Задачи для самостоятельного решения - Преподавателям

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ
ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ ПО МЕХАНИКЕ
Составители: Ю.Э.Овчинников, д.ф.-м.н.
А.А.Штыгашев, к.ф.-м.н.
Новосибирск 2001
УДК 22.2р30
ББК 530(077.3)
0 355
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Рецензенты:
Доктор физ.-мат. наук, профессор НГПУ
Л.А.Борыняк
Кандидат физ.-мат. наук, с.н.с., доцент НГПУ
Г.Ф.Сивых
Методические разработки по организации самостоятельной работы
студентов по механике.  Новосибирск: Изд. НГПУ, 2001. – 33 с.
В брошюре представлены контрольные задания по механике.
При отборе задач составители руководствовались соображениями
достаточной простоты и их учебно-прикладным характером. Даны
примеры решения задач. Разработки предназначены для студентов
заочного отделения физического и математического факультетов.
УДК 22.2р30
ББК 530(077.3)
 Новосибирский государственный
педагогический университет, 2001
2
ВВЕДЕНИЕ
Контрольные задания составлены для студентов заочного
отделения, но, конечно, могут быть использованы и в учебном процессе
на дневном отделении физического факультета педагогического
университета. В разделе "Механика" представлено 120 задач по восьми
подразделам. При составлении сборника были отобраны задачи
среднего уровня сложности, если считать за нижний уровень задачи
из известного сборника В.С. Волькенштейн, а за верхний - задачи из не
менее известного университетского сборника под редакцией И.А.
Яковлева. Курс общей физики изучается студентами-заочниками в
значительной степени самостоятельно по учебным пособиям,
лекционным и методическим материалам. В период лабораторноэкзаменационной сессии студенты слушают лекции по основным
разделам программы, выполняют лабораторные работы, решают
типовые задачи на практических занятиях, сдают зачеты и/или
экзамены. Если при изучении данного курса у студента возникают
вопросы, то каждый студент может получить консультацию,
обратившись к лектору, ведущему данный курс. Сдаче зачетов и
экзаменов предшествует самостоятельная работа в межсессионный
период по выполнению контрольных работ.
Требования к выполнению контрольных работ
1. Контрольную работу необходимо выполнять в сроки,
установленные учебным графиком, и сдавать на рецензирование в
начале экзаменационной сессии.
2. Контрольная работа выполняется в школьной тетради,
лицевая сторона должна иметь вид:
3
Новосибирский государственный
педагогический университет
ТЕТРАДЬ
для
контрольной работы по
механике
ученика класса (номер группы)
ФФ ОЗО
школы НГПУ
Иванова Сергея Матвеевича
№ зачетной книжки
Вариант № _____
_____________
подпись, дата
Проверил:_____________
подпись, дата
3. Контрольная работа выполняется перьевой или шариковой
ручкой. В работе допускается пользоваться чернилами или пастой
только синего, фиолетового или черного цвета. Запрещается
использование разноцветных фломастеров, маркеров и т. п. Графики
и рисунки аккуратно выполняются остро отточенным карандашом с
использованием линейки и циркуля. Для замечаний преподавателя
следует оставлять поля шириной не менее 30 мм. Каждую следующую
задачу необходимо начинать с новой страницы.
4. В первой строке, предваряющей запись условия задачи,
необходимо указывать номер варианта и - через пробел - номер
задачи. Условие задачи необходимо переписывать в тетрадь
полностью, а затем делать краткую запись условия и далее –
решения.
5. Решения задач должны сопровождаться исчерпывающими, но
краткими пояснениями, которые должны состоять в следующем:
4
5.1.Символическая запись основных законов и формул, на
которых основывается решение задачи, должна сопровождаться
разъяснениями буквенных обозначений физических величин.
5.2. Если при решении задачи использовалась формула, не
выражающая собой основной закон (например, законы Ньютона,
законы сохранения, закон Гука, уравнение Бернулли и т. п.) или
являющаяся хорошо известным следствием таких законов (например,
теорема Штейнера, кинетическая энергия вращающегося тела и т. д.),
то ее надо вывести.
5.3. Решение должно быть сначала найдено в общем виде.
6. Контрольная работа засчитывается, если все задачи решены
верно (в их решениях нет ошибок принципиального характера). В
случае, если контрольная работа при рецензировании не зачтена, она
возвращается студенту для полной или частичной переработки.
7. Студент обязан представить ее на повторное рецензирование,
включив в нее новые решения тех задач, в которых были обнаружены
ошибки. Запрещается исправлять ошибки в тексте, который уже
проверен преподавателем.
8. Повторная работа рецензируется только в том случае, если к
ней приложена не зачтенная ранее работа.
9. Контрольная работа, выполненная студентом не в соответствии
с его вариантом, назначаемым лектором потока, не проверяется и
возвращается как незачтенная работа.
10. Перед зачетом или экзаменом проводится собеседование по
контрольной работе, в ходе которого студент обязан дать все
необходимые пояснения по решенным задачам.
Для удобства пользования настоящим пособием в предлагаемой
ниже таблице приведены варианты заданий. Номер варианта для
каждого студента определяет лектор потока и фиксирует записью
номера на контрольном листе.
Таблица вариантов контрольных заданий
Номер
варианта
1
1
1.8
2
1.6
3
1.5
Номера задач
2.1
2.5
2.4
3.11
3.3
3.2
2
4.5 5.14
4.10 5.3
4.4 5.15
5
6.4
6.3
6.8
7.15
7.12
7.2
8.7
8.4
8.1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
1.4
1.1
1.14
1.2
1.4
1.10
1.3
1.11
1.7
1.11
1.3
1.1
1.12
1.14
1.13
1.15
1.5
1.1
1.2
1.6
1.15
1.14
1.10
1.7
1.11
1.14
1.9
1.8
1.7
1.12
1.11
1.9
1.5
1.4
1.2
1.3
1.10
1.5
2.11
2.7
2.14
2.6
2.2
2.3
2.7
2.10
2.3
2.4
2.12
2.13
2.6
2.14
2.10
2.11
2.8
2.1
2.3
2.8
2.9
2.13
2.8
2.15
2.11
2.12
2.15
2.10
2.7
2.2
2.12
2.1
2.13
2.9
2.7
2.2
2.14
2.6
3.5
3.7
3.12
3.14
3.1
3.11
3.10
3.3
3.2
3.15
3.7
3.14
3.10
3.6
3.9
3.12
3.5
3.8
3.4
3.13
3.4
3.3
3.1
3.13
3.11
3.3
3.4
3.15
3.11
3.5
3.9
3.6
3.10
3.5
3.12
3.15
3.4
3.9
4.5
4.15
4.11
4.15
4.6
4.9
4.14
4.9
4.10
4.2
4.7
4.10
4.12
4.8
4.3
4.11
4.2
4.10
4.11
4.14
4.13
4.8
4.12
4.5
4.1
4.13
4.9
4.3
4.10
4.15
4.6
4.13
4.7
4.11
4.8
4.2
4.9
4.11
5.8
5.11
5.10
5.3
5.8
5.7
5.9
5.12
5.15
5.15
5.10
5.8
5.5
5.11
5.3
5.6
5.12
5.5
5.2
5.10
5.7
5.1
5.14
5.7
5.6
5.11
5.9
5.13
5.4
5.12
5.10
5.6
5.4
5.7
5.1
5.2
5.4
5.11
6
6.6
6.14
6.3
6.6
6.1
6.2
6.15
6.12
6.9
6.14
6.4
6.12
6.2
6.11
6.10
6.11
6.13
6.15
6.2
6.11
6.3
6.1
6.3
6.9
6.13
6.5
6.12
6.9
6.8
6.15
6.2
6.8
6.5
6.11
6.1
6.7
6.5
6.12
7.5
7.1
7.2
7.11
7.15
7.5
7.12
7.7
7.11
7.3
7.14
7.6
7.13
7.5
7.4
7.5
7.12
7.14
7.9
7.10
7.11
7.6
7.15
7.9
7.6
7.10
7.4
7.15
7.1
7.3
7.4
7.9
7.2
7.8
7.6
7.13
7.2
7.4
8.5
8.11
8.9
8.8
8.4
8.7
8.3
8.12
8.10
8.14
8.7
8.12
8.15
8.6
8.8
8.11
8.6
8.13
8.6
8.10
8.13
8.9
8.15
8.14
8.10
8.5
8.2
8.11
8.9
8.7
8.6
8.3
8.13
8.15
8.2
8.3
8.14
8.5
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1.13
1.9
1.15
1.13
1.15
1.2
1.4
1.9
1.8
1.3
1.6
1.13
1.2
1.6
1.3
1.8
1.13
1.7
1.10
2.5
2.8
2.11
2.2
2.13
2.5
2.1
2.4
2.5
2.15
2.6
2.10
2.14
2.3
2.7
2.10
2.4
2.15
2.12
3.6
3.8
3.14
3.1
3.2
3.13
3.1
3.8
3.12
3.6
3.10
3.2
3.15
3.8
3.13
3.9
3.6
3.5
3.7
4.3
4.12
4.6
4.7
4.13
4.4
4.5
4.8
4.1
4.14
4.6
4.15
4.2
4.9
4.4
4.5
4.7
4.12
4.3
5.13
5.8
5.5
5.9
5.14
5.1
5.14
5.3
5.4
5.10
5.5
5.6
5.13
5.2
5.12
5.9
5.13
5.15
5.2
6.1
6.10
6.2
6.13
6.6
6.4
6.9
6.14
6.7
6.11
6.7
6.10
6.4
6.13
6.8
6.10
6.15
6.6
6.5
7.5
7.8
7.14
7.10
7.1
7.3
7.8
7.9
7.7
7.10
7.1
7.7
7.13
7.14
7.8
7.12
7.4
7.13
7.11
8.3
8.1
8.14
8.5
8.4
8.11
8.9
8.1
8.12
8.8
8.12
8.2
8.4
8.2
8.10
8.1
8.8
8.6
8.15
Требования и рекомендации по решению задач
Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо изучить
теоретическую часть по рекомендуемым учебным пособиям, записям
лекций и практических занятий. Внимательно прочитав условие
задачи, все данные необходимо перевести в одну из систем единиц
измерения (рекомендуется Международная система единиц ― СИ),
установить, все ли нужные для решения задачи данные приведены в
условии (зачастую это можно выяснить лишь в ходе решения задачи).
Очень полезно, а иногда и необходимо, представить условие
задачи в графическом виде. Например, если решается задача на
движение тела, то желательно нарисовать траекторию движения тела,
нанести на рисунок силы, действующие на тело.
Для описания объекта разумно использовать предельно простые
модели (математический маятник, абсолютно твердое тело, невесомая
и нерастяжимая нить, ламинарное течение жидкости и т. п.). Все
сделанные в ходе решения задачи упрощения необходимо указывать в
записи решения.
7
Решение задачи необходимо проводить в общем виде.
Использование в промежуточных вычислениях конкретных численных
значений физических величин очень часто ведет к серьезным ошибкам
в конечном результате и не дает возможности делать обобщения,
которые всегда более интересны, чем частные ответы. После вывода
расчетной формулы необходимо проверить соответствие полученной
размерности с искомой. Затем, если возможно, исследовать полученное
решение в предельных случаях (например, как ведет себя решение,
если числитель и знаменатель сложной дроби стремятся к нулю и т. п.).
Полученное значение искомой величины рекомендуется оценить,
исходя из соображений здравого смысла, законов сохранения энергии,
импульса и момента импульса и т. п.
В ходе вычислений необходимо следить, чтобы значения получаемых
величин имели количество значащих цифр, соответствующее точности
исходных данных.
В заключение специально отметим, что последовательность
выписанных формул не является решением задачи, даже если формулы
адекватны и ответ правилен. Задача считается решенной в том случае,
если в конце процесса решения проведен анализ полученной расчетной
формулы и получены, если требуется, численные оценки искомых
физических величин.
Для иллюстрации изложенных выше требований и рекомендаций
приведем примеры решения задач.
Пример 1. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три
массы m1=1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг, связанные нитями между собой и
с массой m4 = 1 кг, подвешенной через блок (однородный диск) массой
mb = 1 кг и радиусом r = 5 см (рис. 1). Найти ускорение системы и
натяжение всех нитей, считая, что нити невесомы и нерастяжимы,
трением пренебречь.
Решени е
1. Выпишем все данные, необходимые для решения задачи:
m1 = 1 кг mb = 1 кг
m2 = 2 кг r = 0,05 м
m3 = 3 кг g = 9,8 м/с2
m4 = 1 кг
2. Введем координатные оси x и y, которые удобно направить
вдоль линий действия сил и нанесем на рис.1 все силы: m4g, T1, Т2,
8
Т3, Т4, Т5, Т6, Т7, Т8. Так как нити нерастяжимы, то все тела движутся
с одинаковым по абсолютной величине ускорением.
3. Составим систему уравнений движения всех тел:
m1a  T8
m2a  T6T7
m3a  T4T5
m4a  T1m4g
J
d
 M2  M3
dt
От векторов перейдем к их проекциям на координатные оси,
тогда система уравнений будет иметь вид
m1a  T8
m2a  T6T7
m3a  T4T5
m4a  m4gT1
J
d
 M2  M3
dt
Далее, согласно условию задачи, пренебрегаем массой нити по
сравнению с массами тел и записываем на основании третьего закона
Ньютона следующие соотношения:
9
T8 = T7, T5 = T6, T3 = T4, T1 = T2
Момент инерции блока равен
J
1
mb r 2
2
Моменты сил, действующих на блок, равны соответственно
M 2  rT2 sin 90o  rT2
M 3  rT3 sin 90o  rT3
Угловое ускорение  вращательного движения блока связано с
линейным ускорением a его края и груза (нить не проскальзывает и
нерастяжима)
d a


dt
r
Тогда система уравнений движения принимает вид
m1a  T8
m2a  T6T8
m3a  T4T6
m4a  m4gT2
1
mb a  T2  T4
2
Суммируя левые и правые части, получим
1
(m1  m2  m3  m4  mb )a  m4 g
2
m4
a
g
1
m1  m2  m3  m4  mb
2
10
Из системы уравнений найдем натяжения нитей
T8 
T6 
T4 
m1m4
g
(m1  m2 )m4
g
1
m1  m2  m3  m4  mb
2
1
m1  m2  m3  m4  mb
2
(m1  m2  m3 )m4
g
1
m1  m2  m3  m4  mb
2
1
(m1  m2  m3  mb )m4
2
T2 
g
1
m1  m2  m3  m4  mb
2
В полученные расчетные формулы подставим численные значения
масс и ускорения, имеем
а = 1,3 м/с2
Т8 = Т7 = 1,3 H, Т6 = Т5 = 3,9 H, Т4 = Т3 = 7,8 H, Т2 = Т1 = 8,5 H.
Таким образом, наибольшее натяжение испытывают нити,
прикрепленные к грузам m3 и m4, а ускорение зависит от соотношения
масс m1, m2, m3, mb - с одной стороны и m4 - с другой.
Рассмотрим второй пример, качественно отличающийся по
характеру решения.
Пример 2. Маховик, имеющий вид диска радиусом 40 см и
массой 40 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его
цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к
другому концу прикреплен груз массой 0,2 кг. Упав с высоты 2 м, груз
натянул нить и привел маховик во вращение. Определить угловую
скорость маховика в момент начала вращения.
Решение
11
1. Выпишем все данные, необходимые для
решения:
m1 = 40 кг
h=2м
r = 0,4 м
m2 = 0,2 кг
g = 9,8 м/с2
2. Анализ условия задачи. Поскольку
разгон маховика происходит
за очень
короткий и неопределенный промежуток
времени
(рывок, удар), то использовать
можно только законы сохранения. Для
системы "груз-маховик" не сохраняется
импульс (после рывка изменяется скорость
груза, а импульс маховика всегда равен нулю), также не сохраняется
механическая энергия (рывок неупругий, часть импульса, а следовательно,
энергии, передается опоре). Таким образом, для использования остается
закон сохранения момента импульса; последний следует рассчитывать
относительно оси маховика, так как передаваемый оси момент
импульса равен нулю в этом случае.
3. Составляем уравнение закона сохранения момента импульса.
Момент импульса системы относительно оси маховика до рывка равен
L = rm2v
Здесь v - скорость, приобретенная грузом за время свободного
падения, vr. Момент импульса системы после рывка равен
L = rm2v  J
(направления L и L' одинаковы). Здесь v' - скорость груза после рывка,
 - угловая скорость маховика после рывка, J - момент инерции
маховика. Угловая скорость  связана с линейной скоростью v'
известным соотношением
v  r
так как после рывка скорость груза равна линейной скорости крайних
точек диска.
Закон сохранения момента импульса имеет вид
L = L
или
12
rm2v  rm2v  J
1
rm2 v = (m2 r  m1r 2 )
2
m2 v
=
1
rm2  rm1
2
2
Скорость груза в момент удара найдем из кинематического
соотношения для свободного падения
v = 2 gh
Тогда расчетная формула для угловой скорости маховика есть
2 gh
m2
=
1
r
m2  m1
2
4. Проведем анализ полученного выражения. При m10, т.е.
для невесомого блока, моментом инерции пренебрегаем, и угловая
скорость блока будет определяться линейной скоростью груза до
рывка:
2 gh v
m2
=
1
m10
r
m2  m1 r
2
 = lim
Пусть m1>>m2, тогда угловая скорость будет мала по сравнению с
v/r :
 2
m2
m1
2 gh v
=
r
r
что вполне разумно.
13
5. Вычислим конкретное значение угловой скорости в начальный
момент после рывка

0,2
2  9,8  2
= 0,15 рад/c
0,2  0,5  40
0,4
Список рекомендуемой литературы
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. 
М.: Наука, 1985 (и др. годы издания).
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. –
СПб.: Специальная Литература, 1999 (содержание значительно
отличается от предыдущих изданий).
3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике.  М.: Высшая
школа, 1981.
4. Сборник задач по общему курсу физики. Механика. /под ред.
И.А.Яковлева.  М.: Наука, 1977.
5. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная
физика.  М.: Наука, 1986.
6. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей
физики.  М.: Высшая школа, 1977.
7. Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы.  М.:
Высшая школа, 1986.
ЗАДАЧИ
1. Кинематика
1.1. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через
60 минут после этого он повернул обратно и встретил плот на
расстоянии 6,0 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при
движении в обоих направлениях мотор катера работал с одинаковой
мощностью.
1.2. Поезд метро проходит перегон длиной 2 км за 140 секунд.
Максимальная скорость поезда равна 60 км/ч. В начале и в конце
перегона поезд движется с постоянными ускорениями, равными по
14
величине и противоположными по направлению. Определить эти
ускорения.
1.3. Наблюдатель, стоявший в момент начала движения
электропоезда у его переднего конца, заметил, что первый вагон
прошел мимо его за 4 секунды. Сколько времени будет двигаться мимо
него n-ный (7-й) вагон? Движение считать равноускоренным.
1.4. Наблюдатель, стоящий на платформе, заметил, что первый
вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него
в течение 4 с, а второй - в течение 5 с. После этого передний конец
поезда остановился на расстоянии 75 м от наблюдателя. Считая
движение поезда равнозамедленным, определить его ускорение.
1.5. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик.
На расстоянии 0,30 м от начала пути шарик побывал дважды: через
1 с и через 2 с после начала движения. Определить начальную скорость
и ускорение шарика, считая его постоянным.
1.6. От бакена, который находится на середине широкой реки,
отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно
перпендикулярным прямым: лодка А - вдоль течения, а лодка В поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки
вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок,
если скорость каждой лодки относительно воды в 1,5 раза больше
скорости течения.
1.7. Лодка движется относительно воды со скоростью, в два раза
меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению
течения лодка должна держать курс, чтобы за время переправы через
реку ее снесло течением как можно меньше?
1.8. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое - под углом 60º к горизонту. Начальная
скорость каждого тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти расстояние между телами через 1,50 с.
1.9. Из брандспойта бьет струя под углом 32º к горизонту и падает
на расстоянии 12 м от брандспойта. Площадь отверстия брандспойта
равна 1 см2. Сколько воды подает брандспойт за одну минуту?
1.10. Бомбардировщик дальнего действия Пе-8 летит на высоте
7000 м горизонтально по прямой со скоростью 400 км/ч. Летчик
должен сбросить бомбу на цель, лежащую впереди самолета. Под
каким углом  к вертикали он должен видеть цель в момент выпуска
бомбы? Каково в этот момент расстояние от цели до точки, над
15
которой находится самолет? Сопротивление воздуха движению бомбы
не учитывать.
1.11. Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью
5 м/с, в последние две секунды падения прошло путь вдвое больший,
чем в предыдущие 2 с. Определить время падения и высоту, с которой
тело было брошено. Построить графики зависимости пройденного
пути, ускорения и скорости от времени.
1.12. С горки AB длиной 20 м из состояния покоя скатываются
санки и затем, продолжая движение от точки B по горизонтальной
плоскости, останавливаются у точки C, пройдя расстояние BC, равное
15 м. Определить скорость санок в конце спуска с горки, ускорения на
участках AB и BC и время спуска с горки. Весь путь ABC санки
проходят за 14 с. Ускорение на каждом из участков (AB и BC) считать
постоянным. Начертить графики зависимости пройденного пути,
скорости и ускорения от времени.
1.13. Лыжник съехал с горы длиной 40 м за 10 с, после чего он
проехал по горизонтальному участку до остановки 20 м. Считая
движение лыжника на обоих участках равнопеременным, определить
скорость лыжника в конце горы, среднюю скорость на всем пути,
ускорение на каждом из участков, время движения по горизонтальному
участку. Начертить графики зависимости пути, скорости и ускорения
от времени.
1.14. Тело, которому была сообщена некоторая начальная
скорость, движется равноускоренно. За третью секунду своего
движения оно прошло 10 м, а за шестую – 16 м. Определить ускорение
тела, начальную скорость, скорость к концу восьмой секунды и путь,
пройденный за 8 с. Начертить графики зависимости пройденного пути,
скорости и ускорения тела от времени.
1.15. Из одной точки одновременно брошено два тела с
одинаковой начальной скоростью 20 м/с под разными углами наклона
к горизонту. Первое тело брошено под углом 45º, а второе – под углом
60º. Определить расстояние между телами спустя 2 с после начала
движения.
2. Динамика
2.1. Определить коэффициент трения между наклонной плоскостью
и движущимся по ней телом, если известно, что это тело, имея
начальную скорость 5 м/с и двигаясь вверх по наклонной плоскости,
16
проходит до остановки путь 2,0 м. Угол наклона плоскости к горизонту
30 градусов.
2.2. Уклон (отношение высоты подъема к длине пути) участка
шоссе равен 0,05. Спускаясь под уклон при выключенном моторе,
автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Какова должна
быть мощность мотора автомобиля, чтобы он мог подниматься на
такой же подъем с такой же скоростью? Масса автомобиля 1500 кг.
2.3. Клеть подъемника массой 5000 кг обслуживает шахту
глубиной 900 м. Когда клеть находится на дне шахты, на нее начинает
действовать вертикально вверх сила тяги 67100 Н. Через 150 м после
начала подъема сила тяги изменяется так, что на протяжении следующих
600 м движение клети становится равномерным. Наконец, сила тяги
еще раз изменяется так, что клеть останавливается, достигнув
поверхности. Силу трения считать постоянной и равной 5700 Н.
Рассмотреть движение клети на этих участках и определить полную
продолжительность подъема.
2.4. На тележке массой 20 кг лежит груз массой 5,0 кг. К грузу
приложена сила F, сообщающая тележке с грузом ускорение а. Сила
действует под углом 30º к горизонту. Каково максимальное значение
этой силы, при котором груз не будет скользить по тележке?
Коэффициент трения между грузом и тележкой равен 0,20. Трением
между тележкой и дорогой пренебречь. С каким ускорением будет
двигаться тележка под действием силы F?
2.5. Через неподвижный блок перекинута тонкая нерастяжимая
нить, на концах которой подвешены два груза массами 0,2 кг и 0,3 кг.
Какой путь пройдет каждый из грузов за 1 с? Считать, что блок
вращается без трения. Массой блока пренебречь.
2.6. Через блок пренебрежимо малой массы, вращающийся с
малым трением, перекинута нить, на концах которой привязаны грузы
m1 и m2, причем m2 в n раз больше m1. Груз m2 поднимают настолько,
чтобы груз m1 коснулся пола, и отпускают. На какую максимальную
высоту поднимется груз m1 после того как груз m2 ударится о пол, если
начальная высота последнего была равна h2 = 0,3 м?
2.7. На столе лежит доска массой 1 кг, а на доске – груз массой 2 кг.
Какую силу F нужно приложить к доске в горизонтальном направлении,
чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между
доской и грузом 0,25, а между доской и столом 0,5.
17
2.8. Ледяная гора составляет с горизонтом угол 10 градусов. По
ней пускают снизу вверх камень, который за 3 секунды проходит
расстояние 12 м, после чего скользит вниз. Какой промежуток времени
длится соскальзывание камня вниз до основания горки? Определить
коэффициент трения.
2.9. Из одной точки неподвижного облака с интервалом времени в
одну секунду начинают падать две одинаковые дождевые капли. Как
будет изменяться расстояние между ними? Решить задачу в двух
случаях: 1) полагая, что сопротивление воздуха отсутствует; 2) полагая,
что сопротивление воздуха пропорционально скорости капель.
Коэффициент трения 106 кг/с, радиус капель 3 мм.
2.10. Парашютист массой 80 кг выпрыгнул из самолета и,
пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найдите равнодействующую сил
натяжения строп, на которых человек подвешен к парашюту, если в
течение первых 5 секунд с момента раскрытия парашюта, при
постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста
уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека
до раскрытия парашюта пренебречь.
2.11. Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных
плоскостей, составляющих с горизонтом углы в 30º и 45º. Гири равной
массы 1 кг соединены невесомой нитью, перекинутой через блок.
Коэффициенты трения гирь о наклонные поверхности равны
соответственно k1 = k2 = 0,1. Трением в блоке пренебречь. Найти: а)
ускорение, с которым движутся гири; б) натяжение нити.
2.12. На скользкой дороге коэффициент трения между колесами
велосипеда и дорогой μ = 0,1. При этом наибольшая скорость
велосипедиста 10 м/с. Сила сопротивления воздуха, действующая на
велосипедиста, пропорциональна квадрату его скорости, т.е. F=αv 2.
Оцените величину коэффициента пропорциональности α . Масса
велосипедиста вместе с велосипедом m = 100 кг.
2.13. Масса воздушного шара вместе с канатом, волочащимся по
земле, равна m; выталкивающая сила, действующая на шар, равна F,
коэффициент трения каната о землю равен μ. Сила сопротивления
воздуха, действующая на шар, пропорциональна квадрату скорости:
f =  v2. Найдите скорость шара относительно земли, если навстречу
дует горизонтальный ветер со скоростью u.
18
2.14. Маляр массой М = 72 кг работает в подвесном кресле. Ему
понадобилось срочно подняться вверх. Он принимается тянуть веревку
с такой силой, что его сила давления на кресло уменьшается до 400 Н.
Масса кресла 12 кг. Чему равно ускорение маляра? Чему равна
нагрузка на блок?
2.15. С помощью подъемника, используемого в качестве буксира,
груз массой 1 т тянут канатом равномерно со скоростью 1 м/с по
плоскости с углом наклона 30º к горизонту. Коэффициент трения равен
0,8. Какую мощность развивает буксир при движении груза?
3. Законы сохранения
3.1. Шайба массы 0,05 кг соскальзывает без начальной скорости
по наклонной плоскости, составляющей угол 30º с горизонтом, и, пройдя
по горизонтальной плоскости расстояние 0,5 м, останавливается. Найти
работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения
равным 0,15.
3.2. Пуля массой 25 г попадает в деревянный брусок массой 1 кг,
подвешенный на нити длиной 1 м ("баллистический маятник"), и
застревает в нем. Определить, на какой максимальный угол 
отклоняется маятник, если скорость пули равна 4 м/с. Удар считать
полностью неупругим.
3.3. Два шара массами 0,20 кг и 0,80 кг, подвешенные на двух
параллельных нитях длиной 2,0 м, касаются друг друга. Меньший шар
отводится на 90 градусов от первоначального положения и
отпускается. 1) Найти скорости шаров после столкновения, считая удар
абсолютно упругим. 2) Какова скорость шаров после столкновения,
если удар абсолютно неупругий? Какая часть энергии пойдет на
нагревание шаров?
3.4. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях,
касаясь друг друга. Меньший шар отводится на 90 градусов от
первоначального положения и отпускается. После удара шары
поднимаются на одинаковую высоту. Определить массу меньшего
шара, если масса большего 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.
3.5. Две лодки идут навстречу параллельным курсом. Когда лодки
находятся друг против друга, одновременно с каждой лодки во
встречную перебрасывается мешок массой 50 кг, в результате чего
первая лодка останавливается, а вторая движется со скоростью 8,5 м/с
в прежнем направлении. Каковы были скорости лодок до обмена
19
мешками, если массы лодок с грузом равны 500 кг и 1000 кг
соответственно?
3.6. Космический корабль перед отделением последней ступени
ракеты-носителя имел скорость v. После отбрасывания последней
ступени его скорость стала равной 1,01v, при этом отделившаяся
ступень удаляется относительно корабля со скоростью 0,04 v. Какова
масса последней ступени, если масса корабля m0?
3.7. Из брандспойта сечением сопла 5,0 см2 горизонтальная струя
воды бьет со скоростью 10 м/с в вертикальную стенку стоящей на
рельсах вагонетки и свободно стекает по стенке вниз. С каким
ускорением будет двигаться вагонетка, если ее масса 200 кг, а
направление струи воды параллельно рельсам? Сопротивление
движению вагонетки принять равным 0,01 ее силы тяжести.
3.8. Стальной шарик массой 0,05 кг падает с высоты 1 м на
горизонтальную поверхность массивной плиты. Найти суммарный
импульс, который он передаст плите в результате многократных
отскакиваний, если при каждом ударе скорость шарика уменьшается в
0,8 раза.
3.9. Минимальный груз массой 2 кг, подвешенный на нити
длиной 1 м, разрывает ее, растягивая нить в момент разрыва на 1% ее
длины. Определить, на какую минимальную высоту h надо поднять
груз 0,2 кг, чтобы он, падая, разорвал нить? Считать, что для нити
справедлив закон Гука вплоть до ее разрыва.
3.10. На тонкой нити длиной 0,5 м подвешен пружинный пистолет
так, что ствол расположен горизонтально. На какой угол отклонится
нить после выстрела, если пуля массой 0,020 кг при вылете из ствола
имеет скорость 10 м/с? Масса пистолета 0,2 кг.
3.11. На прочном тонком металлическом тросике длиной 7,35 м
висит груз массой 250 кг. В него стреляют из винтовки, расположенной
горизонтально на уровне центра масс груза. После попадания первой
пули груз начинает колебаться. Каждый раз, когда он проходит
положение равновесия, удаляясь от винтовки, в него попадает новая
пуля. Скорость пули 600 м/с, масса пули 9,6 г. На какой максимальный
угол отклонится нить с грузом после пятого выстрела, если все пули
застревают в нем?
3.12. Небольшое тело соскальзывает с наклонной плоскости,
образующей угол 35º с горизонтом. В конце спуска (у основания
наклонной плоскости) тело ударяется упруго о стенку,
20
перпендикулярную наклонной плоскости, и отскакивает вверх по
наклонной плоскости. Определить, на какую высоту поднимется тело,
если оно соскальзывало с высоты 0,9 м. Коэффициент трения 0,2, а
коэффициент восстановления 0,9 (коэффициентом восстановления
называется отношение скорости тела после удара к его скорости до
удара).
3.13. Три лодки массой 250 кг каждая идут друг за другом со
скоростью 5 м/с. Из второй лодки одновременно в первую и третью
бросают грузы массой по 20 кг каждый со скоростью 2 м/с относительно
этой (второй) лодки. Определить скорости лодок после переброски
грузов, изменение энергии каждой лодки.
3.14. Тело, на которое действует сила тяжести mg = 2 кН,
необходимо поднять по наклонной плоскости с ускорением 1 м/с2 на
высоту 2 м. Определить работу, которую совершает сила F при
поднятии этого тела и полную механическую энергию тела после
подъема. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30º, коэффициент
трения тела о наклонную плоскость равен 0,1. Сила F составляет с
наклонной плоскостью угол β = 30º.
3.15. Между двумя лодками натянута веревка. Лодки стоят на
поверхности озера. Человек, находящийся в первой лодке, тянет
веревку с постоянной силой F = 50 Н. Определите скорости, с
которыми будет двигаться первая лодка относительно берега v1 и
относительно втрой лодки vr через t = 5 с после того, как человек начал
тянуть веревку. Масса первой лодки с человеком m1 = 250 кг, масса
второй лодки с грузом m2 = 500 кг. Сопротивлением воды пренебречь.
4. Механика вращательного движения
4.1. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол
30 градусов, скатывается без скольжения сплошной однородный шар.
Какую скорость будет иметь центр шара относительно наклонной
плоскости через 1,5 с, если его начальная скорость равна нулю.
4.2. К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости, привязана
нить, перекинутая через невесомый блок, укрепленный у края стола; к
концу нити прикреплен груз массой m3 = 0,5 кг. Определить ускорение
тележки а, если известно, что масса платформы тележки m1 = 1,4 кг,
масса каждого из четырех колес m2 = 0,4 кг, и колеса представляют
21
собой однородные диски. Колеса катятся по поверхности стола без
скольжения, а трение качения отсутствует.
4.3. Вертикальный столб высотой 12 м подпиливается у основания
и падает на землю, поворачиваясь вокруг неподвижного основания.
Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о
землю. Какая точка столба будет в этот момент иметь ту же скорость,
какую имело бы тело, падая с той же высоты, что и эта точка?
4.4. Деревянный однородный стержень массой 1 кг и длиной 0,4 м
может вращаться около оси, проходящей через его середину
перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает пуля массой
9,6 г, летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью 200 м/с.
Определить угловую скорость стержня, если пуля застревает в нем.
Считать удар абсолютно неупругим.
4.5. Как изменится угловая скорость медного стержня длиной 1 м,
вращающегося со скоростью 50 об/с без трения вокруг неподвижной
оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему, если
температура стержня увеличится от 0 до 100ºС? Как изменится при
этом кинетическая энергия тела? Коэффициент линейного расширения
стержня равен 16,5·106 K 1.
4.6. На вращающемся столике стоит человек, держащий на
вытянутых руках на расстоянии 1,5 м друг от друга гири. Столик
вращается, делая 1 об/с. Человек сближает гири до расстояния 0,80 м,
и угловая скорость увеличивается до 1,5 об/с. Определить работу,
производимую человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент
инерции человека относительно оси столика считать постоянным.
4.7. Через блок (однородный диск), масса которого равна 0,1 кг,
перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить, к концам которой
подвешены два груза массами 0,2 кг и 0,3 кг. Грузы удерживаются в
неподвижном положении. С каким ускорением будут двигаться грузы,
если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение
блока, если его радиус 0,1 м? Трением пренебречь.
4.8. Из колодца с помощью ворота поднималось ведро с водой
массой 10 кг. В момент, когда ведро находилось на высоте 5,0 м от
поверхности, рукоятка освободилась, и ведро стало падать вниз.
Определить линейную скорость рукоятки в момент удара ведра о
поверхность воды в колодце, если радиус рукоятки 0,3 м, радиус вала
ворота 0,1 м, его масса 20 кг. Трением и массой веревки, на которой
подвешено ведро, пренебречь.
22
4.9. Определить тормозящий момент, которым можно остановить
за 20 с маховое колесо массой 50 кг и радиусом 0,30 м, вращающееся с
частотой 20 об/с. Массу маховика считать равномерно распределенной
по ободу. Чему равна работа, совершаемая при этом тормозящим
моментом?
4.10. Два шара одинакового размера, изготовленные из алюминия
и меди, вращаются независимо друг от друга вокруг общей неподвижной
оси, проходящей через их центры, с угловыми скоростями 5 и 10 рад/с,
соответственно. С какой угловой скоростью вращались бы оба шара,
если бы их жестко соединили?
4.11. Дорожка для велосипедных гонок делает поворот с
радиусом 40 м. В этом месте дорожка сделана с наклоном 30º к
горизонту. На какую скорость рассчитан такой наклон?
4.12. Центрифуга стиральной машины, имеющая диаметр 25 см,
вращается с частотой 3000 оборотов в минуту. Какие «перегрузки»
испытывает белье в процессе отжимания?
4.13. Для устранения бокового давления колес поезда на рельсы
при движении по закругленным участкам пути наружный рельс
укладывают несколько выше внутреннего. Определить высоту
возвышения внешнего рельса над внутренним, если радиус
закругления 300 м, скорость движения поезда 36 км/ч и ширина колеи
1,5 м.
4.14. Горизонтально расположенный диск радиусом 1 м начинает
раскручиваться с постоянным ускорением 1 рад/с2. В какой момент
времени тело, расположенное на расстоянии 0,8 м от оси вращения,
начнет соскальзывать с диска, если коэффициент трения равен 0,4?
4.15. До какой скорости следует шоферу снизить скорость
автомобиля на повороте радиусом 10 м, чтобы не возникло проскальзывание? Коэффициент сцепления колес автомобиля с землей 0,8.
5.Статика
5.1. Однородный стержень длиной 1 м и массой 5,0 кг подвешен
за концы горизонтально на двух параллельных нитях одинаковой
длины. К стержню прикреплен груз массой 10 кг на расстоянии 0,25 м
от одного из его концов. Определить натяжение нитей.
5.2. Фонарь массой 10 кг подвешен на канатике над серединой
улицы шириной 10 м. Допустимое натяжение канатика 490 Н. Какова
должна быть минимальная высота крепления концов канатика, если
23
точка прикрепления фонаря к канатику должна находиться на высоте
5 м?
5.3. Подвес фонаря устроен так, как показано на рис.5.1. Масса
фонаря 5 кг. Определить силы, действующие на брусок АВ и канатик
СВ, если АВ = 0,5 м и АС = 0,5 м.
5.4. Электрический фонарь массой 2 кг подвешен к потолку на
шнуре АВ, а затем оттянут к стене канатиком ВС (см. рис.5.2).
Определить силы натяжения шнура и канатика, если  = /3 и  = 3/4.
5.5. На рис.5.3 изображены две одинаковые балки, на которых
находятся по два груза массой 10 кг каждый. Расстояние между
опорами балок 4 м. Найти силу давления балок на опоры. Масса балки
50 кг.
5.6. Метровая линейка с сантиметровыми делениями балансирует
на острие ножа, расположенного против пятидесятого деления линейки.
Если две пятикопеечные монеты положены одна на другую против
двенадцатого деления, то нагруженная линейка будет сбалансирована,
когда острие ножа будет находиться посередине между сорок пятым и
сорок шестым делениями. Каждая монета имеет массу 5 г. Определите
массу линейки.
5.7. Стержень АВ массой 5,0 кг шарнирно прикреплен нижним
концом к вертикальной стене (см. рис.5.4). К верхнему концу стержня,
который привязан к стене канатиком СВ, подвешен груз массой 3,0 кг.
Определить натяжение канатика СВ, если угол  = 45, а длина
канатика СВ в два раза меньше длины стержня АВ.
5.8. Однородная горизонтальная балка длиной 1,5 м и массой 50 кг
закреплена в стене толщиной 0,5 м так, что опирается на нее в точках
А и В (см. рис.5.5). К свободному концу балки подвешен груз массой
100 кг. Определите силы реакции опоры в точках А и В.
5.9. Неравноплечие весы находятся в равновесии. Если на левую
их чашку положить груз, то он уравновешивается гирей массы 3 кг на
правой чашке. Если этот же груз положить на правую чашку весов,
то он уравновешивается гирей массой 4 кг на левой чашке. Какова
масса груза?
5.10. У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о
стенку равен 0,4, коэффициент трения лестницы о пол равен 0,5.
Центр тяжести лестницы можно считать находящимся в середине ее.
Определить наименьший угол, который лестница может образовать с
полом, не падая. Предположим, что лестница поставлена в та ком
24
положении, что малейшее уменьшение угла должно привести к ее
падению. Упадет ли лестница, если человек встанет на ее нижнюю
ступеньку? На ее верхнюю ступеньку?
25
5.11. Однородный стержень опирается о шероховатый пол и
удерживается в равновесии горизонтальной нитью, прикрепленной к
верхнему концу стержня. Коэффициент трения равен 0,35. При каком
предельном наклоне стержня к полу возможно это равновесие?
5.12. Два мальчика, массы которых 32 кг и 24 кг, сделали себе
качели, положив доску длиной 4 м на упор. Определите массу доски,
считая ее однородной, если известно, что она находится в равновесии,
когда точка опоры удалена на расстояние 2,2 м от одного из концов, а
мальчики сидят на концах доски.
5.13. Чтобы сдвинуть с места застрявший автомобиль, иногда
пользуются таким приемом: автомобиль привязывают длинной прочной
веревкой к дереву, по возможности сильно ее натянув. Затем, натягивая
веревку посередине почти перпендикулярно ее направлению, человек
легко сдвигает автомобиль с места. Почему это возможно?
5.14. Лом массой 16 кг и длиной 2 м лежит на ящике шириной 1 м,
выступая за края его с одной стороны на 40 см, с другой  на 60 см.
Какую минимальную силу нужно приложить к лому, чтобы приподнять
его длинный конец?
5.15. Два человека несут по наклонному строительному трапу
сплошной бетонный блок. Длина блока в 1,5 раза больше его высоты.
Угол наклона трапа к горизонту 30. Какому носильщику тяжелее и во
сколько раз?
6. Всемирное тяготение
6.1. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше
соответствующего периода (1 год) для Земли. Считая орбиты планет
круговыми, найти:
1) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает
расстояние от Земли до Солнца;
2) скорость и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе
отсчета.
6.2. Небольшое тело начинает падать на Солнце с расстояния,
равного радиусу земной орбиты. Начальная скорость в гелиоцентрической системе отсчета равна нулю. Найти с помощью законов
Кеплера, сколько времени будет продолжаться падение.
6.3. Космический корабль летит от Земли к Луне, все время
перемещаясь вдоль прямой, соединяющей центры планеты и ее
спутника. На каком расстоянии от центра Земли потенциальная
26
энергия корабля имеет минимальное значение? Масса корабля 100 т,
масса Земли 5,96·1024 кг, масса Луны 7,30·1022 кг, расстояние между
центрами Земли и Луны 3,84·108 м.
6.4. На каком расстоянии от центра Луны находится точка, в
которой напряженность результирующего поля тяготения Земли и
Луны равна нулю? Считать, что масса Земли в 81 раз больше массы
Луны, а расстояние между центрами этих планет в 60 раз больше
радиуса Земли.
6.5. Спутник, движущийся по круговой орбите радиусом 20070 км
в экваториальной плоскости Земли с запада на восток, появляется над
некоторым пунктом на экваторе через каждые 11,6 ч. Вычислить на
основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная
равна 6,672 ·1011 Н м2/кг2.
6.6. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем
на полюсе. Плотность вещества этой планеты 3000 кг/м3. Определить
период вращения планеты вокруг своей оси.
6.7. Определить минимальное удаление от поверхности Земли
(перигей) первого искусственного спутника Земли, запущенного в
СССР 4 октября 1957 года, если известны следующие параметры:
максимальное удаление спутника от поверхности Земли (в апогее)
равно 900 км, период обращения спутника вокруг Земли равен 96 мин,
большая полуось лунной орбиты 384400 км, период обращения Луны
вокруг Земли 27,3 суток и радиус Земли  6370 км.
6.8. Спутник серии "Молния-1" имеет перигей над южным
полушарием Земли на высоте около 500 км, а апогей  на высоте около
40000 км над северным полушарием. Каково отношение угловых
скоростей обращения этого спутника в перигее и апогее?
6.9. Наибольшее расстояние от Солнца до кометы Галлея
составляет 35,4 радиуса земной орбиты, а наименьшее  0,6.
Прохождение ее вблизи Солнца наблюдалось в 1986 году, в каком году
произошло ее предыдущее прохождение?
6.10. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы
тело массой 5 тонн, находящееся на поверхности Земли, отправить в
межпланетное пространство. Сопротивлением воздуха пренебречь.
6.11. Для осуществления всемирной телевизионной связи
достаточно иметь три искусственных спутника Земли, вращающихся
по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток и
расположенных таким образом, что направления на них (из центра
27
Земли) образуют углы в 120. Период обращения каждого спутника 24
часа. Определить радиус орбиты и линейную скорость этих спутников.
6.12. Спутник «Космос-1366» предназначенный для ретрансляции
телеграфно-телефонной информации, был выведен на круговую
орбиту, находящуюся на расстоянии 35820 км от поверхности Земли.
Определить период обращения спутника. Объясните преимущества
этой орбиты. Оцените время задержки сигнала – передаваемой
информации между точками земной поверхности.
6.13. Средняя угловая скорость движения Земли вокруг Солнца
равна один градус в сутки. Расстояние от Земли до Солнца равно
1,5·1011 м. По этим данным, зная значение гравитационной постоянной,
равной 6,672 ·1011 Н м2/кг2, определите массу Солнца, а также оцените
относительную ошибку такого расчета.
6.14. Считая орбиты Земли и Луны приблизительно круговыми,
вычислите отношение масс Земли и Солнца. Известно, что Луна
совершает 13 оборотов вокруг Земли в течении года и что расстояние
от Солнца до Земли в 390 раз больше расстояния от Луны до Земли.
6.15. Ракета запускается на полюсе Земли строго по вертикали с
первой космической скоростью. На какое расстояние от поверхности
Земли удалится ракета?
7. Колебания
7.1. Некоторое тело качается около неподвижной оси (в поле
тяжести) с периодом 0,5 с. Если же к нему прикрепить грузик массой
0,05 кг на расстоянии 0,1 м ниже оси, то оно качается с периодом 0,6 с.
Найти момент инерции тела относительно оси качания.
7.2. Определить период колебаний столбика ртути массой 0,121 кг,
находящегося в U-образной трубке (рис. 7.1) в поле тяжести. Площадь
сечения канала трубки 0,3 cм2.
7.3. Шарик радиусом 1 см катается по дну сферической чашки,
радиус кривизны которой 10 см. Предполагая, что эти колебания можно
считать гармоническими, определить их период.
7.4. Каков период колебаний метровой линейки с сантиметровыми
делениями, если она может качаться относительно горизонтальной
оси, проходящей через: а) ее верхний конец; в) через деление 60 см; с)
через деление 75 см?
28
7.5. Тонкое кольцо радиусом 0,1 м и массой 3,5 кг подвешено на
горизонтальном гвозде в поле тяжести. Определите момент инерции
кольца относительно оси качаний. Какова будет частота колебаний
кольца при его малых отклонениях от положения равновесия? Какова
длина эквивалентного математического маятника?
7.6. При какой скорости поезда рессоры его вагонов будут
особенно сильно колебаться из-за толчков колес о стыки рельсов, если
длина рельса 12,5 м, на одну рессору приходится 5,5 т массы вагона и
если рессора прогибается на 1,6 см при нагрузке M = 1 т?
7.7. На чашку весов, подвешенную на пружине в поле тяжести,
падает с высоты 10 см груз массой 2,0 кг и остается на чашке (рис.7.2),
не подпрыгивая относительно ее. Чашка начинает колебаться.
Коэффициент жесткости пружины 2000 Н/м. Определить амплитуду
колебаний (массой чашки и пружины по сравнению с массой груза
пренебречь).
7.8. Физический маятник состоит из двух одинаковых массивных
шаров радиусом 5 см на невесомом стержне (рис.7.3). Ось маятника
расположена на расстоянии 0,1 м ниже центра верхнего шара. При
каком расстоянии между центрами шаров период маятника будет
наименьшим? Найти этот период, приведенную длину маятника и
расстояние между осью маятника и его центром масс С в этом случае.
7.9. В воде плавает льдина с площадью основания 1 м2 и высотой
0,5 м. Льдину погружают в воду на глубину 5 см и отпускают.
Определить период колебаний. Плотность льда 900 кг/м3.
7.10. Самое высокое место, обжитое человеком на земном шаре,
находится на высоте 6200 м над уровнем моря (Ронбургский монастырь
29
в Гималаях). На сколько будут уходить за сутки маятниковые часы,
выверенные на этой высоте, если их перенести на уровень моря?
Решить эту задачу и для самого глубокого места на земном шаре
(Марианская впадина в Тихом океане). Принять, что маятниковые
часы, установленные в батискафе, опускаются на глубину 11 км.
7.11. Гармонические колебания распространяются вдоль прямой
со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 5 Гц. Определить (в радианах
и в градусах) разность фаз колебаний между источником и точкой,
находящийся на расстоянии 3 м от источника.
7.12. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной
стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит
гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый
раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево.
Найдите длину нити маятника, если период колебаний такого маятника
(с помехой в виде гвоздя) равен 2,41 с.
7.13. Скорость звука в воде равна 1450 м/с. Пусть частота
колебаний составляет 725 Гц. Определить расстояние между
ближайшими точками, совершающими колебания: 1)в противоположных
фазах; 2)в одинаковых фазах; 3)при разности фаз 45 градусов.
7.14. На шнуре длиной 2 м, один конец которого привязан к
стене, а другой колеблется с частотой 5 Гц, возбуждаются стоячие
волны. При этом между стеной и свободным колеблющимся концом
образуются три узла. Найдите скорость распространения волн вдоль
шнура.
7.15. Человек, стоящий на берегу моря, определил, что расстояния
между следующими друг за другом гребнями волн равны 12 м. Кроме
того, он подсчитал, что за 75 с мимо него прошло 16 волновых гребней.
Определите скорость распространения волн.
8. Механика жидкостей и газов.
8.1. Динамометр, к которому подвешен кусок сплава, состоящего
из меди и серебра, показывает в воздухе 2,14 Н, а в воде 2,17 Н.
Определить массы меди и серебра в куске сплава. Выталкивающей
силой воздуха пренебречь.
8.2. Определить массу пробкового пояса, способного удержать
человека массой 80 кг в воде так, чтобы голова и плечи (восьмая часть
объема тела) не были погружены в воду. Плотность тела человека
принять равной 1007 кг/м3.
30
8.3. Тонкий сосновый стержень плотностью 500 кг/м3 закреплен
шарнирно на одном конце и опущен свободным концом в воду. Какая
часть стержня будет находиться в воде при равновесии?
8.4. Поршень, перекрывающий тонкостенную цилиндрическую
трубку с внутренним радиусом 0,1 м (рис. 8.1), может перемещаться с
помощью длинного вертикального штока. Трубка с поршнем, занимающим крайнее нижнее положение, опущена в цилиндрический сосуд
радиусом 1 м на глубину 1 м. На какую высоту от первоначального
уровня воды в сосуде можно поднять воду в трубке? Атмосферное
давление 105000 Па.
8.5. Найти результирующую силу давления воды на плотину,
имеющую форму трапеции (рис. 8.2), если высота плотины 5 м, длина
нижнего основания 10 м, а длина верхнего основания составляет 15 м.
Получите оценку результирующей силы давления воды для одной из
плотин крупнейших ГЭС нашей страны.
8.6. Цилиндрический сосуд высотой 0,7 м и площадью сечения
600 см2 наполнен водой. В дне сосуда образовалось отверстие с площадью
1 см2. Найти:
а) Как движется верхний уровень воды в сосуде? (Зависимость
высоты уровня от времени).
б) Сколько времени пройдет до полного опорожнения сосуда?
в) Сколько времени пройдет до опорожнения сосуда наполовину?
8.7. На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 0,7 м.
Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте
от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из
него била в поверхность стола на максимальном расстоянии от сосуда.
Найти это расстояние.
8.8. Изогнутую трубку опустили в поток воды, как показано на
рис. 8.3. Скорость потока относительно трубки 2,5 м/с. Закрытый
верхний конец имеет небольшое отверстие и находится на высоте 0,12 м
от нижнего. На какую высоту будет подниматься струя воды, бьющая
из отверстия?
8.9. Воздух продувается через трубку АВ (см. рис. 8.4). Ежеминутно
через трубку АВ протекает 12 литров воздуха. Площадь поперечного
сечения широкой части трубки АВ равна 2 см2, а узкой ее части и
трубки аbс равна 0,5 см2. Найти разность уровней воды, налитой в
трубку аbс. Плотность воздуха принять равной 1,32 кг/м3.
31
8.10. Насосная станция города поддерживает в водопроводе на
уровне водопроводного крана первого этажа давление 500 кПа.
Определите (пренебрегая трением при течении воды) скорость струи
воды, вытекающей из крана на первом, втором, третьем и т. д. этажах,
если краны каждого последующего этажа расположены на 3 м выше
кранов предыдущего. На какой этаж вода по водопроводу уже не
поднимается?
8.11. Давление ветра на стену 200 Па. Ветер дует перпендикулярно
стене. Определите его скорость. Плотность воздуха 1,29 кг/м3.
8.12. На поршень горизонтально расположенного шприца с
площадью поперечного сечения 1 см2 действует постоянная горизонтальная сила 10 Н. С какой скоростью вытекает струя из отверстия
диаметром 0,2 мм, если плотность жидкости 1000 кг/м3?
8.13. В широкой части горизонтально расположенной трубы
нефть течет со скоростью 2 м/с. Определите скорость течения нефти в
узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой части
32
трубы равна 50 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133 Па). Плотность нефти
900 кг/м3.
8.14. С катера, идущего со скоростью 18 км/ч, опускают в воду
изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный конец
трубки горизонтален и обращен отверстием в сторону движения.
Другой конец трубки, находящийся в воздухе вертикален. На какую
высоту по отношению к уровню воды в озере поднимется вода в
трубке? Трением пренебречь.
8.15. В стенке сосуда с водой просверлили одно над другим два
отверстия площадью 0,2 см2 каждое. Расстояние между отверстиями
50 см. В сосуд ежесекундно вливается и выливается из него через эти
отверстия 140 см3 воды. Найдите точку пересечения струй, вытекающих
из отверстий.
Издание подготовлено в авторской редакции
___________________________________________________________
Подписано к печати 10.12.2001. Формат бумаги 6084.16. Печать RISO.
Уч. -из. л. 2,0. Ус. п. л. 2,2.
Тираж 100 экз.
Заказ №
___________________________________________________________
Педуниверситет, 630126, Новосибирск, ул. Вилюйская, 28
33