У р о

Урок по теме:
« Тригонометрические уравнения»
Цели урока:
1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию
материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и
умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал.
2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы
сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического
кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике,
активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые
умения.
Ход урока:
1. Организационный момент
Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и
приемы решения тригонометрических уравнений. Задача - показать свои знания и
умения по решению тригонометрических уравнений. Разминка – повторение
(карточки – 1,2 вариант).
sin 2 x  cos 2 x 
sin х  1
tgx  1, x 
cos 2 x  sin 2 x 
ctgx  1, x 
sin(   x) 
cos(  x) 
сos ( x 
2 sin

8

2
)
cos

cos(  ) 
6
sin  

8
sin( x 

2 sin

12


2
)
cos

12

sin(  ) 
3
cos(  ) 
Ребята обмениваются карточками и проверяют. На экране появляется таблица
правильных ответов(1 неправильный ответ – оценка «4», два неправильных ответа –
оценка «3», 3 и больше – «2»,записавшим все ответы правильно – «5»).
2. Повторение изученного материала (устно)
1) каково будет решение уравнения sin x=a при |a | > 1 ?
2) при каком значении а уравнение cos x=a имееет решение?
3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a , cos x=a при условии
|a | ≤ 1 4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a , cos x=a
5) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?
6) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ?
3. Основная работа – методы решения уравнений.
I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.
Пример


2 cos 3x     2.
4

Решение.
I. шаг. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

2

;
cos 3x    
4
2

II. шаг. Найти аргумент функции по формулам
3x 



      2n, n  Z ;
4
4

III. Найти неизвестную переменную
3
 2n, n  Z
4
4
3 
3x  
  2n, n  Z
4 4
  2
x  
n, n  Z .
4 12 3
  2
Ответ:    n, n  Z .
4 12 3
3x 


II Замена переменной
Пример. 2 cos 2
x
x
 5 sin  5  0
2
2
Решение.
I шаг. Привести уравнение к алгебраическому относительно одной из
тригонометрических функций.
x
x

21  sin 2   5 sin  5  0
2
2

x
x
2 sin 2  5 sin  3  0 ;
2
2
II шаг. Обозначить полученную функцию переменной любой буквой
Пусть sin
x
 t , где | t | 1 .
2
III Решить алгебраическое уравнение
2 t 2  5t  3  0 ;
t=1,
t =-3/2, не удовлетворяет условию | t | 1
IV шаг. Сделать обратную замену и решить простейшее тригонометрическое
уравнение
sin
x
1
2
x 
  2n, n  Z
2 2
x    4n, n  Z
Овет:   4n, n  Z
III Метод понижения порядка уравнения.
Схема решения.
Пример.
cos 2 x  cos2 x 
5
4
Решение.
I шаг. Заменить данное уравнение линейным, используя формулы понижения
степени:
cos 2 x 
1
1  cos 2 x  5
2
4
II шаг. Аналогично методам I , II
1 1
5
cos 2 x   cos 2 x 
2 2
4
3
3
cos 2 x 
2
4
1
cos 2 x 
2
2x  
x
Ответ:

 2n, n  Z
3

6

 n, n  Z

6
 n, n  Z
IV Однородные уравнения.
Схема решения.
Пример. 5sin 2 x  3sin x cos x  4  0
Решение.
I шаг. Применить основное тригонометрическое тождество
5 sin 2 x  3 sin x cos x  4 cos2 x  4 sin 2 x  0
sin 2 x  3 sin x cos x  4 cos 2 x  0
II шаг. ). Разделить обе части уравнения на а) cos x≠0; б) cos2 x≠0 и решить
изученными методами
tg 2 x  3tgx  4  0
Пусть tgx  t , тогда
t 2  3t  4  0
t  1,  tgx  1, 
t  4 tgx  4
 
  x  4  n, n  Z,
x  -arctg 4  k, k  Z.

Ответ: x  4  n, n  Z,
x  -arctg 4  k, k  Z.
4. Дифференцированная самостоятельная работа ( 2 варианта)
2 cos 2 x+ 7cos x+3=0
5 cos 2 x+21 sin x=13
sin2 x- sin x=0
cos 2 x+sin x cos x=1
(допол) 2sin x- 3 cos x=0
(допол) cos 5 x+ cos x=0
Критерии оценок:
«5» - решено все верно и полностью
«4» - допущены небольшие ошибки
«3» - решено одно уравнение
5. Домашнее задание: карточка с уравнениями (на выбор ученикам)
Дифференцированная домашняя работа.
На «3». Решите уравнения:
1) sinx=1/2
2) cos2x-9cosx+8=0
3) 3cosxsinx-sinx=0
На «4». Решите уравнение:
1) cos2x-9cosx+8=0
2) 3cosx+sinx=0
3) 3sin2x+sinxcosx- 2cos2x=0
На « 5». Решите уравнение:
1) 2cos2x+3sinx=0
2) 3sinxcosx-cos2x=0
3) 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x=4
6. Итог работы
1. Что такое тригонометрические уравнения? (Тригонометрическими уравнениями
называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических
функций)
2.какие типы и методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
3. Дается оценка работы класса.