4x x 20 1;
3
2) 29x x 1 ;
2x 1
1
5) 16 3x 7 64 3 (0,25)2 0 .
3) 2,56
В. 1)
x 1
5
8
4 x 1
4 x 2 x 1 8
1 x
;
x
8 ;
2
2
2) x x x 2 1 ;
x 3
0,5x(x 3)
20,5
0,2 x 0,5
5 0,04 x 1;
6)
5
2
7) (4x 2 2x 1) x x 1;
2
3) 6,3 x 6x 11 1 ;
4) 22x 2,5
2
2
5) 2 x 5x 103 (103 x )2 ;
;
8) (1,2)
x 7
(1,2)
x 2 3x 2
;
9) (x 2 8x 15) x 6 1.
Ответы: 1. А. 1) [3; ) ; 2) (; 0,5] ; 3) (; 0,5) ; 5) x 6 .
1
Б. 1) (; 3) (0; 3) ; 2) 3 x 0, x 3 ; 3) ; ; 4) 4 x 5 ;
36
1
5) 2 x 4,6 .
3
B. 1) x 1; 2) (1; 2) ; 3) x 3 ; 4) 2 x 1; 5) 3 x 1 ; 6) x 3 ;
7) (; 0,5) (1; ) ; 8) (; 1) (5; ) ; 9) (; 4 2) (4 2; 6) .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое неравенство называется показательным?
f x
g x
2. Какому неравенству равносильно неравенство a a ?
3. Какие случаи нужно рассмотреть при решении неравенства
f x
g x
x x ?
205
§ 4. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть функция y f x монотонна в своей области определения D f .
Тогда каждому значению x D f соответствует единственное значение
y E f и обратно: каждое значение y E f соответствует единственному
x Df .
Обратная функция по отношению к функции y f x − это функция,
которая определена на E f , где каждому y E f ставится в соответствие
x D f (х удовлетворяет уравнению y f x ).
Для нахождения функции, обратной данной y f x , надо выразить х
через у: x g y , а затем записать полученную формулу в виде y g x .
Если функции y f x и y g x являются взаимно обратными, то
Df E g и Dg Ef .
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
y x (рис. 9.4).
y
y=x
y=f(x)
x
O
y=g(x)
Рисунок 9.4
Если функция y f x не является
монотонной во всей области определения, то
можно получить обратную ей функцию только
на интервале монотонности.
Пример. Функция y x 2 определена на
интервале x ; . Она имеет два
интервала монотонности: функция возрастает
при x 0; и убывает при x ; 0 .
Для получения обратной функции нужно взять
один из этих интервалов. Получим функцию,
206
Рисунок 9.5
обратную функцию y x 2 . На интервале x 0; обратная функция:
y x , D g 0; , E g 0; .
Графики y x 2 и y x симметричны относительно прямой y x
(рис. 9.5).
Слова и словосочетания: обра́тная по отноше́нию к да́нной фу́нкции,
взаи́мно обра́тные фу́нкции.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Напишите формулу, которая задает функцию g, обратную данной
функции f. Постройте графики данной и обратной функции, если функция f
3x 2
задана формулой y
, где x 0 .
x
Решение. Данная функция монотонно возрастает при x ; 0 .
2
2
2
Выразим х через у: y 3 y 3 x
. Заменим х на у, а у на х:
x
x
y3
2
2
− это обратная функция. Тогда g x
.
y
x 3
x 3
Найдем область определения данной функции: D g E f ; 3 .
Найдем множество значений обратной функции: E g D f ; 0 .
Построим графики данной и обратной функции в одной системе координат
(рис. 9.6). Эти графики симметричны относительно прямой y x .
Рисунок 9.6
УПРАЖНЕНИЯ
1. Напишите формулу, которая задает функцию g, обратную данной
функции f. Укажите область определения и множество значений функции g.
207
1
x
1) y 2x 1; 2) y ; 3) y 2x 1; 4) y
; 5) y 2x 2 , x 0 .
x
x2
x 1
1
; E g D g R ; 2) g x ; E g D g
2
x
x
; 0 0; ; 5) g x
; E g D g 0; .
2
Ответы. 1. 1) g x
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Какая функция называется обратной по отношению к функции
y f x?
2.
Почему можно получить обратную функцию только на интервале
монотонности функции y f x ?
3.
Как расположены графики взаимно обратных функций?
§ 5. ЛОГАРИФМ
Логарифмом положительного числа bпооснованию а, a > 0, a 1,
называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить
число b: если x log a b , то a x b .
а – это основание логарифма.
Формулу x log a b читают: «х есть логарифм числа b по основанию а».
Если основание равно 10, то пишут lg b и читают: «десятичный логарифм
числа b».
Если основание равно е, то пишут ln b и читают: «натуральный логарифм
числа b».
Свойства логарифмов
1. Основное логарифмическое тождество: если a>0, a1, b>0, то a loga b b .
3log3 7 7 .
Примеры: 3log3 6 6 ;
2. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. log a N ,
a>0, a1, существует, если N 0 .
3. Если а 1, то логарифмы чисел N 1 положительны, а логарифмы
чисел 0 N 1 отрицательны.
1
Примеры: log 2 5 0 ; log 2 0 .
3
208
4. Если 0 a 1, то логарифмы чисел N 1 отрицательны, а логарифмы
чисел 0 N 1 положительны.
1
Примеры: log 1 5 0 ; log 1 0 .
3
2
2
5. Равным положительным числам соответствуют равные логарифмы, т. е.
если N1 N 2 , то log a N1 log a N 2 .
6. Если а 1, то большему числу соответствует больший логарифм, т. е.
если N1 N 2 , то log a N1 log a N 2 .
Пример. log3 7 log3 5 .
7. Если 0 a 1, то большему числу соответствует меньший логарифм,
т. е. если N1 N 2 , то log a N1 log a N 2 .
Пример. log 1 9 log 1 7 .
3
3
8. Логарифм единицы по любому основанию а, a>0, a1, равен нулю, т. е.
log a 1 0 .
9. Логарифм основания равен 1, т. е. log a a 1 .
Теоремы о логарифме произведения, частного и степени
1. Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел
равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.
loga N1N2...Nk loga N1 loga N2 ... loga Nk , где a 0 , a 1 , Ni 0 .
П р и ме р . loga 3 4 6 7 loga 3 loga 4 loga 6 loga 7 .
2. Логарифм частного положительных чисел равен разности делимого и
N
делителя, т. е. loga 1 loga N1 loga N 2 , где a 0 , a 1 , N1 0 , N 2 0 .
N2
3
П р и ме р . loga loga 3 loga 4 .
4
3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм
ее основания, т. е. loga Nc cloga N , где N 0 , a 0 , a 1 .
П р и ме р . loga 34 4loga 3 .
З а м е ч а н и е . Если N 0 , а с – четное число, то log a N c clog a N , где
a 0 , a 1.
П р и ме р . loga 3 4loga 3 .
4
Формула перехода к новому основанию
Формула перехода от основания b к основанию а имеет вид log b N
209
log a N
,
log a b
где N 0 , a 0 , a 1 , b 0 , b 1.
log 4 7 lg 7
П р и ме р . log 2 7
и т. д.
log 4 2 lg 2
Если a N , то формула перехода примет вид log b a
a 1 , b 0 , b 1.
1
, где a 0 ,
log a b
1
.
log 7 2
Если основание логарифма и число, которое стоит под знаком логарифма,
возвести в одну и ту же степень, отличную от нуля, то значение логарифма не
изменится, т. е.
П р и ме р . log 2 7
log a N log
ac
N c , где N 0 , a 0 , a 1 ;
1
1
log k N loga N k loga N , где N 0 , a 0 , a 1 , k 0 .
a
k
П р и ме р . log 2 4 log
6
43 ; log8 64 log 3 26 log 2 2 2 .
2
2
3
3
Слова и словосочетания: логари́фм, десяти́чный логари́фм, натура́льный
логари́фм; основно́е логарифми́ческое то́ждество; фо́рмула перехо́да к но́вому
основа́нию.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1
1. Вычислите log3
.
243
1
1
Р е ш е н и е . Пусть log3
x , тогда по определению логарифма 3x
243
243
1
Решим уравнение 3x
: 3x 35 , x 5 .
243
1
Ответ: log3
5 .
243
1
2. Вычислите log 1 5
.
3 243
3
x
1
1
1
x , тогда 5 3
Р е ш е н и е . Пусть log 1 5
. Приведем обе
3 243
243
3
3
части уравнения к одному основанию:
210
x
x
x
x
1
4
1
1 1
4
x
1
1
15
1
35 .
3 35 3 35 3 5 3 5 3 5 ,
3
243
3
x
4
x
4
Уравнение примет вид 3 5 35 . Так как a 0 , a 1 , то x 5 ,
5
x
25
.
4
Ответ: log 1 5
3
1
25
.
4
3 243
3. Вычислите 103 2 lg 5 .
Р е ш е н и е . Используем основное логарифмическое тождество.
1032 lg 5 103 102 lg 5 103 10lg 5
2
103 5
2
40 .
Ответ: 1032lg 5 40 .
4. Найдите log30 8 , если lg5 a и lg3 c .
Р е ш е н и е . Имеем log30 8 log30 23 3log30 2
lg 2 lg
3lg 2
;
lg30
10
lg10 lg5 1 a ;
5
lg30 lg 2 3 5 lg 2 lg3 lg5 1 a c a 1 c . Тогда log30 8
31 a
.
1 c
31 a
.
1 c
5. Найдите log54 168 , если log 7 12 a и log12 24 c .
Р е ш е н и е . Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители: 168 23 3 7 ,
Ответ: log30 8
54 2 33 , 24 23 3 , 12 22 3 . Пусть log 2 3 х и log 2 7 у , тогда:
2
log 2 12 log 2 2 3 log 2 22 log 2 3 2 x
log 7 12
,
log 2 7
y
y
y
3
log 2 24 log 2 2 3
log 2 23 log 2 3 3 x
log12 24
,
log 2 12 log 22 3 log 2 22 log 2 3 2 x
2
3
log 2 168 log 2 2 3 7 3 x y
log54 168
.
log 2 54
1 3x
log 2 2 33
211
3 2c
2 x
x
,
a,
y
c 1
Получим систему уравнений:
.
1
3
x
c; y a c 1
2 x
Подставим эти значения в равенство для определения log54 168 , получим
1 ac
log54 168
.
a 8 5c
1 ac
Ответ: log54 168
.
a 8 5c
6. Упростите log 2 log 2 4 2 .
Р е ш е н и е . log 2 log 2
1
4 2 log log 2 8 log 1 log 2
2
2
2
2
8
1
log 2 log 2 23 3log 2 2 3 .
8
Ответ: log2 log 2 4 2 3 .
1 1 log 4
9
log
8
7. Упростите 814 2
25 125 49log7 2 .
1 1 log 4
9
12log32 4 2log53 8
log125 8
4
2
Р е ш е н и е . 81
25
49log7 2 3
5
log 3 64 log 4 3
3
3
7 7
72 log7 2
5 5
5log5 4 4 4 4 19 .
log32 16
4
3log3 4
3
1 1 log 4
9
log
8
Ответ: 814 2
25 125 49log7 2 19 .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите:
А. 1) log 2 4 ; 2) log 4 4 ; 3) log 2 8 ; 4) log 2 32 ; 5) log 2 64 ; 6) log0,5 4 ;
7) log0,5 8 ; 8) log 0,5 32 ; 9) log0,5 0,5 ; 10) log0,5 0,25 ; 11) 6log6 50 .
212
1 2log 1 3
1
Б. 1)
7
5)
7
;
2) log
0,55 2
1
;
32
3) 4log4 5log4 5 ;
4) 160,5log 4 101 ;
log65 5
4
.
1 9log3 8
5
В. 1) 27
1
log 1 0,5log 27 2
3
3
;
log 5 4 2log5 3
;
2) 5
3) 3log 2 log 4 16 log0,5 2 ;
4) 93log3 2log81 4 .
2. Найдите х, если:
x
1
1
2
5
1) log x 1,5 ; 2) log 1 0,5 ; 3) log x
; 4) log x 25 5 .
2
8
8
64
3
16
3. Найдите:
А. 1) log3 6 , если log3 2 a ; 2) log12 4 log12 3 ; 3) lg13 lg130 .
Б. 1) log 2 3 0,75 , если log 2 3 a ;
2) log5 12 , если log5 2 a , log 5 3 c ;
3) log5 1,5 , если log5 2 a , log 5 3 c ;
4) log 5 72 , если log5 2 a , log 5 3 c ;
5) log 6 16 , если log12 27 a .
В. 1) log5 6 , если log 2 3 a , log 2 10 c ;
2) log30 8 , если log30 3 a , log30 5 c ;
3) log5 3,38 , если lg13 a , lg 2 c ;
4) log 275 60 , если log12 5 a , log12 11 c ;
5) lg56 , если lg 2 a , log 2 7 c .
4. Упростите:
1) lg72 lg9 : lg 28 lg7 ;
5) log 2 3 log3 4 log4 5 ... log9 10 .
2) 2log4 91;
3)
3 lg 5
5 lg 25
;
4)
lg lg a
a lg a
Ответы: 1. А. 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 5; 5) 6; 6) – 2; 10) 2; 11) 50.
9
729
25
Б. 1) ; 2)
; 3) 1; 4) 160; 5) 4. В. 1) 0,25; 2) 144; 3) 2; 4)
.
7
8
4
1
2. 1) 4; 2) 8; 3) 512; 4)
.
625
3. А. 1) a 1 ; 2) 1; 3) – 1.
213
;
1
3a
1 a
. В. 1)
;
a 2 ; 2) 2a c ; 3) c a ; 4) 3a 2c ; 5)
3
c 1
3 a
a 2c 2
a 1
2) 31 a c ; 3)
; 4)
; 5) ac 3a . 4. 1) 1,5; 2) 6; 3) 10 2 ;
1 a
2a c
4) lg a ; 5) log 2 10 .
Б. 1)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Чему равен логарифм положительного числа b по основанию а?
2. Чему равно основание десятичного логарифма?
3. Как называется логарифм, если его основание равно е?
4. Сформулируйте основное логарифмическое тождество.
5. Назовите свойства логарифмов.
6. Почему логарифмы существуют только для положительных чисел?
7. Чему равен логарифм произведения?
8. Чему равен логарифм частного?
9. Чему равен логарифм степени?
10. Какой вид имеет формула перехода от основания b к основанию а?
§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Логарифмическая функция – это функция вида y log a x , a 0 , a 1 ,
xR.
Построим графики функций: y log 2 x (рис. 9.7 а) и y log 1 x (рис. 9.7 б).
2
а
б
Рисунок 9.7
Графиком логарифмической функции является экспонента.
Свойства функции y log a x :
214
1) D f : x 0; .
2) E f : y R .
3) Точка пересечения с осью Ох (1; 0).
4) Если а > 1, то функция возрастает; если 0 < а < 1, то функция убывает.
5) Если а > 1, то функция положительна при x 1; и отрицательна
при x 0;1 . Если 0 < а < 1, то функция положительна при x 0;1 и
отрицательна при x 1; .
6) Функция общего вида.
7) Вертикальная асимптота x 0 .
Показательная функция y a x и логарифмическая функция y log a x –
это обратные функции. Их графики симметричны относительно прямой y x .
Слова и словосочетания: логарифми́ческая фу́нкция.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найдите область определения функции y log 2 x 2 3x 4 .
Р е ш е н и е . Область определения логарифмической функции – это множество
положительных чисел, т.е. x 2 3x 4 0 . Решим это квадратное неравенство
методом интервалов: x 1 x 4 0 , x ; 1 4; .
Ответ: x ; 1 4;
2. Постройте график функции y log 2 x 2 3x 4 .
Р е ш е н и е . Область определения данной функции D y ; 1 4;
(упр. 1).
Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если y 0 , то 20 x 2 3x 4 ,
3 29
3 29
, x2
.
2
2
График функции изображен на рис. 9.8.
x1
Рисунок 9.8
215
log 2 x 2 3x 4
3. Постройте график функции y 2
.
Р е ш е н и е . Найдем область определения и используем
x 2 3x 4 0,
основное логарифмическое тождество:
2
y x 3x 4;
x 1 x 4 0,
y
x
1
x
4
;
x ; 1 4; ;
2
3
1
y x 6 .
2
4
График функции изображен на рис. 9.9.
Рисунок 9.9
4. Постройте график функции y log 0,1 x 1 .
Р е ш е н и е . Построим график функции y log0,1 x при x 0 (рис. 9.10 а).
Отобразим его симметрично относительно оси Оу (рис. 9.10 б). Этот график
сдвинем на 1 единицу влево по оси Ох (рис. 9.10 в).
а
б
в
Рисунок 9.10
216
УПРАЖНЕНИЯ
Найдите область определения функций:
1.
А. 1) y loga x 1 ; 2) y loga x 1 ; 3) y loga 2x ; 4) y loga x 2 ;
6) y loga 1 x .
5) y log a 3x 2 1 ;
Б.
1)
y log a 4 x 2 ;
4) y log0,4 5x x 2 6 ;
y loga x ;
2)
y log a x 1 ;
5) y log 2 x 6 log3 6 x .
2.
Постройте графики функций:
А. 1) y log3 x 1 ; 2) y log 2 x 1 ;
Б. 1) y log 0,4 x ;
3)
3) y log 4 1 x .
2) y log 2 x 10 5x ;
3) y log 0,3 9 x 2 .
В. 1) y log 2 x 3 ; 2) y log 0,2 x 2 x ; 3) y log3 x 1 .
О т ве ты . 1. А. 1) 1; ; 2) 1; ; 3) ; 0 ; 4) ; 0 0; ;
5) x R ; 6) ; 1 .
Б. 1) 2; 2 ; 2) ; 0 0; ; 3) 1; ; 4) 2; 3 ; 5) 6; 6 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какая функция называется логарифмической?
2. Как называется график логарифмической функции?
3. Назовите свойства логарифмической функции, если 0 a 1.
4. Назовите свойства логарифмической функции, если a 1.
5. Почему показательная функция y a x и логарифмическая функция
y log a x – это обратные функции?
§ 7. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором переменная
находится под знаком логарифма или в основании логарифма.
Пример. log3 x log3 27 , log x 2 log x 2 log x 2 − это логарифмические
16
64
уравнения.
Основные способы решения логарифмических уравнений
217
I. Уравнение вида
loga f x loga g x ,
уравнению f x g x , если f x 0 , g x 0 .
a 0, a 1 , равносильно
II. При решении логарифмических уравнений часто вводят новую
переменную. Например, уравнение вида A log a2 f x B log a f x C 0 ,
a 0, a 1, c помощью подстановки loga f x y приводится к квадратному
уравнению Ay2 By C 0 .
III.
При
решении
показательно-степенных
уравнений
x
x
можно использовать метод логарифмирования.
Логарифмирование − это преобразование, при котором логарифм
выражения приводится к сумме или разности логарифмов переменных.
f (x)
g(x)
П р и ме р . Прологарифмируйте выражение по основанию 10 (все
переменные положительные): x 3ac .
Решение: lg x lg 3ac lg3 lga lgc .
Если в показательно-степенном уравнении в показателе степени
содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по
основанию этого логарифма.
Слова
и
словосочетания:
логарифми́ческое
логарифми́рование, логарифми́ровать-прологарифми́ровать.
уравне́ние;
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите уравнение log 3 4 x 1 6 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 1 0 x 1 . По
6
определению логарифма: x 1 3 4 x 1 42 x 17 .
Ответ: 17 .
2. Решите уравнение log3 x 2 4x 5 log3 7 3x .
x 2 4x 5 0,
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x :
x 1
7
3x
0;
Тогда x 2 4x 5 7 3x x 2 x 12 0 x1 3, x 2 4D x .
Ответ: 3 .
3. Решите уравнение lg x 6 0,5lg 2 lg3 lg x 10 .
218
x 6 0,
x 10 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x :
x
10
0;
Умножим обе части уравнения на 2: 2lg x 6 lg 2 2lg3 2lg x 10
lg x 6 lg 2 lg32 lg x 10 lg x 6 lg 2 lg9 lg x 10
2
2
lg x 6 lg18 x 10 .
2
Тогда x 6 18 x 10 x 2 30x 216 0 x1 12, x 2 18 .
Ответ: 12, 18 .
2
4. Решите уравнение log x 5 5 1,25 log 2x 5 .
x 0,
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x :
.
x 1.
Преобразуем данное уравнение:
3
1 2
1 2
5
3
5
log x 5 2 log x 5 2 log x 5 log x 5 2 .
4
2
4
log x 5 y ,
Пусть
y1 1,
3
5 1
y y2 y2 6y 5 0
y
5;
2
4 4
2
тогда
x1 5,
x 2 5 5.
Ответ: 5, 5 5 .
log x 5 1,
log 5 5;
x
5. Решите уравнение x x
x
x
.
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0 .
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: x lg x x lg x
1
1
x lg x x lg x
x 2 x lg x 0 . Так как x 0 x 0 . Тогда
2
2
2 x 0,
x1 4,
x 1.
2
lg x 0;
Ответ: 1, 4 .
6. Решите уравнение x log2 x 2 8 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0 .
Прологарифмируем
обе
части
уравнения
log 2 x log 2 x 2 log 2 8 log 2 x 2 log 2 x 3 .
219
по
основанию
2:
x1 2,
y1 1,
log 2 x 1,
Пусть log 2 x y , тогда y 2y 3 0
x2 1 .
y
3;
log
x
3;
2
2
8
1
Ответ: 2, .
8
2
2
7. Решите уравнение: 6log6 x x log6 x 12 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0 .
log x
6
x log6 x 12 . Так как 6log 6 x x
Преобразуем данное уравнение: 6log6 x
, то получим x log6 x x log6 x 12 2x log6 x 12 xlog6 x 6 .
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: log6 x log6 x log6 6
x1 6,
2
log6 x 1 log 6 x 1
x2 1 .
6
1
Ответ: 6, .
6
8. Решите уравнение: log0,2 4x log5 x 2 75 1 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0 .
Перейдем к одному основанию логарифмов:
как
log5 0,2 log5 51 1 ,
то
log5 4x
log5 x 2 75 1 . Так
log5 0,2
log5 4x log5 x 2 75 1
x1 5,
x 2 75
x 2 75
log5
log5 5 . Тогда
5 x 2 20x 75 0
4x
4x
x 2 15.
Ответ: 5, 15 .
9. Решите уравнение: x loga x a 2x , где a 0, a 1 .
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0 .
Прологарифмируем
обе
части
уравнения
по
основанию
loga x loga x 2loga a log 2 x log a2 x log a x 2 0 .
log a x 2,
y1 2,
Пусть log a x y , тогда y2 y 2 0
y
1;
log
x
1;
2
a
220
x a 2,
1
x 1 .
2 a
а:
1
Ответ: a 2 , .
a
10. Решите уравнение: logx (9x2) ∙ log32 x = 4.
Р е ш е н и е . Найдем область определения D x : x 0, x 1 .
Преобразуем данное уравнение:
1
1
log x 9 log x x 2
4 2log x 3 2
4.
2
2
log x 3
log x 3
Пусть
log x 3 y ,
y1 1,
2y 2 4y 4y 2y 2 0
y2 1 ;
2
2
тогда
2
x1 3,
log x 3 1,
1
log x 3 ; x 2 1 .
9
2
1
Ответ: 3, .
9
УПРАЖНЕНИЯ
Решите уравнения:
А. 1) log3 x log3 1,5 log3 8 ;
2) log 7 x log 7 12 log 7 3 ;
3) log0,3 x 2log0,3 6 log0,3 12 ;
5) log5 (x 1) log5 (2x 3) 1 ;
6) loga x loga 5 log a 3 ;
7) lg 2 x 1 .
4) log 2 (x 2 4x 3) 3 ;
Б. 1) log52 x log 5 x 3 0 ;
2) loga x log a 2 log 1 3 ;
a
3) log52 x log0,2 x 2 ;
x lg x 10000 ;
x log2 x 2 8 ;
1
5
6)
1;
lg x 6 lg x 2
7) lg(x 6) 0,5lg(2x 3) 2 lg 25 ;
4)
5)
9) lg
x6
lg 4 ;
2x 3
2
10) 3log3 x x log3 x 162 ;
11) x 2 log x 27 log9 x x 4 ;
12) log 2 (3x 1) log 2 (4 x) 4 log 2 (x 1)
2
13) log3 x log9 x log 27 x log81 x .
3
8) log 2 (9x 1 7) 2 log 2 (3x 1 1) ;
221
B. 1) log 2 x
2)
2
lg x lg x ;
10)
lg x
3) lg(x ) 1 ;
4) 2lglg x lg(7 2lg x) lg5 ;
5) lg x
(a c)lg(a c)
(a c)
lg(a c)
log x 5x log5 x 1;
11) 5lg x 50 x lg 5 ;
2
12) log x (125x) log 25
x 1;
13) log8 x 2 log2x 2 1;
3
;
14) 4lg x 32 x lg 4 0 .
2
6) 2lg( x) lg x ;
7) log x 2 log x 2 log x 2 ;
16
2
8) (0,4)lg x 1 (6,25)2lg x ;
9) log 4 (log 2 x) log 2 (log 4 x) 2 ;
4
5;
log x 2
64
Ответы: A. 1) 12; 2) 4; 3) 3; 4) – 5 и 1; 5) ; 6) 15; 7) 0,1 и 10.
4
Б. 1) 0,2 и 125; 2) ; 3) 0,2; 25; 4) 0,01; 100; 5) 0,5 и 8; 6) 100 и 108 ; 7) 6; 14;
3
1
1
8) 1; 2; 9) 6; 14; 10) и 9; 11) 2; 12) 3; 13) и 9.
9
9
B. 1) 2; 2) 1; 104 ; 3) 0,1; 10; 4) 10; 5) 10; 6) – 100; – 1; 7) 4;8; 8) 10; 105 ; 9) 16;
1
10)
; 11) 100; 12) 5 и 54 ; 13) 2; 14) 100.
25
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое уравнение называется логарифмическим?
2. Является ли уравнение lg5 x lg 6 3 логарифмическим?
3. Запишите
область
определения
логарифмического
loga f x loga g x в виде системы неравенств.
4. Что такое логарифмирование?
5. Как решаются показательно-степенные уравнения?
уравнения
§ 8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Логарифмическое неравенство – это неравенство, в котором переменная
находится под знаком логарифма или в основании логарифма.
Пример.
log3 x log3 27 ,
log
x2
3 2x 1
неравенства.
222
−
это
логарифмические
I.
Основные способы решения логарифмических неравенств
Неравенство вида
loga f x loga g x равносильно системе
f x 0,
при a 1 или системе
g x 0,
f x g x ;
f x 0,
при 0 a 1.
g x 0,
f x g x ;
II. При решении неравенств вида log x f x log x g x (основание
логарифма содержит переменную) нужно рассмотреть два случая: x 1 и
0 x 1 . Решение таких неравенств сводится к решению двух систем:
x 1,
f x 0,
а)
g x 0,
f x g x ;
0 x 1,
f x 0,
б)
g x 0,
f x g x .
Слова и словосочетания: логарифми́ческое нера́венство.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решите неравенство log0,5
5x 3
1.
x2
5x 3
log0,5 0,5 .
x2
5x 3
5x 3
0,
x 2 0,
x 2
Это неравенство равносильно системе:
5x 3 0,5 x 2
5x
3
0,5;
0;
x 2
x2
5x 3
x 2 0,
4,5x 4 0.
x 2
Решение системы показано на рисунке 9.11:
Р е ш е н и е . Выразим правую часть через логарифм: log0,5
3 8
Получим x ; .
5 9
3 8
Ответ: x ; .
5 9
3
5
–2
223
8
9
Рисунок 9.11
х
2. Решите неравенство log 20 x log 20 x 1 log 20 2x 6 .
x 0,
x 1 0,
x 0,
Решение.
2x
6
0,
x
x
1
2x
6;
log 20 x x 1 log 20 2x 6 ;
x 0,
x 0,
x 0; 3 .
2
x
3
x
2
0;
x x 6 0;
Ответ: x 0; 3 .
3. Решите неравенство log 2 2 x 1 log 2 2 x 1 2 2 .
log 2 2x 1 log 2 2 log 2 2x 1 2 log 2 2x 1 1 log 2 2x 1 2 .
Пусть log 2 2 x 1 y , тогда y 1 y 2 y2 y 2 0 2 y 1 .
5
5
2 log 2 x 1 1 22 2x 1 2 2x 3 log 2 x log 2 3 .
4
4
Р е ш е н и е . Так как 2x 1 2 2 2x 1 , то
Тогда
5
Ответ: x log 2 ; log 2 3 .
4
x2 x
0.
4. Решите неравенство log 0,3 log6
x4
x2 x
0,
log 6
x
4
x2 x
x2 x
0,
0,
x 2 x
x4
x4
0,
Решение.
2
2
x
4
x x
x x
log
1;
2
6
x 4 6;
x x
x4
1;
log 6
x4
x2 x
x 2 5x 24
x 3 x 8 0 x 4; 3 8; .
6
0
x4
x4
x4
Ответ: x 4; 3 8; .
5. Решите неравенство log
x2
3 2x 1.
Р е ш е н и е . Выразим правую часть через логарифм:
log
x
2
3 2x log x 2 x 2 .
Решим совокупность двух систем неравенств
224
x 1,
x 1,
2
x 1,
x 1,5,
3 2x 0,
x 2 2x 3 0;
2
3 2x x ;
1 x 0,
2
0 x 1,
3 2x 0,
0 x 1,
3 2x x 2 ; x 1,5,
x 2 2x 3 0;
Ответ: x 3; 1 .
x 1,
x 1,
x 1,5,
3 x 1;
3 x 1 .
1 x 0,
0 x 1,
x 1,5,
x 3,
x 1;
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите неравенства:
4) log 0,5 2x 4 1 ;
5) log 4 6x 8 2 .
А. 1) log3 (12 2x x 2 ) 2 ;
2) log 4 x 1 log 4 x log 4 2 ;
3) log5 (x 3) 2 ;
x
Б. 1) log 6,7
0;
x3
log 2
3x 1
x 1;
5) 3
log3 (x 1)
6)
0;
2x 1
7) 5x 2 log 0,3 x 0 ;
x2 x
log
0;
2)
0,4 2
x 1
3) log3 2x 2 log3 (7x 3) ;
8) log5 (x 2 4x 3) 0 .
2
4) log0,5 x log0,5 3x ;
4) log0,5 x log0,3 x ;
3x 6
5) log0,3 log 2
0.
x2 2
x 2 8x
B. 1) log0,5 log8
0;
x 3
2) log 2x 3 x 2 1 ;
3) x lg x 100x ;
Ответы: 1. А. 1) (– 3; 1); 2) (0; 1); 3) (3; 28); 4) (2; 3); 5) 4; .
1 1
3) (0,5; 3); 4) (0; 3); 5) ; ; 6) (1; 2);
3 2
7) 0; 0,4 1; ; 8) 2 7; 2 8 (2 8; 2 7) .
Б. 1) (; 3) ; 2)
; 1 ;
B. 1) 3; ; 2) (– 1,5; 3), x 1, x 0 ; 3) (0,1; 100); 4) (0; 1); 5) (– 0,5; 2).
225
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое неравенство называется логарифмическим?
2. Какой системе равносильно неравенство loga f x loga g x ?
3. Какие случаи нужно рассмотреть при решении неравенства
log x f x log x g x ?
226
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы /
М. И. Башмаков. – М. : Дрофа, 1999. – 396 с.
2. Залогін М. С. Конкурсні задачі з математики / М. С. Залогін. – К. :
Техніка, 1966. – 411 с.
3. Кочетков Е. С. Алгебра и элементарные функции / Е. С. Кочетков,
Е. С. Кочеткова. – М. : Просвещение, 1972. – Ч. 1. – 350 с.
4. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начал анализа / В. С. Крамор. – М. : Просвещение, 1990. – 416 с.
5. Математика. Алгебра и начала анализа / под общ. ред. А. И. Лобанова.
– К. : Вища шк. Главное изд-во, 1987. – 304 с.
6. Методические указания по математике для самостоятельной работы
студентов позднего заезда и техникумовских групп (вводный курс) / сост.:
Л. К. Коробова, Ф. В. Слюнина. – Х. : ХГУ, 1992. – 88 с.
7. Худобин А. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям /
А. И. Худобин, Н. И. Худобин, М. Ф. Шуршалов. – М. : Просвещение, 1973. –
446 с.
8. Algebra and Trigonomerty / Stanly A. Smith, Randall I. Charles, John A.
Dossey, Mervin L. Keedy, Marvin L. Bittinger. – USA, Addision-Wesley Publishing
Company, 1994. – 946 p.
227
