Document 4158986

Лекция 8.
Формула Стокса
Эта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в
курсе. Для того, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:
Определение.
Назовем
ротором



i
j
k



  R Q P R Q P 

величину: rotF 


;

;

x y z  y z z x x y 
P Q R



  

(Существует и другое обозначение ротора: rotF    F  F    F . По существу,

ротор является «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор F в данной
точке пространстве). Ротор является одной из характеристик поля.
S
Пусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали.
Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий.
Формула Стокса имеет вид:

n
Γ+
 
F
 dr 

 
rot
F
ds

S

Связь ориентации нормали n  с направлением обхода можно осуществить при помощи
«правила буравчика»: направление движения правого винта при вращении по

направлению обхода Γ+ указывает направление вектора нормали n  . Другой способ: если

смотреть из конца вектора n  , то обход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки.
Перепишем формулу Стокса в другом виде:
 
 Pdx  Qdy  Rdz    rotF  n  ds



S
Левая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный
интеграл первого рода.
Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывно
дифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочногладкий.
  
 


Представим поле в виде суммы: F  F1  F2  F3 ; F1  P;0;0  ; F2  0; Q;0 ; F3  0;0; R .

 
Доказательство проведем для каждого из полей F1 , F2 и F3 по отдельности.
  P P 

Ротор поля F1 : rotF1   0; ;  . Будем считать, что поверхность S задается системой
 z y 
 x  xu, v ,

уравнений: S :  y  y u, v ,
Обход
контура
∂D+
 z  z u, v .

осуществляется против часовой стрелки – область D
остается слева от контура.
P
z
y u
y v
0
Правая часть формулы:
 
rot
F
S 1ds  D xu
xv
 
F
Левая часть -  1 dr 


P
y
z u dudv
z v
 Pdx , в пространстве переменных u,v будет иметь вид:

x 
x 
 x
 x
P du 
du     P du  P dv  .
u  D  u
v 
 u
D
 Pdx  


x
x
   x 

 
Отсюда
по
формуле
Грина
x  
  P u du  P v dv     u  P v   v  P u  dudv 
D
D
 P x
 x P x
2x 
 P x P x 
dudv   
  
 P


P
 
 dudv

u

v

u

v

v

u

u

v

u

v

v
u 


D 
D
Вычислим
производные
по
u
и
v.
 P x P y P z  x  P x P y P z  x 
 P x P x 



dudv



D  u v v u 
D  x  u  y  u  z  u  v   x  v  y  v  z  v  u du
2
0
 P  x z
x z 
P  x y
x y 
  z  v  u  u  v   y  u  v  u  v  dudv   x
u
D
D
xv
P
z
y u
y v

P
y
z u dudv
z v


Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей F2 и F3 .
Формула Грина является частным случаем формулы Стокса. Рассматривается случай

плоской поверхности, вектор нормали имеет координаты n  0,0,1
  Q P
rotF  n 

x y
Из формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути
интегрирования на плоскости. Аналогично можно вывести независимость
криволинейного интеграла 2 типа от пути интегрирования в поверхностно-односвязной
области в пространстве.
 
 
При каких условиях справедливо  Fdr   Fdr ?
1
2
Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие
условия:


1.
 Fdr   Fdr
1
2.

  2
 Fdr  0


rotF  0 (отличие случая пространства от плоскости)
Существует такая функция u ( x, y, z ) , что du  Pdx  Qdy  Rdz . Функцию u ( x, y, z )

называют потенциалом данного поля. F  gradu  u
3.
4.
В этом случае
 
 Fdr  uB   u A
- разность потенциалов (аналог формулы Ньютона-
AB
Лейбница).
Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен
 
нулю, то интеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интеграл
F
 dr не
AB
зависит от траектории.
Условие односвязности является существенным. Приведем пример (на плоскости).
xdy  ydx
Вычислить
(интеграл берется по окружности). Попробуем применить
2
2

x

y
2
2
x  y 1
формулу Грина: P  
y
x
;Q  2
; R  0 . Вычислим произведение ротора поля
2
x y
x  y2
2

Q P x 2  y 2  2 x 2 x 2  y 2  2 y 2
F на вектор нормали:



 0 . Следует ли отсюда,
x y
x2  y2
x2  y2
что интеграл по окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:
2
2
 x  cos t ,
xdy  ydx
(cos td sin t  sin td cos t )


(cos 2 t  sin 2 t )dt  2  0

2
2
2
2



y

sin
t
x y
cos t  sin t

0
0
x 2  y 2 1
Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть
Q P
непрерывны. Но P, Q  C (0,0) и
,
 C (0,0) . Чтобы интегрировать, нужно удалить из
x y
рассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же
примеры можно привести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале
координат).