одна из самых древних наук. Она возникла на основе

Научное объединение учащихся «Поиск»
Муниципальное казённое образовательное учреждение
«Пановская средняя общеобразовательная школа»
Крутинского муниципального района Омской области
По следам великих открытий.
Измерение высоты предмета
различными способами
Выполнил: Клевакин Андрей
Ученик 9 класса
Руководитель: Бабкина О .А.
Учитель математики
Паново-2013
Оглавление
Введение…………………………………………………………….3
Глава 1. Способы измерения высоты предмета
1.1. Способы, найденные в литературных и исторических
источниках……………………………………………………5
1.2. Методы измерения высоты предмета…………………….12
1.3. Выводы по главе 1…………………………………………16
Глава 2. Экспериментальные исследования
2.1. Организация и проведение исследований………………..17
2.2. Анализ полученных результатов……………………………19
2.3. Выводы по главе 2……………………………………………19
Заключение…………………………………………………………20
Литература и сайты.………………………………………………21
Приложение……………………………………………………….22
2
Введение
В этом учебном году мы начали готовиться к экзамену по математике в
новой форме. Экзаменационная работа будет состоять из трёх модулей:
«Алгебра», «Геометрия» и «Реальная математика». Решая задачи из раздела
«Реальная математика», мне стало понятно, что знания, полученные на
уроках математики, могут пригодиться в реальной повседневной жизни,
раньше я это не осознавал. Меня очень заинтересовали задачи
геометрического содержания. Геометрия - одна из самых древних наук. Она
возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего
развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем
геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся
изучением геометрических фигур. Геометрические знания широко
применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев
надо знать площадь стен комнаты; при изготовлении технических чертежей выполнять геометрические построения; при определении расстояния до
предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться
известными нам теоремами. Геометрия всегда решала те задачи, которые
перед ней ставила жизнь. Меня заинтересовал вопрос об измерении высоты
предмета различными способами. Я стал искать ответ на этот вопрос. Ответы
нашел не только в учебниках по математике, но и в учебниках по истории и
литературе. Мне захотелось самому применить найденные способы на
практике и посмотреть, что у меня получиться. Результаты моих
исследований изложены в данной работе. Тема моей исследовательской
работы: «По следам великих открытий. Измерение высоты предмета
различными способами».
Цель исследования: применить знания, полученные на уроках математики,
для измерений на местности, связать теорию с практикой и с окружающим
нас миром.
3
Для реализации цели я поставил перед собой следующие задачи:
 знакомство с историческим и теоретическим материалом по вопросу
измерения высоты недосягаемого объекта;
 решение практических задач.
Выполняя свою работу, я хочу проверить гипотезу: различные способы
измерения
высоты
предмета
дадут
приблизительно
одинаковые
результаты.
Объектом моих исследований стало дерево, растущее на пришкольном
участке.
Для своих исследований я использовал такие методы как изучение
литературы, моделирование, анализ, синтез, сопоставление полученных
данных.
Мое исследование состоит из двух частей: теоретической и практической.
В теоретическую часть входит отбор литературных источников по
вопросу измерения высоты недосягаемого объекта. В практическую часть
входит рассмотрение следующих вопросов:
 измерение высоты дерева различными способами;
 сопоставление полученных данных;
 анализ результатов.
Моя работа связана с такими предметами как:
История
Литература
Математика
4
Глава 1. Способы измерения высоты предмета
1.1. Способы, найденные в литературных и исторических источниках
Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций
было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и
развивается до сих пор. Например, многие детские игрушки подобны
предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается
различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце
концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их
бог по своему образу и подобию. В повседневной жизни встречаются
предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и
теннисный мячи, две фотографии разного формата.
Я уже знаю, что в геометрии фигуры одинаковой формы принято
называть подобными. В этой работе я рассматрю, как свойства подобных
треугольников могут быть использованы для проведения различных
измерительных работ на местности.
При помощи подобных треугольников можно измерить огромные
расстояния и высоты, используя подручные средства, т.е. я буду решать
задачу: определение высоты предмета.
Уже в XVI в. В России нужды землемерия, строительства и военного
дела привели к созданию рукописных руководств геометрического
содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название
"О земном верстании, как землю верстать". Оно является частью "Книги
сошного письма", написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г.
Сохранившаяся копия относится к 1629 г. При разборе Оружейной Палаты
в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция "Устав ратных, пушечных
и других дел, касающихся до военной науки", изданная в 1607 и 1621 годах
5
и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к
определенным приемам решения задач на нахождение расстояний.
Рассмотрим несколько случаев из истории и литературы.
1. Определение высоты предмета по длине его тени.
Греческие ученые решили множество практических задач, которые до
них люди не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры
греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту
пирамиды по длине ее тени.
Как это было, рассказывается в книге Я.И. Перельмана "Занимательная
геометрия". Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина
собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды
должна также равняться длине отбрасываемой его тени. Вот, пожалуй,
единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени.
Я прочитал маленькую притчу:
"Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи.
Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона и
что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели
его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед
ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы,
хранители вечных тайн природы.
- Кто ты? - спросил верховный жрец.
- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
6
- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не
взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота.
- Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не
более, чем на сто локтей.
- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я
сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец
утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого
Египта.
- Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее
высоту. Завтра проверим твое искусство".
На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю
чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Он измерил тень
от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношения высот реальных
предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды.
Определение высоты пирамиды по длине ее тени.
Рис. 1
7
ВС - длина палки, DE - высота пирамиды.
АВС подобен
СDE (по двум углам):
ВСА=
СED=90°;
АВС=
СDЕ, т. к. соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные
лучи падают параллельно)
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:
Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды.
Однако, способ предложенный Фалесом, применим не всегда.
Преимущества способа Фалеса: не требуются вычисления.
Недостатки: нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как
следствие, тени.
2. Определение высоты предмета по шесту.
При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться
способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в
известном романе "Таинственный остров".
Читаем отрывок из романа.
" Сегодня нам надо измерить высоту площадки скалы Дальнего вида, сказал инженер.
- Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.
8
- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись
к не менее простому и точному способу.
Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за
инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.
Взяв прямой шест, длиной 10 футов, инженер измерил его возможно точнее,
сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс
за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к
концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно,
инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил
вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое
расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть
и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.
- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с
земли.
- Да.
- Помнишь свойства подобных треугольников?
- Их сходственные стороны пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных
треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения.
У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы
хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены;
гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы
первого треугольника.
9
- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так
относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как
высота шеста к высоте стены.
- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту
шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е.
высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного
измерения этой высоты.
Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось
15 футам, а от палки до скалы 485 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
10:Н=15:500
15Н=5000
Н=5000:15
Н 333,33
Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам".
Рис. 2
10
Преимущества способа Жюль Верна:
- можно производить измерения в любую погоду;
- простота формулы.
Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как
приходится ложиться на землю.
11
1.2. Методы измерения высоты предмета
3. Определение высоты предмета по луже или зеркалу.
Теория работы: H = h L/l
Положить зеркало на землю; проверить его горизонтальность при помощи
уровня. Найти такое положение, чтобы видеть в зеркале отражение верхушки
дерева. Измерить расстояния l, L и h. Вычислить H.
Этот удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую
погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву.
4. Определение высоты предмета, пользуясь свойствами
прямоугольного равнобедренного треугольника.
1. Можно воспользоваться свойствами равнобедренного
прямоугольного треугольника, обратившись к весьма простому прибору,
который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке любой
формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три
точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника – и в них
втыкают торчком по булавке (рис. 3).
12
Рис. 3
Если нет под рукой чертежного треугольника для построения прямого угла,
нет и циркуля для отложения равных сторон, то можно перегнуть любой
лоскут бумаги один раз, а затем поперек первого сгиба еще раз так, чтобы
обе части первого сгиба совпали, - и получим прямой угол. Та же бумага
пригодиться и вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния.
Отойдя от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один
из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно
пользоваться ниточкой с грузиком, привязанным к верхней булавке.
Приближаясь к дереву или удаляясь от него, всегда можно найти такое место
А (рис. 4), из которого, глядя на булавки а и с, можно увидеть, что они
покрывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы ас
проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ, так как
угол а= 45 .
Рис. 4
13
Следовательно, измерив расстояние аВ (или на ровном месте, одинаковое с
ним расстояние АD) и прибавив BD, т.е. возвышение аА глаза над землей,
получите искомую высоту дерева.
5. Определение высоты предмета, используя записную книжку и карандаш.
В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты
можно использовать карманную записную книжку и карандаш. Она поможет
построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых
получается искомая высота.
Рис. 6
Книжку надо держать возле глаз так, как показано на упрощенном рис. 6.
Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над
верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину
В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия
треугольников abc и аВС высота ВС определяется из пропорции
BC : bc=aC:ac
Расстояние bc, ac и аС измеряются непосредственно. К полученной величине
ВС надо прибавить еще длину CD, т.е. – на ровном месте – высоту глаза над
почвой. Так как ширина ас книжки неизменна, то если всегда становиться на
одном и том же расстоянии от измеряемого дерева, высота дерева будет
14
зависеть только от выдвинутой части bc карандаша.. Поэтому можно заранее
вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и
нанести эти числа не карандаш. Записная книжка превратиться тогда в
упрощенный высотомер.
6. Определение высоты предмета, пользуясь воздушным шариком.
Привязать к шарику длинную нитку и
вытравливать ее постепенно до тех пор, пока шарик
не поднимется до верхушки. Сделать на нитке
отметку (например, узелок). Вернуть шарик,
измерить длину выпущенной части нитки.
7.Определение высоты предмета, используя рядом стоящие здания.
Чтобы нейти высоту предмета нужно сравнить высоту предмета с рядом
стоящим зданием или столбом, так как высота здания или столба, бывает
известна или ее легче найти.
8. Определение высоты предмета, используя метод статистической оценки.
Предложить, как можно большему числу людей оценить высоту дерева
на глаз (вариант: установив рядом с деревом вертикально метровую
линейку). Рассчитать Н как среднее арифметическое полученных данных.
Выполнить статистическую обработку результатов.
9. Определение высоты предмета по фотографии.
1. Рядом с деревом поставить вертикально (метровую) линейку.
Сфотографировать, убедившись предварительно, что фотоаппарат
15
установлен так, что пленка находится в вертикальной плоскости. Измерить
высоту H по готовой фотографии: Н = h*L/l, где h и l – размеры
соответственно дерева и линейки на фотографии, L – истинная длина
линейки
2. То же самое, используя в качестве линейки человека известного роста
(себя).
Выводы по главе 1.
Изучив теорию по вопросу измерения высоты предмета, я узнал много новых
способов. Теперь я хочу применить некоторые из них на практике.
16
Глава 2.
2.1 Организация и проведение исследований
1. Определение высоты предмета по длине его тени.
Рост Любы-1,75м.
Тень Любы -3м.
Тень дерева-33,6м (приложение 1)
Чтобы найти высоту дерева
теньдерева  ростЛюбы
33,6  1,75

 19,6 м .
теньЛюбы
3
Ответ: высота дерева=19,6м.
2. Определение высоты предмета по луже или зеркалу.
Для измерения высоты дерева измеряем:
Рост Любы -1,75м.
Расстояния от зеркала до дерева -12м.
Расстояние от меня до зеркала-1,1м.
У меня получилось такое соотношение:
1,75/х=1,1/12
1,1х=21
Х=19,1
Ответ: высота дерева 19,1м.
3. Определение высоты предмета, пользуясь свойствами равнобедренного
треугольника ( или по шесту)
Длина шеста над землей -1,75м.
Рост Любы -1,75м. (приложение 2)
Расстояние от дерева до – 18,7 м
Следовательно, высота дерева ≈18,7 м
17
4.Определение высоты предмета, используя рядом стоящие здания.
Фундамент- 0,5 м
Высота кабинета –4 м, так как здание двух этажное 4 *2=8 м
Высота крыши – 4м
Толщина перекрытия – 0,5*2=1м
Высота антенны –5 м
Высота школы с антенной – 19м
Дерево немного выше, следовательно, высота дерева приближенно равна
19м.
5. Определение высоты предмета, используя статистическую оценку
Я опросил одноклассников. Какова высота дерева на их взгляд?
Самохвалова Ирина - 20 м
Клепиков Артур – 12 м
Саутина Любовь – 16 м
Колмаков Андрей – 15 м
Кистерко Николай – 20 м
Бекетова Василиса - 20м
Найдем среднюю высоту дерева (20+12+16+15+20+20)/6 ≈17,1
6. Определение высоты предмета по фотографии
Для измерения высоты дерева измеряем:
Рост Любы ( m)– 1,75м;
Рост Любы на фотографии (n) – 2,5 см;
Высота дерева на фотографии (c ) – 25 см;( приложение 3)
Высота дерева – l.
Чтобы найти высоту дерева: l 
m  с 1,75  0.25

 17.5 м.
n
0.025
18
2.2. Анализ полученных результатов
Чтобы проанализировать полученные результаты я составил таблицу
(приложение 4)
Данные таблицы позволили мне сделать следующие выводы:
 способы №1, №2, №3 и №4 дали примерно одинаковый результат
(погрешность измерения около 0,9м);
 способ №6 дал большую погрешность около 1,6 м;
 метод статистической оценки даже в начале эксперимента вызывал у
меня некоторые сомнения. Мои сомнения подтвердились, т. К. этот
метод дал самую большую погрешность измерения около 2 м
2.3. Выводы по главе 2.
В ходе проведения исследовательской работы я пришел к выводам:
 способы №1, №2, №3 и №4 наиболее просты в техническом
исполнении и поэтому я считаю, что результаты, полученные при
применении этих способов более точные.
 При применении способа №6 фотоаппарат нужно установить так,
чтобы пленка находилась в вертикальной плоскости. Возможно,
 это условие было нарушено, поэтому я получил большую
погрешность.
 Таким образом, я считаю, что высота дерева равна примерно 19 – 20 м
19
Заключение
Практические работы на местности обогатили меня новыми знаниями,
развили интерес к изучению геометрии.
Были исследованы различные
способы измерения высоты деревьев. Полученные знания достаточно легко
применяются на практике. По проблеме исследования был проведен
эксперимент.
Эксперимент проходил в три этапа:
1 этап – теоретический. Находил исторические данные и общие данные
практического направления по теме «Использование измерений на местности
при изучении некоторых тем школьного курса геометрии».
2 этап – практический. Здесь была проведена экспериментальная проверка
знаний, полученных в ходе теоретического этапа.
3 этап – аналитический. Здесь были проанализированы полученные данные.
На третьем этапе эксперимента проводилась проверка гипотезы.
Моя гипотеза о том, что все способы дадут одинаковый результат
подтвердилась частично.
В ходе исследовательской деятельности я научился проводить измерения
на местности, строить математические модели, проводить расчеты по
полученным данным, оформлять данные в виде таблицы, делать выводы. Я
считаю, что цель моего исследования; применить знания, полученные на
уроках математики, для
измерений на местности, связать теорию с
практикой и с окружающим нас миром достигнута полностью.
Дальнейшие мои задачи продолжить эту тему, рассматривая задачи:
измерение глубины реки, озера, оврага.
20
Литература и сайты.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.
Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 16-е изд. - М.: Просвещение; 2010 г.
Изучение геометрии в 7-9 классах: Метод. рекомендации кучеб.: Кн. для
учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. - М.:
Просвещение, 1997 г.
Верн Ж. Таинственный остров. - М. Детгиз, 1956.
Депман И.Я. Мир чисел. Рассказы о математике. - Л.: Детская литература,
1975 г.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие
для учащихся. - М.: Просвещение, 1989 г.
Перельман Я.И. Занимательная геометрия. - М. АОО "Столетие", 1994.
http://www.geo-trade.ru/
http://shop.gis2000.ru/
http://www.geo-mir.ru/
http://www.gsi2000.ru/
http://www.kartgeoburo.ru/
http://www.geokraft.ru/
http://gallak.ru/
21
Приложение 1
22
Приложение №2
23
24
Приложение № 4
№
Способы
Результаты
1.
По длине тени
19,6м
2.
По луже, зеркалу
19,1м
3.
По шесту
(равнобедренный
треугольник)
18,7м
.4.
По рядом стоящему
зданию
19м
5.
Статистическая
оценка
17,1м
6.
По фотографии
17,5м
25
26
27
28
Приложение №1
29