Исследование механических характеристик нелинейно

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНО
ДЕФОРМИРУЕМЫХ СФЕРИЧЕСКИХ МЕМБРАН
Н. К. Галимов, С. Н. Якупов
Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, Россия
Введение. Работы, посвященные построению кривых деформирования для
оболочечных пленок и мембран, встречаются редко. Еще реже можно найти публикации
по экспериментальным работам, касающимся исследования прочности оболочечных
пленок и мембран. Работы по изучению механических характеристик оболочечных пленок
и мембран с различными дефектами практически отсутствуют.
Следует отметить невозможность исследования механических характеристик
оболочечных пленок и мембран сложной структуры стандартным способом одноосного
растяжения. Для исследования сложных структур не всегда применимы физические
методы, в частности метод с применением индентора, предложенный Оливером-Фарром
[1], или модификации метода [2].
Эффективным подходом определения механических характеристик оболочечных
образцов является определение интегральных (приведенных) механических характеристик
оболочечных пленок и мембран. Для получения достоверных результатов требуется
применение синтеза экспериментальных исследований с теоретическими, как это сделано,
например, для плоских пленок и мембран [3, 4].
Cоотношения для нелинейно упругих и пластических сферических оболочек.
Рассматривается фрагмент круглой в плане сферической мембраны радиусом R, толщиной
h0, половиной угла раствора , радиусом опорного круга а, закрепленный по контуру и
нагруженный внутренним давлением р. Геометрия сегмента сферической оболочки
представлена на рис. 1, где Н – высота подъема сегмента оболочки до нагружения, w0 –
прогиб центра оболочки, r – радиальная координата, 
– текущая координата,
отмеряемая от вертикальной оси.
Уравнения
равновесия
сферической
h
w0 мембраны, находящейся под действием внутреннего
давления р имеют вид 5, 6:
H
p
r
R

d T1 A2 
dr
 T2
dA2
, T1 K1  T2 K 2  p,
dr
(1)
где Т1 и Т2 – радиальные и кольцевые усилия, К*1,
К*2 – кривизны деформированного купола в
радиальном и окружном направлениях, p –
a

внутреннее давление, 0  r  a; А*2 – параметр Ляме
деформированной мембраны.
Рис. 1 
Соотношения для компонент деформаций в
радиальном окружном направлениях 1 и 2 имеют вид
1
1
du w
u w
dw u
1  e1  (e12   2 ) ,  2  e2  e22 , e1 
 , e2   ,  

2
2
dr R
r R
dr R
где u – радиальное перемещение; w – прогиб. При этом A2*  r (1  e2 ) .
Кривизны купола в случае больших перемещений и деформаций в радиальном и
окружном направлениях записываются, согласно работе [6], следующим образом:
d (1  e1 ) 1
d


K1*   (1  e1 )

 (1  21 )  (1  21 ) 1.5 ,
dr
dr
R


1
  1

K 2*     (1  e1 )  (1  21 )0.5 (1  e2 )  .
 r R

Физические соотношения для резиноподобных материалов берутся в предложенном
Каппусом [7] виде, учитывающем нелинейную зависимость между радиальными и
кольцевыми усилиями и компонентами деформаций:
1  21
1  2 2
Eh 0 (1  1   2 )
T1  B
(1   2 ), T2  B
( 2  1 ), B 
,
1  2
1  2 2
1  21
где E и  – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала мембраны, h0 –
первоначальная толщина мембраны.
Физические соотношения для пластических материалов берутся, как и в работе [1], в
предложенном А. А. Ильюшиным [8] виде, учитывающем нелинейную зависимость
между усилиями и компонентами деформаций  i  Aeik , где i и ei интенсивности
напряжений и деформаций соответственно, А и k – некоторые постоянные, характерные
для рассматриваемого материала (0  k 1).
Задача по аналогии, как и для плоской мембраны [3], решается в перемещениях
методом Бубнова–Галеркина, при этом перемещения задаются в виде u  ca(   3 ) ,
w  аf (1   2 ) , f  w0 / a ,   r / a ,   a / R , где c – искомая величина, характеризующая
радиальные перемещения в процессе деформации мембраны, w0 – определяемый из
эксперимента прогиб в центре сферической мембраны.
Умножая первое уравнение (1) на величину искомого перемещения u, выполняя
процедуру интегрирования по частям для первого члена, интегрируя по всей
рассматриваемой области и подставляя в уравнение переменные u и du/d, получим
первое уравнение равновесия мембраны
 T 1   c   f  1    (1  3
1
2
1
0
2

)  T2 1  (с   f ) 1  3 2  (1   2 )  d  0 .
(2)
Второе уравнение равновесия (1) умножается на величину искомого перемещения w и
интегрируется по всей рассматриваемой области. С учетом осевой симметрии задачи второе
уравнение равновесия с учетом (2) записывается в виде
1
1
0
0


2
2
 T1. K1  T2 K 2 (1   ) d  p  (1   ) d .
(3)
Из уравнения (2) при заданном w0 определяется постоянная с, а из уравнения (3) –
модуль упругости Е для линейно и нелинейно упругих материалов или, для пластических
материалов, условный модуль упругости Еусл.= didei , который предполагаем
постоянным по поверхности мембраны.
Пример. Далее приведен пример определения условного модуля упругости для
пластичного материала. Рассмотрена сферическая мембрана из мягкой пластичной
пластмассы со следующими параметрами: Н = 25,6 мм, а = 36 мм, h = 1,373 мм,   .
На рис. 2 и 3 приведены зависимости «давление Р(МПа) – прогиб w0 (мм)» и «условный
модуль упругости E (МПа ) – деформация », соответственно. Из рис. 3 видно, что уже
при относительно малых деформациях наблюдается существенное падение условного
модуля упругости, а при деформациях более 0,01 падение не столь значительно.
w0
250
3.5
3.0
E
200
2.5
150
2.0
1.5
100
1.0
50
0.5
0.0
0.0
P
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

0
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Рис. 2
Рис. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Oliver W., Pharr G. J. Mater. Res. Soc. Symp. Proc. – 1997. – 473. – 57.
2. Шугуров А.Р., Панин А.В., Оскомов К.В. Особенности определения механических
характеристик тонких пленок методом наноиндентирования // Физика твердого тела. –
2008. – Т. 50. – Вып. 6. – С.1007–1012.
3. Якупов Н.М., Галимов Н.К., Леонтьев А.А. Экспериментально-теоретический
метод исследования прочности полимерных пленок // Механика композиционных
материалов и конструкций. – 2000. – Т. 6. – № 2. – С. 238–243.
4. Якупов Н.М., Якупов С.Н. Методы расчета пленочных элементов конструкций:
Учебное пособие. – Казань: КГАСУ, 2007. –117 с.
5. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. – Казань:
Таткнигоиздат, 1957. – 431 с.
6. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях //
ПММ. – Т. XV. – Вып. 6. – 1951. – С. 723–742.
7. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции.
Конструирование и расчет сооружений из тросов, сеток и мембран. – М.: Изд-во
литературы по строительству. 1967. – 320 с.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.