Лекция №16 Тех Мех_2015

Тема 8
Кручение стержней.
Лекция №16
Кручение стержней с круглым поперечным сечением.
16.1 Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге.
16.2 Касательные напряжения. Закон Гука при кручении.
16.3 Дифференциальные зависимости между крутящим моментом и
интенсивностью крутящего момента
16.1Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге.
Материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию
сдвига. В сплошном материале деформацию сдвига можно осуществить, например,
если подвергнуть кручению тонкостенную трубу (рис.16.1а). Прямоугольные до
деформации элементы материала стенок трубы превращаются в параллелограммы за
счет изменения первоначально прямого угла на малый угол  , называемый углом
сдвига.
Рис.16.1 Стенки трубы при закручивании испытывают деформации сдвига
Напряженно-деформированное состояние (НДС), характеризуемое тем, что на
гранях элемента возникают только касательные напряжения, называют чистым
сдвигом (рис. 16.1б). Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного
состояния (ПНС), был изучен нами раннее (лекция № 5 раздел 5.6) .
Аналогично закону Гука при растяжении (сжатии) рассмотрим закон Гука при
сдвиге. Экспериментальное изучение деформаций чистого сдвига обычно проводят
путем кручения трубчатых образцов, подобных показанному на рис.16.1а. Из
эксперимента получаем зависимость между напряжением  и углов сдвига  . Такая
диаграмма сдвига изображена на рис.16.2 для пластичной стали. До напряжения  пц
, называемого пределом пропорциональности при сдвиге, справедлива линейная
зависимость tg( )  G
  G ,
(16.1)
которая носит название закон Гука при сдвиге.
Рис.16.2 Диаграмма сдвига для пластичной стали
Напряжение  т - предел текучести при сдвиге (напряжение при котором угол
сдвига  возрастает при постоянном напряжении  ). Для пластичного материала
протяженность диаграммы сдвига довольно велика (рис. 16.2). Завершается
испытание в этом случае срезом материала в плоскости поперечного сечения
трубчатого образца.
В формуле (16.1) G - модуль упругости материала при сдвиге. Смещение 
называется абсолютным сдвигом (рис.16.2б), а отношение  / a  tg(  )   относительным сдвигом (угол сдвига - безразмерная величина). Модуль сдвига G
выражается в единицах напряжения (Па).
В дальнейшем будет показано, что модуль сдвига выражается через модуль
упругости E и коэффициент Пуассона  по формуле
E
(16.2)
2  (1   )
Например, для стали E  200ГПа ,   0, 25 по формуле (16.2) найдем
G  80ГПа . Характерно, что для многих материалов предел текучести при сдвиге
 т связан с пределом текучести при растяжении  т следующим соотношением

 т  т (  т  0, 577   т ).
3
G
16.2 Касательные напряжения. Закон Гука при кручении
Кручение, как основной вид деформации, характерно для элементов
машиностроительных конструкций, таких как валы двигателей, оси моторных вагонов и
локомотивов и.т.п. В строительных конструкциях кручение может иметь место при
пространственной работе элементов стержневых систем, что в большинстве случаев
является нежелательным.
Общая деформация кручения стержня с круглым сечением изображена на
рис.16.3а. Эта деформация характерна тем, что поперечное сечение поворачивается вокруг
x на углы (x) , называемые углами закручивания, а в поперечных сечениях
возникают касательные напряжения  , приводящие к крутящему моменту M x .
оси стержня
Правило знаков для момента M x : при взгляде на торцевое сечение элемента
стержня dx со стороны внешней нормали видим, что положительный момент M x
направлен по ходу часовой стрелки (рис 16.3а).
Угол поворота   0 , если при взгляде на сечение в положительном направлении
оси x (из т. О) видим поворот против хода часовой стрелки (рис 16.3б).
Рис. 16.3 Крутящие моменты и углы закручивания в стержне
Получим формулу для напряжений  и найдем зависимость между функцией угла
закручивания (x) и крутящим моментом M x (x) . Для сечения стержня в виде круга
указанная задача решается путем использования двух допущений о характере деформации
стержня, подтверждаемых экспериментально.
Первое допущение. Будем считать, что поперечное сечение при кручении,
поворачивается вокруг оси x , остается плоским (гипотеза плоских сечений).
Второе допущение. Все радиусы данного сечения остаются прямыми и
поворачиваются на один и тот же угол  , т.е. каждое поперечное сечение поворачивается
вокруг оси x как жесткий тонкий диск.
Согласно этим допущениям, кручение представляет деформацию сдвига элемента
стержня, заключенного между соседними поперечными сечениями, вызванную
относительным поворотом этих сечений вокруг оси x (рис.16.4).
Рис. 16.4 Деформации прямоугольной сетки при кручении стержня
На рис. 16.5 изображена деформация элемента стержня длиной dx , выделенного из
закручиваемого стержня при произвольном значении x . На рис.16.5 условно принято, что
левое сечение элемента dx остается неподвижным, а правое поворачивается на угол d ,
создаваемый за счет закручивания на длине dx . Один из радиусов ОВ, оставаясь прямым,
поворачивается вместе с сечением на угол d , а образующая СК произвольной точки К
этого радиуса переходит в положение СК1, поворачиваясь на угол  -угол сдвига в этой
точке стержня. Дуга KK1    d , а из треугольника СКК1 тот же отрезок KK1    dx .
Рис. 16.5 Деформация элемента стержня при кручении
Из равенства
  d   dx
найдем    
получим касательное напряжение
 G

d
и по закону Гука (16.1)  
G
dx
d
.
dx
(16.3)
Таким образом,  в сечении изменяется пропорционально  .
Согласно
формуле (16.3) закон изменения касательных напряжений вдоль радиуса линейный
 max  r (рис.16.6)
Рис.16.6 Распределение касательных напряжений при кручении
Во всех точках окружности с радиусом
направлены по касательной к окружности.
Величина

d
dx
 напряжения одинаковые и
(16.4)
называется относительным
размерность рад / м .
(погонным)
углом
закручивания
и
имеет
d
неизвестен и может быть найден из условия, что
dx
напряжение  сводится к крутящему моменту M x (рис.16.6).
d 2
d
M x   dA  G 
 dA G 
 J x , или

dx
dx
A
A
d
,
Mx  G  J x 
(16.5)
dx
В формуле (16.3) угол
,
где
J x    2dA
(16.6)
A
- полярный момент инерции поперечного сечения ( м ).
С учетом выражения для относительного угла закручивания (16.4) получим
Mx  G  Jx   .
(16.7)
Касательные напряжения в точках окружности отстоящих на расстоянии  от
4
центра с учетом (16.3)   G 
d
d
определятся по формуле
  и (16.4)  
dx
dx
M
  x 
(16.8)
Jx
Отметим, что по закону парности в перпендикулярной плоскости
диаметрального продольного сечения стержня возникают касательные напряжения
также как и в поперечном сечении, определяемые по формуле (16.8). На рис. 16.7
показано распределение  вдоль радиуса в двух указанных сечениях
Рис.16.7 Касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных сечениях
(16.5) M x  G  J x 
Интегрируем выражение
d
от нуля до l получим
dx
выражение для угла закручивания стержня на длине l
z
Mx
dx .
G

J
x
0
(z)  (0)  
(16.9)
В формуле (16.9)  (0) -угол закручивания в начале стержня (константа
интегрирования)
Произведение G  J x - называется жесткостью сечения на кручение.
Если крутящий момент по длине стержня постоянный (  (0)  0 ), то
выражение для угла закручивания примет вид
M xl
.
G  Jx

(16.10)
Формула (16.10) выражает закон Гука при кручении стержня.
Угол закручивания  стержня длиной l прямо пропорционален крутящему
моменту M x и обратно пропорционален жесткости на кручение G  J x .
Полярный момент инерции для круглого поперечного сечения и момент
сопротивления кручению определяются по формулам:
  d4   d4   d4
;
J x    dA   z dA   y dA  J y  J z 


64
64
32
A
A
A
2
Wx 
Jx
 max
2

 d4
d
32  ( )
2
2

 d3
16
Jx 
. Окончательно получаем:
 d4
,
32
  d3
.
Wx 
16
(16.11)
16.3 Дифференциальные зависимости между крутящим моментом и
интенсивностью крутящего момента.
Помимо внешних сосредоточенных крутящих моментов на стержень (вал)
может действовать распределенная по некоторому закону моментная нагрузка
интенсивностью m ( н  м / м ). Между этой внешней моментной нагрузкой m и
крутящим моментом M x существует дифференциальная зависимость.
Рассмотрим стержень, загруженный распределенной моментной нагрузкой
рис.16.8а.
Рис. 16.8 К выводу дифференциальной зависимости между m и M x
Вырежем из скручиваемого стержня на участке, где действует m(х) элемент
dx и рассмотрим его равновесие (рис.16.8,б). Влияние отброшенных частей заменим
действием крутящих моментов M x и M x  dM x . Вследствие малости dx
распределенную вдоль элемента нагрузку можно считать постоянной. Составим
уравнение равновесия элемента:
M
 0,
 M x  m  dx  ( M x  dM x )  0 ,
где произведение m  dx представляет собой равнодействующую скручивающей
нагрузки на участке dx . Поделив это уравнение на dx получим искомое
x
дифференциальное соотношение
dM x
(16.12)
 m .
dx
d
С учетом формулы (16.5) M x  G  J x 
получим
dx
(16.13)
d 2
G  J x  2  m
dx
Пример 16.1 Построить эпюры M x и  для стержня ступенчато постоянного
сечения, представленного на рис.16.9.
Рис. 16.9 Расчетная схема стержня
Жесткость участка ВС обозначим через GJ x . На этом участке действует
равномерно распределенная скручивающая нагрузка с интенсивностью m . Жесткость
участка АB равна 2GJ x . В сечении B действует сосредоточенный момент M  3ml .
Определим крутящий момент в защемлении M А (внешняя сила) (рис16.9)
m
x
 0 ,  M A  3ml  ml  0 , M A  2ml .
Проведем сечение в произвольном месте 1-го участка
0 xl
M x1 (x)
m
 0 , M x1 (x)  2ml  0 ,
M x1 (x)  2ml , M x1 (l)  2ml
x
Mx
( 2ml)
ml  x
(x)  (0)  
dx  0  
dx 
2GJ x
2GJ x
GJ x
0
0
x
x
ml 2
(0)  0 , (l) 
GJ x
Рис. 16.10 Участок AB
Проведем сечение в произвольном месте 2-го участка
( 2l  x  l )
m
 0,
2ml  3ml  m  ( x  l )  M x 2 (x)  0
x
M x 2 (х)  m  l  m( x  l ) .
M x 2 (х)  m( x  2l )
M x 2 (l )  m  l , M x 2 (2l )  0 .
Рис. 16.11Участок BC
Для
угла
закручивания
ml 2
.
(l) 
GJ x
Согласно
(16.9)
Mx2
ml 2
m(x  2l)
ml 2 m(x  2l)2 xt
(t)  (l)  
dx 

dx 

|xl .
G

J
GJ
G

J
GJ
2
G

J
x
x
x
x
x
l
l
t
t
5 ml 2
ml 2 m(l  2l)2
ml 2
Значения  на участке : (1, 5  l) 
, ( 2 l) 
.


8 GJ x
GJ x
2G  J x
2GJ x
Строим эпюры (рис.16.12)
Рис.16.12 Эпюры крутящих моментов M x и углов закручивания
