метод разработка(графы).
реклама
ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА Тема: Основные понятия теории графов Выполнила: преподаватель математики ГБОУ СПО «Вознесенский агротехнический техникум» Пахунова Ю.В. 2014 1 Введение Предлагаемая работа предназначена для студентов второго курса, обучающихся по специальностям «Экономика и бухгалтерский учет», «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта». Тема творческой работы: «Основные понятия теории графов». Целью изучения данной темы является формирование у обучающихся, теоретических и методологических основ теории графов, формирование базовых знан ий, необходимых для решения задач, организация деятельности студентов по усвоению новых понятий и теорем для решения логических зад ач с помощью графов, формирование умения применять определенные графы (граф-лес, граф-дерево, ориентированный граф, двудольн ый граф, трехдольный граф) для решения различных логических задач, формирование умения аккуратного и полного изображения графов. Актуальность Данная тема особенно актуальна в реал иях нашего времени. Она позволяет обучающимся развивать логическое мышление , уйти от «сухости» предмета математики, основанной на формулах и цифрах, находить несколько вариантов решения задач, позволяет даже самому слабому студенту найти ответ на поставленную задачу, не прибегая к арифметическим действиям и выкладкам. В последнее время интерес к комбинаторике в курсе математики заметно возрос. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления обучающихся входит в число основных целей обучения математике. Однако обычно, когда говорят об элементах комбин аторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. В данной работе рассмотрим задачи, решаемые с помощью графов. Степен ь изученности у этого вопроса сравнительно небольшая. В данной работе я представляю развернутую разработку уроков по данной теме. Рабочей программой предусмотрено 6 4 часа по дисциплине математика для студентов второго курса по специальности «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», из них 2 часа по теме «Основные понятия теории графов». Программа составлена в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям среднего профессионального образования. В результате изучения данной темы обучающийся должен иметь представление о связи понятия графов и по нятия отношения; знать 2 определение графов и его элементов, виды графов и операции над ними. Наличие предлагаемого материала позволяет улучшить изучение материала по данной теме. 3 Актуальность В последнее время интерес к комбинаторике в курсе математике заметно возрос. Элементы комбинаторике, статистики и теории вероятностей включены в новые стандарты по математике среднего профессионального образования. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления обучающихся входит в число основных целей обучения математике. Однако обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеет в виду задачи алгебраического содержания. В исследовательской работе мы же рассмотрим комбинаторные задачи, решаемые с помощью графов. Степень изученности у данного вопроса сравнительно небольшая. Чаще всего комбинаторные задачи решается по «шаблону», мне же хочется найти более легкий и простой способ решений. Цель работы: Комплексное исследование комбинаторных задач, граф, а так же комбинаторных задач, связанных с графами. Задачи 1. Изучение существующей литературы по вопросу. 2. Выбор оптимальных методов исследования. 3. Исследование комбинаторных задач, а так же задач, связанных с графами. 4. Проведение исследования на выявление навыков решений задач комбинаторного типа. 5. Обработка результатов с использованием компьютерных программ. 6. Подготовка доклада и выступление на конференции. Комбинаторные задачи. Графы. Слово «граф» в математике означает ка ртинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Графами являются блок - схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины - события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего. Сначала приведём довольно-таки общие рассуждения, которые имеют отношение к решению произвольных нетривиальных (или как их называют в узком смысле - ""олимпиадных") задач, а потом переходим к непосредственному разбору конкретных комбинаторных задач, используя введённые понятия. 4 Процесс решения задачи Существенным отличием задач, является то, что они «не полностью определены», т.е. четко описаны на подходящем языке. Чаще всего это язык математики. Задачи, с которыми мы сталкиваемся в реальной жизни, являются не полностью определёнными. Чаще они описаны на естественном языке, который обладает 4 недостатками: он неполон, избыточен, неодн означен и неточен. Поставить задачу означает, прежде всего, понять условие задачи (т.е. удалить неполноту, избыточность и неоднозначность) или найти соответствующее представление. Задача понята только тогда, когда найдено такое представление, в котором все элементы задачи представлены без избыточности и многозначности. Для одной и той же задачи всегда можно привести несколько разных замкнутых формулировок. Не всегда при этом есть одна наиболее «естественная» формулировка. Если даже такая формулировка одна, не всегда просто её найти. Иногда нахождение такой формулировки - основное в решении задачи. Подход к решению задачи включает следующие основные этапы: 1. Выяснение смысла условий задачи. 2. Первые выводы из условий задачи. 3. Проигрывание ситуации, обдумывание. 4. Выбор наилучшего представления - поиск замкнутой формулировки задачи. 5. Частичное (возврат к пункту 2) или общее решение. 6. Проверка и обобщение решения. 7. Частное решение и вывод. 8. Понятие комбинаторной задачи Понятие комбинаторной задачи не имеет строгого определения. Иногда говорят о комбинаторных задачах в достаточно узком смысле слова, имея в виду практические задачи. Задачу имеет смысл называть комбинаторной, если ее решение состоит в переборе элементов х множества X. (При этом наравне с термином «комбинаторная» вполне подходит термин «переборная»'. Например: 1.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску чёрную и белую ладью так, чтобы они не били друг друга? Решение Чёрную ладью можно поставить на шахматную доску р =64 различными способами. Независимо от выбора поля чёрная ладья бьёт 15 полей, поэтому для второй ладьи остаётся 64 - 15 = 49 полей, то есть q = 49. Всего число возможных способов, по правилу произведения, равно pq = 64-49 = 3136. Ответ. 3136. 5 Графы Большое число комбинаторных задач свя зано с графами, графом называется фигура, образованная конечным набором точек плоскости и отрезков, соединяющих некоторые из этих точек. Точки называются вершинами, а отрезки ребрами, графа. Вместо отрезков в качестве ребер графов рассматриваются также кривые линии на плоскости. Исторически сложилось так, что теория графов зародилась в ходе решения головоломок двести с лишним лет назад. Одной из таких задач-головоломок была задача о кёнигсбергских мостах, которая привлекла к себе внимание Леонарда Эйлера. В Кенигсберге (ныне Калининград) было семь мостов через реку Прегел (где Л - левый берег, П — правый берег, А и Б — острова). Вопрос заключался в следующем: можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост ровно один раз? Решение задачи. Определим четность вершин графа на рисунке 1 Вершина А имеет индекс 5, Б — 3, 77 - 3 и Л - 3. Таким образом, мы имеет четыре вершины нечетного индекса, следовательно, данный граф не является уникурсальным. Отсюда получаем, что во время прогулки по городу нельзя пройти по каждому из семи мостов только один раз. Еще одной задачей-головоломкой, связанной с графами и именем Эйлера, является задача о трех домиках и трех колодцах. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д1, Д2, Д3, а колодцы точками К1, К2, К3. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются. Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на более мелкие многоугольники. Поэтому для этого разбиения должно выполняться соотношение Эйлера В -Р + Г = 1. Добавим к рассматриваемым граням еще одну — внешнюю часть плоскости. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет, по крайней мере, четыре ребра, поскольку по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два 6 колодца. Так как каждое ребро - лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше 5*2= 10, что противоречит условию, по которому их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу. Проведение исследования на выявление навыков решений задач комбинаторного типа Исследования показали следующее 1 опыт. Решение комбинаторных задач без раздаточного материала • 4 обучающихся получили верные ответы, то характер решения был универсальный, у каждого свой; • 7 решили верно только 1 задачу, к остальным были предложены варианты решений, но они изначально были не верны; • 32 обучающихся ни одну задачу не решили, но были попытки решений; 20 человек не решили задачи, предложений решений тоже не было. 2 опыт. Решение комбинаторных задач с использованием раздаточного материала • 9 решили верно: 7 обучающихся решили задачи верно, с частичным использованием формул из предложенного материала, 2 обучающихся решили задачи верно, но с универсальным решением; • 6 человек решили 1 задачу верно: 2 с использованием предложенных формул, 4 с универсальным решением; • 33 обучающихся ни одну задачу не решили, но были попытки решений; • 15 человек не решили задачи, предложений решений тоже не было. 7 ВЫВОДЫ: 1. Для решения комбинаторных задач не достаточно знаний только по математике или геометрии. 2.Комбинаторные задачи имеют большое практическое применение. 3.Решение комбинаторных задач может быть разно образным, а один из самых сложных путей решений - по формулировки основное в решении задачи. 4.По итогам исследования: умения и навыки решения задач комбинаторного типа не велики, что говорит о необходимость дополнительно изучения данного вопроса. Данная исследовательская работа имеет как теоретическое, так и практическое значение. Её можно использовать и педагогу, для объяснения комбинаторных задач и задач с графами, и обучающимися, для дополнительного или самостоятельного изучения этого вопроса, и всем тем, кому комбинаторные задачи представляют особый интерес. 8 Понятие графа и его элементов. Основные законы и правила теории графов. Решая задачу о Кенигсбергских мостах, Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображённая на рисунке 2. Рис.1 Рис. 2 Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом. Графом называется множество, изображённых на плоскости (листе бумаги, доске) точек, некоторые пары из которых соединены линиями. Точки А, В, С, D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершинами - рёбрами графа. Степенью вершины называют число рёбер, выходящих из вершины. На рис.2 из вершин В, С, D выходят по 3 ребра, а из вершины А - 5 рёбер. Вершины, из которых выходит нечётное число рёбер, называют нечётными вершинами, а вершины, из которых выходит чётное количество рёбер, чётными. Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа: • Если все вершины графа чётные, то можно одним росчерком (то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончит в той же вершине. • Граф с двумя нечётными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине. • Граф более чем с двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. • Число нечётных вершин графа всегда четно. 9 • Если в графе имеются нечётные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф, равно половине числа нечётных вершин этого графа. Например, если фигура имеет четыре нечётных вершины, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками. В задаче о семи Кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечётные, то есть нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат. Принцип решения задач на непрерывное черчение. Эйлеров пут ь. Понятие Эйлерова цикла. На основании выше изложенных свойств графа хорошо решается известный тип задач, в которых требуется вычертить заданный граф, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя дважды один и тот же участок графа. Такой путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно по разу, называют эйлеровым путём. На слайдах изображены замысловатые фигуры, некоторые из которых можно вычертить одним росчерком. Например, невозможно вычертить одним росчерком пера четырёхугольник с двумя диагоналями (рис. За) и легко вычерчивается фигура «Распечатанное письмо» (рис.36). 10 Рис. 3 а Рис. 3 б Фигура на рис. 3б имеет две нечётные вершины, поэтому рисунок нужно начинать с одной из них, а в другой заканчивать. То же самое легко удаётся со всяким многоугольником с нечётным числом сторон и ни как не удаётся с многоугольником с чётным числом сторон. Всякий нечётный многоугольник со всеми его диагоналями можно вычертить одним росчерком без повторения линий потому, что все вершины в этой вершине чётные. Соображения, изложенные здесь, одинаково прилагаются ко всякой фигуре, образованной прямыми или кривыми линиями, на плоскости или в пространстве. Интересно, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком знак Луны, состоящий из двух рогов - «Сабли Магомета» (рис. 4). Рис.4 И это понятно, потому что в данном случае мы имеем дело только с точками чётного порядка, а следовательно, вычертить такую фигуру одним росчерком без повторения линий всегда можно. В этой фигуре присутствует Эйлеров цикл. Эйлеровым циклом называется такой тип эйлерова пути, в котором начальная и конечная вершины совпадают (то есть здесь образуется цикл и в нём начальной вершиной можно считать любую). Существование эйлерова цикла означает, что граф можно нарисовать ещё и так, чтобы карандаш вернулся в первую нарисованную вершину. Эйлеровым графом для краткости называют граф, содержащий Эйлеров путь или Эйлеров цикл. Наглядным примером эйлерова 11 графа является головоломка, которую Льюис Кэррол (автор знаменитой книги «Алиса в стране чудес») очень любил задавать маленьким девочкам (рис. 5а). Рис. 5 а Рис. 5 б Рис. 5 в Граф, показанный на этом рисунке, нужно было обвести, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя дважды одно и то же ребро дважды (иначе говоря, требовалось начертить Эйлеров путь графа). Если допустить, чтобы линии пересекались, то задача решается просто. Решение весьма усложняется, если пресечение линий запрещено. Подобные задачи быстро решаются с помощью метода, предложенного Томасом О'Бейрном из Эдинбурга. Раскрасив чертёж так, как показано на рис. 56, надо разъединить граф в некоторых вершинах таким образом, чтобы раскрашенная часть оказалась «односвязной». Тогда периметр закрашенной области и будет искомой эйлеровой линией (рис.5в). Применив изложенный метод к графу, изображённому на рис. 6а, 66 (его придумал О'Бейрн), можно увидеть, какой удивительной симметрией будет обладать построенный эйлеров путь. Рис. 6 а Рис. 6 б - начало и конец эйлерового пути, если они разные, всегда вершины нечётной степени; - поэтому в графе, где все вершины чётные, любой эйлеров путь будет эйлеровым циклом; - а в графе, где 2 нечётные вершины, только они могут быть началом и концом эйлерового пути. 12 Плоские графы. Все рассмотренные ранее графы относят к так называемый «плоским графам». Плоским графом называется множество точек (вершин), которые соединены между собой линиями (рёбрами) так, что у нарисованного на плоскости графа никакие два ребра не пересекаются. Рассмотрим два графа, которые «не укладываются» на плоскости без пересечения рёбер. Первый из них - граф с пятью вершинами, каждые две из которых соединены ребром (рис. 7а). Другой граф, с шестью вершинами и девятью рёбрами (рис. 76), носит название «домики-колодцы». Это название произошло от старинной задачи-головоломки. В трёх избушках жило трое друзей. Около их домов три колодца: один с водой, второй с джемом, а третий - с маслом (рис. 7а). Но однажды друзья поссорились, да так, что и видеть друг друга не хотели. И решили они проложить новые тропинки от домов к колодцам, чтобы их пути не пересекались. Как это сделать? На рис. 76 проведено восемь тропинок из девяти возможных, так как последнюю провести никак не удаётся. Рис. 7 а Рис. 7 б Польский математик Казимеж Куратовский установил, что никаких принципиально иных не плоских графов не существует. Точнее, если граф «не укладывается» на плоскость, то в нём «сидит» по крайней мере один из двух графов: или домики-колодцы, или полный граф с пятью вершинами; так же могут быть с дополнительными вершинами на рёбрах. Плоские графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер обнаружил простую связь между количеством вершин (В), количеством рёбер (Р) и количеством частей (Г), на которые граф разделяет плоскость: ВР+Г=2 Очень удобно использовать графы при решении головоломок. Вот одна из них. На рис. 8 изображён граф, соответствующий решению старинной головоломки, 13 которую вы, наверное, знаете, о крестьянине, волке, козе и мешке с капустой, которых нужно перевезти через реку, но без крестьянина волк может задрать козу, а коза съесть капусту. Поэтому в первый рейс через реку должна отправиться коза, а на первом берегу остаются волк и капуста. Возвращаться обратно вместе с козой перевозчику нет резона - это возвращение в начальное положение. Значит, козу следует оставить на втором берегу. Кого из них перевозить теперь? В этом месте многие из тех, кто решил задачу останавливались, на личных решениях головоломки. Каждый из путей, перед которыми мы останавливались, ведёт нас к цели. У вершин графа находятся те персонажи, кот которые на соответствующем этапе находятся на первом берегу реки. в м в м к к в м Рис.8 Но существует и другой тип задач, где требуется найти такой путь на графе, чтобы любая его вершина была пройдена только один раз. Этот цикл должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке, то есть являться циклом. Такой цикл называют гамильтоновым (рис. 9) Рис.9 14 На первый взгляд может показаться, что по аналогии с задачей об эйлеровом цикле здесь тоже должны существовать простые правила для определения того, принадлежит данный граф к числу гамильтоновых или нет. Эйлеров путь должен проходить через каждое ребро один и только один раз, но зато он может сколько угодно раз проходить через любую вершину. Гамильтонова же линия наоборот, должна, один и только один раз проходить через каждую вершину, но ей вовсе необязательно проходить вдоль каждого ребра. К сожалению, пока ещё не найден общий критерий, с помощью которого можно было бы определить, является данный граф гамильтоновым, и если да, то найти на нём все гамильтоновы линии. Графы и их применение. Графами являются блок - схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины - события, означающие окончания работ на некотором участке, а рёбра, связывающие эти вершины,- работы, которые возможно начать по совершению одного события и необходимо выполнить для совершения следующего (рис.10). нача ло рабо т оконча ние работ газ Рис.10 15 Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешиваются в аэропортах, схемы метро, а на географ ических картах - изображение железных дорог. Это только начала знакомство с элементами теории графов. Ещё предстоит узнать много нового в этом удивительном мире страны графов. Сейчас мы разобрались в том, на каких графах можно проложить эйлеровы пути, и научились такие пути находить. Познакомившись с основами теории графов, можно применить полученные знания на практике. Рассмотрев схему движения автобусного транспорта , можно построить соответствующий этой схеме граф, и исследовать его на принадлежность к эйлеровым графам . ВЫВОДЫ: 1. Для решения комбинаторных задач не достаточно знаний только по математике или геометрии. 2. Комбинаторные задачи имеют большое практическое применение. 3. Решение комбинаторных задач может быть разнообразным, а один из самых сложных путей решений - по формулировки - основное в решении задачи. 4. По итогам исследования: умения и навыки решения задач комбинаторного типа не велики, что говорит о необходимость дополнительно изучения данного вопроса. Данная исследовательская работа имеет как теоретическое, так и практическое значение. Её можно использовать и педагогу, для объяснения комбинаторных задач и задач с графами, и обучающимися, для дополнительного или самостоятельного изучения этого вопроса, и всем тем, кому комбинаторные задачи представляют особый интерес. 17 Урок 1. Тема урока: Теория графов. Цели урока: 1. Обучающая - организовать деятельность студентов по усвоению новых понятий и теорем для решения логических задач с помощью графов. 2. Развивающая - формирование умения применять определенные графы (граф-лес, граф-дерево, ориентированный граф, двудольный граф, трехдольный граф) для решения различных логических задач. 3. Воспитывающая - формировать умения аккуратного и полного изображения графов. Тип урока: изучение нового материала, проблемный. Вид урока: урок беседа. Оборудование: рабочее место преподавателя; доска, цветные мелки. Рабочее место преподавателя: Структурная схема. Сканер Компьютер Монитор Мультимедийный проектор Экран 18 План урока. I. Организационная часть -1мин. II. Объяснение -15мин. 1. Формирование новых понятий 2. Решение задач. III. Закрепление знаний и умений - 25мин IV. Домашнее задание. V. Вывод по уроку- 4 мин. Ход урока. I. Организационный момент. II. Объяснение Вопрос преподавателя - Какие способы решения задач вы знаете? Примерный ответ студента: - Аналитический , табличный, графический. Преподаватель: - Для решения следующих задач воспользуемся графамисхемами. Тема занятия - теория графов. 1. Понятие графа. Простейшие свойства. Определение 1. Графом называют схему, состоящую из точек, называемых вершинами, и отрезков или дуг (ребер), соединяющих их. Г 1 : 4 вершины 3 ребра. Определение 2. Степенью вершины графа называют число ребер, к которым эта вершина принадлежит. Ст.А=1 Ст.В=3 Ст.С=1 19 Ст.Д=1 2. Уникурсальные фигуры. Определение 3. Уникурсальные фигуры - это фигуры, которые можно начертить одним росчерком ( не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одной линии дважды). Задача 1. Определить является ли уникурсальной фигура. Студенты по желанию выполняют задание у доски Ответ: Да, уникурсальная. Задача 2. Определить является ли уникурсальной фигура. Задание выполняется студентом на доске, остальные в тетрадях Ответ: Да, уникурсальная Задача 3. Выяснить будет ли фигура являться уникурсальной. Задание на доске Преподаватель: -Возникает проблема: фигуру одним росчерком начертить нельзя. Почему? Ответ: Нельзя по теореме Эйлера. - Монардом Эйлером сформулированы и доказаны следующие утверждения, объясняющие решения задач такого рода. 1. Граф имеющий две нечетные вершины можно изобразить одним росчерком, при этом движение начнется в одной вершине, а закончится в другой нечетной вершине. 2. Граф, имеющий только четные вершины можно изобразить одним росчерком, при этом движение начнется и завершится в одной и той же точке. 3. Граф, имеющий более 2-х нечетных вершин, одним росчерком изобразить нельзя. 20 III. Граф - дерево. Граф- лес. Ст.1 =4 Ст.2 =1 Замечание. При использовании графа-дерево его изображать проще не снизу вверх, а сверху вниз. Задача 1. Сколько различных обедов Чичиков мог насчитать из блюд, выставленных у Петуха П.П., если на каждый обед выбрать одно холодное; одно - первое; одно - второе; одно - третье. На столе у Петуха было выставлено из холодных блюд: - студень с хреном; - свежая икра стерляжья; - свежая просоленная белужина; на первое - уха из стерлядей; - щи с грибами; на второе: - осетрина жаренная; - теленок жаренный на вертеле; на третье: - арбузы и груши 21 Ответ: 24 обеда. Условие задачи, а также граф-лес спроецированы на экран. Объясняет задачу преподаватель. Вопросы преподавателя: - Что такое граф? - Какая фигура называется уникурсальной? - Какие графы мы использовали для решени я задач? IV.Домашнее задание. 1.Составить задание на уникурсальность фигуры. 2. В школе проводят соревнования по плаванию. Болельщики высказывают предположения о победителях. 1. Болельщик Ваня: Наташа будет - первой, а Вера второй. 2. Болельщик Сережа: первой- Света; Люда - третьей. 3. Болельщик Дима: Света - второй, Вера может рассчитывать на третье место. Кто какое место занял, если ни одно место не поделено двоими; и каждый болельщик в одной из двух частей своего прогноза оказался прав. V. Вывод по уроку. Заключительное слово преподавателя: - Оценки за работу у доски; за устные ответы. 22 Урок 2. Тема урока: Теория графов. Цели урока: 4. Обучающая - организовать деятельность студентов по усвоению новых понятий и теорем для решения логи ческих задач с помощью графов. 5. Развивающая - формирование умения применять определенные графы (граф-лес, граф-дерево, ориентированный граф, двудольный граф, трехдольный граф) для решения различных логических задач. 6. Воспитывающая - формировать умения аккуратного и полного изображения графов. Тип урока: изучение нового материала, проблемный. Вид урока: урок беседа. Оборудование: рабочее место преподавателя; доска, цветные мелки. Рабочее место преподавателя: Структурная схема. Сканер Компьютер Монитор Мультимедийный проектор Экран 23 План урока. VI. Организационная часть -1мин. VII. Повторение - 2 мин. VIII. Объяснение -15мин. 3. Формирование новых понятий 4. Решение задач. IX. Закрепление знаний и умений - 20мин X. Домашнее задание -1 мин. XI. Вывод по уроку - 6 мин. Ход урока. I. Организационный момент. II. Повторение. Вопросы преподавателя выводятся на экран 1.Что такое граф? Примерный ответ студента: - Граф - схема, состоящая из точек называемых вершинами отрезков или дуг, соединяющих их (ребер). 2. Что называется степенью вершины графа? Примерный ответ студента: - Степенью вершины графа называют число ребер, к которым эта вершина принадлежит. 3. Какие фигуры называются уникурсальными? Примерный ответ студента: - Уникурсальные фигуры - это фигуры, которые можно начертить одним росчерком. 4. Являются ли фигуры уникурсальными? 1. 2. 3. 4. 5. 24 Примерный ответ студента: 2; 3; 4 - да, уникурсальные; 1; 5 - нет. 5. По какой теореме вы сделали это заключение? Примерный ответ студента: - По теореме Эйлера. III. Объяснение. 4. Ориентировочные графы. Определение 4. Граф ориентированный, если каждое его ребро имеет направления (то есть известно, какая из вершин этого ребра первая, а какая вторая). Задача 1. ( задача проецируется на экран и объясняется преподавателем). Из лагеря вышли 5 туристов: Вася, Галя, Толя, Лена, Маша. Толя идет впереди Маши; Лена впереди Вали, но позади Маши, Галя впереди Толи. Кто идет первым; кто пос ледним? Решение. Х впереди У В Г Т Л М Ответ: Галя - первая; Вася - последним. Задача 2. (Для решения студентами на доске, условие задачи проектируется на экран). В нашем лесу каждый занимается своим делом и этому обучает других: 25 одни плетут корзины; другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг от друга. Кот учился у выдры; еж у зайца; лиса у волка; мышь у ежа; бобер учил волка и выдру; заяц белку; бобер был учеником медведя; еж учителем дятла. Лучше всех плел корзины еж. Вопросы: Чем занимался заяц, дятел, волк, лиса? Кто раньше всех из зверей нашего леса научился ловить рыбу и плести корзины? Примерное решение студента: Х учитель У Еж Кот Заяц Выдра Лиса Волк Белка Мышь Бобер Медведь Барсук Дятел Ответ: Так как еж плел корзины => заяц, дятел тоже плели корзины; Волк, лиса ловили рыбу первым - медведь научился ловить рыбу; первым - барсук научился плести корзины. 5. Двудольные графы. Определение 5. Граф называется двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся множества, причем так, что каждое ребро будет соединять одну вершину из одного множества с другой вершиной из другого множества. 26 А V1 В С Рисунок проектируется на экран V2 1 2 3 Задача 1. (Условие задачи проектируется на экран, позднее так же и решение). Беседуют трое: Белокуров, Чернов, Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: « Любопытно, что один из нас блондин, брюнет, шатен (рыжий), но не у одного цвет в олос не соответствует фамилии. Кто есть кто? Ответ: Белокуров - рыжий Чернов - блондин Рыжов - брюнет. Задача 2. В семье четверо детей им 5 лет; 8 лет; 13 лет; 15 лет. Детей зовут: Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3. 27 А 5 Условие задачи проектируется на доску 8 Б 13 Студенты пожеланию выходят решать к доске В 15 Г Ответ: Вере - 5лет Боре - 8 лет Ане - 13 лет Гале - 15 лет. Задача 3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас, вода. Известно, что вод а и молоко не в бутылке. Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. В банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость? Стакан Кувшин Банка Бутылка молоко Условие задачи лимонад проектируется квас на экран вода Студенты решают самостоятельно, далее ответ переносят на доску. 28 Ответ: Вода в стакане Молоко в кувшине Лимонад в бутылке Квас в банке. Для сильных студентов задания по карточкам (карточки прилагаются). IV. Закрепление знаний и умений. 1. Вопрос преподавателя: - Какой способ используется для реше ния логических задач? Примерный ответ студента: - Решение с использованием графов. 2. Вопрос преподавателя: - Какие графы мы использовали для решения задач? Примерный ответ студента: - Граф- дерево, ориентировочные графы, двудольные графы. V. Домашнее задание. Составить задачи с использованием графов (позднее их рассмотрим и решим на семинаре) 1 вариант - уникурсальные фигуры. 2 вариант - граф-дерево. 3 вариант - ориентированные графы. 4 вариант - двудольные графы. VI. Вывод по уроку. Заключительное слово учителя: Оценки за работу у доски за работу с места за работу по карточкам. 29
