Лекция 3.

Лекция 3.
Сигналы произвольной формы. Разложение по гармоникам. Нелинейности реальных
элементов – источники гармоник. Фактор мощности. Квазипрямоугольный сигнал его измерение и идеальная форма. Переходные процессы. Новый аналоговый элемент электрический ключ. Классический метод решения в простых линейных цепях (до
второго порядка). Интегрирующие и дифференцирующие цепи. Переходные
характеристики.
Если в силовой электротехнике превалирует одна частота, на которой работают
мощные электромеханические генераторы, то в электронике, напротив, мы имеем
дело, как правило, с сигналом произвольной формы. Здесь приведён ещё самый
понятный сигнал последовательности прямоугольных импульсов, которые используют
в цифровой технике для передачи битов информации.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
circuit1.cir
7.500
6.000
4.500
3.000
1.500
0.000
0.000u
v(1) (V)
0.200u
0.400u
0.600u
0.800u
1.000u
T (Secs)
Сигналы произвольной формы можно разложить в тригонометрический ряд Фурье,
который в простейшем виде можно представить как сумму гармонических колебаний с
частотами, кратными основной частоте сигнала (гармоники)
F(t)=Akejkt , здесь к - действительное число от 1 до .
Ниже приведено разложение по гармоникам данного сигнала (выведено только 20
первых нечётных гармоник).
Micro-Cap 9 Evaluation Version
Harm(v(1))
3.750
3.000
2.250
1.500
0.750
0.000
0.000M
Harm(v(1))
2.000M
4.000M
6.000M
8.000M
10.000M
12.000M
14.000M
16.000M
18.000M
20.000M
F
Эти гармоники возникают при наличии в цепи нелинейных элементов, либо
неучтённых нелинейностей выбранных компонентов.
В качестве иллюстрации посмотрим как появляются гармоники в обычной схеме
выпрямления напряжения через такой нелинейный элемент как полупроводниковый
диод, у которого меняется значение сопротивления в зависимости от направления
протекающего тока.
В качестве источника выбран источник гармонического сигнала с амплитудой 100В.
У него одна основная гармоника 50 Гц
Micro-Cap 9 Evaluation Version
Harm(v(2))
125.000
100.000
75.000
50.000
25.000
0.000
0.000
Harm(v(2))
25.000
50.000
75.000
100.000
125.000
150.000
175.000
200.000
225.000
250.000
F
Однако диод существенно меняет форму напряжения и тока в нагрузке.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
circuit2.cir
125.000
100.000
75.000
50.000
25.000
0.000
-0.107m
v(2) (V)
20.000m
40.000m
60.000m
80.000m
99.893m
60.000m
80.000m
100.000m
T (Secs)
160.000
120.000
80.000
40.000
0.000
-40.000
0.000m
v(2,1) (V)
20.000m
40.000m
T (Secs)
При разложении в ряд Фурье сигналов тока в контуре и напряжения на нагрузке
появляются новые гармоники. Во-первых, как и следует, появляется постоянная
составляющая на уровне 30В (максимальное напряжение источника 100В). Во-вторых,
осталась весьма существенная основная гармоника (около 45 В) и видны новые 2, 3, 4
и 5 гармоники.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
Harm(v(2))
60.000
48.000
36.000
24.000
12.000
0.000
0.000
Harm(v(2))
25.000
50.000
75.000
100.000
125.000
150.000
175.000
200.000
225.000
250.000
150.000
175.000
200.000
225.000
250.000
F
Micro-Cap 9 Evaluation Version
Harm(v(1,3))
6.000
4.800
3.600
2.400
1.200
0.000
0.000
Harm(v(1,3))
25.000
50.000
75.000
100.000
125.000
F
Самое неприятное в том, что токовые гармоники проходят в источник!!! Это приводит
к передаче существенной части энергии на гармониках, что очень не любят в силовой
электротехнике, поскольку это приводит к уменьшению отношения активной энергии
Р, переданной в нагрузку (двигатель), к полной мощности S, проходящей по системе.
То есть, как уже говорили, к уменьшению коэффициента или фактора мощности.
Но что плохо для «электриков», то хорошо для «электронщиков», а «цифровики»
вообще без прямоугольного импульса не могут обойтись.
Основным поставщиком гармоник с математической точки зрения является единичная
функция (прямоугольный импульс образуется применением двух единичных
функций).
Micro-Cap 9 Evaluation Version
circuit1.cir
7.500
6.000
4.500
3.000
1.500
0.000
0.000u
v(1) (V)
0.200u
0.400u
0.600u
0.800u
1.000u
T (Secs)
Micro-Cap 9 Evaluation Version
DB(Harm(v(1)))
24.000
12.000
0.000
-12.000
-24.000
-36.000
0.000M
10.000M
DB(Harm(v(1)))
20.000M
30.000M
40.000M
50.000M
60.000M
70.000M
80.000M
90.000M
100.000M
F
И это только первые 100 гармоник.
Применение комплексного метода к моделированию цепей с сигналами произвольной
формы возможно, если решать системы уравнений для каждой гармоники в
отдельности и результат потом складывать. Практически это делают только для
основной гармоники (приближение по основной гармонике). Естественно, полученный
результат будет иметь погрешность 100%. А при наличии в цепи нелинейности,
генерирующей единичную функцию, такой метод анализа электрической цепи вообще
неприменим, так как там бесконечное количество гармоник.
Устройство в цепи, которое генерирует единичную функцию, называют
электрическим ключом. Его прообразом и первым реальным исполнением является
электрический рубильник, который переводит нагрузку из одного энергетического
состояния в другое. В настоящее время разработаны самые разнообразные
электрические ключи от реле до полевых транзисторов с использованием самых
различных нелинейных эффектов. Поэтому в дальнейшем при моделировании
электрических цепей мы будем пользоваться идеальным электрическим ключом,
сопротивление которого изменяется от 0 до  за бесконечно малый промежуток
времени. Соответственно,
Нормально-открытый ключ, включатель (НО, switch on)
R(t)= {, при tT0
{0, при tT0
Нормально-замкнутый ключ, выключатель (НЗ, switch off)
R(t)= {0, при tT0
{, при tT0
Проведём моделирование классическим методом простейших схем с электрическим
ключом.
Схема с R , С и электрическим ключом.
Нормальное положение ключа – разомкнут.
После момента первой коммутации ключ переходит в замкнутое положение и имеет
пренебрежимо малое сопротивление, но временные зависимости тока и напряжения на
элементах неизвестны, т.к. в этот момент все временные функции имеют
математический разрыв.
Сшить решения в этой точке нам помогают правила коммутации, которые вытекают
из законов сохранения заряда и магнитного потока. Они гласят, что напряжение на
ёмкости и ток в индуктивности при коммутации сохраняются. Чтобы нарушить эти
правила, нужно обеспечить бесконечно большие мощности при передаче
электромагнитной энергии, что невозможно (по крайней мере в нашей Галактике) изза ограничения скорости света.
Итак, IL = IL+ и UC- =UC+ .
Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 правилу
Кирхгофа при неизвестной временной зависимости напряжения на ёмкости после
коммутации.
Учитывая, что IC=CdUC/dt и UC= (2-0), а также заменяя источник э.д.с. Е с
внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же внутренним
сопротивлением, получим
Е/R1= UC/R1 + UC/R2 + CdUC/dt = UC (R1+R2/R1R2) + CdUC/dt
или
E(R2/R1+R2)= UC + C(R1R2/R1+R2)  dUC/dt
При R1=R2=R
UC+0,5RСdUC/dt = Е/2
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью. Его
решение будем искать как сумму общего решения однородного уравнения UC0 без
правой части (свободные токи и напряжения) и одного из частных решений
неоднородного уравнения, UУ (установившиеся токи и напряжения).
UC= UC0+ UУ
Свободные параметры найдём из уравнения UC+0,5RСdUC/dt = 0 в виде UC0=Аеpt.
До момента первой коммутации (включение): I=0, UC=0, Е=20B.
Классический метод заключается в отдельном поиске неизвестных величин р, UУ и А.
1) Находим р. После подстановки искомой формы решения в уравнение получаем
характеристическое уравнение 1+ рRС/2=0. Отсюда р = 2/RС. При t = RC/2
показатель экспоненты равен -1. То есть в грубом приближении искомый параметр
снижается втрое. Это даёт возможность говорить об этой величине времени как о
характерном времени переходного процесса. Для наших данных характерное время
составляет 5 мкс.
Обратите внимание на то, что величина р – отрицательна и действительна. Это
показывает на затухающий характер переходных процессов.
Многие делают ошибку, вспоминая j из гармонического анализа вместо р. В
действительности область значений частот р, как неизвестной величины,
бесконечна, и включает как действительные числа, так и мнимые, как например j.
2) Найдём установившееся значение UУ при значении времени t   . В это время все
переходные процессы завершатся (они затухающие). И так как у нас источник
постоянного тока, то и цепь можно рассматривать в приближении постоянного
сигнала. По правилу делителя напряжения UУ = Е/2.
3) Найдём значение А при t = 0. Для этого воспользуемся правилом коммутации для
ёмкости, UС= UС+ = 0. Тогда Аеp0+E/2=0 или А+E/2=0 или А = Е/2.
Полное решение UС =0,5Еерt+0,5Е=0,5Е(1 ерt), где р = 2/RС.
Ток через конденсатор можно найти из соотношения
IС= СdUC/dt =С2Еерt/ 2RС= (Е/R)ерt
Можно показать, что энергия заряженного конденсатора равна активной энергии,
выделяемой на зарядном резисторе R1 (при R2 ).
Для данных конкретной схемы эти функции выглядят следующим образом.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
4.000u
8.000u
Left
20.000
0.000
12.000u
Right
10.228u
20.000u
16.000u
Delta
-20.000
20.000u
20.000u
Slope
-999.989K
1.000
4.000u
8.000u
Left
111.400m
1.028u
12.000u
Right
6.264
6.039u
16.000u
Delta
6.153
5.011u
20.000u
Slope
1.228M
1.000
4.000u
8.000u
Left
199.998n
0.000
12.000u
Right
457.002u
20.000u
16.000u
Delta
456.802u
20.000u
20.000u
Slope
22.840
1.000
v(1,3) (V)
T (Secs)
12.500
10.000
7.500
6.039u,6.264
5.000
2.500
0.000
1.028u,111.400m
0.000u
B v(2) (V)
T (Secs)
25.000m
20.000m
15.000m
10.000m
5.000m
0.000m
0.000u
i(C1) (A)
T (Secs)
Таким образом, можно сказать, что конденсатор в начале переходного процесса ведёт
себя как короткозамыкающая перемычка. То есть все старшие гармоники замыкаются
на конденсаторе. Оно и понятно: чем выше частота, тем меньше реактанс
конденсатора. Поэтому ток в начале заряда конденсатора ограничивается только
резистором в цепи!
После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и
имеет очень высокое (малое) сопротивление и энергия заряженного конденсатора
разряжается через резистор R2.
Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа
UC + R2CdUC/dt =0
Отсюда 1 + R2Cр =0 и р=1/R2C. Характерное время процесса 10 мкс.
Установившееся значение UУ= 0.
В момент второй коммутации τ напряжение UC= UC+=0,5Е(1 ерτ)=А.
Отсюда UC=0,5Е(1 ерτ) ер(tτ) , где р=1/R2C
Ток через конденсатор можно найти из соотношения
IС= СdUC/dt =  Е(1 ерτ) ер(tτ)/ 2R2
Графики этих функций представлены на следующем рисунке.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
10.000u
20.000u
Left
20.000
0.000
v(1,3) (V)
T (Secs)
30.000u
Right
19.498
50.000u
40.000u
Delta
-501.411m
50.000u
50.000u
Slope
-10.028K
1.000
12.500
20.000u,9.672
10.000
7.500
5.000
30.054u,3.693
2.500
0.000
0.000u
10.000u
20.000u
Left
9.672
20.000u
30.000u
Right
3.693
30.054u
40.000u
Delta
-5.978
10.054u
50.000u
Slope
-594.606K
1.000
10.000u
20.000u
Left
199.998n
0.000
30.000u
Right
-501.221u
50.000u
40.000u
Delta
-501.421u
50.000u
50.000u
Slope
-10.028
1.000
B v(2) (V)
T (Secs)
40.000m
30.000m
20.000m
10.000m
0.000m
-10.000m
0.000u
i(C1) (A)
T (Secs)
При τ » RС/2=1/р напряжение на ёмкости перед второй коммутацией достигает
значения Е/2 и мы получим вместо прямоугольного импульса квазипрямоугольный.
Ток через конденсатор имеет переменный характер, что не рекомендуется, например,
для электролитических конденсаторов.
При τ « RС/2 значение напряжения на ёмкости после первой коммутации можно
разложить по малому параметру |рt| «1, и тогда
UC=0,5Е(1 ер(tτ))=0,5Е(11+ р(tτ))= 0,5Ер( tτ)
То есть мы получаем интеграл от постоянного напряжения источника. Поэтому
подобные RC-цепи получили название интегрирующих цепочек.
Если переставить местам резистор R1 и емкость, то на резисторе появится напряжение
только старших гармоник, то есть мы получим операцию дифференциирования.
Таким образом с помощью аналоговых элементов можно выполнять все основные
математические операции. Это дало возможность создания аналоговых
вычислительных машин, которые в настоящее время практически вытеснены
цифровой техникой.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
1.000u
v(1,3) (V)
T (Secs)
2.000u
Left
20.000
0.000
3.000u
Right
18.660
5.000u
4.000u
Delta
-1.340
5.000u
5.000u
Slope
-268.005K
1.000
2.500
2.000
2.007u,1.789
1.500
1.000
0.500
1.001u,72.365m
0.000
0.000u
1.000u
2.000u
Left
72.365m
1.001u
3.000u
Right
1.789
2.007u
4.000u
Delta
1.716
1.006u
5.000u
Slope
1.705M
1.000
1.000u
2.000u
Left
199.998n
0.000
3.000u
Right
-1.340m
5.000u
4.000u
Delta
-1.340m
5.000u
5.000u
Slope
-268.010
1.000
B v(2) (V)
T (Secs)
30.000m
22.500m
15.000m
7.500m
0.000m
-7.500m
0.000u
i(C1) (A)
T (Secs)
На практике очень удобно характеризовать реакции различных электрических цепей
на воздействие единичным импульсом так называемыми переходными (импульсными)
характеристиками, а именно, отношением амплитуды реакции схемы к амплитуде
импульсного воздействия. В рассматриваемой схеме могут быть получены 3
переходных характеристики:
1) h(t) = UC/E=0,5(1 ерt) или 0,5(1 ерτ) ерt , переходная характеристика по
напряжению;
2) r(t) = (1/R)ерt или  Е(1 ерτ) ер(tτ)/ 2R2 , переходное сопротивление;
3) g(t)=1/ r(t), переходная проводимость.
Схема с L , R и электрическим ключом.
До момента коммутации I=0, UL=0, Е=10B.
Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 закону Кирхгофа
при неизвестной временной зависимости тока через индуктивность после коммутации.
Выбор в качестве неизвестного параметра тока индуктивности вызван тем, что у нас
для него написано правило коммутации.
Учитывая, что UL=LdIL/dt и UL= (2-0), а также заменяя источник э.д.с. Е с
внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же внутренним
сопротивлением, получим
E/R1=UL/R1+ UL/R2+IL= UL(1/R1+ 1/R2)+IL= L(1/R1+ 1/R2)dI/dt+IL
При равенстве R1=R2 =R получим E/R= 2L/RdI/dt+IL
Применяем классический метод.
1) Характеристическое уравнение 2рL/R+1 = 0 . Отсюда р= R/2L
2) Установившееся значение ILу при t   равно IУ=E/R
3) Правило коммутации для тока IL = IL+ =0. Отсюда А + E/R=0 и А= E/R
Общее решение IL=E/R(1ept) , где р=  R/2L.
Переходная проводимость g(t)= 1/R(1ept)
Характерное время процесса 1/р= 2L /R , в нашем случае 4 мкс.
Напряжение на индуктивности можно найти из соотношения
UL= LdI/dt =LЕ/R(1-ерt)= LЕ/R(R/2L) ерt= Е/2 ерt
Переходная функция по напряжению h(t)= 1/2 ерt
Для данных конкретной схемы эта функция выглядит следующим образом.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
4.000u
8.000u
Left
20.000
0.000
12.000u
Right
19.911u
20.000u
16.000u
Delta
-20.000
20.000u
20.000u
Slope
-999.979K
1.000
4.000u
8.000u
Left
199.995u
0.000
12.000u
Right
88.737m
20.000u
16.000u
Delta
88.537m
20.000u
20.000u
Slope
4.427K
1.000
8.000u
Left
224.894u
1.006u
12.000u
Right
12.442m
5.011u
16.000u
Delta
12.218m
4.004u
20.000u
Slope
3.051K
1.000
v(1,3) (V)
T (Secs)
12.500
10.000
7.500
5.000
2.500
0.000
0.000u
v(2) (V)
T (Secs)
25.000m
20.000m
15.000m
5.011u,12.442m
10.000m
5.000m
0.000m
1.006u,224.894u
0.000u
B i(L) (A)
T (Secs)
4.000u
Таким образом, можно сказать, что индуктивность в начале переходного процесса
ведёт себя как разрыв в цепи. То есть проходят только младшие гармоники. Оно и
понятно: чем выше частота, тем больше реактанс индуктивности. Поэтому на
индуктивности в начале переходного процесса падает практически всё напряжение
источника (при R2 )!
После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и
имеет очень высокое (малое) сопротивление и магнитная энергия индуктивности
разряжается через резистор R2.
Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа
RIL + LdIL/dt =0
Отсюда R + Lр =0 и р=R/L.
Установившееся значение IL= 0.
В момент второй коммутации τ ток IL= IL+=Е/R(1 ерτ)=А.
Отсюда IL=Е/R(1 ерτ) ер(tτ) , где р=R/L
Переходная проводимость g(t)= 1/R(1 ерτ) ер(tτ)
Напряжение на индуктивности можно найти из соотношения
UL= LdIL/dt =  LЕ/R(1 ерτ) ер(tτ)R/L =  Е(1 ерτ) ер(tτ)
Переходная функция по напряжению h(t)= (ерτ1) ер(tτ)
Графики этих функций представлены на следующем рисунке.
Их вид аналогичен тем кривым, что мы получали при работе с ёмкостью, только
напряжение и ток поменялись местами.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
50.000
40.000
20.824u,35.590
30.000
20.000
10.000
0.000
0.000u
19.754u,19.906u
20.000u
Left
19.906u
19.754u
30.000u
Right
35.590
20.824u
40.000u
Delta
35.590
1.071u
50.000u
Slope
33.241M
1.000
10.000u
20.000u
Left
199.991u
0.000
30.000u
Right
-5.242u
50.000u
40.000u
Delta
-205.233u
50.000u
50.000u
Slope
-4.105
1.000
10.000u
20.000u
Left
4.950p
0.000
30.000u
Right
205.240n
50.000u
40.000u
Delta
205.235n
50.000u
50.000u
Slope
4.105m
1.000
10.000u
B v(1,3) (V)
T (Secs)
24.000
16.000
8.000
0.000
-8.000
-16.000
0.000u
v(2) (V)
T (Secs)
25.000m
20.000m
15.000m
10.000m
5.000m
0.000m
0.000u
i(L1) (A)
T (Secs)
Обратите внимание, что на ключе возникает практически двойное напряжение
источника, которое складывается из напряжения источника и отрицательного выброса
напряжения на индуктивности. Эти перенапряжения носят название коммутационных
перенапряжений и они представляют серьёзную опасность для нормальной работы
электрического оборудования. Поэтому необходимо принимать меры для защиты как
этих элементов, так и подходящих к ним сетей!
Схема с L , С, R и электрическим ключом.
Из всех возможных вариантов соединений этих элементов была выбрана данная цепь,
так как между узлами 2 и 0 размещены аналоговые элементы, отвечающие за все 3
превращения энергии между двумя любыми точками в пространстве, занятом
электромагнитным полем.
Ключ выбран нормально-открытым.
Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 закону Кирхгофа
при неизвестной временной зависимости тока через индуктивность и напряжения на
ёмкости после коммутации. Правила коммутации можно записать для обоих
неизвестных параметров.
IL = IL+ =0 UС= UС+ = 0
Учитывая, что IС= СdUC/dt и UC=ILR2+ LdIL/dt и UL= (2-0), а также заменяя
источник э.д.с. Е с внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же
внутренним сопротивлением, получим
Е/R1= СdUC/dt + UC/R1+IL =CR2 dIL/dt +CLd2 IL/dt2+ ILR2/R1+ L/R1 dIL/dt + IL
Е/R1= d2 IL/dt2 + (R2/ L + 1/R1C) dIL/dt + IL(R2/R1 +1)/ LC
При R1 » R2
Е/R1= d2 IL/dt2 + (R2/ L + 1/R1C) dIL/dt + IL/LC
При R1  , то есть при наличии идеального источника тока J
J= d2 IL/dt2 + R2/ L  dIL/dt + IL/LC
При любых соотношениях R1 и R2 имеем дифференциальное уравнение второго
порядка, вследствии того, что у нас в схеме 2 реактивных элемента. Если бы их было
больше, мы имели бы более высокий порядок уравнения, решать которые
классическим методом очень сложно из-за трудностей в решении алгебраического
(характеристического) уравнения с порядком больше 3.
Правило здесь очень простое: сколько реактивных элементов, то таков же порядок
дифференциального и, соответственно, характеристического уравнений.
Характеристическое уравнение для данной схемы с питанием от идеального источника
тока
р2 + R2/ L  р + 1/LC=0
Отсюда р1,2=  R2/2L( R2/2L)2-1/LC
Во-первых отметим, что здесь 2 корня, то есть в результате будут 2 экспоненты – одна
быстрая с р1= R2/2L+( R2/2L)2-1/CL, а другая медленная с
р2 = R2/2L(R2/2L)21/LC.
Во-вторых, дискриминант уравнения (R2/2L)2-1/CL может быть положительным или
отрицательным в зависимости от соотношения R22/4L2 и 1/CL.
При R2/2L/С он будет положительным и у нас два действительных корня.
Но при R2/2L/С у нас оба корня будут содержать мнимую часть, то есть в сигнале
появятся гармонические колебания с частотой 1/LC=. А это не что иное, как
резонансная частота колебательного контура, образованного нашими реактивными
элементами L и C. То есть, при активном сопротивлении контура R2/2 меньше чем его
характеристическое сопротивление L/С, импульсное воздействие возбуждает
резонансные колебания, как это было бы, если ударить по пустой бочке.
В установившемся режиме IL=J, a UC=JR2.
Решения уравнения будем искать в виде
IL=A1ep1t+A2ep2t+J
Применяя условие коммутации для тока , получим 0=A1+A2+J.
Второе условие коммутации UС= UС+ = 0 UС+ = R2 IL+ LdIL/dt
JR2 + R2 (A1+A2) + L (р1A1+р2 A2)=0
JR2 + R2 A1+ R2A2 + р1L A1+р2 L A2= JR2 + (R2 + р1L )A1+ (R2 + р2 L) A2=0
Выразим из первого условия A1= A2J и тогда
A2 = J р1/ (р2р1)
А1 = J р2/(р1р2)
Можно вернуться к начальному уравнению и произвести те же вычисления с учётом
обоих сопротивлений и реальным источником. Но суть решений не изменится,
увеличится только сложность коэффициентов в формулах.
Поэтому лучше посмотреть соответствующие графики.
При R1=4 кОм, R2=1кОм, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C « R2
В этом случае переходный процесс имеет апериодический характер, так как оба корня
характеристического уравнения действительны.
Установившееся значение напряжения на ёмкости 4В и тока в индуктивности 4 мА.
Идёт спокойный экспоненциальный заряд емкости и индуктивности соответствующей
энергией.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
v(1,4) (V)
8.000u
16.000u
24.000u
32.000u
40.000u
24.000u
32.000u
40.000u
24.000u
32.000u
40.000u
T (Secs)
5.000
4.000
3.000
2.000
1.000
0.000
0.000u
v(C1) (V)
8.000u
16.000u
T (Secs)
5.000m
4.000m
3.000m
2.000m
1.000m
0.000m
0.000u
i(L1) (A)
8.000u
16.000u
T (Secs)
При R1=180Ом, R2=20 Ом, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C  R2/2
В этом случае переходный процесс имеет периодический характер с затуханием, так
как оба корня характеристического уравнения имеют мнимую часть, которая отвечает
ха гармонические колебания, в то время как действительная часть отвечает за
затухание.
Установившееся значение напряжения на ёмкости 2В и тока в индуктивности 2 мА.
Период колебаний Т=6,5 мкс(график) 2πLC=2π10-6 (наш расчёт).
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
8.000u
16.000u
Left
20.000
0.000
24.000u
Right
100.000u
40.000u
32.000u
Delta
-20.000
40.000u
40.000u
Slope
-499.997K
1.000
8.000u
16.000u
Left
7.762
2.722u
24.000u
Right
2.612
9.267u
32.000u
Delta
-5.149
6.545u
40.000u
Slope
-786.733K
1.000
8.000u
16.000u
Left
-2.804p
0.000
24.000u
Right
99.999m
40.000u
32.000u
Delta
99.999m
40.000u
40.000u
Slope
2.500K
1.000
v(1,4) (V)
T (Secs)
10.000
8.000 2.722u,7.762
6.000
4.000
9.267u,2.612
2.000
0.000
0.000u
B v(C1) (V)
T (Secs)
200.000m
160.000m
120.000m
80.000m
40.000m
0.000m
0.000u
i(L1) (A)
T (Secs)
После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и
имеет очень высокое (малое) сопротивление, а энергия, накопленная в реактивных
элементах, разряжается через резистор R2.
Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа
R2 IL + LdIL/dt +1/С  ILdt =0 и после дифференцирования
d2IL/dt2 + R2/LIL +1/LС IL = 0
Отсюда р2 + R2/Lр + 1/LС =0
Отсюда р1,2=  R2/2L( R2/2L)2-1/LC= R2/2LD
Это решение было рассмотрено при первой коммутации.
Установившееся значение IL= 0 и UC=0.
Решения уравнения будем искать в виде
IL=В1ep1t+В2ep2t
В момент второй коммутации  ток IL= IL+=А1еατ +А2 еβτ+J = J2, где А1 и А2, а также α и
β были найдены при первой коммутации.
Применяя условие коммутации для тока, получим 0=B1+B2- J2
Второе условие коммутации
UС= UС+ = Е2 =R2 IL + L dIL/dt , где Е2 – напряжение на ёмкости в момент второй
коммутации 
Е2 +R2 IL + L dIL/dt=0
Е2 +(R2 + Lр1)В1+ (R2 + Lр2)В2=0
Выразим из первого условия В1= В2+J2 и тогда
В2= Е2 + (R2+Lр1)J2 / L(р1р2)
В1= Е2 + (R2+Lp2) J2/ L(р2р1)
Воспользуемся вычислительной техникой и посмотрим решения при  больше
характернного времени переходного процесса после первой коммутации, а также при
1) R1=4 кОм, R2=1кОм, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C « R2
В этом случае переходный процесс имеет апериодический характер, так как оба корня
характеристического уравнения действительны.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0.000
0.000u
10.000u
v(1,4) (V)
T (Secs)
20.000u
Left
19.999
0.000
30.000u
Right
19.817
50.000u
40.000u
Delta
-181.727m
50.000u
50.000u
Slope
-3.635K
1.000
5.000
4.000
20.000u,3.594
3.000
2.000
30.000u,1.373
1.000
0.000
0.000u
10.000u
20.000u
Left
3.594
20.000u
30.000u
Right
1.373
30.000u
40.000u
Delta
-2.221
10.000u
50.000u
Slope
-222.141K
1.000
10.000u
20.000u
Left
-3.029p
0.000
30.000u
Right
183.587u
50.000u
40.000u
Delta
183.587u
50.000u
50.000u
Slope
3.672
1.000
B v(C) (V)
T (Secs)
5.000m
4.000m
3.000m
2.000m
1.000m
0.000m
0.000u
i(L) (A)
T (Secs)
Видно, что конденсатор устраняет отрицательный выброс напряжения на
индуктивности и на ключе. Такая защита катушек и ключей широко применяется в
импульсной электронике, где она носит название RC-снаббера.
2) R1=180Ом, R2=20 Ом, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C  R2/2
В этом случае переходный процесс имеет периодический характер с затуханием, так
как оба корня характеристического уравнения имеют мнимую часть
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
37.500
30.000
22.500
15.000
7.500
0.000
0.000u
10.000u
20.000u
Left
20.000
0.000
30.000u
Right
20.080
50.000u
40.000u
Delta
80.257m
50.000u
50.000u
Slope
1.605K
1.000
10.000u
20.000u
Left
-7.238
22.037u
30.000u
Right
5.341
25.485u
40.000u
Delta
12.579
3.448u
50.000u
Slope
3.648M
1.000
40.000u
Delta
-21.923m
6.250u
50.000u
Slope
-3.508K
1.000
v(1,4) (V)
T (Secs)
12.000
8.000
4.000
0.000
-4.000
-8.000
0.000u
v(C) (V)
T (Secs)
300.000m
225.000m
150.000m
75.000m
26.778u,48.422m
33.028u,26.499m
0.000m
-75.000m
0.000u
10.000u
20.000u
Left
48.422m
26.778u
B i(L) (A)
T (Secs)
30.000u
Right
26.499m
33.028u
Видно, что реактивная энергия, запасённая в реактивных элементах цепи, вызывает
большие затухающие колебания напряжения и тока. Отсутствие резистора R1 в цепи
обмена энергией уменьшает их затухание. Это приводит к отрицательным выбросам
напряжения, а также к опасному режиму работы ключа.
В цифровой электронике эти колебания могут привести к ошибкам в счёте. Если схема
воспринимает как логическую единицу все напряжения выше 1,5 В (для нашего
случая), то она увидит 5 логических единиц вместо одной.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
12.000
8.000
4.000
1
2
4
3
5
1,5
0.000
-4.000
-8.000
0.000u
v(C) (V)
10.000u
20.000u
30.000u
40.000u
50.000u
T (Secs)
Данные колебания могут распространяться как по емкостным, так и по магнитным
связям. Поэтому электрические ключи являются мощным источником
электромагнитных наводок, которые отрицательным образом воздействуют на
соседнюю аппаратуру, и вынуждают обращать серьёзное внимание на вопросы
электромагнитной совместимости работы электронных приборов.
Искажение переходными процессами идеальной единичной функции в реальных
устройствах ставит задачу типизации всех возможных форм получаемых на нагрузке
импульсов и визуально наблюдаемых на экране осциллографа.
Для примера возьмём полученный ранее апериодический импульс напряжения от двух
переходных процессов.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
переход.CIR
5.000
A
4.000
0,9 A
T фронта
Т среза
3.000
T импульса
0,5 A
2.000
1.000
0,1 A
0.000
0.000u
v(C) (V)
12.000u
24.000u
36.000u
48.000u
60.000u
T (Secs)
Получаемый в результате действия двух коммутаций электрического ключа импульс
квазипрямоугольной формы принято характеризовать длительностью, а также его
фронтом и срезом. Правильные измерения этих параметров показаны на графике.
Ясно, что подобная методика исключает все те мелкие переходные процессы, которые
могут возникнуть в электрическом устройстве. Выделяют несколько типов импульсов,
обладающих простой формой математического представления: прямоугольный,
пилообразный, треугольный, трапецеидальный, экспоненциальный (рассмотренный
выше), колоколообразный, полуволна, видеосигнал. Необходимо заметить, что
длительность пилообразных и треугольных ипульсов измеряется по их основанию, в
отличие от приведённого на графике случая.
Для описания отклонений импульса от простой математической формы могут
использоваться дополнительные параметры, такие как неравномерность вершины и
размер выбросов после фронта и среза.