Формирование исследовательской компетенции учащихся

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ
Автор: Анцупова В.М.
МОУ «Гимназия,
Необходимость формирования личности, обладающей высоким творческим потенциалом,
способной находить новые нетрадиционные решения, активно действующей в ситуации большой
степени неопределенности, способной самостоятельно найти успешный выход из проблемной
жизненной ситуации, делает актуальной проблему развития у обучающихся навыков
исследования и творчества.
Задачу развития творческих способностей обучающихся можно решить, организуя
исследовательскую деятельность. Роль учителя состоит в подборе заданий, посильных учащимся,
но требующих выполнения определенных элементов исследования. Любое исследование
начинается с внимательного анализа условия, что иногда является определяющим в выборе пути
решения. Учитель направляет ход мыслей и обращает внимание на то главное, что помогает
справиться с задачей.
Учащимся 9 класса можно предложить следующую задачу. В прямоугольном треугольнике
АВС С=90о , А = α, высота, проведенная из вершины С, равна h. Найдите площадь
треугольника.
Решение:
S  ABC 
В1
1
AC  BC . Определяемся, как можно найти катеты AC и BC.
2
2
AC 
С
h
h
h
BC 
, S ABC 
.
cos 
sin 
2 sin   cos 
Продолжим задачу.
α
h
А
В
H
Пусть В1 – точка, симметричная точке В относительно отрезка АС. Выразите
площадь треугольника АВВ1, через стороны АВ, АВ1 и В1АВ.
S BAB1 
S BAB1 
1
h2
AB 2  sin BAB1 , но, т.к. AB 2 
и BAB1  2 , то
2
sin   cos 2
h 2  sin 2
2sin   cos  
2
,
h2
h 2  sin 2

.
sin   cos  2sin   cos  2
Упростив, получаем sin 2  2sin   cos .
S BAB1  2S ABC ,
Как бы вы назвали доказанное равенство? Сформулируйте полученный вывод в словесной
форме.
Возникает вопрос: можно ли выразить cos2α через sinα и cosα?
Используя теорему косинусов, составим выражение BB12=2AB2-2AB2cos2α, в котором
применяется
4h 2
BB1 =
,
cos 2 
2
cos2α..
2 AB 
2
2h 2
sin   cos  2
,
таким
образом,
4h 2
2h 2 1  cos 2 

. 1 - cos 2α = 2 sin2α, cos 2α = 1 - 2 sin2α, cos 2α = cos2α - sin2α
2
2
2
cos  sin   cos 
Как бы вы назвали два последних доказанных равенства? Сформулируйте в словесной
форме последнее из этих двух равенств. Получите формулу cos 2α = 2cos2 α – 1.
Можно рассмотреть еще одну задачу.
Для произвольного ∆ АВС докажите следующие равенства:
C
1. c  a  cos B  b  cos A ;
2. sin  A  B  sin A  cos B  sin B  cos A
b
a
Доказательство:
1. AB = c , CB = a, AC = b, проведем CD  AB
A
D
B
AB  AD  DB ,
AD  AC  cos A , DB  BC  cos B , AD  b  cosA , DB  a  cosB ,
c
c  a  cosB  b  cosA .
2. Рассмотрим ∆ АВС: С = 1800 – (А+В), следовательно sin С = sin (А+В)
Применим теорему синусов для ∆АВС:
sinC sinB sinA
sinC
sinA sinB




, т.е.
AB
AC
CB
a  cosB  b  cosA
a
b
Возьмем первые два отношения:
sinC
sinA

a  cosB  b  cosA
a
a  sin C  a  sin A  cos B  b  sin A  cos A
sinC  sinA  cosB 
т.к.
sinA
 b  cosA
a
sinA sinB
sinA

 b  sinB , значит
, то
a
b
a
sin C  sin A  cos B  sin B  cos A , следовательно
sin  A  B  sin A  cos B  sin B  cos A .
Как бы вы назвали это доказанное равенство? Сформулируйте его в словесной форме.
Рассмотрите две формулы sin  A  B  sin A  cos B  sin B  cos A и sin 2  2sin   cos , сделайте
вывод.
Эти задачи могут быть предложены учащимся либо на уроке геометрии, либо на занятии
спецкурса перед изучением темы «Формулы сложения и их следствия». Решение задач поможет
учащимся углубить знания по геометрии, а учитель осуществит пропедевтику указанной темы.
Рассмотрим задачу для 10 класса. В тетраэдре DABC боковое ребро равно 4 см. Углы при
основании в боковых гранях равны 65о. Точка A начинает двигаться по грани ADC, затем по
грани CDB и, наконец, по грани ADB возвращается в исходное положение. Какой наименьший
путь проходит эта точка?
Исследования по поиску решения наталкивают на
мысль о том, что расстояние, пройденное точкой, будет
D
A1
наименьшим, если отрезки, показывающие движение точки
по боковым граням, будут лежать на одной прямой. Как
C
A
B
этого добиться? Приходим к выводу, что необходимо
разрезать тетраэдр и рассмотреть развертку его боковой
поверхности. Далее рассуждаем о том, по какому боковому
ребру разрезать.
Если считать, что точка А – начало движения, точка А1 – конец, то наименьший путь равен
длине отрезка AA1. Применив теорему косинусов для треугольника ADA1, в котором
ADA1=150о и AD=DA1=4 см, получаем, что AA1  4 2  3 см.
Задача для самостоятельного решения.
Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по
кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба.
Как должен двигаться паук?
Следующие задачи предлагаются для 11 класса.
1. Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 270о. Через вершину
конуса проведено сечение наибольшей площади. Найдите угол между плоскостью сечения и
плоскостью основания.
Анализируем условие: в сечении будет равнобедренный треугольник, площадь которого
можно вычислить по формуле S 

2
1 2
L  sin α , где α – угол между
2
образующими, L – образующая конуса. Известно, что угол между
образующими наибольший для осевого сечения. Следовательно,
нужно выяснить, является сечение осевым или нет. Если
наибольший угол между образующими конуса тупой, т.е. осевым
сечением является тупоугольный треугольник, то наибольшую
площадь
имеет
сечение
образующими и его площадь вычисляется по формуле S 
с
взаимно
перпендикулярными
1 2
L . Если же наибольший угол между
2
образующими конуса острый или прямой, то наибольшую площадь имеет осевое сечение, т.е.
если осевым сечением является остроугольный или прямоугольный треугольник, то площадь
этого треугольника и будет наибольшей.
Пусть  - наибольший угол между образующими конуса. Рассмотрим осевое сечение
конуса. Выразим радиус R основания конуса через образующую L: 270 
тогда sin
3
R
 360 , R  L ,
L
4
β 3
2

 
, значит 45   90 , 90  β  180 . Получили, что осевым сечением
2
2 4
2
является тупоугольный треугольник. Следовательно, наибольшую площадь имеет сечение с
взаимно перпендикулярными образующими. Пусть AP  PB , т.е. APB  90(α  90) . AM=MB,
PM  AB , PMO – угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ: arcsin
14
4
Задача для самостоятельного решения.
Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 200 о. Через вершину
конуса проведено сечение наибольшей площади. Найдите угол между плоскостью сечения и
плоскостью основания. Ответ: 90о.
При решении исследовательских задач учащиеся выдвигают гипотезы, формулируют
утверждения, устанавливают различие, сходство, находят обобщения, рассматривают предельные
случаи.
Результативность работы учителя зависит не только от количества типов задач, решению
которых он обучил своих учеников, но и от того сумел ли учитель передать своим ученикам не
просто знания, а гибкость ума, которая дала бы им возможность в дальнейшем не только
самостоятельно решать, но и ставить перед собой новые задачи. Мы считаем, что всегда важно
найти место на уроке, чтобы вместе с образовательными задачами решать и задачу развития
ученика.
Литература:
1. А.Я.Цукарь. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования 9.
М.: Просвещение, 200 г, стр. 46, стр.47.
2. Б.Г. Зив. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы. С-Петербург, 1998. «НПО Мир и
Семья», стр.514, стр.551.
3. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия 10-11. – М.:
Просвещение, 1993, №777;