Document 414163

Раздел II
Математический анализ
Раздел II. Математический анализ
А.А. Илюхин, А.К. Попов
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА
Рассмотрим упругий прямолинейный призматический стержень с постоянным поперечным
сечением произвольной формы. Пусть к основаниям однородного изотропного стержня приложены силы, приводящие к скручивающим парам. Кроме того, массовые силы отсутствуют, и боковая
поверхность стержня свободна от внешних сил.
Поместим начало прямоугольной системы координат в центре масс торцевого сечения
стержня и направим ось ох3 параллельно образующим боковой поверхности, а оси ох1 и ох2 возьмем на одном из оснований стержня по направлениям главных центральных осей инерции исследуемого стержня.
Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к
нахождению величин
, являющихся физическими компонентами тензора напряжений и
тензора моментных напряжений соответственно, и удовлетворяющих в области, занятой телом,
двум группам дифференциальных уравнений равновесия и граничным условия на боковой поверхности.
Первая группа уравнений равновесия:
(1)
И вторая группа уравнений равновесия:
(2)
Первая группа граничных условий на боковой поверхности стержня[1] имеют вид:
 x1 x1  n1   x2 x1  n 2  0
 x1 x2  n1   x2 x2  n 2  0
(3)
(3)
 x1 x3  n1   x2 x3  n 2  0
Вторая группа граничных условий на боковой поверхности стержня [6] имеют вид:
 x1 x1  n1   x2 x1  n 2  0
 x1 x2  n1   x2 x2  n 2  0
(4)
(4)
 x1 x3  n1   x2 x3  n 2  0
Где
являются компонентами внешней нормали к контуру поперечного сечения исследуемого прямолинейного стержня.
Заметим, что в уравнениях (3), (4) отсутствуют третьи слагаемые, что связано с равенством
нулю третьей компоненты вектора нормали к боковой поверхности стержня.
Решение в перемещениях поставленной задачи будем искать в виде:
u1  x 2 x 3
u 2  x1x 3
u 3  (x1, x 2 )
(5)
43
Вестник ТГПИ
Естественные науки
где – постоянная величина, называемая степенью закручивания, а
– некоторая функция,
подлежащая определению.
Перемещения u1 и u2 в (5) отвечают за поворот поперечных сечений, где соответствующее
произведение
x 3 является углом закручивания поперечного сечения на расстоянии x 3 от начала
координат.
Перемещение u3 в (5) показывает, что поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все сечения одинаково, т.е. происходит депланация поперечных сечений определяемая функцией
(x1 , x 2 ) .
Будем рассматривать представленную выше задачу в рамках псевдоконтинуума Коссера.
Вектор собственного микроповорота в рамках псевдоконтинуума связывается с вектором перемещений следующим образом [4]:
И может быть представлен в виде взаимосвязи компонент вектора собственного микроповорота
и компонент вектора перемещений
:
(6),
где
– Тензор Леви-Чивиты.
При наличии в произведении повторяющихся латинских индексов подразумевается суммирования от 1 до 3.
В результате из (5) и (6), получаем выражения для компонент псевдовектора собственного
микроповорота в рамках псевдоконтинуума Коссера, выраженные через компоненты вектора перемещений :
(7)
Взаимосвязь компонент тензора деформаций
с вектором перемещений и псевдовекто-
ром собственного микроповорота имеет вид [6]:
(8)
Компоненты тензора деформации
применительно к рассматриваемому случаю (5) пре-
образуются к виду:
(9)
Можно видеть, что относительно деформаций не возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Не возникают и искажения плоскостей поперечных сечений, поскольку
обращаются в нуль.
Взаимосвязь компонент тензора изгиба – кручения и вектора собственного микроповорота
[2] имеет вид:
(10)
Значения компонент тензора изгиба – кручения (10) перепишем, учитывая выражения для
компонент псевдовектора собственного микроповорота (7):
(11)
44
Раздел II
Т.к.
Математический анализ
– угол малых поворотов участка среды, то диагональные компоненты псевдотензора
изгиба-кручения
,
и
характеризуют изменение вдоль какой-либо из координатных
осей угла поворота участка среды около этой же оси, т.е. характеризуют степень закрученности
участка среды. Недиагональные компоненты псевдотензора изгиба-кручения характеризуют изменение вдоль координатной оси угла поворота участка среды вокруг оси, перпендикулярной первой, т.е. степень изогнутости участка среды в окрестности точки.
Следовательно, из (11)кручение волокон стрежня, параллельных оси
,определяется величиной
и зависит только от пока еще неопределенной константы , а кручение волокон
стрежня, параллельных осям
и
зависит от неизвестной функции
депланацию поперечного сечения стержня.
Исследуемый стержень изгибается вдоль координатной оси
вдоль координатной оси
ющими выражениями
в направлении оси
и
координатной оси
в направлении оси
в направлениях осей
и
, что напрямую подтверждается соответству-
в(11), зависящими от функции
цию поперечного сечения стержня.
Из того, что
определяющей
, определяющей деплана-
, следует, что исследуемый стержень вдоль
и
не изгибается.
Если среда изотропная, то закон Гука [6] принимает вид:
(12)
ции
Первую группу уравнений закона Гука (12) с учетом значений компонент тензора деформа(9) можно переписать в виде:
(13)
Следовательно, в каждой точке стержня мы получили чистый сдвиг определяемый компонентами тензора напряжений
,
,
,
.
Во второй группе уравнений закона Гука (12) в рамках псевдоконтинуума Коссера первое
слагаемое равно 0:
В результате вторая формула закона Гука (12) примет вид:
(14)
С учетом значения компонент псевдотензора изгиба – кручения (11) компоненты тензора
моментных напряжений, получаемые из закона Гука (12), представимы в виде:
(15)
Из соотношений (15) можно заметить, что
45
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Подставив значения компонент тензора напряжений (13) в дифференциальные уравнения
равновесия (1), увидим, что первые два из них удовлетворяются тождественно, а третье уравнение
примет вид:
или
Последнее соотношение показывает, что функция
функцией двух переменных
и
(16)
, должна быть гармонической
в области S, занятой поперечным сечением тела. Из третьей
формулы (5) вытекает, что перемещение
также должно быть гармонической функцией.
Подставляя значения компонент тензора напряжений и моментных напряжений (13) и (15) в
дифференциальные уравнения равновесия (2), мы увидим, что первое уравнение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
(17)
Учитывая равенство (17) и равенство нулю Лапласиана
(16), получим:
Следовательно, первое уравнение равновесия удовлетворяется.
Аналогично второе уравнение системы дифференциальных уравнений равновесия сводится
к виду:
Следовательно, и второе уравнение равновесия удовлетворяется.
В результате подстановки компонент тензора напряжений и моментных напряжений (13) и
(15) в третье уравнение системы дифференциальных уравнений равновесия (2) видно, что оно
удовлетворяются тождественно.
Подстановки в граничные условия на боковой поверхности стержня (4) значений компонент
тензора моментных напряжений (15), приводит исследуемые граничные условия к следующим
двум соотношениям:
(18)
Компоненты вектора нормали боковой поверхности (они же являются компонентами нормали к контуру поперечного сечения) могут быть выражены через компоненты вектора касательной к тому же контуру в виде:
(19)
Учитывая значения компонент вектора нормали боковой поверхности (19), первое граничное условие на боковой поверхности стержня (18) представимо в виде:
Левая часть полученного равенства представляет собой полную производную производной
функции
, следовательно
(20)
Проинтегрируем равенство (20) по кривой L:
φ  x1 , x 2 
dx2
d  φ  x1 , x 2  
 x 2  C1
dl

dl

C


1
L dl  x1  L dl
x1
46
(21)
Раздел II
Математический анализ
Второе граничное условие на боковой поверхности стержня (18), учитывая значения компонент вектора нормали боковой поверхности (19) представимо в виде:
Левая часть полученного равенства представляет собой полную производную производной
функции
, следовательно
(22)
Проинтегрируем равенство (22) по кривой L:
φ  x1 , x 2 
dx2
d  φ  x1 , x 2  
dl  C2
  x1  C 2
 dl   
x 2
x 2
dl

L
(23)
 dl 
L
Умножим второе равенство (21) на первую компоненту вектора нормали к боковой поверхности стержня
и второе равенство (23) на вторую компоненту вектора нормали к боковой поверхности стержня
, и сложим полученное:
(24)
Задача определения функции
есть, таким образом, задачи Неймана (24) для урав-
нения Лапласа (16).
В результате подстановки в граничные условия на боковой поверхности стержня (3) значений компонент тензора напряжений (13)легко заметить, что первые два равенства(3) удовлетворяются тождественно, а третье равенство на L (границе области S) примет вид:
(25)
Учитывая, что
(26)
Из (25) и (26) на L получим:
(27)
Где
– производная функции
по направлению нормали .
Таким образом, каждая из двух групп граничных условий (3) и (4) проводит к одинаковой
для каждой из групп задаче Неймана для уравнения Лапласа.
Задача определения функции
является, таким образом, задачей Неймана для уравнения Лапласа. Покажем, что в нашем случае условие существования решения задачи Неймана
выполняется. Действительно, учитывая равенства (27) и то, что значения компонент вектора нормали представим в виде:
(28)
Получим

L
(x , x )
1 2 dl  (x n  x n )dl  (x dx 2  x dx1 )dl  1 d(x 2  x 2 )  0



2 1
1 2
2
1
1
2
n
dl
l
2L
L
L
При соблюдении этого условия решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое не существенно, ибо замена функции
на
не меняет напряженного состояния, а вызывает, как показывает третья формула
(1), лишь жесткое поступательное перемещение тела вдоль оси
:
(29)
47
Вестник ТГПИ
Естественные науки
В соответствии с принципом Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического
тела по сравнению с размерами его оснований, можно смягчить граничные условия на основаниях
таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели
заданные значения: при этом действительное распределение сил на основаниях практически не
оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них [4]. Тем самым построенное решение
удовлетворяет всем дифференциальным уравнениями граничным условиям на боковой поверхности. Что касается граничных условий на основаниях, то для гармонической функции
справедливо тождество:
на основании которого, с учетом граничного условия (29) и значений компонент тензора напряжений (13), обнаруживаем, что главный вектор касательных напряжений, приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,
(x , x )
1 2  x )ds 
V  
ds    (
1
x1 x 3
2

x
s
s
1
(x , x )
(x , x )

1 2  x ))   (x (
1 2  x ))]ds (30)
   [
(x (
1
2
1
1

x

x

x

x
s
1
1
2
2
Формула преобразования интеграла по поверхности в интеграл по кривой в прямоугольной
системе координат – преобразования Остроградского, имеет вид:

S
a
x
k dv  a n ds
 k k
L
k
(31)
На основании формулы (31) из равенства (30) получим:
( x , x )
( x , x )
1 2  x )n  ( x (
1 2  x )n ]dL
2 1
1
1 2
x
x
1
2
(32)
( x , x )
( x , x )
1 2 n 
1 2 n  ( x n  x n ))]dL
1
2
2 1
1 2
x
x
1
2
(33)
V    [( x (
1
1
L
V    [ x (
1
1
L
Формула(32) с учетом равенства (27) преобразуется к виду:
Для гармонической функции
справедливо тождество:
Тогда
(x , x )
1 2  x )ds 
V  
ds    (
2
x 2x3
1

x
s
s
2
(x , x )
(x , x )

1 2  x )   (x (
1 2  x )]ds
   [
(x (
2
2
2
1

x

x

x

x
s
1
1
2
2
(34)
(34)
На основании формулы (31) из равенства (34) получим:
Вторая группа граничных условий на поперечном сечении исследуемого стержня имеет вид:
M1   (x 

)ds
2 x3x3
x 3 x1
s
48
(35)
(35)
Раздел II
Математический анализ
M 2   (
x 
)ds
x3x 2
1 x 3x 3
s
(36)
(36)
Учитывая значения компонент тензора напряжений (13) и тензора моментных напряжений
(15), соответствующие формулы (35) и (36) преобразуются к виду:
В результате касательные усилия в плоскости поперечного сечения стержня сводятся к паре
сил, момент которой будет:
M3   (x 
x 

)ds
1 x3x 2
2 x 3 x1
x3x3
s
(37)
(37)
В формулу для момента (37) поставляем значения компонент тензора напряжений (13) и моментных напряжений (15), получаем:
M3    [(x
1
s
(x , x )
(x , x )
1 2 x
1 2  x 2  x 2 )  2]ds  (D  2)
1
2
2
x
x
2
1
(38)
где геометрическая жесткость при кручении D представима в виде:
D    (x
1
s
(x , x )
(x , x )
1 2 x
1 2  x 2  x 2 )ds
1
2
2
x
x
2
1
Из условия равновесия на основаниях имеем
(39)
(39)
, следовательно, из (39) получим:
(40)
где S – площадь поперечного сечения стержня,
Вывод. Степень закручивания
– крутящий момент.
зависит не только от крутящего момента
и геометриче-
ской жесткости при кручении D, но и от площади поперечного сечения S, что отличает данное
решение от классического случая:
.
Принимая во внимание формулу (27), из преобразований Остроградского (31) найдем:
(x , x )
(x , x )
1 2 x
1 2 )ds  [  (  x (x , x ))   (x (x , x ))]ds 
 (x1

2
2
1 2
1 1 2
x
x
x
x
s
s
2
1
1
2
  [ x (x , x )n1  x (x , x )n 2 ]dL   (x , x )[  x n1  x n 2 ]dL
2
1 2
1 1 2
1 2
2
1
L
L
(x , x )
1 2 ]dL (41)
   (x , x )
1 2

n
L
С другой стороны, на основании первой формулы Грина:

 (   )ds   [ ]dl
s
L n
(42)
В нашем случае:
 ((x1, x 2 )(x1, x 2 )  (x1, x 2 )(x1, x 2 ))ds   [(x1, x 2 )
s
L
(x , x )
1 2 ]dl (43)
n
С учетом равенства (16) левая часть равенства (43) преобразуется к виду:
49
Вестник ТГПИ
Естественные науки
 ((x1, x 2 ) (x1, x 2 )  (x1, x 2 )(x1, x 2 ))ds 
s
  (x , x ) (x , x )ds   (x , x )(x , x )ds 
1 2
1 2
1 2
1 2
s
s
2
2
 (x , x )   (x , x ) 
1 2  
1 2  ]ds
  [

 


x

x
s 
1
 
2

 44 
Тогда из (41) и (44) получаем:
(x , x )
(x , x )
(x , x )
(x , x )
1 2 x
1 2 )ds   [(
1 2 )2  (
1 2 ) 2 ]ds
 (x1

2

x

x

x

x
s
s
2
1
1
2
Или
(x , x )
(x , x )
(x , x )
(x , x )
1 2 )2  (
1 2 )2  x
1 2 x
1 2 ]ds  0 (45)
 [(
1
2

x

x

x

x
s
1
2
2
1
Умножим обе части последнего соотношения на и сложим с (39), получим
2
2
 (x , x )

 (x , x )

1 2 x  
1 2  x  ]ds
D    [
2
1


x
x
s 
2


1

(46)
(46)
Из формулы (46) следует, что геометрическая жесткость при кручении всегда является
строго положительной величиной D>0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.
2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.
4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений
квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и
нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.
5. Cosserat E., Cosserat F. Theorie de scorps deformables. Paris; Hermann, 1909. 465 p.
6. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford; N.Y.; Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.
Н.Е. Ляхова
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Использование информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании является актуальной на сегодняшний день проблемой. Развитие информационных технологий в последнее десятилетие привело к изменению роли преподавателя в современной системе образования. В настоящее время педагог-предметник уже не имеет права игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая
им программно-техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно
новый уровень. За счет использования ИКТ преподаватели способны значительно увеличить степень образовательного воздействия на занятиях, повысить уровень мотивации студентов к изучению нового материала. И вот здесь возникает проблема интеграции накопленных методических
знаний и дидактических материалов с возможностями ИКТ. И если для средней школы эта проблема решается быстрее и успешнее в силу более массовой потребности в образовательных муль50
Раздел II
Математический анализ
тимедийных продуктах, то вузовскому преподавателю пока приходится полагаться на свои силы.
В данной работе предлагается личный опыт автора по применению ИКТ на занятиях по математическому анализу, а именно использование программ и программных сред Maxima и Flex SDK.
Роль математических пакетов класса MathCAD, Maple, Maxima в образовании исключительно велика. Эти системы облегчают решение сложных математических задач. Новые версии
систем позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, изысканные графики, фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.
Одно из возможных применений этих программ в преподавании математического анализа –
это использование их при обучении решению задач на вычисление кратным интегрированием
объемов тел, ограниченных заданными поверхностями. В задачах такого типа основными затруднениями у студентов являются изображение искомой области и определение ее границ, эти затруднения связаны с громоздкими построениями. Плоскости и поверхности второго порядка,
ограничивающие рассматриваемую область, изучаются в курсе геометрии. Однако в курсе геометрии они, как правило, рассматриваются и строятся по отдельности. Поэтому у студента нет опыта
построения нескольких поверхностей на одном чертеже. Отсюда и возникающие трудности с взаимным расположением и линиями пересечения заданных поверхностей. В результате студенты, не
обладающие хорошим пространственным воображением, зачастую не приступают к вычислению
интеграла, так как не могут представить тело, объем которого выражается этим интегралом и который требуется найти. Отметим, что целью заданий на вычисление объема тела в курсе математического анализа является использование кратных интегралов (задание областей системой неравенств в различных системах координат, выражение объема кратным интегралом, выбор соответствующей системы координат, при необходимости замена переменной в интеграле и дальнейшее
его вычисление) а изображение чертежа – это лишь вспомогательный момент. Но на практике этот
«момент» поглощает большую часть отведенного на задачу времени.
Для преодоления указанных трудностей и могут применяться системы MathCAD, Maple и
Maxima. После построения поверхностей в этих системах легко увидеть заданную область, и
определить границы этой области. Рассмотрим на следующем примере применение системы Maxima.
Задача. Вычислить тройным (двойным) интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями: параболоидом
z  x 2  y 2 , цилиндром y  x 2 и плоскостями y  1, z  0.
Для решения поставленной задачи выполняются следующие шаги.
1. При помощи встроенных графических команд производится построение заданных поверхностей;
2. При помощи различных манипуляций (вращение, масштабирование, перенос) придается полученному изображению такой вид, чтобы была видна искомая область и границы изменения этой
области (рис. 1);
51
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Рис. 1
На рисунке 1 представлены результаты таких манипуляций, при этом справа хорошо вырисовывается боковая поверхность цилиндрического тела, она состоит из цилиндра y  x 2 и плоскости y  1 , а слева хорошо видны поверхности, ограничивающие тело снизу (плоскость z  0 ) и
сверху (параболоид вращения z  x 2  y 2 ).
3. Увиденная область V задается системой неравенств:
1  x  1,

V :  x 2  y  1,
0  z  x 2  y 2 ,

а проекция D данного тела на плоскость Оху соответственно системой
1  x  1,
D:  2
 x  y  1.
Теперь объем искомого тела можно выразить с помощью тройного интеграла
1
1
x2  y 2
1
x2
0
 dxdydz   dx  dy 
V
dz ,
или двойного интеграла
1
1
 dxdy   dx  ( x
D
1
2
 y 2 )dy.
x2
Заметим, что при помощи команд MathCAD (Maple) можно вычислить и сам кратный интеграл, а значит и искомый объем. Но вычисление кратных интегралов в курсе математического
анализа является целью занятий по данной теме, а потому дальнейшее использование указанных
программ целесообразно только в целях самоконтроля, если необходимо проверить ответ. Необходимо отметить, что программы не отражают процедуры интегрирования, а дают только ответ.
Поэтому компьютер не может быть использован студентом в качестве шпаргалки.
Продемонстрированное решение задачи предполагает умение пользоваться программой
Maxima, при этом важно подобрать правильно параметры, задающие поверхности, чтобы обеспечить наилучшую наглядность полученного изображения. На самом деле необходимые построения
по каждой задаче могут быть проведены заранее специалистом, владеющим данной программой и
в учебном процессе использовать уже готовые материалы. Такая работа была проделана выпускником физико-математического факультета 2009 года Ткаченко Евгением в рамках НИРС. Им были подготовлены иллюстрации ко всем задачам на вычисление объемов тел из «Сборника задач по
математическому анализу» Г.Н. Бермана. Кроме того была сделана и печатная версия иллюстраций, содержащая по два необходимых ракурса тел для каждой задачи. Конечно, статичные картинки не позволяют рассмотреть тело со всех сторон, но при отсутствии компьютера они тоже
достаточно информативны (рис. 2, рис. 3).
52
Раздел II
Математический анализ
Рис. 2
Рис. 3
Говоря об использовании ИКТ, нельзя также не отметить огромные возможности использования Flash-технологий в изучении математического анализа. В математическом анализе Flash
целесообразно использовать для иллюстрации графического материала. На занятиях, посвящённых исследованию функций одной или двух переменных, преподавателю, как правило, приходится рисовать на доске множество различных чертежей. Так, на занятиях, посвящённых теме «Дифференциальное исчисление функции многих переменных» для иллюстраций понятий частного и
полного приращений и геометрической интерпретации частных производных и дифференциала
функции двух переменных преподавателю, приходится рисовать изображения поверхностей в
трехмерном пространстве и проводить дополнительные построения к ним. Это приводит, к большим затратам времени и не всегда качество рисунков, исполненных мелом на доске, достаточно
для хорошего восприятия. Поэтому возникла необходимость в создании Flash-клипов по этой теме. В соавторстве с Е. Ткаченко созданы два интерактивных фильма «Частное и полное приращение функции» и «Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных», кадры из которых приведены на рисунках 4 и 5 соответственно.
53
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Рис. 4
Рис. 5
Данные фильмы позволяют преподавателю сократить время изложения данного материала,
повысить наглядность, и, в конечном счете, помогает студентам усвоить материал, ведь в нужное
время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной
картинки на доске.
Полученные таким образом фильмы в формате .SWF могут быть продемонстрированы с
помощью ПК, на котором установлен Flash или Flash Player. Если на ПК не установлен ни один из
этих пакетов, то при подготовке фильма в среде Flash его можно экспортировать в формате .EXE,
что позволит продемонстрировать фильм на любом ПК, работающем на платформе Windows.
Следует отметить, что все материалы, описанные в данной статье, могут быть использованы
не только во время аудиторных занятий, но и предлагаться студентам для самостоятельной работы. Студенты могут иметь доступ к этим материалам через интернет или получать материалы на
электронных носителях для использования при выполнении домашних заданий и самостоятельного изучения теоретического материала.
В заключение можно сказать, что использование новых информационных технологий на занятиях по математическому анализу способствует улучшению качества преподавания и, как следствие, повышению знаний учащихся и скорости их получения.
А.К. Попов
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий
статически эквивалентных силе Р и моментов статически эквивалентных моменту M, параллельных оси стержня, и приложенных в центре тяжести свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень с прямолинейной осью и перпендикулярными к ней основаниями подвержен осевому растяжению и кручению. Массовыми силами пренебрегаем. Предположим, что выражения для
физических компонент тензора напряжений и моментных напряжений имеют вид:
54
Раздел II
Математический анализ
σ x1 x1  σ x2 x2  σ x3 x3  σ x1x2  σ x2 x1  σ x1x3  σ x3 x1  σ x2 x3  σ x3 x2  0
σ x3 x3  p
(1)
μ x3 x3  μ x1 x2  μ x2 x1  μ x1x3  μ x3 x1  μ x2 x3  μ x3 x2  0
μ x3 x3  m
(2)
В выражении (1) и (2):
P
M
, m 
S
S
где P – сила, эквивалентная растягивающим усилиям; M – крутящий момент сил распределенных
на торце; S – площадь поперечного сечения стержня.
Тогда будем считать, что p – плотность распределения сил, m – плотность распределения
моментов.
Выбраненные значения компонент тензора напряжений (1) и моментных напряжений (2)
удовлетворяют двум группам уравнений равновесия:
первая группа уравнений равновесия:
p
σ x1x1
õ1
σ x1x2
õ1
σ x1x3
õ1



σ x2 x1
õ 2
σ x2 x2
õ 2
σ x2 x3
õ 2



σ x3 x1
õ 3
σ x3 x2
õ 3
σ x3 x3
õ 3
0
0
(3)
0
вторая группа уравнений равновесия:
µ x1x1
õ1
µ x1x2
õ1
µ x1x3
õ1



µ x2 x1
õ 2
µ x2 x2
õ 2
µ x2 x3
õ 2



µ x3 x1
õ 3
µ x3 x2
õ 3
µ x3 x3
õ 3
 σ x2 x3  σ x3 x2  0
 σ x3 x1  σ x1x3  0
(4)
 σ x1x2  σ x2 x1  0
Кроме того, если мы рассматриваем задачу в терминах компонент тензора напряжений, то
эти компоненты должны удовлетворять двум группам уравнений совместности деформаций в
напряжениях.
Первая группа уравнений совместности деформаций, записанная в напряжениях и выраженная через физические компоненты тензора напряжений и тензора моментных напряжений
имеет вид:
55
Вестник ТГПИ

x1
Естественные науки
 µ  α  σ
x1x 2
  µ  α  σ x 2 x1

  3λ2α
2 λ  µ σ
 2µ x
x1x1

2
2α
 
λ σ x 2 x 2  σ x3x3   0

3λ  2µ x 2 

2α

 µ  α  σ x1x 3   µ  α  σ x 3 x1 
2  λ  µ  σ x1x1
  3λ  2µ x
x1 
3
2α


λ σ x 2 x 2  σ x3x3
0
3λ  2µ x 3
2α
 

2  λ  µ  σ x 2 x 2  λ σ x1x1  σ x 3 x 3  
µ  α  σ x1x 2

3λ  2µ x1 
x 2

 µ  α  σ x 2 x1 

0
x 2 


 µ  α  σ x 2 x 3   µ  α  σ x 3 x 2 
µ  α  σ x1x 2  µ  α  σ x 2 x1 

  x 
x1 
3
2αµ
 ε  2ν  µ x x  µ x x  2εµ x x   0

1 1
3 3
2 2 
ν  3ε  2ν  


 µ  α  σ x 3 x 2   µ  α  σ x 2 x 3 
  x 
µ  α  σ x1x 3  µ  α  σ x 3x1 

x1 
2
2αµ

 ε  2ν  µ x1x1  µ x 2 x 2  2εµ x3 x 3  0
ν  3ε  2ν 
2α
 

λ σ x1x1  σ x 2 x 2  2  λ  µ  σ x 3 x 3 
µ  α  σ x1x 3
  x
3λ  2µ x1 
3

 µ  α  σ x 3 x1 

0
x 




 
















3



µ  α  σ x 2 x1  µ  α  σ x1x 2 
µ  α  σ x1x3  µ  α  σ x3x1  


x 2
x 3 
2αµ

 ε  2ν  µ x 2 x 2  µ x3x3  2εµ x1x1  0
ν  3ε  2ν 

2α


2  λ  µ  σ x2x2
µ  α  σ x 2 x3  µ  α  σ x3x 2  

x 2
3λ  2µ x 3
2α
 

λ σ x1x1  σ x 3 x 3   0

3λ  2µ x 3 
2α
 

λ σ x1x1  σ x 2 x 2  2  λ  µ  σ x 3 x 3  
µ  α  σ x 2 x3


3λ  2µ õ 2
x 3

 µ  α  σ x 3 x 2 

(5)
0
x 3 












Вторая группа уравнений совместности деформаций записанная в напряжениях и выраженная через физические компоненты тензора моментных напряжений имеет вид:




2β

 ν  β  µ x1x 2   ν  β  µ x 2 x1  
2  ε  ν  µ x1x1  ε µ x 2 x 2  µ x 3x 3  0
õ1 
3ε  2ν x 2

2β
 
 ν  β  µ x1x 3   ν  β  µ x 3x1  
2  ε  ν  µ x1x1  ε µ x 2 x 2  µ x 3x 3   0

x1
3ε  2ν x 3 
2β
 

 ν  β  µ x1x 2   ν  β  µ x 2 x1   0
ε µ x1x1  µ x 3x 3   2  ε  ν  µ x 2 x 2  

3ε  2ν x1
õ 2 


 ν  β  µ x 2 x3   ν  β  µ x3 x 2  
 ν  β  µ x1x 2   ν  β  µ x 2 x1   0
x1
x 3 


 ν  β  µ x 3x 2   ν  β  µ x 2 x3  
 ν  β  µ x1x3   ν  β  µ x 3x1   0
x1
õ 2 
2β
 

 ν  β  µ x1x 3   ν  β  µ x 3x1   0
ε µ x1x1  µ x 2 x 2  2  ε  ν  µ x 3x 3  
 x 
3ε  2ν x1 
3


 ν  β  µ x1x 3   ν  β  µ x 3x1  
 ν  β  µ x 2 x1   ν  β  µ x1x 2   0
õ 2
x 3 

2β
 
 ν  β  µ x 2 x3   ν  β  µ x3 x 2  
2  ε  ν  µ x 2 x 2  ε µ x1x1  µ x 3x 3   0

õ 2
3ε  2ν x 3 
2β
 

 ν  β  µ x2 x3   ν  β  µ x3 x2   0 (6)
ε µ x1x1  µ x2 x2  2  ε  ν  µ x3 x3  


3ε  2ν õ 2
x3 






56


Раздел II
Математический анализ
Запишем граничные условия на боковой поверхности стержня:
pi  σ ji n j
(7)
mi  μ ji n j
(8)
Третьей компонента n3 вектора нормали к боковой поверхности стержня равна нулю.
Считаем, что внешние силы на боковой поверхности отсутствуют.
А внешние силы на основаниях стержня (торцах стержня):
p1  p 2  0; p3  p
(9)
m1  m 2  0; m3  m
(10)
Боковая поверхность стержня свободна от внешних сил, что справедливо, так как на стержень воздействуют только осевые растягивающие силы и моменты сил, приложенные на конце
стержня. Равенства (9) и (10) показывают, что на основаниях стержня приложены равномерно распределенные растягивающие усилия интенсивности р и моменты сил интенсивности m. В соответствии с принципом Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, можно смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные
значения: при этом действительное распределение сил на основаниях практически не оказывает
влияния на части тела, находящиеся вдали от них [4].
Считая закрепленным бесконечно малый элемент на оси Оx3 около начала координат, имеем, равенство нулю компонент вектора перемещений
,
,
и компонент вектора собственного
микроповорота
,
,
.
В выражениях для физических компонент ковариантного тензора напряжений и моментных
напряжений, представимых в виде (1) и (2) воспользуемся законом Гука моментной теории упругости [5]:
γ xi x j 
κ xi x j 
µ  α  σ x x  µ  α  σ x x
i

j
j i
4αµ
ν  β  µ xi x j   ν  β  µ x jxi
4βν
λ
ijσ x k x k
2µ(3λ  2µ)
ε

ijµ x k x k
2ν(3ε  2ν)

(11)
(12)
(11)
(12)
Получим из равенств (1)и (11) соответствующие значения физических компонент тензора
деформации:
λp
p(λ  µ)
γ x3x3 
2μ(3λ  2μ)
µ(3λ  2µ)
 γ x1x 3  γ x 3x1  γ x 2 x 3  γ x 3x 2  0
γ x1x1  γ x 2 x 2  
γ x1x 2  γ x 2 x1
(13)
А из равенств (2) и (12) – соответствующие значения физических компонент псевдотензора
тензора изгиба – кручения:
εm
2ν(3ε  2υ)
 κ x1x 3  κ x 3 x1  κ x 2 x 3  κ x 3 x 2  0
κ x1x1  κ x 2 x 2  
κ x1x 2  κ x 2 x1
κ x3x3 
m(ε  υ)
υ(3ε  2υ)
Из геометрических соображений несимметричный тензор деформации
(14)
(14)
представим в
виде:
(15)
57
Вестник ТГПИ
где
Естественные науки
– тензор Леви-Чивита.
Взаимосвязь компонент тензора изгиба – кручения и псевдовектора собственного микроповорота [3] имеет вид:
(16)
Подставляя в геометрические соотношения для несимметричного тензора деформаций
(15), значения физических компонент тензора деформации (13) получим:
(17)
Формулы физических компонент псевдотензора изгиба – кручения (14) будем рассматривать в виде системы дифференциальных уравнений для определения компонент псевдовектора
собственного микроповорота:
(18)
Решая систему дифференциальных уравнений (18), получим значения компонент псевдовектора собственного микроповорота:
(19)
где c1, c2, c3 – произвольные постоянные требующие определения.
Учитывая равенство нулю компонент псевдовектора собственного микроповорота
,
,
в начале координат, соответствующие произвольные постоянные с1, с2, с3 равны:
ñ1 = ñ2 = ñ3 = 0
Подставляя значения произвольных постоянных в (19), получаем результирующие выражения для компонент псевдовектора собственного микроповорота
,
,
:
(20)
Система дифференциальных уравнений (17), с учетом формул для компонент псевдовектора
собственного микроповорота (20) преобразуется к виду:
58
Раздел II
Математический анализ
(21)
Для нахождения компонент вектора перемещений, найдем решения трех систем дифференциальных уравнений вида:
(22)
Из первой системы дифференциальных уравнений (22), получим:
u x1 = a11x1 + u1* (x 2 ,x 3 )
u x1 = a12 x 2 x 3 + v1* (x1,x 3 )
u x1 = a13x 2 x 3 + w1* (x1,x 2 )
(23)
(23)
Приравнивая первое и второе равенства (23) получим:
a11x1 + u1* (x 2 , x 3 ) = a12 x 2 x 3 + v1* (x1, x 3 )
Следовательно,
u1* (x 2 , x 3 ) = a12 x 2 x 3 + f (x 3 )
v*1 (x1 , x3 )= a11 x1 + f ( x3 )
(24) (24)
(25) (25)
Приравнивая первое и третье равенства (23) получим:
a11x1 + u1* (x 2 , x 3 ) = a13x 2 x 3 + w1* (x1, x 2 )
Следовательно,
u1* (x 2 , x 3 ) = a13x 2 x 3 + g(x 2 )
w1* (x 2 , x 3 )= a11x1 + g(x 2 )
(26)
(27)
Из равенств (24) и (26), получаем:
a12 = a13
(28)
Приравнивая второе и третье равенства (23), и учитывая равенства (25),(27),(28) получим:
f (x 3 )= g (x 2 )= c4
Следовательно, первая компонента вектора перемещений имеет вид:
u x1 = a11x1 + a12 x 2 x 3 + c4
(29)
Из второй системы дифференциальных уравнений (22), получим:
u x 2 = a 21x1x 3 + u *2 (x 2 , x 3 )
u x 2 = a 22 x 2 + v*2 (x1 , x 3 )
u x 2 = a 23 x1x 3 + w *2 (x1 , x 2 )
(30)
Приравнивая первое и второе равенства (30) получим:
a 21x1x 3 + u*2 (x 2 , x 3 ) = a 22 x 2 + v*2 (x1, x 3 )
Следовательно,
u*2 (x2 , x3 )= a22 x 2 + q(x 3 )
v*2 (x1 , x 3 ) = a 21x1x 3 + q(x 3 )
(31)
(31)
(32)
(32)
Приравнивая второе и третье равенства (30) получим:
59
(26 )
(27 )
Вестник ТГПИ
Естественные науки
a 22 x 2 + v*2 (x1 , x 3 ) = a 23x1x 3 + w *2 (x1 , x 2 )
Следовательно,
v*2 (x 2 , x 3 ) = a 23 x1x 3 + k(x1 )
w *2 (x 2 , x 3 ) = a 22 x 2 + k(x1 )
(33)
(33)
(34)
(34)
Из равенств (32) и (33), получаем:
a21 = a23
(35)
Приравнивая первое и третье равенства (62) и учитывая равенства (31), (34), (35), получим:
(35)
q(x 3 ) = k(x1 ) = c5
Следовательно, вторая компонента вектора перемещений имеет вид:
u x 2 = a 22 x 2 + a 21x1x 3 + c5
(36)
(36)
Из третьей системы дифференциальных уравнений (22), получим:
u x3  a 31x1x 2  u *3 (x 2 , x 3 )
u x3  a 32 x1x 2  v*3 (x1, x 3 )
u x3  a 33 x 3  w *3 (x1 , x 2 )
(37)
Приравнивая первое и третье равенства (37) получим:
a 31x1x 2  u*3 (x 2 , x 3 )  a 33x 3  w *3 (x1, x 2 )
Следовательно,
u *3 (x 2 , x 3 )  a 33 x 3  d(x 2 )
w *3 (x1 , x 2 )  a 31x1x 2  d(x 2 )
(38) (38)
(39) (39)
Приравнивая второе и третье равенства (37) получим:
a 32 x1x 2  v*3 (x1 , x 3 )  a 33x 3  w *3 (x1, x 2 )
Следовательно,
(40)(40)
(41)
( 41)
v*3 (x1 , x 3 )  a 33 x 3  e(x1 )
w *3 (x1 , x 2 )  a 32 x1x 2  e(x1 )
Из равенств (39) и (41), получаем:
a31  a32
(42)
(42)
Приравнивая первое и второе равенства (37) и учитывая равенства (38), (40), (42), получим:
d(x 2 )  e(x1 )  c6
Следовательно, третья компонента вектора перемещений имеет вид:
u x3  a 33x 3  a 31x1x 2  c6
(43)
В формулах (21) и (22) соответствующие постоянные равны:
λp
2μ(3λ  2μ)
(ε  υ) m
a12 
ν(3ε  2υ)
εm
a13 
2ν(3ε  2υ)
a11  
(ε  υ) m
ν(3ε  2υ)
λp

2μ(3λ  2μ)
εm

2ν(3ε  2υ)
a21  
a22
a23
εm
2ν(3ε  2υ)
εm
a32 
2ν(3ε  2υ)
p(λ  µ)
a33 
µ(3λ  2µ)
a31  
Из равенства (22), учитывая значения постоянных (28), получаем:
(ε  υ)m
εm
или

ν(3ε  2υ) 2ν(3ε  2υ)
Аналогично из равенств (35) и (42) получим:
60
 ε  2υ  m  0
(44)
(44)
(43)
Раздел II
Математический анализ

 ε  υ m  
εm
ν  3ε  2υ 
2ν(3ε  2υ)

или
εm
εm

2ν  3ε  2υ  2ν(3ε  2υ)
 3ε  2υ  m  0
или 2εm  0
Значит в каждом из полученных равенств плотность распределения моментов m равна нулю. Следовательно, компоненты тензора моментных напряжений (28) равны нулю.
Вывод. В рамках задачи об упругом равновесии стержня под действием растягивающих
усилий статически эквивалентных силе Р, возникают только силовые напряжения, а соответствующих моментных напряжений при растяжении не возникает.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.
2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.
4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений
квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и
нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.
5. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, N.Y., Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.
И.В. Яковенко
РАЗВИТИЕ АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ
И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИЙСКИХ ВУЗАХ
В последние годы в нашей стране произошли значительные изменения в области приложений математики. Первоначально развитие прикладной математики в решающей степени стимулировали задачи естественных наук и связанные с ними отрасли промышленности. Сегодня социально-экономические причины распространили интересы математиков на новые области, которые
практически не были известны в России до 90-х годов XX века. Активное развитие банковской,
страховой, инвестиционной деятельности привели к необходимости привлечения в эти области
специалистов совершенно нового для нашей страны типа. Одной из таких областей оказалась финансовая математика и, в частности, актуарная математика (actuarial mathematics).
Актуарная математика – область математики, занимающаяся математическими проблемами
финансов. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами образует
актуарную науку (actuarial science) и является теоретической основой актуарной деятельности.
Актуарная математика, несмотря на то, что широко использует общие математические теории, является, тем не менее, самостоятельным научным направлением со своим предметом, методами и сферой применения. Исходным пунктом развития ее методологии принято считать разработку и исполнение первых таблиц смертности для страхования жизни. А в настоящее время актуарная математика представляет собой дисциплину, охватывающую методы расчетов и оценивания
применительно к различным видам финансовых услуг, где обязательства по осуществлению платежа зависят от наступления события, имеющего вероятностную природу.
Основные этапы развития актуарной математики в мире можно представить в виде таблицы 1.
Таблица 1
Основные этапы развития актуарной математики в мире
Год
Этапы развития
61
Вестник ТГПИ
1662
1693
1703
1762
1848
1856
1895
1922
1930
1946
1977
1994
Естественные науки
Великобритания,
Дж. Граунд опубликовал труд «Естественные и политические наблюдения,
сделанные над бюллетенями смертности», послуживший началом развития
демографии, статистики и социологии
Великобритания,
Э. Галлей опубликовал труд «Оценка степени смертности человечества,
выведенная из различных таблиц рождения и погребения в г. Бреслау»;
методы оценки послужили развитию расчетов в различных сферах общественной
деятельности и явились основой для возникновения в будущем актуарной науки
Пётр I, введение в России должности актуария
Великобритания, основана первая актуарная фирма («Equitable»)
Великобритания, Лондон, создание первого института актуариев
Великобритания, Эдинбург, создание факультета актуариев
Организация Международной актуарной ассоциации
(Бельгия, Франция, Германия, Великобритания, США)
Россия:
развитие индивидуального страхования жизни;
развитие коллективного страхования жизни;
создание сети страховых агентов;
развитие свадебного страхования
Россия, учреждение Общества актуариев
Стоит отметить, что до 1917 г. Россия демонстрировала достаточно высокий уровень развития актуарной профессии: осуществлялась подготовка специалистов, издавались учебники по актуарной математике (самым известным считается учебник Б.Ф. Малешевского «Теория и практика
пенсионных касс»). А объединение российских актуариев имело достаточно высокий авторитет в
мире. Это, к примеру, подтверждает тот исторический факт, что в 1915 г. в Санкт-Петербурге планировалось провести VIII Международный конгресс актуариев. Но этому помешала начавшаяся
Первая мировая война и последовавшие за ней экономические и политические потрясения, которые привели к глубокому кризису всей финансовой системы России и, в частности, к кризису
страхового дела, как одного из ее важнейших элементов.
В 1918 г. в России была установлена государственная монополия на страхование, которая
продлилась до конца 80-х годов. Страхование было переведено в ранг дополнительного налога на
предприятие, страховые тарифы часто назначались исходя из соображений, не связанных с возможными рисками, а решения о необходимости страхования принимались административнокомандными методами.
В этот период российская актуарная наука пришла в забвение. Понятие «актуарий» исчезло
из энциклопедических, экономических и толковых словарей, а страховые дисциплины были фактически исключены из учебных программ вузов. По той же причине в настоящее время практически отсутствуют необходимые учебные пособия и преподавательские кадры, а, учитывая сугубо
прикладной характер актуарной науки, не всегда представляется возможным воспользоваться
опытом других стран.
Начало возрождения профессии актуария связано с ликвидацией монополии государства в
сфере страхования. Отечественные страховые компании стали привлекать для выполнения актуарных функций сотрудников, как правило, с математическим или экономическим образованием.
А с 1988 г. российская актуарная наука начала новый отсчет своего развития. Этапы этого развития представлены в таблице 2.
Таблица 2
Основные этапы развития актуарной математики в России
62
Раздел II
Год
Математический анализ
Этапы развития
г. Хельсинки,
XXIII Международный конгресс актуариев, впервые с участием
российских специалистов
учреждение Сибирского общества актуариев
1991
г. Кемерово,
1992
проведение первого семинара актуариев в России
г. Санкт-Петербург, г. Кемерово,
проведение первых курсов по подготовке дипломированных актуариев
1994
в России
г. Москва, МГУ,
1994–1995
начало проведения базового курса по подготовке актуариев (позже обучение
стало проводиться в г. Москва, Санкт-Петербург, Кемерово, Уфа)
учреждение Российского Общества актуариев
1994
начата подготовка актуариев по модульной системе на базе Регионального
межотраслевого центра повышения квалификации УГАТУ
1997–1999
начата подготовка специалистов-актуариев для негосударственных
1998
пенсионных фондов
принятие Российским Обществом актуариев программы актуарного
5 августа 1998
образования в России
Гильдия актуариев - правопреемник Российского Общества актуариев
22 октября 2002
получение Гильдией актуариев статуса члена Международной актуарной
28 мая 2006
ассоциации (МАА)
Важным достижением Российского Общества актуариев стало возвращение в широкие массы практиков и законодателей понимания значимости профессии актуария. Основными целями
деятельности Общества явились: формирование полноценного профессионального сообщества,
отвечающего международным стандартам; формулирование единых квалификационных требований к актуарной профессии; определение форм и методов актуарного обучения с учетом идеи непрерывного образования; создание комплекта учебников на русском языке; прием квалификационных экзаменов в соответствии с традициями национальных актуарных ассоциаций.
Отметим, что современное развитие актуарной математики в России в первую очередь связано с развитием страхового рынка и появляющимися возможностями дополнительного пенсионного обеспечения.
Задача актуарной математики – дать математический аппарат для проведения актуарных
расчётов.
Актуарные расчеты – это система математических и статистических методов, с помощью
которых определяются финансовые взаимоотношения страховщика и страхователя.
Объекты актуарной деятельности – это различные области экономической и социальной
сферы, такие как страхование жизни, имущественное страхование, пенсионное дело, финансовые
риски и др. Предметом актуарной деятельности являются расчёты и сделки.
Интересно, как со временем в каждой стране расширилась сфера деятельности актуариев.
Так, например, в Англии актуарии участвуют в качестве партнеров в инвестиционной и коммерческой деятельности, в работе правительственных организаций. Во Франции актуарий определяется
как специалист по применению статистики и теории вероятностей для страхования и финансовых
операций и как лицо, принимающее ставки.
В России актуарий определяется как эксперт по оценке финансовых обязательств и будущих активов страховых компаний, специалист по оценке финансовых рисков или специалист в
области финансовой математики. Заметим, что в настоящий период эти специалисты востребованы, как правило, в негосударственных коммерческих организациях.
Цель работы актуария – минимизация потерь от финансовых рисков, возникающих везде и
всюду в связи с неопределенностью исхода предстоящих событий. Принять решение, которое
1988
63
Вестник ТГПИ
Естественные науки
приведет к успеху с минимальными затратами, актуарию помогают знания и навыки анализа прошлого и вероятностной оценки будущего, понимание изменений текущей финансовой конъюнктуры, интуиция. Очевидно, что актуарий должен иметь серьезное образование по своему профилю.
Вот почему подготовка актуариев в настоящее время имеет такое актуальное значение.
Современная кадровая политика в отношении актуариев направлена на решение нескольких
задач. Во-первых, необходимо в самое ближайшее время обеспечить рынок специалистами,
владеющими основными приемами и методами проведения актуарных расчетов и способных к
дальнейшему совершенствованию своего мастерства. Во-вторых, не допустить появления на
страховом рынке псевдоспециалистов, которые своими непрофессиональными действиями могут
его дестабилизировать, а также дискредитировать саму профессию актуария.
Чаще всего актуариев считают математиками. На самом же деле с математики актуарий
только начинается. Конечно же, подготовка специалистов-актуариев включает достаточно глубокое изучение теории вероятностей, математического анализа, линейной алгебры, прикладных статистических методов, численных методов решения задач. Но она также содержит в себе изучение
демографии, теории риска, актуарной и финансовой математики, теории страхования. Таким образом, актуарий должен иметь обширные познания в самых различных областях – математике, экономике, финансах, праве. Базовые знания актуария можно представить в следующем соотношении: примерно 50 % составляют математические знания и методы моделирования и расчета рисков, 25 % – знания экономики, оставшаяся часть – знания законов, информационных систем и
профессиональная практика. Набор этих качеств делает актуария уникальным профессионалом по
финансовой безопасности и позволяет ему проводить адекватную актуарную экспертизу.
Сложность обучения актуариев в России связана с долгим периодом отсутствия как таковой
актуарной деятельности в стране. Подготовка актуариев, как видно из таблицы 2, возобновилась
только в 1995 г. и благодаря активному сотрудничеству с иностранными специалистами. В первое
время обучение проводилось краткосрочными курсами. В числе обучающихся были работники
банков, страховых компаний, пенсионных фондов, преподаватели, аспиранты и студенты УГАТУ.
Но такая форма обучения, к сожалению, не удовлетворяла потребности общества, которые возникли на новом историческом этапе развития страны. Кроме этого, программа экзаменов оказалась столь объемной, а требования к уровню овладения предметом столь высокими, что объективно было признано: на подготовку и сдачу всех экзаменов требуется не несколько недель, а несколько лет. Только тогда можно будет рассчитывать на появление в России актуариев мирового
уровня.
Однако в современных российских условиях этих «нескольких лет» нет, а практическая потребность в актуариях, особенно сертифицированных, сегодня высокая. Поэтому проблема подготовки национальных кадров актуариев должна быть решена в кратчайшие сроки и на основе всестороннего учета международного опыта по организации процесса обучения и его методического
обеспечения.
Практически решением этих вопросов стало заниматься Российское Общество актуариев.
Уже в 1998 г. им была принята программа актуарного образования. Программа была разработана с
учетом общемировой тенденции по «унификации» актуарного образования, а в качестве основы
использовались рекомендации Европейского Союза и Международного актуарного форума. В результате был принят перечень актуарных экзаменов: актуарная математика, теория риска, экономика и финансы, инвестиции, страхование жизни, пенсионное страхование, страхование имущества и ответственности. В качестве основы для подготовки российских актуариев использовались
британские и немецкие учебные пособия, которые отвечают современным международным программам подготовки актуариев, а также приспособлены для самостоятельного изучения.
Заметим, что в различных ВУЗах и странах существует множество эффективных образовательных и квалификационных стандартов и программ по актуарным вычислениям. Конечно же,
различные актуарные учебные заведения, готовящие кадры по международным и национальным
программам, придают большее или меньшее значение различным темам в рамках каждого курса, в
зависимости от особенностей и конкретных потребностей тех актуарных рынков, которые существуют в той или иной стране. Но, несмотря на эти различия, в мире в целом остается высокая сте64
Раздел II
Математический анализ
пень однородности в актуарной деятельности и в актуарных расчётах. Это даёт основание для повсеместного внедрения единого образовательного стандарта подготовки актуариев и позволяет
предполагать, что стандарты и образовательные программы, подготовленные с учётом накопленного опыта их применения в различных странах мира, «будут содействовать повышению не только национального, но и международного уровня аттестации актуариев и совершенствованию подготовки студентов актуарных учебных заведений, изучающих методы актуарных расчётов» [2].
Важным вопросом является взаимное признание аттестатов и дипломов о среднем и высшем актуарном образовании. В настоящее время признание осуществляется по усмотрению национальных актуарных учебных заведений и ассоциаций. «Организация и подготовка кадров на основе международных стандартов и программ Международной Ассоциации Актуариев сама по себе не означает и не обязывает к взаимному признанию аттестатов и дипломов» [2]. В связи с сохранением больших различий в подготовке актуариев в разных странах международные стандарты
и программы «не преследуют цели наращивания дополнительного образования в каждой стране
или в разных областях в пределах одной страны и могут быть востребованы по конкретным соображениям места и времени» [2]. Принимая во внимание эти факты, в настоящее время в мире разработано и применяется множество разнообразных программ подготовки и переподготовки специалистов в области актуарного дела, которые «должны рассматриваться как равноценные и равноправные» [2].
С 2005 года в качестве обязательных для изучения и сдачи экзаменов дисциплин на аттестат
международно-признанного актуария приняты: финансовая математика, теория вероятностей и
математическая статистика, экономика (макро и микро), бухгалтерский учет, моделирование, статистические методы, актуарная математика, управление инвестициями и активами, основы актуарного управления, профессионализм. Несмотря на то, что в России немало вузов, в которых изучают перечисленные дисциплины, обучение актуариев пока проводится лишь в единичных из них.
На наш взгляд, ситуацию можно переломить в нужную сторону, начав уже сегодня обучение актуарной математике в рамках изучения таких дисциплин, как «Теория вероятностей и математическая статистика». После изучения основ указанных теорий при рассмотрении вопроса практического применения усвоенных методов можно ознакомить студентов с необходимой терминологической базой актуарной математики и рассмотреть решения простейших задач, например, из области страхования. Такой подход позволит сократить время ожидания специалистов-актуариев, а
студентам - приобрести дополнительную профессию на краткосрочных курсах подготовки актуариев благодаря более расширенной и практически полезной математической подготовке. Необходимые методические разработки российских специалистов уже имеются в научных базах страны.
Отметим, что этот опыт уже опробован на небольших группах физико-математического факультета в рамках «Специального курса высшей математики» под руководством автора данной статьи.
Как показал этот опыт, данный раздел финансовой математики вызывает большой интерес у студентов и является посильным при изучении основных методов актуарных расчетов. Для некоторых студентов ознакомление с актуарной математикой послужило хорошим началом в их дальнейшей трудовой деятельности.
Затрагивая вопрос о возможности изучения базового курса актуарной математики при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» следует отметить, что и
программный курс этих дисциплин тоже требует изменений. В этом вопросе следует обратить
внимание на следующие моменты.
Теория вероятностей, несомненно, является трудной для понимания наукой. Изучение ее
требует упорства, времени, математической базы. Но немаловажную роль в помощи студентам
может оказать создание условий для овладения понятийным языком и осознания практической
ценности изучаемой науки. К сожалению, во многих вузах до сих пор наблюдается формальный
подход к изложению материала, к контролю знаний. Как правило, отсутствует создание современной мотивации к изучению вышеназванной науки. А современное общество нуждается в специалистах, владеющих знаниями вероятностных расчетов (это, как уже было отмечено выше, и аналитики, и актуарии страховых, финансовых компаний и пенсионных фондов, и специалисты в оценках рисков и вероятностей в области бизнеса и финансов, и т.д.).
65
Вестник ТГПИ
Естественные науки
С другой стороны, для формирования нового подхода к преподаванию теории вероятностей
стоит обратить внимание на одно очень интересное и важное замечание: теория вероятностей –
единственная дисциплина, которая может являться базой для формирования у студентов единой
системы, в которую вписываются все математические дисциплины как отдельные ее составляющие, в результате чего можно решать любые задачи, возникающие в реальном мире. Она является
особым языком для описания явлений и процессов в самых различных областях. Поэтому целесообразно рассказывать студентам о процессах в моделях маркетинга, бизнеса, финансах, страховой
математике, о процессах массового обслуживания.
Но рассмотрение всевозможных процессов невозможно без проведения анализа и построения картины развития в будущем. А эти вопросы относятся к области статистики. Математическая
статистика является еще более трудной для преподавания и изучения дисциплиной. Помимо базовой лекционно-семинарской формы обучения необходимо проводить лабораторно-практические
занятия для исследования модельных задач с данными реальных массовых процессов. На этих
занятиях студенты овладевают основными методами статистики. Но, как отмечают некоторые исследователи, программу обучения статистики необходимо пересмотреть: изучение статистических
методов отстает от современного развития прикладных наук на десятки лет. Чаще всего в ВУЗах
обучают основам т.н. параметрической статистики. Однако несколько лет назад были предложены
новые, актуальные, направления, которые позволяют получать результаты, более приближенные к
реальным картинам происходящих процессов. Среди этих направлений было бы рационально ввести изучение непараметрической статистики, интервальной статистики, статистики объектов нечисловой природы. Последняя является наиболее ценной, т.к. одна и та же математическая модель
в ее рамках может быть применена к объектам абсолютно любой, не обязательно числовой, природы, а в реальных процессах объекты, как правило, нечисловые.
Таким образом, преподавание теории вероятностей и математической статистики, на наш
взгляд, должно полностью отвечать потребностям современной социальной жизни и отображать
прикладной характер изучаемых дисциплин. Знания по теории вероятностей могут послужить хорошим фундаментом для приобретения выпускниками ВУЗов в дальнейшем одной из современных профессий в финансовом мире. Поэтому вопрос некоторых изменений в учебных программах
является сегодня актуальным и требует скорейшего решения.
В заключении отметим, что актуарная математика – это, конечно же, относительно молодая
наука. Она построена на базе других математических наук и является теоретической основой
страхового бизнеса. Широко использует общие математические теории, в особенности теорию
вероятностей и статистику. Но это наука и о том, «как смотреть правде в глаза». Она позволяет
заранее оценить риск столкновения с мелкой, крупной или очень крупной неприятностью и обезопасить себя с минимальными затратами. В нашей стране такой рациональный подход к деятельности еще не является повсеместным. Однако современная экономика меняет ситуацию. Обществу требуются специалисты в финансовой сфере. И у ВУЗов России появилась возможность расширить рамки профессиональной подготовки современной молодежи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев В.А. Опыты актуарных расчетов. М.: Русмед, 1998.
2. Баскаков В. Общее собрание гильдии актуариев // Актуарий. 2007. № 1. С. 5-10.
3. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика: пер. с англ. М.: Янус-К,
2001.
4. Гербер Х. Математика в страховании жизни. М.: Мир, 1995.
5. Завриев С. О государственной поддержке долгосрочного страхования жизни // Финансы. 1999. № 6. С. 44-47.
6. Кошкан Г.М. Основы страховой математики: учеб. пособие. Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 2002.
7. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 2002.
8. Леонова К. Зачем нужен актуарий страховщику и страхователю? // Финанс. 2007. № 8 (194). С. 27-30.
9. Орлов А.И. Прикладная статистика XXI века // Экономика XXI века. 2000. № 9. С. 3-27.
10. Фалин А.И., Фалин Г.И. Введение в актуарную математику. М.: Изд-во ФАУ Москов. гос. ун-та, 1994.
11. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Изд-во Москов.
гос. ун-та, 1996.
66
Раздел II
Математический анализ
67