ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
МИИТ
Одобрено кафедрой
«Физика и химия»
ФИЗИКА
Задания на контрольные работы № 1 и № 2
с методическими указаниями
для студентов 1 курса
направления: 280700.62 «Техносферная безопасность»
профилей: Безопасность жизнедеятельности в техносфере,
Инженерная защита окружающей среды
Москва 2011
Составители: канд. пед. наук, доц. Е.С.Зуева;
ст. преп. М.В.Скрипка
Рецензент : док. физ.-мат., наук, доц. З.Л.Шулиманова
Введение
В процессе изучения дисциплины «Физика» студенты выполняют четыре
контрольные работы, основной целью выполнения которых является выработка
приемов и навыков решения контрольных задач из разных областей физики,
позволяющих проверить степень усвоения основных разделов теоретического
курса, помогающих в дальнейшем студентам решать инженерные задачи.
1. Общие требования к оформлению контрольных работ
При оформлении контрольных работ условия задач в контрольных
работах переписываются полностью, без сокращений.
Решения задач должны сопровождаться краткими, но исчерпывающими
пояснениями с обязательным использованием рисунков, выполненных
чертежными инструментами.
Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля и
интервалы между задачами (не менее 5 см).
В конце каждой контрольной работы необходимо указать, каким
учебным пособием пользовался студент (название учебного пособия, автор, год
издания).
Решение
задач
рекомендуется
выполнять
в
следующей
последовательности:
1. Ввести буквенные обозначения всех используемых физических величин.
2. Под рубрикой "Дано" кратко записать условие задачи с переводом
значений всех величин в систему единиц СИ.
3. Сделать (если это необходимо) чертеж, поясняющий содержание задачи
и ход решения.
4. Сформулировать физические законы, на которых базируется решение
задачи, и обосновать возможность их использования.
5. На основе сформулированных законов составить уравнение или систему
уравнений, решая которую можно найти искомые величины.
6. Решить уравнение и получить в общем виде расчетную формулу, в
левой части которой стоит искомая величина, а в правой - величины, данные в
условии задачи.
7. Проверить единицы измерения полученных величин по расчетной
формуле и тем самым подтвердить ее правильность.
8. Произвести вычисления. Для этого необходимо все значения величин в
единицах СИ подставить в расчетную формулу и выполнить вычисления (с
точностью не более 2-3 значащих цифр).
9. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа
числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной
дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень
десяти. Например, вместо 2170 надо записать 2,17.103.
Выполненные контрольные работы сдаются на рецензию преподавателю
не позднее, чем за одну неделю до экзамена по физике. После рецензирования
вносятся исправления в решение задач в соответствии с замечаниями
преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с
контрольными работами, которые сдаются на повторную рецензию.
Зачет по каждой контрольной работе принимается преподавателем в
процессе собеседования по правильно решенной и прорецензированной
контрольной работе.
В каждой контрольной работе следует решить шесть задач. Номера задач
определяются по таблицам вариантов к контрольным работам в соответствии с
номером своего варианта. Выбор задач производится по таблице вариантов к
контрольным работам: первые четыре задачи выбирают по варианту, номер
которого совпадает с последней цифрой учебного шифра, а пятую и
шестую задачи – с предпоследней цифрой шифра.
Контрольные работы выполняются в тетради, на обложке которой
приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр,
номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и
номера всех задач контрольной работы.
Возможно оформление контрольных работ на бумаге белого цвета
формата А4 на одной стороне листа без искажений и загрязнения букв, цвет
печати черный.
Ориентация – книжная.
Поля: верхнее, нижнее, правое, левое – 2 см.
Номера страниц – арабскими цифрами, внизу страницы – Tahoma, 13 пт.
Титульный лист включается в общую нумерацию, номер на титульном
листе не ставится. Номер проставляется, начиная с содержания работы.
Формат файла электронной версии – MS Office Word 2003, или
полностью с ним совместимый.
ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Студенты выполняют на первом курсе во втором семестре две
контрольные работы согласно таблицам вариантов к контрольным работам.
Контрольная работа №1 «Физические основы механики»
Методические указания к выполнению контрольной работы №1
В контрольную работу №1 включены задачи по теме: «Физические
основы механики» на следующие темы: кинематика поступательного и
вращательного движения; динамика поступательного и вращательного
движения; законы сохранения в механике; динамика вращательного движения
твердого тела; элементы специальной теории относительности. Для решения
задач студент должен предварительно проработать следующий материал по
учебным пособиям, приведенным в списке литературы, и темы: "Кинематика и
динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела",
«Законы сохранения в механике" Динамика вращательного движения твердого
тела", Элементы специальной теории относительности".
Таблица вариантов к контрольной работе № 1
Вариант
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Номера задач
110
101
102
103
104
105
106
107
108
109
120
111
112
113
114
115
116
117
118
119
130
121
122
123
124
125
126
127
128
129
140
131
132
133
134
135
136
137
138
139
150
141
142
143
144
145
146
147
148
149
160
151
152
153
154
155
156
157
158
159
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2003.
2. Трофимова Т.И. Краткий курс физики. – М.: Высшая школа,
2004.
3. Трофимова Т.И. Физика в таблицах и формулах. – М.: Дрофа,
2002.
4. Яворский А.А., Детлаф Б.М. Справочник по физике. – М.: Наука,
Физматлит, 2003.
5. Сборник задач по физике с решениями для втузов /
Е.М.Новодворская, Э.М.Дмитриев. – М.: OOO «Издательский дом
«ОНИКС 21 век»: OOO «Издательство «Мир и Образование», 2005.
6. Извергина Е.Н., Петров Н.И. Все решения к «Сборнику задач по
общему курсу физики» В.С.Волькенштейн. – М.: Олимп, 1999.
6. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая
школа, 1997
Основные единицы системы СИ
Метр (м) – длина пути, проходимого светом за 1/299792458 с.
Килограмм (кг) – масса, равная массе международного прототипа
килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящаяся в Международном
бюро мер и весов в Севере, близ Парижа).
Секунда (с) – время, равное 9192631770 периодам излучения,
соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного
состояния атома цезия-133.
Ампер (А) – сила неизменяющегося тока, который при прохождении по
двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого
поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от
другого, создает между этими проводниками силу, равную 2  10 7 H на каждый
метр длины.
Кельвин (К) – 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки
воды.
Моль (моль) - количество вещества системы, содержащей столько же
структурных элементов (атомов, молекул, ионов и других частиц) сколько
атомов находится в нуклиде 12C массой 0,012 кг.
Кандела (кд)
испускающего
- сила света источника в заданном направлении,
монохроматическое
излучение
частотой
энергетическая сила света которого в этом направлении составляет
540  1012 Ãö ,
1 Âò
.
683 ñð
Дополнительные единицы системы СИ
Радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, длина дуги
между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) – телесный угол с вершиной в центре сферы,
вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со
стороной, равной радиусу сферы.
Производные единицы физических величин (единицы геометрических
и механических величин, единицы тепловых величин, единицы электрических
и магнитных величин,
единицы величин энергетической фотометрии и
световых величин, единица радиационной величины) образуются из основных
и дополнительных единиц измерения.
Механика
Основные законы и формулы механики
Кинематика поступательного и вращательного движения
1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X:
x  f (t ) ,
где f (t ) - некоторая функция времени.
2. Средняя скорость за промежуток времени t
  x 
x
,
t
где x  x2  x1 ; x1 - положение точки в момент времени t1 ;
x 2 - положение точки в момент времени t 2 ; t  t 2  t1 .
3. Мгновенная скорость:
x 
dx
.
dt
4. Среднее ускорение:
 a x 
 x
.
t
5. Мгновенное ускорение:
a x  dv x .
dt
6. Уравнение движения точки по окружности:
  f (t ) ,
где  - угловое положение точки в момент времени t.
7. Угловая скорость точки движущейся по окружности:
=
d
.
dt
8. Угловая скорость при равномерном движении по окружности:
  2n ,
где n - число оборотов в секунду.
9. Угловое ускорение
d d 2

 2 .
dt
dt
10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими
движение точки по окружности:
  R ,
at  R ,
an   2 R ,
где  - линейная скорость точки (направлена по касательной к
окружности); at - тангенциальное ускорение (направлено по касательной);
a n - нормальное ускорение (направлено к центру окружности);
R
- радиус окружности.
11.
Полное ускорение:
a  at2  an2 .
Законы динамики материальной точки
при прямолинейном движении
12. Импульс
материальной точки массой m, движущейся поступательно

со скоростью v :


p =m v .
Второй закон Ньютона:
13.

dp 
F,
dt

где F - сила, действующая на тело.
14. Второй закон Ньютона для промежутка времени t :


p
 F ,
t

где F  - среднее значение силы за время t
15. Силы, рассматриваемые в механике:
a)
сила упругости:
Закон Гука для продольного упругого растяжения (сжатия):
F  kx , F  kl ,     E ,
где k - коэффициент жесткости, x -смещение;
l  l  l0 - абсолютное удлинение;
l0 , l
- начальная и конечная длина образца;
 
S

E
F
S
l
l0
- нормальное напряжение;
- площадь поперечного сечения образца;
- относительное удлинение;
-
модуль Юнга.
Наибольшее напряжение, до которого все деформации в материале
упругие, называется пределом упругости.
Предел прочности — механическое напряжение, выше которого
происходит разрушение материала.
Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и
допускаемого напряжения есть тот «запас прочности», который необходимо
предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей
расчета, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала
и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и
пр.
Для обеспечения безопасной, надежной работы сооружения и отдельных
его частей, несмотря на возможные неблагоприятные отклонения
действительных условий их работы от расчетных, вводится коэффициент
запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение
меньше опасного.
Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции
равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности
элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение.
Потенциальная энергия упруго растянутого (упруго сжатого) стержня:
Ï 
E  2
V ,
2
где E – модуль Юнга;  
l
- относительное продольное растяжение
l
(сжатие); V – объем тела.
б) сила гравитационного взаимодействия:
F G
m1 m 2
r2
,
где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы взаимодействующих
материальных точек, r - расстояние между материальными точками.
в) сила трения скольжения:
F  N ,
где  - коэффициент трения скольжения, N - сила нормального давления.
16. Закон сохранения импульса для замкнутой системы из двух тел:




m1 v1  m2 v2  m1 u1  m2 u 2 ,


где v 1 и v 2 - скорости тел в начальный момент времени;


u 1 и u 2 - скорости тех же тел в конечный момент времени.
17. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:
mv
Ek 
2
2
или
18. Потенциальная энергия
а) упруго деформированной пружины:
EП 
p2
.
Ek 
2m
1 2
kx ,
2
где k - коэффициент жесткости пружины, x - абсолютная деформация;
б) потенциальная энергия гравитационного взаимодействия:
m m
E П  G 1 2 ,
r
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих
тел; r -расстояние между ними (данные тела считаются материальными
точками);
в) потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы
тяжести:
Е П  mgh ,
где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над уровнем,
принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус
Земли).
Закон сохранения механической энергии:
E  Ek  E Ï  const.
19. Работа, совершаемая внешними силами, определяется как мера
изменения энергии системы:
A  E  E 2  E1 .
Законы динамики вращательного движения
абсолютно твердого тела
20. Основное уравнение динамики
относительно неподвижной оси:
вращательного
движения


Ì  J ,

где M – результирующий момент внешних сил относительно оси

вращения;  - угловое ускорение; J – момент инерции тела относительно оси
вращения.
21. Момент инерции материальной точки относительно заданной оси:
J  mr 2 ,
где m - масса , r – расстояние точки до оси вращения.
22. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси,
проходящей через центр симметрии (центр масс):
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:
1
J  ml 2 ;
12
б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси,
перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):
J  mR 2 ;
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости
диска:
J 
1
mR 2 ,
2
г) шара радиусом R относительно оси, проходящей через центр шара:
J 
2
mR 2 .
5
23. Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой
оси вращения равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на
квадрат расстояния a между осями:
J  J C  ma 2 ,
где m - масса тела.
Момент импульса тела относительно оси вращения:
24.


L  J ,

где  - угловая скорость тела.
25.Закон сохранения момента импульса
для системы двух тел
относительно общей неподвижной оси вращения:


(
t
)

L
L1
2 ( t )  const ,


где L1 (t) и L 2 (t) - моменты импульсов первого и второго тел
относительно общей оси вращения.
26. Закон сохранения момента импульса
вращающихся вокруг неподвижной оси:
системы
двух
тел,


J11  J 22 ,


где J1,  1 и J2,  2 - моменты инерции системы тел и их угловые
скорости в моменты времени, принятые за начальный и конечный.
27. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси:
1 2
E k  J
2
2
L
.
Ek 
2J
или
Элементы релятивистской механики
28.Длина тела и интервал времени в различных системах отсчета:
2
l  l0 1   ;
t
где  

c
t0
1 
2
,
– скорость тела, выраженная в долях скорости света в вакууме;
с – скорость света в вакууме; l 0 – длина тела в системе отсчета, относительно
которой тело неподвижно; l – длина тела в системе отсчета, относительно
которой тело движется; t 0 – интервал времени, измеренный по часам,
движущимся вместе с телом; t – время, измеренное в системе отсчета,
относительно которой тело движется.
29. Взаимосвязь массы и энергии свободной частицы:
E  mc 2 
E0
1 
2
,
где E  m0 c - энергия покоя частицы; m0 масса покоя частицы;
E - полная энергия, E  E0  E k ; Еk
- кинетическая энергия свободной
частицы.
30.Кинетическая энергия свободной частицы:
2
 1

.

1
Ek  E0 
 1  2



31.Импульс свободной частицы:

p  mv  m0 c
1 
2
,
где p0  m0 c - комптоновский импульс.
32.
Связь между энергией и импульсом свободной частицы:
2
E 2  E 02   pc  ,
или
p
1
E k E k  2 E 0  .
c
Элементы механики жидкостей и газов
33.
Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h:
P  gh ,
где  - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.
34. Закон Архимеда:
FA  gV ,
где FA - выталкивающая сила; V – объем жидкости, вытесненной
телом.
35.Уравнение неразрывности:
S   const ,
где S – площадь поперечного сечения трубки тока;  - скорость
жидкости.
36. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной
несжимаемой жидкости – выражение закона сохранения механической энергии
применительно к установившемуся течению идеальной жидкости:
 2
2
 gh  P  const ,
где P – статическое давление жидкости для определенного сечения
трубки тока;  - скорость жидкости для этого же сечения;
 2
2
- динамическое давление жидкости для этого же сечения;
h – высота, на которой расположено сечение; gh - гидростатическое
давление.
Для трубки тока, расположенной горизонтально,
 2
2
где
 2
2
 P  const ,
 P - полное давление.
37. Формула Торричелли, позволяющая определить скорость
истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:
  2 gh ,
где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня
жидкости в сосуде.
38. Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости:
F 

S,
x
где  - динамическая вязкость жидкости;  / x - градиент скорости;
S – площадь соприкасающихся слоев.
39.Постоянная (число) Рейнольдса, определяющее характер движения
жидкости:
Re     
d

,
где  - плотность жидкости,    - средняя по сечению трубы скорость
жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы;
 - динамическая вязкость.
При малых значениях числа Рейнольдса движение среды является
ламинарным, при больших – турбулентным. В случае шара переход от
ламинарного движения к турбулентному происходит при значениях Re ,
близких к 0,5, если в качестве d взять диаметр шара.
С увеличением скорости течения жидкости по трубе переход от
ламинарного течения к турбулентному происходит при Re , близком к 3000,
если в качестве d взять диаметр трубы.
40. Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления,
действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик:
F  6     r   ,
где r – радиус шарика;  - скорость шарика;  - динамическая вязкость.
41. Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости,
протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l :
  R 4  t  P

,
8 V  l
где R –радиус трубки; P - разность давлений на концах трубки; V –
объем вытекающей жидкости.
42.Лобовое сопротивление:
Rx  C x    2 
S
,
2
где C x - безразмерный коэффициент сопротивления;  - плотность среды;
 - скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения
тела.
43.Подъемная сила:
R y  C y    2 
S
,
2
где C y - безразмерный коэффициент сопротивления;  - плотность среды;
 - скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения
тела.
Алгоритмы решения задач. Примеры решения задач
Кинематика материальной точки и абсолютно твердого тела
Закон движения – это уравнение (или несколько уравнений),
позволяющее определить в любой момент времени положение
движущегося тела в заранее выбранной системе координат. Как правило,
закон движения удобнее записывать в координатной форме.
Систему координат необходимо выбирать в зависимости от условий
задачи, чтобы математическое решение было упрощено.
Если закон движения известен, то можно рассчитать и построить
траекторию движения тела, найти кинематические параметры.
С другой стороны, если известны скорость или ускорение как
функция времени и начальные условия, то можно найти закон движения.
Алгоритм решения задач к разделу «Кинематика»
1. Указать материальную точку, подвижную систему отсчета,
неподвижную систему отсчета.
2. Выбрать систему отсчета, в которой будет решаться задача.
3. Выполнить чертеж, на котором указать:
а) траекторию движения материальной точки;
б) начальное, конечное, промежуточное положения материальной
точки;
в) все кинематические величины, характеризующие движение
материальной точки в определенные промежутки времени;
г) оси координат.
4. Указать закон движения и записать векторные кинематические
уравнения в выбранной системе координат.
5. Записать эти уравнения в проекциях на оси координат для каждого
промежутка времени.
6. Решить полученную систему уравнений.
7. Проанализировать ответ.
Примеры решения задач по теме «Кинематика»
Задача 1. Тело бросили горизонтально с высоты 20 м. Найдите
начальную скорость тела, если дальность полета равна 60 м.
Дано: S y  20 ì ;
S õ  60 ì .
_____________
V0  ?
Рис.
Решение.
В условии задачи высота представляет собой проекцию перемещения на
ось OY, т.е. Sy=20 м, дальность полета – проекцию перемещения на ось OX,
т.е. Sx=60 м.
Т.к. тело движется с постоянным ускорением, можно использовать
уравнение:

 
at 2
S  0t 
,
2

(1)


где S - перемещение
тела;  0 - начальная скорость тела; a ускорение, t – время движения.
Выберем направление осей координат OX и OY как указано на рисунке.
Спроецировав уравнение (1) на ось OX , получим (учитывая, что проекция
вектора ускорения свободного падения на данную ось равна нулю, т.е. gx=0):
S x  0t
(2)
В уравнении (2), кроме начальной скорости, не известно время движения.
Время можно найти, записав уравнение (1) в проекции на ось OY
(учитывая, что проекция вектора начальной скорости на данную ось равна
нулю, т.е. v0y=0):
 Sy  
gt 2
.
2
(3)
Из уравнения (3) выразим время движения
2S y
t
g
Подставив полученное выражение в уравнение (3), найдем начальную
скорость:
0  S x
g
.
2S y
Проверка размерности расчетной формулы:
v  ì

ì
 ì /ñ.
ñ ì
2
Вычисление:
0  60 
9.8
 30( ì / ñ) .
2  20
Ответ: начальная скорость тела равна 30 м/с.
Задача 2 . Мяч брошен со скоростью v0 = 10 м/с под углом к  45
горизонту. Определите радиус кривизны R траектории мяча через t = 1 с после
начала движения.
Y
Дано: v0 = 10 м/с;
  45 ;
t = 1 с.
_______________
R-?
Рис.
Решение.
Выберем систему координат с началом в точке бросания мяча, ось ОY
направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (рис.). За начало отсчета
примем момент бросания мяча. В этой системе координат движение тела можно
представить как результат сложения двух прямолинейных движений:
равномерного движения вдоль оси ОХ со скоростью V0 x и движения тела,
брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V0 y вдоль оси ОY.
Запишем уравнения движения мяча:


 v x  v0 cos 45



v y  v0 sin 45  gt
 ax  0

a y   g
Так как нормальное ускорение a n  v 2 / R , радиус кривизны траектории
определим по формуле:
v2
R .
an
(1)
Тангенциальное ускорение
at 
vx ax  v y a y
v
.
При t  1
v x  v0 cos 45  10  0,707  7,07( ì / ñ) ;
v y  v0  sin 45  gt  10  0,707  9,8 1  2,73ì / ñ ;
v  v x2  v y2 
7,072   2,732
 7,58 ì / ñ .
a x  0;
a  a y   g  9,8 ì / ñ2 .
Тогда,
at 
7,07  0  2,73  (9,8)
 3,53 ì /ñ 2 .
7,58


Полное ускорение:
a  at2  an2 .
Тогда,
an  a 2  at2 .
Вычисление:
an 
9,82  3,532


 9,14 ì / ñ2 .
Проверка размерности расчетной формулы (1):
 ñ 2
ì .
ì  ñ2
R  ì
2
2

7,58
R
9,14
 6,29( ì ) .
Ответ: радиус кривизны траектории R = 9,14 м.
Задача 3. Материальная точка движется равноускоренно с начальной
скоростью  0 . Определить ускорение точки, если за время t  2 ñ она прошла
путь S  26 ì и ее скорость   3 0 .
Дано:
0 ;
t  2 ñ;
S  26 ì;
  3 0 .
à ?
Рис.
Решение.

В случае равноускоренного движения вектор ускорения à сонаправлен с

вектором начальной скорости  0 .

Направим ось Х по направлению скорости  0 .
Тогда в проекции на ось Х уравнения движения тела имеют вид:
S  x  xC   0 t 
at 2
.
2
(1)
   0  at  3 0 .
(2)
Из формулы (2)
0 
at
.
2
(3)
Воспользуемся соотношением (1) и (3):
S  at 2 ;
a
Проверка размерности расчетной формулы:
a  
ì
.
ñ2
Произведем вычисления:
a


26
 6,5 ì / ñ 2 .
2
2
2
Ответ: ускорение точки равно 6,5 ì / ñ .
S
.
t2
Задача 4. Зависимость пройденного телом пути от времени задается
уравнением s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 (A = 5м; B = -3 м/с; С = 2 м/с 2 ; D = 1 м/с 3 ).
Определить для тела в интервале времени от t 1 = 1c до t 2 = 2c: среднюю
скорость <v>; среднее ускорение < a >.
Дано:
S  A  Bt  Ct 2  Dt 3 ;
A = 5м;
B = -3 м/с;
С = 2 м/с 2 ;
D = 1 м/с 3 ;
t 1 = 1c;
t 2 = 2c.
______________________
<v>-? <a> - ?
Решение.
Зависимость пройденного телом пути от времени:
S  A  Bt  Ct 2  Dt 3
(1)
Найдем путь, пройденный телом за время t 2 = 2c, подставив в уравнение
(1) заданное значение времени:
S 2  5  3  2  2  4  1  8  15( ì ) .
Найдем путь, пройденный телом за время t 1 = 1c, подставив в уравнение
(1) заданное значение времени:
S1  5  3 1  2 1  11  5( ì )
В интервале времени от t1  1c до t 2  2c средняя скорость движения
равна:
 V 
s 2  s1
;
t 2  t1
 V 
15  5
 10( ì / ñ) .
2 1
Скорость – есть первая производная от пути по времени:
V 
При t1  1c
При t 2  2c
dS
 3  4t  3t 2 .
dt
V1  3  4  3  4( ì / ñ) .
V2  3  8  12  17( ì / ñ) .
Найдем среднее ускорение:
 a 
V2  V1
;
t 2  t1
 a 
17  4
 13( ì / ñ 2 )
2 1
Ответ: средняя скорость равна 10 ì / ñ ; среднее ускорение равно 13 ì / ñ2 .
Задача 5. Точка движется по окружности радиусом r = 15 см с постоянным
тангенциальным ускорением. К концу четвертого оборота после начала
движения линейная скорость точки v = 15 см/с. Определить нормальное
ускорение точки через t = 16с после начала движения.
Дано:
r  15ñì  15 102 ì ;
Решение:
at  const ;

an
V1  15ñì / ñ  0,15ì / ñ;
t  16c .
___________________

at
r 
a
 
, О
an  ?
Рис.
Так как движение точки по окружности является равноускоренным, то
пройденный точкой путь определяется по формуле:
S  V0 t 
at t 2
.
2
Так как тангенциальное ускорение a t и время t неизвестны, необходимо
использовать формулу:
V 2  V02
S
.
2a t
(1)
По условию задачи начальная скорость точки V0 = 0, формула (1) примет
вид:
S
V2
2a t
(2)
Так как точка движется по окружности, то пройденный путь
S  2   r ,
т.е длине окружности, следовательно:
8  r 
V2
.
2a t
Выразим из последней формулы тангенциальное ускорение:
at 
V12
.
2  8  r
Проверка размерности расчетной формулы:
a 
ì
2
ñ ì
2

ì
.
ñ2
Вычисление:
at =
0,15 2
 0,003 ì / ñ2  .
2  8  3,14  0,15
Найдем скорость точки через 16 секунд после начала движения:
V2  V0  at t ,
так как V0 =0, то V2  at t .
Нормальное ускорение:
an 
(at t ) 2
.
r
Проверка размерности:
ì 2  ñ2
an   4  ì / ñ2 .
ñ ì
Произведем вычисление:
an 
(0,0029  16) 2
 0,015( ì / ñ2 ) .
0,15
(3)
Ответ: нормальное ускорение точки через 16 секунд после начала
движения составило 0,015м/с2.
Задача 6. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности
2
радиусом R = 4 м по закону a n  A  Bt  Ct . Определите тангенциальное
ускорение точки; путь S, пройденный точкой за время t1 = 6 с и полное
ускорение в момент времени t2 = 0,67с, если А = 1 м/с2, В = 3 м/с3, С = 2,25 м/с4.
Дано:
R  4ì ;
a n  A  Bt  Ct 2 ;
t1  6c;
t 2  0,67ñ;
 
, 
О
A  1ì / ñ 2 ;

an
r

a

at
B  3 ì / ñ3 ;
Ñ  2,25 ì / ñ 4 .
_______________
at  ? S  ? a  ?
Рис.
Решение
В данной задаче рассматривается движение точки по окружности
(частный случай криволинейного движения), при котором:
– полное ускорение
a  an2  a2 ;
(1)
– нормальная составляющая ускорения
an  R   2 ;
(2)
– тангенциальная составляющая ускорения
a    R ;
(3)
– мгновенная угловая скорость
   t ;
(4)
– путь, пройденный точкой
S  R  ;
– угол поворота точки по окружности

 t2
2
(5)
.
(6)
Для определения тангенциальной составляющей ускорения из (4)
выразим величину углового ускорения  , получим:


t
.
(7)
Подставим выражение (7) в формулу (3), получим
a 

R .
t
(8)
Выразим из формулы (2) величину мгновенной угловой скорости,
получим:

an
.
R
(9)
Подставим (9) в (8), получим:
a 
R  an
.
t
(10)
Проверим размерность:
a 
ì  ì / ñ2
ì
 2
ñ
ñ
Найдем путь, пройденный точкой S, для этого подставим (6) в (5),
получим:
S  R
 t2
2
.
(11)
Подставим (9) в (7) и полученное выражение для углового ускорения
подставим в (11), получим:
S
t
R  an .
2
(12)
Проверим размерность:
S   c 
ì  ì / ñ2  ì .
Найдем полное ускорение, для этого подставим (10) в (1), получим:
 R  an
2
a  an  
 t

2

  an  R  an
.

t2

Проверим размерность:
2
a    ì 2   ì  ì 2/ ñ 
ñ
ñ 
2
ì 2 ì 2
 4  ì / ñ2
ñ4
ñ
Вычислим (10) и (11) для t1= 6 c, получим:
(13)



a 
4  1  3  6  2,25  6 2
 3,3( ì / ñ2 ).
6
S
6
 4  1  3  6  2,25  6 2  60( ì ).
2


Вычислим (13) для t2= 0,67 c:
a
1  3  0,67  2,25  0,67 
2 2


4  1  3  0,67  2,25  0,67 2

 7,2 ( ì / ñ2 ).
0,67 2
Ответ: в момент времени t1  6c тангенциальное ускорение
2
равно 3,3 ì / ñ ; путь,
пройденный точкой, равен 60ì ; в
t 2  0,67c полное ускорение равно 7,2 ì / ñ2 .
момент
точки
времени
Задача 7. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время,
равное двум минутам, колесо изменило частоту вращения от 240 мин-1 до 60
мин-1.
Определить:
1) угловое ускорение колеса;
2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.
Дано:
t  2 ìèí  120ñ;
1
n1  240 ìèí
n 2  60 ìèí
1
 4ñ 1 ;
 1ñ 1 .
___________________
 ? N ?
Решение.
Угловое перемещение, пройденное колесом за промежуток времени t
   1 t 
t 2
2
;
(1)
Учитывая, что  2  1  t
(по условию задачи колесо вращается
равнозамедленно), определяем угловое ускорение:
 
 2  1
t
;
(2)
   2  1
- изменение угловой скорости за интервал t .
1  2  n1 ;  2  2  n21 .
 
2  n 2  2  n11
t

2  n 2  n1
t
2  3,14 рад  5с 1
рад

 0,26 2 .
120с
с
Так как по условию задачи вращение колеса автомашины является

равнозамедленным, направление углового ускорения 
противоположно

направлению вектора угловой скорости  .
Величина углового перемещения
  2N ,
где N – искомое число оборотов колеса.
N

;
2
(3)
Подставляем в (3) выражение углового перемещения из формулы (1),
имеем:
N
t 2
t 2 t  2n    t 


2n1  t  
1
2 
2 
2  
;
2
2
2
 1 t  
Вычисление:

0,26 рад / с 2 120с 

120c   2  3,14 рад  4с 1 
2


N
 182 .
2  3,14 рад
Ответ: угловое ускорение колеса равно 0,26
рад
;
с2
число полных оборотов, сделанных колесом, равно 182.
Задача 8. Материальная точка движется по окружности, радиус которой
20 м. Зависимость пути, пройденного точкой от времени, выражается
уравнением S  t 3  4t 2  t  8. Определить пройденный путь, угловую скорость и
угловое ускорение через 3 с от начала движения.


Дано:
R  20 ì ;
S  t 3  4t 2  t  8;
t  3ñ.
____________________________



Рис.
Решение.
Определим путь, пройденный материальной точкой через три секунды
после начала движения:
S  t 3  4t 2  t  8 .
S  27  4  9  8  71( ì )
Известно, что линейная скорость автомобиля есть первая производная от
пути по времени:
V 
dS
.
dt
(1)
Взяв производную по времени от заданного уравнения пути S, получим:
V  3t 2  8t  1  8 ;
V  3t 2  8t  7 .
(2)
Произведем вычисления:
V  3  9  8  3  7  58( м / с) .
Известно, что линейная и угловая скорости материальной точки связаны
соотношением
V    R.
Следовательно,

Мгновенное угловое ускорение
V 58
 рад 

 2,9
.
R 20
 с 
(3)

d
.
dt
(4)
С целью нахождения углового ускорения определим зависимость
угловой скорости от времени c учетом формул (2) и (3):
3t 2 8t 7

  ;
R
R R

3t 2 8t
7
.


20 20 20
Имеем:


6t
8
 ;
20 20
3t 2
 .
10 5
Производим вычисления:

33 2
 рад 
  1,3 2  .
10 5
 с 
Ответ: путь, пройденный материальной точкой через три секунды после
начала движения, составляет 71 м, угловая скорость равна 2,9 рад / с , угловое
ускорение равно 1,3 рад / с 2 .
Динамика материальной точки и абсолютно твердого тела
Алгоритм решения задач к разделу «Динамика»
1. Указать материальную точку.
2. Выбрать систему отсчета.
3. Выполнить чертеж, на котором указать:
а) некоторые состояния материальной точки и связанных с ней тел;
б) назвать тела, действующие на материальную точку и показать
силы, возникающие в результате этих действий;
в) указать направление вектора ускорения;
г) указать направление осей координат, сонаправив одну из них с
направлением вектора ускорения.
4. Указать закон движения и записать векторное динамическое
уравнение движения материальной точки.


В случае, если материальная точка движется с a  const .

F
i

 ma .
5. Записать уравнение движения материальной точки в проекциях на
оси координат.
6. Решить полученную систему уравнений.
7. Проанализировать ответ.
Примечание:
1)
если
в задаче рассматривается движение системы
материальных точек, то все рассуждения надо провести для каждой из них
отдельно и для каждой выбрать свою систему координат;
2)
если в задаче учитывается трение, то воспользуйтесь
формулой
Fòð    N ,
где  - коэффициент трения; N - величина силы реакции опоры;
3)
если в задаче используются некоторые кинематические
величины, то воспользуйтесь алгоритмом решения задач по кинематике.
4)
если задача решается в общем виде и трением можно
пренебречь, то выбор направления вектора ускорения не влияет на
решение задачи.
Примеры решения задач по теме
«Динамика материальной точки»
Задача 1. Определить ускорение движения грузов в устройстве с
подвижным блоком, изображенного на рисунке.
Масса тел m1 = 4 кг, m2 = 3 кг. Массой нитей и блоков пренебречь.
Дано: m1  4êã;
m2  3êã.
___________
a ?
Рис.
Решение.
С учетом того, что двойной блок дает выигрыш в силе в два раза, а
ускорение левого груза в два раза больше (проигрыш в расстоянии), система
уравнений в векторной форме для каждого из грузов будет иметь вид:
или, в проекциях на координатную ось ОУ, направленную вверх:
Решая данную систему уравнений, получим выражение для ускорения:
a
g 2m1  m2 
;
4m1  m2
Проверка размерности расчетной формулы:
a  g  m  ì
m
 ñ2  êã ì
 2 ;
êã
ñ
Произведем вычисление:
a
9,8  2  4  3
ì 
 2,6 2  .
44  3
ñ 
Ответ: ускорение, с которым движутся грузы рано 2,6 ì / ñ2 .
Задача 2. Конус с углом раствора 2α вращается вокруг вертикальной оси
с угловой скоростью ω. В конусе находится шарик массой m, прикрепленной к
внутренней поверхности конуса с помощью нити. Радиус окружности, по
которой вращается шарик, равен R. Найти силу натяжения нити и силу
давления шарика на конус. Трение не учитывать.
Дано: 2 - угол раствора конуса;
 - угловая скорость вращения
конуса;
m – масса шарика;
R – радиус окружности,
описываемой шариком.
__________________________________
Ò ? N  ?
Рис.
Решение.
На шарик действуют сила тяжести, направленная вниз, сила реакции
опоры, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса и сила
натяжения нити, направленная вдоль нити. Из-за вращения конуса шарик
описывает окружность радиуса R, соответственно центростремительное
ускорение направлено к центру данной окружности.
Выберем направление осей координат как указано на рисунке.
Уравнение второго закона Ньютона для данного случая имеет вид:
.
Спроецируем это уравнение на координатные оси, показанные на
рисунке:
.
Из первого уравнения найдем силу натяжения нити:
из второго – силу реакции опоры, которая по модулю равна силе давления
шарика на конус:
.
Ответ: сила натяжения нити
сила реакции опоры
;
.
Задача 3. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом
R  50см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой
m  6,4кг .
Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a  2 м / с 2 .
Определить:
1)
момент инерции J вала;
2)
массу вала.

Решение.
Линейное ускорение груза равно тангенциальному ускорению точек вала,
лежащих на его цилиндрической поверхности и связано с угловым ускорением
вала соотношением:
a   r ,
(1)
где r – радиус вала.
Из формулы (1) определим угловое ускорение вала:

а
;
r
Произведем вычисления:

рад
2м / с 2
4 2 ;
0,5 м
с
Угловое ускорение вала может быть выражено
уравнением динамики вращательного движения твердого тела:

основным
М
,
J
(2)
где М – вращающий момент, действующий на вал; J – момент инерции
вала.
Рассматриваем вал как однородный
относительно геометрической оси:
J
1
m1 r 2 .
2
цилиндр; момент
инерции
J
(3)
Вращающий момент, действующий на вал, равен произведению силы
натяжения нити Т на радиус вала:
М  Т r .
(4)

Определим силу натяжения нити. На груз действуют сила тяжести m2 g ,

направленная вниз, и сила натяжения нити T ,
направленная вверх.
Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири.
Запишем второй закон Ньютона:
 

m2 g  T  m2 a ;
Выберем положительное направление оси Y вертикально вниз, как
показано на рисунке. Второй закон динамики в скалярной форме:
m2 g  T  m2 a ;
Т  m2 g  a .
(5)
Подставляем выражение (5) в формулу (4); вращающий момент
M  m2 g  a r .
(6)
Подставляем в (2) выражения вращающего момента (6) и момента
инерции вала (3), имеем:

М m 2 g  a r 2m 2 g  a 


.
1
J
m1 r
2
m1 r
2
(7)
Выражаем из (7) массу вала:
m1 
2m2 g  a 
.
 r
Произведем вычисления:


2  6,4кг 9,8 м / с 2  2 м / с 2
m1 
 49,92кг .
4 рад / с 2  0,5 м
Проверка размерности расчетной формулы:
m  êã 2ì
/ ñ2
 êã .
ñ ì
Ответ: момент инерции вала составляет 6,24кг  м ; масса вала равна 49,92
кг.
Примеры решения задач по теме «Силы в природе»
Задача 1. Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной 3 м
и площадью сечения 1 мм2 для ее удлинения на 1,5 мм.
Дано:
l  3ì ;
S  1ìì
2
 10 6 ì 2 ;
l  1,5 ìì  1,5 10 3 ì .
____________________
F ?
Решение.
Запишем закон Гука, устанавливающий связь силы с деформацией
растяжения:
F  k l .
Коэффициент k можно
найти, зная размеры проволоки и значение
модуля Юнга для латуни (по таблице Е = 1011 Па).
Получаем:
F
ES
l .
l
Проверка размерности расчетной формулы:
F   Ïà
ì
ì
2
ì

Í ì
ì 2
2
Í .
Вычисление:
F
1011  10 6
 1,5  10 3  50( Í ) .
3
Ответ: для удлинения проволоки надо приложить силу, равную 50 Н.
Задача 2. Предел упругости отпущенной стали  ó  5,72 108 Ïà . Будет
деформация упругой или остаточной, если стальная проволока длиной
L  3ì и сечением S  1,2 ìì 2 под действием растягивающей силы удлинится
на l  8ìì . Какой силой была вызвана эта деформация? Модуль Юнга для
стали E  200 ÃÏà .
Дано:  ó  5,72 108 Ïà ,
L  3ì ,
S  1,2 ìì 2  1,2  104 ì 2 ,
l  8 ìì  8  102 ì ,
E  200 ÃÏà  200  109 Ïà .
______________________
Вид деформации (упругая или остаточная)?; F  ?
Решение:
Определим напряжение материала по закону Гука для продольного
растяжения:
  E  ,
L
где  
- относительное продольное растяжение, L - изменение
L
длины тела при растяжении, L - длина тела до деформации.
  E
L
.
L
Проверка размерности расчетной формулы:
   Ïà

ì
 Ïà .
ì
Вычисление:
  200  109 
8  102
 5,3  109 ( Ïà ) .
3
Так как предел упругости отпущенной стали  ó  5,72 108 Ïà , что
меньше полученного значения напряжения, деформация будет остаточной.
Рассчитаем силу, которой была вызвана деформация, для этого
воспользуемся формулой для напряжения упругой деформации:

F
,
S
где F - растягивающая сила, S - площадь поперечного сечения.
F    S  5,3  109
Í
 1,2  10 4 ì
ì 2
2
 6,4  105 Í .
Ответ: деформация под действием растягивающей силы, равной
6,4  10 Í , будет остаточной.
5
Задача 3. Возле кольца из тонкой медной проволоки, радиусом r=1 мм,
на его оси, на расстоянии l=5 см от центра кольца расположен шарик
массой m=2 г. Радиус кольца R=20 см. Найти силу, с которой кольцо
притягивает шарик.
Дано:
 10 3 ì ;
êã
  8,9  10 3 3 ;
ì
l  5ñì  5  10  2 ì ;
r  1ìì
m  2 ã  2  10 3 êã;
R  20ñì  20  10  2 ì .
___________________
F ?
a

Fi

F1
R

l
î
Рис.
Решение:
Закон всемирного тяготения сформулирован для материальных точек. В
данной задаче за материальную точку можно принять шарик, тогда как кольцо
необходимо разбить на отдельные элементы dli с массами mi. Возьмем точку,
находящуюся, например, на вершине кольца. Шарик притягивается этой точкой
с силой:
Fi  G 
m      r 2  dli
.
R2  l 2

Направление вектора силы Fi указано на рисунке. Если разложить
элементарные силы Fi на составляющие, одна из которых параллельна оси
кольца, а вторая перпендикулярна, то перпендикулярные составляющие для
любых двух элементов, находящихся на противоположных концах диаметра,
уничтожаются, а параллельные составляющие складываются.
Тогда сумма параллельных составляющих
F   dFi cos  ,
или,
F 
l
R2  l 2
 dFi 
G  m     r 2  l 2
R
2
l2

3
2R
 dl .
0
Окончательно получим:
F G
2  2  m    r 2  R  l
R
2
l

3
2 2
.
Проверка размерности расчетной формулы:
3
 êã  ì 4  êã  ì
ì 3  êã  êã  ì 2  ì  ì
 2 Í .
F  

ñ2  ì 3
ñ
êã  ñ 2  ì 3  ì 3
Вычисление:
F  6,67  10 11 
2  3,14 2  2  10 3  8,9  10 3  10 6  20  10 2  5  10 2
20 10
  5 10  
2 2
3
2 2 2
 2,57  10 14 ( Í )
Ответ: сила, с которой кольцо притягивает шарик, равна 2,57  10 14 Н.
Задача 4. Шарик, масса которого 500 г, находится на расстоянии 10 см от
тонкого однородного стержня длиной 1 м и массой 2 кг. Определить силу
взаимодействия стержня и шарика. Размерами шарика пренебречь.
Дано: m1  500ã  0,5êã;
a  10ñì  0,1ì ;
l  1ì ;
m2  2êã.
____________________
F ?
dr
r
x
l
a
Рис.
Решение.
Между любыми двумя материальными точками действуют силы
взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс
этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между
ними (закон Всемирного тяготения):
F12  G
m1  m2
,
R2
(1)
m
где
,1
F12 - сила тяготения, действующая на точку с массой
m2
- масса второй материальной точки, R – расстояние между ними;
G  6,67 1011 ì 3 / êã  ñ2 – гравитационная постоянная.
Формула (1) справедлива также для расчета силы тяготения,
действующей между двумя твердыми телами шарообразной формы.
Достаточно малые элементы двух тел произвольной формы и размеров
можно считать материальными точками, массы которых равны произведению
их объемов на плотности.
В нашем примере первое тело имеет форму шара, а второе – стержень.
Выделим из стержня малый участок dr с массой, равной
dm2    dV    S  dr
(2)
Будем считать, что плотность материала, из которого изготовлен
стержень постоянна (материал однороден), площадь сечения стержня также
постоянна (  const , S  const ).
Тогда согласно закону Всемирного тяготения
dF  G 
m1  dm2
.
r2
Или с учетом формулы (2):
.
dF  G
m1    S  dr
.
r2
Интегрируя это выражение в пределах от a до
F  G  m1    S
a l
dr
r
a
2
(a ,l )получаем:
m m
1  G  m1    S  l
1
 G  m1    S  
 G 1 2 .

a  a  l 
a  (a  l )
a al
Проверка размерности расчетной формулы:
F  
ì 3  êã  êã
êã  ì
 2 Í
2
êã  ñ  ì  ì
ñ
Найденная единица измерения является единицей измерения силы.
Произведем вычисления:
F  6,67  10
11
ì 3 0,5êã  2êã

 6,06  10 10 Í
2
êã  ñ 0,1ì  1,1ì
Ответ: сила взаимодействия стержня и шарика равна 6,06  10 10 Í .
Алгоритм решения задач к разделу
«Закон сохранения импульса»
1. Указать тела, входящие в систему.
2. Выбрать систему отсчета, в которой решается задача.
3. Указать момент взаимодействия тел системы.
4. Рассмотреть состояние системы до взаимодействия и найти
импульс системы до взаимодействия P1 .
5. Рассмотреть состояние системы после взаимодействия
и найти

импульс системы после взаимодействия P2 .
6. Указать, замкнута система или нет, объяснить сделанный вывод.
7. Найти изменение импульса системы:
  
P  P1  P2 .
В случае, если система замкнута, изменение импульса системы
приравнять к нулю.
Если система не замкнута,
 
P  F  t .
Полученное уравнение записать в проекции на оси координат.
8. Решить полученную систему уравнений.
9. Проанализировать ответ.
Алгоритм решения задач к разделу
«Закон сохранения энергии»
1. Указать тела, входящие в систему.
2. Выбрать систему отсчета, в которой будет решена задача.
3. Указать начальное и конечное состояния исследуемой системы
физически тел.
4. Выбрать нулевой уровень потенциальной энергии взаимодействия
тела с Землей.
5. Рассмотреть начальное состояние системы физических тел и найти
полную энергию Е1.
6. Рассмотреть конечное состояние системы физических тел и найти
полную энергию Е2.
7. Указать замкнута ли система и объяснить сделанный вывод.
Консервативны ли силы в системе?
8. Найти изменение полной энергии системы:
E  E2  E1 .
Полученное изменение полной энергии системы приравнять к
нулю, если система замкнута и силы консервативны;
Если же рассматриваемая система незамкнута найденное значение
изменения полно энергии приравнять к работе движущих сил,
взятой со знаком «+» или к работе сил сопротивления, взятой со
знаком «-».
Ели работу совершает постоянная сила, то

 
A  F S



где F - сила; S - перемещение;
Скалярной форме формула (1) примет вид:
(1)
A  F  S  cos ,


где  - угол между направлениями векторов F и S .
Работа, совершаемая переменной силой,
2

A   Fdr   F  r  cos ,
2
1
1
где  - угол между направлением силы и перемещения.
9. Решить полученные уравнения.
10. Проанализировать ответ.
Примеры решения задач по теме
«Работа и мощность. Законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса»
Задача 1. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы
однородный свинцовый кубик с ребром L  10см , находящийся на
горизонтальной плоскости, повернуть с одной грани на другую (соседнюю
грань)? Плотность свинца   11,3  103 кг / м3 .
Дано: L  10см ,
  11,3  103 кг / м3
____________________
А-?
Решение.
L


L 2
2
h
L
2
1
2
Для совершения работы куб необходимо (достаточно) вывести из
устойчивого положения (1) в неустойчивое положение (2). При этом центр
тяжести куба поднимется на высоту h.
h


L 2 L L 2 1
 
 0,2 L .
2
2
2
Тогда,
Amin  F  h ,
где F  mg - сила тяжести куба.
Amin  mg  h  mg  0,2L .
(1)
Массу куба определим через плотность:
m
,
V
m   V ,

где V  L3 - объем куба (L – длина ребра куба);
m    L3 .
Подставим (2) в (1), получим:
Amin    L3  g  0,2 L  0,2   g  L4 .
Проверка размерности расчетной формулы:
A
Вычисления:
êã  ì  ì
ì 3  ñ2
4
 Í  ì  Äæ .
(2)
Amin  0,2  11,3  103  9,8  (0,1)4  2,26( Дж).
Ответ: минимальная совершаемая работа равна 2,26 Дж.
Задача 2. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять
землю на поверхность при рытье колодца, если его глубина h  10 м , а площадь
поперечного сечения S  2м 2 . Плотность земли равна   2,0  10 3 кг / м 3 . Считать,
что вынимаемый грунт рассыпается тонким слоем по поверхности Земли.
Дано:
h  10 м ;
S  2м 2 ;
  2,0  10 3 кг / м 3 .
x
dx
S
h
_____________
А-?
Рис.
Решение.
Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту h, на
которую поднимается тело массой m. Для вычисления работы, которую надо
совершить, чтобы поднять землю на поверхность при рытье колодца, выделим
слой земли dх, находящийся на глубине х от поверхности Земли. Тогда масса
этого слоя:
dm    dV    S  dx ,
(1)
где  - плотность земли; dV - объем слоя земли, толщиной dx ; S площадь поперечного сечения колодца.
Работа, необходимая для подъема этого слоя земли на поверхность,
выражается формулой:
dA  g  x  dm ,
или с учетом (1),
dA  g    S  x  dm .
(2)
Полную работу найдем интегрированием выражения (2) в пределах от 0
до h.
h
h
A  gS  x  dx  gS
0
x2 1
 gSh 2 .
2 2
0
Проведем проверку размерности расчетной формулы:
À  ì
 êã  ì 2  ì
ñ2  ì 3
2

êã  ì
ñ2
2
 Í  ì  Äæ .
Вычисление:
А
1
 9,8  2  10 3  2  10 2  2  10 6 ( Дж ) .
2
Ответ: для того, чтобы поднять землю на поверхность при рытье колодца,
необходимо совершить минимальную работу, равную 2 МДж.
Задача 3. Какую работу совершает сила 30 Н, подняв по наклонной
плоскости груз массой 2 кг на высоту 2, 5 м с ускорением 7 м/с2? Сила
действует параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь.
Дано:
F  20H ;
Y
m  2êã; h  2,5 ì ;
X

N
à  7ì / ñ .
2
_________________
А -?


F

mg
h
Рис.
Решение.
Работу можно вычислить по формуле
A  F  l  cos  ,
где
 - угол между вектором силы и вектором перемещения.
  0 ;
cos   1 .
F h
sin  ,
(1)

m
g
сила тяжести
; сила нормальной реакции опоры

N
F
и приложенная сила .
A  F l 
где  - угол наклона наклонной плоскости.
Рассмотрим движение груза по наклонной плоскости.
 На груз действуют
Под действием этих сил груз движется с ускорением. Запишем уравнение
движения груза.
  

mg  N  F  m  a .
(2)
Спроецируем уравнение (2) на ось X .
 mg  sin   F  m  a .
sin  
F  ma
mg .
Подставим выражение (3) в формулу (1), получим
A
F hm g
F  ma .
Проверка размерности расчетной формулы:
ì
2
ñ2  Í  ì  Í  ì  Äæ
À 
ì
Í
Í  êã  2
ñ
Í  ì  êã 
Вычисление:
A
ì
ñ2  91,87 Äæ
.
ì
30 Í  2êã  7 2
ñ
30 Í  2,5 ì  2êã  9,8
Ответ: работа силы по подъему груза по наклонной плоскости равна
91,87 Дж.
Примеры решения задач по теме
«Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса»
(3)
Задача 1. На рельсах стоит платформа с песком массой m1  1,0т . Снаряд
массой m2  50кг , летящий со скоростью V2  800 м / с попадает в платформу и не
взрывается. Снаряд летел вдоль рельсов под углом   30  к горизонту. Найдите
скорость платформы после попадания снаряда и расстояние, пройденное
платформой до остановки, если коэффициент трений   0,20 .

Vx
Дано:
m
 2
m1  1,0т  10 кг;
3
m2  50кг ;
V2  800 м / с ;
  30  ;
  0,20

V2

_________________

V
V  ?; S  ?

Vy
m2
X
Рис.
Решение
Запишем закон сохранения импульса (система является замкнутой):

n
m V
i 1
i
i
 const .
(1)
Платформа находилась в состоянии покоя (начальная скорость
платформы равна нулю); соударение снаряда с платформой будем считать
абсолютно неупругим, тогда формулу (1) запишем в виде:


m2  V2  (m1  m2 )  V1 .
(2)
Формулу (2) перепишем в проекции на ось Х.
m2  V2  cos   (m1  m2 )  V1 .
(3)
Из формулы (3) выразим скорость платформы после соударения со
снарядом:
V1 
m2V2 cos 
.
m1  m2 
Проверяем размерность расчетной формулы:
V   кг  м / с  м / с .
кг  кг 
Вычисление:
V1 
50  800  cos 30 
 33( м / с) .
1000  50
Определим расстояние, пройденное платформой до остановки.
При равнозамедленном движении
S
V 2  V12
V2
 1 ,
2а
2a
(3*)
где V - конечная скорость платформы (по условию задачи V = 0);
V1 - скорость, которую приобрела платформа после соударения со
снарядом; a – ускорение платформы.
Из второго закона Ньютона определяем ускорение платформы:


 F Fтр
,
a 
m
m
(4*)
где Fтр - сила трения.
В проекции на ось Х (4*) примет вид:
a
Fтр
m
.
Сила трения
Fтр    N ,
(5)
где  - коэффициент трения; N - сила реакции опоры.
Силу реакции опоры определим, пользуясь третьим законом Ньютона (в
проекции на ось Y) и подставим в (5):
N  (m1 m 2 ) g
Получим
Fтр    m1  m2 g .
Подставим формулу (6) в (4) и определим ускорение:
(6)
a
 m1  m2 g
(m1  m2 )
  g .
(7)
Подставим формулу (7) в (3*), получим:
V12
.
S
2g
(8)
Проверка размерности расчетной формулы:
ì 2  ñ2
S   2  ì .
ñ ì
Вычисления:
S
1089
 280( ì ) .
2  0,2  9,8
Ответ: скорость платформы после попадания снаряда равна 33 м/с;
расстояние, пройденное платформой до остановки равно 280 м.
Задача 2. Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по
железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с
изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию,
расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент
полезного действия (КПД) удара.
Дано:
m1 = 5 кг,
m2 = 95 кг,
v1 = 4 м/с, v2 = 0.
____________________
 -?
Решение.
Систему, состоящую из молота, изделия и наковальни, считаем замкнутой
во время удара, когда силы ударного взаимодействия значительно превышают
равнодействующую сил тяжести и силы реакции опоры. К такой системе можно
применить закон сохранения импульса. Во время удара изменяется только
кинетическая энергия тел, поэтому энергия Едеф, затраченная на деформацию,
равна разности значений механической энергии системы до и после удара:
m  m2 u ,
m
Е деф  1 v1  1
2
2
2
2
(1)
где u - общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого
удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса
откуда
m1 v1  m1  m2 u ,
u
(2)
m1
v1 .

m1 m2
(3)
Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Едеф
2
m
m2 .
Е деф  1 v1 
2 m1  m2
(4)
Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД
равен:
2
m1 v1
m2

2 m1  m2
Е
m2 .
(5)
  деф2 

2
m1 v1
m1 v1
m1  m2
2
2
Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:

95
 100%  95% .
95  5
Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса
наковальни по сравнению с массой молота.
Ответ: коэффициент полезного действия равен 95%.
Задача 3. В тело массой M  990ã, лежащее на горизонтальной
поверхности, попадает пуля массой m  10ã и застревает в нем. Скорость пули
направлена горизонтально и равна V  700 ì / ñ . Какой путь S пройдет тело до
остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью   0,05 ?
Дано: M  990ã  990  103 êã ,
m  10 ã  10  103 êã ,
V  700 ì / ñ ,
  0,05 .
____________________
S-?
Решение.
mV
Рис.

(m  M )U
Считая рассматриваемую систему замкнутой, применим к ней закон
сохранения импульса (1) и закон сохранения энергии (2):


mV  (m  M )U
mV 2 m  M U 2

 Fòð  S .
2
2
(1)
(2)
В проекции на ось Х уравнение (1) имеет вид (предполагаем, что
направление движения пули и тела после
взаимодействия совпадает с
первоначальным направлением движения пули):
m  V  (m  M )  U .
U
mV
.
mM
Подставим полученное выражение в уравнение (2), получим:
mV 2 m  M m 2  V 2

 Fòð  S ;
2
2
2  m  M 
mV 2
m2  V 2

 Fòð  S ;
2
2  m  M 
mV 2
m2  V 2

 Fòð  S ;
2
2  m  M 
mV 2 
m 
1 
  mgS , (3)
2  m  M  
где mg  Fòð , так как опора горизонтальна и неподвижна.
Из (3) имеем:
mV 2 
m 
 1 

2
m 
2  mM  V 
S

 1 
.
mg
2g  m  M 
Проверка размерности:
S   ì 2  ñ
2
ñ ì
2
ì .
Вычисление:
S


7002
102
  4,95  105 ( ì )
 1   2
3 
2  0,05  9,8  10  990  10 
Ответ: тело пройдет до остановки путь 4,95  105 ì .
Задача 4. На рельсах стоит платформа массой 10 т. На платформе
укреплено орудие массой 6 т, из которого производятся выстрелы вдоль
рельсов. Масса снаряда 0,1 кг, его начальная скорость относительно орудия 500
м/с. Коэффициент трения платформы о рельсы 0,002. На какое расстояние
откатится платформа при выстреле, если платформа стояла неподвижно?
Дано: M  10  10 3 êã  10 4 êã ;
m1  5  10 3 êã ;
m2  0,2êã ;
V1  500 ì / ñ ;
  0,002 ;
______________________________________
S-?
Решение.
По условию задачи первоначально платформа находилась в состоянии
покоя. Платформа приобретает скорость V2 в результате выстрела из орудия.
Закон изменения силы взаимодействия в процессе выстрела и само время
взаимодействия неизвестны. Если рассмотреть систему тел платформа, орудие
и снаряд, то эта сила взаимодействия будет силой внутренней и не изменит
импульса системы. Рассматриваемая система тел является замкнутой
(замкнутая система – система тел, на которые не действуют внешние силы,
либо векторная сумма внешних сил равна нулю), следовательно, к решению
задачи можно применить закон сохранения импульса:


P1  P2 ,


где P1 - импульс системы тел до выстрела; P2 - импульс системы тел
после выстрела из орудия.
Так как
первоначально платформа с орудием находились в состоянии

 

покоя, P1  0 , следовательно, импульс системы тел после выстрела P2  0 .


P2  ( M  m1 )  V1  m2  V2 ,

где V1 - скорость, которую в процессе выстрела приобрела платформа со

снарядом; V 2 - скорость снаряда.


( M  m1 )  V1  m2  V2  0 .
(1)
Выберем положительное направление оси Х (рис.) и спроецируем в (1)
на ось X, получим:
 (M  m1 )  V1  m2  V2  0 ;
(2)
Из уравнения (2) определим скорость, которую приобрела платформа с
орудием после выстрела:
V1 
m2  V2
.
M  m1 
(3)
По условию задачи на движущуюся тележку с орудием действует сила
трения, являющаяся неконсервативной силой. Эта сила совершает работу,
которая может быть определена по формуле:
A  Fòð  S  cos  ,
(4)
где Fòð - сила трения, действующая на тележку с орудием при ее
движении; S - величина перемещения тележки,  - угол между векторами
силы и перемещения (   180  ; cos180   1) .
В неконсервативных системах изменение полной механической энергии
системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних
неконсервативных сил:
A  E .
Так как потенциальная энергия системы не изменялась, то изменение
механической энергии равно изменению энергии кинетической:
A
M  m1   V12
2
.
(5)
Подставим в (5) выражение (3), получим:
A
M  m1   m22  V22
2
2  M  m1 
Сравнивая выражения (4) и (5), имеем:

m22  V22
.
2  M  m1 
(6)
m22  V22
 Fòð  S .
2  M  m1 
(7)
Сила трения
Fòð    N ,
где  - коэффициент трения, N – сила нормальной реакции опоры. Так
как опора горизонтальна, величина силы нормального давления равна силе
тяжести платформы с грузом
N  (M  m1 g ) ,
следовательно, величина силы трения
Fòð    M  m1 g .
Подставляя выражение для силы трения в уравнение (7), получим:
m22  V22
  M  m1   g  S .
2M  m1 
(8)
Из уравнения (8) находим величину перемещения платформы с орудием
до остановки:
S
m22  V22
2    M  m1   g
2
.
(9)
Проверка размерности расчетной формулы (9):
S   êã 2 ì
2
2
/ ñ2
ì .
êã  ì / ñ 2
Произведем вычисления:
S
0,22  5002

2  0,002  10  5 10
4
  9,8
3 2
 1,110 3 ( ì )
Ответ: при выстреле платформа откатится на расстояние 1,1  10 3 ( ì ) .
Задача 5. Два шара одинакового размера, изготовленные из алюминия и
меди, вращаются независимо друг от друга вокруг общей неподвижной оси,
проходящей через их центры, с угловыми скоростями ω1 = 5,0 рад/с и ω2 = 10 рад/с.
С какой угловой скоростью вращались бы оба шара, если бы их жестко
соединили? Плотность алюминия ρ1 = 2,6∙103 кг/м3, плотность меди ρ2 = 8,6∙103
кг/м3.
Дано:
ω1 = 5 рад/с;
ω2 = 10 рад/с;
ρ1 = 2,6∙103 кг/м3
ρ2 = 8,6∙103 кг/м3
R1 = R2 = R.
____________________
ω3 – ?
Решение.
В рассматриваемой системе как для случая независимо вращающихся
шаров, так и для случая вращения жестко соединенных шаров, моменты
вращающих сил не менялись.
Следовательно, закон сохранения момента импульса можно записать в
виде:
J 1  1  J 2   2  J 1  J 2 3
(1)
где J1 и J2 – моменты инерции шаров; ω1 и ω2 – угловые скорости
вращения шаров до соединения; ω3 – угловая скорость вращения жестко
соединенных шаров.
Выразим из (1) угловую скорость вращения жестко соединенных шаров:
3 
J 1  1  J 2   2
J1  J 2
(2)
Моменты инерции шаров определяются по формулам:
J 1  0,4  m1  R12
J 2  0,4  m2  R22
Массы шаров можно найти по формуле
(3)
m   V ,
так как объемы шаров определяются по формуле
V
4
  R3 ,
3
а радиусы шаров по условию равны R1=R2=R, то получим:
4
4
m1  1     R 3 , m2   2     R 3
3
3
Подставим (4) в (3), получим:
(4)
4
4
J 1  0,4  1     R 5 , J 2  0,4   2     R 5
3
3
(5)
Подставим (5) в (2), получим:
3 
1  1   2   2
1   2
(6)
Проверка размерности расчетной формулы:
êã  ðàä êã  ðàä

3
3
   ñ  ì êã êãñ  ì  ðàä .
ñ
 3
3
ì
ì
Вычисление:
3 
2,6 103  5  8,6 103 10
 8,84 ðàä / ñ .
2,6 103  8,6 103
Ответ: если шары соединить жестко, то они будут вращаться с угловой
скоростью, равной 8,84 рад/с.
Задача 6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около
вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m2  60êã . На
какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы
и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе?
Масса платформы m1  240êã. Момент инерции человека рассчитывать
как для материальной точки.
Дано: m2  60êã ,

L1
m1  240êã.
___________________

Y
1
 ?
o
 
L2 2
Рис.
Решение.
Пусть относительно Земли человек вращается с угловой скоростью 2 ,
а платформа с угловой скоростью 1 . Запишем закон сохранения момента
импульса (первоначально система находилась в состоянии покоя):
 
L1  L2  0 .
В проекции на ось Y имеем (угловые скорости вращения платформы и
человека противоположно направлены):
J1  1  J 2  2  0 ,
где J1  0,5m1 R 2 - момент инерции платформы, R – радиус платформы.
J 2  m2  R 2 - момент инерции человека.
0,5m1R 2  1  m2 R 2  2  0 ;
2 
m1
 1 .
2m2
Угловая скорость человека относительно платформы
21  1  2 .
 21  1 
m1
1 ;
2m 2
Угловая скорость численно равна углу поворота в единицу времени:


t
,
следовательно,
 21  21 2 
m 


 1  1  ,
1 1 1  2m2 
где  - угол поворота.
1 
2

m
1  1
 2m 2




2  3,14
 2,094 ;
240 

1 

 2  60 
1  120 .
Ответ: платформа повернется на угол 1  120  .
Задача 7. Человек стоит на скамье Жуковского и держит стержень,
расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит
осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня, скамья
1
неподвижна, колесо вращается с частотой  1  10c . Радиус колеса равен
R  20cì , его масса m  3êã . Определить частоту вращения  2 скамьи, если

человек повернет стержень на угол   180 . Суммарный момент инерции
2
человека и скамьи J  6êã  ì . Массу колеса считать равномерно
распределенной по ободу.
Дано:  1  10c ;
R  20cì  0,2 ì ;
m  3êã ;
  180 ;
J  6êã  ì 2 .
_______________________________
2 - ?
1
Решение.
Человек, держащий стержень, служащий осью вращения колеса,
расположенного на верхнем конце стержня, составляет вместе со скамьей
замкнутую механическую систему (предполагается, что моменты всех внешних
сил, действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются
уравновешивающими. Трением пренебрегаем), поэтому момент импульса этой
системы должен быть постоянным как по величине, так и по направлению.


Для нашего случая L1  L2 ;
Так как момент импульса
L  J ,
где J - момент инерции,  - угловая скорость вращения системы, можем
записать:
J ê  1  J  J ê  2 ,
(1)
где J – суммарный момент инерции человека и скамьи;
J ê - момент инерции колеса,
J ê  mR2 .
Момент инерции стержня равен нулю, т.к. стержень расположен
вертикально вдоль оси вращения и в первом, и во втором случае.
Подставляем выражения для моментов инерции колеса в выражение (1),
получаем:
mR2  1  J  2  mR2  1 .
Угловая скорость вращения
  2    ,
где  - частота вращения, следовательно,
mR 2  21  J  2 2  mR 2  21 ;
mR 2  1  J  2  mR 2  1 .
Проверка размерности расчетной формулы:
êã  ì 2  ñ 1
  
 ñ 1 .
2
êã  ì
2  3  0,2   10
2 
 0,4(ñ1 )
6
2
Ответ: частота вращения скамьи равна
0,4ñ.1
Задача 8. Платформа в виде диска радиусом R  1м вращается по инерции
с частотой  1  6 мин 1 . На краю платформы стоит человек, масса которого
m  80кг . С какой частотой  2 будет вращаться платформа, если человек
перейдет в ее центр? Момент инерции платформы J  120кг  м 2 . Момент
инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
Дано:
R  1м ;
 1  6 мин 1  0,1с 1 ;
m1  80кг ;
J 2  120кг  м 2
_________________
2  ?
Решение.
Человек вместе с платформой составляет замкнутую механическую
систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное
значение.
Момент импульса системы в первом случае, когда человек стоял на краю
платформы
L1  1 J1  1 J 2  1 J1  J 2  ,
(1)
где 1  2    1 - угловая скорость вращения платформы и человека в
первом случае, J1 - момент инерции человека,
J 2 - момент инерции
платформы.
Момент инерции человека можно определить по формуле:
J 1  m1  R 2 .
Когда человек перейдет в центр платформы, момент инерции человека
станет равным нулю (расстояние до оси вращения R  0 ), следовательно, во
втором случае момент импульса человека станет равным нулю.
Момент импульса системы во втором случае
L2  2 J 2 ,
где 2  2    2 - угловая скорость вращения платформы во втором
случае.
Запишем закон сохранения импульса:


L1  L2 ;


2    1 m1  R 2  J 2  2    2  J 2 ;
 1 m1  R 2  J 2    2  J 2 ;
2 
 1 m1 R 2  J 2 
J2
;
Проверка размерности расчетной формулы:

1
 êã  ì 2  êã  ì
   c
êã  ì 2
2


1
.
ñ
Произведем вычисление:
2 
0,1  80  120
 0,17с 1 .
120
Ответ: если человек перейдет в центр платформы, платформа будет
вращаться с частотой равной 0,17с 1 .
Примеры решения задач по теме
«Механика жидкостей и газов»
Задача 1. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие
диаметром d=1см. Диаметр сосуда D=0,5 м. Найти зависимость скорости v
понижения уровня воды в сосуде от высоты h. Определить численное значение
этой скорости для высоты h=0,2 м.
Дано:
D
v1
h
v2
d  1ñì  10 2 ì ;
D  0,5ñì  0,5  10  2 ì ;
h  0,2 ì .
_____________________
V ( h)  ?
Рис.
Решение.
Пусть S1 - площадь поперечного сечения сосуда;
поперечного сечения отверстия.
D 2 ;
S1 
4
S2 
d 2 .
4
Пусть  1 - скорость понижения уровня воды в сосуде,
вытекания воды из отверстия.
По теореме Бернулли
 12
2
 gh 
 22 ,
2
где 1 и  2 - скорости для сечений отверстий S1 и S 2 .
Из (1) имеем:
12  2 gh   22 .
В силу неразрывности струи
1S1   2 S 2 .
2 
S 2 - площадь
 1 S1 .
S2
 2 - скорость
(1)
S 2 gh ;
1  2
S12  S 22
d 2 2 gh .
1 
D4  d 4
d 4  D 4 , поэтому
( h ) 
d 2 2 gh .
D2
Проверка размерности расчетной формулы:
ì
 ì /ñ.
ñ ì 2
   ì
2
Вычисление:
1 
(10 2 ) 2 2  9,8  0,2
 7,9  10  4 ( ì / ñ)
(0,5) 2
Ответ: зависимость скорости понижения уровня
выражается формулой:  ( h )  d
2
воды от высоты
2 gh ;
D2
для указанной высоты скорость понижения уровня воды равна
7,9  10 ì / ñ .
4
Задача 2. Найти, с какой скоростью течет по трубе углекислый газ, если
известно, что за время t = 0,5ч через поперечное сечение трубы протекает m =
051кг плотность газа p = 7,5 кг/м3 . Диаметр трубы d = 2см.
Дано:
t  0,5÷  1800ñ;
m  0,51êã;
  7,5êã / ì 3 ;
d  2ñì  0,02 ì .
______________
 ?
Решение.
Длина трубы, которую занимает газ,
l
V
,
S
где V 
m

- объем газа; S 
d 2
4
- площадь поперечного сечения трубы
диаметром d.

V
4V
4m


,
2
2
d / 4 d
d 2 p
(1)
Скорость течения углекислого газа
l
 ,
t
где l – длина трубы, t – время течения углекислого газа.
Подставляем (2) в формулу (1), получаем:

4m
.
d 2 pt
Проверка размерности расчетной формулы:
  
ì
2
êã
ì
.
ñ
 êã / ì 3  ñ
Произведем вычисление:
v
4  0,51
 0,12 м / с
3,14  0,02 2  7,5  1800
Ответ: углекислый газ течет по трубе со скоростью 0,12 м/с.
(2)
Задача 3. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр d1 = 20 см. В
нем движется со скоростью 1  1м / с поршень, выталкивающий воду через
отверстие диаметром d2 = 2 см. С какой скоростью 2 будет вытекать вода из
отверстия? Каково будет избыточное давление воды р в цилиндре?
Дано:
d1 = 20 см = 0,2 м
1  1м / с
d2 = 2 см = 0,02 м
  10 3 êã / ì 3 .
_________________
2 – ?
р–?
Запишем уравнение неразрывности струи:
1S1  2 S2 ,
(1)
где S1 и S 2 - площади поперечного сечения трубок тока; 1
скорости жидкости через соответствующие сечения трубок тока.
Уравнение (1) перепишем в виде:
d12
1
4
2 
d 22
 2
4
1  d12
;
.
d 22
Проверка размерности расчетной формулы:
2  
ì / ñ ì
ì 2
2
 ì / ñ.
Запишем уравнение Бернулли для горизонтального цилиндра:
p1 
Избыточное давление:
12
2
 p2 
22
2
.
и 2 -
p  p1  p 2 
12
2

22
2

 12 d14
2
(
d14
 12 ) 
  12 d14
2
(
d14
 1) .
Проверка размерности расчетной формулы:
 p 
Вычисления:
êã ì 2 ì


ì 3 ñ2 ì
2 
ð
10 3  12
2
4
4

Í
 Ïà .
ì 2
1  0.2 2
 100( ì / ñ) ;
0.02 2
 0,2 4

 
 1  5  10 6 Ïà .
4
 0,02

Ответ: скорость вытекания воды из отверстия равна 100 ì / ñ ; избыточное
давление воды в цилиндре равно 5  10 6 Ïà .
Задача 4. Стальной шарик диаметром d = 1мм падает с постоянной
скоростью v = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном маслом. Определите
коэффициент динамической вязкости масла  . плотность стали
 с  8,6  10 3 кг / м 3 , касторового масла  к  0,9  103 кг / м 3 .
y
Дано:
d = 1 мм = 1  10 3 м ,
Fc
FA
  0,185ñì / ñ  0,185  10 2 ì / ñ;
 с  8,6  10 3 кг / м 3 ,
 к  0,9  103 кг / м 3 .
__________________
 -?
V
mg
Рис.
Решение.
На шарик (рис.) действуют сила тяжести m g , сила Архимеда FA и сила
сопротивления FC . По условию задачи шарик движется равномерно,
следовательно, ускорение шарика равно нулю.
Запишем уравнение движения шарика:

 
mg  FA  FC  0 .
(1)
Спроецируем (1) на вертикальную ось Y (рис), получим:
 mg  FA  FC  0
(2)
Масса шарика
m  c  g V ,
где V – объём шарика;  c - плотность стали; g  9,8 ì / ñ2 - ускорение
свободного падения.
Сила Архимеда
FA   æ  g  V ,
где  æ - плотность жидкости; V - объем шарика (шарик полностью
погружен в жидкость).
Сила сопротивления согласно формуле Стокса
FC  6     r   ,
где  - динамическая вязкость,  - радиус шарика,  - скорость шарика.
Уравнение (2) принимает вид:
  c  g  V   æ  g  V  6     r    0 ;
6     r    gV (  c   æ ) .
Так как радиус шарика
r  d / 2;
Объем шарика
V 
4 3 1 3
r  d ,
3
6
где d – диаметр шарика.
1
6
1
3  (  c   ê ) gd 2 .
6
3 d   (  c   ê ) gd 3 ,
(3)
Из (3) получим выражение для коэффициента динамической вязкости
жидкости:

1
gd 2
.
(c   ê )
18

Проверка размерности
  
êã ì  ì 2  ñ Í  ñ

 2  Ïà  ñ .
ì 3 ñ2  ì
ì
Подставляем данные:
1
9,81  (110 3 ) 2
3
3
  (8,6  10  0,9  10 ) 
 2,27( Ïà  ñ) .
18
1,85  10 3
Ответ: коэффициент динамической вязкости масла равен 2,27 Ïà  ñ .
Примеры решения задач по теме
«Механическое напряжение. Закон Гука»
Задача 1. Какой высоты можно построить кирпичную стену при
запасе прочности k  6 , если предел прочности кирпича   6
Н
, плотность
мм 2
кг
.
м3
Дано: k  6 ,
Н
Н
  6 2  6  104 2 ,
мм
м
кг
  2  103 3 .
м
кирпича   2  103
___________________
h?
Решение.
Пределом прочности называется напряжение, соответствующее
наибольшей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.

F
,
S
где F – упругая сила; S – площадь сечения тела.
F  mg ,
где m – масса кирпича.
Массу кирпича определим по формуле:
m   V ,
где  - плотность кирпича, V – занимаемый объем.
Так как объем
V  hS ,
где h – высота стены, S – площадь горизонтальной поверхности
кирпича,
m   hS.
Имеем:

 hS g
S
Запас прочности
ç 

k
  hg .
(1)
,
где k - коэффициент запаса прочности.
C учетом коэффициента запаса прочности формулу (1) перепишем в
виде:

k

 hS  g
S
  hg .
Вычислим высоту кирпичной стены
коэффициента запаса прочности кирпича:
h
с

.
kg
Проверка размерности расчетной формулы:
 ì 3  ñ2 êã  ì  ñ2
 2
ì
ì 2  êã  ì
ñ  êã
h  Í
учетом
заданного
Вычисление:
h
6  10 4
 0,6( ì ) .
6  2  10 3  9,8
Ответ: при запасе прочности k  6 высота кирпичной стены должна
быть равна 0,6 м.
Задача 2. Предел упругости отпущенной стали  ó  5,72 108 Ïà . Будет
деформация упругой или остаточной, если стальная проволока длиной
L  3ì и сечением S  1,2 ìì 2 под действием растягивающей силы удлинится
на l  8ìì . Какой силой была вызвана эта деформация? Модуль Юнга для
стали E  200 ÃÏà .
L  3ì ,
S  1,2 ìì 2  1,2  104 ì 2 ,
l  8 ìì  8  102 ì ,
E  200 ÃÏà  200  109 Ïà .
______________________
Установить вид деформации (упругая или остаточная).
F ?
Решение
Определим напряжение материала по закону Гука для продольного
растяжения:
  E  ,
L
- относительное продольное растяжение, L - изменение
L
длины тела при растяжении, L - длина тела до деформации.
где  
  E
L
.
L
Проверка размерности расчетной формулы:
   Ïà
Вычисление:

ì
 Ïà .
ì
  200  109 
8  102
 5,333  109 ( Ïà ) .
3
Так как предел упругости отпущенной стали  ó  5,72 108 Ïà , что
меньше полученного значения напряжения, деформация будет остаточной.
Рассчитаем силу, которой была вызвана деформация, для этого
воспользуемся формулой для напряжения упругой деформации

F
,
S
Где F - растягивающая сила, S - площадь поперечного сечения.
F    S  5,333  109
Í
 1,2  10 4 ì
2
ì
2
 6,4  105 Í .
Ответ: деформация под действием растягивающей силы, равной
6,4  10 Í , будет остаточной.
5
Задача 3. При океанологических исследованиях для взятия пробы грунта
со дна океана на стальном тросе опускают особый прибор. Какова предельная
глубина h погружения? Массой прибора пренебречь. Предел прочности стали
êã
 ï  500ÌÏà , плотность морской воды  â  1030 , плотность стали
ì3
êã
 ñ  7800 .
ì3
Дано:  ï  500ÌÏà ;
êã
 â  1030 3 ;
ì
êã
 ñ  7800 3 .
ì
_____________

FA

h?

mg
Рис.
Решение
Предельная глубина погружения прибора будет равна максимальной

длине троса. На трос в воде действуют две силы: сила тяжести mg троса
(массой прибора пренебрегаем) и Архимедова сила
FÀ   â gV ,
где  â - плотность воды, g – ускорение свободного падения, V - объем
погруженной части троса
V  S l ,
где S – площадь сечения троса, l – длина троса.
Массу троса определим по формуле
m   c V   c  S  l ,
следовательно, сила тяжести троса
mg   c  S  l  g .
Результирующая сила, действующая на трос, равна:
F  mg  FA ;
F   c  S  l  g   â  g  S  l  gSl  c   â  .
Предельное напряжение, которое выдержит трос
ï 
F gSl (  c   â )

 gl  c   â  .
S
S
(1)
Из уравнения (1) определяем длину троса, равную предельной глубине
погружения прибора:
l
ï
.
g  c   â 
h
ï
.
g  c   â 
Проверим размерность расчетной формулы:
h 
Ïà
Í  ñ2
êã  ì 2  ñ2


ì
( ì / ñ 2 )  (êã / ì 3 ) ì 2  êã ñ2  ì  êã
.
Вычисления:
500  106 Ïà
h
9,8 ì / ñ2 7800êã / ì 3  1030êã / ì

3

 7,2  103 ì .
Ответ: предельная глубина погружения равна 7,2  103 м.
Решение задач по теме
«Элементы специальной теории относительности»
Задача 1. Протон имеет импульс 988 МэВ/с. Какую кинетическую
энергию необходимо сообщить протону для того, чтобы его импульс
увеличился вдвое?
Дано:
E 0  938ÌýÂ  938  10 6 ýÂ;
P1  988ÌýÂ / ñ  988  10 6 ýÂ / ñ;
P2  2 P1 .
__________________________
T  ?
Решение.
Сравнивая импульс протона с его комптоновским импульсом
P0  m0  c  938ÌýÂ / ñ ,
можно заметить, что p>p0 , т.е. для решения задачи необходимо
пользоваться формулами релятивистской механики.
Связь между полной энергией и импульсом частицы имеет вид:
2
E  E02   pc  ,
где Е – полная энергия,
E  E0  T ;
(1)
Е0 - энергия покоя;
Е0 = m0c2 ;
Т - кинетическая энергия частицы; с - скорость света в вакууме.
Определим кинетическую энергию Т из выражения (1)
2
Т  E 02   pc   Е 0 .
(2)
По условию задачи импульс частицы возрастает вдвое, т.е. p2 = 2p1.
Следовательно, протону необходимо сообщить дополнительную
кинетическую энергию
T  T2  T1 ,
где
2
Т 1  E 02   p1 c   Е 0 ;
(3)
2
Т 2  E 02   p 2 c   Е 0 .
Поскольку значения величин p1 и E0 заданы во внесистемных единицах,
то их необходимо перевести в международную систему единиц СИ. Учитывая,
что 1 МэВ = 1,6 ·10-13 Дж, получим:
P1  c  988  10 6  1,6  10 13  1,58  10 10 Äæ ;
P2  c  2  1,58  10 10  3,16  10 10 Äæ ;
E 0  m0  c 2  938  10 6  1,6  10 19  1,5  10 10 Äæ .
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим:
T  T 2  T 1 
 1,5 10

 3,16  1020  1,5  1020  1,58  1020 
10
 (3,5  2,18)  1010 (Äæ)  1,3  10 Äæ  810 ÌýÂ.
2
20
2
2
2
Ответ: для того, чтобы импульс протона увеличился вдвое, ему
необходимо сообщить кинетическую энергию, равную 810 МэВ.
Задача 2. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая
энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.
Дано: T  1,02МэВ  1,02  10 6 эВ ;
me  9,11  10 31 кг ;
E 0  8,16  10
14
me  0,00055а.е.м.;
Дж; E 0  0,511МэВ .
__________________________________
V ?; P ?
Решение.
По условию задачи кинетическая энергия электрона ( T  1,02МэВ ) больше
энергии покоя электрона ( E 0  0,511МэВ ), следовательно, рассматриваемый
случай является релятивистским и для вычисления скорости электрона следует
использовать релятивистскую формулу кинетической энергии




1


T  E0 
 1 ,
2
 1 V



2
C


где E 0  m0 C 2 - энергия покоя;
искомая скорость частицы.
Введем обозначение
C  3  10 8 м / с
2 
V2
,
C2
(1)
- скорость света; V -
(2)
формула (1) примет вид


1
T  E0 
 1 .
 1  2



Выполним математические преобразования:

(2 E0  T )  T
E0  T
.
(3)
Вычисления по этой формуле можно проводить в любых единицах
энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в
результате подсчета будет получено отвлеченное число:

(2  0,511  10 6 эВ  1,02  10 6 эВ)  1,02  10 6 эВ
0,511  10 6 эВ  1,02  10 6 эВ
 0,943 ;
Из формулы (2) определяем скорость электрона:
V  C    3  108 м / с  0,943  2,8  108 м / с .
Релятивистский импульс частицы

m0  V
P
,
V2
1 2
C
или P  m0 C

(4)
1  2
где m0 - масса покоя частицы; V - скорость частицы.
C  3  10 8 м / с - скорость света;
V2
  2.
C
2
P  9,11  10 31 кг  3  10 8 м / с 
0,943
1  (0,943) 2
 7,7  10  22
Ответ: электрон движется со скоростью 2,8  108 м / с ;
импульс электрона 7,7
кг  м
.
с
кг  м
с
Задания к контрольной работе № 1
101. Материальная точка движется под действием силы согласно уравнению
Х = А + Вt + Ct2 + Dt3 , где С = 1 м/с2; D = - 0,2 м/с3. Определить, в какой
момент времени сила равна нулю.
102. Движение материальной точки задано уравнением Х = At + Bt2, где
A=4м/с2; B = - 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость точки
равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.
103. Прямолинейное движение материальной точки описывается
уравнением X = At + Bt3, где A = 2,0 м/с ; B = 0,04 м/с3. Определить величину
средней скорости и среднего ускорения за первые 4 с движения.
104. Зависимость скорости тела от времени при прямолинейном движении
дана уравнением v = 0,3 t2. Найти величину ускорения тела в момент времени
2 с и путь, пройденный телом за интервал времени от 0 до 2 с.
105. Прямолинейное движение двух материальных точек описывается
уравнениями X1=A1+B1t+C1t2 и X2=A2+B2t+C2t2, где A1 =20 м ; B1=-2 м/с;
C1=4м/с2; A2=2 м; B2=2 м/с; C2=0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих
точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения в этот момент
времени?
106. Точка движется по окружности согласно уравнению:
=A+Bt+Ct3, где A=2 рад; B=3 рад/с; C=1 рад/с3. Определить угол
поворота, угловую скорость и угловое ускорение точки в момент времени 1 с.
107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через
0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало
равным 0,136 м/с2. Найти радиус колеса.
108. Колесо радиусом 0,3 м вращается согласно уравнению =5-2t+0,2t2.
Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение точек на ободе колеса
через 5 с после начала движения.
109. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигает угловой скорости 2  рад/с
через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
110. По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый
момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с2, вектор полного
ускорения составляет в этот момент угол 600 с вектором нормального
ускорения. Определить мгновенную скорость и тангенциальное ускорение
точки в этот момент.
111. Какую скорость приобретает ракета массой 0,6 кг, если продукты
горения массой 1,5·10-2 кг вылетают из ее сопла со скоростью 800 м/с?
112. Мальчик стоит на абсолютно гладком льду и бросает мяч массой 0,5кг.
С какой скоростью после броска начнет скользить мальчик, если
горизонтальная составляющая скорости мяча равна 5 м/с, а масса мальчика
равна 20 кг?
113. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути со
скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном
массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны после сцепки?
114. Человек и тележка движутся навстречу друг другу. Масса тележки 32
кг, масса человека 64 кг. Скорость тележки 1,8 км/ч, скорость человека 5,4 км/ч.
Человек прыгает на тележку. С какой скоростью и в каком направлении будет
двигаться тележка с человеком ?
115. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с,
попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся со скоростью 36
км/ч навстречу снаряду и застревает в песке. Определить скорость, которую
получит платформа.
116. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со
скоростью 3 м/с, в сторону, противоположную ее движению прыгает человек,
после чего скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Определить
горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно
тележки. Масса тележки 210 кг, масса человека 70 кг.
117. От двухступенчатой ракеты массой 1 т при скорости 1710 м/с
отделилась её вторая ступень массой 0,4 т. Скорость второй ступени при этом
увеличилась до 1860 м/с. Определить, с какой скоростью стала двигаться
первая ступень ракеты.
118. При горизонтальном полете со скоростью 300 м/с снаряд массой 9 кг
разорвался на две части. Большая часть массой 7 кг получила скорость 450 м/с в
направлении полёта снаряда. Определить величину и направление скорости
меньшей части снаряда.
119. С судна массой 750 т произведён выстрел из пушки в сторону,
противоположную его движению, под углом 60о к горизонту. На сколько
изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1
км/с относительно судна?
120. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250г, взлетает
вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определить скорость истечения
газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса
заряда равна 50 г.
121. Теннисный мяч, летящий со скоростью 10 м/с, отброшен ударом
ракетки в противоположном направлении со скоростью 8 м/с. При этом его
кинетическая энергия изменилась на 5 Дж. Найти изменение количества
движения мяча.
122. В деревянный шар массой 5 кг, подвешенный на нити, попадает
горизонтально летящая пуля массой 5 г и застревает в нём. Найти скорость
пули, если шар с застрявшей в нем пулей поднялся на высоту 10 см.
123. Два шара массами 2 кг и 3 кг, движущиеся по одной прямой навстречу
друг другу со скоростями 8 м/с и 4 м/с, соответственно, неупруго сталкиваются
и движутся после удара совместно. Определить работу деформации шаров
после удара.
124. Шар массой 1,8 кг упруго сталкивается с покоящимся шаром большей
массы. В результате прямого центрального упругого удара шар потерял 36%
своей кинетической энергии. Определить массу покоящегося шара.
125. По небольшому куску металла, лежащему на наковальне, масса
которой 300 кг, ударяет молот массой 8 кг. Определить КПД удара, считая удар
неупругим. Полезной энергией считать энергию, затраченную на деформацию
металла.
126. Из орудия массой 5 т вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая
энергия снаряда при вылете 7,5.106 Дж. Какую кинетическую энергию получает
орудие вследствие отдачи?
127. Движущееся тело ударяется о неподвижное тело. Удар считать упругим
и центральным. Чему должно равняться отношение масс тел, чтобы при ударе
скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза?
128. Пуля, имеющая массу 10г, подлетает к доске толщиной 4 см со
скоростью 600 м/с и, пробив доску, вылетает со скоростью 400 м/с. Найти
среднюю силу сопротивления доски.
129. Тело, брошенное с высоты 250 м вертикально вниз с начальной
скоростью 20 м/с, погрузилось в землю на глубину 20 см. Определить среднюю
силу сопротивления почвы, если масса тела равна 2 кг. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
130. На горизонтальном участке пути длиной 3 км скорость автомобиля
увеличилась от 36 км/ч до 72 км/ч. Масса автомобиля 3 т, коэффициент трения
0,01. Чему равна работа, совершаемая двигателем автомобиля?
131. В пружинном ружье пружина сжата на 10 см. При взводе её сжали до
20 см. С какой скоростью вылетит из ружья стрела массой 30 г, если жесткость
пружины 144 Н/м.
132. Две пружины жесткостью 3.102 Н/м и 5.102 Н/м соединены
последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если
вторая пружина растянута на 3 см.
133. Две пружины жесткостью 0,5 кН/м и 1 кН/м скреплены
последовательно. Определить потенциальную энергию данной системы при
действии внешней силы 10 Н.
134. Определить работу, которую совершат силы гравитационного поля
Земли, если тело массой 1 кг упадет на поверхность Земли с высоты, равной
радиусу Земли.
135. Найти значение второй космической скорости для Луны, т.е. скорости,
которую нужно сообщить телу, чтобы удалить его с поверхности Луны за
пределы гравитационного поля Луны (масса Луны 7,33·10 22 кг, радиус Луны
1,74·106 м).
136. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если
ракета пущена с Земли с начальной скоростью 10 км/с? Сопротивление воздуха
не учитывать.
137. Стержень массой 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг оси,
проходящей через его середину, перпендикулярно длине стержня. Угол
поворота стержня изменяется во времени по закону  = 3t3 – t2 + 4t + 6.
Определить вращающий момент, действующий на стержень через 2 с после
начала вращения.
138. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за
1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса
равен 2 кг·м2. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3)
работу сил торможения; 4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.
139. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили
одинаковую угловую скорость 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под
действием сил трения один маховик остановился через одну минуту, а второй
сделал до полной остановки 360 оборотов. У какого маховика тормозящий
момент больше и во сколько раз?
140. На барабан диаметром 0,8 м намотан трос с закрепленным на конце
грузом массой в 3 кг. Вращаясь равноускоренно под действием силы натяжения
троса, барабан за 4 секунды приобрел угловую скорость 16 рад/с. Определить
момент инерции барабана.
141. К ободу диска радиусом 0,2 м приложена постоянная
касательная
сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения, равный 0,5
Н·м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным
угловым ускорением 100 рад/с2.
142. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей
через его центр. Угол поворота изменяется во времени по закону  =А +
Вt2+ Сt3, где А = 5 рад; B = 4 рад/c2 ; C = -1 рад/c3. Определить величину
момента сил, приложенных к шару в момент времени 2 с.
143. Однородный диск массой 5 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг оси,
проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от
времени задана уравнением  = А + Вt, где В = 8 рад/c2. Найти величину
касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.
144. Маховик массой 10 кг и радиусом 0,2 м соединен с мотором при
помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения,
постоянно и равно 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать
маховик через 10 секунд после начала движения? Маховик считать однородным
диском. Трением пренебречь.
145. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках
гантели массой 6 кг каждая. Длина руки человека 60 см. Скамья с человеком
вращается с угловой скоростью 4 рад/c. С какой угловой скоростью будет
вращаться скамья с человеком, если он опустит руки с гантелями вниз вдоль
оси вращения? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг.м2. Гантели
считать материальными точками.
146. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг.
Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг,
вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, с частотой
6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек
перейдет от края платформы к её центру? Момент инерции человека
рассчитывать как для материальной точки.
147.На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень
вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой
скоростью 4 рад/с. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья с
человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное
положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг.м2. Длина
стержня 1,8 м, его масса 6 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком
находится на оси вращения скамьи.
148. К ободу диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила 2Н.
Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 секунд после начала
действия силы?
149. Маховик вращается по закону, который задан уравнением
 = А + Вt + Сt2, где  - угол поворота, A = 2 рад, В = 32 рад/с, а С = - 4 рад/с2.
Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик
при его вращении, до остановки. Момент инерции маховика 100 кг.м2.
150. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под
действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться
равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент сил
торможения.
151. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью
v = 0,6 с (с – скорость света в вакууме). Во сколько раз замедляется течение
времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?
152. При какой относительной скорости
движения релятивистское
сокращение длины движущегося тела составляет 25%?
153. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон,
чтобы его продольные размеры стали в 2 раза меньше?
154. Синхрофазотрон дает пучок протонов, кинетическая энергия которых
равна 104 МэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в
этом пучке?
155. Найти скорость релятивистской частицы, если ее полная энергия в 10
раз больше энергии покоя.
156. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя.
Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия
увеличится в 4 раза?
157. Протон влетает со скоростью v = 0,9 с (с – скорость света в вакууме) в
тормозящее электрическое поле Какую разность потенциалов он сможет
преодолеть?
158. На сколько процентов изменится продольный размер протона после
прохождения им ускоряющей разности потенциалов 1 МВ?
159. Частица движется со скоростью v = 0,5 с (где с – скорость света в
вакууме). Какую долю полной энергии составляет кинетическая энергия
частицы?
160. Импульс релятивистской частицы равен его комптоновскому импульсу.
Под действием внешних сил импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько
раз увеличились при этом кинетическая и полная энергии частицы?
Методические указания к выполнению
контрольной работы № 2
В контрольную работу № 2 включены задачи по темам:
“Электростатика”, “Постоянный электрический ток”, “Магнитостатика”,
“Электромагнитная индукция”.
Тема “Электростатика” представлена задачами по расчету простейших
электрических полей с помощью принципа суперпозиции, на определение
напряженности и разности потенциалов, электроемкости и энергии поля
конденсаторов, задачами, в которых рассматривается движение заряженных
частиц в электрическом поле.
Задачи по теме “Постоянный электрический ток” охватывают вопросы:
применение законов Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной
форме; определение работы и мощности тока.
По теме “Магнитостатика” в контрольную работу включены задачи по
расчету магнитной индукции и напряженности простейших магнитных полей с
помощью принципа суперпозиции, задачи по расчету индукции магнитного
поля с применением закона Био-Савара-Лапласа задачи, в которых
рассматривается действие магнитного поля на движущиеся заряды и токи
(определение силы Ампера, силы Лоренца, вращающего момента, вычисление
работы сил поля при перемещении проводника и контура с током).
Задачи по теме “Электромагнитная индукция” затрагивают вопросы:
основной закон электромагнитной индукции$ явление самоиндукции;
определение заряда, протекающего по контуру при возникновении в нем
индукционного тока; вычисление энергии магнитного поля.
Таблица вариантов к контрольной работе № 2
Вариант
0
1
2
3
4
5
Номера задач
210
201
202
203
204
205
220
211
212
213
214
215
230
221
222
223
224
225
240
231
232
233
234
235
250
241
242
243
244
245
260
251
252
253
254
255
6
7
8
9
206
207
208
209
216
217
218
219
226
227
228
229
236
237
238
239
246
247
248
249
256
257
258
259
Перед выполнением контрольной работы необходимо проработать
материал
соответствующих
разделов
рекомендованной
литературы,
внимательно ознакомиться с основными законами и формулами, а также
справочными материалами, приведенными в приложениях данной учебнометодической разработки; разобрать примеры решения типовых задач из
данной учебно-методической разработки.
Задачи 201 … 220 относятся к теме “Электростатика”.
Задачи 221 … 230 относятся к теме “Постоянный электрический ток”.
Задачи 231 … 250 относятся к теме “Магнитостатика”.
Задачи 251 … 260 относятся к теме “Электромагнитная индукция”.
Электричество и магнетизм
Основные законы и формулы раздела
«Электричество и магнетизм»
Электростатика
1. Закон сохранения электрического заряда в замкнутой системе
Q
i
 const
2. Закон Кулона
F
q1q2
,
2
4 0 r
1
где F - модуль силы взаимодействия точечных зарядов q1 и q2; r расстояние между зарядами;  - относительная диэлектрическая проницаемость
среды;  0  8,85  10 Ô / ì - электрическая постоянная.
2. Напряженность и потенциал электростатического поля
12

 F
E ,
q

W
,
q

где F - сила, действующая на точечный
положительный заряд q,
помещенный в данную точку поля; W -потенциальная энергия этого заряда (при
условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного на бесконечность,
равна нулю).
3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов
(принцип суперпозиции электрических полей),
N 

E  E ,
i
i 1
N
   i ,
i 1

где Ei ,  i
- напряженность и потенциал в данной точке поля,
создаваемого i-м зарядом.
4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,
E
q
1
4 0 r 2
, 
1
q
,
4 0 r
где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяются
напряженность и потенциал.
5. Поток вектора напряженности электростатического поля
- сквозь площадку dS :
 
dÔ E  E  dS  En  dS ,
- сквозь поверхность S :
 
Ô E   E  dS   E  dS n ,
S
S
- сквозь замкнутую поверхность S :
 
Ô Å   E  dS   E n  dS ,
S
S


где dS  dS  n - вектор, модуль которого равен dS, а направление



E
E
совпадает с нормалью n к площадке; n - проекция вектора
на нормаль n к
площадке dS.
8. Напряженность поля, создаваемого
бесконечной равномерно
заряженной плоскостью
E

,
2 0
где  - поверхностная плотность заряда (заряд единицы площади).
9. Напряженность поля, создаваемого
бесконечной равномерно
заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра),

,
20 r
1
E
где  - линейная плотность заряда, r - расстояние от нити или от оси
цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность. Внутри цилиндра
Е=0.
10. Напряженность и потенциал поля, создаваемого металлической
заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
- внутри сферы (r<R)
E  0,  
- вне сферы (r  R)
E
q
1
40  r
2
1
40
, 

q
R
1
q
,
40 r
где q - заряд сферы.
10. Потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии
r от заряда

1
q
.
40   r
11. Связь потенциала с напряженностью:
а) в общем случае

E   grad .
б) в случае однородного поля
E
(1   2 )
,
d
где d - расстояние между точками с потенциалами 1 и 2.
В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
d
E
.
dr
11. Принцип суперпозиции электростатических полей
n 

E   Ei ,
i 1

где E i - напряженность поля, создаваемого зарядом Qi .
12. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль
замкнутого контура

E
  dL   El  dl ,
L
 L
где E l - проекция вектора E на направление элементарного перемещения

dl . Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.
13. Работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки поля с
потенциалом 1 в точку поля с потенциалом 2.
A  q1   2  .
2
 
A  q 0  E  dl  q 0  El  dl ,
2
1

dl .
1

где E l - проекция вектора E на направление элементарного перемещения
14. Разность потенциалов
a) между двумя точками 1 и 2 в электростатическом поле
A12 2   2
1   2 
 E  dl   El  dl ,
q 0 1
1
где A12 - работа, совершаемая силами электростатического поля при

перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2; E l - проекция вектора E на

направление элементарного перемещения dl .
Интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей
начальную и конечную точки, т.к. работа сил электростатического поля не
зависит от траектории перемещения.
б) между точками, находящимися на расстоянии x1 и x 2 от равномерно
заряженной бесконечной плоскости,
x2
x2
x1
x1
1   2   Edx 

 2
dx 
0

x2  x1  ,
2 0
где  - поверхностная плотность заряда.
в) разность потенциалов между бесконечными разноименными
заряженными плоскостями, расстояние между которыми равно d,
d2
d2

0
01
0
1   2   Edx 

dx 

d.
0
г) разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии
r1 и r2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности (объемно
заряженного шара) радиусом R с общим зарядом Q , причем r1  R , r2  R ,
r2  r1 ,
r2
r2
1
Q
Q
dr 
2
40 r
40
r1
1   2   Edx  
r1
1 1
   .
 r1 r2 
д) разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии
r1 и r2 от центра объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q ,
причем r1  R , r2  R , r2  r1 ,
r2
r2

1

Q
Q
dr 
r22  r12 .
3
3
40 R
80 R
r1
1   2   Edr  
r1
е) разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии
r1 и r2 от оси равномерно заряженного с линейной плотностью  бесконечного
цилиндра радиусом, причем r1  R , r2  R , r2  r1 ,
r2
1   2   Edr 
r1
r

dr


ln 2 .

20 r r
20 r1
r2
1
15. Поток напряженности E и электрического смещения (индукции D ):
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
ÔE 
 Ed S   E dS ,
n
(S )
(S )
ÔD 
 Dd S   D dS ,
n
(S )
(S )
где d S  dS n, n - единичный вектор нормали к элементу поверхности dS;
En  E cos  и Dn  D cos - проекции векторов E и D на направление
нормали n ,  - угол между векторами E или D и нормалью n .
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное поле,
Ô E  ES cos  ,
Ô D  DS cos  .
16. Поток векторов E и D через любую замкнутую поверхность (теорема
Остроградского – Гаусса):
1 m
 Ed S  
(S )
m
где  qi
–
алгебраическая
m
 qi ,
 Dd S   qi ,
0 i 1
i 1
(S )
сумма
зарядов,
заключенных
внутри
i 1
замкнутой поверхности S ; m - число зарядов.
Электрическое поле рассматривается в вакууме.
17. Вектор электрической индукции (смещения)
D  0 E  P ,
где P – поляризованность (вектор поляризации).
18.
Связь
электрического
смещения
напряженностью E в случае изотропных диэлектриков
(индукции) D
с
D   0 E .
19. Поверхностная плотность
зарядов  ' на границах диэлектрика
связанных
поляризационных
 '  Pn,
Pn  P cos - проекция вектора поляризации на нормаль к
поверхности диэлектрика;  - угол между вектором P и нормалью n .
где
20. Электроемкость
С
q

,
C
q
,
U
где  - потенциал уединенного проводника (при условии, что в
бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U=(1-2) разность потенциалов между обкладками конденсатора.
21. Электроемкость плоского конденсатора
С
 0 S
d
,
где S - площадь одной пластины конденсатора; d - расстояние между
пластинами;
 - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей
пространство между пластинами.
22. Электроемкость сферического конденсатора
C
4 0 R1R2
,
( R2  R1 )
где R1 и R2 – радиусы двух концентрических сфер;  - диэлектрическая
проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами.
23. Электроемкость цилиндрического конденсатора
C
2πε0 εl
,
ln (R2 /R1 )
где R1 и R2 – радиус двух коаксиальных цилиндров; l - высота
цилиндров;  - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей
пространство между цилиндрами.
24. Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов
N
С   Ci ;
i 1
электроемкость последовательно соединенных конденсаторов
N 1
1
,
 
C i  1 Ci
где N - число конденсаторов в батарее.
25. Энергия заряженного конденсатора
W
qU
CU 2
q2
, W
; W
.
2
2
2C
26. Объемная плотность энергии электростатического поля

 0 E 2
2
; 
D2
ED
; 
.
2 0
2
Для однородного электростатического поля  
W
, где V - объем.
V
Алгоритм решения задач по теме «Электростатика»
1. Выполнить чертеж, где изобразить согласно условию задачи:
а) точечные заряды;
б) все силы, действующие на заряды в электрическом поле.
2.
Записать условия равновесия материальной точки или основное
уравнение динамики, воспользовавшись формулами механики.
3.
Для определения модулей сил воспользуйтесь законом Кулона; для
определения направления действия сил воспользуйтесь
принципом
суперпозиции.
4. При перераспределении зарядов примените закон сохранения зарядов.
5. Решите полученную систему уравнений.
Примечание:
Положительные заряды, предоставленные сами себе, движутся от точек с
большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом, а отрицательные
заряды перемещаются в противоположном направлении.
Если по условию задачи заряд приобретает энергию при воздействии на
него электрических сил поля, то нужно использовать закон сохранения энергии
и формулу для расчета работы электрических сил.
Примеры решения задач по теме «Электростатика»
Задача 1. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м расположены равные
одноименные заряды. Потенциал создаваемого ими поля в центре квадрата
равен 500 В. Определить величины зарядов.
q
Дано:
а  0,1м ;
q1  q2  q3  q4  q;
  500 Â
_________________
q


r

q?
q
С
a
q
Рис.
Решение.
Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи
известна величина потенциала в точке С, которая равноудалена от всех четырех
зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т.е. находится в особых условиях по
отношению к источникам поля. Потенциал определяется с помощью принципа
суперпозиции:
  1   2   3   4 .
(1)
Потенциал, создаваемый зарядом qi в рассматриваемой точке,
i  
qi
40 r
,
(2)
где qi - величина заряда, расположенного в вершине квадрата;
 0  8,85 1012 Ф / м - электрическая постоянная;
r  расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки:
r
a 2
.
2
(3)
Так как по условию задачи в вершинах квадрата расположены равные и
одноименные заряда, их алгебраическая сумма
q  4qi .
(4)
С учетом (2), (3), (4) формула (1) примет вид:

q
4q2
2q

;
4     0  a  2 0 a 2
(5)
     0  a  2 500Â  3,14  8,85  10 12 Ô / ì  0,1ì  2

 9,82  10 10 Â
2
2
Проверка размерности расчетной формулы:
q  Â  Ô  ì
ì

  Êë
 Êë .
Â
Ответ: величина заряда равна 9,82 1010 Кл.
Задача 2. Два точечных заряда 2 нКл и -1 нКл находятся в воздухе на
расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал
электростатического поля в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 6
см и от второго заряда на 4 см.
Дано:
q1  2íÊë  2  10 9 Êë;
q 2  1íÊë  10 9 Êë;

  1;

d  5ñì  5  10  2 ì ;
r1  6ñì  6  10  2 ì ;
r2  4ñì  4  10  2 ì .
___________________
E ?  ?
Рис.
Решение.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд
создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов.
  
Напряженность результирующего поля E  E1  E2 . Напряженности полей,
создаваемых в воздухе ( = 1) зарядами q1 и q2:
E1 
E2 
q1
,
40 r12
1
q2
1
40 r22
(1)
.
(2)


Направления векторов E1 и E 2 указаны на рис. Модуль вектора

E
найдем по теореме косинусов:
1
2
E  ( E  E  2 E1 E2 cos  ) ,
2
1

2
2

где  - угол между векторами E1 и E2 .
Из рисунка видно, что  =  - .
Тогда,
cos    cos  .
Следовательно,
1
2
E  ( E  E  2 E1 E 2 cos  ) .
2
1
2
2
(3)
Из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов находим
cos  
(r12  r22  d 2 )
2r1 r2
(4)
Произведя вычисления по формулам (1), (2), (4), получим:
2  10 9
E1  9  10 
 5  10 3 Â / ì  ,
2
6  10
9
E 2  9  10 9
10 9
4  10 
2 2
cos  
 5,62  10 3 ( Â / ì ).
6 2  4 2  52
 0,565 .
264
При вычисленииЕ2 знак заряда q2 опущен,
так как знак минус определяет

направление вектора E 2 , а направление E 2 было учтено при его графическом
изображении (рис.).
Напряженность результирующего поля будет равна
E
5 10   5,62 10 
3 2
3 2
 2  5  103  5,62  103  0,565  4,97.103 (В/м).
По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля,
создаваемого зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов 1 и
2, т.е.
 = 1 + 2 ,

q1
1 q2
1  q1 q2 
  .


4 0 r1 4 0 r2 4 0  r1 r2 
1
(5)
Произведем вычисления:
 2  10 9  10 9 
  75( Â).
  9  10 

2
2 
6

10
4

10


9
Ответ: напряженность электростатического поля в указанной точке равна
497  10 3
Â
, потенциал равен 75 В.
ì
Задача 3. Сплошной шар из диэлектрика радиусом R  5см заряжен
равномерно с объемной плотностью   10нКл / м 3 . Определить энергию
электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.
Дано: R  5см  5  10 2 м;
  10нКл / м 3  10  10 9 Кл / м 3 .
_______________________________
W ?
Решение.
Объемная плотность энергии электрического поля

1
 0  E2,
2
где  - диэлектрическая проницаемость среды, для вакуума  =1;
 0  8,85  10 12
Ф
м
электрическая постоянная; E
-
-
напряженность
электростатического поля.
Энергию электростатического поля вне шара найдем, интегрируя
плотность энергии электрического поля по соответствующему объему:
W 
0
2

 E (r )
2
 4r 2  dr ,
(1)
R
где напряженность электростатического поля вне шара.
E (r ) 
q
40 r2
.
(2)
Подставляя (2) в (1), имеем:
0

 0q 2
q 2  4    r 2  dr
W

2 R 16   2   02  r 4
2  4     02

dr
q2
R r 2  80 R
где R - радиус шара;  - объемная плотность заряда шара, g – заряд.
q
4 3
R  ;
3
W
16   2  R 6   2 2R 5  2
.

9 8 0  R
9 0
Проверка размерности расчетной формулы:
W   ì
W
 Êë 2
Êë 2

ì

 Êë  Â  Äæ
Êë / Â
ì 6 Ô
5
2  3,14(5  10 2 ) 5 ì 5  (10 8 ) 2 Êë 2 / ì
9  8,85  10 12 Ô / ì
6
 2,46  10 12 ( Äæ ) .
Ответ: энергия электростатического поля, заключенная в окружающем
шар пространстве составляет 2,46  10 12 Дж.
Задача 4. На металлической сфере радиусом 10 см находится заряд 1
нКл.
Определить напряженность электростатического поля в следующих
точках:
a). на расстоянии 8 см от центра сферы;
б). на поверхности сферы;
в) на расстоянии 15 см от центра сферы.
Дано:
R  10ñì  0,1ì ;
q  1нКл  10 9 Кл;
rA  15см  0,15 м;
rB  10см  0,1м;
rC  8см  0,08 м.
rA
______________________
EA  ?
EB  ?
EC  ?

 R

rC
 rA
O
  B  C  A
 
Рис.
Решение.
Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического
поля заряженной сферы направлены
радиально (рис.) и численное значение

электрического смещения D
должно быть одинаковым во всех точках,
лежащих на одном и том же расстоянии от центра О заряженной сферы.
Проведем через исследуемую точку поля А, лежащую вне заряженной сферы
r  R , шаровую поверхность S с центром в точке О. Во всех точках этой
поверхности Dn  D  const ,
поэтому поток смещения сквозь замкнутую
поверхность S равен:
S
Ф   Dn  dS  D  dS  D  S  4rA2  D.
S
0
По теореме Остроградского-Гаусса этот поток равен общему заряду
сферы, следовательно,
D
E
D
 0

q
;
4r 2
q
.
4 0    r 2
10 9 Кл
В
E
 399,84 ;
Ф
м
4  3,14  8,85  10 12  (0,15) 2 м 2
м
Проверка размерности расчетной формулы:
Å   Ô Êë
ì
ì

2
Êë  Â Â
 .
Êë  ì
ì
Электростатическое поле в незаряженной сферической поверхности
эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду сферы и
расположенного в ее центре.
Рассмотрим точку B, лежащую на поверхности сферы; поток смещения
сквозь замкнутую поверхность S равен:
Ф  4rB2 D  4R 2  D ;
D
E
E
q
;
4R 2
q
;
40    R 2
10 9 Кл
В
 899,64 .
Ф
м
4  3,14  8,85  10 12  (0,1) 2 м 2
м
Рассмотрим произвольную точку C, лежащую внутри сферы ( r  R ).
Проведенная через нее сфера с центром в точке О не охватывает электрических
зарядов, следовательно,
Ф  4rC2  D  0 ;
D  E  0.
График зависимости напряженности Е электростатического поля
равномерно заряженной сферической поверхности от расстояния r точки поля
до центра этой поверхности изображен на рисунке.
E



O




rR
r

Рис. График зависимости напряженности Е электростатического поля
равномерно заряженной сферической поверхности от расстояния r точки поля
до центра этой поверхности.
Ответ: напряженность электростатического поля внутри сферы равна
нулю; на расстоянии 0,1м от центра сферы (на поверхности сферы) равна
Â
; на расстоянии 0,15 м напряженность электростатического поля равна
ì
Â
399,84 .
ì
899,64
Задача 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1
см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 20 нКл/м.
Определить работу сил поля по перемещению точечного заряда 25 нКл из
точки, находящейся на расстоянии 1 см, в точку, находящуюся на расстоянии
3 см от поверхности цилиндра в средней его части.
Дано:
R  1ñì  1  10 2 ì ;
  20íÊë / ì  20  10 9 Êë / ì ;
q  25íÊë  25  10 9 Êë;
a1  1ñì  1  10  2 ì ;
a 2  3ñì  3  10  2 ì ;
  1.
__________________________
A?
Решение.
Работа сил поля по перемещению заряда равна
A  q(1   2 )
Для нахождения разности потенциалов воспользуемся соотношением

E   grad .
Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, можно
записать
E
d
dr
или
d   Edr .
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов между двумя
точками, отстоящими на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра,
r2
 2  1    Edr ,
r1
где
(1)
r1  a1  R;
r2  a2  R;
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то
можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого
бесконечно длинным цилиндром,
E

.
20 r
1
(2)
Подставив (2) в (1), получим

 2  1  
2 
0
r2
dr

r

ln 2
r
20
r1
1

r
или
1   2 
r

ln 2 .
20 r1
(3)
Таким образом,
A  q1   2  
q
20
ln
R  a2
.
R  a1
Проверим, дает ли расчетная формула единицу работы. Для этого в
правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения.
Произведем вычисления с учетом того, что 1 / 20  2  9  109 ì / Ô . Так как
величины r2 и r1 входят в формулу (3) в виде отношения, их можно выразить в
сантиметрах. Следовательно,
A  2,5  10 8  2  9  10 9  2  10 8  ln
1 3
 6,2  10 6 ( Äæ ) .
11
Ответ: работа сил поля по перемещению точечного заряда равна
6,2 10 6 Äæ .
Задача 6. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до
разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла
толщиной 5 мм и эбонита толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины 200 см2.
Определить: а) напряженность поля, индукцию и падение потенциала в каждом
слое; б) электроемкость конденсатора.
Дано:
U  600 Â;
 1  7;
d1  5 ìì
 5  10 3 ì ;
 2  3;
d 2  3 ìì
 3  10 3 ì ;
S  200ñì 2  2  10  2 ì 2 .
_____________________________
E  ? D  ? U1  ? U 2  ? Ñ  ?
Решение.
При переходе через
границу раздела диэлектриков нормальная

составляющая вектора D в обоих слоях диэлектриков имеет одинаковые
значения D1n = D2n.

В конденсаторе силовые линии вектора D перпендикулярны к границе
раздела диэлектриков, следовательно, D1n = D1 и D2n = D2. Поэтому
D1 = D2 = D.
(1)
Учитывая, что
D = 0Е,
и сокращая на  0 , из равенства (1) получим:
 1 E1   2 E2 ,
(2)
где Е1 и E2 - напряженности поля в первом и во втором слоях
диэлектриков;  1 и  2 - диэлектрические проницаемости слоев.
Разность потенциалов между пластинами конденсатора очевидно равна
сумме напряжений на слоях диэлектриков
U  U1  U 2
В пределах каждого слоя поле однородно, поэтому
U1  E1d1 è U 2  E2 d 2 .
С учетом этого равенство (3) примет вид:
(3)
U  E1d1  E2 d 2 .
(4)
Решая совместно уравнения (2) и (4), получим
E1 
 2U
,
 2 d1   1d 2
E2 
 1U
.
 2 d1   1d 2
Проверка размерности расчетной формулы:
E  
B
Â
 ,
ì ì
ì
Произведя вычисления, получим:
E1 
E2 
3  600
 5  10 4 ( Â / ì );
3
3  5  10  7  3  10
3
7  600
 11,7  10 4 ( Â / ì );
3
3
3  5  10  7  3  10
U 1  E1 d1  5  10 4  5  10 3  250( Â);
U 2  E 2 d 2  11,7  10 4  3  10 3  350( Â);
D  D1   0  1 E1  8,85  10 12  7  5  101  3,1  10 6 ( Êë / ì 2 ).
Определим электроемкость конденсатора
Ñ
q
,
U
(5)
где заряд каждой пластины конденсатора
q  S .
Учитывая, что поверхностная плотность зарядов  на пластинах
конденсатора численно равна модулю электрического смещения, т.е.  = D,
получим:
C
q  S DS


.
U
U
U
Проверим, дает ли расчетная формула единицу электроемкости. Для
этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их
единицы измерений:
Ñ   D S   Êë
U 
2
/ì 2  1ì
1Â
2
1Ô .
Произведя вычисления, получим:
Ñ
3,1  10 6  2  10 2
 103  10 12 (Ô )  103 пФ.
600
Ответ: электроемкость конденсатора равна 103 пФ.
Задача 7. Какую работу надо совершить, чтобы заряды в 1нКл и 2нКл
сблизить до 0,1 м?
Дано: q1  1нКл  10 9 Кл ;
q 2  2нКл  2  10 9 Кл;
r1  0,5 м;
r2  0,1м
___________________
A?
Решение.
Можно положить, что первый заряд q1 остается неподвижным, а
второй q 2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном
зарядом q1 , приближаясь к нему с расстояния r1  0,5м до r1  0,1м .
Работа внешней силы А по перемещению заряда q из одной точки
поля с потенциалом 1 в другую, потенциал которой  2 , равна по абсолютной
величине и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению
заряда между теми же точками: А   А .
Работа сил поля по перемещению заряда выражается формулой
А  q  1   2  .
Тогда работа А внешних сил может быть записана в виде:
А  q1   2   q   2  1  .
(1)
Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами:
1 
2 
q1
,
4 0 r1
q2
40 r2
.
Подставляя выражения 1 и  2 в формулу (1) и учитывая, что для
данного случая переносимый заряд q  q2 , получим:
A 
q1  q 2
40
1 1
   .
 r2 r1 
1
40
 9  10 9
ì
.
Ô
Проверка размерности расчетной формулы:
 Äæ  
ì Êë  Êë Êë  Êë


 Â  Êë  Äæ .
Êë
Ô
ì
Â
После подстановки числовых значений в выражение (2) получим:
A  9  10 9
м
1 
 1
 10 9 Кл  2  10 9 Кл  

  144  10 9 Дж  0,144 мкДж
Ф
 0,1м 0,5 м 
Ответ: для того, чтобы сблизить заряды необходимо совершить работу
0,144мкДж.
Задача 8. Плоский конденсатор заполнен двумя слоями диэлектрика с
диэлектрическими проницаемостями ε1 = 7 и ε2 = 3. Толщина слоев d1 = 2 см и
d2 = 5 см. На конденсатор подано напряжение U = 500 В. Граница раздела
диэлектриков параллельна обкладкам конденсатора. Возможны случаи: а)
конденсатор отключен от батареи; б) конденсатор все время соединен с
батареей. Найти напряженность Е1, определить, на сколько изменится
напряженность электрического поля в первом и втором диэлектриках, если
один из диэлектриков будет удален из конденсатора.
Дано:
ε1 = 7
ε2 = 3
d1 = 2 см = 2 ∙ 10-2 м
d2 = 5 см = 5 ∙ 10-2 м
d1
d2
ε1
ε2
U
U = 500 В
Рис.
Е1 –? ∆Е –?
Решение.
1). Если параллельно обкладкам плоского конденсатора ввести слои
диэлектриков, заполняющих воздушную прослойку, то такой сложный
конденсатор можно рассматривать как два конденсатора емкостями С1 и С2,
соединенных последовательно. Расстояние между обкладками определяется
толщиной внесенных слоев диэлектриков.
Емкость двух последовательно соединенных конденсаторов равна:
C
  s
C1  C 2
, где C1  0 1 ,
C1  C 2
d1
C2 
 0 2  s
d2
Подставляя в формулу для С выражения для С1 и С2, получим:
C
 0 1 2  s
d 2 1  d1 2
(1)
При последовательном соединении конденсаторов емкостями С1 и С2
подаваемое на них напряжение U равно сумме напряжений на первом и втором
слоях диэлектриков:
U  U1  U 2 .
Поскольку поля в диэлектриках однородные, то
U1  E1d1 и U 2  E2 d 2 .
Следовательно,
U  E1d1  E2 d 2
(2)
При наложении на диэлектриках внешнего поля напряженностью Е0
напряженность в каждой среде уменьшится соответственно в ε1 и ε2 раз, т. е.
E1 
E0
1
и E2 
E0
2
,
откуда
1 E1   2 E2
(3)
Из уравнений (2) и (3) находим:
E2 
U  E1d1 
 1 E1
,
2

 1 E1d 2
d 
d   d 2 1
,
 E1  d1  1 2   E1  1 2
2
2 
2

E1 
U 2
d1 2  d 2 1
(4)
Проведем проверку размерности:
E1  
Â
Â
 .
ì ì
ì
Проведем вычисления:
E1 
500  30
 3,7  10 3 ( Â / ì ).
2  10  3  5  10  2  7
2
2) Найдем изменение напряженности электрического поля во втором
диэлектрике, когда первый диэлектрик удален, а конденсатор предварительно
отключен от батареи. Поскольку конденсатор отключен от источника
напряжений, то его заряд в обоих случаях будет одинаков:
Q1  Q2 ,
где
Q1  UC,
Q2  U C  ,
где U  – напряжение на конденсаторе после удаления первого
диэлектрика, C  - электроемкость после удаления первого диэлектрика.
C1/ C2
C  /
,
C1  C2
/
где электроемкость первого конденсатора после удаления диэлектрика,
C1/ 
отсюда
 0s
d1
,
C/ 
 0 s  0 2 s   0 s  0 2 s   02 2 s 2
d1

d2

 


d 2  d1d 2
 d1
 0 sd 2   0 2 sd1
d1d 2

 02 2 s 2
d1d 2

 0 2 s
d1d 2

 0 sd 2   2 d1  d 2   2 d1
.
UC  U C .
 0 2 s d 2 1  d1 2 U
d  d 
U C/ U

, / 

, /  2 1 1 2 .
/
C U
d 2   2 d1  0 1 2 s U
 1 d 2   2 d1 
U
Выразим U  .
U/ 
U 1 d 2   2 d1 
.
d 2 1  d1 2
Согласно формуле (4) имеем:
U / 2
E 
; ( во втором случае ε1 = 1);
d1 2  d 2
/
1
E1/ 
U 1 d 2   2 d1  2
U 1 2

d 2 1  d1 2 d1 2  d 2  d 2 1  d1 2
Проведем проверку размерности:
E   ì
/
1
B
Â
 .
ì
ì
Проведем вычисления:
E1/ 
500  7  3
 2,6  10 4 ( Â / ì ) .
2
5  10  7  2  10  3
2
Å  Å1/  Å1 ,
E  2,6  10 4
B
Â
Â
 3,7  10 3  2,2  10 4 .
ì
ì
ì
Ответ: напряженность электрического поля равна Е1 = 3,7 ∙ 103 В/м;
напряженность в первом и втором диэлектриках (один из диэлектриков был
удален из конденсатора) изменилась на ∆Е = 2,2 ∙ 104 В/м.
Постоянный электрический ток
1.
Сила и плотность постоянного тока
I
q
;
t
j
I
,
S
где q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за
время t, S – площадь поперечного сечения.
2. Закон Ома:
а) для участка цепи, не содержащего ЭДС:
I
1   2
R

U
,
R
где I - сила постоянного тока; 1   2   U - разность потенциалов на
концах участка цепи; R - сопротивление участка цепи;
б) для замкнутой цепи
I

R  R0
,
где  - ЭДС источников тока, R - сопротивление внешней цепи, R0 внутреннее сопротивление источников тока.
3. Сопротивление R и проводимость G однородного цилиндрического
проводника постоянного диаметра
R
где

l
S
; G  ,
S
l
- удельное сопротивление проводника,
электропроводность;
сечения проводника.
l
- длина проводника,
 
1

- удельная
S - площадь поперечного
4. ЭДС  0 и внутреннее сопротивление Rб батареи n одинаковых
элементов:
а) при последовательном соединении одинаковых элементов
 á  n   0 ; Rá  nR0 .
б) при параллельном соединении одинаковых элементов
 á   0 ; Rá 
R0
,
n
где  0 - ЭДС отдельного элемента; R0 - внутреннее сопротивление
отдельного элемента.
4. Работа и мощность тока
A  IUt; P  IU .
6. Закон Джоуля – Ленца
Q  I 2 Rt ,
где Q - количество теплоты, выделяющейся на участке
сопротивлением R за время t, когда по проводнику течет ток силой I.
цепи
7. Закон Ома в дифференциальной форме

 1 
j  E  E ,

где
j
I
S

- плотность тока в проводнике, E
- напряженность
электрического поля в проводнике.
8. Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме
    E2,
где
удельная тепловая мощность тока (количество
выделяющейся в единице объема проводника за единицу времени)

теплоты,
Q
.
V t
Алгоритм решения задач по теме
«Расчет силы тока и напряжения на участках цепи»
1. Начертить электрическую схему и указать на ней все элементы
цепи.
Установить характер соединения элементов; для сложных цепей, в
которых характер соединений представлен не явно, вычертить
эквивалентные, более простые схемы.
2. Пользуясь
формулами
связи
напряжения,
ЭДС,
тока,
сопротивления, рассчитать требуемые величины.
3. Если в цепь постоянного тока включен конденсатор, то ток по
этому участку не идет, но напряжение на обкладках конденсатора
присутствует.
4. Если в задаче рассматривается шунт или добавочное сопротивление
к гальванометру, то речь идет об обычном расчете сопротивлений, сил
токов и напряжений при последовательном и параллельном соединении
проводников, где один из резисторов – обмотка гальванометра.
Примеры решения задач
Задача 1. ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Наибольшая сила тока,
которую может дать батарея, 5 А. Определить максимальную мощность,
которая может выделиться во внешней цепи.
Дано:
  12 B;
I max  5 A.
_________
Pmax  ?
Решение.
По закону Ома для полной цепи
I

R0  R
,
(1)
где R0 - внутреннее сопротивление аккумулятора, R - сопротивление
внешней цепи (сопротивление нагрузки).
Максимальная сила тока будет при коротком замыкании (R=0).
Imax=  .
(2)
R0
Из формулы (2) находим внутреннее сопротивление
R0 
 .
(3)
I max
Мощность, которая выделяется во внешней цепи (полезная мощность),
P  I2 R
(4)
C учетом закона Ома (1) получим
P
 2R
( R  R0 )2
.
(5)
Исследуя функцию (5) на максимум, найдем сопротивление нагрузки, при
котором мощность максимальна:
dP  2 ( R  R0 )

 0.
dR ( R  R0 )3
(6)
Из равенства (6) следует, что
R  R0
(7)
Подставив (7) в формулу (5), найдем выражение для максимальной
мощности
Pmax 
2
4 R0
(8)
.
C учетом формулы (3), получим:
Pmax 
 I max .
4
Проверка размерности расчетной формулы:
P  B  A  Âò .
Произведя вычисления, получим:
Pmax 
12 Â  5 A
 15 Âò .
4
Ответ: максимальная мощность, которая может выделиться во внешней
цепи, равна 15 Вт.
Задача 2. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно
нарастает от 0 до 4А в течение 2с. Определить количество теплоты,
выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.
Дано:
R  20Îì ;
I 1  0;
I 2  4 À;
t1  0; t 2  2c;
t 3  1,5c;
__________ _____
Q?
Решение.
Согласно закону Джоуля - Ленца, тепловая мощность, выделяющаяся
на сопротивлении R, равна
P  I2 R.
Количество тепла dQ , выделяющегося за время dt на сопротивлении R,
равно
dQ  P  dt  I 2  R  dt
(1)
По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т.е. является
линейной функцией времени
I  at  b .
(2)
В начальный момент t1 = 0 ток I1 равен нулю, поэтому в уравнении (2)
имеем b = 0. Таким образом,
I  at .
(3)
Коэффициент пропорциональности найдем из условия, что I2 = 4 А при
t2 = 2 с .
I 2  at 2 .
Получаем:
a
I2 4
  2( A / c) .
t2 2
Подставляя в формулу (1) выражение (3) и интегрируя по времени от 0 до
t3, найдем количество выделившейся теплоты:


a2R 3
Q   I Rdt  a R  t dt 
t3  t13 .
3
t1
t1
t3
2
2
t3
2
Проверка размерности расчетной формулы:
3
A 2  ÎÌ  ñ
Q 
 B  A  c  Äæ .
c2
Подставляя в формулу (4) значения входящих в нее параметров,
получим
Q
22  20  3
1,5  0   90 (Дж).

3 
Ответ: количество теплоты, выделившейся в проводнике, равно 90 Дж.
(4)
Параметры
цепи
E, В
R1 , Ом
R2 , Ом
R3 , Ом
R4 , Ом
R5 , Ом
R6 , Ом
100
12
18
8
6
14
10
Расчет разветвленной линейной
электрической цепи постоянного тока
с одним источником
электрической энергии
Задача 3. Для электрической цепи,
изображенной на рисунке, определить:
токи в ветвях; Мощность, развиваемую
источником
энергии,
мощность
потребителей. Проверить выполнение
баланса мощностей.
Значения сопротивлений резисторов и ЭДС источника приведены в
таблице
Таблица 1.
А
I
R3
E
С
R4
I3
I 4 R5
R6
I
В
I6
D
Рис.
Дано:
E  100 B;
R1  12ÎÌ ;
R2  18Îì ;
R3  8Îì ;
R4  6ÎÌ
;
R5  14ÎÌ
;
R6  19ÎÌ
.
_____________
I , I 2 , I3 , I 4 , I5 , I6  ?
Решение
Будем производить расчет электрической цепи методом преобразований.
Метод преобразований основан на последовательном упрощении структуры
цепи путем сокращения числа ее узлов и контуров. Эквивалентное
сопротивление соединенных параллельно сопротивлений R4 и R5 найдем по
формуле:
R45 
R4 R5
 614  4,2(Îì ) .
R4  R5 614
Сопротивление R45 соединено последовательно с сопротивлениями R2 и
R6 . Их общее сопротивление
R /  R2  R6  R45  18  10  4,2  32,2(Îì ) .
Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений
R3 и R / найдем по формуле:
R 
R3R
832,2

 6,41(Îì ) .
R3  R 832,2
Сопротивление цепи состоит из сопротивления R1 и R , соединенных
последовательно.
R  R1  R  12  6,41  18,41(Îì ) .
По закону Ома определим силу тока в неразветвленной части цепи (ветвь
с сопротивлением R1 ):
I
E
100 В

 5,43 А .
R 18,41Ом
Сопротивления R2 , R45 и R6 соединены последовательно, поэтому
значения токов I 2 , I 45 , I 6 , проходящие через эти сопротивления, равны. Введем
обозначение I   I 2  I 45  I 6 .
Так как сопротивления R  и R3 соединены параллельно, справедливо
соотношение:
I  R3
8


 0,25 .
I 3 R 32,2
I   0,25I 3
По первому закону Кирхгофа для узла разветвления А рассматриваемой
цепи
I  I 3  I   I 3  0,25I 3  1,25I 3 .
Из последнего уравнения определяем силу тока, протекающего через
сопротивление R3 :
I3 
I
5,43

 4,34( A) .
1,25 1,25
Сила тока, протекающего через сопротивления R2 , R45 и R6
I   I  I 3  5,43  4,34  1,09( À) .
Так как сопротивления R4 и R5 соединены параллельно, справедливо
соотношение:
I 4 R5 14


 2,33 ;
I 5 R4 6
I 4  2,33I 5 .
По первому закону Кирхгофа для узла разветвления С рассматриваемой
цепи
I 2  I 4  I 5  2,33I 5  I 5  3,33I 5 ;
I2
1,09

 0,33( À) ;
3,33 3,33
I5 
I 4  I 2  I 5  1,09  0,33  0,76( À) .
I 2  3,33  0,33  1,099( A) .
Правильность решения задачи проверяется по балансу мощностей
источника и приемника энергии: сумма мощностей, отдаваемых источниками
энергии, должна равняться сумме мощностей, потребляемых приемниками:
 ЕI   I
2
R.
(1)
Определяем мощность, отдаваемую источником энергии:
E  I  100  5,43  543В .
Определяем мощность потребителя R1 :
P1  I 2  R1  5,43 12  353,8 В .
2
Определяем мощность потребителя R2 :
P2  I 2  R2  1,099   18  164,17 Â .
2
2
Определяем мощность потребителя R3 :
P3  I 3  R3  4,34  8  46,46В .
2
2
Определяем мощность потребителя R4 :
P4  I 4  R4  0,76  6  3,46 В .
2
2
Определяем мощность потребителя R5 :
P5  I 5  R5  0,33 14  11,34В .
2
2
Определяем мощность потребителя R6 :
P6  I 6  R61  1,099  10  91,20Â .
2
2
Определяем сумму мощностей, потребляемых приемниками энергии:
I
2
 R  P1  P2  P3  P4  P5  P6  353,8  164,17  46,46  3,46  11,34  91,20  543Â
.
Проверка выполнения баланса мощностей свидетельствует о том, что
задача решена верно.
Ответ: ток в ветви, содержащей сопротивление R1 , I  5,43 А;
ток в ветви, содержащей сопротивления R2 , R45 и R6 , I   1,09 А .
ток в ветви, содержащей сопротивление R3 , I 3  4,34 А;
ток в ветви, содержащей сопротивление R4 , I 4  0,76 А;
ток в ветви, содержащей сопротивление R5 , I 5  0,33 А;
мощность, развиваемая источником энергии, составляет 543Â ;
мощности потребителей соответственно равны:
P1  353,8Â ; P2  164,17 Â; P3  46,46Â;
P4  3,46Â; P5  11,34 Â; P6  91,2 Â.
Расчет разветвленной линейной электрической цепи постоянного
тока
с несколькими источниками электрической энергии
Задача 4.
I3
В
I2
I1
R3
А
R2
R1
R4
С
I4
R6
Рис.
I6
Дано:
E1 = 80 В;
r1 = 2 Ом;
Е2 = 180 В;
r2 = 1 Ом;
R1 = 5 Ом;
R5
I5
D
R2 = 2 Ом;
R3 = 14 Ом;
R4 = 19 Ом;
R5 = 18 Ом;
R6 = 17 Ом.
__________________________
Определить токи в ветвях,
используя правила Кирхгоффа:
I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6  ?
Решение
Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле, равна нулю:
I
 0.
(1)
Это правило вытекает из уравнения непрерывности,
т.е. в конечном итоге

их закона сохранения заряда. Поток вектора j (т.е. алгебраическая сумма
токов, текущих через окружающую узел воображаемую замкнутую
поверхность) должен быть равен нулю.
Уравнение (1) можно записать для каждого из N узлов цепи,
однако независимыми являются только (N – 1) уравнений, N-е будет
следствием из них.
Узлом называется точка, в которой сходится более чем 2
проводника. Ток, текущий к узлу, будем брать со знаком «-», ток, вытекающий
из узла, - со знаком «+».
В схеме, изображенной на рисунке 1, четыре узла (А, В, С, D).
Запишем первый закон Кирхгофа для узла А:
к
I4  I3  I6  0 .
(1)
Запишем первый закон Кирхгофа для узла В :
 I1  I 3  I 2  0 .
(2)
Запишем первый закон Кирхгофа для узла С :
I 5  I1  I 4  0 .
(3)
Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в
разветвленной цепи замкнутому контуру.
Зададимся направлением обхода по часовой стрелке (как показано
на рисунке) и применим к каждому из неразветвленных участков контура
второе правило Кирхгофа:
I
к
Rк   Eк .
(2*)
Уравнение (2*) может быть составлено для всех замкнутых
контуров, которые можно выделить мысленно в данной неразветвленной цепи.
Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые
нельзя получить наложением других контуров друг на друга.
Для цепи, изображенной на рисунке, достаточно составить три уравнения:
для контура А – В – С - А; для контура В – В – С – В и для контура А – С – D А.
При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и
ЭДС нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением
обхода: например, ток I3
нужно считать отрицательным, т.к. он течет
навстречу выбранному направлению обхода;
ЭДС
также нужно
E1
приписывать знак «-», т.к. она направлена противоположно направлению
обхода.
Для контура А – B – C – A :
 I 3  R3  I1  ( R1  r1 )  I 4  R4   E1
(4)
Для контура В – В – С - В :
I1  ( R1 r1 )  I 2  ( R2  r2 )  I 5  R5  E1  E2
Для контура
отсутствуют):
А–С–D–А
(источники
I 4  R4  I 5  R5  I 6  R6  0
ЭДС
(5)
в
контуре
А–С–D-А
(6)
Подставив в уравнения 4, 5, 6 численные значения сопротивлений и
ЭДС источников тока, получим:
 14 I 3  7 I1  19I 4 80
(4*)
7 I1  3I 2  18I 5  100
(5*)
19 I 4  18I 5  17 I 6  0
Имеем систему уравнений:
(6*)
 I3  I4  I6  0
 I1  I 2  I 3  0
I1  I 4  I 5  0
7 I1  14I 3  19I 4 80
 7 I1  3I 2  18I 5  100
19 I 4  18I 5  17 I 6  0
Запишем эту систему уравнений в матричной форме: [A]*[I]=[B], где
матрица
[A] = [0 0 -1 1 0 -1; -1 -1 1 0 0 0; 1 0 0 -1 1 0; 7 0 14 19 0 0; -7 3 0 0 18 0; 0 0 0
19 18 17],
матрица [B] = [0; 0; 0; 80; 100; 0].
Записав эти матрицы в командном окне системы Mat Lab, набираем
строку:
[I] = [A-1]*[B] и получаем [I] = [-2.3504; 7.9225; 5.5721; 0.9707; 3.3211; 4.6014].
(десятичная запятая в англоязычной литературе заменяется на точку).
Это и есть токи I1, I2, I3, I4, I5, I6 .
Оказывается, направления токов I2, I3, I4, I5 мы угадали правильно, а токи
I1 и I6 текут в направлении обратном указанному на рисунке (при конкретных
вычислениях в ответе значения токов I1 и I6 получились со знаком «минус»).
Ответ: I1  2,35 А , I 2  7,92 А , I 3  5,57 А , I 4  0,97 А , I 5  3,32 А , I 6  4,60 А .
Магнитостатика


1. Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля


B  0 H ,
где  - относительная магнитная проницаемость изотропной среды (в
вакууме  = 1); 0 - магнитная постоянная (0 = 4.10-7 Гн/м).
2. Магнитная индукция в центре кругового витка с током
B
 0 I
2R
,
где R - радиус кругового витка, I - сила тока.
Магнитная индукция поля длинного прямого проводника с током
B
 0 I
,
2r0
где r0 - расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется
магнитная индукция.
3. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током,
(рис.)
B
 0 I
cos 1  cos  2 .
4r0


Рис.4
Рис.4
Рис.

Обозначения ясны из рисунка.
 Направление вектора B обозначено
точкой - это значит, что вектор B направлен перпендикулярно плоскости
рисунка "к нам".
При симметричном расположении концов провода относительно точки, в
которой определяется индукция:
cos 1   cos  2  cos  .
Тогда
B
 0  I
 cos  .
2r0
4. Магнитная индукция поля внутри длинного соленоида с током:
а) в центре соленоида
B   0 In ,
б) на краю соленоида
B
 0 In
2
,
где число витков n , приходящееся на единицу длины (N - число витков
соленоида, l - длина соленоида)
n
N
l
4. Магнитная индукция поля внутри длинного соленоида с током:
а) в центре соленоида
B  0    I  n .
б) на краю соленоида
B  0    I  n / 2 ,
где число витков n , приходящееся на единицу длины (N - число витков
соленоида, l - длина соленоида)
n
N
.
l
5. Закон Ампера:

 

dF  I dl , B

или dF  IdlB sin  ,
где  - угол между направлением тока в элементе проводника и вектором

магнитной индукции B .
В случае однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника
длиной l модуль силы Ампера
F  IBl sin  .
6. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из
двух длинных прямолинейных параллельных проводов с токами I1 и I2,
F
 0 I 1 I 2
,
2d
где d - расстояние между проводами.
7. Магнитный момент плоского контура с током


pm  ISn ,

где n - единичный вектор нормали к плоскости контура; I - сила тока,
протекающего по контуру; S - площадь контура.
8. Вращающий момент, действующий на контур с током в однородном
магнитном поле,



Ì  pm  B или Ì  p m B sin  ,




где  - угол между векторами p m и B .
9. Сила (сила Лоренца), действующая на движущийся заряд в магнитном
поле,



 
F  q V  B или F  q VB sin  ,

где  V - скорость заряженной частицы;  - угол между векторами

скорости V и индукции магнитного поля B .
10.Магнитный поток
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
 
   BdS   Bn dS ,
(S)
(S)
где


dS  dS  n ,

нормали к элементу поверхности dS ;
n - единичный вектор


проекция вектора B на направление нормали n :
Bn  B cos  ,

 - угол между вектором B и нормалью n .
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное магнитное
поле,
 = Bn S  BS cos  .
11. Потокосцепление катушки индуктивности (полный магнитный
поток)
  N ,
где N - число витков катушки, Ф - магнитный поток через один виток.
Формула верна для соленоида и тороида, когда N витков плотно
прилегают друг к другу.
12. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном
поле
A  I  Ô  I Ô 2  Ô1  ,
где Ф1 и Ф2 - магнитные потоки через контур в начальном и конечном
положениях.
Примеры решения задач по теме «Магнитостатика»
Задача 1. По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в
одинаковом направлении токи силой 15 и 10 A. Расстояние между проводами
10 см. Определить магнитную индукцию в точке А (рис.), удаленной от первого
провода на расстояние r1 =10 см и от второго провода на расстояние r2 =15 см.
Дано:
I1 = 15 A;
I2 = 10 A ;
 =1;
d = 10 см = 0,1 м;
r1 = 10 см = 0,1 м;
r2 = 15 см = 0,1 м.

В-?

Рис.
Решение.
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция


B в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей B1 и B2 ,
созданных каждым током в отдельности:
  
B = B1  B2 ,
(1)
где
B1 
   0  I1
2    r1
и B2 
  0  I 2
.
2    r2
На рисунке проводники с токами I1 и I2 перпендикулярны
плоскости


чертежа (токи направлены от наблюдателя). Векторы B1 и B2 изображены на
рисунке так, что их направление связано с направлением
соответствующих

токов правилом правого винта. Векторы B1 и B2 в точке А направлены по
касательной к силовым линиям.

Модуль вектора B на основании теоремы косинусов равен
1
2
B  ( B  B  2 B1 B2 cos  ) ,
2
1
2
2
(2 )


где  - угол между векторами B1 и B2 . Из рисунка видно, что углы  и
 равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из
треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов находим cos  .
r12  r22  d 2
cos  
,
2r1 r2
Вычисление:
102  152  102
cos  cos  
 0,75.
2 10 15
Подставляя выражения для B1 и B2 в формулу (2), получаем:
 0
I 12 I 12 2 I 1 I 2
B
 2  2 
cos  .
2
r1 r2
r1
r1
Проверка размерности расчетной формулы:
B  Ãí
ì
A2
Ãí  A Âá  A


 Òë
2
ì
ì 2
A ì 2
Произведем вычисления:
15 2
10 2
1  4  3,14  10 7
2  10  15  0,75
B


 1
 4,1  10 5 (Òë).
1 2
1 2
1
2  3,14
(10 )
(1,5  10 )
10  1,5  10
5
Ответ: магнитная индукция в указанной точке равна 4,1  10 Òë.
Задача 2. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со
сторонами 8 см и 12 см, течет ток силой 5 А. Определить магнитную индукцию
в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
Дано:
a  8ñì  8  10 2 ì ;
b  12ñì  12  10  2 ì ;
I  5 A;
  1.
__________________
B?


Рис.
Решение.
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей
 



B  B1  B2  B3  B4 ,
где B1, B2, B3, B4 – магнитные индукции полей, создаваемых токами,
протекающими по каждой стороне прямоугольника (рис.).

В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции Bi направлены
перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме того, из соображений
симметрии следует, что B1=B3 и B2=B4 . Поэтому векторное равенство (1)
заменим скалярным:
B  2B1  2B2 ,
где B1 и B2 – индукции магнитных полей, создаваемых соответственно
токами, текущими по проводникам со сторонами длиной b и а.
Используя формулу для магнитной индукции поля, создаваемого
отрезком прямого проводника с током,
B
μμ
0 I
cos α,
2 r0
получим:
B1 
μμ
I
0
cos α
1;
2 a/ 2
B2 
μμ
I
0
cos α2
2 b/ 2
(3)
Из приведенного рисунка следует:
cos α
1 
b
a b
2
2
;
cos α2 
a
a  b2
2
(4)
Подставив формулы (3) и (4) в равенство (2), после алгебраических
преобразований получим:
B
2
2
 b a  2 μμ
0I a  b
 
.

ab
 a2  b2  a b 
2 μμ
0I
Проверим, дает ли расчетная формула единицу магнитной индукции. Для
этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их
единицы измерений:

μ0  a 2 I  1Ãí/ì  1ì  1À 1Ãí  1À 1Âá 1Òë 1ì
Â 


 2 
1ì 2
ab
1ì  1ì
1ì 2
1ì
2
 1Òë
Вычисление:
2  1  4  3,14  10 7  5 8  10 2   1,2  10 1 
B
 6  10 5 (Тл).
2
1
3,14  8  10  1,2  10
2
2
Ответ: Индукция магнитного поля в указанной точке равна 6  10 5 Тл.
Задача 3. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 200 В,
попал в однородное магнитное поле с индукцией 5 мТл. Вектор скорости
направлен под углом 600 к линиям индукции (рис.). Определить радиус и шаг
винтовой линии, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле.
Дано:
U = 200 B;
B = 5мТл = 5 . 10-3Тл;
 = 600

m = 9,1.10-31кг;
е = -1,6.10-19Кл.
_________________
R = ?, h = ?
Рис.
Решение.
На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца


 
F  e   B или F  e   B sin 
Кинетическую энергию
W
m 2
2
электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля
A  eU ,
поэтому имеем:
(1)
m 2
 e U .
2
Следовательно,

2eU
m
(2)
Разложим вектор скорости  на две оставляющие 1 и  2 (рис.).
Вектор 1 направлен по линиям индукции;  2 - перпендикулярно им.
Тогда





  
 
F  e 1   2 , B  e  2 , B .
Или, так как

 
F  e 2 B.
 , B   0 ,
1
(3)
Составляющая скорости 1 не изменяется ни по модулю, ни по
направлению. Составляющая скорости  2 изменяется по направлению, так как

сила F , расположенная в плоскости, перпендикулярной линиям индукции,
сообщает электрону нормальное ускорение
a
2
R
.
Следовательно, электрон участвует в двух движениях: равномерном
движении вдоль оси ОХ со скоростью
1    cos 
и равномерном движении по окружности в плоскости ZOY со скоростью
 2    sin  .
Следовательно, электрон будет двигаться по винтовой линии.
Так как сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение a n ,
то по второму закону Ньютона имеем:
F  man или e 2 B 
2
mυ
2
.
R
Отсюда радиус винтовой линии
R
mυ
m    sin 
2
.

eB
e B
(4)
Учитывая формулу (2), получаем
R
m sin  2eU sin 


eB
m
B
2Um
.
e
Проверка размерности расчетной формулы:
R 
1
  êã 1



Òë
Êë
Òë
Äæ  êã 1
Í  ì  êã  À 2  ì


Òë
Êë 2
Í 2  Êë 2
2

ì  êã  À 2  ì 2  ñ2
ì
êã  ì  Êë 2
Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси ОХ за время Т одного
оборота):
h  1  T    cos   T ,
где Т - период вращения электрона.
T
2R

.
Учитывая формулу (4), получаем
T
2  m
.
eB
Следовательно, шаг винтовой линии равен
h
υ cos α 2  m
eB
.
Подставив в выражение (5) формулу для скорости (2), получим
h
2 cos 
B
2mU
.
e
Проверка размерности расчетной формулы:
(5)
h 

êã  B
Òë Êë
êã  Â  À 2  ì
Í 2  Êë

Í  ì  ñ2

êã
2

êã  Â  À 2  ì 2  ñ 4

êã 2  ì 2  Êë
  Êë 2  ñ 4

êã  ñ 2  Êë
Äæ  ñ 2

êã
êã  ì 2  ñ 2
ì
ñ 2  êã
Произведем вычисления:
R
h
0,5
5  10
2  9 ,1  10  31  200
3
1,6  10
19
 4.77  10  3 (м);
2  3,14  0,865 2  9,1  1031  200
5  10
3
1,6  10
19
 5,2  10 2 (м).
Ответ: радиус траектории движения электрона равен 4.77  10 3 м, шаг
винтовой линии равен 5,2 102 м.
Задача 4. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R  10 см
находится в однородном магнитном поле с индукцией В  50 мТл . По проводу
течет ток силой I  10 А . Найти силу, действующую на провод, если
плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а проводящие
провода находятся вне поля.
Дано:
R  10см  0 ,1м ;
I  10 А ;
В  50 мТл  50  10  3 Тл .
F ?
Рис.
Решение.

Выделим на полукольце элемент проводника dl с током I . Сила Ампера,
действующая на элемент проводника равна:
dF  IBdl sin  ,
 
где   90 o - угол между векторами dl и B .
Тогда сила F , действующая на провод (направление силы Ампера
определяем по правилу левой руки) :
R
R
0
0
F   IBdl  IB  dl  RIB .
Проверка размерности расчетной формулы:
F   ì
 À Í
Í .
À ì
Произведем вычисления:
F  3,14  0,1  10  50  10 3  0,157( Í ) .
Ответ: сила, действующая на провод, равна 0,157Н.
Задача 5. Квадратная проволочная рамка со стороной a  10см
расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее
стороны параллельны проводу. По рамке и по проводу текут токи силой
I  10А. . Определить силы, действующие на стороны рамки, если ближайшая к
проводу сторона рамки находится на расстоянии равном ее длине.
Дано:
a  10см  0,1м ;
I  10А. .
___________________
F1,
F2 , F3 , F4  ?
Y
I





F1

1





 dF 

2





F
 3 2

4




B

Рис.
Решение.
Индукция магнитного поля прямого проводника
B
0 I
,
2r
(1)
где r – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки. Cила, с
которой действует это поле на каждую из сторон рамки, может быть найдена
суммированием элементарных сил Ампера:
 

dF  idl  B .
(2)

Вектор индукции магнитного поля B во всех точках рамки направлен
перпендикулярно плоскости рамки. В пределах одной стороны рамки все
элементарные силы параллельны друг другу и их результирующая сила
Fi   dF   i  B  dl ,
li
li
где l i - длина соответствующей стороны рамки.
Стороны 1 и 3 рамки параллельны прямому току и находятся от
него на расстояниях соответственно r  a и r  2a , где a - длина стороны рамки;
по условию задачи i  I .
i  a  0  I 0  I 2
F1 

;
2   a
2
i  a  0  I 0  I 2
.
F3 

2   2  a
4

(3)
(4)

Силы F1 и F3 направлены в противоположные стороны.
Силы, действующие на стороны 2 и 4 рамки, равны по модулю и
противоположны по направлению. Вдоль каждой из этих сторон индукция
непрерывно меняется. Возьмем для расчета ось ОХ. Учитывая, что справа от
проводника в плоскости рисунка r  x , dl  dx , получаем:
F2  
l2
 0 Ii
 I2
dx  0
2x
2

2a
a
dx  0 I 2 2a  0 I 2

ln

ln 2 ;
x
2
a
2
(5)
(по условию задачи i  I )
0 I 2
F4 
ln 2
2
Проверка размерности расчетной формулы:
F   Гн  А
2
м

В  с  А 2 Кл  В  с Дж


Н
А м
с м
м
Произведем вычисления:
F1 
4  10 7  100
 2  10 5 ( Н ).
2
(6)
F2  10 5 ( Н ) .
F3  F4 
4  10 7  100
ln 2  200  ln 2  1,39  10 5 ( Н ) .
2
Ответ: силы, действующие на каждую из сторон рамки соответственно
равны: F1  2  10 5 Í ; F2  10 5 Í ; F3  F4  1,39  10 5 Í .
Электромагнитная индукция
1. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):
мгновенное значение ЭДС индукции
i  
среднее значение ЭДС индукции
d ;
dt

i
 .
t

2. Разность потенциалов на концах прямого проводника, движущегося со
скоростью  в однородном магнитном поле
U  1   2  Bl sin ,

где l - длина проводника,  - угол между векторами  и
3. Индуктивность контура
L

I

B .
.
4. Мгновенное значение ЭДС самоиндукции

 L
s
dI
;
dt
Среднее значение ЭДС самоиндукции

s
L
I
.
t
5. Индуктивность соленоида
L   0 n 2V ,
где число витков n , приходящееся на единицу длины соленоида,
n
N
;
V
N - число витков соленоида; V - объем соленоида.
6. Энергия магнитного поля контура с током
W 
LI 2
.
2
7. Объемная плотность энергии магнитного поля
BH 0 H 2
B2
w


.
2
2
20
Для однородного поля:
w
W
.
V
Общие методические рекомендации к решению задач по теме
"Электромагнитная индукция"
При решении задач на закон электромагнитной индукции желательно
пользоваться следующими рекомендациями:
1) Из анализа условия задачи следует установить причины изменения
потока магнитной индукции, связанного с рассматриваемым контуром и
определить, какие из величин В, S или угол , входящие в выражение для потока
электромагнитной индукции, изменяются со временем
Ô  BS cos ,
где Ô - изменение потока электромагнитной индукции;
B - величина магнитной индукции;
S - величина площади замкнутого контура;
 - угол между векторами нормали к плоскости контура и вектором
магнитной индукции.
В случае изменения площади контура, описанного в пространстве
движущимся проводником
Ô  BS cos .
В случае изменения ориентация контура в магнитном поле
Ô  BS(cos  )  BS (cos  2  cos 1 ) .
2)
Если в задаче рассматривается поступательное движение прямого
проводника, то за время t проводник описывает поверхность
S  l  x ,
где l – длина проводника; x - величина перемещения проводника. Это
приводит к возникновению разности потенциалов на концах проводника:
U  B  l  V  sin  ,

где  - угол между направлениями векторов скорости v и магнитной
индукции B ; скорость проводника
V 
x
.
t
3)
Явление электромагнитной индукции связано с тем, что при
движении проводников в магнитных полях на электроны проводимости
действует сила Лоренца, которая вызывает смещение электронов.
Направление индукционного тока в замкнутом контуре определяется
правилом Ленца: индукционный ток имеет всегда такое направление, при
котором магнитный поток поля, созданного этим индукционным током сквозь
поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля,
которые вызывают появление индукционного тока.
Примеры решения задача по теме
«Электромагнитная индукция»
Задача 1. Контур в виде квадрата со стороной 10 см находится в
однородном магнитном поле с индукцией 0,5 мТл, причем его плоскость
составляет угол 300 c силовыми линиями поля. Какой заряд протечет по контуру
при выключении магнитного поля? Сопротивление контура 1 мОм.
Дано:
a  10ñì  10 1 ì ;

B  0,5 ìÒë  0,5  10 3 Òë;
  30  ;

R  1ìÎì  1  10 3 Îì .
_____________________
q?
Рис.
Решение.
При выключении магнитного поля магнитный поток Ф, пронизывающий
контур, меняется. В контуре возникает ЭДС индукции, мгновенное значение
которой по закону электромагнитной индукции Фарадея равно:

i

dФ
.
dt
Мгновенное значение силы индукционного тока определяется по закону
Ома равно:
I

i
R

1 dФ
.
R dt
За время dt по контуру протечет заряд
dq  Idt  
1
dФ.
R
Проинтегрировав это выражение, найдем полный заряд
1 Ф2
1
q    dФ  Ф1  Ф2  .
R Ф1
R
Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток равен:
Ô1  B  S  cos  ,
где  - угол между вектором В и нормалью к плоскости контура (рис.),
площадь контура
S  a2 .
Очевидно, что
= 900 - .
Следовательно,
cos   sin  .
Конечный магнитный поток Ф2 = 0.
Таким образом,
q
BS sin  Ba 2 sin 

.
R
R
Проверим, дает ли расчетная формула единицу заряда. Для этого в
правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы
измерений:
[q] 
[ B][ a]2 Òë  ì

[ R]
Îì
2

Í  ì 2  B Äæ

 Êë.
À ì  À
Â
Произведя вычисления, получим:
5 10 4  0,12 3
q
 4,3 10 3 (Кл).
3
2 110
Ответ: при выключении магнитного поля по контуру протечет заряд,
равный 4,3 103 Кл.
Задача 2. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит
1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 4 А
магнитный поток равен 4 мкВб. Определить индуктивность соленоида и
энергию его магнитного поля.
Дано:
N = 1200;
I = 4 А;
Ф = 4 мкВб = 4.10-6 Вб.
L-?W-?
Решение.
Индуктивность L связана с потокосцеплением  и силой тока I
соотношением
  LI
(1)
В свою очередь, потокосцепление, в случае, когда витки плотно
прилегают друг к другу, можно найти через поток Ф и число витков N :
  N Ô .
(2)
Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида
L
NФ
.
I
Энергия магнитного поля соленоида
W 
1 2
LI .
2
Выразив L согласно (3), получим
W
1
NÔ I .
2
Проверим размерность расчетной формулы:
W   Ô  I   Âá  À  Òë ì
2
À
Í ì 2 À
 Í  ì  Äæ .
À ì
Подставим в формулы значения физических величин и произведем
вычисления:
1,2  10 3  4  10 6
L
 1,2  10 3 ( Ãí )  1,2 ìÃí
4
(3)
1
W  1,2 10 3  4 10 6  4  9,6 10 3 ( Äæ )  9,6 ìÄæ
2
Ответ: индуктивность соленоида равна 1,2 мГн; энергия магнитного поля
соленоида равна 9,6 мДж.
Задания к контрольной работе № 2
«Электричество и магнетизм»
201. Три одинаковых точечных заряда 50 нКл находятся в вершинах
равностороннего треугольника со стороной 6 см. Найти силу, действующую на
один из зарядов со стороны двух остальных.
202. На продолжении оси тонкого прямого стержня, равномерно
заряженного с линейной плотностью заряда 400 нКл/см, на расстоянии 30 см
от конца стержня находится точечный заряд 20 мкКл. Второй конец стержня
уходит в бесконечность. Определить силу взаимодействия стержня и точечного
заряда.
203. Четыре одинаковых точечных заряда 20 нКл закреплены в вершинах
квадрата со стороной 10 см. Найти силу, действующую на один из этих зарядов
со стороны трех остальных.
204. На продолжении оси тонкого прямого равномерно заряженного
стержня длиной 20 см на расстоянии 10 см от его ближайшего конца находится
точечный заряд 10 нКл. Определить линейную плотность заряда на стержне,
если сила взаимодействия стержня и точечного заряда 6 мкН.
205.Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной
вертикальной плоскости 200 мкКл/м2. К плоскости на нити подвешен
заряженный шарик массой 15 г. Определить заряд шарика, если нить образует с
плоскостью угол 300.
206. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии 10
cм друг от друга. На нитях равномерно распределены заряды с линейными
плотностями 0,4 и –0,3 нКл/см. Определить напряженность электрического
поля в точке, удаленной от первой нити на расстояние 6 см и от второй - на
расстояние 8 см.
207. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см
находятся одинаковые точечные заряды величиной 5 нКл. Найти
напряженность и потенциал электростатического поля в центре
шестиугольника.
208. Определить напряженность и потенциал электростатического поля,
создаваемого зарядом –3 нКл, равномерно распределенным по тонкому
прямому стержню длиной 10 см, в точке лежащей на продолжении оси стержня
на расстоянии 10 см от его конца.
209. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 5
и 10 см несут соответственно заряды 3 и –1нКл. Найти напряженность и
потенциал электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на
расстояниях 3, 6 и 12 см. Построить график зависимости напряженности и
потенциала от расстояния.
210. Два точечных заряда величиной 1 и –1 нКл находятся на расстоянии
2 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал
электростатического поля в точке, удаленной от первого и второго заряда на
расстояние 3 см.
211. Электростатическое поле создается двумя бесконечными
параллельными плоскостями, равномерно заряженными с поверхностными
плотностями заряда 0,3 и 0,7 мкКл/м2 . Определить напряженность поля между
пластинами и вне пластин. Найти разность потенциалов между пластинами,
если расстояние между ними 4 см. Построить график изменения
напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.
212. Решить предыдущую задачу при условии, что заряд второй пластины
отрицательный.
213. На расстоянии 2 см от бесконечно длинной равномерно заряженной
нити находится точечный заряд 0,4 нКл. Под действием сил поля заряд
переместился до расстояния 4 см; при этом совершается работа 0,5 мкДж.
Найти линейную плотность заряда нити.
214. Определить работу сил электростатического поля при перемещении
точечного заряда -20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на
расстоянии 4 см от поверхности сферы радиусом 1 см, равномерно заряженной
с поверхностной плотностью заряда 3 нКл/см2.
215. Под действием сил электростатического поля точечный заряд
переместился из точки, находящейся на расстоянии 8 см от бесконечно
длинной равномерно заряженной нити в точку, находящуюся на расстоянии 2
см; при этом совершается работа 52 мкДж. Найти величину заряда, если
линейная плотность заряда нити 50 нКл/см.
216. Протон влетел в однородное электрическое поле с напряженностью
300 В/см в направлении силовых линий со скоростью 100 км/с. Какой путь
должен пройти протон, чтобы его скорость удвоилась?
217. В центре сферы радиусом 30 см
находится точечный заряд 10
нКл. Определить поток напряженности через часть сферической поверхности
площадью 20 см2.
218. Прямоугольная плоская площадка со сторонами 3 и 2 см находится
на расстоянии 1 м от точечного заряда 2 мкКл. Площадка ориентирована так,
что линии напряженности составляют угол 300 с ее поверхностью. Найти поток
напряженности через эту площадку.
219. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной
плоскости с поверхностной плотностью заряда 0,5 нКл /см2 расположена
круглая пластинка так, что её плоскость составляет угол 30 0 с силовыми
линиями электрического поля. Определить поток напряженности и
электрического смещения (индукции) через пластинку, если её радиус 10 см.
220. Бесконечная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной
плотностью заряда 5 нКл/см2, пересекает сферу по диаметру. Найти поток
электрического смещения через сферическую поверхность, если диаметр сферы
4 см.
221. Конденсатор электроёмкостью 0.5 мкФ был заряжен до напряжения
350 В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором,
заряженным до напряжения 500 В, напряжение на нем изменилось до 400 В.
Вычислить электроемкость второго конденсатора.
222. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы
радиусом 1 см и цилиндрической оболочки радиусом 1,5 см, между которыми
находится изоляция. Вывести формулу для емкости такого кабеля и вычислить
электроемкость кабеля длиной 10 м, если изоляционным материалом служит
резина.
223. Сферический конденсатор состоит из двух тонких концентрических
сферических оболочек радиусом 1,5 и 3 см. В пространстве между оболочками
находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 3,2. Вывести
формулу для электроёмкости такого конденсатора и вычислить его
электроемкость.
224. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского
слюдяного конденсатора, заряженного до разности потенциалов 100 В, если
расстояние между его пластинами 0,3 мм.
225. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2
заряжен до разности потенциалов 300 В. Определить поверхностную плотность
заряда на пластинах, электроёмкость и энергию поля конденсатора, если
напряженность поля в зазоре между пластинами
60 кВ/м.
226. Плоский слюдяной конденсатор, заряженный до разности
потенциалов 600 В, обладает энергией 40 мкДж. Площадь пластин составляет
100 см2. Определить расстояние между пластинами, напряженность и
объёмную плотность энергии электрического поля конденсатора.
227. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов 300 В.
Расстояние между пластинами 5 мм, диэлектрик – стекло. Определить
напряженность поля в стекле, поверхностную плотность заряда на пластинах и
поверхностную плотность связанных поляризационных зарядов на стекле.
228. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
трансформаторным маслом. Расстояние между пластинами 3 мм. Какое
напряжение надо подать на пластины этого конденсатора, чтобы поверхностная
плотность связанных поляризационных зарядов на масле была 0,62 нКл/см2?
229. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
двумя слоями диэлектрика: слоем слюды толщиной 0,2 мм и слоем
парафинированной бумаги толщиной 0,1 мм. Определить напряженность поля
и падение потенциала в каждом из слоев, если разность потенциалов между
обкладками конденсатора 220 В.
230. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого
400 см2,
заполнен двумя слоями диэлектрика: слоем парафинированной бумаги
толщиной 0,2 см и слоем стекла толщиной 0,3 см. Определить разность
потенциалов для каждого слоя и электроёмкость конденсатора, если разность
потенциалов между его обкладками 600 В.
231. При каком внешнем сопротивлении потребляемая мощность будет
максимальна, если два одинаковых источника с ЭДС 6 В и внутренним
сопротивлением 1 Ом каждый соединены последовательно? Чему равна эта
мощность?
232. Решить предыдущую задачу для случая, когда источники тока
соединены параллельно?
233. ЭДС аккумулятора автомобиля 12 В. При силе тока 3 А его КПД 0,8.
Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.
234. Два одинаковых источника тока соединены в одном случае
последовательно, в другом – параллельно и замкнуты на внешнее
сопротивление 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении источника тока
сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинакова?
235. В проводнике за время 10 с при равномерном возрастании силы тока
от 0 до 2 А выделилось количество теплоты 6 кДж. Найти сопротивление
проводника.
236. При замыкании аккумуляторной батареи на резистор сопротивлением
9 Ом в цепи идет ток силой 1 А. Сила тока короткого замыкания равна 10 А.
Какую наибольшую полезную мощность может дать батарея?
237. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от нуля до
некоторого максимального значения за 20 с. За это время в проводнике
выделилось количество теплоты 4 кДж. Определить скорость нарастания тока
в проводнике, если его сопротивление 6 Ом.
238. По алюминиевому проводу сечением 0,2 мм2 течет ток силой 0,3 А.
Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со
стороны электрического поля.
239. В медном проводнике площадью поперечного сечения 4 мм2
и
длиной 6 м ежеминутно выделяется количество теплоты 18 Дж. Вычислить
напряженность электрического поля, плотность и силу электрического тока в
проводнике.
240. Сила тока в проводнике сопротивлением 8 Ом за время 10 секунд
равномерно возрастает от нуля до 12 А. Определить количество теплоты,
выделившейся за это время в проводнике.
241. По двум одинаковым круговым виткам радиусом 6 см, плоскости
которых взаимно перпендикулярны, а центры совпадают, текут одинаковые
токи силой 3 А. Найти напряженность и индукцию магнитного поля в центре
витков.
242. По двум бесконечно длинным параллельным проводам, находящимся
на расстоянии 10 см друг от друга в воздухе текут в одном направлении токи
силой 20 и 30 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на
прямой, соединяющей оба провода, и находящейся на расстоянии 2 см от
первого провода.
243. По двум длинным параллельным проводам, находящимся на
расстоянии 4 см в воздухе, текут в одном направлении одинаковые токи силой
5 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке,
удаленной от каждого провода на расстояние 4 см.
244. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в центре
проволочной квадратной рамки со стороной 8 см, если по рамке проходит ток
силой 3 А.
245. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов,
влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны
траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона?
246. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл влетает
перпендикулярно силовым линиям  - частица с кинетической энергией 400 эВ.
Найти силу, действующую на  - частицу, радиус окружности, по которой
движется  - частица, и период обращения  - частицы.
247. Электрон, ускоренный электрическим полем с разностью потенциалов
300 В, влетает перпендикулярно силовым линия в однородное магнитное поле и
движется по окружности радиусом 10 см. Определить индукцию магнитного
поля и период обращения электрона по окружности.
248. В однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл находится
прямоугольная рамка длиной 6 см и шириной 2 см, содержащая 100 витков
проволоки. Сила тока в рамке 1 А, а плоскость рамки параллельна линиям
магнитной индукции. Определить магнитный момент рамки и механический
вращающий момент, действующий на рамку.
249. Каким образом надо расположить прямой алюминиевый проводник в
однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 50 мТл и какой силы
ток надо пропустить по нему, чтобы он находился в равновесии. Радиус
проводника 1 мм и плотность алюминия 2,7  103 кг/м3 ?
250. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов,
влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны
траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона?
251. Индукция магнитного поля между полюсами двухполюсного
генератора 0.8 Тл. Ротор имеет 100 витков площадью 400 см2. Определить
частоту вращения ротора, если максимальное значение ЭДС индукции 200 B
?
252. В однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл равномерно с
частотой 5 оборотов в секунду вращается стержень длиной 40 см так, что
плоскость его вращения перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а
ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую
на концах стержня разность потенциалов.
253. Какой силы ток течет через гальванометр, присоединенный к
железнодорожным рельсам, расстояние между которыми 152 см, когда к нему
со скоростью 72 км/ч приближается поезд? Вертикальную составляющую
индукции магнитного поля Земли принять равной 50 мкТл; сопротивление
гальванометра 50 Ом.
254. Катушка из 100 витков площадью 15 см2 вращается в однородном
магнитном поле с частотой 5 оборотов в секунду. Ось вращения
перпендикулярна оси катушки и силовым линиям поля. Определить индукцию
магнитного поля, если максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в
катушке, равно 0,25 В.
255. В проволочное кольцо, присоединенное к
баллистическому
гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд 50
мкКл. Определить изменение магнитного потока через кольцо, если
сопротивление цепи гальванометра 10 Ом.
256. Тонкий провод сопротивлением 0,2 Ом согнут в виде квадрата со
стороной 10 см и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное
магнитное поле с индукцией 4 мТл так, что его плоскость перпендикулярна
силовым линиям поля. Определить заряд, который протечет по проводнику,
если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.
257. Рамка из провода сопротивлением 0,06 Ом равномерно вращается в
однородном
магнитном поле с индукцией 4 мТл. Ось вращения лежит в
плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки 100
см2. Определить заряд, который потечет по рамке при изменении угла между
нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 450 ; 2) от 450 до 90 0 .
258. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 5 А за 10 с, при
этом в соленоиде возникает магнитное поле с энергией 100 мДж. Определить
среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую в соленоиде.
259. Соленоид длиной 30 см и площадью поперечного сечения 10 см2 с
сердечником из немагнитного материала (=1) содержит 600 витков.
Определить индуктивность соленоида и среднее значение ЭДС самоиндукции,
возникающей при выключении тока в соленоиде, если сила тока уменьшается
от 0,8 А до 0 за время 150 мкс.
260. Соленоид сечением 20 см2 и длиной 40 см с сердечником из
немагнитного материала (=1) содержит 800 витков. Найти индуктивность
соленоида, полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом, и энергию
магнитного поля, если по виткам течет ток силой 2 А.
ПРИЛОЖЕНИE A
Основные физические постоянные
Физическая постоянная
Ускорение свободного
падения
Гравитационная постоянная
Постоянная Авогадро
Молярная газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Постоянная Фарадея
Элементарный заряд
Масса электрона
Скорость света в вакууме
Постоянная СтефанаБольцмана
Постоянная закона смещения
Вина
Постоянная Планка
Постоянная Ридберга
Боровский радиус
Комптоновская длина волны
электрона
Магнетон Бора
Энергия ионизации атома
водорода
Атомная единица массы
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Обозначение
Значение
2
g
9,8 ì / ñ

G
6,67  10 11 ì
NA
6,02  10 23 ìîëü 1
8,31 Äæ /Ê  ìîëü
2
/ êã  ñ2
R
k
1,38  10
F
9,65  10 Êë / ìîëü
e
me
1,6  10 19 Êë
c

3  10 8 ì / ñ
5,67  10 8 Âò / ì
b
2,9  10 2 ì  Ê
h
h
6,63  10 34 Äæ  ñ
R
R
23


Äæ / Ê
7
9,11  10 31 êã

2
Ê4
1,05  10 34 Äæ  ñ
2,07  10 18 ñ1
1,10  10 7 ì
1
a
c
5,29  10 11 ì
Á
9,27  10 24 Äæ / Òë
Ei
2,18  10 18 Äæ
1à.å.ì .
0
1,66  10 27 êã
0
4  10 7 Ãí / ì
2,43  10 12 ì
8,85  10 12 Ô / ì

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Некоторые астрономические величины
Наименование
Радиус Земли
Масса Земли
Радиус Луны
Масса Луны
Расстояние от центра Земли
до центра Луны
Расстояние от центра Земли
до центра Венеры
Значение
6,37· 106 м
5,98.1024 кг
1,74.106 м
7,33∙1022 кг
3,84∙108 м
6,0∙1010 м
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Некоторые соотношения
между единицами измерения физических величин
Физическая величина
Масса
Время
Работа, энергия, теплота
Соотношение между единицами измерения
1 тонна = 10 3 êã
1 сутки = 8,64  10 4 ñ
1 год = 3,16  10 7 ñ
1 кал = 4,19 Äæ
1êÂò  ÷àñ  3,6  10 5 Äæ
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Множители и приставки для образования десятичных кратных и
дольных единиц и их наименования
Приставка
Приставка
Наименован Обозначен Множите Наименован Обозначен Множител
ие
ие
ль
ие
ие
ь
18
экса
Э
10
деци
д
10-1
пэта
П
1015
санти
с
10-2
тера
Т
1012
милли
м
10-3
гига
Г
109
микро
мк
10-6
мега
М
106
нано
н
10-9
кило
к
103
пико
п
10-12
гекто
г
102
фемто
ф
10-15
дека
да
101
атто
а
10-18
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Греческий алфавит
Обозначения
букв
,
,
,
 ,
,
,
,
,
,
,
,
,
Названия
букв
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тета
йота
каппа
лямбда
ми (мю)
Обозначения
букв
,
,
,
,
,
,
T,
Y ,
,
,
,
,
Названия
букв
ню (ни)
кси
омикрон
пи
Ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега