НИС Основные идеи KOI8

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере модели Изинга» для
направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01. «Математика»
подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины
НИС Основные идеи теоретической физики на примере модели Изинга
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Автор программы: Апенко С.М., к.ф.-м.н., apenko@lpi.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г
Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2013 г. и по
направлению 01.04.01. подготовки магистра, специализации Математика.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере модели
Изинга» являются получение студентами фундаментальных знаний в области теории фазовых
переходов, изучение примеров построения новых подходов для решения нетривиальных задач
теоретической физики, а также их практического применения в научных исследованиях.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории фазовых переходов.
 Уметь решать различные конкретные задачи, пользуясь преобразованием
ренормгруппы.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения техники теории фазовых переходов в
различных областях теоретической и математической физики.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/ НИУ
умение воспринимать
ПК-5
математические тексты ИК-М2.1
в форме устных
(МА)
сообщений
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Способен воспринимать и
интерпретировать
математические тексты в
форме устных сообщений
разного уровня строгости и
детализованности, в т.ч.
содержащие
легко
устранимые ошибки
умение выступать с
ПК-6
Способен
выступить
с
устными сообщениями ИК-М2.2/
докладом
(устным
на тему собственных и 3.1/3.2(МА) сообщением) с изложением
чужих исследований
задач и результатов из
области
специализации
студента
(в
т.ч.
собственных)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Формируется при работе на
семинаре в ходе восприятия
докладов других студентов
и
последующего
обсуждения этих докладов
Формируется
в
ходе
подготовки
доклада,
выступления на семинаре и
последующего обсуждения
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/ НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
освоение специальной
ПК-8
Способен
освоить
предметной
ИК-М2.4.1/ специальную предметную
терминологии на
2.4.2 (МА) терминологию на русском и
русском и английском
английском языках для
языках
целей профессионального и
научного общения
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Формируется в ходе всей
работы по дисциплине —
прослушивания
и
обсуждения (на английском
языке) докладов других
студентов, подготовки и
выступления
(на
английском
языке)
с
докладом на семинаре
Формируется
в
ходе
подготовки
доклада,
выступления на семинаре и
последующего обсуждения
умение публично
ПК-9
Способен
публично
описать собственные ИК-М2.5.1/ описать
собственные
научные результаты и 2.5.2 (МА) научные
результаты
и
результаты других
результаты других учёных
учёных
из области специализации
студента
умение найти научную ПК-10
Способен
находить Формируется
в
ходе
информацию и
ИК-М4.1/
необходимую
научную подготовки доклада на
адаптировать её для 4.2/4.6 (МА) информацию (в т.ч. с семинаре
устного изложения в
использованием
докладе
электронных библиотечных
ресурсов и баз данных) и
адаптировать
её
для
устного
изложения
в
докладе на семинаре
3
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и
блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
4
№
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Начальные сведения о статистической
физике спиновых систем
Физика и математика
одномерной модели Изинга
Масштабная инвариантность и
преобразование ренормгруппы
Двумерная модель Изинга и другие
двумерные системы
Итого:
Всего
часов
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
12
4
8
26
8
18
24
10
14
28
10
18
90
32
58
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
5
Тип
контроля
Итоговый
Форма
контроля
Экзамен
1
1 год
2 3
v
4
1
2 год
2 3
Параметры **
4
Письменный 240 мин.
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Коллоквиум: устный, на 2,5 часа. Задания носят исследовательский характер и
предъявляют повышенные требования к теоретической подготовке студента.
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 2-4 задач на 4 часа. Cтудент должен
продемонстрировать умение пользоваться основными техническими (вычислительными)
приемами и хорошее понимания теории.
5.1
Содержание дисциплины
6
Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по
разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим
занятиям.
1. Раздел 1 Начальные сведения о статистической физике спиновых систем
№
Тема
1.
Основные термодинамические функции. Распределение
Гиббса,
статистическая
сумма.
Вычисление
статистической суммы для спина во внешнем
магнитном поле.
2.
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
6
2
4
6
2
4
Всего
часов
Представление о фазовых переходах. Фазовые
переходы в спиновых системах. Дальний порядок,
корреляционная длина, критическая точка. Теория
среднего поля для системы взаимодействующих
спинов.
Итого:
Лекци
и
1
12
1
6
4
2
8
Литература по разделу:
Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит,
2010. ISBN 5-9221-0054-02.
Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. Мир, 1973.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
2. Раздел 2. Физика и математика одномерной модели Изинга
№
Тема
3.
Одномерная
модель
Изинга.
Вычисление
статистической суммы и корреляционной длины для
модели Изинга со свободными граничными условиями.
4.
5.
6.
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
6
2
4
6
2
4
8
2
6
6
2
4
Всего
часов
Качественная физика одномерной модели Изинга.
Кинки (доменные стенки) как низколежащие
возбуждения, разрушающие дальний порядок.
"Конфайнмент" кинков в магнитном поле.
Деконфайнмент в системе с дальнодействием.
Одномерная модель Изинга с периодическими
граничными условиями. Трансфер матрица и
выражение статистической суммы через трансферматрицу. Связь с квантовой механикой и
эквивалентный квантовомеханический гамильтониан.
Глауберовская динамика и релаксация в одномерной
модели Изинга.
Итого:
Лекци
и
1
26
7
6
8
3
18
Литература по разделу:
Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. Мир, 1973.
Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. Мир, 1985.
3. Раздел 3. Масштабная инвариантность и преобразование ренормгруппы
№
Тема
7.
Идеи скейлинга в теории фазовых переходов.
Преобразование ренормгруппы. Фиксированные точки
преобразования ренормгруппы и фазовые переходы.
8.
Ренормгруппа в реальном пространстве.
Преобразование децимации в одномерных спиновых
моделях. Ренормгрупповой поток и фиксированные
точки в модели Изинга и в модели со спином равным
единице. Понятие об асимптотической свободе.
"Сложность" систем. Эволюция сложности при
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
6
2
4
10
4
6
Всего
часов
Лекци
и
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
преобразованиях ренормгруппы на примере
одномерной модели Изинга.
9.
Ренормгруппа Вильсона. Быстые и медленные
переменные. Интегрирование по быстрым переменным
и эффективное действие. Представление об эпсилонразложении.
Итого:
4
8
1
24
7
4
8
10
3
14
Литература по разделу:
Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и эпсилон-разложение. М. Мир,
1975.
Цвелик А.М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. М.
Физматлит, 2002.
Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995
4. Раздел 4. Двумерная модель Изинга и другие двумерные системы
№
Тема
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
8
4
6
10
4
6
10
2
6
Всего
часов
10. Двумерная модель Изинга. Высокотемпературное
разложение. Преобразование ренормгруппы на
двумерной решетке, приближение Мигдала-Каданова.
Идея дуальности и основные результаты Онзагера.
Появление безмассовых фермионов в критической
точке.
11. Основы теории перколяции. Порог протекания,
гипотеза скейлинга и критические индексы.
Фрактальная размерность кластеров. Преобразование
ренормгруппы для одномерной задачи и для двумерных
решеток.
12. Двумерные модели с непрерывной симметрией. Вихри,
их взаимодействие, переход Костерлица-Таулесса.
Ренормгруппа Костерлица.
Итого:
Лекци
и
1
28
7
8
10
Литература по разделу:
Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. Мир, 1985.
3
18
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и эпсилон-разложение. М. Мир,
1975.
Березинский В.Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем, М.
Физматлит, 2007.
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал
УРСС, 2002
7
Образовательные технологии
На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,
обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также теоремами из других
разделов математики и физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих
результатов для решения конкретных задач.
После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащий
как рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы
для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно
использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально
сдаваться (устно или письменно) преподавателям во время семинарских занятий.
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты,
испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для
совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством
(преподавателя или уже разобравшего задачу студента). Однако разобранные таким образом
задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.
Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и
оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п.9 ниже). Крайний срок сдачи
задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последнее семинарское занятие этого
модуля.
7.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Примеры задач контрольных работ:
1. Найти собственные числа трансфер-матрицы для одномерной модели Изинга.
2. Вычислить первые члены высокотемпературного разложения в одномерной системе с
периодическими граничными условиями.
3. Оценить поведение корреляционной длины вблизи перехода Костерлица-Таулесса с
помощью ренормгруппы Костерлица.
8.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к коллоквиуму:
1)
Что такое критическая точка, корреляционная длина, критические индексы.
2)
Как определяется теория среднего поля. Чему равны критические индексы в
теории среднего поля.
3)
Как выглядит функционал Гинзбурга-Ландау в теории фазовых переходов.
4)
Как определяется статсумма для одномерной модели Изинга
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Что такое кинки в одномерной модели Изинга и какова их роль в разрушении
дальнего порядка.
Чему равна корреляционная длина в одномерной модели Изинга.
Высокотемпературное разложение в теории фазовых переходов.
Трансфер-матрица в спиновых моделях.
Что такое дуальность Крамерса-Ванье в двумерной модели Изинга.
Как определяется ренормгруппа в реальном пространстве, что такое
децимация.
Как определяется преобразование ренормгруппы для эффективного действия
Гинзбурга-Ландау.
Поведение потока ренормгруппы вблизи фиксированной точки.
Каков смысл эпсилон-разложения критических индексов.
Что такое переход Березинского-Костерлица-Таулеса в двумерных системах.
Как выглядят основные уравнения ренормгруппы Костерлица.
Что такое перколяция, как определяются бесконечный кластер и порог
протекания.
Как связана фрактальная размерность кластера с индексом корреляционной
длины.
Как определяется преобразование ренормгруппы для задачи протекания.
Что такое модель Глаубера для эволюции изинговской цепочки.
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Примеры экзаменационных задач:
1. Как перенормируется внешнее постоянное магнитное поле в одномерной модели
Изинга.
2. Методом ренормгруппы найти корреляционную длину в одномерной модели изинга в
пределе низких температур.
3. С помощью ренормгруппы оценить порог протекания для квадратной решетки.
8.3
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Программа дисциплины НИС «Основные идеи теоретической физики на примере
модели Изинга» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01.
«Математика» подготовки магистра
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. Мир, 1973.
10.2 Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит,
2010. 616 с. - ISBN 5-9221-0054-02
Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. Мир, 1985.
Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и эпсилон-разложение. М. Мир, 1975.
Березинский В.Л. Низкотемпературные свойства двумерных систем, М.
Физматлит,2007, 227 с. – ISBN 978-5-9221-0807-2.
Цвелик А.М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. М.
Физматлит, 2002. – ISBN 5-9221-0237-0.
Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал УРСС,
2002
10.3 Дополнительная литература
Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995