Метастабильное состояние равновесия заряженной

Метастабильное состояние равновесия заряженной проводящей капли
Русакова Наталья Енчуновна
Ассистент
Самухина Юлия Владимировна
Студентка
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,
физический факультет, Москва, Россия
E-mail: [email protected]
В данной работе рассматривается возмущение капли проводящей несжимаемой
жидкости сферической формы с целью поиска стабильной формы, отличной от
сферической.
Впервые задача о зарядовой неустойчивости капли проводящей жидкости была
рассмотрена лордом Рэлеем [1]. Он ввел так называемый критерий Рэлея для
устойчивости заряженной сферической капли. Теория устойчивости заряженной капли
проводящей жидкости активно развивается в настоящее время [2] в связи с
использованием во многих прикладных задачах.
Рассмотрим каплю проводящей жидкости сферической формы радиуса r0.
Устойчивость капли зависит от баланса кулоновской силы отталкивания и
лапласовского давления, обусловленного поверхностным натяжением. Соответственно,
полная энергия капли равна сумме кулоновской энергии и свободной энергии
поверхностного натяжения [3]
 q
W  Wq  WS , Wq  0 , Ws    4r02 ,
2
где 0  q r0 , q — заряд, сообщенный данной капле, α — коэффициент поверхностного
натяжения.
Предположим, что капля изменила свою форму. Исследуем, как меняется энергия
аксиально-симметричной проводящей капли несферической формы в зависимости от
заряда, сообщенного капле, и формы капли.
Уравнение сфероида [4]
r  a0   an Pn (cos ) ,
n1
где r — расстояние от центра сфероида до данной точки поверхности сфероида,
Pn cos  — полиномы Лежандра порядка n, an  a0 для любого n, и  — угол между
осью z и радиус-вектором. В дальнейшем будем использовать обозначение cos    .
Запишем потенциал заряженной капли сфероидальной формы
a0 a 2
 P2 ()   ,
r r3
где  — потенциал нашей заряженной капли. Нормируем наш потенциал на потенциал
φ0 исходной сферической капли радиуса r0. Уравнение приобретет вид:
1 kP2 ( )

 ,
x
x3

где x  r r0 , k   r02 ,   a2 a0 ,   0 — нормированный потенциал.
q / r0
Тогда поверхность капли сфероидной формы запишется в виде
x 3  x 2  kP2 ()  0 .
Объем исходной сферической капли V0  4 3r03 .
3
1
1
2
2 r
4
Объем полученного сфероида V    r 3 d    0  x 2 (, k )d  r03 , так как
3 1
3  1
3
объем несжимаемой жидкости сохраняется.
1
Отсюда
x
2
(, k )dV  2 . Из этого уравнения можно найти методом первой
1
итерации зависимость  (k ) в виде ряда по переменной k, и подставив эту зависимость в
уравнение для формы поверхности получить решение уравнения по переменной х в виде
разложения в ряд по переменной k.
Энергия поверхностного натяжения капли WS    S . Площадь поверхности
сфероидальной капли описывается формулой
 2
r sin  | F |

S  2 
d ,
F  U r
0

где F  x 3  x 2  kP2 () — уравнение поверхности, U r — орт радиус-вектора, а

F F  U r — угол между нормалью к поверхности сфероида и радиус-вектором в


точке r, ,  .
Введем безразмерный параметр Рэлея Т  q 2 4r03  . Тогда энергия сфероидальной
капли, выраженная через Т и k, имеет вид:
 2k 2 52k 3 636k 4 22644k 5 57784868k 6 
1 

2





5
105
175
1925
875875 
k 2 4k 3 6k 4 24k 5 53k 6

W  1





5
21
5
7
3
T
Минимум энергии достигается в диапазоне параметра k≈(0.1;0.14), что позволяет
рассчитывать на стабильность данной формы капли.
Литература
1. Lord Rayleigh. On The Equilibrium Of Liquid Conducting Masses Charged With Electricity
// Philosophical Magazine, Ser. 5. 1882, Vol. 14. p.184-186.
2. D. Duft, H. Lebius et al. Shape Oscillations and Stability of Charged Microdroplets //
Physical Review Letters. 2002, Vol. 89 (No. 8). p.1-4
3. P.A. Polyakov, N.E. Rusakova, Yu.V. Samukhina, M.A. Tassev. Electrostatic Instability
Criteria Of A Conductive Sphere With Continuous And Discrete Charge Distribution //
Proc. of XIX Int. Conf. “Electromagnetic Field and Materials”, 2011
4. Hendricks C.D., Schneider J.M. Stability of Conducting Droplet under the Influence of
Surface Tension and Electrostatic Forces// American Journal of Physics. 1963,
Vol. l (No. 6). P.450-453.