Иррациональные выражения. Иррациональными являются числа:

Иррациональные выражения.
Иррациональными являются числа:

n для любого натурального n, не являющегося точным квадратом

e x для любого рационального x  0

ln x для любого положительного рационального x  1

 , а также для  n любого натурального n.
2.1. Найдите значение выражения 132  52 .
Решение:
132  52 
13  5  13  5 
8 18  4  2  2  9  4  3  12
Ответ: 12.
Комментарий. Субъект обязан владеть следующими навыками:
1) видеть формулы сокращенного умножения (квадрат разности);
2) умение раскладывать числа на простые множители (простые множители – это
натуральные числа, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу
и самого себя);
3) умение выносить число из-под знака корня;
4) возводить число в степень, помнить о том, что число (основание) нужно умножать
само на себя столько раз, сколько показывает показатель степени.
2.2. Найдите значение выражения
(3 2) 2
.
4
Решение:
(3 2) 2 3 2  3 2 9  2 9


  4,5 .
4
4
4
2
Ответ: 4,5 .
Комментарий. Навыки и знания ребенка:
1) возведение числа в степень;
2) возведение в квадрат арифметического квадратного корня.
Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное
число, квадрат которого равен a . Это число обозначают
a,
под коренным числом.
Итак, если a - неотрицательное число, то:
a  0;
 
a
2
a ;
число a при этом называют
2.3. Найдите значение выражения
1
 75 .
2
1
3
Решение:
1
5
3
1 3  5  3
 75  1   25  3  1   5 3 
3 3.
2
3
5
5
1
3
Ответ: 3 3 .
Комментарий. Навыки и знания ребенка:
1) знание основного свойства дроби (умножение (деление) числителя и
знаменателя на одно и то же число, то значение дроби не изменится);
2)
умение перейти от неправильной дроби к десятичной дроби и обратное
действие;
3) понятие обратного числа – это единица, деленная на само число.
2.4. Найдите значение выражения

17  5


17  5 .
Решение:

17  5


2
2
17  5  17  15  17  15  2 .
Ответ: 2.

2.5. Найдите значение выражения
7  17

12  119
2
.
Решение:

7  17

2
2
2
7  2  7 17  17
7  2  119  17 24  2  119




12  119
12  119
12  119
12  119
.
2  12  119

2
12  119


Ответ: 2.
Комментарий. Вычисление примеров (2.4, 2.5) сводится к знанию и умению решать
предыдущие выражения.
2.6. Найдите значение выражения
14
 0, 0056 .
100
Решение:
14
14  56
2  7  7 8
74
28
 0,0056 



 0,028 .
100
100 10000
1000 1000 1000 1000
Ответ: 0,028.
2.7. Найдите значение выражения
3
0, 064 .
Решение:
3
3
64
4
 4
0, 064  
  3      0, 4 .
1000
10
 10 
3
Ответ: -0,4.
Комментарий.
1) Под корнем нечетной степени может стоять отрицательное число, тогда минус
выносим перед корнем.
2) Умение раскладывать число на простые множители и помнить, что между простыми
множителями стоят действия умножения, а их количество – это степень простого
множителя;
64 2
32 2
4
64  43
16 2
8
2
4
2
2
2
64  2  2  2  2  2  2  26
4
4
1
2.8. Между какими соседними целыми числами расположено число
79 .
Решение:
1) записать число (79) без знака корня;
2) с левой и правой сторон числа записать числа близкие к этому числу,
воспользовавшись таблицей квадратов, в виде двойного неравенства 64  79  81;
3) «надеть» квадратный корень на каждое из данных чисел
64  79  81 ;
4) извлечь квадратный корень из чисел 64, 81; 8  79  9 ;
79
8,... осталось определить дробную часть числа;
5) найдем разницу между подкоренным числом и его пределами 79  64  15 ;
81  79  2 ; а) если разница получилась небольшая (2), то после запятой можно ставить
следующие цифры 5; 6; 7; 8; 9. Данный квадратный корень из числа получился
приближенно равным десятичной дроби взятой с избытком. б) Если разница получилась
больше предыдущей (15), то после запятой можно ставить следующие цифры: 1; 2; 3; 4.
Данный квадратный корень приближенно равен десятичной дроби взятой по недостатку.
8  79  9 ;
8  8,9  9 .
Ответ: 8 и 9.
Комментарий. Данная задача затрагивает умение
определять соседние числа
иррационального числа, а так же извлекать приближенное значение квадратного корня по
избытку (недостатку).
2.9. Между какими соседними целыми числами расположено число
3
41  2 .
Решение:
Для этого нужно взять следующие числа 2; 3; 4; 5 и возвести их в третью степень:
23  8; 33  27; 43  64; 53  125 и сравнить с подкоренным числом 41. Здесь видно, что
3
41 находится между 3 и 4, т.е.
27  41  64 ;
3
27  3 41  3 64 ;
3  3 41  4 .
Воспользуемся свойством неравенств (если прибавить (отнять) к каждой части
неравенства одно и то же число, оно не изменится).
3  2  3 41  2  4  2 ;
5  3 41  2  6 .
Ответ: 5 и 6.
2.10. Сколько целых чисел расположено между числами
6и
46 ?
Решение:
6
469
4 6 9
2 6 3
46
36  46  49
36  46  49
6  46  7
Рассуждения такие же, как было показано ранее, только осталось посчитать количество
целых чисел между данными числами. Количество чисел – это разность между правыми
пределами. 7-3=4.
Ответ: 4.
2.10. Сколько целых чисел расположено между числами 17  3 и 2 17 ?
Решение:
16  17  25 ;
16  17  25 ;
2 17  4 17  68
64  68  81
4  17  5
8  68  9
4  3  17  3  5  3
8  2 17  9
1  17  3  2
Количество целых чисел расположено 7 (9-2=7)
Ответ: 7.
Комментарий. Если перед корнем стоит множитель, то его необходимо внести под знак
корня иначе результат будет другой:
2  4  2 17  2  5 ;
8  2 17  10 .
2.11. Сколько целых чисел расположено между числами

 
2
6  16 и

2
6  16 ?
Решение:
1)

6  16

2
2
2
 6  2 6 16  16  6  2  4 6  16  22  8 6 .
Необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения  a  b   a 2  2ab  b 2
2
и сделать преобразования:

6  16

2
2
2
 6  2 6 16  16  6  2  4 6  16  22  8 6 .
2) Посмотреть в каких пределах (между какими целыми числами) стоит число 8 6 .
8 6  64  6  384 ;
361  384  400 ;
19  384  20
3) К каждой части прибавить 22.
19  22  384  22  20  22 ;
41  8 6  22  42 .
4) Помним, что при умножении (делении) на отрицательное число левый и правый
пределы меняются местами в двойных неравенствах.
19  384  20 ;
20   384  19 .
5) Прибавляем 22 к каждой части двойного неравенства.
22  20  22  8 6  22  19 ;
2  22  8 6  3 .
6) Записываем окончательный результат.

6  16


2
22  8 6
6  16

2
22  8 6
2  22  8 6  3
41  22  8 6  42
41-2=39; 42-3=39.
Ответ: 39.
2.12. Укажите наименьшее из чисел:
1) 2 2 ;
2) 2  7 ;
3)
3  2 ; 4)  5 .
Решение:
2 2   8 ;
2 7 ;
32;
 5;
4  8  9;
4 7  9;
3   8  2 ;
3   7  2 ;
1 3  2;
2  5  3;
3  2,8  2 .
23 2 7  22;
1 2  3  2  2  2 ;
3   5  2 ;
1  2  7  0 .
1  3  2  0 .
3  2, 2  2 .
1 3  4 ;
4 5 9;
Ответ: 1.
Комментарий. В данном номере можно не находить приближенное значение квадратного
корня ( 8 ;
5 ), а рассмотреть эти значения на числовой прямой.  8 располагается
левее на координатной прямой  5 .