Ознакомиться с методикой определения электропроводности металлов,... риментальным и расчетным путем определить удельное электрическое сопротивление Цель работы

Цель работы
Ознакомиться с методикой определения электропроводности металлов, экспериментальным и расчетным путем определить удельное электрическое сопротивление
металлов и сплавов.
Оборудование и материалы
Источник постоянного тока, миллиамперметр, милливольтметр, комплект соединительных проводов, микрометр, измерительная линейка, образцы чистых металлов
(Cu, Al, W) и сплавов (нихром, алюмель, хромель).
Краткое теоретическое введение
Классическая теория электропроводности
Зависимость между плотностью электрического тока (j) напряженностью электрического поля (E) описывается законом Ома:
j  E ,
(1)
где  – коэффициент удельной электропроводности [См].
Удельное сопротивление есть величина, обратная удельность проводимости:
1
v 
[Омм].

Носители заряда в проводнике (электроны) движутся между соударениями с
ускорением а под действием силы F=qE.
Выражение для плотности тока можно также записать в явном виде:
(2)
j  nqvд ,
где n – число носителей заряда в единице объема, q – заряд носителя, vд – скорость
дрейфа носителей заряда в электрическом поле.
Скорость дрейфа заряда определяется выражением vд=(vн+vк)/2, где vн=0 – скорость заряда сразу после соударения, vк=a – максимальная скорость заряда перед следующим соударением. Тогда vд=( a)/2=(F)/2m=(qE)/2m, где m – масса заряда,  –
время свободного пробега заряда между соударениями. Потому выражение для плотности тока можно переписать, как
nq 2
j
E.
(3)
2m
Приравнивая (1) и (3), получим:
nq 2

 nq ,
(4)
2m
q 2
где  
[м /Вс] – подвижность носителей заряда.
2m
Подвижность носителей заряда есть одна из важнейших электрических характеристик материала, равная скорости движения носителей заряда в единичном электрическом поле.
Время пробега свободного носителя заряда (электрона) определяется выражением
=l/(vт+vд),
где
l
–
длина
свободного
пробега
электрона,
2Ет
3kT
см
– среднеквадратичная скорость теплового движения
vт 

 1,2  10 7
m
m
с
электронов. Тогда можно записать выражение для удельной электропроводности в виде
nq 2 l

,
(5)
2mv
где v= vт+vд – полная скорость движения электрона, v>> vд.
1
Квантовая теория электропроводности
Металл представляется как периодическая система атомных остовов, в которой
движутся электроны, описываемые волновыми функциями Блоха. Электроны могут
находиться только внутри зон разрешенных состояний, разделенных в большинстве
случаев запрещенными зонами. Число энергетических уровней в зоне равно числу атомов в кристалле и составляет 1022 см-3. В металлах валентная зона заполнена электронами либо не полностью, либо перекрывается с зоной проводимости. Это определяет
высокую электропроводность металлов. Заполнение электронами энергетических уровней в валентной зоне происходит в соответствии со статистикой Ферми-Дирака, которая описывается функцией
1
f  EF
,
(6)
e kT  1
где E – энергия электрона, F – уровень Ферми.
Функция (6) характеризует вероятность заполнения энергетических уровней
электронами и может изменяться в пределах от 0 до 1.
При Т  0 К, f  1, если E < F и f  0, если E > F
Таким образом, уровень Ферми – это максимальное значение энергии которое может иметь электрон в металле при 0 К.
При любых температурах, f =1/2, если E = F, f <1/2, если E > F и f >1/2, если
E < F. Таким образом, при любых температурах кровни в энергетической зоне, расположенные ниже уровня Ферми, заполнены с большей вероятностью, чем уровни с E >
F. Вероятность заполнения уровня с энергией, равной энергии Ферми, равна 0,5, т.е.
статистически этот уровень заполнен электронами наполовину.
В квантовой теории получено выражение для определения уровня Ферми:
2
2
2
F
(3 n) 3 ,
(7)
2m
где n – число свободных электронов в единице объема металла, m – эффективная масса
электрона.
Обычно для металлов F  4-12 эв.
В квантовой теории электропроводности, как и в классической, величина электропроводности описывается выражениями (4) и (5). Особенность квантовой теории
состоит в том, что свободные электроны в металле рассматриваются как электронный
газ, подчиняющийся статистике Ферми–Дирака. Из этого следует, что электропроводность металлов обусловлена только незначительной частью валентных электронов, с
энергией, близкой к уровню Ферми. Электроны, занимающие глубокие уровни, не могут участвовать к электропроводности, поскольку все высокоэнергетические уровни
заняты. Поэтому в уравнении (5) скорость v есть скорость электронов с энергией Ферми
2F
vF. Так как v F 
, то используя (7), имеем:
m
1

2
v F  (3 n) 3 .
(8)
m
После подстановки (8) в (5) получим выражение для коэффициента электропроводности металлов:
1
(3 2 ) 3 e 2 3
(9)

n l.
2
На практике для оценки проводимости чаще используется величина, обратная
коэффициенту электропроводности – удельное объемное сопротивление:
2
2
2
V 
1
2 3
n

2
3
1
.
l
(10)
(3 ) e
Видно, что удельное сопротивление металла определяется длиной свободного
пробега электронов, которая зависит от их рассеяния на фононах и примесных атомах.
В соответствии с правилом Матиссена, удельное сопротивление металла складывается
из собственного, обусловленного фононным рассеянием электронов и примесного. В
этом случае выражение для удельного сопротивления записывается следующим образом:
2
  1
2
1 
3
,
(11)
V 
n

1
l
l пр 
ф
2 3 2

(3 ) e
где lф и lпр – длины свободного пробега электронов при фононном и примесном
механизмах рассеяния.
Для чистых металлов при температурах выше 0,7Д характерен фононный механизм рассеяния электронов проводимости. Длина свободного пробега электронов
выражается формулой Ландау:
9mС 2  2 a 2 nv F2
,
(12)
lф 
kTF 2
где m – масса атома, a – расстояние между атомами, C  E  – скорость звука в металле, Е – модуль Юнга,  – плотность металла.
Выразив n, vF, F через плотность и атомную массу, получим:
lф 
4

7
3
2
(3mн )
k
4
3
4
 A3 3 E
  Z
,
T

1
(13)
4
 A3
E
l ф  7,15  1012   Z 3 ,
(14)
T

где A – атомный вес, mн=1,710-27 кГ – масса нейтрона, Z – число валентных электронов,
приходящихся на один атом по измерению постоянной Холла.
Поставляя (14) и соответствующие константы в (10), получим выражение для
расчета удельного сопротивления чистых металлов:
1
2
  3 T
.
(15)
V  0,24 
 A  ZE
В таблице 1 приведены характеристики некоторых металлов при комнатной
температуре.
Таблица 1
Металл Z
A
, кГ/м3 (/A)2/3 E, 109 Па
Ag
1,0 108 10500
21,4
100
Cu
1,1 64 8900
27,3
110
Au
1,0 197 19000
21,3
80
Al
1,3 27 2700
22,0
70
Zn
1,2 65 7100
23,2
60
Ni
1,2 59 8900
28,8
190
Для изготовления нагревательных элементов, термопарной проволоки, резисторов применяют металлические сплавы с высоким удельным электросопротивлением.
Такие сплавы представляют собой твердые растворы замещения, в которых атомы основного компонента замещаются примесными атомами. Содержание примесного металла может достигать 50 ат.%. Поэтому в этих материалах преобладает примесный
3
механизм рассеяния электронов проводимости. В этом случае формула (11) преобразуется к виду:
2
  1 
2
3
.
V 
n
(16)
1
l 
пр
2 3 2
 
(3 ) e
Z
1
, l пр 
Учитывая, что n 
, nпр=nАт.%, где Ат.% – атомный процент
mн A
nпр  
примеси и подставляя соответствующие константы, получим окончательное выражение
для расчета удельного сопротивления металлических сплавов:
1
   3   Ат.%
, [Омм].
(17)
V  1,72  10  
2
 A
Z3
Сечение рассеяния электронов   определяется природой примесных атомов и
от температуры не зависит. Поэтому, в отличие от чистых металлов, удельное сопротивление концентрированных металлических сплавов практически не зависит от температуры.
В таблице 2 приведены исходные данные для расчета удельного электросопротивления некоторых сплавов при комнатной температуре.
Таблица 2.
Тип сплава
НаименоСодержание
Z
A
  , м2
,
(/A)2/3
вание спла- примеси,
кГ/м3
ва
масс. %
Никелевый
алюмель
7 (Al, Si, Mn)
хромель
11 (Cr, Co)
1,2
59
8900 5,2
7,610-21
нихром
20 (Cr)
Медный
копель
44 (Ni, Co)
1,1
64
8900 5,1
1,310-21
константан 46 (Ni, Mn)
вольфрамо- ВР-5
5 (Re)
0,8
183
1920 4,65
1,610-21
вый
ВР-20
20 (Re)
0
В таблице 3 приведены значения удельного электрического сопротивления некоторых металлов и сплавов при 300 K.
Таблица 3.
металл Ag
Cu
Au
Al
W
Zn
Ni
Fe
Ti
сплавы
0,015
0,017
0,022
0,026
0,053
0,06
0,07
0,1
0,43
0,08V ,
2,0
мкомм
12
Порядок выполнения работы
1. Изучить в течение 20 мин методические указания.
2. Рассчитать значения удельного электрического сопротивления образцов чистых металлов и сплавов, занести в таблицу 4..
3. Измерить диаметр и длину исследуемых образцов, занести данные в таблицу
4.
4. Собрать электрическую схему в соответствии с рис.1.
5. Подать напряжение на исследуемый образец, измерить падение напряжения
на расчетной длине l, снять показания амперметра, занести в таблицу 4.
6. Рассчитать сопротивление образцов по формуле:
U
R  , [Ом]
I
7. Рассчитать удельное сопротивление образцов по формуле:
4
R
№
обр.
1
2
3
4
5
6
d 2
, [Омм].
4l
Таблица 4. Экспериментальные данные
материал
l, м
d, м
I, А
U, В
R, Ом
V, Омм
эксп. расч.
8. В отчете представить теоретические сведения об электропроводности металлов и сплавов, электрическую схему соединения, экспериментальные и расчетные значения удельного электросопротивления исследованных образцов,
подробные выводы. Отчет должен быть оформлен в соответствии со стандартом ТПУ, требования к оформлению размещены на сайте ТПУ.
Рис.1. Схема подключения образцов.
5