+ R - Естественнонаучная школа ТПУ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.И. Кузнецов, Т.Н. Мельникова,
Е.Н. Степанова
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями
Постоянный ток. Электромагнетизм
Издательство
Национального исследовательского
Томского политехнического университета
2011
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Кузнецов С.И.
Сборник задач по физике с решениями. Постоянный ток.
К 891 Электромагнетизм: учебное пособие/ С. И. Кузнецов, Т.Н.
Мельникова, Е.Н. Степанова; – Томск: Изд-во ТПУ, 2011. – 47 с.
В
учебном
пособии
рассмотрены
основные
вопросы
электромагнетизма, приведены методические указания по решению
типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного
решения.
Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы,
научить активно применять теоретические основы физики как рабочий
аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести
уверенность в самостоятельной работе.
Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ,
соответствует программе курса физики, общеобразовательных учебных
заведений и направлено на активизацию научного мышления и
познавательной деятельности учащихся.
Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и
подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы.
Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной
работы.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ
А.В. Шаповалов
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ
А.Г. Парфенов
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство ТПУ, 2011
© Кафедра общей физики. 2011
Не полагайся без сомнений
ты на любые ярлыки:
они от истинных суждений
порою очень далеки.
Ч.Х. Спурджон
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМ ЗАДАЧ
1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную
запись данных и искомых физических величин, предварительно
представив их в системе СИ.
Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных
единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м);
массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического
тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К);
количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).
Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад);
единица телесного угла – стерадиан (ср).
Производные единицы устанавливаются через другие единицы
данной системы на основании физических законов, выражающих
взаимосвязь между соответствующими величинами.
В условиях и при решении задач часто используются множители и
приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см.
Приложение).
2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о
котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые
можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие
абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.
3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.
4. С помощью физических законов установите количественные
связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте
замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось
бы числу неизвестных.
5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде
алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.
6. Проверьте правильность полученного решения, использую
правило размерностей.
7. Подставьте в полученную формулу численные значения
физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на
точность численного ответа, которая не может быть больше точности
исходных величин.
ОСНОВЫНЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
1.
Постоянный электрический ток
 Связь напряженности и потенциала с плотностью распределения заря
1
1
дов в пространстве E  ρ и  2 φ  ρ .
ε
ε
q
 Сила постоянного тока I  .
t


q
 j S .
 Сила тока I 
t S
I
 Плотность тока j  .
S 


 Вектор плотности тока j  q n υ др  q n υ др .
 
q
 Уравнение непрерывности в интегральной форме  j S   .
t
S


ρ
ρ
 Дифференциальная форма  j  
или div j   .
t
t
 Уравнение непрерывности для постоянного тока
 

ρ
j

S

0
;

j


.

t
S
A
 Электродвижущая сила, действующая в цепи E  , E   Eст dl .
q
U
 Закон Ома для однородного участка цепи I  .
R
 Сопротивление при последовательном соединении R   Ri .
1
 Сопротивление при параллельном соединении R   .
Ri
ρl
 Сопротивление однородного проводника R  .
S
 Зависимость удельного сопротивления от температуры ρ  ρ 0 1  αt 
.
1
 Проводимость σ  .
R
 1

 Закон Ома в дифференциальной форме
j  E  σE .
ρ
φ1  φ 2  E12
.
R
E
 Закон Ома для замкнутой цепи
.
I
Rr
 Работа силы электрического поля A  RI 2t .
dA
U2
2
 Мощность тока P 
.
 IU  I R 
dt
R
 Мощность, выделяемая в единице объема проводника w  ρj 2 .
U2
2
dt .
 Закон Джоуля – Ленца dQ  IUdt  I Rdt 
R
 Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме w  jE  σE 2 .
A
N
U
R
 КПД источника тока η  п  п  
.
Aз N з E R  r
 Первое правило Кирхгофа  I k  0 .
I
 Обобщенный закон Ома
k
 Второе правило Кирхгофа
 I i Ri   Ek .
i
k
2. Электрический
ток в газах, металлах и электролитах



 Плотность тока в газах j  nq υ   υ  .

 Удельная электропроводность σ  q


 Закон Ома для тока в газах j  σE .

Δni
μ   μ   .
r

1 e 2 τnS
e 2 τnS
 Закон Ома для тока в металлах I  enSυ д 
E
U.
2 m
2ml
2m l
 Электрическое сопротивление проводника R  2
.
e nτ S
 Первый закон Фарадея m = kq = kIt.
μ
 Электрохимический эквивалент вещества k 
.
Fn
k
k
 Второй закон Фарадея 2  x 2 .
k1 k x1
1μ
 Объединенный закон Фарадея m 
It .
Fn












3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ


Магнитный момент контура с током Pm  IS или Pm  ISn .
Момент силы, вращающий
рамку с током в магнитном поле

 
M  Pm , B или M  Pm B sin α  ISB sin α.
M max
Магнитная индукция B 
  .
Pm sin n, B
Потенциальная
энергия контура с током в магнитном
 (механическая)

поле U мех  Pm B  Pm B cosα .

Принцип суперпозиции магнитных полей B   Bi .
Модуль магнитной индукции при сложении двух полей


 
B  B12  B22  2 B1 B2 cos α .
Закон Био – Савара – Лапласа для элемента проводника с током

 μμ 0 I d l , r
μμ 0 Idl
dB 
;
d
B

sin α .
4π r 3
4π r 2
 
μμ 0 qυ sin υ, r 
Индукция магнитного поля движущегося заряда B1 
.
4π
r2
Магнитная индукция конечного проводника
μμ I
B  0 cos α1  cos α 2 .
4π b
μμ 2 I
Индукция бесконечно длинного проводника B  0
.
4π b
I
Магнитная индукция в центре кругового тока B  μμ 0
.
2R
Магнитная индукция кругового тока на расстоянии х от центра
2 πR
μμ 0 2 Pm
μμ 0 2πR 2 I
B

;
.
B   dB|| 
3
3
4
π
4
π
2
2 2
x
0
R x


B
Напряженность магнитного поля H 
.
μμ 0
 
Теорема Гаусса в интегральной форме ΦB   BdS  0 .

Теорема Гаусса в дифференциальной форме divB  0 или B  0 .
 





4. Силы, действующие на движущиеся заряды в магнитном поле
 
 


 Закон Ампера dF  I d l , B или F  I l , B .


 
 Модуль вектора силы Ампера F  IlB sin α .
 Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами I1 и
μμ I I
F 0 1 2.
I 2 на расстояние b
2π b



 
 
 Сила Лоренца FЛ  q υ, B , FЛ  qυB sin α , FЛ  qE  q υ, B .
 Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о
n

циркуляции вектора B )  Bdl  μ 0  I k .
 
 
L

 Теорема о циркуляции вектора H
i 1
 
H
 d l  I.
L
 Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA  I dΦ2  dΦ1  .
 Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле
dA  IdΦ  .
 Магнитная индукция внутри бесконечного длинного соленоида
B  μμ 0 nI .
 Магнитное поле в произвольной точке внутри конечного соленоида
1
B  μμ 0 nI (cosα1  cosα 2 ).
2
 Магнитное поле на середине оси соленоида
L
Bmax  μμ 0 nI
.
2
2
4R  L
1 IB
IB
R .
 Холловская поперечная разность потенциалов U x
en a
a
1
 Коэффициент Холла R 
.
qn
IB
 Число носителей заряда n 
.
qaU x
5. Явление электромагнитной индукции
dΨ
dΦ
 Закон Фарадея Ei  
или Ei  
.
dt
dt
dB
 ЭДС индукции Ei   S
.
dt
 Работа по перемещению заряда вихревым электрическим полем
 
A  q  Ed l  qEi .
α






6. Ускорители заряженных частиц
mυ
Радиус траектории нерелятивистской частицы R 
.
qB
Шаг винтовой линии траектории h  υT cosα .
2πm
Период обращения нерелятивистской частицы T 
.
qB
1
K K  2m0 c 2 .
Импульс релятивистской частицы p 
c
Кинетическая энергия частицы K  W  W0  mc 2  m0 c 2 .
Период обращения релятивистской частицы
2πm
2πW
T

.
2
2
2
qBc
qB 1  υ c


 Радиус окружности траектории релятивистской частицы
m0 υ
R
.
2
2
qB 1  υ c
 Энергия, передаваемая вихревым электрическим полем единичному
 
mυ 2
  qEd l  qEi .
заряду
2
L
7. Самоиндукция и взаимная индукция
 Индуктивность соленоида и тороида Lсол  μμ 0 n 2 lS .
dI
 ЭДС самоиндукции контура Ei   L .
dt
 Индуктивность бесконечно длинного соленоида, имеющего N витков
N 2S
.
L  μ 0μ
l
L
 Постоянная времени цепи τ  .
R
 Ток при замыкании цепи I  I 0 1  e t τ .


 Ток при размыкании цепи I  I 0 e t τ .
E N
 Коэффициент трансформации k  2  2 .
E1 N1
 Работа в цепи с убывающим током dA  Ei Idt .
 Энергия проводника с током I и индуктивностью L
LI 2
W
.
2
μμ 0 H 2
 Энергия магнитного поля W 
V.
2
W μμ 0 H 2
B2
BH
 Плотность энергии магнитного поля w  
.


V
2
2μμ 0
2
1
 Энергия магнитного поля в длинном соленоиде W  μμ 0 n 2 I 2V .
2
1
 Плотность энергии в длинном соленоиде w  μμ 0 n 2 I 2 .
2














8. Магнитные свойства вещества
B
Парамагнетики μ 
 1.
B0
B
Диамагнетики μ 
 1.
B0
B
Ферромагнетики μ 
 1 .
B0
1
υ
Частота вращения электрона на орбите v  
.
T 2 πr
Орбитальный ток I  ev .


 eυ
Орбитальный магнитный момент электрона Pm  ISn 
.
2
π
r


Орбитальный момент импульса электрона L e  mυr .


Связь магнитного момента и момента импульса Pm  γL e .
e
Гиромагнитное отношение γ  
.
2m
Собственный момент импульса электрона (спин электрона)
3
Ls 
.
2


Спиновый магнитный момент электрона Pms  γ s L s .
e
Гиромагнитное отношение спиновых моментов γ s   .
m
e
Квантовый магнитный момент (магнетон Бора) μ Б  
.
2m
Z 

Орбитальный магнитный момент атома Pm   Pm i .
i 1
 Z 
 Орбитальный момент импульса атома L   L e i .
i 1
 Угловая скорость ларморовской прецессии ω L 
 1
 Намагниченность J 
ΔV
e 
B.
2m

P
 mi .
n
i 1

 B 
 J.
 Напряженность магнитного поля H 
μ0

 Закон полного тока в интегральной форме (циркуляция вектора H )

H
 dl  I макро .
L
 
 Закон полного тока в дифференциальной форме rotH  Jмакро .
 
 Связь намагниченности с напряженностью J  H ϰ.
 Магнитная восприимчивость среды ϰ  μ  1 .
9. Уравнения Максвелла
 Полный ток, определяющий магнитное
поле в проводнике




D 
jполн  jпров 
 jпров  jсм .
t

D
E P
 Плотность тока смещения jсм 
.
 ε0

t
t t
 Полная система уравнений Максвелла:
в интегральной форме
D 

H
d
l


j



  t dS ,
 DdS    ρdV
S
V
L
S
B
Edl



 t dS ,
 Bd S  0 .
L
S
S
в дифференциальной форме 


D
,
divD  ρ.
rotH  j 
t


B
divB  0
,
rotE  
t
 Материальные уравнения или уравнения состояния





 
B  μ 0μH; D  εε 0 E;
j  σE  jстр .
Скорость распространения ЭМП в среде
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПОСТОЯННЫЙ ТОК. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
1. Найдите силу тока короткого замыкания аккумуляторной батареи,
если при силе тока 5 А батарея отдает во внешнюю цепь мощность
9,5 Вт, а при силе тока 8 А – 14,4 Вт. Ответ представьте в единицах СИ
и округлите до целого числа.
Дано:
I1 = 5 А
P1 = 9,5 Вт
I2 = 8 А
P2 = 14,4 Вт
Iкз = ?
Откуда
Решение:
Ток короткого замыкания определяется как:

Iкз = .
r
Мощность во внешней цепи.
р = I2R,
p
.
(3)
I2
Запишем закон Ома для полной цепи с учетом внешней нагрузки (3).


I=
=
.
(4)
rR r p
I2
Из полученного уравнения выразим эдс источника тока.
p1
 = I1 r +
.
(5)
I1
При изменении силы тока и мощности выражение для эдс будет
аналогичным.
p2
 = I2 r +
.
(6)
I2
Приравняем правые части выражений (5) и (6).
p1
p2
I1 r +
= I2 r +
.
I1
I2
Подставим численные значения и найдем внутреннее сопротивление
источника тока.
9,5
14,4
5r +
= 8r +
,
5
8
3r = 0,1  r = 0,033 (Ом).
Тогда эдс источника.
R=
(1)
(2)
9,5
= 2 (В).
5
Подставим значения эдс и внутреннего сопротивления в формулу (1)
и вычислим ток короткого замыкания.
2
Iкз =
= 62 (А).
0 ,033
Ответ: Iкз = 62 А
 = 50,033 +
2. К гальванометру сопротивлением 290 Ом подключен шунт,
повышающий предел измерения гальванометра в 10 раз. Какое
сопротивление надо подключить последовательно с гальванометром и
шунтом, чтобы его общее сопротивление осталось прежним? Ответ
представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Rг = 290 Ом
n = 10
R0 = Rг
Решение:
Напряжение между точками 1 и 2
можно определить, используя закон
Ома.
Rг
I I1
Г
2 R
I2 1
доп
Rш
U = I1Rг или U = I2Rш.
Rдоп = ?
Предел измерения гальванометра повышен в 10 раз, следовательно,
I1 = 0,1I; I2 = 0,9I.
(2)
Тогда приравняем соотношения (1) с учетом (2).
0,1IRг = 0,9IRш,
0,1Rг = 0,9Rш,
Rг = 9Rш

Rш =
Rш
.
9
Гальванометр и шунт соединены параллельно, следовательно, их
суммарное сопротивление R равно:
1
1
1
9 10
1
=
+
= + = .
Rг
Rш Rг Rг Rг
R
Rг
R = .
10
Дополнительное сопротивление подключено последовательно с
гальванометром и шунтом. Полное сопротивление, равное
сопротивлению гальванометра (по условию) в таком случае
определяется как:
(1)
Rг
+ Rдоп.
10
Отсюда определим дополнительное сопротивление.
Rг
9 Rг
Rдоп = Rг =
.
10
10
Подставим численные значения.
9  290
Rдоп =
= 261 (Ом).
10
R0 = Rг = R + Rдоп =
Ответ: R = 261 Ом
3. Электрическая лампочка накаливания потребляет ток силой 0,2 А.
Диаметр вольфрамового волоска 0,02 мм. Температура вольфрама при
горении лампы 2000°С. Определите напряженность поля в волоске,
считая ноле однородным. Удельное сопротивление вольфрама 5,310-8
Омм
при
температуре
0°С,
температурный
коэффициент
сопротивления 1/273∙1/К. Ответ представьте в единицах СИ и округлите
до целого числа.
Дано:
Решение:
I = 0,2 А
d = 0,02 мм = 210-5 м
t1 = 2000°С
0 = 5,310-8 Омм
t2 = 0°С
 = 1/273 1/К
Напряженность поля в волоске можно найти
через напряжение между концами вольфрамового
волоска
U
Е=
,
(1)
l
где l – длина волоска.
Напряжение определяем из закона Ома для
участка цепи.
E=?
U = IR.
(2)
Здесь R – сопротивление контура.
l
R=
.
(3)
s
Уравнение (1) с учетом (2) и (3) перепишем в виде:
IR
Il
I
Е=
=
=
.
(4)
l
ls
s
В полученной формуле удельное сопротивление  при температуре
2000С. Оно связано с 0 соотношением:
 = 0(1+Т).
(5)
Тогда
I0 1  T 
.
(6)
s
s – площадь поперечного сечения вольфрамовой проволоки.
d 2
s=
.
(7)
4
В результате имеем:
4 I0 1  T 
Е=
.
(6)
d 2
Подставим численные значения и рассчитаем напряженность поля в
волоске.
1


4  0 ,2  5,3 10 8 1 
 2000 
 273

Е=
= 281 (В/м).
10
3,14  4 10
Ответ: Е = 281 В/м
Е=
4. Конденсатор, подключенный к источнику тока проводами
сопротивлением 100 Ом, имеет первоначальную емкость 2 мкФ. Затем
его емкость за некоторое время равномерно увеличивают в 5 раз. При
этом в подводящих проводах выделяется в виде тепла 2,56 мДж
энергии. Сколько времени длилось увеличение емкости конденсатора?
Напряжение на конденсаторе считать постоянным и равным 2 кВ.
Результат представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
R = 100 Ом
C1 = 210-6 Ф
C2 = 5C1
W = 2,5610-3 Дж
U = 2 103 В
Энергия, которая выделяется в подводящих проводах в
виде тепла, может быть определена из закона ДжоуляЛенца.
W = Q = I2Rt,
(1)
где
q
I=
,
(2)
t
q = q2 – q1.
(3)
t = ?
Заряд в конденсаторе связан с электроемкостью соотношением:
q
С=
или q = CU .
U
Тогда, подставив (4) в выражение (3), получим:
q = C2U – C1U = U(C2 – C1) = U(5C1 – C1) = 4C1U.
(4)
А выражение (1) для энергии примет вид:
16C12U 2 R
 q 
2
R

t

W = I Rt =  
.
t
 t 
2
(5)
Из уравнения (5) найдем время, в течение которого длилось
увеличение емкости конденсатора
16C12U 2 R
t =
.
W
16  4 10 12  4 10 6 100
t =
= 10 (с)
2 ,56 10 3
Ответ: t = 10 с
5. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение
0,5 с пропускать ток плотностью 9 А/мм2, а 25% тепловой энергии
отдается окружающей среде? Удельное сопротивление меди 1,7108
Омм, плотность меди 8,9103 кг/м3, удельная теплоемкость меди
380 Дж/(кгК). Удельное сопротивление меди считать постоянным.
Результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
t = 0,5 с
j = 9 А/мм2 = 9106 А/м2
 = 25
уд = 1,710-8 Омм
пл = 8,9103 кг/м3
с = 380 Дж/(кгК)
При пропускании тока по проводнику,
последний нагревается на T. Необходимое
количество теплоты, которое идет на нагревание
проводника, определяется соотношением:
Т = ?
Q1 = cmT,
(1)
где m – масса проводника, связанная с его
плотностью соотношением:
m = плlS,
l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения.
Тогда выражение (1) перепишем в виде:
Q1 = cплlST.
(2)
(3)
Тепло, выделяющееся в проводнике, находим из закона ДжоуляЛенца.
Q2 = I2Rt,
(4)
I = j S.
(5)
где сила тока
Здесь j - плотность тока, S – площадь поперечного сечения
проводника. R в формуле (4) – сопротивление проводника,
определяемое из соотношения:
l
R =  уд .
(6)
S
Уравнение (4) с учетом (5) и (6) примет вид:
Q2 = j2S2  уд
l
t = j2Sудlt.
S
(7)
Так как по условию задачи 25% тепловой энергии отдается
окружающей среде, то на нагревание проводника идет 75 от
выделяющегося тепла, т.е.
Q1 = 0,75Q2.
(8)
Подставив выражения (3) для Q1 и (7) для Q2 в уравнение (8) найдем
изменение температуры медного провода.
cплlST = 0,75 j2Sудlt
или
cплT = 0,75j2удt.
Тогда Т будет равно:
0 ,75 j 2 удt
Т =
.
cпл
0 ,75  81 1012 1,7 10 8  0 ,5
Т =
= 0,15 (К)
380  8,9 103
Ответ: Т = 0,15 К
6. Электрическая цепь составлена из источника тока с ЭДС ,
внутренним сопротивлением 2 Ом и подключенных параллельно к
источнику тока резисторов. Сопротивление резистора R1 = 10 Ом
неизменно, а сопротивление R2 можно подобрать так, чтобы выделяемая
в этом резисторе мощность была максимальной. Найдите значение R2,
соответствующее этой максимальной мощности. Ответ представьте в
единицах СИ и округлите до десятых.
Дано:

r = 2 Ом
R1 = 10 Ом
P2 = max
R2 = ?
Решение:

r R1
R2
Мощность, выделяемая в резисторе
R2,
можно
определить
из
соотношения
U 22
Р2 =
,
(1)
R2
где
U2 = IRо.
(2)
Здесь Rо – суммарное сопротивление при параллельном соединении.
R1 R2
Rо =
.
(3)
R1  R2
Силу тока I находим из закона Ома для полной цепи.


I=
=
(4)
RR .
r  Ro
r 1 2
R1  R2
Выражения (3) и (4) подставим в закон Ома для участка цепи (2).

R1 R2
R1 R2
U2 =

=
.
(5)
RR
r  1 2 R1  R2 rR1  rR2  R1R2
R1  R2
Вернемся к уравнению (1). Перепишем его с учетом (5).
 2 R12 R22
 2 R12 R2
Р2 =
(6)
rR1  rR2  R1R2 2 R2 = rR1  rR2  R1R2 2 .
Здесь величина R2 – переменная. Для ее нахождения возьмем первую
производную в выражении (6) и приравняем ее нулю, так как Р2 = max –
по условию.
2
 2 R12 rR1  rR2  R1R2   2rR1  rR2  R1R2   r  R1    2 R12 R2
P2 
=
rR1  rR2  R1R2 3
 2 R12 rR1  rR2  R1R2 rR1  rR2  R1R2  2rR2  2 R1R2 
=
=
rR1  rR2  R1R2 4
 2 R12 rR1  rR2  R1R2  2rR2  2 R1R2 
=
=
rR1  rR2  R1R2 3
 2 R12 rR1  rR2  R1R2  2rR2  2 R1R2 
=0
rR1  rR2  R1R2 3
В полученном выражении нулю может быть равен только числитель.
 2 R12 rR1  rR2  R1R2  2rR2  2 R1R2  = 0.
2
Здесь 2  0 и R1  0 – по условию. Следовательно,
rR1 + rR2 + R1R2 - 2 rR2 - 2 R1R2 = 0.
rR1 + rR2 - 2 rR2 - R1R2 = 0.
rR1 + R2(r - 2r - R1) = 0.
Отсюда
R2(R1+ r ) = rR1,
rR1
R2=
R1  r  .
После вычислений имеем.
R2=
2 10
= 1,7 (Ом).
10  2
Ответ: R1 = 1,7 Ом
7. Куб из проволочек, каждая из которых имеет сопротивление 1 Ом,
включен в цепь, как показано на рисунке. Найдите полное
сопротивление куба. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до
сотых.
Дано:
Решение:
R = 1 Ом
R0 = ?
8
5
6
2
4
234
I
1
567
8
7
I
1
3
Дан куб из проволочек, сопротивление каждого ребра которого равно
R. Чтобы рассчитать его полное сопротивление построим
эквивалентную схему, используя метод склейки узлов. Этот метод
заключается в том, что, если несколько узлов имеют одинаковый
потенциал, то их можно соединить в узел. В нашей задаче узлы 2, 3 и 4
имеют одинаковый потенциал, так как сопротивление проводников
одинаково, и ток в точке 1 делится на три одинаковых тока. То же самое
относится к точкам 5, 6 и 7. После склеивания узлов получим три
последовательно соединенные группы, состоящие из параллельных
сопротивлений.
Сопротивление в первой и последней группе будет равно.
1
1
1 1 1 3

    .
R01 R03 R R R R
Тогда
R
R01 = R03 = .
3
Для средней группы проводников.
1
1 1 1 1 1 1 6
R
      
и R02 = .
R02 R R R R R R R
6
Сопротивление трех последовательно соединенных групп равно.
R
R
R 5R
R0 = R01 + R03 + R02 =
+ +
=
.
6
3
6
3
После вычислений имеем.
5 1
R0=
= 0,83 (Ом).
6
Ответ: R0 = 0,83 Ом
8. Найдите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной
100 м, по которому течет ток силой 70 А. масса электрона 9,110-31кг,
заряд электрона 1,610-19Кл. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
l = 100 м
Суммарный импульс электронов равен импульсу одного
I = 70 А
электрона умноженному на число электронов.
-31
p0 = pN,
m = 9,110 кг
-19
q = 1,610 Кл где импульс
p = m.
p=?
Тогда
p0 = mN.
Электроны проходят расстояние, равное длине провода l, за время t,
т.е. скорость их движения
l
=
.
t
Тогда формула для импульса электрона примет вид:
l
p0 = m N.
t
Заряд и сила тока связаны соотношением
q
q
I=
или t =
.
t
I
Перенесенный по проводнику заряд равен сумме элементарный
зарядов.
q = Ne.
Ne
t =
.
I
Полученное соотношение для времени t подставим в формулу для
импульса. Имеем
lI
mlI
p0 = m
N=
.
e
Ne
Подставим численные значения и рассчитаем суммарный импульс
электронов в прямом проводе.
9 ,1 10 31 100  70
p0 =
= 410-8 (кгм/с)
1,6 10 19
Ответ: p = 410-9кгм/с
9. Определите среднюю скорость упорядоченного движения свободных
электронов в медном проводнике сечением 1 мм2, если сила тока в нем
10 А. Принять, что на каждый атом меди приходится по два
электрона проводимости. Заряд электрона 1,610-19 Кл, молярная масса
меди 64 г/моль, число Авогадро 6,021023 моль-1, плотность меди
8600 кг/м3. Ответ представьте в миллиметрах за секунду и округлите
до сотых.
Дано:
S = 10-6 м2
I = 10 А
q = 1,610-19Кл
M = 6410-3кг/моль
N = 6,021023моль-1
 = 8600 кг/м3
Решение:
Если на каждый атом меди приходится по
два электрона проводимости, то плотность тока в
проводнике определим по формуле:
j = 2qn.
Отсюда и найдем скорость электрона.
j
=
.
2qn
=?
Здесь n – концентрация электронов, которая по
определению есть:
N
n=
,
V
где объем проводника V можно определить через плотность меди.
N
m
V=
 n=
.

m
А плотность тока по определению:
I
j= .
S
Тогда формула для скорости электронов примет вид:
Im
=
.
2qNS
Из соотношения
N
m
=
M NA
найдем массу провода
m=M
N
.
NA
Тогда окончательно скорость
IMN
IM
=
=
.
2qNSN A 2qSN A
10  64 10 3
-3
=
19
6
23 = 0,3910 (м/с) = 0,39 (мм/с).
2 1,6 10  8600 10  6 ,02 10
Ответ:  = 0,39 мм/с
10. Имеются две проволоки одинаковой длины, но разного квадратного
сечения, сделанные из одного и того же материала. Сторона сечения
первой проволоки d1 = 1 мм, второй — d2 = 4 мм. Для того чтобы
расплавить первую проволоку, через нее нужно пропустить ток I1 =
10 A. Определите силу тока I2, который нужно пропустить через вторую
проволоку, чтобы она расплавилась. Считать, что количество теплоты,
уходящее в окружающую среду за 1 секунду, подчиняется закону Q =
kS(T - Tср), где S - площадь поверхности проволоки, Т — температура
проволоки, Tср — температура окружающей среды вдали от проволоки,
k - коэффициент пропорциональности, одинаковый для обеих проволок.
Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
l1 = l2 = l
S1  S2 (d1  d2)
1 = 2 = 
d1 = 10-3 м
d2 = 410-3 м
I1 = 10 A
t=1c
Q = kS - (T - Tср)
По условию задачи проволока сначала нагревается, а
затем плавится. При нагревании выделяется количество
теплоты, определяемое по закону Джоуля-Ленца.
I2 = ?
Тогда
Q = I2Rt.
(1)
Количество теплоты, уходящее в окружающую среду
за 1 секунду, подчиняется закону Q = kS(T – Tср), где S –
площадь поверхности проволоки, которую можно
определить как
S = 4dl.
(2)
Q = k4dl(T – Tср).
Приравнивая уравнения (1) и (3) имеем:
(3)
I12 R1t = k4d1l(T – Tср),
(4)
где
l
l
и R2 =  , а d2 = 4d1 – из условия задачи,
s1
s2
s – площадь поперечного сечения проволоки. s = d2.
Тогда
R1 =
(5)
2
R2 l s1 d12  d1 
1
R
  , т.е. R2 = 4 1 .
   2  
(6)
R1 s2 l d 2  4d1  16
16
Следовательно, уравнение (4) для второй проволоки запишем в виде:
I 22 R2t = k4d2l(T – Tср),
или с учетом (5) и (6):
I 22 
R1
t = k44d1l(T – Tср).
16
(7)
Уравнения (7) и (4) поделим друг на друга:
k  4  4d1l T  Tср 
I 22 R1t

,
16  I12 R1t
k  4d1l T  Tср 
2
 I2 
  = 64,
 I1 
I2
=8
I1
или
I2 = 8 I1 = 80 (A).
Ответ: I2 = 80 А
11. Вакуумный диод, у которого анод (положительный электрод) и
катод (отрицательный электрод) - параллельные пластины, работает в
режиме, когда между током и напряжением выполняется соотношение
I = U3/2, где  - постоянная величина: Во сколько раз увеличится сила,
действующая на анод из-за удара электронов, если напряжение на диоде
увеличить в два раза? Начальную скорость вылетающих электронов
считать равной нулю.
Дано:
I = U3/2
U2 = 2 U1
F2
=?
F1
Решение:
При ударе электронов аноду передается импульс
силы, равный
р = Ft.
(1)
Отсюда найдем нужную нам силу.
p
,
t
где N - число электронов. С другой стороны импульс электронов
F =N
(2)
р = m.
(3)
Тогда уравнение (2) запишем в виде:
m
F =N
.
(4)
t
Сила тока
I = jS = enS,
(5)
где j – плотность тока, S – площадь сечения проводника (в нашем случае
– это площадь анода), е – заряд электрона, n - концентрация электронов.
n =
N
.
V
(6)
Запишем уравнение (5) с учетом концентрации (6).
I=e
N
N
eN
S = e
S =
,
Sd
d
V
(7)
где
at 2
at 2
 = 0t +
=
,
2
2
(0 = 0).
Тогда
I=
eN
2eN
=
.
d
t
(8)
Ответ:
F2
=4
F1
12. При длительном протекании тока 1,4 А через проволоку последняя
нагрелась до температуры 55°С, а при протекании тока 2,8 А до
температуры 160°С. До какой температуры нагреется проволока при
токе 5,5 А? Теплоотдача с единицы поверхности проволоки
пропорциональна разности температур проволоки и воздуха.
Температура воздуха неизвестна. Зависимостью сопротивления
проволоки от температуры пренебречь. Ответ представьте в градусах
Цельсия и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
При пропускании тока через проволоку выделяется
количество теплоты, равное
Q1
 k tп1  tв  ,
S
Q1 = Sk tп1  tв 
(1)
где k – коэффициент пропорциональности.
Количество теплоты, необходимое для нагревания
t3 = ?
проводника, определим по закону Джоуля-Ленца.
I1 = 1,4 А
t1 = 55°С
I2 = 2,8 А
t2 = 160°С
I3 = 5,5 А
Q/S = k(tп – tв)
2
Q1 = I1 Rt.
(2)
Здесь согласно условию задачи пренебрегаем
сопротивления проволоки от температуры.
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2).


Sk tп1  tв = I12 Rt.
(3)
Аналогично, второго случая.
Sk tп 2  tв = I 22 Rt,
Теперь, решая совместно (3) и (4), определим tв,
Sk tп1  tв  I12 Rt
=
,
Sk tп 2  tв  I 22 Rt

зависимостью

(4)
tп1  tв
I12
=
.
tп 2  tв I 22
Отсюда




I 22 tп1  tв = I12 tп 2  tв ,
I 22 tп1 – I 22 t в = I12 tп 2 – I12 t в ,
I 22 tп1 – I12 tп 2 = ( I 22 - I12 )tв,
I 22tп1  I12tп 2
tв =
.
I 22 - I12
(5)
Аналогично, для температуры t3.
I 32tп1  I12tп 3
tв =
.
I 32 - I12
Приравняем правые части уравнений (5) и (6).
(6)
I 22tп1  I12tп 2
I 32tп1  I12tп 3
=
.
I 22 - I12
I 32 - I12
Из этого уравнения, подставив численные значения, найдем
температуру t3, до которой нагреется проволока.
2 ,82  55  1,4 2 160 5,52  55  1,42 tп 3
=
.
2 ,82 - 1,4 2
5,52 - 1,42
431,2  313,6 1663,75  1,96tп 3
=
.
30 ,25 - 1,96
7 ,84 - 1,96
1663,75  1,96tп 3
20 =
.
30 ,25 - 1,96
t3 =
1663,5  28,29  20
= 560°С
1,96
Ответ: t3 = 560°С
13. Сколько электроэнергии (в кДж) надо потратить для получения из
подкисленной воды водорода, имеющего при температуре 27 °С и
давлении 100 кПа объем 2,510-3 м3, если электролиз ведется при
напряжении 5 В, а к.п.д. установки 75%? Результат округлите до целого
числа.
Дано:
Решение:
Н2
К.п.д. определяется по формуле
t = 27°С, Т = 300 К
A
p = 100 кПа = 105 Па
 п ,
Aз
V = 2,510-3 м3
где полезная работа определяется как
U=5B
Aп = qU,
 = 75% = 0,75
а затраченная - равна электроэнергии, которую надо
W=?
потратить для получения из подкисленной воды водорода.
Aз = W.
Тогда
Aп qU

.


Заряд q можно найти из закона электролиза
m = kq,
W
откуда
q
m
.
k
M
– электрохимический эквивалент, M – молярная масса,
Fn
F = 96500 Кл/моль – число Фарадея, n – валентность. Массу найдем из
уравнения состояния газа
m
pV 
RT ,
M
т.е.
pVM
m
.
RT
Тогда электроэнергия, которую надо потратить для получения из
подкисленной воды водорода, найдем из выражения
Здесь k 
W
mU pVM U
pVM Fn U pVFnU




 
.
k
RT k
RT M 
RT 
Подставим численные значения и произведем вычисления
105  2.5  10 3  96500 1  5
W
 64 (кДж).
8.31  300  0.75
Ответ: W = 64 кДж
14. Цепь, приведенная на рисунке, собрана из одинаковых резисторов
сопротивлением R и одинаковых вольтметров сопротивлением r.
Первый вольтметр показывает 10 В, а третий – 8 В. Что показывает
второй вольтметр? Ответ представьте в единицах СИ и округлите до
десятых.
Дано:
R
r
U1 = 10 В
U3 = 8 В
Решение:
I0

R
I1
Напряжения, которые показывают
вольтметры:
I2
R
R
I1 V1 I2 V2
V3
U2 = ?
U1 = I1r
U2 = I2r
U3 = I2r,
где
I 2 
Но из рисунка видно, что
U3
.
r
(1)
U1 = I1r + U2
U2 = I2r + U3.
Отсюда
U1  U 2
;
r
U  U3
I 2  2
.
R
В выражениях (1) и (3) приравняем правые части.
U 2  U3 U3
=
.
R
r
По закону Кирхгофа:
U 2 U3 U 2  U3
I1 = I2 + I2 =
+
=
.
r
r
r
Приравняем правые части (2) и (5).
U1  U 2 U 2  U 3
=
.
R
r
Поделим четвертое уравнение на шестое.
R
r
U 2  U3
U3

=

,
U1  U 2 r U 2  U 3
R
I1 
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
U 22  U 32  U 3 U1 - U 2  .
Подставим численные значения и произведем вычисления.
U 22 - 64 = 8(10 – U2),
U 22 + 8U2 - 144 = 0.
U2 
 8  64  144,4
= 8,6 (В).
2
Ответ: U2 = 8,6 В
15. Какое количество меди выделилось из раствора медного купороса
за 100 с, если ток, протекающий через электролит, менялся по закону
I(t) = (5 – 0,02t) А, где t – время в секундах? Электрохимический
эквивалент меди 3,310-7кг/Кл. Ответ представьте в граммах и округлите
до сотых.
Дано:
Решение:
t = 100 с
I(t) = (5 – 0,02t) А
k = 3,310-7кг/Кл
Количество меди, выделившееся из раствора
медного купороса, можно найти из закона Фарадея.
m=?
m = kq.
Сила тока по определению:
dq
I=
.
dt
Отсюда
Для нахождения
проинтегрировать.
t2
заряда
t2
dq = Idt.
полученное
t2
выражение
t2
необходимо
t 2 t2
q =  Idt =  5  0 ,02t dt =  5dt   0 ,02tdt = 5t  0,02
=
t1
2 t1
t1
t1
t1
t1
t2
t 2 100
 0,02
= 5t
= 400 (Кл).
0
2 0
100
m = kq = 3,310-7400 = 13203,310-7 (кг) = 0,13 (г).
Ответ: m = 0,13 г
16. Плоская горизонтальная фигура площадью 0,1 м2, ограниченная
проводящим контуром с сопротивлением 5 Ом, находится в однородном
магнитном поле. Пока проекция вектора магнитной индукции на
вертикальную ось Z медленно и равномерно возрастает от B1Z = -1,5 Тл
до некоторого конечного значения B2Z по контуру протекает заряд
0,08 Кл. Найдите B2Z. Ответ представьте в единицах СИ. [2,5]
Дано:
S = 0,1 м2
R = 5 Ом
B1Z = -1,5 Тл
q = 0,08 Кл
Решение:
Bz
S
R
B2Z = ?
возникает эдс индукции.
Контур пронизывает магнитный поток
Ф = BScos = BS,
так как  = 0, а cos = 1.
Так как магнитная индукция меняется
(по условию задачи), то в контуре
 Ф SB S
=
= (В2z – В1z).
(1)
t
t
t
С возникновением эдс индукции по контуру протекает индукционный
ток.

I= .
R
Но сила тока по определению
i = 
I=
q
.
t
Тогда

q
R q
=
 =
.
(2)
t
t
R
Сравнивая выражения (1) и (2), получим.
S
R q
(В2z – В1z) =
или S (В2z – В1z) = Rq.
t
t
Из полученного уравнения определим искомую индукцию B2Z.
Rq
B2Z =
+ В1z.
S
0,08  5
B2Z =
+ 1,5 = 2,5 (Тл).
0,1
Ответ: B2Z = 2,5 Тл
17. Круглый виток провода замкнут на конденсатор емкостью 20 мкФ.
Нормаль к плоскости витка составляет угол 60° с направлением вектора
магнитной индукции. Определите скорость изменения индукции
магнитного поля, если заряд на пластинах конденсатора равен 10-9 Кл.
Диаметр витка 8 см. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до
сотых. [0,02]
Дано:
Решение:
Контур пронизывает магнитный
С = 210-5 мкФ
поток
 = 60°
n
B
-9
Ф = BScos,
q = 10 Кл

2
-2
d = 8 см = 810 м
d
d 2
где S =
. Тогда Ф = B
cos.
C
B
4
4
=?
t
Если меняется индукции магнитного поля (по условию), то возникает
эдс индукции.
Ф B d 2

i = 
=
cos.
(1)
t
t 4
Электроемкость конденсатора
q
С=
.
U
Или для нашего случая
q


Приравняем уравнения (1) и (2).
С=
=
q
.
C
(2)
B d 2
q

cos = .
C
t 4
Из полученного выражения найдем скорость изменения индукции
магнитного поля.
109  4  2
B
q
4
=  2
=
= 0,02 (Тл/с) .
t
C d  cos  2 105  3,14  64 104
B
Ответ:
= 0,02 Тл/с
t
18. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом
45 к линиям индукции и движется по спирали. Определите радиус
спирали, если частица смещается за один оборот вдоль линий индукции
поля на 6,28 см. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целого
числа.
Дано:
 = 45
h = 6,28 см
R=?
Решение:
Вдоль
оси
х
движение
равномерное, со скоростью || и за
время, равное периоду, частица
проходит расстояние h = 6,28 см.
h = ||T = cosT.
В плоскости, перпендикулярной
оси х, под действием силы Лоренца частица движется по окружности.
Сила Лоренца действует на только вертикальную составляющую
скорости = sin.
qB = maц.
Тогда
m2
m 
qB =
или qB 
.
R
R
Выразим отсюда радиус спирали, по которой движется частица:
m m sin 
R

,
(2)
qB
qB
то есть, чтобы рассчитать радиус спирали нужно знать скорость
движения частицы.
(1)
Период при движении по окружности:
Т=
2 R
.

Или с учетом радиуса (2):
T
2 m 2m


,
 qB
qB
(3)
то есть период не зависит от скорости движения частицы. Подставим (3)
в (1).
h
 cos   2m
,
qB
отсюда
qBh
.
(4)
2m  cos 
Полученное выражение скорости (4) подставим в уравнение (2) и
рассчитаем искомый радиус спирали.
m sin  m sin 
qBh
htg 6,28 1
R




 1 (см).
qB
qB
2m  cos 
2
2

Ответ: R = 1 см
19. В однородное магнитное поле с индукцией В, направленной
горизонтально, внесена конструкция, представленная на рисунке.
Плоскость конструкции перпендикулярна силовым линиям магнитного
поля. Перемычка AD свободно скользит без нарушения контакта.
Определите индукцию В, если перемычка достигла максимальной
скорости 1 м/с. Плотность вещества перемычки 8800 кг/м3, удельное
сопротивление
1,7510-8 Омм. Принять g = 10 м/с2. Результат
представьте в миллитеслах (1 мТл = 10-3 Тл) и округлите до целого
числа.
Дано:
max = 1 м/с
пл = 8800 кг/м3
уд = 1,7510-8 Омм
G = 10 м/с2
В=?
Решение:
Выполним рисунок, расставим
силы, действующие на перемычку.
+ B
FA
mg
FA = mg,
где m – масса перемычки
m = плlS,
(1)
FA – сила Ампера, которая определяется выражениеFA = IBlsin.
Здесь  - угол между вектором магнитной индукции и единичным

вектором l , равным по величине длине проводника и по направлению,
совпадающий с направлением силы тока. В нашей задаче  = 90, а
sin = 1.
Тогда сила Ампера:
FA = IBl.
(2)
Силу тока, входящую в полученное выражение, найдем из закона Ома

I i,
(3)
R
где сопротивление проводника, связанно с его удельным
сопротивлением соотношением
l
R   уд ,
(4)
S
а ЭДС индукции, возникающая в движущемся проводнике
i = maxBlsin1.
1 – угол между вектором магнитной индукции и вектором скорости.
1 = 90, а sin1 = 1. Тогда
i = maxBl.
(5)
С учетом (2), (3), (4) и (5) уравнение (1) запишем в виде
IBl =плlSg,
 max B 2lS
 max B 2
i
B = плSg или
= плSg,
= плg.
 удl
 уд
R
Выразим отсюда индукцию В магнитного поля и рассчитаем ее
численное значение.
 пл  удg
8800 1,75 10 8 10

В=
= 3910-3 (Тл) = 39 (мТл).
 max
1
Ответ: В = 39 мТл
20. Кольцо радиусом 10 см из медной проволоки диаметром 1 мм
помещено в однородное магнитное поле с индукцией 1 Тл так, что
плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции. Кольцо
деформируют в квадрат. Какое количество электричества протечет
через сечение проволоки? Удельное сопротивление меди 1,710-8 Омм.
Результат представьте в единицах СИ и округлите до десятых.
Дано:
r = 10 см = 0,1 м
d = 1 мм = 10-3 м
В = 1 Тл
 = 1,710-8 Омм
q = ?
Решение:
B
B
n
n
Кольцо, помещенное в
однородное
магнитное
поле,
пронизывает
магнитный поток.
Ф = Bscos.
Здесь  - угол между
вектором
магнитной
индукции и вектором
нормали к поверхности кольца. Из рисунка понятно, что  = 0, а соs  =
1. Тогда
Ф = Bs.
(1)
Когда кольцо деформируют в квадрат, меняется его площадь. Так
площадь кольца
s1 = r2,
а площадь квадрата
s2 = а2,
где а – сторона квадрата, равная четверти его периметра. А периметр
равен длине окружности кольца l = 2r, то есть
2r r

а=
.
4
2
Тогда
2 r 2
s2 
.
4
Если же меняется площадь s, то меняется магнитный поток.
Ф = Ф2 – Ф1 = В (s2 – s1),
 2 r 2

 
Ф  B
 r 2   Br 2   1 .
4 
 4

Изменение магнитного потока вызывает возникновение ЭДС
индукции в контуре
Br 2   
Ф
  1 ,
i = =
t
t  4 
а, следовательно, по контуру протекает индукционный ток, равный
i
i=
,
(2)
R
где сопротивление проводника R 
l
.
S пр
l = 2r;
S пр 
d 2
,
4
8r 8r
 2 .
d 2
d
Тогда уравнение (2) запишем в виде:
Br 2    d 2
Brd 2   
  1 
  1 .
i=
=
(3)
t  4  8r
8t  4 
Но по определению сила тока записывается в виде:
q
i=
.
(4)
t
Приравнивая правые части выражений (3) и (4), получим.
Brd 2    q
  1 =
.
t
8t  4 
Из полученного уравнения найдем количество электричества, которое
протечет через сечение проволоки.
2
   Brd

1

q = 
.
 4  8
Подставив численные значения, имеем:
   1   0.1106
 0,5 (Кл)
q =   1
8
 4  8 1.7 10
следовательно R 
Ответ: q = 0,5 Кл
21. По обмотке длинного цилиндрического соленоида радиусом 0,1 м
протекает постоянный ток, создающий внутри соленоида однородное
магнитное поле с индукцией 0,02 Тл. Между витками соленоида в него
влетел по радиусу (перпендикулярно оси соленоида) протон со
скоростью 240 м/с. Отклоняясь в магнитном поле, протон спустя
некоторое время покинул соленоид. Определите время движения
протона внутри соленоида. Масса протона 1,6710-27 кг, заряд протона
1,610-19 Кл. Ответ представьте в микросекундах и округлите до
десятых.
Дано:
Решение:
R = 0,1 м
В = 0,02 Тл
 = 240 м/с
m = 1,6710-27 кг
q = 1,610-19 Кл
t(мкс) = ?
1)
2)
I = const

I
O

r
C
S

O
p
A
B

B
+
R
Когда протон попадает в магнитное поле, на него начинает
действовать сила Лоренца:
F = qB sin.
Здесь угол  - это угол между вектором магнитной индукции и
вектором скорости протона. Из условия задачи понятно, что  = 90 и
sin = 1. Тогда силу Лоренца запишем в виде:
F = qB.
1)
Так протон влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям
магнитной индукции, то в дальнейшем он будет двигаться по
окружности. Следовательно,
qB = maцс,
где
2
aцс =
.
r
Тогда,
m
m 2
qB =
или qB =
.
r
r
Отсюда, радиус окружности равен
m
r=
.
(2)
qB
Расстояние, которое прошел протон внутри соленоида, равно длине

дуги S. Это расстояние частица проходит с постоянной скоростью  за
время t, то есть
S = t.
(3)
С другой стороны длина дуги связана с углом поворота 
соотношением:
S = r.
(4)
В уравнениях (3) и (4) приравняем правые части и выразим время t с
учетом (2).
t = r.
t=
r
m
=
.
qB

(5)
В треугольнике ОАО ОА = R, ОА = r.

RqB
R
tg =
=
.
m
2
r
Тогда

RqB
= arctg
m
2
RqB
 = 2arctg
.
(6)
m
Подставим найденное выражение для угла  в уравнение (5).
RqB
m
m
t=
=2
arctg
.
(7)
m
qB
qB
После подстановки численных значений в уравнение (7) определим
время движения протона внутри соленоида.
1,67  1027
101  1,6  1019  2  102
t = 2
= 0,810-6 (с) = 0,8 (мкс).
 27
5
19
 2 arctg
1,67  10  2  10
1,6  10  2  10
Ответ: t = 0,8 мкс
22. Квадратная рамка из медной проволоки, площадь которой 25 см2,
помещена в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Нормаль к
плоскости рамки параллельна вектору магнитной индукции. Площадь
сечения проволоки рамки 1 мм2. Какой заряд пройдет по рамке после
выключения поля? Удельное сопротивление меди 1,710-8 Омм. Ответ
представьте в единицах СИ и округлите до тысячных.
Дано:
Решение:
Sр = 25 см2 = 2510-4 м2
В1 =0,1 Тл

n || B
sс = 1 мм2 = 10-6 м2
В2 = 0
 = 1,710-8 Омм
Рамку, помещенную в магнитное поле,
пронизывает магнитный поток
Ф = BSрcos.
Здесь угол  - это угол между вектором
магнитной индукции
и нормалью к поверхности
 
рамки. Так как n || B , то  = 0, а cos = 1. Тогда
q = ?
Ф1 = B1Sр,
Ф2 = B2Sр = 0.
А так как магнитный поток меняется, то в контуре возникает ЭДС
индукции i:
BS р
Ф
i = =
.
t
t
Следовательно, по контуру потечет индукционный ток.
i
I=
,
R
где R – сопротивление контура.
l
R=
.
sc
Тогда
 i sc
I=
,
l
где
l – длина проволоки, равная периметру рамки: l = 4а (а – сторона рамки,
равная а = S р , т.е. l = 4 S р ).
Тогда
I=
Bs c S р
BS р sc
BS р sc
=
=
.
4 S р t
lt
4t
С другой стороны сила тока по определению:
q
I=
.
t
Приравняем правые части полученных выражений.
Bs c S р
Bs c S р
q
=
, q =
.
4t
4
t
Произведем вычисления.
0,1 106  25 104
q =
= 0, 074 (Кл).
4 1,7 108
Ответ: q = 0,074 Кл
23. Положительно заряженная частица прошла ускоряющую разность
потенциалов 104 В и влетела в скрещенные под
прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и
магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найдите отношение
заряда частицы к ее массе, если, двигаясь
перпендикулярно обоим полям, частица не
испытывает отклонений от прямолинейной
представьте в мегакулонах на килограмм.
Дано:
траектории.
Ответ
Решение:
 = 104 В
Е = 104 В/м
В = 0,1 Тл
q
=?
m
Заряженная частица влетела в электрическое и магнитное
поля. Со стороны электрического поля на нее действует

электрическая сила Fэл , со стороны магнитного поля – сила

Лоренца Fл . В электрическом поле направление силы для
положительно заряженной
частицы будет совпадать с

направлением поля E , а в магнитном поле направление
силы Лоренца определяем по правилу левой руки. Эта сила в нашем

случае будет направление противоположно Fэл (см.рис.). Двигаясь
перпендикулярно обоим полям, частица не будет испытывать
отклонений от прямолинейной траектории, если силы, действующие на
нее, будут скомпенсированы, т.е.:
Fэл = Fл,
(1)
Fэл = qE,
(2)
где
Fл = qBsin.

Здесь угол  - это угол между вектором магнитной индукции B и

вектором скорости  . Из рисунка видно, что  = 90, соответственно,
sin = 1. Тогда
Fл = qB.
(3)
Уравнение (1) с учетом (2) и (3) запишем в виде:
qE = qB
или
E = B.
Т.е. скорость частицы равна.
E
.
(4)
B
Пройдя ускоряющую разность потенциалов , частица приобретает
скорость . Следовательно, она совершает работу, равную
=
А = q.
(5)
При этом у нее меняется кинетическая энергия на величину, равную
работе, совершенной частицей:
А = Е.
(6)
m 2
Е =
.
2
(7)
Тогда
m 2
q =
.
2
В полученное уравнение подставим найденное ранее выражение для
q
скорости (5) и найдем отношение заряда частицы к ее массе
.
m
2
m E
q =    .
2 B
2
q
1 E
=
  .
2   B 
m
И окончательно:
q
1
=
m 2 104
2
 104 
  1  = 0, 5106 (Кл/кг) = 0, 5 (МКл/кг) .
 10 
q
Ответ:
= 0,5 МКл/кг
m
24. Виток из проволоки сечением S, удельным сопротивлением  и
диаметром D расположен в однородном магнитном поле с индукцией В
перпендикулярно к полю. Какой заряд пройдет по витку, если
направление поля изменить на противоположное? Виток вытянуть в
сложенную вдвое прямую? Площадь, ограниченная витком,
уменьшалась равномерно.
Дано:
S

D
q = ?
Решение:
n
B
n
B
1)
В
магнитном
поле
пронизывает магнитный поток
виток
Ф1 = ВScos.
Т.к.  = 0 (это угол между вектором
магнитной индукции и нормалью), то cos = 1 и
Ф1 = ВS.
Если изменить направление поля на противоположное, то  = 180 и
cos = -1. Изменится и магнитный поток
Ф2 = -ВS.
Изменение магнитного потока вызовет возникновение э.д.с. индукции
в витке
Ф Ф1  Ф2 2 BS к 2 BD 2 BD 2
i  




.
t
t
t
t  4
2t
Следовательно, по витку протечет индукционный ток

BD 2
Ii  i  
,
R
2tR
где R – сопротивление, которое можно определить как
l D
R 
.
S
S
Т.е.
BD 2S BDS
Ii  

.
2t D 2t 
Т.к. по определению
q
Ii 
,
t
то
BDS
BDS
q  I i t 
t 
.
2t
2
2) Виток сложили вдвое в прямую, следовательно, площадь контура во
втором случае будет равна нулю. Изменение площади контура
S = Sк – 0 = Sк,
и магнитный поток
 = BSк.
Тогда
BD 2 S BDS
q 

,
4D
4
где S – площадь поперечного сечения провода.
Ответ: 1) qi 
BDS
BDS
; 2) qi 
4
2
25. По двум горизонтальным параллельным проводникам, отстоящим
друг от друга на 0,5 м, перемещают с постоянной скоростью 10 м/с
проводник-перемычку. Между левыми концами проводников включены
последовательно два конденсатора, причем емкость второго в 1,5 раза
больше емкости первого. Вся система находится в однородном
магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости, в которой
лежат проводники. Найдите величину индукции поля, если на втором
конденсаторе напряжение равно 0,5 В. Ответ представьте в единицах
СИ.
Дано:
Решение:
С1
l = 0,5 м
 = 10 м/с
C2 = 1,5C1
+ B
U2 = 0,5 В
B=?
С2
Вся система представляет собой замкнутый
контур, помещенный в магнитное поле. Этот
контур пронизывает магнитный поток
Ф1= ВS1cos.
х

Т.к.  = 0 (это угол между вектором магнитной
индукции и нормалью), то cos = 1 и Ф1 = ВS1.
Через время t перемычка переместится на расстояние х = t.
Площадь контура увеличится на величину, равную
S = xl = tl.
Изменится тогда и магнитный поток.
Ф = ВS = Вtl.
Изменение магнитного потока вызывает возникновение эдс индукции
магнитного поля.
Ф Blt

i = = Вl.
t
t

В= i .
l
Но эдс индукции есть сумма напряжений на конденсаторах.
i = U1 + U2.
Так как
q1
q2
С1 =
и С2 =
.
U1
U2
Конденсаторы соединены последовательно, следовательно, q1 = q2.
Тогда
С1U1 = С2U2, С1U1 = 1,5С1U2,
U1 = 1,5U2 = 0,75 В.
i = 0,75 + 0,5 = 1,25.
1,25

В= i =
= 0,25 (Тл).
l
10  0,5
Ответ: B = 0,25 Тл
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Два проводящих кольца 1 и 2 разных диаметров расположены в одной
плоскости в однородном магнитном поле, индукция которого с
течением времени равномерно возрастает. В каком кольце (1) или
(2) индуцируется больший ток, если массы колец одинаковы и
изготовлены они из одного и того же материала? [токи одинаковы]
2. Температура накала нити электролампы 2000°С. Температурный
коэффициент сопротивления лампы 0,0045 1/К. Во сколько раз
сопротивление раскаленной нити больше, чем холодной, при 0°С? [10]
3. Медная проволока обладает электрическим сопротивлением 6 Ом.
Каким электрическим сопротивлением обладает медная проволока, у
которой в два раза больше длина и в три раза больше площадь
поперечного сечения? [4]
4. Сколько витков проволоки следует вплотную намотать на фарфоровую трубку радиусом 10 см; чтобы изготовить реостат сопротивлением
50 Ом? Удельное сопротивление проволоки 510-6 Омм, ее диаметр 2
мм. [50]
5. На сколько одинаковых частей надо разрезать однородный проводник
сопротивлением 36 Ом, чтобы, соединив эти части параллельно,
получить сопротивление 1 Ом? [6]
6. В каждую из сторон правильного шестиугольника включено
сопротивление 20 Ом. Кроме того, каждая из вершин соединена с
центром шестиугольника таким же сопротивлением. Чему равно
сопротивление получившейся системы при подключении соседними
вершинами? [11]
7. Два проводника одинаковой длины из одного и того же материала
соединены последовательно. Диаметр первого проводника 1 мм,
второго 2 мм. К системе приложено напряжение 300 В. Определите
напряжение на втором проводнике. [60]
8. Во сколько раз увеличится верхний предел шкалы вольтметра с
сопротивлением 1 кОм, если к нему последовательно присоединить
добавочное сопротивление 9 кОм? [10]
9. Амперметр имеет внутреннее сопротивление 0,02 Ом, его шкала
рассчитана на силу тока 1,2 А. Определите сопротивление (в мОм)
шунта, который надо присоединить к амперметру параллельно, чтобы
им можно было измерять силу тока до 6 А. [5]
.
10. При замыкании элемента на сопротивление 1,8 Ом в цепи идет ток
силой 0,7 А, а при замыкании на сопротивление 2,3 Ом сила тока в цепи
0,56 А. Найдите ток короткого замыкания. [7]
11. Сколько времени (в минутах) потребуется для испарения 132 г
кипящей воды, если вода получает 50% энергии, выделяющейся в
электроплитке? Напряжение на плитке 220 В, сила тока 4,6 А. Удельная
теплота парообразования воды 2,3 МДж/кг. [10]
12. При ремонте электроплитки спираль была укорочена на 0,2
первоначальной длины. На сколько процентов увеличилась мощность
плитки? Удельное сопротивление спирали считать постоянным. [25]
13. Конденсатор емкостью 6 мкФ, заряженный до напряжения 200 В,
подсоединяют для перезарядки к источнику с ЭДС 100 В, причем
положительно заряженную обкладку соединяют с положительным
полюсом источника, а отрицательно заряженную — с отрицательным.
Сколько теплоты (в мДж) выделилось при перезарядке? [30]
14.
Внутри
плоского
конденсатора
находится
стеклянная
диэлектрическая пластина, полностью заполняющая пространство
между обкладками. Емкость конденсатора без пластины 10 мкФ,
диэлектрическая проницаемость стекла 1,5. Какую работу (в мДж) надо
совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора, если он
подключен к источнику тока с ЭДС 200 В? [100]
15. Батарея состоит из десяти последовательно включенных элементов с
ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 4 Ом каждый. К батарее
присоединяют электролитическую ванну сопротивлением 200 Ом.
Сколько миллиграмм цинка выделится на электроде за 6 часов работы?
Электрохимический эквивалент цинка 0,4 мг/Кл. [3600]
16. Для того чтобы наполнить водородом воздушный шар, электролиз
подкисленной воды проводился 1000 часов. Сила тока при электролизе
была 500 А. Чему равна подъемная сила (выталкивающая сила минус
вес газа, заполняющего шар) наполненного воздушного шара?
Электрохимический эквивалент водорода 10-8 кг/Кл, молярные массы
водорода и воздуха— 2 и 29 кг/кмоль. Водород и окружающий шар
воздух имеют одинаковые давления и температуры. g =10 м/с2. [2430]
17. При электролизе раствора серной кислоты расходуется мощность
37 Вт. Определите сопротивление электролита, если за 500 минут
выделяется 0,3 г водорода. Электрохимический эквивалент водорода 108
кг/Кл. [37]
18. Прямой проводник с током помещен в однородное магнитное поле
перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз уменьшится сила,
действующая на проводник со стороны магнитного поля, если его
повернуть так, чтобы направление тока в проводнике составляло угол
30° с вектором индукции поля? [2]
19. С какой силой взаимодействуют два параллельных провода с токами
силой 300 А, если длина проводов 50 м и каждый из них создает в месте
расположения другого провода магнитное поле с индукцией 1,2 мТл?
[18]
20. Определите работу (в мДж), совершаемую силой Ампера при
перемещении проводника длиной 0,2 м с током силой 5 А в однородном
магнитном поле на расстояние 0,5 м. Проводник расположен
перпендикулярно линиям поля и движется в направлении силы Ампера.
Индукция магнитного поля 0,1 Тл. [50]
21. Прямой проводник длиной 20 см и массой 50 г подвешен
горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле,
вектор индукции которого направлен горизонтально и перпендикулярно
к проводнику. Какой ток надо пропустить через проводник, чтобы одна
из нитей разорвалась? Индукция поля 50 мТл. Каждая нить разрывается
при нагрузке 0,4 Н. g = 10 м/с2. [30]
22. Проводник длиной 10 см располагается горизонтально и
перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. При
напряжении на проводнике 100 В магнитная сила уравновешивает силу
тяжести. Чему равна плотность (в г/см3) проводника, если его удельное
сопротивление 10-5Омм, а индукция магнитного поля 1 мТл?
g = 10 м/с2. [10]
23. Три стороны квадрата из проволоки жестко скреплены друг с
другом, а четвертая может скользить по ним. Квадрат расположен на
горизонтальной поверхности и находится в однородном вертикальном
магнитном поле с индукцией 100 мТл. Какой ток надо пропустить по
контуру, чтобы сдвинуть подвижную сторону, если ее масса 20 г, а
коэффициент трения в контактах 0,2? g = 10 м/с2. Сторона квадрата 10
см. [4]
24. Максимальный момент сил, действующих на прямоугольную рамку
с током силой 50 А в однородном магнитном поле, равен 1 Нм. Какова
индукция поля, если ширина рамки 0,1 м, а длина 0,2 м? [1]
25. Прямоугольный контур площадью 150 см с током силой 3 А, на
который действует только однородное магнитное поле с индукцией
0,1 Тл, занял положение устойчивого равновесия. Какую после этого
надо совершить работу (в мДж), чтобы медленно повернуть его на 180°
вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон? [9]
26. Во сколько раз электрическая сила, действующая на электрон,
больше магнитной силы, если напряженность электрического поля
1,5 кВ/м, а индукция магнитного поля 0,1 Тл? Скорость электрона равна
200 м/с и направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного
поля. [75]
27. В однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции
влетают протон и альфа-частица. Во сколько раз скорость альфачастицы больше скорости протона, если сила, действующая со стороны
магнитного поля на альфа-частицу, в 8 раз больше, чем сила,
действующая на протон? [4]
28. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 500 В, попал в
однородное магнитное поле с индукцией 0,001 Тл. Найдите радиус
кривизны (в мм) траектории электрона. Заряд электрона 1,610-19 Кл, его
масса 910-31 кг. [75]
29. Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного
магнитного поля с индукцией 0,001 Тл, где движется по дуге
окружности радиусом 0,2 м. Затем частица попадает в однородное
электрическое поле, где пролетает участок с разностью потенциалов
1000 В, при этом ее скорость уменьшается в 3 раза. Определите
конечную скорость (в км/с) частицы. [3750]
30. Положительно заряженный груз массой 2 г подвешен на нити
длиной 10 см в горизонтальном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл.
Нить с грузом отклоняют в горизонтальное положение в плоскости,
перпендикулярной полю, и отпускают. Чему равен заряд (в мКл) груза,
если сила натяжения нити в нижней точке 51,8 мН? g = 9,8 м/с2. [10]
31. Неподвижный контур площадью 0,03 м" находится в однородном
равномерно изменяющемся магнитном поле перпендикулярно линиям
индукции. Найдите скорость изменения магнитной индукции (в Тл/с),
если при этом возникает ЭДС индукции 0,9 В. [30]
32. Катушка, имеющая 100 витков площадью 5 см, помещена в
однородное магнитное поле так, что плоскость витков перпендикулярна
вектору индукции. Концы провода катушки подсоединены к обкладкам
плоского конденсатора емкостью 4 мкФ. Какой заряд (в мкКл) окажется
на обкладках этого конденсатора, если магнитное поле будет убывать со
скоростью 20 Тл/с? [4]
33. Замкнутый провод изогнут в виде восьмерки и помещен в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Считая
петли восьмерки окружностями радиусами 3 и 7 см, найдите силу тока
(в мкА), который будет протекать по проводу при убывании магнитного
поля со скоростью 3 мТл/с. Сопротивление единицы длины провода 2
Ом/м. [30]
34. Квадратная рамка со стороной 60 см находится в магнитном поле с
индукцией 1 мТл, линии которой перпендикулярны плоскости рамки.
Затем рамку вытягивают в одну линию. Определите заряд (в мКл),
протекший по рамке при изменении ее формы. Сопротивление единицы
длины провода рамки 0,01 Ом/м. [15]
35. Медное кольцо радиусом 5 см помещают в однородное магнитное
поле с индукцией 8 мТл перпендикулярно линиям индукции. Какой
заряд (в мКл) пpoйдет по кольцу, если его повернуть на 180° вокруг оси,
совпадающей с его диаметром? Сопротивление единицы длины кольца
2 мОм/м. [200]
36. Максимальная ЭДС индукции, возникающая в прямоугольной
рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, равна 3 В. С какой
угловой скоростью вращается рамка, если максимальный магнитный
поток через рамку 0,05 Вб? Ось вращения рамки проходит через
середины ее противоположных сторон и перпендикулярна линиям
индукции поля. [60]
37. Самолет летит горизонтально со скоростью 900 км/ч. Найдите
разность потенциалов (в мВ), возникающую между концами его
крыльев, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля
Земли 50 мкТл, а размах крыльев 12 м. [150]
38. Чему равна максимальная ЭДС (в мВ), которая может возникнуть
при движении самолета со скоростью 900 км/ч, если размах его крыльев
20 м? Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли 0,03 мТл,
вертикальная составляющая 0,04 мТл. [250]
39. По П-образной рамке, наклоненной под углом 30° к горизонту и
помещенной в однородное магнитное поле, перпендикулярное
плоскости рамки, начинает соскальзывать без трения перемычка массой
30 г. Длина перемычки 10 см, ее сопротивление 2 мОм, индукция поля
0,1 Тл. Найдите установившуюся скорость движения перемычки.
Сопротивлением рамки пренебречь, g = 10 м/с2. [3]
40. Сила тока, протекающего по обмотке катушки, равномерно
изменяется на 5 А за 0,25 с. При этом возбуждается ЭДС самоиндукции
200 В. Определите индуктивность катушки. [10]
Учебное издание
КУЗНЕЦОВ Сергей Иванович
МЕЛЬНИКОВА Тамара Николаевна
СТЕПАНОВА Екатерина Николаевна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями
ПОСТОЯННЫЙ ТОК. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Учебное пособие
Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор
И.П. Чернов
Редактор О.Н. Свинцова
Компьютерный набор: Я.А. Панов
Дизайн обложки: О.Ю. Аршинова
Подписано к печати 30.04.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 6,98. Уч.-изд.л. 6,42.
Заказ
. Тираж 150 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.