7.3 Средний размер незатененных участков поверхностей зданий. 

7.3 Средний размер незатененных участков поверхностей зданий.

Предположим, что точка r2 принадлежит отражающей поверхности здания,
которую будем рассматривать как плоский вертикально установленный на поверхности

земли экран конечных размеров. Пусть между точками r1 ( x1 , y1 , z1 ) и r2 ( x2 , y2 , z2 ) есть
прямая видимость. Очевидно, что при этом также будет прямая видимость на все точки

отражающей поверхности, расположенные над точкой r2 (т. е. на точки ( x2 , y 2 , z ) ) при

условии, что z>z2 . Если из точки r1 будет виден горизонтальный отрезок длиной l, то
будет просматриваться и вертикальная полоса шириной l над этим отрезком (рис. 7.5).
рис.7.5

Подсчитаем вероятность того, что из точки A(r1 ) будет виден горизонтальный

отрезок длиной l, содержащий точку B( r2 ) . Для расчета воспользуемся уже описанным
модельным представлением о множестве случайно размещенных на поверхности земли
вертикальных плоских экранов, создающих затенения (см. рис. 7.5). Пусть отражающий
экран. на котором выбрана точка B, расположен под углом  к отрезку AB (см. рис. 7.6).
рис. 7.6
Выделим подмножество затеняющих экранов длиной L, ориентированных под углом  к
AB. Когда все экраны одинаковой высоты, или точки A и B выбраны на небольшой высоте
у поверхности земли, отрезок cd длиной l не будет даже частично затеняться, если в
изображенную на рис. 7.6 фигуру не попадет своей средней точкой ни одна проекция
затеняющего экрана. Фигура состоит из двух параллелограммов и треугольника. При
l  r12 площадь этой фигуры приближенно равна
r l
L sin  r12  12 sin  .
2
При пуассоновском распределении вероятность незатенения всего отрезка cd
определяется средним числом пересечений случайно расположенных экранов с границами
треугольника Acd. Для подсчета среднего числа пересечений с одинаково
ориентированными экранами достаточно умножить указанную площадь на
поверхностную плотность центров экранов  . Далее нужно выполнить усреднение, как в
7.2, по длинам экранов и по  в интервале от 0 до 2 . В итоге среднее число пересечений
границ треугольника с любыми экранами окажется равным
2 L
r l
r12   12 sin  .

2
Окончательно вероятность увидеть весь отрезок cd из точки A имеет вид
r l
Pcd  exp(   0 r12 ) exp(   12 sin  ) .
(7.9)
2
Первый множитель в (7.9) представляет собой вероятность незатенения точки B
относительно A и аналогичен (7.6). Поэтому вероятность того, что случайная длина
незатененного отрезка cd попадает в интервал [l,l+dl] при условии, что точка B не
r l
затенена, равна c1 exp(  12 sin  )dl . С учетом нормировки получаем аналогично (7.3)
2
выражение для условной плотности вероятности случайной длины l незатененного
отрезка, удаленного от точки A на расстояние r12 и ориентированного под углом  к AB
r
 r

w(l )  12 sin  exp   12 l sin   .
(7.10)
2
 2

Отсюда нетрудно получить значение среднего горизонтального размера незатененных
участков поверхностей зданий
1
l  2r12 sin   .
(7.11)
Выведенные соотношения нетрудно обобщить на случай, когда точка A поднята выше
крыш домов высоты h. При этом в соответствии с (7.7) увеличивается вероятность прямой
видимости между точками A и B и получается следующее выражение для вероятности
незатенения отрезка cd относительно точки A
h  z2
r l
Pcd  exp(   0
r12 ) exp(   12 sin  ) .
(7.12)
z1  z 2
2
Формулы (7.10), (7.11) имеют в этом случае тот же вид.