Контрол.5

ТЕМА №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ТИПОВ
xP(x), xP(x), xyP( x, y ), xyP( x, y ) ; ПОСТРОЕНИЕ ОТРИЦАНИЙ К
ПРЕДИКАТАМ; ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ К ЕСТЕСТВЕННОМУ ЯЗЫКУ
xA(x)
xA(x)
xA(x)
xA(x )
xA(x)
xA(x)
Для любого x (имеет место)А
Для всех x (верно ) A(x)
Каждый обладает свойством А
Любой объект является А
Свойство А присуще всем
Для некоторых x (имеет место)А
Для подходящего x (верно ) A(x)
Существует x, для которого (такой, что) A(x)
Кто-нибудь относится (есть) А
Хотя бы для одного x (верно) А(х)
Не для каждого x (верно) A(x)
Не все обладает свойством А
А не всегда верно
Для всякого x неверно A(x)
A(x) всегда ложно
Ничто не обладает свойством А
Не существует x такого, что A(x)
A(x) не выполняется ни для какого x
Ничто не обладает свойством А
Неверно, что для некоторых xA(x)
Для некоторого x не(верно)А(х)
Что-то не обладает свойством А
Определение (предиката) Связное повествовательное предложение, содержащее n
переменных и обладающее следующим свойством: при фиксации значений
всех переменных о нем (предложении) можно сказать, истинно оно или
ложно.
Пример 1. D( x1 , x2 )  ”Натуральное число x1 делится (без остатка) на натуральное число
x 2 ” – двуместный предикат, определенный на множестве пар натуральных чисел N  N .
Очевидно, D (4,2)  1 , D(3,5)  0
Пример 2. R( x, y, z ) " x 2  y 2  z; x, y, z  R" - трехместный предикат, определенный на
R3
R(1,1,2)  0, R(1,1,2)  1
Пример 4. S ( x, y ) " sin 2 xy  3; x, y  R" - тождественно истинный двуместный предикат.
При решении примеров на доказательство равносильности формул алгебры предикатов
следует обращать внимание на следующее:
1. Области определения предикатов, стоящих слева и справа от знака “  ”, должны
совпадать.
2. Связанная квантором переменная может обозначаться любой буквой, т.е.
xP( x)  yP( y )  tP(t )  
3. Основные равносильности, содержащие кванторы, имеют место в более широком
смысле, чем в теореме1
Теорема 1: Пусть P(x) – одноместный предикат, определенный на конечном
множестве   x1 ; x2 ; x N , тогда
xP( x)  P( x1 )  P( x2 )    P( x N );
Вариант №1
1. Какие из следующих предложений являются предикатами?
1. x делится на 3 ( x  N ).
2.
y  x2 ; x  R .
3. x  y  0 ; x, y  R .
2. Какие из предикатов тождественно истинны, тождественно ложны,
выполнимы?
3. Из предикатов примеров 1 – 3 образовать с помощью кванторов высказывания,
найти их значения истинности.
Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие
определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:
1. Определение предела функции в точке;
2
2
Вариант №2
1. Какие из следующих предложений являются предикатами?
1. x делится на 4 ( x  N ).
2. x есть отец y ( x ,y пробегает множество всех людей).
3. x  x  10 ; x  R
2. Какие из предикатов тождественно истинны, тождественно ложны,
выполнимы?
3. Из предикатов примеров 1 – 3 образовать с помощью кванторов высказывания,
найти их значения истинности.
Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие
определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:
1. Определение непрерывности функции в точке;
2
Вариант №3
1. Какие из следующих предложений являются предикатами?
1. x делится на 5. ( x  N ).
x2  x 1 ; x  R
2
2
3. x  y  0 ; x, y  R
2.
2. Какие из предикатов тождественно истинны, тождественно ложны,
выполнимы?
3. Из предикатов примеров 1 – 3 образовать с помощью кванторов высказывания,
найти их значения истинности.
Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие
определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:
1. Определение непрерывной на интервале функции;
Вариант №4
1. Какие из следующих предложений являются предикатами?
1. x  y  z ; x, y, z  R
2. x  y ; x, y  R
2
2
3. x  y  2 ; x, y  R
2. Какие из предикатов тождественно истинны, тождественно ложны,
выполнимы?
3. Из предикатов примеров 1 – 3 образовать с помощью кванторов высказывания,
найти их значения истинности.
Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие
определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:
1. Определение параллельных прямых;
2
2
Вариант №5
1. Какие из следующих предложений являются предикатами?
1. Для всякого ; x  R найдется y  R такой, что x  y  1 .
2. x делится на 6. ( x  N ).
3. x живее в одном городе с y ( x ,y пробегает множество всех людей).
2. Какие из предикатов тождественно истинны, тождественно ложны,
выполнимы?
3. Из предикатов примеров 1 – 3 образовать с помощью кванторов высказывания,
найти их значения истинности.
Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие
определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:
1. Определение параллельных плоскостей;