СЕЛЕКЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА В ЗАДАЧЕ ПЛОСКОЙ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ

СЕЛЕКЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА В
ЗАДАЧЕ ПЛОСКОЙ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
В.Н. Говорухин, И.В. Шевченко
Южный федеральный университет, г.Ростов-на-Дону
Рассматриваемая задача фильтрационной конвекции обладает косимметрией [1], и, как следствие, в
ней происходят специфические бифуркационные явления и нетривиальная динамика. При потере
устойчивости состоянием покоя возникает однопараметрическое семейство стационарных режимов [2]. При
малых надкритичностях все режимы семейства нейтральны в касательном к семейству направлении, и
асимптотически устойчивы в трансверсальных направлениях, а семейство является глобально устойчивым
[1]. При этом все стационарные режимы семейства индивидуальны -- у каждого свой спектр устойчивости,
различные физические характеристики. В [3,4] показано, что разница в физических характеристиках
режимов особенно существенна в вытянутых по вертикали контейнерах. При сосуществовании нескольких
устойчивых стационарных режимов, возникают естественные и важные вопросы селекции: какой из
стационарных режимов будет реализовываться в экспериментах; как этот процесс зависит от начального
состояния жидкости; какими факторами определяется вероятность реализации режимов; возможно ли
управления селекцией. Изучение механизмов селекции в косимметричных системах началось в [5].
Оказалось, что в трехмерной абстрактной модели фильтрационной конвекции из удаленных от цикла
равновесий начальных точек отбирается окрестность единственного равновесия, а из близких к нулевому
равновесию точек равновероятна реализация двух режимов.
В докладе представлены результаты численного исследования селекции режимов, принадлежащих
глобально устойчивому однопараметрическому семейству. Рассматривается прямоугольный контейнер D .
заполненный пористой средой и насыщенный жидкостью. Математическая формулировка задачи в
терминах функции тока  и температуры  имеет вид:
 t  x y  y x     x ,    x , 
  D  0
Анализ селекции конвективных режимов, принадлежащих однопараметрическому семейству,
проводились для случая, когда все семейство является глобально устойчивым и имеет форму близкую к
окружности. Численные эксперименты состояли в многократном решении нестационарной начальнокраевой задачи на установление при разных начальных распределениях температуры. Для решения
начально-краевой задачи применялся метод Бубнова-Галеркина. При выбранных значениях параметра
галеркинское приближение хорошо аппроксимирует исходную задачу даже при небольших размерностях
[3,4]. Для контроля численных результатов использовалось два набора базисных функций, аппроксимации
разных размерностей (от 40 до 5000) и несколько методов решения задачи Коши. Для каждого случая была
построена функция распределения вероятности реализации режимов однопараметрического семейства.
Полученные результаты численных экспериментов позволяют утверждать, что в рассмотренной задаче
плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере реализация стационарных конвективных
режимов сильно зависит от начального состояния жидкости. При начальных данных близких к состоянию
покоя отбираются окрестности двух из бесконечного числа режимов семейства. Окрестности двух других
режимов реализуются при высоких начальных температурах жидкости. В промежуточных ситуациях
установление любого из бесконечного числа стационарных режимов практически равновероятно. Механизм
такого отбора конвективных режимов обусловлен структурой фазового пространства соответствующей
динамической системы. Можно предположить, что и в физических экспериментах картина селекции
стационарных режимов будет схожа с наблюдаемой в вычислениях.
D
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект 11-01-00708).
ЛИТЕРАТУРА.
1. В.И. Юдович Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение
фильтрационной конвекции. Математические заметки. 1991. Т.49. вып.5. с.142-148.
2. Д.В. Любимов. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. ПМТФ. 1975. №2.
с.131-137.
3. В.Н. Говорухин. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче плоской фильтрационной
конвекции в прямоугольном контейнере. Изв. РАН. МЖГ. 1999. №5. c.53-62.
4. В.Н. Говорухин, И.В. Шевченко И.В. Численное исследование второго перехода в задаче плоской
фильтрацилнной конвекции. Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. с.115-128.
5. V.N. Govorukhin, V.I. Yudovich. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of
filtrational convection. Chaos. 1999. V.9. N.2. 403--412.