Дюжина по неравенствам для 9 классаx

Дюжина по неравенствам для 9 класса
1.
Найдите
x  a 
2
наименьшее
значение
выражения
(a,
b,
c,
Дюжина по неравенствам для 9 класса
d
–
константы)
1.
 b2  x2  y 2  c2  y  d 
Найдите
x  a 
2
2
наименьшее
значение
выражения
(a,
b,
c,
d
–
константы)
 b2  x2  y 2  c2  y  d 
2
2. В n-элементном множестве выбрано 2n-1 различных подмножеств, любые три из которых
имеют непустое пересечение. Докажите, что все эти подмножества имеют непустое пересечение.
2. В n-элементном множестве выбрано 2n-1 различных подмножеств, любые три из которых
имеют непустое пересечение. Докажите, что все эти подмножества имеют непустое пересечение.
3. Докажите неравенство a4+b4+c4 ≥ abc(a+b+c)
3. Докажите неравенство a4+b4+c4 ≥ abc(a+b+c)
4. Докажите, что если x, y и z – длины сторон треугольника, то xyz  (x+y–z)(y+z–x)(x+z–y).
4. Докажите, что если x, y и z – длины сторон треугольника, то xyz  (x+y–z)(y+z–x)(x+z–y).
5. Докажите, что
6.
Докажите,
a
b
c
3



bc ca ab 2
что
при
a b c
a a b b c c  
 abc
2
7.
Для
2
2




любых
(a, b, c > 0).
натуральных
a,
5. Докажите, что
b
и
c
выполняется
a b  c

положительных
i j
9.
чисел
x,
y,
z
докажите
неравенство

для
2
что
при
положительных
чисел
2
1
2
2
2
2
2
n

ai a j 
a,
b
и
c
выполняется
чисел
x,
y,
z
докажите
неравенство
числах
a1,
9.
n 1 n
ai .
2 i 1
Докажите

неравенство
2
2
n
ab
bc
ca


3 2.
c
a
b
положительных
натуральных
2
10. При a, b, c > 0 докажите, что
…,
an
для
a1  a2  ...  an   b1  b2  ...  bn 
 a  b  a  b  ...  a  b
2
1




любых
a b  c
положительных
i j
неравенство
10. При a, b, c > 0 докажите, что
при
2
8. Докажите, что для любого набора неотрицательных чисел a1, a2, ..., an выполнено неравенство
a1  a2  ...  an   b1  b2  ...  bn 
Докажите,
Для
n
2
11.
7.
2
(a, b, c > 0).
x
y
z
x
y
z





.
x y yz zx yz zx x y
n 1
ai .
2 i 1
Докажите
что
a b c
a a b b c c  
 abc
8. Докажите, что для любого набора неотрицательных чисел a1, a2, ..., an выполнено неравенство
Докажите,
2
x
y
z
x
y
z





.
x y yz zx yz zx x y
ai a j 
6.
a
b
c
3



bc ca ab 2
верно
11.
Докажите,
что
при
положительных
чисел
 a  b  a  b  ...  a  b ≤
2
1
2
1
2
2
2
2
2
n
2
n
ab
bc
ca


3 2.
c
a
b
положительных
числах
a1,
…,
an
верно
1 1
1
2
n
1

 ... 
 4      .
a1 a1  a2
a1  a2  ...  an
an 
 a1 a2
1 1
1
2
n
1

 ... 
 4      .
a1 a1  a2
a1  a2  ...  an
an 
 a1 a2
12. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие
общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных чисел
есть не менее n различных.
12. Дано n различных натуральных чисел. На доску выписали все их попарные наибольшие
общие делители и наименьшие общие кратные. Докажите, что среди выписанных чисел
есть не менее n различных.
9 класс, еще несколько полезных неравенств
9 класс, еще несколько полезных неравенств
Весовое неравенство Коши. Пусть a1, a2, …, an>0, a1+a2+…+an=1, x1, x2, …,xn>0, тогда
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑥1 1 ∙ 𝑥2 2 ⋯ 𝑥𝑛 𝑛
Весовое неравенство Коши. Пусть a1, a2, …, an>0, a1+a2+…+an=1, x1, x2, …,xn>0, тогда
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑥1 1 ∙ 𝑥2 2 ⋯ 𝑥𝑛 𝑛
Весовое неравенство о средних. Пусть a1, a2, …, an>0, a1+a2+…+an=1, x1, x2, …,xn>0,
Весовое неравенство о средних. Пусть a1, a2, …, an>0, a1+a2+…+an=1, x1, x2, …,xn>0,
√𝑎1 𝑥1𝑚
𝑎2 𝑥2𝑚
тогда определим среднестепенное как 𝑆𝑚 =
+
+ ⋯+
S0 =
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑛
𝑥1 ∙ 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑛 , S–∞=min(, x1, x2, …,xn), S+∞=max(, x1, x2, …,xn). Верно, что Sa≤Sb при a≤b.
тогда определим среднестепенное как 𝑆𝑚 = 𝑚√𝑎1 𝑥1𝑚 + 𝑎2 𝑥2𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛𝑚 , S0 =
𝑎
𝑎
𝑎
𝑥1 1 ∙ 𝑥2 2 ⋯ 𝑥𝑛 𝑛 , S–∞=min(, x1, x2, …,xn), S+∞=max(, x1, x2, …,xn). Верно, что Sa≤Sb при a≤b.
13. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
𝑎
𝑛
a1+a2+…+an=S верно, что ∑𝑛𝑖=1 𝑆−𝑎𝑖 ≥ 𝑛−1 .
13. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
𝑎
𝑛
a1+a2+…+an=S верно, что ∑𝑛𝑖=1 𝑆−𝑎𝑖 ≥ 𝑛−1 .
𝑚
𝑎𝑛 𝑥𝑛𝑚 ,
𝑖
14. Локальное неравенство. Докажите, что для натуральных n>m верно
𝑛𝑎 𝑛−𝑚 −𝑚𝑏𝑛−𝑚
.
𝑛−𝑚
𝑥 6 +𝑦 6 +𝑧 6
𝑥 3𝑦2𝑧
15. Какое наименьшее значение принимает выражение
1
1
1
1
1
𝑎 3/2
𝑎𝑛
𝑏𝑚
≥
при x, y ,z>0?.
𝑏3/2
𝑖
14. Локальное неравенство. Докажите, что для натуральных n>m верно
𝑛𝑎 𝑛−𝑚 −𝑚𝑏𝑛−𝑚
.
𝑛−𝑚
𝑥 6 +𝑦 6 +𝑧 6
𝑥 3𝑦2𝑧
15. Какое наименьшее значение принимает выражение
1
1
1
1
1
𝑎 3/2
𝑎𝑛
𝑏𝑚
≥
при x, y ,z>0?.
𝑏3/2
16. Докажите, что 1 + 𝑎3 + 𝑏3 ≤ 2 (𝑎3/2 + 𝑎3/2 + 𝑏 3/2 + 𝑏3/2 + 𝑏3/2 + 𝑎3/2 ) для положительных 𝑎, 𝑏.
16. Докажите, что 1 + 𝑎3 + 𝑏3 ≤ 2 (𝑎3/2 + 𝑎3/2 + 𝑏 3/2 + 𝑏3/2 + 𝑏3/2 + 𝑎3/2 ) для положительных 𝑎, 𝑏.
17. Пусть a и b – корни квадратного уравнения x2–6x+1=0. Докажите, что an+bn –целое число, не кратное 5.
17. Пусть a и b – корни квадратного уравнения x2–6x+1=0. Докажите, что an+bn –целое число, не кратное 5.
18. Пусть a, b, с – положительные числа такие, что abc=1. Докажите неравен1
1
1
3
ство:𝑎3 (𝑏+𝑐) + 𝑐 3 (𝑏+𝑎) + 𝑏3 (𝑎+𝑐) ≥ 2
18. Пусть a, b, с – положительные числа такие, что abc=1. Докажите неравен1
1
1
3
ство:𝑎3 (𝑏+𝑐) + 𝑐 3 (𝑏+𝑎) + 𝑏3 (𝑎+𝑐) ≥ 2
19. Как известно, a2013 + b2013 можно представить как многочлен от a + b и ab.
Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
19. Как известно, a2013 + b2013 можно представить как многочлен от a + b и ab.
Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
𝑥 2 + 𝑥𝑦 +
20. Найти M =xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и
𝑦2
3
2
𝑦2
3
𝑥 2 + 𝑥𝑦 +
= 25
+ 𝑧 2 = 16
.
20. Найти M =xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и
{ 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 9
21. Пусть a,b,c,d>0 . Докажите неравенства
𝑦2
3
2
𝑦2
3
= 25
+ 𝑧 2 = 16
{ 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 9
21. Пусть a,b,c,d>0 . Докажите неравенства
а)
a
b
c
d
4



 ;
bcd cd a d ab abc 3
а)
a
b
c
d
4



 ;
bcd cd a d ab abc 3
б)
a
b
c
d
2




b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3
б)
a
b
c
d
2




b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3
.