text doc

Диевский В.А., Зеленин А.Н.
Магнитное поле индукторов без ферромагнитопровода
1. Введение
Настоящая работа посвящена построению способа расчета магнитного поля индукторов постоянного тока и индукторов бегущего поля для моделей вращающихся электрических машин, в которых отсутствуют ферромагнитные части (например, сверхпроводящих), а для переменного магнитного поля – также
и проводящие экраны.
Модель индуктора (набор из секций) представляет собой полый цилиндр,
внутренний радиус которого R1 , а внешний – R2 . Он состоит из трех частей:
средней, активной части длиной 2 L , в которой протекают токи, направленные
вдоль образующих цилиндра, и двух крайних, лобовых частей длиной l каждая, в которых токи текут по дугам окружностей, замыкая токи активных частей. Как частный случай рассматриваются модели с бесконечно-короткими
лобовыми частями и бесконечно-тонкий индуктор радиусом R .
Определение магнитного поля может быть произведено на основе закона
Био–Савара, который в дифференциальной форме имеет вид:
dB 
I dr0  r  r0 
,
3
4
r  r0
(1.1)
где I – ток в элементе проводника dr0 , r0 – радиус-вектор элемента проводника, r – радиус-вектор точки наблюдения.
Интегрированием соотношения (1) может быть произведен расчет поля реальных индукторов с конечными размерами.
2. Поле рамки из квазилинейных проводников
2.1. Поле отрезка
Пусть (в цилиндрической системе координат) координаты точки наблюдения: r ,  , z  , а положение отрезка проводника с током, параллельного оси z ,
характеризуется координатами R, ,  L  h  L  ; 2 L – длина отрезка.
Тогда могут быть написаны векторные равенства:
r  rer  ze z ;
r0  Rcos   er  Rsin    e  he z ,
(2-1)
где единичный вектор e r выбран лежащим в общей плоскости оси z и точки
наблюдения. Из (1) следует dr0  dhe z , и
dr0  r  r0   R sin    er  r  R cos   e dh ;
r  r0  R 2  2Rr cos     r 2   z  h   .
2
а также:
(2-2)
Подставляя полученные выше выражения в формулу (1-1), и интегрируя
по h в пределах от  L до L , можно получить соотношения для составляющих
индукции магнитного поля рассмотренного отрезка с током в виде:
Br 
B 
I Rh  z sin    
4
F1
I h  z r  R cos   
4
F1
hL
;
h  L
hL
;
h  L
(2-3)
Bz  0 – далее не пишется.
Запись
hL
имеет смысл обычных подстановок, а выражение
h  L
F1  R 2  2Rr cos     r 2 .
2.2. Поле дуги
Параметрическое уравнение дуги окружности радиусом R , лежащей в
плоскости z  h , перпендикулярной оси z , и с центром на оси имеет вид:
r0  R cos   er  Rsin    e  he z ; 0  1    2  2 .
Тогда:
dr0  sin    er  cos   e Rd ;
dr0  r  r0    z  h  cos   er   z  h  sin    e 
 R  r cos   e z R d .
Подставляя последние соотношения в выражение (1-1), и интегрируя по 
в пределах от 1 до  2 , можно найти формулы для определения составляющих
индукции магнитного поля описанной дуги:
2
IRh  z  cos   
Br  
d ;
3
4



1
2
IRh  z  sin    
B  
d ;
3
4



(2-4)
1
2
IR R  r cos   
Bz 
d .
4 
3

1
2.3. Поле рамки
Магнитное поле замкнутой рамки, составленной из квазилинейных проводников, может быть получено как алгебраическая сумма полей составляющих ее двух прямолинейных отрезков и двух дуг (3) и (4). С учетом направлений токов, это означает, что в формулах (4) для полей дуг следует сделать подстановку вида:
hL
h  L
hL
, а в формулах (3) для полей отрезков – подстановку:
h  L
 2
.
 1
3. Общее выражение для поля бесконечно-тонкого индуктора
3.1. Переход к рамке, распределенной по углу
Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки, распределенной по углу  0 можно получить из формул (2-3) и (2-4) с соответствующими подстановками, если заменить в них
1 на 1   ,  2 на 2   и про-
интегрировать эти соотношения по  с весом
1
0
в пределах от 0 до  0 .
При этом удобно использовать формулы, справедливые для любых достаточно гладких функций f   и F   :
0
1
2 
2
 d  f  d   ~  f  d ,
0
0
1 
(3-1)
0
где
0    1 ;
0 ,
1
0
~  
  1  ,
1   0     2   0
1,
1
0
1    1   0 ;
2    ,
(3-2)
2   0    2 ;
2    2 ;
0,
и
где
1
0
0
0
   
 d F  
  2 
 1 
2
     F  d ,
(3-3)
0
 ~
   .

Выполнив указанную выше подстановку и интегрирование с использованием формул (1) – (3), получим для поля рамки, распределенной по углу, а
именно для поля дуг (лобовых частей) и для поля активных частей:
IRh  z 
Br  
4
2
IRh  z 
B  
4
2
IR
Bz 
4
2

0

~  cos   
0

d
3
~  sin    
d
3

0
~ R  r cos   
3
d
(0);
(0);
(0);
(3-4)
IRh  z  2   sin    d
Br  

4
F1
0
(0);
I h  z  2   r  R cos   d
B 

4
F1
0
(0),
где подстановка (0) имеет вид: (0) =
(3-5)
hL
.
h  L
3.2. Переход к рамке, распределенной по высоте
Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки, распределенной также и по высоте на расстояние l могут быть получены из формул
(4) и (5), если заменить в них  L на  L   , L на L   и проинтегрировать по  с весом
1
в пределах от 0 до l .
l
При этом удобно воспользоваться следующим соотношением, справедливым для любой достаточно гладкой функции g h  :
l

d  g h 
0
где
h  L 
 h  L  l h  L  l 
 ,
= Gh  

h  L  
h  L 
hL
(3-6)
G h   g h  . Произведя указанные действия с использованием соотно-
шения (6), для составляющих индукции магнитного поля двумерной рамки
можно получить следующие выражения, а именно для поля лобовых частей и
для поля активных частей:
2
Br  B1 R

~  cos   

0
2
B  B1 R

 ;
d
~  sin    

0
2
B z  B1 Rh  z  
0
 ;
d
~ R  r cos   
F1
d
 ;
(3-7)
2
  sin    
0
F1
Br   B1R 
2
B  B1

  r  R cos   
F1
0
где величина B1 
 ;
d
d
 ,
(3-8)
I
; символом  обозначена подстановка:
4l
 h  L  l h  L  l 
 .

h

L
h


L


 = 
(3-9)
3.3. Индуктор, как совокупность рамок
Реальный индуктор с симметричными лобовыми частями, рассматриваемый как бесконечно-тонкий в радиальном направлении, представляет собой совокупность рамок. Соответственно этому, в силу суперпозиции полей, магнитное поле индуктора может быть найдено как алгебраическая сумма полей составляющих его рамок.
Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки линейны
относительно функций
   и ~  , которые характеризуют положение ра-
мок на цилиндре индуктора. Следовательно, для определения поля индуктора
можно пользоваться выражениями (7) и (8), если в последних заменить
   и
~  на алгебраическую сумму этих функций, в которой каждое слагаемое
будет характеризовать отдельную рамку индуктора.
Решение последней задачи значительно упростится, если заметить, что величина
   I R  J   представляет собой для рамки линейную плотность
тока осевого направления в активных частях.
Таким образом, для получения магнитного поля индуктора следует записать выражение линейной плотности токов осевого направления в активных частях составляющих его рамок по углу J   , затем найти
   , как:

    J   R I , и ~      d , после чего выражения для    и
0
~  подставить в соотношения (7) и (8).
4. Магнитное поле некоторых типов индукторов
4.1. Индуктор постоянного тока
Для индуктора постоянного тока, имеющего p пар полюсов (период
2
p
), выражение линейной плотности токов осевого направления в активных
частях его имеет вид:

Iw
,
R 0
Iw
,
R 0
J   
0,
при
при


2p

2p
 0     
 0    

2p

2p
 0 ,
 0 ,
(4-1)
при остальных   ;
где w – число витков в катушке,     

2p
; функция
    J   R I .
Для удобства расчета составляющих индукции по соотношениям (3-7) и
(3-8), последние следует преобразовать с тем, чтобы выделить из них явную зависимость от угла наблюдения  .
С этой целью функции
   и ~  необходимо представить в виде раз-
ложений их в ряд Фурье. Эти разложения имеют вид:
   
4w
1
sin2n  1 p 0 cos2n  1 p  ;
 0 n0 2n  1


4w 
1
~
   
sin2n  1 p 0 sin2n  1 p .

 0 p n0 (2n  1) 2
(4-2)
(4-3)
После подстановки разложений (2) и (3) в выражения (3-7) и (3-8), и ряда
преобразований, можно получить следующие соотношения для определения
составляющих индукции суммарного магнитного поля активных и лобовых частей индуктора постоянного тока:
sin Np 0
sin N p 
N
N 1,3,5..
R
rx
Br  B2







x
   Np 1  x,     Np 1  x,   
S Np 1  x   S Np 1  x  
Np


R
rx
B  4 B2

sin Np 0
cos Np 
N
N 1,3,5..

(4-4)

  DNp  x   signr  R 1    Np  x,  
Bz 

 ;
 ;
sin Np 0
2
x
B2 signh  z  1 
sin Np 

p
 N 1,3,5.. N 2

 S Np x   signr  R  1   Np x,  
где введены величины: B2 
x
 Iw
;
 2 l 0
4R r
R  r 
2
 ;
 h  z 

;
2
4 Rr
R  r 
2
,
(4-5)
а функции:

2
S n  x    1 
n
0

cos 2nt dt
1  x sin 2 t
;
0

2
Tn  x,     1 
n
0
 n  x,     1

n
cos 2nt dt
1   sin t  1  x sin
1  x sin 2 t
dt
 cos 2nt
2
1   sin t
0
2
2
Dn  x    1  cos 2nt 1  x sin 2 t d t ;
n
2
2
t
;
описаны в работе 1.
4.2. Индуктор бегущего магнитного поля
В случае трехфазного индуктора бегущего магнитного поля с р парами
полюсов токи в фазах изменяются во времени по закону:
2 

ib  I cost 
 ,
3


ia  I cos t ,
2 

ic  I cost 
.
3


(4-6)
Если число пазов на полюс и фазу обозначить q , а пазовый угол –  0 , то
линейная плотность тока осевого направления фазы a в активных частях на
промежутке
 
 0,  может быть записана, как:
p

w ia





, при  0   

  j  1
 0 ;
R 0
2
3 p 6 pq
3 pq 2
J a   
0 , при остальных  ;
j  1, 2, , q .
(4-7)
Аналогично записываются линейные плотности тока фаз b и c . Разлагая
эти выражения в ряды Фурье и суммируя, можно получить следующую формулу для линейной плотности тока индуктора бегущего магнитного поля:
3wI
J   
R 0
где
N

N
 N sin Np  t  ;
n 0
принимает все значения выражений
6n  5 (нижний знак),
N
(4-8)
6n  1 (верхний знак) и
sin  N 
6q 


sin  N 
6q 

– обмоточные коэффициенты гармоник;

(4-9)
3 pq 0

(4-10)
– коэффициент заполнения окружности индуктора пазами; R – радиус индуктора; w – число витков в секции. Тогда:

N
 N sin Np   t  ;
(4-11)
3w   N
 2 cos Np   t  .
p 0 n0 N
(4-12)
   
~  
3w
 0
n 0
После подстановки формул (11) и (12) в выражения (3-7) и (3-8) и преобразований, можно получить следующие выражения для составляющих индукции
магнитного поля:
3
R
Br  B2
4
rx

N
 N cosNp   t  
n 0


x
   Np 1  x,     Np 1  x,   
S Np 1  x   S Np 1  x    ;
Np




B  3B2
R
rx




N
 N sinNp   t  
n 0

  DNp  x   signr  R  1    Np  x,  
 ;
(4-13)
3
x  N
Bz 
B2 signh  z  1 
cos( Np   t ) 
4p
 n 0 N 2



 signr  R  1   Np  x,    S Np  x 
4.3.
 .
Приведение формул к расчетному виду
Введем новые обозначения:  
Iw
– линейная плотность тока;
R 0
~
L  L ; l  l ; l  l  l ;   r ;   z ; h .
R
R
L
R
L
L
L
(4-14)
Во введенных обозначениях:
x
4
;
2
1   2  L2    
При использовании соотношений 1:
1 
n  x,   
S n  x  
1 
 n  x,   
1
1


k 1

4
1   2
.
(4-15)

  k S k n  x   S k n  x  ;

 D  x      k D  x   D  x  ;

 n

k n
k n


k 1
(где знак "+" соответствует случаю   1, знак "–" – случаю   1), формулы
(4) поля индуктора постоянного тока приводятся к виду, удобному для расчетов
при значениях  не близких к единице:
Bz   B31
   
Br  4 B32


 n0
p
B  4 B32
x
sin Np 0
N
2
sin Np

  S
k
k  Np
 x   S k  Np  x  ;
k 10

sin Np 0
cos Np    k 1 Dk  Np  x   Dk  Np  x  ;

x n 0
N
k 10




sin Np 0
sin Np 
x n 0
N





(4-16)



 x


S Np 1  x   S Np 1  x      k 1 Dk  Np  x   Dk  Np  x   ;
k 1
 4 Np

где B31 


;
; в формулах следует сделать подстановки по  :
B

32
2~
2
 l
 l
~
 1 l

     1 

~
  1 l
  1
.


(4-17)
В соотношениях (16): N  2n  1 , верхние знаки и пределы суммирования
соответствуют случаю   1 , нижние –   1.
При значениях  , близких к единице, более удобным становится расчет
полей индукторов по соотношениям (4) и (13) с использованием разложений
функций S n ( x), Dn ( x),  n ( x,  ), n ( x,  ) в ряды, приведенные в работе 1.
Формулы, справедливые для индукторов переменного тока (бегущего магнитного поля – 4.2), можно получить из (16), если в них произвести следующие
изменения:
1) домножить формулы (16) на 3/4;
2) под N подразумевать N  6n  1 и N  6n  5 ;
3) sin Np 0 заменить на  N ;
4) cos Np и
sin Np заменить соответственно на cos(Np   t )
и
sin( Np  t ) (здесь знак "+" для N  6n  5 и знак "–" для N  6n  1 ).
5. Индукторы с бесконечно-короткими лобовыми частями
Вычисление по формулам (4-16), содержащим подстановки (4-17), стано-
~
вится неудобным при l  1, поскольку оказывается связанным с погрешностью из-за наличия разности близких величин. В этом случае гораздо удобнее
вести расчеты индукции магнитного поля для моделей индукторов с бесконечно-короткими в аксиальном направлении лобовыми частями.
Соответствующие формулы можно получить двумя путями:
а) перейти в соотношениях (4-4) и (4-13) к пределу при l  0 ;
б) произвести вывод формул, аналогичный приведенному в главах 3 и 4, не
выполняя переход к рамке распределенной по высоте.
Произведя преобразования любым из этих путей, можно получить следующие соотношения:
Br
h  z  B

pr

sin Np 0
sin Np 
4
N
n 0


Np
4N 2 p 2  1 2  x

 S Np  x  

DNp  x  
TNp 1  x,    TNp 1  x,      ;
2
1 x
4





sin Np 0
2h  z 
B  
B4
cos Np 
r
N
n 0



 S Np x   signR  r  1   TNp x,  
(5-1)
  ;

sin Np 0
2
B z  B4
sin Np 
2
p n 0
N



4 N 2 p 2  1 2r  rx  xR
  S Np  x  

DNp  x 
2
r 1  x 


Здесь N  2n  1; подстановки имеют вид: () 
  .
hL
,а
h  L
B4 
 R

2
R  r 
2
 h  z 
2
.
Если перейти к безразмерным величинам, то формулы (1) можно переписать в виде, удобном для расчета при  не близких к единице:
Br 
   L B
p

5
sin Np 0


n 0
N
2
sin Np 

4N 2 p 2  1 2  x
 Np  S k  Np  x   S k  Np  x   S Np  x  

D Np  x 
2
1 x

k 1

k
   ;
B


   L B

5 

  S
k
k  Np
sin Np 0
cos Np 
N
n 0

 x   S k  Np  x 
   ;
(5-2)
k 10

sin Np 0
1
B z  B5
sin Np 
2
p
N
n 0



2 x x
2 2
4
N
p

1


 S Np  x  

DNp  x 


2
1 x


Здесь B5 

2
x

   .
; подстановка имеет вид:       1 ; верхние знаки и
 1
пределы суммирования соответствуют случаю   1, нижние – случаю   1.
При значениях  , близких к единице, удобнее пользоваться формулами
(1) и соответствующими разложениями функций S n ( x ), Dn ( x) и Tn ( x,  ) в
ряды, описанные в работе 1.
6. Поле индуктора конечной толщины с лобовыми частями
конечной длины
6.1. Общие выражения
В некоторых случаях расчета индукции магнитного поля, особенно вблизи
поверхности индуктора, а тем более в его теле, возникает необходимость учета
конечности толщины индуктора.
Выражения для составляющих индукции магнитного поля цилиндрических
индукторов конечной толщины можно получить, если воспользоваться выражениями для поля бесконечно-тонкого индуктора (формулы (3-7) – (3-9)) и
провести в последних интегрирование по R в пределах от R1 до R2 с весом
1 R2  R1  .
Для индуктора постоянного тока после проведения ряда преобразований,
аналогичных использованным в главе 4, можно получить следующие выражения для составляющих индукции магнитного поля:
для лобовых частей:

2
1
sin Np 0
Br  B6 
sin Np  1 p 1 cos 2 Npt cos 2t   rF2 cos 2t dt ;
2
p n 0 N
0




2
sin Np 0
1
p 1
sin 2 Npt sin 2t   rF2 cos 2t dt ;
B  B6
cos Np  1
2
p n 0
N
0



sin Np 0
1
B z  B6
sin Np 
p n 0
N2


  1
p
(6-1)
2
r


cos 2 Npt h  z F2  F3 cos 2t  rF4 sin 2t  dt ;
2


0

для активных частей:


2
sin Np 0
p 1
sin 2 Npt 
Br  B6
sin Np  1
N
n 0
0


r
1



   sin 2t  F2 sin 4t  h  z  F4 cos 2t  F3 sin 2t  dt
2
2



(6-2)


2
sin Np 0
B  B6
cos Np cos 2 Npt 
N
n 0
0


1



  cos 2t  rF2 sin 2 2t  h  z  F4 sin 2t  F3 cos 2t  dt .
2



Здесь: B6 
4 j Rср
 2l
R1  R2
– средний радиус индуктора;
2
; Rср 
Iw
R2  R1 Rср 0
j
(6-3)
– плотность тока осевого направления; в формулах (1) и (2) следует сделать
подстановки вида:
R  R2
 R  R1
 x   
 h  L  l h   L l 
 h  L  h   L  ,


а введенные выражения равны: F2  lnR  r cos 2t   ; F3  ln
F4  arctg
(6-4)
  h  z 
;
  h  z 
R  r cos 2t h  z  .
r sin 2t
6.2. Переход к безразмерному виду
Преобразуем произведения тригонометрических функций в суммы, переходя к безразмерным параметрам с помощью соотношений (4-14), в которых:
L L
Rср
;
l  l
Rср
; 
R2  R1 
2 Rср
;
  r R ; 0  R R (6-5)
ср
ср
Далее появляются выражения:

2

  0   cos 2t
n
Ln   1  cos 2nt ln
dt ;





cos
2
t
0
0


2
  L    
n
Ln   1  cos 2nt ln
dt ,




L



0
(6-6)
где  
0 2  2 0  cos 2t   2  L2    2 .
Эти выражения сводятся к функциям, описанным в работе 1:

1  x sin 2 t  1  x
2
l n  x, y    1  cos 2nt ln
n
1  x sin t  1  x
2
0
соотношениями:


x
0   
4 0 
2
y2 
y1 
;
2
 L    
2
2
1  1  L    
1  1  L    
;
2
2
2
(6-7)
y
2
; y3 
2
2
dt ,

Ln  ln x, y3  , (6-8)

Ln  ln x, y1   sign  2  L2    2  02 ln  x, y2  ;
где:
y
40 
 0   2
(6-9)
2
.
(6-10)
Кроме того, появляется выражение:

2
An   1  sin 2nt arctg
n
0
L    0   cos 2t 
dt .
 sin 2t
(6-11)
Это выражение сводится к функциям, описанным в работе 1:

2
Qn  x, y    1n 
0
y

2
cos 2nt dt
2
Pn  x,     1  cos 2nt
n
0

 sin 2t 1  x sin t
2
2
1  x sin 2 t
y  sin 2t
2
2
;
(6-12)
dt .
соотношениями:
An  n 
40
0 
y x  0  2
P  x, y  
   1  Qn  x, y  
x n
4n  0    x
 
 Sn  x   sign  0  1   n  x, y ;
(6-13)
An   n 


y x  0
2
 Qn 1  x, y   Qn 1  x, y   2 1  y Qn  x, y  
4n  0  
 Sn  x   sign  0  1   n  x, y ;
 n   1n 1
где

4n


sign    1   1n sign   0  ;
y
(6-14)
L    

.
Формулы (1) и (2) можно преобразовать и получить выражения для составляющих индукции суммарного магнитного поля активных и лобовых частей индуктора постоянного тока в виде:
B7  sin Np 0
Br 
sin Np
2
2 n 0
N
4F5 1  Np DNp 1x   1  Np DNp 1x  



 p1  Np LNp 2  2 LNp  1  Np LNp  2  


 2L    Np LNp 1  LNp 1  2 ANp 1  ANp 1




 

B7  sin Np 0
B 
cos Np
2 n 0
N2
4F5 1  Np DNp 1x   1  Np DNp 1x  



 p1  Np LNp 2  2 NpLNp  1  Np LNp  2  


 2L    Np LNp 1  LNp 1  2 ANp 1  ANp 1 


 xx  ;




(6-15)
 xx  ;

sin Np 0
sin Np 
2
N
n 0



 2L    LNp  p LNp 1  LNp 1  2 pANp 1  ANp 1 
B z  B7




 xx  ;
где подстановки имеют вид:
 xx  
F5 

 0 1 
 0 1

  1 ~l    1 ~l  ,
  1
  1 


0   2  L2    2 , а
B7 
jRср
 lp
2
(6-16)
.
Для конкретных расчетов удобно пользоваться разложениями функций в
ряды, приведенными в работе 1.
7. Некоторые результаты расчетов
С целью проверки методики был проведен ряд расчетов. Основная проверка производилась сравнением расчетных результатов с результатами экспериментального исследования модели индуктора, приведенными в работе
2
(с.103). Ее параметры: R  0,125 м , L  0,125 м , l  0,125 м , p  1 , при
условии, что высшие гармоники распределения линейной плотности активных
токов отсутствуют, амплитуда линейной плотности 6360 а
ли в обозначениях настоящей работы:
м
~
L  l  l  1;
. Для такой моде-
0 

2
;
  4995 а м ; в суммах по n следует ограничиваться первым членом
( n  0,
N  1). Радиальная и азимутальная составляющие индукции магнит-
ного поля такого индуктора внутри него по результатам измерений 2 практически не зависят от  и  , причем значения их равны приближенно 43 Гс , а
расчет по методу авторов 2 (для бесконечно-тонких индукторов) дает 40 Гс .
Расчеты, приведенные по соотношениям (4-4) и (4-16), подтвердили слабую зависимость составляющих индукции Br и B от  и  внутри индуктора, а также позволили получить расчетные их значения, более близкие к экспериментальным, а именно:
при   0
при   0,5
  0,5 ;
Br  B  41,4 Гс ;
  0;
Br  B  43,3 Гс ;
  2;
Br  B  6,55 Гс ;
  1;
Br  B  35,3 Гс
  0;
B  41,4 Гс ;
при   0,99
  0;
Br  40,3 Гс ;
  0,5 ;
Br  41,6 Гс .
Все приведенные выше результаты хорошо согласуются с графиками экспериментальных результатов, приведенными в 2, что подтверждает правильность разработанной выше методики.
Если заменить описанный реальный индуктор более простой моделью с
бесконечно-короткими лобовыми частями, расположенными в середине реальных, то величины составляющих индукции могут быть найдены из более простых соотношений (5-1) и (5-2) при L  1,5 . При этом внутри индуктора значения составляющих индукции близки к указанным выше, в частности, при
  0,5 ;
  0;
Br  B  43,5 Гс . Это подтверждает справедливость
методики главы 5.
Для перехода к расчету по формулам индукторов конечной толщины следует ввести некоторую толщину
  и, сохраняя средний радиус, заменить ли-
нейную плотность тока на плотность тока j по формуле
j

. В этом
2Rср
случае расчет по соотношениям (6-15) дает для поля в центре:
при   0,1 Br  B  43,4 Гс ; при   0,01
Br  B  43,3 Гс ; что
очень хорошо соответствует как результатам расчета по бесконечно-тонкой модели, так и результатам измерений.
Литература
1. Диевский В.А., Зеленин А.Н. Исследование некоторых специальных функций. – в печати.
2. Титко А.И., Счастливый Г.Г. Математическое и физическое моделирование электромагнитных полей. Киев, «Наукова думка», 1976.