Бобарыкин Н.Д., Ефремов В.Ю. Постановка задачи

Бобарыкин Н.Д., Ефремов В.Ю. Постановка задачи моделирования температурного
поля в осушаемом массиве польдерных систем. // Проблемы информатики в образовании,
управлении, экономике и технике: Сб. статей Междунар. научно-техн. конф.– Пенза: ПДЗ,
2010. – С. 176-179.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЯ В ОСУШАЕМОМ МАССИВЕ ПОЛЬДЕРНЫХ СИСТЕМ
Н.Д. Бобарыкин, В.Ю. Ефремов
Калининградский государственный технический университет,
г. Калининград, Россия
Задача нахождения температурного поля в осушаемом массиве польдерных систем сводится к нахождению температуры почвы T(z,t) с помощью модели эффективной теплопроводности. Модель позволяет рассматривать почвенный массив как сплошную среду, тепловые свойства которой можно учесть с помощью некоторых эффективных коэффициентов
теплопроводности  и объемной теплоемкости с.
Bobarykin N.D., Efremov V.Y. Problem statement of modeling the temperature field in
drainage area of polder system. The task of finding the temperature field in drainage area of polder system comes to finding the soil temperature T(z,t) with the help of effective heat conduction.
The model allows considering soil area as a continuum, the heat features of which can be accounted
by some effective coefficients of heat conduction  and heat capacity per unit volume c.
В работе [1] описана созданная инвариантная нестационарная трехмерная математическая модель совершенных польдерных систем, в которой каждый проводящий открытый канал с прилегающим к нему осушаемым массивом описывается
следующей системой дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных: уравнениями Сен-Венана, уравнением Буссинеска, капиллярного переноса
влаги, а также при наличии дренажных систем – уравнениями напорного или безнапорного движения воды в дренажных трубах. Однако следует отметить, что указанная математическая модель не учитывает температурный режим почвы в осушаемом массиве. Учет температуры почвы может влиять на процессы переноса влаги
в осушаемом массиве через коэффициент фильтрации, влагопроводности и др.
Задача нахождения температурного поля в осушаемом массиве польдерных
систем сводится к нахождению температуры почвы T(z,t) с помощью модели
эффективной теплопроводности почвы. Модель позволяет рассматривать почвенный массив как сплошную среду, тепловые свойства которой можно учесть
с помощью некоторых эффективных коэффициентов теплопроводности  и
объемной теплоемкости с.
Зависимости  ( z, t ) и c(z,t) определяются пространственным и временным
ходом физических свойств почвы и, прежде всего, влажностью W и плотностью
 . В настоящее время для многих видов почв установлены эмпирические зависимости  (W ,  ) и c(W ,  ) .
Постановка задачи моделирования
Температурный режим почвы описывается уравнением эффективной теплопроводности в частных производных параболического типа:
c( z , t )
T
 
T 

 ( z, t )   f ист ,
t z 
z 
z  [0,H],
(1)
где T – температура почвы в осушаемом массиве польдерных систем в точке z в
момент времени t, f ист – внутрипочвенный источник тепла. Нижняя граница
z = 0 совпадает с уровнем грунтовых вод, а верхняя – с поверхностью почвы
z = H.
Граничные условия. Верхнее граничное условие задается на поверхности
почвы при z=Н и вытекает из анализа метода теплового баланса. Уравнение баланса тепла имеет вид
(2)
R  Q  LE  P  0,
где R – радиационный баланс, Q – поток тепла в почву, L – скрытая теплота испарения, E – испарение, P – турбулентный отток тепла в атмосферу.
При этом радиационный баланс поверхности почвы определяется следующим соотношением:
(3)
R  Rc  Rот  eэф ,
где
– солнечная суммарная радиация, Rот – отраженная солнечная радиация,
e эф – эффективное длинноволновое излучение (разница между длинноволновым
излучением почвы вверх и длинноволновым излучением атмосферы и облаков
вниз у поверхности почвы).
Радиационный баланс считается известной величиной, так как его составляющие можно измерить актинометрическими приборами или рассчитать по
известным формулам и номограммам.
Турбулентный отток тепла в атмосферу P может быть рассчитан на основе
уравнения теплопроводности Фика следующего вида:
T
(4)
P   С p k возд ,
Rc
z
где  – плотность воздуха,
Cp
ент турбулентного обмена,
Tв озд
z
– удельная теплоемкость воздуха, k – коэффици– градиент температуры воздуха по высоте.
Затраты тепла на испарение LE могут быть определены соотношением
q
(5)
LE  Lk в озд ,
z
где  – плотность воздуха, k – коэффициент турбулентного обмена,
qв озд
z
– гра-
диент удельной влажности воздуха.
Градиенты температуры и влажности воздуха находятся по наблюдениям
температуры и влажности на двух высотах – 0,5 и 2,0 м.
Поток тепла в почву определяется по формуле Фурье:
Q  
T
,
z
(6)
где  – коэффициент теплопроводности почвы,
T
z
– градиент температуры
почвы по высоте.
Таким образом, верхнее граничное условие имеет вид:
T 1
(7)
 ( LE  P  R) при z = H,
z

где LE, P и R вычисляются по формулам (3) – (5).
Нижнее граничное условие задается на уровне грунтовых вод при z = 0 и
имеет вид:
T (0, t )  T0 .
Предложенный метод нахождения температурного поля в осушаемом массиве польдерных систем является надежным и удобным, что дает возможность
использования полученных с его помощью результатов в математических моделях польдерных систем.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 09-01-00871-а.
Библиографический список
1. Графова Е.Н., Бобарыкин Н.Д. Математическое моделирование совершенных польдерных систем: монография, научное издание. – Калининград:
Изд-во КГТУ, 2009. – 299 с.
2. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Физика почв. – М.: Наука, 1976. – 650 с.