План практик 1

План практических занятий
ЭФФ, 1-ый курс, 1-ый семестр.
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Задачники: Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М. Наука, 1975,
1980, 1986 гг. - 240с., Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М. Наука, 1977. - 288с., Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.
Наука, 1969, 1978, 1987 гг. - 352с.
1. Занятие: Комплексные числа. Матрицы. Определители.
Минорский В.П.: № 630(1,5), 633(1); Фаддеев Д.К : № 103; 219(а,с), 220(а,с), 465(а);
Клетеник Д.В.: № 1204(2), 1205(2), 1211, 1217, 1256.
2. Занятие: Обратная матрица. Решение систем методом Крамера.
Фаддеев Д.К.: № 410(b,c); 411(a,c); 400(b,d).
3. Занятие: Ранг матрицы. Решение систем методом Гаусса. (С/р – 25-30 мин.).
Фаддеев Д.К.: № 442(c,e); 400(f); Клетеник Д.В.: № 1247.
4. Занятие: Решение систем общего вида. Собственные числа и вектора.
*, Фаддеев Д.К.: № 444(b,c); 443(f). № 449(d,c); № 1032(b); * .
5. Занятие: Контрольная работа по теме «Линейная алгебра», сдача ИДЗ-1 на
проверку.
6. Занятие: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.
Клетеник Д.В.: № 748, 750, 761, 769, 779, *, 795(1-4), 819.
7. Занятие: Произведения векторов. Приложения векторной алгебры.
Клетеник Д.В.: № 850, 857, *, 832, 787, 793, 873, 874(1), **, *** .
8. Занятие: Контрольная работа по теме «Векторная алгебра», сдача на проверку
ИДЗ-2.
9. Занятие: Прямая на плоскости.
Клетеник Д.В.: № 210, 214, 220(5), 230, 253(2), 254, 310(2), 322(2), 339(2), 338(3).
10. Занятие: Прямая и плоскость.
Клетеник Д.В.: № 917, 947, 936, 960, 1019(1).
11. Занятие: Прямая и плоскость.
Клетеник Д.В.: № 1053, 1068, 1051,1050.
12.Занятие: Кривые второго порядка.
Клетеник Д.В.: № 385(2), 397(5), 447, 471(3), 599(4),673
13.Аналитическая геометрия в пространстве. Полярная система координат,
приложения.
*, Клетеник Д.В.: № 632(2); **, ***.
14.Занятие: Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия», сдача
ИДЗ-3, 4.
Дифференциальное исчисление.
Задачник: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М. Наука, 1972,
1975, 1977, 1985 гг. - 416 с.
15. Занятие: Понятие функции. Числовая последовательность и её предел.
Берман Г.Н.: № 22, 31, 145(2), 178, 248, 247, 252, 256, 267.
16.Занятие: Предел функции.
Берман Г.Н.: № 190, 270, 274, 278, 280, 284, 296, 300, 302, 308.
17.Занятие: 1ый и 2ой замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых
величин.
Берман Г.Н.: № 314, 316, 322, 333, 354, 356, 358, 363, 367, 383, 400.
18.Занятие: Непрерывность функций.
Берман Г.Н.: №402, 408, 414(1,7,12), 221, 226, 235, 225, 324, 328.
19. Занятие: Контрольная работа по теме «Пределы», сдача на проверку ИДЗ-5.
20.Занятие: Производные.
Берман Г.Н.: № 466(1,4,11), 468, 471(1,7), 496, 512, 520, 526, 546,563, 590, 597,
624, 650, 652.
21.Занятие: Производные параметрически и неявно заданных функций.
Повторное дифференцирование. Тест.
Берман Г.Н.: № 666, 750,773, 797, 804, 800, 936, 939, 944,
1007, 1023, 1042,1072,1073(1), 889(4,10).
22.Занятие: Дифференциал. Приложения. Тест.
Берман Г.Н.: № 889(4,10), 891, 900, 1096,1143, 1146, 1165, 1178, 1185, 1208.
23.Занятие: Экстремумы, асимптоты, точки перегиба.
Берман Г.Н.: № 1287, 1293, 1390, 1386, 1409.
24.Занятие: Правило Лопиталя. Ряд Тейлора.
Берман Г.Н.: № 1324, 1325, 1328, 1331, 1347, 1351, 1352, 1358,
1359, 1362, 1409, 1504.
25.Занятие: Контрольная работа по теме «Производные», сдача на проверку
ИДЗ-6, 7.
26.Занятие: ФНП. Область определения. Частные производные.
Берман Г.Н.: № 2983, 2987, 2991, 3039, 3043,3046, 50, 59, 76.
27.Занятие: Частные производные.
Берман Г.Н.: № 3088, 3126, 3030, 3035, 3039, 3028.
28.Занятие: Производные неявно и параметрически заданных функций;
производные высших порядков.
Берман Г.Н.: № 3145, 47, 51, 64, 3101, 111, 115, 181, 189,171.
29.Занятие: Приложение производных. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Экстремум ФНП.
Берман Г.Н.: № 3411, 3417, 3259, 3270, 3272, 3275, 3279.
30.Занятие: Наибольшее, наименьшее значение. Пределы.
Берман Г.Н.: № 3281, 3273, 3004,3006.
31.Занятие: Контрольная работа по теме «ФНП», сдача на проверку ИДЗ-8.
Комплексные числа.
Минорский В.П.: № 630(1,5); Фаддеев Д.К: № 103;
Минорский В.П.: № 633(1); (*).
1. Выполнить действия: 1) (2+3i)(3-2i) =? , 5)
1 i
?
1 i
2. Найти x и y, считая их вещественными: (1+2i)x+ (3-5i)y =1-3i.
3. Изобразить векторами и записать в тригонометрической форме: z=2-2i.
4. z=1; z1/3=?
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Матрицы.
Фаддеев Д.К.: № 219(a,c), 220(a,c).
1.1. Выполнить действия: а) (1,2,1,-1)+(3,2,-1,2);
1 2  1   1 3 1  2 4 1 
  3
  2
 =?
 2 1 1   2 1 2    1 3 2
с) 4
1.2. Умножить матрицы:
 2 1  1  1
  
  ?
а) 
 3 2  1 1 
 3 1 1   1 1  1

 

с)  2 1 2    2  1 1   ?
1 2 3  1 0 1 

 

На дом: (Фаддеев № 465(a); Минорский № 630(3,6))
1 2 1
 4 1



1. Вычислить AB - BA =? A   2 1 2 ; B    4 2
 1 2 3
 1 2



  10

2i
2
 ? Ответ:1. A  B  B  A   6
2. (3-2i) =? 3.
1 i
 7

1

0 ;
1 
 4  7

14 4 .
5  4 
Определители.
Клетеник Д.В.: № 1204(2), 1205(2), 1211, 1217, 1256.
1.3. Вычислить определитель:
1.4. Решить уравнение:
3 4
1
2
?
1
4
 0.
3x x  22
1.5. Вычислить определитель:
3 2
2 1
2
1.6. Доказать не раскрывая определителей:
3 2 1
3 2 7
 2 3 2   2 3  2.
4 5 3
4 5 11
0
1
3 ?
2
1.7. Вычислить определитель:
8 7
8 2
4 4
2
7
4
0
10
?
5
0 4 3 2
На дом: (Клетеник № 1252; Фаддеев № 249,265).
3 0 0 0
2 2 0 0
1. Вычислить:
?
1 3 1 0
1 5 3 5
2. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:
a) a12a24a23a41a55; b) a21a13a34a55a42 .
3. Числа 204, 527, и 255 делятся на 17. Доказать, что
2 0 4
определитель 5 2 7 делится на 17.
2 5 5
Обратная матрица. Решение систем методом Крамера.
Фаддеев Д.К.: № 410(b,c); 411(a,c); 400(b,d);
 1 2  3


 a b  1
; A  ? 2.2 . c) A   0 1 2 ; A1  ?
2.1. 410: b) A  
c d 
0 0 1 


 2 5
 4  6
  X  
 .
2.3. Найти матрицу X из уравнения: a) 
 1 3
2 1 
 3 2   2 4 
  
 .
 
 5  3   3  1
 x1  x2  2 x3  1

2.5. Решить систему уравнений: b) 2 x1  x2  2 x3  4
4 x  x  4 x  2
3
 1 2
 x1  2 x2  4 x3  31

2.6. d) 5 x1  x2  2 x3  29 .
 3x  x  x  10
3
 1 2
На дом: Индивидуальное задание № 1 (ИЗ № 1): 1-3 задачи.
2 1
  X
2.4. c) 
 3 2
Ранг матрицы. Решение систем методом Гаусса. C/p.
Фаддеев Д.К.: № 442(c,e); 400(f); Клетеник Д.В.: № 1247.
1 0 0 1 4 


0 1 0 2 5 
3.1. Найти ранги матриц: c) A   0 0 1 3 6 ; r ( A)  ?


 1 2 3 14 32 
 4 5 6 32 77 


2

1
1

1
1

1

1 1 1

3 1 1
1 4 1
; r ( A)  ?
3.2.
e)
1 1 5
2 3 4 
1 1 1 
 x1  2 x2  3x3  2 x4  6
 2 x  x  2 x  3x  8

3
4
3.3. Решить систему уравнений:  1 2
.
 3x1  2 x2  x3  2 x4  4
2 x1  3x2  2 x3  x4  8
3.4. Определить при каких значениях a и b система:
 3x  2 y  z  b

1) имеет единственное решение? 2) не имеет решений? 3) имеет
5 x  8 y  9 z  3
2 x  y  az  1

бесконечное множество решений?
На дом: ИЗ № 1: задача 4.
Решение систем общего вида. Собственные числа и вектора.
(*), Фаддеев Д.К.: № 444(b,c); 443(f), 449(d,c); № 1032(b); (*).
 x1  2 x2  x3  3

4.1.(*).Решить системы уравнений:  x1  3x2  x3  1 .
3x  4 x  x  5
2
3
 1
 x1  x2  3x3  1
 2 x1  x2  3x3  3
2 x  x  2 x  1
 3x  x  5 x  0
 1 2

3
3
4.2. 444( b) 
. 4.3. c)  1 2
x

x

x

3
4
x

x

x
3
1
2
3  3
 1 2

 x1  2 x2  3x3  1
 x1  3x2  13x3  6
 3x4  x5  0
 x1  x2
 x  x  2x  x
0

2
3
4
4.4.  1
 4 x1  2 x2  6 x3  3x4  4 x5  0
2 x1  4 x2  2 x3  4 x4  7 x5  0
4.5. Выписать фундаментальные системы решений для систем линейных однородных
уравнений: 449(d) x1  x2  x3  x4  0 ;
0
 3x1  2 x2  x3

4.6. 449(c) 
3x2  2 x3  x4  0
3 x  4 x  3 x  2 x  0
2
3
4
 1
.
4.7. Найти собственные значения и векторы матриц:
3 4
 .
A  
5 2
4.8.(*)
 6 1
 .
A  
  2 4
На дом: ИЗ № 1.
5. Контрольная работа по линейной алгебре.
Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.
Клетеник Д.В.: № 748, 750, 761, 769, 779, *, 795(1-4), 819.

6.1. Вычислить модуль вектора a  {6,3,2}.
6.2. Даны точки: A(3,-1,2) и B(-1,2,1) . Найти координаты векторов


AB и BA .
 
 
 
6.3. По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов: 1) a  b ; 2) a  b ;
 
 
3) b  a ; 4) (a  b ).

1


6.4. По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов: 1) 3a ; 2)  b ;
2

 1
1
3) 2a  b ; 4) a  3b .
3
2


6.5. Даны точки A(-1,5,-10), B(5,-7,8), C(2,2,-7), D(5,-4,2). Проверить, что векторы AB и CD
коллинеарны; установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены
– в одну или противоположные стороны?

 

6.6.(*) Дан параллелограмм ABCD, в котором AB  a , AC  c . Точка M делит диагональ AC в




 
отношении AM : MC  5 / 2. Выразить векторы AD, BD , MD, MB через a и c .


 
 
6.7. Векторы a и b образуют угол   2 / 3 . Зная, что a  3, b  4 , вычислить: 1) (a , b ); 2)

 

(a ) 2 ; 3) (b ) 2 ; 4) ( a  b ) 2 .
6.8. Вычислить косинус угла, образованного векторами:


a  {2,4,4}; b  {3,2,6}.
На дом: ИЗ № 2: 1-3 задачи.
Произведения векторов. Приложения векторной алгебры.
Клетеник Д.В.: № 850, 857, *, 832, 787, 793, 873, 874(1), **, *** .


7.1. Даны Векторы: a  {3,1,2}; b  {1,2,1}. Найти координаты векторных произведений: 1)
 
  
[ a , b ]; 2) [( 2a  b ), b ] ;
 
 
3) [( 2a  b ), (2a  b )].
7.2. Даны точки A(1,2,0); B(3,0,-3); C(5,2,6). Вычислить площадь треугольника ABC.


   
 
7.3. Найти угол между векторами a  2m  4n и b  m  n , где m и n единичные вектора,
образующие угол 1200.


7.4. Вычислить проекцию вектора a  {5,2,5} на ось вектора b  {2,1,2}.



7.5. На плоскости даны два вектора: p  {2,3} и q  {1,2}. Найти разложение вектора a  {9,4}
 
по базису p, q .



7.7. Даны три вектора: p  {3,2,1}, q  {1,1,2} и r  {2,1,3}. Найти разложение вектора

  
c  {11,6,5} по базису p, q , r .



  
7.8. Даны векторы: a  {1,1,3}, b  {2,2,1} и c  {3,2,5}. Вычислить (a , b , c ).



7.9. Установить, компланарны ли векторы a  {2,3,1}, b  {1,1,3} и c  {1,9,11}.
7.9. Определить объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
A(1,1,-1); B(2,3,1); C(3,2.1); D(5,9,-8).


7.10. Найти координаты вектора x , коллинеарного вектору b  {4,1,1} и удовлетворяющего
 
условию ( x , b )  6.
На дом: ИЗ № 2.
8. Контрольная работа по векторной алгебре.
Прямая на плоскости.
Клетеник Д.В.: № 210, 214, 220(5), 230, 253(2), 254, 310(2),
322(2), 339(2), 338(3).
9.1. Определить какие из точек: M1(3,1); M2(2,3); M3(6,3); M4(-3,-3); M5(3,-1); M6(-2,1) лежат на
прямой 2x-3y-3=0 и какие нет.
9.2. Найти точку пересечения двух прямых: 3x-4y-29=0; 2x+5y+19=0.
9.3. Составить уравнение прямой и построить её зная k=-2 и b=-5.
9.4. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5,-4); B(-1,3);
C(-3,-2) параллельно противоположным сторонам.
9.5. Определить угол между прямыми: 3x-2y+7=0; 2x+3y-3=0.
9.6. Дана прямая 2x+3y+4=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,1)
под углом 450 к данной прямой.
9.7. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду:
4
3
x  y  10  0.
5
5
9.8. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми:
5x-12y+26=0; 5x-12y-13=0.
9.9. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
x-2y-3=0; 2x+4y+7=0.
9.10. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух
параллельных прямых: 5x-2y-6=0;
10x-4y+3 =0.
На дом: ИЗ № 3: 1-3 задачи.
Прямая и плоскость.
Клетеник Д.В.: № 917, 947, 936, 960, 1019(1).
10.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3,4,-5)


параллельно векторам a1  {3,1,1} и a2  {1,2,1}.
10.2. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью
2x-3y+6z-12=0 и координатными плоскостями.
10.3. Установить, что три плоскости: x-2y+z-7=0, 2x+y-z+2=0,
x-3y+2z-11=0 имеют одну общую точку, и вычислить её координаты.
10.4. Вычислить расстояние d от точки P(-1,1,-2) до плоскости, проходящей
через точки M1(1,-1,1); M2(-2,1,3); M3(4,-5,-2).
 x  2 y  3z  4  0,
3x  2 y  5 z  4  0.
10.5. Составить каноническое уравнение прямой: 
На дом: ИЗ № 4: 1-4 задачи.
Прямая и плоскость.
Клетеник Д.В.: № 1053, 1068, 1051, 1050; 385(2), 397(5), 447.
11.1.Найти проекцию точки P(5,2,-1) на плоскость 2x-y+3z+23=0.
11.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
 x  2t  1

 y  3t  2 и точку M(2,-2,1).
 z  2t  3

11.3. Найти точку Q, симметричную точке P(4,1,6) относительно прямой:
 x  y  4 z  12  0,

2 x  y  2 z  3  0.
 x  3t
11.4. Найти проекцию точки P(2,-1,3) на прямую  y  5t  7 .
 z  2t  2

Кривые второго порядка.
Клетеник Д.В.: № 385(2), 397(5), 447, 471(3), 599(4), 673.
12.1. Составить уравнение окружности, если центр окружности совпадает с
точкой С(2,-3) и её радиус R=7.
12.2. Найти центр и радиус окружности: x 2  y 2  2 x  4 y  20  0.
12.3. Дан эллипс: 9 x 2  25 y 2  225. Найти: 1) его полуоси,
2) фокусы, 3) эксцентриситет.
12.4. Найти координаты центра С , полуоси, эксцентриситет эллипса:
4 x 2  3 y 2  8x  12 y  32  0.
12.5. Установить какая линия определяется уравнением: y  5   3x  21.
12.6. Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем
параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду;
установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на
чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей
координат:
1) 4x2+9y2-40x+36y+100=0;
2) 9x2-16y2-54x-64y-127=0;
3) 9x2+4y2+18x-8y+49=0;
4) 4x2-y2+8x—2y+3=0;
5) 2x2+3y2+8x-6y+11=0.
На дом: ИЗ № 3, 4.
Аналитическая геометрия в пространстве. Полярная система координат,
приложения.
*, Клетеник Д.В.: № 632(2); **, ***.
13.1.(*) Построить линии: 1)   2  cos  ;
 x  4 cos t
;
 y  2
 x  a sin t
4) 
;
 y  b cos t
2) 
 x  t sin t
;
 y  t cos t
3) 
5)   a  b .
13.2. Определить, какие линии даны уравнением в полярных координатах

6
.
1  cos 
13.3.(**) Построить поверхности: 1) x  2 y  y 2 ;
2) x 2  y 2  6 z  3;
3) x 2  y 2  z 2 ;
4) x 2  y 2  z 2 / 4  1.
13.4.(***) Построить тело, ограниченное поверхностями:
 x  y  z  2,
1)  x 2  y 2  1,

z  0.

 2 x2 y2

,
z 
4
9

2)  2 x  y  2,
 x  y  z  0.


 z  x2  y2 ,

4)  y  1, y  2 x,
 y  6  x , z  0.

 x 2  y 2  z 2  9,

3)  x 2  y 2  4,

y  0.

На дом: ИЗ № 3, 4.
14. Контрольная работа по аналитической геометрии.
Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Числовая последовательность и её предел.
Берман Г.Н.: № 22, 31, 145(2), 178, 248, 247, 252, 256, 267.
15.1. Дано: f ( x)  x 2  2 x  3. Найти все корни уравнения:
а) f ( x)  f (0); б) f ( x)  f (1).
15.2. Дано: y  z  1, z  tg 2 x. Выразить y как функцию x.
15.3. Построить график функции: y  1  sin x.
n 1
15.4. Доказать, что un 
стремится 1 при неограниченном возрастании n . Начиная с
n 1
какого n абсолютная величина разности между un и 1 не превосходит 104 ?
n 3  100n  1
.
15.5. Вычислить пределы: lim
2
n   100 n  15n
15.6.
15.8.
(n  1) 3  (n  1) 3
.
lim
2
2
n  ( n  1)  ( n  1)
lim
n 
4
n  2  n 1
5
n 4  2  n3  1
5
3
15.7.
lim
n 
2
3
15.9.
.
lim
n 
n 3  2n  1
.
n2
21 / n  1
.
21 / n  1
На дом: ИЗ № 5: 1-6 задания.
Предел функции.
Берман Г.Н.: № 190, 270, 274, 278, 280, 284, 296, 300, 302, 308.
16.1. Дано y  x 2 . Когда x  2 , то y  4. Каково должно быть  , чтобы из
x  2   следовало y  4    0.001 ?
16.2.
x
16.3.
lim 1  x .
x 1
x 1
16.4.

1
lim  x( x  2)
x 2
2


1
.
x  3x  2 
2
1  x  3x 3
.
16.6. lim
2
3
x  1  x  3 x
3
16.8.
lim
x 0
16.10.
1 x  3 1 x
.
x
lim (
lim
( x  1) 2  x
.
x2 1
xm 1
, (m, n  Z ).
16.5. lim n
x 1 x  1
x 1  2
.
x5
x 5
n
x 1
16..9. lim m
, (m, n  N ).
x 1
x 1
16.7.
lim
x 2  1  x).
x 
На дом: ИЗ № 5.
1ый и 2ой замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин.
Берман Г.Н.: № 314, 316, 322, 333, 354, 356, 358, 363,
367, 383, 400.
sin 3x
17.1. lim
.
x
x0
17.4.
sin x
. 17.3.
17.2. lim
x 0 sin x
z
lim (1  z)tg 2 .
z 1
(1  cos 3 x)
.
lim
x sin 2 x
x 0
mx
k
17.5. lim 1   .
x
x  
x 1
3x  4  3
17.6. lim 
 .
x   3 x  2 
17.8. lim (1  sin x) cos ec x .
x 1 
 .
x    2 x  1 
17.7. lim 
17.9.
lim {x[ln( x  a)  ln x]}.
x 
x0
sin x
17.10. lim
.
x
x 
x
17.11.
lim (cos x  sin x)
1
x
.
x 0
На дом: ИЗ № 5.
Непрерывность функций.
Берман Г.Н.: №402, 408, 414(1,7,12), 221, 226, 235, 225, 324, 328.
18.1. Бесконечно малая величина Un принимает значения
1
1
1
,U 3  ,, U n  , , а бесконечно малая Vn – соответственно:
2
3
n
1
1
1
V1  1, V2  , V3  ,  , Vn  ,  .Сравнить Un и Vn; какая из них высшего порядка
2!
3!
n!
U 1  1, U 2 
малости?
18.2. Пусть x  0 . Тогда a  x3  a , (a  0) - бесконечно малая величина.
Определить порядок её относительно x.
18.3. Определить порядок относительно x функции f(x), бесконечно малой при
x  0 : 1) f ( x)  3 1  3 x  1.
18.4. 7) f ( x)  e x  cos x.
18.5.
18.6.
12) f ( x)  arcsin( 4  x 2  2).
Функция
f(x)
определена
следующим
образом:
y  0, при x  0;


y  x, 0  x  1;

f ( x)  
2
 y   x  4 x  2, 1  x  3;

y  4  x, x  3.
Будет ли эта функция непрерывна?
x2  1
18.7. f ( x)  3
- не определена при x=1. Каким должно быть значение f(1),
x 1
чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при x=1.
1
18.8. Исследовать характер разрыва функции y 
2x 1
1
x
в точке x=0.
2 1
18.9. В каких точках терпят разрывы функции y 
1
1
? Построить
и y
x2
( x  2) 2
графики обеих функций. Выяснить разницу в поведении этих функций вблизи
точек разрыва.
18.10. Вычислить:
1  sin x  cos x
lim 1  sin x  cos x .
x 0
18.11.
lim
x
2
1  sin x
(

2
 x)
2
.
На дом: ИЗ № 5.
19. Контрольная работа по теме: «Пределы».
Производные.
Берман Г.Н.: № 466(1,4,11), 468, 471(1,7), 496, 512, 520, 526,
546, 563, 590, 597, 624, 650, 652.
Продифференцировать указанные функции:
20.1. y  3x2  5x  1; 20.2. y  3 x  3 2; 20.3. y  ( x  0,5)2 .
t 2  5t  1
1
; Найти f (1), f (1), f (2), f  .
3
t
a
20.5. y  ( x 2  3x  3)( x 2  2 x  1). 20.6. y  (1  x )(1  2 x )(1  3x ).
az
1
,  (1)  ? 20.8. u 
20.7.  ( z ) 
, u  ?
1 z
v  a2  v2
20.4. f (t ) 
20.11. y  sin 2 (cos 3x).
1
4
20.12 y  arctg x 2 .
20.13. y  ln(arccos 2 x).
20.14. y  3 ln sin
20.9.    sin   cos  .
x
20.10. y  tg 4 x.
x3
.
4
2
20.15. y  2 3 .
20.16. y  x x . 20.17. y  (sin x) cos x .
На дом: ИЗ № 6.
Производные параметрически и неявно заданных функций. Дифференциал. Повторное
дифференцирование. Тест.
Берман Г.Н.: № 666, 750,773, 797, 804, 800, 889(4,10), 936, 939,
944, 1007, 1023, 1096, 1072, 1073(1).
Продифференцировать указанные функции:
3x 2  1
 ln 1  x 2  arctg x.
2
3x
arcsin x
21.3. Доказать, что функция y 
удовлетворяет уравнению
1  x2
(1  x 2 ) y  xy  1 .
21.4. y 2  2 xy  b2  0; y  ?
21.5. x y  y x ; y  ?
21.6. sin( xy)  cos( xy)  tg ( x  y ); y  ?
1
mn
.
21.7. Найти дифференциал функции: 4) y  4 ; 10) y 
4x
x
x  1  t 2 ,
 x  a cos t ,
yx  ?
21.8. 
21.9. 
y x  ?
3
 y  b sin t.
y  t  t .
21.1. y  3
x( x 2  1)
.
( x 2  1) 2
 x  e t sin t ,
21.10. 
 y  e cos t.
t
21.2. y 
y x  ? 21.11. y  1  x 2  x 4 ;
y   ?
21.12. y  ln( x  1  x 2 ); y   ? 21.13. y  3 x 2 ; d 2 y  ?
 x  a cos 3 t d 2 y
 x  a(  sin  ) d 2 y
21.14. 
; 2  ? 21.15. 
; 2 ?
3
 y  a(1  cos  ) dx
 y  a sin t dx
На дом: ИЗ № 6.
Приложения. Экстремумы, асимптоты, точки перегиба. Тест.
Берман Г.Н.: № 1143, 46, 65, 78, 85, 1208,87, 93, 1390, 1386.
22.1. Показать, что функция: y  2 x 3  3x 2  12 x  1 убывает в интервале (-2,1).
22.2. Показать, что функция: y  arctg x  x везде убывает.
22.3. Найти экстремумы функций: y  2 x 3  3x 2 ;
3
2
22.4. y  ( x 2  2 x) ln x  x 2  4 x.
22.5. Найти наибольшее и наименьшее функции на указанном отрезке:
y  x 4  2 x 2  5; [2,2].
22.6. Число 8 разбить на два таких слогаемых, чтобы сумма их кубов была
наименьшей.
22.7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклостей и вогнутостей:
y  x 3  5 x 2  3x  5.
x3
, (a  0).
22.8. Найти точки перегиба: y  2
x  3a 2
x
1
22.9. Найти асимптоты: y  2 x  arctg . 22.10. y  x ln( e  ).
2
x
На дом: ИЗ № 7.
Приложения. Правило Лопиталя. Ряд Тейлора.
Берман Г.Н.: № 1409, 1324, 1325, 1328, 1331, 1347, 1351,
1352, 1358, 1359, 1362, 1499, 1504.
23.1. Провести исследование и начертить: y 
x3
.
2( x  1) 2
x 3 a
ln cos x
. 23.3. lim
.
lim
x
x a
xa
x 0
  2arctg x
x  arctg x
.
23.4. lim
23.5. lim
.
3
1
x
x 
x 0
ln( 1  )
x
1
x
23.6. lim[(  2arctg x) ln x]. 23.7. lim (

).
ln x
x 1 ln x
x 
1
23.8. lim (ctg x  ).
23.9. lim xsin x .
x
x 0
x0
3
23.2. Найти пределы:
1
ln( e x  1)
x
x tg 2a
.
23.11. lim ( 2  )
a
xa
.
lim x
x0
23.12. Разложить x3  3x2  2x  4 по степеням двучлена x  1.
23.10.
23.13. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) n-го порядка для функции y  xex
при x0  0.
На дом: ИЗ № 6,7.
24. Контрольная работа по теме: «Производные».
Функции нескольких переменных.
ФНП. Область определения, частные производные.
Берман Г.Н. : № 2983, 2987, 2991, 3039, 3004, 3006,
3043,3046, 50, 59, 76, 3088, 3126, 3130, 3135.
Найти область определения функций:
25.1. z  1 
x2 y 2
 .
a 2 b2
25.2. z 
1
x y

1
x y
.
x2  y 2
 arc sec( x 2  y 2 ).
4
25.3. z  arcsin
Найти пределы:
25.4.
lim
x 0
y 0
x2 y 2  1  1
x2  y 2
1  cos( x 2  y 2 )
.
x  0 ( x 2  y 2 ) xy
; 25.5. lim
y 0
Найти частные производные функций:
u
v
v
u
25.6. z   . 25.7. z  ln( x  x 2  y 2 ).
x
y
25.9. z  ln tg .
25.10.
25.8. z  x y .
u  xyz. 25.11. z  2
1  xy
1  xy
.
Найти частные производные функций:

u
при x  0, y  0, z  .
z
4
dz
.
25.13. z  arcsin( x  y), x  3t , y  4t 3 . Найти
dt
dz
25.14. z  arctg ( xy), y  e x . Найти .
dx
25.12. u  sin 2 x  sin 2 y  sin 2 z . Найти
25.15. z  ( x 2  y 2 )  e
x2  y2
xy
. Найти
z z
, , dz.
x y
На дом: ИЗ № 8.
Производные неявно и параметрически заданных функций; производные
высших порядков.
Берман Г.Н. : № 3139, 3128, 3145, 47, 51, 64, 3101, 111, 115, 181, 189,171.
26.1. u  sin x  F (sin y  sin x). Убедиться, что
u
v
26.2. z  x 2 ln y; x  ; y  3u  2v;
u
u
cos x 
cos y  cos x  cos y при F.
y
x
z
z
?
?
u
v
dy
от функций, заданных неявно:
dx
x 3 y  y 3 x  a 4 . 26.4. xe y  ye x  e xy  0. 26.5. xy  ln y  a.
z
z
e z  xyz  0.
?
?
x
y
Найти производную
26.3.
26.6.
Найти полный дифференциал: z  x 2 y 4  x3 y 3  x 4 y 2 .
Найти значение полного дифференциала z  e xy
при x  1; y  1; x  0.15; y  0.1;
26.9. Подсчитать приближенно 1.042.02 , (4.05) 2  (2.93) 2 .
26.7.
26.8.
2 z
2z

.
26.10. z  x  xy  5 xy  y . Показать, что
xy yx
3
2
y
26.11. z  e xe .
26.12. x 
3
2z
?
x 2
u 2  v2
,
2
y
5
2z
?
xy
2z
?
y 2
u 2  v2
,
2
z  u  v; dz  ?
На дом: ИЗ № 8.
Приложение производных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум ФНП. Наибольшее, наименьшее значение.
Берман Г.Н.: № 3411, 3417, 3259, 3270, 3272, 3275, 3279, 3281, 73.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке:
27.1. z  xy в точке (1,1,1).
27.2. 3x 4  4 y 3 z  4 z 2 xy  4 z 3 x  1  0 в точке (1,1,1).
Найти стационарные точки функции:
3
2
2
27.3. z  2 x  xy  5 x  y 2 .
27.4. 5 x 2  5 y 2  5 z 2  2 xy  2 xz  2 yz  72  0. z – задано неявно.
27.5. Найти точки экстремума функции z  4( x  y )  x 2  y 2 .
27.6. Убедиться, что при x  2 ; y  2 ; и при x   2 ; y   2 ; функция
z  x 4  y 4  2 x 2  4 xy  2 y 2 имеет минимум.
27.7. Найти наибольшее и наименьшее значение z  x 2  y 2
в круге x 2  y 2  4.
27.8. Найти наибольшее и наименьшее значение z  x 2 y (4  x  y )
в треугольнике x  0; y  0; x  y  6.
27.9. Найти точки экстремума функции z  x 2  xy  y 2  x  y  1.
На дом: ИЗ № 8.
28. Контрольная работа по теме: «ФНП».