Документ Word 97, 697K

Статистическое управление производственным процессом
Мы рассмотрели философию общего управления качества (TQM) и определили пять
задаваемых клиентом характеристик качества: соответствие спецификациям, стоимости,
пригодность для использования, послепродажная поддержка и психологические впечатления.
Многие организации применяют методы непрерывного совершенствования качества.
Такие методы предполагают непрерывный контроль процессов, производящих изделия или
услуги. Когда результаты процессов могут быть измерены или сравнены, то для оценки
степени соответствия их спецификациям могут быть полезны статистические инструменты
TQM типа контрольных диаграмм.
Статистическое управление производственным процессом (SPC) – это применение
статистических методов для определения соответствия производственного процесса, изделия
или услуги проектным условиям. В SPC инструменты, названные контрольными диаграммами,
используются прежде всего, чтобы предотвращать или обнаруживать производство дефектных
изделий или услуг.
Рассмотрим ситуацию увеличения числа жалоб на задержки выплат от страховой
компании. Предположим, что менеджер отдела счетов к оплате страховой компании извещает,
что средний процент задержек оплаты повысилась от 0.05 до 0.08. Первый вопрос – является
ли это повышение причиной для тревоги или только случайным явлением? Статистическое
управление производственным процессом может помочь менеджеру решить, следует ли
предпринимать дальнейшие действия. Если повышение достаточно большое, менеджер
должен сделать вывод, что это было не случайное явление и искать другие объяснения.
Возможно, число заявок существенно увеличилось, создавая перегрузку на служащих в отделе,
тогда решением проблемы могло быть увеличение численности персонала. Или, возможно,
неэффективны используемые процедуры, или неадекватно обучение служащих.
Другой подход к управлению качеством, основанный на выборках, является применением
статистических методов, чтобы определить, принять или нет партию товара на основании
осмотра или испытания образца. Далее мы исследуем методы статистического управления
производственным процессом, чтобы лучше понять роль, которую они играют в принятии
решения.
ИСТОЧНИКИ ИЗМЕНЕНИЙ
Никакие два изделия или услуги не идентичны, потому что процессы их производства
содержат много источников неопределенностей, даже если процесс нормально работает.
Например, диаметр двух коленчатых валов может отличаться из-за различий в износе
инструмента, твердости материала, навыке оператора или температуре изготовления. Точно
так же время, требуемое, чтобы обработать кредитную карточку, изменяется из-за загрузки
персонала в отделе кредита, навыков и отношений служащих. Нельзя полностью устранить
вариации в процессе производства, но можно исследовать их причины, чтобы уменьшить эти
вариации.
Общие причины
Имеются две основных категории вариаций продукции: общие причины и устранимые
причины. Общие причины вариаций вполне случайны и являются неизбежными при
использовании текущего процесса. Например, механизм, который заполняет коробки крупой,
не сможет заполнить все коробки одинаково. Если взвесить большое количество этих коробок
и подготовили результаты в виде диаграмме рассеивания, данные сформируют модель
распределения. Такое распределение может характеризоваться средним, отклонением и
формой.
1. Среднее - сумма результатов наблюдений, деленная на общее количество наблюдений:
Где
xi = наблюдение характеристики качества (типа веса);
n = общее количество наблюдений.
2. Дисперсия - мера разброса наблюдений относительно среднего. Практически
используются две меры дисперсии - размах и стандартное отклонение. Размах - различие
между самым большим и самый маленьким наблюдениями в выборке. Стандартное
отклонение может быть рассчитано как
Относительно маленькие значения разброса наблюдений или стандартного отклонения
показывают, что наблюдения сгруппированы около среднего.
3. Две основных формы распределений процессов - симметричная и смещенная.
Симметричное распределение имеет одинаковое число наблюдений выше и ниже среднего, а в
смещенном распределении эти числа могут значительно отличаться.
Если вариации процесса вызваны исключительно общими причинами, то его
распределение - типично симметричное, с большинством наблюдений около среднего. На
рисунке 5.1 показано распределение для механизма, заполняющего коробки крупой, когда
присутствуют только общие причины вариации. Средний вес - 425 граммов, и распределение симметричное относительно среднего.
Рис. 5.1.
Устранимые причины
Вторая категория вариаций, устранимые причины, включает любые приводящие к
изменениям факторы, которые могут быть идентифицированы и устранены. Причиной
устранимых вариаций может быть служащий, нуждающийся в обучении или механизм,
требующий ремонта. Вернемся к примеру механизма, заполняющего крупой коробки. На
рисунке 5.2 показано, как устранимые причины могут изменять распределение его продукции.
Рис. 5.2.
Зеленая кривая - распределение процесса, когда присутствуют только общие причины
вариаций. Фиолетовые линии изображают изменения в распределении из-за устранимых
причин. На рис. 5.2 (a) фиолетовая линия указывает, что механизм помещает больше
запланированного количества крупы, увеличивая средний вес каждой коробки. На рис. 5.2 (b)
отмечается увеличение разброса в весе крупы в каждой коробке. Наконец, на рис. 5.2 (с),
фиолетовая линия показывает, что механизм произвел больше коробок с недостаточным
весом, чем с избыточным. Такое распределение смещено - то есть больше не симметрично
относительно среднего.
Процесс называется статистически управляемым, когда параметры распределения не
изменяются во времени. В случае неуправляемости менеджеры используют SPC-процедуры,
чтобы обнаружить источник устранимых причин. На рис.5.3 показаны различия между
статистически управляемым и неуправляемым процессами.
Рис. 5.3
На рис.5.3(a) видно, что механизм дает различные распределения веса коробки с крупой
по времени, а это в свою очередь указывает на устранимые причины. На рис.5.3(b)
распределения веса устойчивы по времени. Следовательно, процесс статистически управляем.
ПРОЦЕСС ПРИЕМКИ
Многие компании используют контроль качества ненадлежащим образом, просто
устраняя дефекты в продукции прежде, чем она попадет к клиенту. Этот подход обречен на
неудачу из-за внутренних и внешних потерь. Компании мирового класса при контроле
качества комбинируют ранний осмотр с SPC. Важными моментами при таком подходе
являются вопросы измерения характеристики качества, выбора образцов и стадий процесса
для проведения осмотров.
Измерение качества
Чтобы обнаружить дефекты в продукции, инспекторы должны иметь возможность
измерить характеристики качества. Качество может быть оценено двумя способами. Один путь
состоит в том, чтобы измерить параметры - то есть характеристики изделия или услуги, типа
веса, длины, объема, или времени, которые могут быть измерены в непрерывном масштабе.
Например, инспекторы в Harley-Davidson измеряют диаметр поршня, чтобы определить, точно
ли соответствует изделие спецификации (в пределах допуска). Преимущество измерения
характеристики качества в непрерывном масштабе состоит в том, что, если изделие или услуга
не соответствует спецификации качества, инспектор может измерить степень этого
несоответствия. Неудобство – в том, что такие измерения обычно требуют специальное
оборудование, навыки служащего, сложные процедуры, затрат времени и сил. Другой способ
оценивать качество состоит в том, чтобы измерить признаки изделия или услуги - то есть
характеристики, которые могут быстро получены для оценки качества. Метод позволяет
инспекторам сделать простой вывод - соответствует изделие или услуга спецификации, или
нет. Часто такой метод используется, когда спецификации качества сложны, а измерение
параметров трудно или дорого. Некоторые примеры признаков, значение которых может быть
подсчитано - число форм страхования, содержащих ошибки; процент рейсов авиалинии,
прибывающих в пределах 15 минут от графика. Преимущество вычисления признаков состоит
в том, чем что необходимо меньше усилий и ресурсов для измерения параметров. Неудобство то, что даже если значения признаков могут показать, что качество выполнения изменилось,
они не показывают - на сколько. Например, таким способом можно определить, что процент
рейсов авиалинии, прибывающих в пределах 15 минут от графика, снизился, но не известно на
сколько. Фактическое число отклонений от графика должно быть измерено как параметр.
Выборки
Наиболее полный подход к осмотру состоит в том, чтобы проверить каждое изделие или
услугу на каждой стадии производства. Этот метод, названный полным осмотром,
используется, когда потери от передачи брака на следующую стадию обработки превышают
затраты на проведение проверки. Например, поставщики компонентов для космических
челноков проверяют каждый компонент много раз перед отгрузкой его подрядчику. В такой
ситуации стоимость брака – смерть людей и разрушение дорогостоящего оборудования значительно превышает стоимость осмотра. Полный осмотр фактически гарантирует, что
дефектные единицы не проходят к следующей операции или клиенту, и это подход,
соответствующий TQM. Тем не менее, когда осмотр делают люди, даже полный осмотр не
гарантирует отсутствие дефектов. Усталость или несовершенные методы работы инспектора
могут привести к пропуску дефекта. Фирмы могут преодолевать эти недостатки, используя
автоматизированное приемочное оборудование. Многие компаний нашли, что
автоматизированное приемочное оборудование может окупать себя в достаточно короткое
время.
Хорошо продуманный план выборки может приближаться к тому же уровню защиты, как
и полный осмотр. План выборки определяет размер выборки - количество случайно
отобранных наблюдений процесса производства; промежуток времени между взятием
образцов; правила принятия решений, которые определяют когда действие должно быть
выполнено. Выборки проводится, когда затраты осмотра высоки из-за необходимости
применения специальных знаний, навыков, процедур и дорогого оборудования для проведения
осмотра. Кроме того, выборка необходима независимо от приемочных затрат, когда испытания
уничтожают проверяемое изделие, как, например, при испытании безопасности автомобилей.
Выборочные распределения. Цель выборки состоит в том, чтобы вычислить значение
переменной или измерить признак характеристики качества образца. Так, в примере
заполнения коробок крупой важное измерение качества - вес изделия в каждой коробке.
Предположим, что менеджер хочет, чтобы механизм произвел коробки со средним весом 425
граммов. То есть требуется, чтобы распределение процесса имело среднее, равное 425
граммам. Инспектор, периодически берущий в качестве образцов 5 коробок, заполненных
механизмом, и вычисляющий средний вес (измерение переменной), мог бы использовать это,
чтобы определить, как хорошо механизм работает.
Построение графика средних показывает, что они имеют собственное распределение со
своим средним в 425 граммов, такое же, как и распределение процесса, но с меньшим
разбросом значений. На рис.5.4 показаны оба распределения.
Рис. 5.4
Некоторые распределения выборки могут быть аппроксимированы нормальным
распределением, позволяя использование его таблицу (см. Приложение 2). На рис.5.5
показаны проценты значений в пределах некоторых диапазонов нормального распределения.
Например, 68.26 процентов образцов будет иметь значения в пределах ±1 стандартного
отклонения от среднего. Мы можем определить вероятность, что какой-то элемент выборки
попадет за некоторые предельные значения. Например, имеется 4.56 (100-95.44) процента
вероятности того, что полученное значение будет отличаться более чем на два стандартных
отклонения от среднего. Возможность определения вероятности результата важна для
построения и использования контрольных диаграмм.
Рис. 5.5
Контрольные диаграммы. Контрольные диаграммы имеют номинальное значение, или
центральную линию, которая обычно является целью, которую менеджеры хотели бы достичь
при управлении процессом, и двух контрольных пределов, основанных на распределении
выборки меры качества. Контрольные пределы используются, чтобы определить, требуется
или нет вмешательство в процесс. Большее значение представляет верхний контрольный
предел (UCL – Upper Control Limit), а меньшее значение - нижний контрольный предел (LCL –
Lower Control Limit). На рис.5.6 показаны контрольные пределы и кривая распределения
выборки.
Рис. 5.6
Наблюдения, попадающие между UCL и LCL, указывают на общие причины вариаций;
наблюдения, попадающие вне пределов контроля, указывают на устранимые причины
вариаций. Наблюдения, попадающие вне пределов контроля не всегда означают низкое
качество. Например, устранимой причиной может быть новая процедура составления счетов,
которая была разработана, чтобы уменьшить число неправильных счетов, посланных
клиентам. Если процент неправильных счетов, показатель качества счетов, упал ниже LCL
диаграммы контроля, новая процедура вероятно изменила процесс составления счетов в
лучшую сторону и должна быть построена новая контрольная диаграмма.
Менеджеры используют контрольные диаграммы следующим способом.
1. Берется случайный образец процесса, измеряется характеристика качества и
вычисляется значение переменной или соответствующей меры.
2. Если статистические наблюдения находятся вне контрольных пределов диаграммы,
ищут устранимую причину.
3. Устраняют причину, если она ухудшает качество; используют причину, если это
улучшает качество. Восстанавливают контрольную диаграмму с новыми данными.
4. Процедуру периодически повторяют.
Часто менеджер может сообщить о нарушения в процессе, даже если контрольные
пределы не были превышены. Рис.5.7 содержит пять примеров диаграмм контроля. Диаграмма
(a) показывает статистически управляемый процесс. Никаких действий в этом случае не
требуется. Однако, диаграмма (b) показывает последовательность наблюдений с некоторой
тенденцией. Эта тенденция может быть результатом постепенного износа инструмента,
указывая на небходимость его замены или повторной регулировки.
Рис. 5.7
Для авиакомпании, обеспокоенной несвоевременными прибытиями рейсов, причиной
может быть занижение объемов воздушного движения в аэропорту при составлении графика
его работы. В этом случае требуется внесение изменений в график работы. Типовое правило
состоит в том, что необходимы коррективы, когда тенденция имеется для пяти или более
наблюдений, даже если их значения не превышают контрольные пределы.
В диаграмме (c) процесс резко отклонился от нормальной модели. Менеджер должен быть
обеспокоен такими внезапными изменениями даже при том, что контрольные пределы не
были превышены. Диаграмма (d) демонстрирует другую ситуацию, где необходимо действие.
Менеджер должен искать причину отклонений в процессе всякий раз, когда пять или большее
количество наблюдений расположены выше или ниже номинального значения. Вероятность
того, что такой результат случаен, очень низка. Наконец, диаграмма (e) показывает, что
процесс дважды вышел из под контроля, потому что два значения попали вне контрольных
пределов. При этом высока вероятность того, что изменилось распределение процесса.
Контрольные диаграммы - не лучшие инструменты для обнаружения изменений в
распределении процесса, потому что они основаны на выборочном распределении. При их
использовании возможны два типа ошибок. Ошибка типа I происходит, когда аналитик
заключает что процесс вышел из под контроля, основываясь на результате, который попал за
контрольные пределы, когда фактически это произошло чисто случайно. Ошибка типа II
происходит, когда аналитик заключает, что процесс находится под контролем, когда
фактически процесс находится вне статистического контроля.
На рис.5.8 показаны последствия этих ошибок, когда среднее процесса - мера качества. В
диаграмме (a) контрольные пределы для распределения выборки были установлены на три
стандартных отклонений от среднего (3-сигма пределы). В крайней левой кривой
заштрихованная часть показывает вероятность ошибки типа I (области под кривой выше и
ниже соответствующих пределов). Для 3-сигма пределов эта вероятность весьма маленькая.
На правой кривой среднее процесса переместилось. Заштрихованная часть кривой теперь
показывает вероятность ошибки типа II, которая является достаточно большой. В диаграмме
(b) контрольная диаграмма имеет только 2-сигма контрольные предела и более узкую
допустимую область, чем при использовании 3-сигма пределов. Теперь вероятность ошибки
типа I увеличилась, при одновременном уменьшении вероятности ошибки типа II.
Рис. 5.8
Выбор участка для проведения контрольных проверок
Чтобы решить, на какой стадии процесса делать осмотры, менеджер должен выявить
аспекты качества, важные для потребителя, и ключевые этапы в процессе, которые
затрагивают эти характеристики. В этом случае удобно применять диаграмму cause-and-effect.
Участки контроля обычно размещают в трех различных стадиях общего процесса:
Исходные материалы. Осмотр купленных материалов гарантирует надлежащее качество
входа для процесса производства. На этой стадии используются различного рода процедуры
принятия решений.
Процесс производства. На стадии производства участки контроля можно было бы
размещать после каждого этапа процесса. Однако этот подход может быть слишком
дорогостоящим, если испытание требует высококвалифицированных инспекторов и(или)
дорогой технологии. Программа TQM существенно уменьшает потребность в участках
контроля. Однако даже с ней некоторые участки контроля необходимы, особенно перед
дорогостоящими действиями или операциями из разряда “узких мест”. Стоимость осмотра
материалов при любом местоположении участков контроля должна быть сбалансирована с
потерями прохождения дефектных материалов к следующему этапу процесса.
Конечный продукт или услуга. В производственных системах осмотры конечного
продукта проводятся до отправки готовых изделий на склад или отгрузки их клиенту. Отказы
изделия, обнаруженные при заключительном осмотре, дорого стоят, потому что они могут
привести к (1) пересмотру дефектных изделий или партии в целом, (2) направлению
дефектного изделия или всей партии к предыдущему этапу для переделки, или (3)
направлению дефектных изделия или партии на специальный участок для диагноза и
исправления дефектов. В услугах клиент часто играет главную роль в заключительном
приемочном процессе. Например, парикмахер работает с клиентом до тех пор, пока все его
требования не будут выполнены, или механик может пригласить клиента для испытания
двигателя после ремонта автомобиля.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМ
ПРОЦЕССОМ
Применение методов статистического управления производственным процессом (SPC –
Statistical Process Control) полезно как для измерения текущего качества изделий или услуг, так
и для обнаружения, изменился ли сам процесс так, что это повлияет на качество продукции. В
этом разделе мы обсудим применение среднего и диаграммы отклонений для переменных мер
качества и контрольных диаграмм - для признаков изделия или услуги.
Контрольные диаграммы для переменных
Контрольные диаграммы для переменных контролируют среднее и распределение
процесса.
R-диаграммы. Диаграмма отклонений, или R-диаграмма (R-chart, range chart),
используется, чтобы контролировать изменения в процессе. Чтобы вычислить отклонения в
данных выборки, аналитик вычитает самый маленькое значение от самого большого в каждом
образце. Если любое значение попадает вне пределов контроля, процесс вышел из под
контроля.
Пределы контроля для R-диаграммы
UCLR = D4Ř
LCLR = D3Ř
Где
Ř - среднее число нескольких предыдущих значений R и центральная линия диаграммы
контроля;
D3, D4 - константы, которые задают пределы в три стандартных отклонения (three-sigma)
для данного размера выборки.
Значения для D3 и D4 содержатся в таблице 5.1 и зависят от размера выборки. Отметим,
что расстояние между пределами контроля сужается при увеличении размера выборки. Это
изменение - следствие увеличения объема информации, необходимой для обоснования оценки
диапазона процесса.
X-диаграмма. X-диаграмма ("x-bar chart") используется, чтобы измерить среднее. Когда
устранимые причины изменения процесса идентифицированы, и процесс находится под
статистическим контролем, аналитик может строить X-диаграмму, чтобы управлять средним
процесса. Пределы контроля для X-диаграммы
UCLx = x + A2Ř
LCLx = x - A2Ř
где
x - центральная линия диаграммы и среднее либо предыдущих выборочных значений,
либо требуемого набора значений для процесса;
A2 – постоянная, обеспечивающая три-сигма пределы для среднего процесса.
Значения A2 содержатся в таблице 5.1. Отметим, что пределы контроля используют
значение Ř; поэтому X-диаграмма должна строится тогда, когда процесс находится под
контролем.
Пример 1. Использование X- и R-диаграмм для управления процессом
Управление West Allis Industries заинтересовалось производством специального
металлического винта, используемого некоторымими из самых больших клиентов компании.
Диаметр винта должен быть строго выдержан (0.5025±0.0020 дюйма). Данные по последним
пяти образцам показываны в таблице. Размер выборки - 4. Находится ли процесс под
контролем?
Решение
Шаг 1. Для построения R-диаграммы выбираем соответствующие значения констант из
таблицы 5.1 для размера выборки 4. Пределы контроля:
UCLR = D4Ř = 2.28(0.0020) = 0.00456 дюйма
LCLR = D3Ř = 0(0.0020) = 0 дюйма
Шаг 2. Вычислим размах для каждого образца, вычитая самое маленькое значение из
самого большого. Например, в образце 1 размах 0.5027-0.5009 = 0.0018 дюйма. Точно так же
размахи для образцов 2, 3, 4, и 5 равны 0.0021, 0.0017, 0.0026 и 0.0022 дюйма соответственно.
Шаг 3. Нанесем размахи на R-диаграмму (рис. 5.9). Ни одно значение не располагается
вне пределов контроля. Следовательно, процесс находится под статистическим контролем.
Если бы любой из размахов вышел за пределы, потребовалось бы искать причины чрезмерной
изменчивости процесса.
Рис. 5.9
Шаг 4. Построим X-диаграмму для среднего процесса. Точный диаметр винта 0.5025
дюйма, допустимое отклонение 0.0020 дюйма, поэтому x = 0.5025, Ř = 0.0020, A 2 берем из
таблицы 5.1 для размера выборки 4 и строим пределы контроля:
UCLx = x + A2Ř = 0.5025 + 0.729(0.0020) = 0.5040 дюйма
LCLx = x - A2Ř = 0.5025 - 0.729(0.0020) = 0.5010 дюйма
Шаг 5. Вычислим среднее для каждой выборки. Например, среднее для выборки 1:
(0.5014 + 0.5022 + 0.5009 + 0.5027)/4 = 0.5018 дюйма
Точно так же вычисляем средние для выборок 2, 3, 4, и 5: 0.5029, 0.5026, 0.502 и 0.5043
дюйма соответственно.
Шаг 6. Заносим выборочные средние на диаграмму контроля, как показано на рис. 5.10.
Рис. 5.10
Среднее образца 5 попадает выше верхнего предела контроля, указывая, что должны быть
исследованы устранимые причины, возможно с использованием диаграммы cause-and-effect.
Если стандартное отклонение распределения процесса известно, может использоваться
другая форма X-диаграммы:
UCLx = x + zσx
LCLx = x - zσx
Где:
σx = σ/√n = стандартное отклонение выборки;
σ = стандартное отклонение распределения процесса;
n = размер выборки;
x = среднее значение выборочных средних или требуемое значение для процесса;
z = нормальное отклонение.
Преимущество использования этой формы X-диаграммы в том, что аналитик может
регулировать ширину области пределов контроля, изменяя значение z. Этот подход может
быть полезен для выравнивания результатов ошибок типа I и типа II.
Пример 2. Построение X-диаграмм с использованием стандартного
отклонения
Sunny Dale Bank контролирует время, требуемое для обслуживания клиентов, потому что
это - важный фактор качества в конкуренции с другими банками в городе. После анализа
собранных данных руководство банка решило, что среднее время работы с клиентом в
пиковый период должно быть 5 минут со стандартным отклонением в 1.5 минуты. Контроль
среднего времени обработки клиента проводится на выборках размером в 6 клиентов.
Требуется построить X-диаграмму, которая имеет 5 процентов вероятности ошибки типа I.
Решение
x = 5.0 минут;
σ = 1.5 минуты;
n = 6 клиентов;
z = 1.96.
Пределы контроля:
UCLx = x + zσ/√n = 5.0 + 1,96(1,5) √6 = 6,20 мин.
LCLx = x + zσ/√n = 5.0 - 1,96(1,5) √6 = 3,80 мин.
Значение для z может быть получено из приложения 2 следующим способом. Для ошибка
типа I в 5 процентов 2.5 процента приходится на область выше верхнего предела контроля и
2.5 процента - ниже нижнего предела контроля. Следовательно, для нахождения z в таблице
необходимо найти значение, которое оставляет только 2.5 процента в верхней части oт кривой
нормального распределения (или 1.0000 - 0.0250 = 0.9750 в таблице). Это дает значение z =
1.96.
Контрольные диаграммы для признаков
Для измерения качества на основании измерения признаков изделия или сервиса обычно
используются два типа диаграмм - P-диаграммы (p-chart) и C-диаграмма (c-chart). Pдиаграмма применяется для контроля процента дефектных изделий или услуг в процессе
производства. C-диаграмма используется для управления числом дефектов, когда более чем
один дефект могут присутствовать в изделии или услуге.
P-диаграммы. P-диаграмма – это обычная диаграмма контроля, примененная для
признаков. Например, в банковской системе вычисляемыми признаками могли бы быть число
неподтвержденных депозитов или число посланных неправильных финансовых отчетов.
Метод включает в себя случайную выборку, осмотр каждого изделия в ней и вычислении
процента дефектов - P, который является числом дефектных единиц, разделенных на размер
выборки.
Выборка с признаками требует решения: является изделие или услуга дефектным или нет.
Основное статистическое распределение основано на биномиальном распределении. Однако,
для больших размеров выборки, и нормальное распределение обеспечивает достаточно
хорошее приближение. Стандартное отклонение распределения дефектной пропорции, σp,
может быть вычислено как
σp = √((pa(l - pa)/n)
где:
n = размер выборки;
pa = средний процент дефектов и центральная линия на диаграмме.
Центральной линией на P-диаграмме может быть средний процент дефектов по
предыдущей выборке, или цель, которую менеджеры установило для процесса. Мы можем
использовать σp для вычисления верхних и нижних пределов контроля для Р-диаграммы:
UCLp = pa + zσp
LCLp = pa - zσp
Где
z = нормальное отклонение (число стандартных отклонений от среднего).
Диаграмма используется следующим образом. Берется случайная выборка размера n и
подсчитывается число дефектных изделий или услуг. Число дефектов делят на размер выборки
и получают процент дефектов в выборке - Р, который заносят на диаграмму. Когда процент
дефектов в выборке попадает вне пределов контроля, аналитик делает вывод, что процент
дефектов в производственном процессе изменился и ищет устранимые причины. Такой
причины можно и не найти, потому что всегда имеется небольшая вероятность, что выход за
пределы был случайным. Однако, если аналитик обнаруживает устранимые причины, эти
выборочные данные не должны использоваться для вычисления пределы контроля в
диаграмме.
Пример 3. Использование Р-диаграмм для управления процессом
Операционный менеджер Hometown Bank обеспокоен увеличением числа неправильных
номеров счетов клиентов, зарегистрированных персоналом банка. Каждую неделю берется
случайная выборка из 2500 принятых депозитов и регистрируется число неправильных
номеров счетов. Результаты в течение прошлых 12 недель показаны в таблице. Находится ли
процесс вне контроля? Используйте три-сигма пределы контроля.
Номер выборки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Всего
Число неправильных номеров счетов
15
12
19
2
19
4
24
7
10
17
15
3
147
Решение
Шаг 1. Построим Р-диаграмму, используя прошлые данные для вычисления среднего
количества дефектов:
pa = (Общее число дефектов)/ (Общее количество наблюдений) = 147/(12*2500) = 0.0049
σp = √(pa(1 - pa)/n) = √(0.0049 (1-0.0049)/2500) = 0.0014
UCLp = pa + zσp = 0.0049 + 3(0.0014) = 0.0091
LCLp = pa - zσp = 0.0049 - 3(0.0014) = 0.0007
Шаг 2. Вычислим процент дефектов в выборке. Процент дефектов для выборки 1:
15/2500 = 0.0060.
Шаг 3. Заносим каждый вычисленный процент дефектов на диаграмму, как показано на
рис. 5.11.
Рис. 5.11
Выборка 7 выходит за верхний предел контроля; таким образом процесс находится вне
контроля и должна быть определена причина этого. Возможно, номера счетов были
неправильно введены в компьютер стажером, или была дефектна кодировочная машина. После
исправления проблем аналитик должен повторно вычислить пределы контроля (отказавшись
от выборки 7). Новые значения:
pa = 0.0045, UCLp = 0.0085, и LCLр = 0.0005.
Теперь все данные на графике находятся внутри границ и процесс статистически
управляем.
С-диаграммы. Иногда продукция может иметь более одного дефекта. Например - рулон
коврового покрытия с несколькими дефектными участками. В этом случае применяются Сдиаграммы.
В основе выборочного распределения для С-диаграмм лежит распределение Пуассона
(Poisson distribution). Оно базируется на предположении, что дефекты наблюдаются в
непрерывных областях и вероятность появления двух или более дефектов в других местах
незначительна. Среднее распределения – ĉ, стандартное отклонение - √ĉ. Полезным бывает
использование аппроксимации распределения Пуассона нормальным распределением, чтобы
центральной линией диаграммы было среднее ĉ, а контрольными пределами –
UCLc = ĉ + z√ĉ
и
LCLc = ĉ - z√ĉ
Пример 4. Использование С-диаграмм для обнаружения дефектов
Woodland Paper Company производит газетную бумагу. На завершающей стадии процесса
бумага пропускается через машину, замеряющую различные характеристики ее качества.
Считается, что процесс находится под контролем, если обнаруживается в среднем 20 дефектов
на рулон.
1. Построить контрольную диаграмму для числа дефектов на рулон. Использовать 2сигма пределы контроля.
2. Если последний рулон содержит 27 дефектов, то находится ли процесс под контролем?
3. Если последний рулон содержит только 5 дефектов, то находится ли процесс под
контролем
Решение
1. Среднее число дефектов на рулон – 20, следовательно,
UCLc = ĉ + z√ĉ = 20 + 2(√20) = 28.94
LCLc = ĉ - z√ĉ = 20 - 2(√20) = 11.06
Контрольная диаграмма показана на рис. 5.12.
Рис. 5.12
2. Так как последний рулон имел 27 дефектов, что меньше верхнего контрольного
предела, то процесс находится под контролем.
3. Пять дефектов меньше, чем нижний контрольный предел, и формально из этого
следует выход процесса из под контроля. Однако на самом деле контрольная
диаграмма отмечает, что произошло какое-то хорошее событие, положительно
повлиявшее на качество продукции. Менеджер должен обнаружить источник и
использовать его для повышения качества бумаги.
СООТВЕТСТВИЕ СПЕЦИФИКАЦИЯМ ПРОЕКТА
Статистические методы управления производственным процессом помогают менеджерам
достигнуть и сохранять распределение процесса, которое не изменяется в терминах среднего и
вариаций. Контрольные пределы на контрольной диаграмме показывают, когда изменяется
среднее или вариации процесса. Однако процесс, который находится под статистическим
контролем, может производить изделия или услуги не в соответствии их спецификациям по
проекту, потому что пределы контроля основаны на среднем и вариациях распределения
выборки, а не на спецификации проекта. Спецификации проекта часто задают номинальное
значение (цель) и интервал выше или ниже его (допуск). Например, спецификации проекта по
сроку службы лампочки могли бы иметь номинальное значение 100 часов и допуска ± 20
часов. Этот допуск дает верхнюю спецификацию 120 часов и нижнюю спецификации 80 часов.
Процесс производства баллонов для ламп должен быть в пределах этих спецификаций
проекта; иначе возможно повышение процента бракованных лампочек.
Определение соответствия спецификациям проекта
На рис. 5.13 показаны отношения между распределением процесса, производящего
лампочки и спецификациями процесса (верхней и нижней) в двух состояниях. На рис. 5.13 (a)
процесс соответствует спецификациям, потому что экстремумы распределения процесса
попадают между верхней и нижней спецификациями. В рис. 5.13 (b) процесс не соответствует
спецификациям, потому что производит слишком много колб с коротким сроком службы.
Рис. 5.13
Рисунок 5.13 ясно показывает, почему менеджеры так заинтересованы в сокращении
вариаций процесса. Меньшее число вариаций - более низкие стандартные отклонения меньше дефектной продукция будет произведено.
Как определить количественно, соответствует ли процесс спецификациям? Для этого
обычно используются две меры: отношение соответствия спецификациям и индекс
соответствия спецификациям.
Отношение соответствия спецификациям. Процесс соответствует спецификациям,
если он имеет распределение с экстремумами в пределах верхних и нижних спецификаций для
изделия или услуги. Как правило, большинство значений распределения процесса попадает в
пределы плюс или минус три стандартных отклонения от среднего. Другими словами,
диапазон значений меры качества процесса - приблизительно шесть стандартных отклонений.
Следовательно, если процесс соответствует спецификациям, различие между верхней и
нижней спецификациями, называемое величиной допуска, должен быть больше чем шесть
стандартных отклонений. Отношение соответствия спецификациям, Cp, определяется как
Cр = (верхняя спецификация - нижняя спецификация)/6σ,
где σ = стандартное отклонение распределения процесса.
Если Cp больше единицы, диапазон допуска больше чем диапазон фактической
продукции процесса. Если Cp меньше единицы, процесс производит некачественные изделия
или услуги. Часто фирмы выбирают произвольное критическое значение для отношения
соответствия спецификациям, например - 1.33, задавая цель для сокращения вариаций
процесса. Значение выбирается больше единицы, чтобы успеть учесть некоторые изменение в
распределении процесса процесса прежде, чем некачественная продукция будет произведена.
Индекс соответствия спецификациям. Процесс соответствует спецификациям только
тогда, когда отношение соответствия спецификациям больше чем критическое значение
(например, 1.33) и распределение процесса сосредоточено в области номинального значения
спецификации проекта. Например, процесс производства колб может иметь отношение
соответствия спецификациям больше чем 1.33. Однако, если среднее распределения процесса,
X, ближе или к верхней, или к нижней спецификациям, дефектные колбы могут все еще
производиться. Таким образом, мы должны вычислить индекс соответствия спецификациям,
который измеряет способность процесса производить плохую продукцию относительно или
верхней, или нижней спецификаций.
Индекс способности процесса, Cpk, определен как
Cpk = минимум из ((Х-нижняя спецификация)/3σ , (верхняя спецификация - X)/3σ)
Мы берем минимум из двух отношений, потому что это соответствует самой плохой
ситуации. Если и индекс Cpk, и отношение соответствия спецификациям больше, чем
соответствующие критические значения, можно быть окончательно уверенным, что процесс
соответствует спецификациям. Если же Cpk меньше единицы, а среднее процесса близко к
одному из пределов допуска, то процесс производит дефектную продукцию.
Индекс соответствия спецификациям будет всегда меньше или равняться отношению
соответствия спецификациям. Когда они равны, процесс сосредоточен между верхней и
нижней спецификациями и, следовательно, среднее распределения процесса соответствует
номинальному значению спецификаций проекта.
Пример 5. Оценка соответствия спецификациям процесса производства
колб для лампочек
В процесс производства лампочки заложены средний срок службы 90 часов со
стандартным отклонением 4.8 часов. Номинальная значение диапазона допуска - 100 часов, с
верхней спецификацией 120 часов и нижней спецификацией 80 часов. Операционный
менеджер хочет определить, соответствует ли процесса спецификациям.
Решение
Вычислим отношение и индекс соответствия процесса спецификациям:
CP = (120-80)/(6*4.8) = 1.39
Нижняя граница спецификаций:
(90-80)/(3*4.8) = 0.69
Верхняя граница спецификаций:
(120-90)/(3*4.8) = 2.08
Cpk = Минимум [0.69, 2.08] = 0.69
Отношение соответствия спецификациям 1.39 сообщает нам, что уровень вариаций
машины является приемлемым относительно диапазона пределов допуска. Однако, индекс
соответствия процесса спецификациям показывает, что распределение продукции слишком
близко к нижней спецификации и будут произведены недоловечные колбы. Менеджер должен
искать способы сдвинуть среднее процесса ближе к номинальному значению спецификаций
проекта.
Определение соответствия спецификациям с использованием непрерывного
совершенствования
Чтобы определять соответствия процесса спецификациям, т.е. произвести продукцию в
пределах допусков, используются следующие шаги.
Шаг 1. Собрать данные о продукции процесса, вычислить среднее и стандартное
отклонение.
Шаг 2. Построить диаграммы управления производственным процессом, типа Xдиаграммы или R-диаграммы.
Шаг 3. Взять ряд случайных образцов процесса, и занести результаты на диаграмму
контроля. Если по крайней мере 20 последовательных образцов - в рамках пределов контроля
диаграммы, процесс находится под статистическим контролем. Если процесс не под
статистическим контролем, ищут устранимые причины и удаляют их. Повторно вычисляют
среднее и стандартное отклонение распределения процесса и пределы контроля для диаграмм.
Повторяют шаг до тех пор, пока процесс не станет статистически контролируем.
Шаг 4. Вычислить отношение и индекс соответствия процесса спецификациям. Если
результаты приемлемы, документируют все изменения, сделанные в процессе и продолжают
контролировать продукцию, используя диаграммы контроля. Если результаты недопустимы,
исследуют устранимые причины для сокращения вариаций качества продукции. Поскольку
сделаны изменения, повторно вычисляют среднее и стандартное отклонение дистрибуции
процесса и пределов контроля для диаграмм и повторяют шаг 3.
Приложение 2. Коэффициенты нормального распределения
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998