Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону 0
Реклама
Известия Академии наук СССР. 1937 Отделение математических и естественных наук. А. Н. Тихонов Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Stefan’a-Boltzmann’a (Представлено академиком О.Ю. Шмидтом) В статье подробно изучается задача об остывании равномерно нагретого полуогра- ниченного слоя 0 x в пустоте. При этом принимается, что внутри тела температура подчинена уравнению теплопроводности, а на поверхности имеет место закон Stefan’a-Boltzmann’a. Аналогично трактуются и некоторые другие задачи. Настоящая статья посвящена вопросу об изменении температуры твердого тела, если на поверхности происходит лучеиспускание, следующее закону Stefan’a-Boltzmann’a. При этом может случиться, что тело не только излучает теплоту, но и само получает ее как извне, так и благодаря источникам тепла, находящимся внутри тела1. Мы дадим решение этой задачи для однородных тел одного, двух или трех измерений произвольной формы, считая поток тепла, поступающий из внешнего пространства, известной величиной (которая может меняться от места на поверхности и от времени). Решение задачи будет получено нами при помощи сведения ее к нелинейному интегральному уравнению типа Volterra, для которого дается метод решения при помощи последовательных приближений. Однако, чтобы не загромождать основную идею излишними деталями, мы приведем в § 1-3, 6 решение простейшей задачи, рассматривая остывание однородного, полуограниченного тела в пустоте, а в § 4, 5 рассмотрим более общий случай. 1 Например, тепло, возникающее внутри тела (Земли) благодаря радиоактивному распаду. 97 Избранные труды §1 Рассмотрим однородное тело, температура которого u ( x , t ) зависит только от времени t и одной геометрической переменной x , которую будем считать меняющейся от 0 до (бесконечная полупрямая). Эта функция u ( x , t ) удовлетворяет уравнению теплопроводности 2 u( x, t ) 1 u( x, t ) 2 k 2 const , a 2 x a t c (1) k - теплопроводность, - плотность, а c - удельная теплоемкость данного тела. Если u ( x , t ) обозначает абсолютную температуру тела и излучение происходит в пустоту, то на поверхности (при x 0 ) поток u( x, t ) |x 0 , согласно закону Stefan’a-Boltzmann’a пропорциотепла, k x где нален 4-й степени температуры, т. е. k u 4 (0, t ) u(0, t ) . x (2) Допустим, кроме того, что в некоторый момент времени, назовем t 0 , нам дано распределение температуры внутри тела u(x,0) , равное некоторой постоянной температуре T0 : его u( x,0) T0 (3) Нашей задачей является найти ограниченное решение 2 уравнения теплопроводности (1) с граничными условиями (2) при x 0 и начальными данными (3). Обозначим через (t ) термический градиент у поверхности тела 2 Условие ограниченности необходимо, иначе задача будет иметь несколько реше- ний (см. A.Tychonoff, Sur les theoremes d’unicite... Матем. сборн. 42, 199, 1935). Единственность решения у изучаемой задачи при поставленных условиях следует из самого метода решения. 98 Академик А.Н.Тихонов (t ) u (0, t ) x (4) Всякое ограниченное решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее условию (3) и имеющее u (0, t ) (t ) , как известx но, представляется в виде: u( x, t ) T0 2 t 1 2 0 x2 2 a e 4 a t ( )d , t и нам остается определить функцию условие (2). Как было отмечено, (5) (t ) так, чтобы удовлетворялось u (0, t ) (t ) x Далее, u(0, t ) T0 a t 0 ( ) d . t (6) Таким образом, для того, чтобы удовлетворялось условие (2), нужно, чтобы функция (t ) удовлетворяла соотношению: a k (t ) T0 t 0 4 ( ) d , t (7) которое является нелинейным интегральным уравнением. Упростим уравнение (7), вынося T0 за скобку и деля на T04 : k 1 a T04 ( t ) 1 T04 T0 k t 0 4 1 t k ( ) 4 d . T0 Введем новые переменные z , , полагая t 2 z, 2 ; (8) 99 Избранные труды при этом уравнение преобразуется к виду3: k a T04 2 ( z ) 1 T04 T0 k 4 z 1 z 0 k ( 2 ) 4 d . T0 Положим ( z ) ( 2 z ) k T04 (9) и выберем тогда для определения T0 k ; a T04 (10) (z ) получаем уравнение: 4 z ( ) ( z ) 1 d . 0 z (11) Если мы решим это уравнение, то (t ) ( t 2 ) T04 (12) k Таким образом, процесс остывания (поток у поверхности) всякого равномерно нагретого неограниченно простирающегося в одну сторону тела при выборе соответствующих масштабов времени и температуры определяется одной и той же кривой (z ) . Способ нахождения решения уравнения (11) будет дан в § 2. §2 Назовем V ( z, ), ( z 0) , функционалом Volterra, если V есть число, зависящее от значения параметра и от значений функции ( ) в промежутке 0 z . Рассмотрим функциональное уравнение 4 3 Заметим, что внутри квадратных скобок стоит величина ясно физически, меняется в пределах от 1 до 0. 100 u(0, t ) T0 , которая, как то Академик А.Н.Тихонов ( z ) V ( z , ) (13) Допустим, что функционал V ( z , ) удовлетворяет следующим условиям: 1°. Если ( ) - непрерывная функция своего аргумента, то V ( z , ) определен и является непрерывной функцией переменного z. 2°. Если 1 ( ) и 2 ( ) - непрерывные функции и 1 ( ) M , 2 ( ) M , 0 Z то z V ( z,1 ) V ( z, 2 ) K ( z, ; M , Z ) 1 ( ) 2 ( ) d 0 для 0 z Z , причем функция N (M ) K ( z , ; M , Z ) Z z p где 0 p 1 , а Z. 5 4 N Z (M ) - некоторая константа, зависящая от М и от Уравнение (11) принадлежит к рассматриваемому нами типу, где 4 z ( ) V ( z, ) 1 d . 0 z Нетрудно видеть, что функция, приведенная в сноске 4, удовлетворяет поставленным условиям. Что условие 1° удовлетворено, - это очевидно. Покажем, что условие 2° также 5 удовлетворено. Обозначим через v ( z , ) функционал z ( ) v ( z, ) 1 d ; 0 z 4 тогда V ( z, ) v ( z, ) и 101 Избранные труды Теорема. Если функционал V ( z , ) удовлетворяет условиям 1° и 2°, то уравнение (13) ( z ) V ( z , ) имеет единственное решение в некотором промежутке 0 z z0 . Мы докажем эту теорему методом последовательных приближений. Рассмотрим функциональное преобразование ( z ) V ( z, ), (14) преобразующее функцию (z ) в функцию (z ) .Определим такое z0 , чтобы непрерывная функция (z ) , для которой ( z ) M при 0 z z0 , преобразовывалась в функцию, обладающую тем же свойством. Это можно сделать следующим образом. Пусть f ( z ) V ( z,0) эта функция, по условию, непрерывна; обозначим через L1 maximum 0 z Z : f ( z ) L1 . Для функ- этой функции на некотором отрезке ции (z ) , для которой ( z ) M ) L1 , получаем: M V ( z, 1 ) V ( z, 2 ) v ( z , 1 ) v ( z, 2 ) v ( z , 1 ) 3 v ( z, 1 ) 2 v ( z , 2 ) v ( z, 1 )v ( z, 2 ) 2 v ( z, 2 ) 3 Но если ( z ) M для 0 z Z , то v( z, ) 1 2 M Z z v ( z, 1 ) v ( z, 2 ) 0 1 ( ) 2 ( ) d z и, кроме того, . Таким образом, z V ( z,1 ) V ( z, 2 ) K ( z, ; M , Z ) 1 ( ) 2 ( ) d где K ( z, ; M , Z ) 0 4 1 2M Z z 3 102 Академик А.Н.Тихонов z V ( z, ) V ( z,0) M K ( z, ; M , Z )d M N ( M ) 0 z 1 p 1 p или z1 p ( z ) V ( z, ) L1 M N ( M ) 1 p Очевидно, z0 , что z0 Z , чтобы для любого M L1 (15) можно найти такое 1 p z M L1 L1 M N ( M ) 0 M , z0 1 p 1 p . 1 p M N (M ) ( z ) M на Таким образом, если преобразованной функции (z ) на отрезке (16) 0 z z0 , то и для этом отрезке ( z ) M . Возьмем 0 ( z) M (на отрезке 0 z z0 ). Для определенности положим 0 ( z ) 0 . Определим последовательные приближения 1 ( z ), 2 ( z ),..., n ( z ),... , полагая какую-нибудь функцию 0 ( z) , для которой n ( z ) V ( z, n 1 ). В силу определения (17) z0 очевидно, что n ( z) M для всех п. Отсюда следует, что n ( z ) n 1 ( z ) V ( z, n 1 ) V ( z, n 2 ) n 1 ( ) n 2 ( ) d z 0 z N ( M ) причем константа N(M) для всех Таким образом 6, 6 , п одинакова. Нижеследующие вычисления могут быть сильно упрощены, ес- ли K ( z , ; M , Z ) N (M ) т. е. является ограниченной функцией. В этом случае вычисления выглядят так: 103 (18) Избранные труды 1 ( z ) 0 ( z ) V ( z,0) L1 , z d 2 ( z ) 1 ( z ) L1 N p z 0 1 d 1 p 1 p 1 p L1 Nz L1 N z , p 2 p 1 0 z 1 p 1 p d 3 ( z ) 2 ( z ) L1 N 2 p 2 p 0 z 1 1 p 1 p 2 1 p d L1 N 2 z 0 1 p 2 p 2 1 p L1 N 2 z 2 1 p , 1 21 p n 1 p n 1 ( z ) n ( z ) L1 N n z n 1 p . 1 n 1 p 0 ( z ) 0, (19) 7 1 ( z ) 0 ( z ) L1 , 2 ( z ) 1 ( z ) L1 Nz, ............................. zn n 1 ( z ) n ( z ) L1 N , n! n т. е. ряд последовательных приближений сходится. Однако, мы не можем ограничиться этим случаем, так как функционал, приведенный выше в сносках 4,5 ,не удовлетворяет этому условию. 7 (q ) - эйлеров интеграл 2-го рода. Здесь мы пользуемся формулой: 104 Академик А.Н.Тихонов Пользуясь формулой Stirling’a 2 x x 8 12 x 2 x ( x ) e 0 1, x x e x e x (20) получаем n 1 ( z ) n ( z ) L1 N1 p n 1 n 1 p e 1 n 1 p 1 n 1 p n 1 p z , 2 откуда следует, (21) что последовательность приближений отрезке 0, z 0 к некоторой Очевидно также, что V ( z, ) lim V ( z, n ) (равномерно 0 ,1 ,, n , равномерно сходится на функции (z ) , для которой ( z ) M . на 0 n z z0 ), так как z V z , V z , n 0 n d z n . Отсюда следует окончательно 8 ( z ) V ( z, ), 0 z z0 1 1 q1 1 q 1d 2 0 ( q1 )( q2 ) ( q1 q2 ) См., например, Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа (рус. пер. ГТТИ, 1934), глава 12. 8 что Ограничение 0 z z0 используется нами только для доказательства того, n ( z ) M для всех z . Если последовательные приближения окажутся равно- мерно ограниченными на некотором отрезке 0 z z1 или для 0 z , то они будут сходиться во всей этой области и определят в ней решение уравнения (13). 105 Избранные труды §3 Обратимся к уравнению (11): 4 z ( ) ( z ) 1 d V ( z, ). 0 z (22) Отметим еще одно обстоятельство, касающееся последовательных приближений. Допустим, что функционал V ( z , ) - монотонно убывающий в следующем смысле: если 1 ( ) 2 ( ) для 0 z , то V ( z,1 ) V ( z, 2 ) (23) 0 z , которая, заведомо, уравнения 0 ( z ) ( z ) , то последователь- Тогда, если нам известна функция меньше решения нашего ные приближения, построенные по закону 1 ( z ) V ( z, 1 ); ; n ( z ) V ( z, n1 ); (24) приближаются к решению уравнения ( z ) V ( z, ), подходя с разных сторон. Действительно, так как 0 ( z ) ( z ), то 1 ( z ) V ( z, 0 ) V ( z, ) ( z ), но если (25) 1 ( z ) ( z ), то 2 ( z ) V ( z, 1 ) V ( z, ) ( z ), и т. д., т. е. все n (z ) с четными номерами меньше (z ) , а все n (z ) с нечетными номерами больше (z ) . Сделанное замечание имеет прямое отношение к нашему уравнению (11). Действительно, очевидно, что для функции 0 ( z ) 0 0 ( z ) ( z ), (26) так как (z ) , равняясь 4-й степени некоторого числа, всегда 0 . Что касается монотонности нашего оператора 106 Академик А.Н.Тихонов 4 z ( ) V ( z, ) 1 d 0 z , . (27) то она совершенно очевидна, если только ограничиваться такими функциями (z ) и такими промежутками 0 z , для которых z 0 ( ) d 1 z (28) Как было отмечено в сноске 3, для решения (z ) уравнения (11) это неравенство становится ясным в силу физических соображений (более подробно см. § 6). Таким образом, беря 0 ( z ) 0 , получаем. 1 ( z) 1 ( z). Далее, (29) 2 ( z) V ( z,1 ) ( z) , но при этом может случиться, что z 0 1 ( ) d 1 z 1 для z z 0 , (30) а при этом монотонность нашего оператора нарушается. Положим 2 ( z ) 2 ( z ) 0 z z 0(1) , 2 ( z) 0 z 0(1) z. Очевидно, что 2 ( z ) ( z) далее, 3 ( z ) V ( z , 2 ) 3 ( z) ( z) . 4 ( z ) V ( z, 3 ) ; может начиная с некоторого значения z 0 для любых значений z . Положим, , при этом Рассмотрим функцию z (31) 1 ( ) d 1 z случиться, что, ( 3) 0 для 107 z z , ( 3) 0 (32) Избранные труды а при этом монотонность нашего оператора также нарушается. Положим 4 ( z ) 4 ( z ) 4 ( z) 0 0 z z 0( 3) , z 0( 3) z. (33) очевидно, что 4 ( z ) ( z) для любых значений z , и т.д. Вычисления дают следующий результат 8: 1 1, 12 32 2 2 1 8 z 24 z 32 z 16 z , 12 32 3 1 8 z 74.2656 z 1449.989 z 2485.46 z 2 11557.66 z 5 2 89307.12 z 3 516314 z 7 2 462033z 4 , 4 1 8 z 1 2 74.2656 z 729.675z 3 2 6140.86 z 2 89951.40 z 5 2 336624 z 3 2763113z 7 2 , 5 [1 2 z 1 2 12.5666 z 99.021z 3 2 859.62 z 2 6550.3z 5 2 88309 z 3 307771z 7 2 2373594 z 4 ]4 . 0 0, Численные значения последовательных приближений 8 Вычисление выполнено В.Я. Захаровым. 108 (34) Академик А.Н.Тихонов \z 1 3 0.00005 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.9475 0.9272 0.9006 0.8815 0.8660 0.8532 5 0.9475 0.9266 0.9000 0.8806 0.8647 0.8514 4 2 0 0.9475 0.9266 0.9000 0.8806 0.8547 2 0.8512 0.9452 0.9223 0.8919 0.8686 0.8493 0.8325 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 \z 1 3 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001 0.002 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.8427 0.8325 0.8245 0.8160 0.8091 0.7578 5 0.8398 0.8296 0.8207 0.8119 0.8046 0.7454 4 2 0 0.8394 0.8290 0.8199 0.8111 14 0.8032 18 0.7436 0.8179 0.8043 0.7928 0.7807 0.7702 0.6876 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 \z 1 3 0.005 0.008 0.01 0.02 0.03 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.6891 0.6591 - 0.6332 0.6433 5 0.6740 - - - - 300 0.6440 0.5779 0.5271 0.2914 - 0.5335 0.4548 0.4096 0.2646 0.1825 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 2 0 4 6 8 109 8 Избранные труды Ход этих кривых дается графиком, причем в силу (8) z t 2 , (35) k . T0 4 (36) где по (10): Если считать, что T0 T0 a 3000 ; k 0.006 ; a 2 0.007 , 1.2 10 12 , то 3.5, 2 12 и единица по нашей оси равна 12 сек. Вычисления можно было бы выполнить и для большего промежутка времени, но нам не представляется необходимым делать это в данной работе. §4 Изложенный метод решения задачи применим также и к тому случаю, когда начальная температура тела не постоянна и имеется приток тепла извне. Допустим, что начальное тепловое состояние определяется некоторой функцией u( x,0) ( x ) 110 (37) Академик А.Н.Тихонов и что на границе имеется приток тепла извне, величина которого, отнесенная к единице площади и единице времени, равна Q (t ) . Таким образом, граничное условие будет: k u (0, t ) u 4 (0, t ) Q (t ). x (38) Как известно, U ( x, t ) 1 2 a 2 0 x x 2 2 4 a 2t 4a t e e 2 1 t ( )d (39) представляет решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее условиям: U ( x,0) ( x ), U (0, t ) 0. x (40) Будем искать решение нашей задачи в виде u ( x, t ) U ( x, t ) 2 x2 t 1 2 0 2 a e 4 a t ( )d ; t (41) тогда граничное условие (38) принимает вид 10: 1 k (t ) 2 2 2 a 2 t 0 e 2 4 a 2t ( ) a t 0 d (42) 4 ( ) d Q (t ) t Это есть нелинейное интегральное уравнение типа Volterra, к которому применим метод решения, изложенный в § 2; даже общие соображения § 3 вполне к нему применимы. 10 При ( ) T0 и Q (t ) 0 это уравнение превращается в (11). 111 Избранные труды В случае остывания сферы радиуса R в предположении, что температура меняется только в зависимости от изменения радиуса и времени, уравнение теплопроводности принимает вид: u 1 2 u 1 u r r 2 r r a 2 t (43) и граничные условия: u |r R u 4 ( R, t ) Q (t ). (44) r Если температура зависит только от r то, как известно, введением k новой вспомогательной функции v ( r, t ) r u( r, t ) (45) Уравнение (43) приводится к виду 2 v 1 v , r 2 a 2 t (46) а условие (44) переходит в k v v ( R, t ) v ( R, t ) |r R k Q (t ) , (47) 2 R r R R причем, кроме того, при r=0 появляется новое граничное условие: v (0, t ) 0. (48) 4 Чтобы не усложнять формул, будем считать, что u ( r ,0) T , так как мы видели, что учет переменной начальной температуры не представляет принципиальных затруднений. Будем искать решение в виде v ( r, t ) T r 2 1 2 t 0 Rr R2r 2 (49) 4 a t 4 a t e e ( )d . 2 a t Очевидно, что 112 2 Академик А.Н.Тихонов 2 R 2 4 a t ( ) v ( R, t ) T R d , 1 e 0 t 2 t a (50) а v 1 ( R, t ) T v ( t ) r 2 2 R 2 t 2 2R 4 a t e ( )d , 0 at 3 2 (51) откуда для определения функции (t ) приходим к уравнению: k k 1 v (t ) T R R 2 k 2 R T R a 2 R 2 2R 4 a t e ( ) d 0 a t 3 2 2 t 2 R 2 2 4 a t ( ) 1 e d 0 t t (52) 2 R 2 2 4 a t ( ) 4 T R d Q (t ), 1 e R 0 t a t т. е. опять получаем интегральное уравнение, для которого в § 2 дан метод решения. §5 Пусть нам дано некоторое выпуклое тело Т, ограниченное поверхностью S, остывание которого мы изучаем 11, и пусть оно получает извне поток тепла, плотность которого равна QP, t . Эта величина может меняться не только с изменением t, но также и с изменением Р точки поверхности нашего тела. Таким образом, мы должны найти функцию, удовлетворяющую внутри тела уравнению теплопроводности В настоящем параграфе мы даем только краткий эскиз решения формулированной задачи, подробное изложение которой (даже в более общей постановке) мы дадим в другой работе, называемой «О функциональных уравнениях типа Volterra и их приложениях к некоторым задачам математической физики». 1 1 113 Избранные труды u 1 u a 2 t (53) на поверхности S – условию k ( u ( P, t ) u( P, t ) 4 Q ( P, t ), P S ni (54) ni - направление внутренней нормали), и, кроме того, условию u( P,0) ( P), P T (55) (P ) представляет начальное распределение температуры внутри тела T . где функция Для представления искомого решения опять воспользуемся некоторыми вспомогательными функциями. Рассмотрим функцию 1 U 1 ( P, t ) 2 3 r 2 PP 3 1 4 a 2t ( P )d , e T a t (56) Р' - точка, переменная при интеграции, а rPP - расстояние между точками Р и Р'. Как известно, эта функция удовлетворяет уравнению (53) и условию (55) для точек, лежащих внутри T. где Рассмотрим также функцию 1 U 2 ( P, t ) 2 1 0 S a t 3 t 3 e r 2 PP 4 a 2 t ( P , )d d , (57) U 2 ( n n нормаль к S ) претерпевает разрыв на поверхности, когда P P0 S которая удовлетворяет уравнению теплопроводности. изнутри: lim U 2 1 U ( P, t ) 2 ( P, t ) ( P0 , ), n n P P0 2 (58) и в начальный момент U 2. ( P,0) 0 114 (59) Академик А.Н.Тихонов Будем искать решение нашего уравнения в виде u( P, t ) U1. ( P, t ) U 2. ( P, t ) (60) Очевидно, что как уравнение (53), так и условие (55) удовлетворены. Установим уравнение, которому должна удовлетворять функция ( P, t ) для того, чтобы выполнялось условие (54). Поток тепла через поверхность S в точке P0 равняется U 1 U 2 u ( P, t ) k ( P0 , t ) k lim ( P, t ), p p0 n p p0 n n k lim (61) откуда приходим к уравнению ( P0 , t ) 2 U1 U ( P0 , t ) k 2 ( P, t ) k k n n P P0 U1 ( P0 , t ) U 2 ( P0 , t ) 4 Q (t ) , (62) которое можно было бы получить в явном виде, вставляя туда выражения U1 ( P, t ),U 2 ( P, t ) , но нам не представляется это необходимым выписывать подробно. Заметим только, что полученное уравнение принадлежит к типу функциональных уравнений ( P, t ) V ( P, t; ), где V ( P, t ; ) - функционал, зависящий от тех значений (63) ( P , t ) , которые соответствуют значениям : 0 t , а P есть некоторая точка поверхности S. Уравнения такого типа можно решать по способу, развитому нами в § 2. Положим 0 ( P, t ) равной какой-либо функции при P и t и возьмем последовательные приближения: 115 Избранные труды 1 ( P, t ) V ( P, t; 0 ), 2 ( P, t ) V ( P, t;1 ), n 1 ( P, t ) V ( P, t; n ), (64) При определенных условиях, налагаемых на V ( P, t ; ) , которым удовлетворяет правая часть уравнения (62), эти последовательные приближения сходятся к предельной функции ( P, t ) , являющейся решением этого уравнения. Мы не будем проводить подробного доказательства сходимости последовательных приближений, отсылая читателя к работе, цитированной в сноске 11. §6 Остановимся более подробно на простейшей задаче об остывании полуограниченного слоя в пустоте, рассмотренной нами в § 1-3. Нами было доказано в § 2, что последовательные приближения n (z ) сходятся к решению нашего уравнения на некотором достаточно малом отрезке 0 z z0 . Покажем, что при помощи указанного процесса можно убедиться в существовании решения уравнения z ( ) ( z ) 1 d 0 z для всех 4 (65) z 0 и найти самое решение. Вообще, рассмотрим уравнение z ( ) ( z ) F 1 d V ( z; ), (66) 0 z где F(u) - некоторая непрерывно дифференцируемая, монотонно возра- стающая функция, для которой F (0) 0, F (u) 0u 0. 116 (67) Академик А.Н.Тихонов Наша задача получается при F (u ) u , причем поставленные условия для этой функции удовлетворены. К подобной задаче сводится задача об остывании полуограниченного тела 0 z при излучении в пустоту по закону 4 Q F u(0, t ) . (68) (z ) - непрерывная функция, то условие 1° § 2 удовлетворено. Если ( z ) M , то Если z v( z, ) 1 0 ( ) d 1 2 z M , z (69) откуда следует, что функционал из правой части (66) удовлетворяет условию: z V ( z, 1 ) V ( z, 2 ) F (u * ) 0 1 ( ) 2 ( ) d z (70) ( ) 2 ( ) N z ( M ) 1 d , z 0 z * где u - некоторое число, заключенное между е., во всяком случае, 0 u* 1 2M Z , v( z, 1 ) и v2 ( z, 2 ) , т. (71) а N z (M ) max 0u 1 2 M Z F (u). (72) Таким образом, V ( z , ) удовлетворяет также и условию 2° § 2, и, пользуясь теоремой, доказанной в этом параграфе, мы можем утверждать существование решения уравнения (66) на достаточно малом промежутке 0 z z 0 , которое может быть найдено методом последовательных приближений. Рассмотрим функционал 117 Избранные труды z v ( z, ) 1 0 ( ) d , z (73) стоящий под знаком функции F и пропорциональный u (0, t ) , значениям температуры на поверхности нашего тела. Очевидно, следуя физическому смыслу задачи, что v ( z , ) 0 для функции , удовлетворяющей уравнению (66). Мы докажем это неравенство несколько позже, исходя из самого уравнения (66), а пока, принимая его как гипотезу, докажем, что последовательные приближения сходятся для всех z. Итак, допустим, что мы нашли функцию, удовлетворяющую уравнению (66) для 0 z z1 , причем z ( z ) 0, v( z, ) 1 0 z1 ( ) d u0 0, 0 z z1 z (74) Покажем, что в этом случае существует решение на отрезке z z1 z1 , где z1 h(u0 ) ; (75) здесь h(u0 ) - некоторая положительная функция u , причем последовательные приближения, определявшие функцию (z ) для 0 z z1 , сходятся также и на 0 z z1 z1 . Возьмем постоянное из соотношения 0 1 и определим z1 F (1) 2 z1 u0 , т.е. z1 2 u0 2 4 F 2 (1) , 0 1 . (76) В этом случае, если мы рассмотрим функцию ~ ( z ) , совпадающую с (z ) на 0 z z1 и удовлетворяющую условию 0 ~( z) F (1), z z z z , 1 1 то для этого промежутка 118 1 (77) Академик А.Н.Тихонов z ~( ) 1 v ( z, ~ ) 1 d z 0 z z1 ( ) ~( ) 1 d d z z 0 z1 (78) u0 F (1) 2 z z1 1 u0 0. Более того, если ~ ( z ) хотя и не совпадает с мало отличается от этой функции, то и тогда (z ) на 0, z1 , но z ~ ( ) v ( z, ~ ) 1 d z 0 z1 z z ~ ( )d 1 ~( ) ( ) ( )d 1 d z z z 0 0 z1 u0 2 (79) z z z1 F1 2 z z1 1 u0 2 z 0, если ~( ) ( ) u0 1 . z1 z1 (80) Итак, если мы возьмем какую-либо функцию ~ ( z ) , отличающую- (z ) меньше, чем на , на 0, z1 и удовлетворяющую условию ~ на z , z z будет удовлетво(77) на z1 , z1 z1 , то v z, 1 1 1 ся от рять условию: 0 v ( z, ~ ) 1 (81) и, следовательно, V ( z , ) будет удовлетворять неравенству 0 V ( z, ) F (1) 119 (82) Избранные труды Таким образом, если последовательность приближений 1 ( z ), 2 ( z ), , n ( z ), равномерно сходится к (z ) на 0, z1 , то, беря номер n, для которого n ( z) ( z) и продолжая функцию u0 1 . z z1 (83) n (z ) на отрезке z1 , z1 z1 произвольно с единственным условием 0 n ( z ) F (1), получим, что все функции m (z ) для m>n (84) будут определены на от- 0, z z1 и равномерно на нем ограничены. Как мы отмечали в сноске 8, в этом случае n (z ) равномерно сходятся на 0, z1 z1 к резке некоторой функции (z ) , которая и является решением уравнения (66) на этом отрезке. Если мы теперь докажем, что (z ) - решение уравнения (66), а тем самым и u( z ) v( z, ) (85) являются монотонно убывающими функциями, которые нигде на конечном расстоянии в нуль не обращаются, то этим и будет доказано, что эти функции существуют для всех z 0 и что (z ) может быть найдено методом последовательных приближений в том смысле, как это следует из только что доказанной теоремы. Допустим, что в некотором промежутке 0, z1 существует решение уравнения (66), определяемое функцией (z ) . Покажем, что (z ) является монотонно убывающей функцией, нигде не равной нулю. Покажем, прежде всего, что функция (z ) дифференцируема для z>0. Рассмотрим разность: ( z z ) ( z ) . z z Очевидно, что эта разность удовлетворяет уравнению 120 (86) Академик А.Н.Тихонов z z 1 ( )d F 1 z z z z 0 z F 1 ( )d z 0 z z z ( )d 1 ( )d z ( )d (87) F1 z z z 0 z z z 0 z ( z ) ( ) d 1 F1 z z z 0 z Здесь z z z ( )d 0 F1 - непрерывная функция, равная F1 F (u * ) (88) * где u - среднее значение между u( z z ) и u (z ) , (89) причем z u( z ) 1 0 ( ) d z . (90) Это равенство можно рассматривать как линейное интегральное уравнение для функции ( z z ) ( z ) z . (91) Отсюда легко заключить, что существует предел этого отношения (z ) , удовлетворяющий уравнению z ( )d (0) . z 0 z ( z ) F (u ) (92) Беря резольвенту этого линейного уравнения типа Volterra и представляя решение при ее помощи, получим ( z ) F (u ) (0) z 121 * ( z ), (93) Избранные труды * ( z ) - ограниченная функция. Отсюда следует, что (z ) отрицательна для некоторого промежутка 0 z Z . u (z ) связана с функцией (z ) соотношением Функция ( z) F u( z) . В силу предположения F u - монотонно возрастагде ющая функция в области положительных u. Таким образом, в области положительных u это уравнение разрешимо относительно u (z ) . В частности, если (z ) дифференцируема, то и u (z ) дифференцируема также, и их производные связаны соотношением: ( z ) F (u ) u ( z ). (94) Возвращаясь к нашей задаче, имеем, что при z 0 ( 0) и u (0) положительны; затем они начинают убывать, так как их производные отрицательны. Рассмотрим некоторый промежуток 0, z , на котором u( z ) 0 . Докажем, что в этом промежутке u ( z ) 0 . Пусть число на отрезке 0, z , для которого u( z ) 0 . Очевидно, что рого ( z0 ) 0 z0 является также наименьшим числом, для кото- , и что в силу (92) z0 (0) ( ) 0 Рассмотрим z0 - наименьшее z0 z0 d . (95) (z ) вблизи z0 для значений z z0 : z ( )d (0) F (u ) u( z ) u( z ) , (96) z 0 z ( z ) F (u ) где 122 Академик А.Н.Тихонов z u( z ) 0 u( z ) z0 ( ) 1 d ( ) d , z z 0 z0 z z0 (97) z0 1 ( ) d . z z z0 Покажем, что u (z ) положительна для z 1 1 u( z ) ( ) z z 0 z z0 . Действительно, d z0 z0 z 1 1 1 d ; ( ) z 0 1 1 z z 0 (98) ( ) 0 для 0 z0 и выражение в квадратных скобках положительно для 0 z z 0 , то отсюда и следует, что так как u( z ) 0 для z z0 . Итак, ( z ) F (u ) z0 z z0 z ( ) d F (u ) u( z ) z0 z0 (99) K ( z, ) ( )d f ( z ). z Выражая из этого соотношения z через резольвенты интегрального уравнения (99) получим 123 f z при помощи Избранные труды z0 ( z ) f ( z ) R ( z, ) f ( )d z (100) z0 f ( z ) R ( z, ) f ( )d z Для значений z , близких к z 0 , имеем z0 R( z, d 1 (101) z в силу сходимости этого интеграла. Кроме того, в любой близости к можно найти такие значения z0 z z0 , для которых, кроме условия (101), выполняется неравенство z0 z0 ( z ) f ( z ) R( z, f ( )d f ( z )1 R( z, d . (102) z z Этому последнему неравенству можно удовлетворить, выбирая так, чтобы z f f ( )z z0 , что возможно в силу того, что f ( ) 0 и непрерывна для z 0 и f ( z 0 ) 0 . Итак, найдутся такие z z 0 , для которых ( z ) 0 , что противоречит определению z0 . Если функция u ( z ) 0 во всех точках отрезка (0, z ) , то, в силу доказанной ранее теоремы, она может быть продолжена вне этого отрезка, причем она все время будет монотонно убывать, пока u ( z ) 0 . Если мы покажем теперь, что u (z ) не может нигде обратиться в нуль, (z ) являются монотонно убывающими функциями, определенными для всех z : 0 z . Допустим теперь, что z 0 первая точка, в которой u( z 0 ) 0 . Эта точка является также первой точкой, в которой ( z 0 ) 0 . то этим и будет доказано, что u (z ) и Очевидно, что ( z0 ) 0, u ( z0 ) 0 124 (103) Академик А.Н.Тихонов и что имеет место равенство z0 d z0 0 0 . (104) 0 Производная функции u (z ) z0 ( ) (0) u ( z0 ) d z0 0 z 0 1 1 ( ) 1d 0, z 0 0 1 z0 z0 (105) причем правая часть строго больше нуля, так как выражение в квадратных скобках строго > 0 для 0 z 0 , а 0, z0 . Отдел теоретической геофизики И. Г. Академия Наук СССР. 125 ( ) 0 в промежутке Избранные труды 126