Беговатов Е.А., Петренко А.Г. Задача определения высоты в

К ВОПРОСУ О ВОССТАНОВЛЕНИИ ПОЛА И ВЫСОТЫ В ХОЛКЕ
КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА ПО МЕТАПОДИЯМ.
Беговатов Е.А.,Петренко А.Г..
Перед исследователем
истории животноводства населения
древних культур постоянно возникает задача восстановления физического облика животного по костным остаткам, найденным при
археологических раскопках и,в частности,задача определения пола и высоты в холке крупного рогатого скота (КРС) по метаподиям .Причина выбора для решения этой задачи метаподий и трудности,возникающие при этом,были подробно разобраны В.И.Цалкиным [1] при анализе костных остатков из поселений Восточной
Европы, а также при исследовании замеров метаподий КРС калмыцкой породы.Аналогичные работы были произведены и другими авторами [2-5]. Г.Нобис предложил для определения пола животного
брать следующую величину : ширина верхнего эпифиза*100/ длина
метаподии.По его замерам для пясти эта величина для коров, волов и быков находилась в пределах (26.5-29.7), (29.0-31.9),
(30.6-39.8) соответственно.
Как показали исследования В.И.Цалкина,применение этих интервалов для определения пола КРС типа калмыцкой породы могут
привести к неправильным выводам. Возможно это было связано с
тем,что Г.НОбис разрабатывал свою методику на костях КРС существенно отличающихся от метаподий калмыцкого скота. С целью
уменьшения возможных ошибок он предложил использовать парные
корреляционные графики, которые при определении пола использовали уже две величины:один абсолютный (длину метаподии),а другой относительный размер (отношение ширины диафиза к длине).
По-видимому,полностью избежать ошибок при определении пола(во всяком случае при существующих замерах на метаподиях)невозможно и тем не менее, современные методы
математической
статистики позволяют полнее использовать данные и,следовательно,уменьшить ошибки при работе с костями КРС различных популяций.
Ниже рассмотрено применение этих методов для анализа костей КРС калмыцкой породы, а затем и для исследования метаподий с различных археологических памятников.Для полноты изло-
- 2 жения здесь приводятся некоторые сведения из многомерного статистического анализа (дискриминантного и регрессионого). Более
подробно эти сведения можно получить, например,из работ [6-7].
При расчетах на ЭВМ ЕС-1045 использовался пакет прикладных
программ [8].
Определения пола крупного рогатого скота на основе
дискриминантного анализа Фишера.
Целью дискриминантного анализа является нахождение парамеметров функций (дискриминантных),которые используются для вынесения решения о том ,к какому из заданного множества (в
нашем случае : корова(к), вол(в) или бык(б)) принадлежит индивидуум (метаподия).Среди различных методов дискриминантного
анализа в настоящее время получил широкое распространение линейный дискриминантный анализ Фишера [6-7].
Пусть Fк(x),Fв(x),Fб(x)
плотности распределения (доли)
индивидумов ( в нашем случае коров, волов, быков ), обладающих
определенным размерам x. Это могут быть как абсолютные размеры, так и относительные, вычисленные по ним. Мы будем ниже использовать следующие величины:наибольшую длину x1, латеральномедиальную ширину верхнего и нижнего эпифизов x2 и x3, наименьшую ширину диафиза x4. По этим размерам были вычислены и
другие параметры.В частности:относительная ширина верхнего(y1=
100*x2/ x1) и нижнего (y2=100*x3/ x1) эпифизов, относительная
ширина диафиза (y3=100*x4/ x1) и индекс y4=100*(x2+x3)/ x1.
При использовании дискриминантного анализа Фишера считается,что функция плотности F(x) имеет вид нормальной (гауссовой)
плотности, которая зависит от вектора математического ожидания
M=(m1,m2,...,ms) и матрицы ковариации Z. Практически вопрос
ставится таким образом : имеется метаподия с s размерами ( замерянными абсолютными или вычисленными относительными величинами), определяющей некоторую точку x в пространстве s-измерений. Как реши ть, к какому из вышеуказанных полов КРС отнести
эту кость?. Наиболее естественным будет ответ -отнести метаподию к тому полу i, для которой плотность Fi принимает наиболь-
- 3 шее значение в точке x,т.е. Fi(x) > Fj(x) для любого j. Границу между i и j полами можно найти из уравнения Fi(x)=Fj(x).
На практике обычно находят среднюю матрицу ковариации для
всех популяций. В этом случае можно сравнивать не сами плотности,а выражения [6-7] hj(x)=((x,vi)- ti) и hi(x)=((x,vj)- tj),
где vi=Zo*Mi, ti=(Mi,vi) , Zo- матрица, обратная к матрицы
ковариации Z, а h(x)=v1*x1+v2*x2+...+vs*xs - t. Таким образом,
данная точка (метаподия) относится к той популяции, для которой линейная функция hj(x) в точке x принимает максимальное
значение. При этом могут возникнуть естественные ошибки Aki:
мы говорим, что метаподия относится к животному пола i , а на
самом деле она относится к животному пола k. Величина Akk определяет вероятность правильного решения.
Исходя из вышесказанного и замеров В.И.Цалкина по КРС калмыцкой породы(к сожалению,восстановленных для коров не полностью,поскольку они приведены у В.И.Цалкина в графиках),нами были проведены расчеты для оценки средних значений пясти и плюсны, а также ковариационная и корреляционная матрицы отдельно
для коров (n1=59) , волов (n2=13) и быков (n3=10) ( таблицы
7-9). Была вычислена и общая матрица ковариации Z= (n1*Z1 +
n2*Z2 + n3*Z3)/ (n1+n2+n3). Затем были найдены коэффициенты
дискриминантных функций h(x): v и t .
В первую очередь для пясти была рассмотрена одномерная модель . В качестве переменной мы взяли отношение y1, предложенное Г.Нобисом. В этом случае легко вычисляются границы (разделяющие точки) между интервалами изменения этой величины для
каждого пола из уравнения Fк(x)=Fв(x), Fв(x)=Fб(x). В эти уравнения входят лишь средние M и дисперсии D=s*s ( s-стандартное
отклонение), которые привены в таблицах 7-9. После логарифмирования они сводятся к квадратным уравнениям,которые легко решаются. Решением первого уравнения является значение y1=30.2, а
второго y1=33.2.
Таким образом, если значение y1 < 30.2, то при нимается решение о том,что пясть принадлежит корове;если 30.2 < y1 < 33.2,
то пясть принадлежит волу;если y1 > 33.2 ,то прини мается реше-
- 4 ние о принадлежности пясти быку.
Поскольку в случае КРС калмыцкой породы мы точно знаем пол
животного, которому принадлежит соответствующая метоподия, то
можно оценить и возможную ошибку при определения пола животного
по этим границам. Значение ошибок приведены в таблице 2. Например,значение (4/59) говорит о том, что из 59 замеренных пястей
коров по данному критерию 55 пястей мы бы отнесли к коровам,
4 - к волам и 0 к быкам .
Нами была рассмотрена ( наряду с другими) величина y4=100*
(x2+x3)/ x1. Граничными точками, разделяющими интервалы изменения этой величины для коров, волов и быков являются числа
60.8 и 65.8. Возможные ошибки, возникающие при использовании
индекса y4 и этих границ приведены также в таблице 2. Из сравнения их с ошибками,возникающими при использовании индекса y1
видно,что последний критерий,основанный на величине y4 предпочтителенее (по крайней мере для КРС типа калмыцкого).
Далее исследовались многомерные модели, учитывающие все размеры метоподии.В таблице 1 приведены вычисленные значения коэффициентов дискриминантных функций для трех моделей:первая модель учитывает размеры x1-x4; вторая трехмерная-она учитывае относительные размеры y1,y2,y3; последняя модель учитывает как
линейные размеры x1,x2,x3,x4 так и относительный индекс y4.
Зная эти коэффициенты нетрудно восстановить и пол животного
по метаподии. Например, пусть мы имеем пясть с размерами x1=
217, x2=70, x3=67, x4=34 и y4=100*(70+67)/ 217=63.1.( Размеры
пясти вола мы взяли из работы В.И.Цалкина[1]). Вычислим значения дискриминантных функции для четырехмерной смешанной модели по формуле
hi= v1i*x1 + v2i*x2 + v3i*x3 + v4i*y4 - ti,
где коэффициенты дискриминантных функции берутся из таблицы 1 .
Для этих размеров пясти
hк=17.12*217-36.85*70-8.11*34+57.67*63.1-2203=2297,
hв=17.44*217-36.85*70-8.32*34+59.27*63.1-2363=2302,
hб=17.18*217-36.68*70-7.59*34+59.71*63.1-2307=2296.
Так как значение hв для данного значеия x самое большое, то
- 5 принимается решение о том, что данная пясть принадлежит волу и
следовательно в данном случае мы правильно определили пол животного. К сожалению, это не всегда бывает так.Об этом говорят
возможные ошибки, приведенные в таблице 2. С этой точки зрения
из таблицы видно, что лучше всего пользоваться одномерной моделью на основе индекса y4 или четырехмерной моделью на основе
абсолютных или смешанных размеров. Модель с использованием
индекса y1,предложенного Г.Нобисом дает несколько большие ошибки. Одномерная модель на основе y4 проще и она может соревноваться с многомерными по значениям возможных ошибок в определении пола КРС . Однако, как показали дальнейшие исследования,
для определения пола по пясти из археологических памятников
последняя многомерная модель обладает определенными преимуществами.
При археологических раскопках в "кухонных остатках"чаще всего находятся раздробленные метаподии,поэтому нами были рассмотрены и другие индексы, основанные на отношениях: x2/ x4 и
x3/ x4 , а также различные отношения для плюсны. Как видно из
таблицы 2 использование фрагментов для определения пола может
привести к значительным ошибкам.Использование плюсны возможно,
но ошибки возникающие при этом больше, чем при использовании
пяс ти. Этим таблица 2 численно потверждает выводы, сделанные
ранее В.И.Цалкиным.
Поскольку наши результаты основываются на данных КРС калмыцкой породы,то их можно применять для определения пола КРС близкого по породным данным к этой породе скота (напрмер,с Билярского или Булгарского городищ).Попытка использовать полученные
формулы для КРС мелкой породы с Чебоксарского городища, памятников Прибалтики [10] или Западной Европы [11] сразу же привело к очевидным ошибкам. Чтобы уменьшить их, найденные корреляционные функции были скорректированы на основе следующих соображений.Имеющиеся в нашем распоряжении промеры образуют смесь
различных замеров (коров, волов и быков). Локальные максимумы
на графиках (гистограммах,которые могут быть заданы и табличным способом см.таблицу 3) построенных на основе этих промеров
- 6 (мы использовали относительные величины) должны лежать около
средних значений индекса y4 (или y1) для коров, волов и быков.
Эти максимумы могут отсутствовать ( если в смеси мало особей
соответствующего пола) или быть размытыми. Поскольку значения
y4 (y1) для коров меньше чем для волов и быков, то левый максимум можно связать со средним значением индекса y4 (y1) для
коров,метаподии которых практически всегда и в большем количестве,чем кости КРС других полов встречаются на памятниках. В
качестве первого приближения было сделано следующее допущение: расстояние мужду этими вершинами, сответствующее опредеделенному полу практически не меняются при переходе от одной
породы к другой, а величина смещения определяется смещением
левого максимума. Таблица 3 отражает распределение смесей значений y4 (y1) для различных археологических памятников. Она и
позволяет оценить смещение левого максимума относительно коров
калмыцкой породы.
На основе этой таблицы и последующих уточнений средних значений были определены следующие дискриминантные границы изменения y4 "степной" породы: для коров
y4 < 60.8 ,для волов
60.8 < y4 < 65.8 ,для быков y4 > 65.8."Лесная" порода:для коров y4 < 58.0, для волов 58.0 < y4 < 63.0,для быков y4 >63.0.
Разделяющей точкой индекса y1 для коров и волов "степной" породы служит значение 30.2, а для "лесной" породы 28.5.Точками,
разделяющими волов и быков "степной" и "лесной" породы, служат
значения 33.3 и 31.5 соответственно. Эти границы позволили в
первом приближении определить пол животного с различных археологических памятников. Ранее мы использовали их для исследования метаподии КРС из археологических памятников Болгара и Биляра [9].
С целью уточнения результатов были построены различные корреляционные графики,учитывающие относительные и абсолютные размеры пясти. Анализ этих графиков показал, что для определения
пола лучше использовать размеры x1,x2,x3 и y4. В результате мы
имели замеры пясти КРС с точным известным полом ( калмыцкий
скот) и замеры пястей, пол которых был определен предположите-
- 7 льно:с булгарских памятников [10],древне-русских городищ [11],
памятников Прибалтики [11], а также Западной Европы. На основе
этого больщого материала нами были уточнены (последовательными
приближениями) коэффициенты дискриминантных функции для определения пола по пясти,которые представлены в таблице 1.Эти дискриминантные функции справедливы уже и для "степной" и для
"лесной" породы.Половой состав КРС,определенный по пясти,с раличных археологических памятников, приведен в таблицах 7-9.
Найденные дискриминантные функции для смешанной модели, основанной на четырех размерах x1,x2,x3 и y4 позволяют определять пол КРС независимо от породы животного. В тех случаях,если с пямятника имеется значительное количество пястей КРС для
большей достоверности результатов мы рекомендуем все же построить таблицы (или гистограмы) аналогичные таблице 3 и провести дополнительный анализ.
Следует отметить,что современный КРС подвергся значительной
селекции, поэтому применять эти функции при работе с остеологическим материалом подобного рода необходимо с большой осторожностью.
Определение высоты в холке на основе многомерного
регрессионого анализа.
В настоящее время при определении высоты в холке H исходят
из отношения H/ x1=b (или H=b*x1) и считают, что коэффициент
регрессии ( H на x1) зависит от пола животного. Конечно, для
каждого индивидума это соотношение записывается в виде H=b*x1
+e, где случайная величина e определяется различными неучтенными факторами и меняется от одного животного к другому. Значение коэффициента регресси b можно оценить по замерам длины
метоподии x1 и высоте в холке H каждого (i-го) из n -животных
исходя из минимизации средне-квадратической погрешности приближения (остаточной дисперсии)
Dост=сумма (Hi-b*x1i)*(Hi-b*x1i)/n.
(В.И.Цалкин и другие исследователи для определения b находили
среднее значение отношения H/ x1, но оно практически совпадает
- 8 со значением,которое минимизирует остаточную дисперсию).
Уменьшения погрешности приближения можно достигнуть за счет
применения многомерной модели (неоднородной или однородной (a=
0))
H=b1*x1+b2*x2+...+bk*xk+...+bs*xs+a.
В этом случае используется более широкий набор данных и это
может привести к более точному нахождения высоты в холке по
замерам на метаподии.
При нахождении коэффициентов регрессии мы исходили из известных формул многомерного анализа (см.,например,[6]):
bk=-U0k/U00, a=m0-b1*m1-b2*m2-...-bk*mk-...-bs*ms,
где mk-среднее значение переменной xk ( m0-среднее значение
высоты в холке),U0k-алгебраическое дополнение к матрице начальных смешанных моментов в однородной модели и алгебраическое
дополнение к матрице центральных смешаных моментов (ковариационной матрице Z)в случае неоднородной модели. Все эти величины
находятся по тем же самым формулам,что и в случае дискриминантного анализа.
На основе замеров,проведенных В.И.Цалкиным на КРС калмыцкой
породы были вычислены коэффициенты регрессии в случае однородной и неоднородной модели для пясти и плюсны.Результаты расчетов для коров (к),волов (в),быков (б) и случая, когда пол животного неивестен (?) приведены в таблицах 5-6. Для оценки точности приближения, а также для сравнения различных моделей в
таблицах приведены значения стандарных отклонений s(Dост=s*s).
Из сравнения таблиц для пясти и плюсны видно, что высота в холке, вообще говоря, лучше восстанавливается по плюсне. Но при
этом необходимо учитывать,что пол лучше определяется по пясти.
Поэтому, если высота в холке будет определяться по плюсне в
случае неизвестного или неправильно определенного пола, то
ошибка в определения высоты в холке может возрасти.Хотя и нельзя исключить случая,когда известны размеры пясти и плюсны
одного животного.
Остается открытым вопрос о том,какой из моделей однородной
или неоднородной отдать предпочтение. Это важный вопрос,поско-
- 9 льку высота в холке Hо, вычисленная для однородной модели может сильно отличаться от высоты Hн,вычисленной для неоднородной модели. Известные нам немногочислненные данные [3-4] не
позволяют полностью ответить на этот вопрос. К сожалению, мы
не имеем промеров по метаподиям и высоте в холке для мелкого
"лесного" скота. Такие замеры позволили бы ответить на этот
вопрос, если мы хотим использовать одну формулу для "степного"
и лесного" скота. Если использовать разные формулы для этих
двух случаев, то следует отдать предпочтение неоднородной модели. Поскольку данных для мелкого скота мы не имеет, то при
исследовании материалов с археологических памятников мы вычисляли две высоты Hо и Hн по следующим формулам:
Hо=b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4,
Hн=b1*x2+b2*x4+b3*x3+b4*y4+a.
Коэффициенты регрессии b и свободный член a для этих моделей
берутся из соответствующихь разделов из таблицы 5.
С целью уточнения найденных регрессионных моделей, в число
замеров КРС калмыцкой породы нами были включены и замеры других исследователей [3-4].Результаты I.Fock [5] мы не использовали по причине, указанной J.Matolcsi в [4]. На основе скорректированных статистических характеристик были вновь найдены
коэффициенты регрессии, которые приведены в таблице 5. Из этой
таблицы видно,что добавление материалов целевых замеров по КРС
других пород практически не изменило точности вычисления высоты в холке для коров и быков, однако резко увеличило среднеквадратическую ошибку для волов. Это произошло за счет большой ошибки в определении высоты в холке волов венгерской и
степной украинской породы.
Следуя данным J.Matolcsi[4], вол с размерами пясти (230,75,
76,43,65.6) (x1,x2,x3,x4,y4 соответственно) имел высоту в холке H=157. Вычисленная высота в холке с помощью найденных регрессионных моделей равна
Hо=0.82*230-1.30*75+0.26*76+0.73*43=142,
Hн=0.56*230-1.14*75+0.46*43+1.1*65.6+6=141,
Hц=0.613*230=141.
- 10 Коэффициенты регрессии,как уже говорилось выше брались из соответвствующих разделов таблицы 5 для вола (в).Высота Hц - высота в холке, вычисленная по формуле В.И.Цалкина Hц=b*x1.
Высота в холке быка той же породы с размерами x1=222,x2=76,
x3=75,x4=46,y4=68.0,H=142, найденная на основе этой же таблицы равна для разных моделей Hо=139,Hн=137 и Hц=139.
Для пясти коровы породы Dachauer Mooskuh [3] с размерами
(178,54,53,28) и высотой в холке H=115 восстановленная высота
в холке Hо=107,Hн=114 и Hц=106.
Конечно, разобранные выше примеры не могут характеризовать
различные модели.Как уже указывалось, для их сравнения необходимо исходить из остаточной дисперсии,приведенной в таблице 5.
Результаты исследований с некоторых археологических памятниковт на основе полученных формул регрессионного и дискриминантного анализа приведены в таблицах 7-9.
Важной задачей является восстановление высоты в холке по
фрагментам метаподии,поскольку они чаще встречаются на поселениях, чем целые. Например, восстанавливать высоту в холке по
ширине верхнего или нижнего эпифиза или ширине диафиза. Стандартные отклонения, приведенные в таблице для этих случаев показывают, что ошибки в определении высоты в холке возрастают
практически в два раза. Остается еще возможность восстановить
по фрагменту все остальные размеры метаподии, а после этого
найти пол и высоту в холке.Это задача требует дополнительного
изучения, поскольку в этом случае появляется возможность точнее определить статистические характеристики за счет привлечения огромного дополнительного материала.
Литература:
1.Цалкин В.И.Изменчивость метоподии и ее значение для изучения крупного рогатого скота древности. Бюлл.М.о-ва исп. природы.Отд.биологии,т.ХУ с.109-126,1960.
2.Nobis G.Zur kenntnis der Ur- und Fruhgeschichtichen Rinder und Nord- und Mitteldeutschlands.Z.Tierzucht.Zuchtungsbiol.
63,h.155-194,1954.
3.Boessneck J.Ein Beitrag zur Errechnung der Widerristhohe
- 11 nach Metapodienmassen bei Rindern. Z.Tierzucht. Zuchtundsbiol.
68,p.75-90,1956.
4.Matolcsi J. Historishe Erforschung der Korpergrose des
Rindes anf Grund von ungarischem Knochenmatetialen.Z.Tierzucht.
Zuchtungsbiol.87,p.89-137,1970.
5.Fock I. Metrische Untersuchungen an Metapodien einiger
europascher Rinderrassen.Diss.Munchen,1966.
6.Пугачев В.С.Теория вероятностей и математическая статистика.М.,Наука.1979.
7.Статистические методы для ЭВМ. Под редакцией
К.Энслейна,Э.Рэлсона,Г.С.Уилфа.М.,Наука.1986.
8.Программное обеспечение ЭВМ.Вып.65,Минск.АН БССР,1986.
9.Беговатов Е.А.,Петренко А.Г. К истории хозяиственной жизни населения домонгольского и золотоордынсккого периодов Волской Булгарии.-В кн:Волжская Булгария и монгольское нашествие.
Казанский филиал АН СССР,Казань,1988,с.103-114.
10.Петренко А.Г. Древнее и средневековое животноводство
среднего Поволжья и Приуралья .М.,Наука,1984.
11.Цалкин В.И. К истории животноводства и охоты в Восточной
Европе.МИА,N 107,М.,Наука,1962.
12.Durr G. Neue Funde des Rindes aus dem keltischen Oppidum
von Manching. Studien an vor- und fruhgeschtlichtn Tierresten
Bauerns.X11.,Munchen,1961.