Делимость натуральных чисел

МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«ОТ ШКОЛЬНОГО ПРОЕКТА К ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
Секция: «В мире математики, информатики и информационных технологий».
« Делимость натуральных чисел».
Авторы:
Новикова Алина
и Сакш Юлия,
учащиеся 6а класса
МОУ СОШ №2
Г. Пугачёва
Саратовской области.
Научный руководитель:
Кочемазова Ольга Ивановна
учитель высшей
квалификационной категории
МОУ СОШ №2 г. Пугачёва
Адрес: 413720, г. Пугачёв
Ул. Коммунистическая, д.12
МОУ СОШ №2, тел.:2-19-38
2011 год
Содержание
1.Введение………………………………………………………………………………. 3
II.Основная часть.
Глава 1.
Азбука делимости………………………………………………………………………. 4
Глава 2.
Признаки делимости………………………………………………………………….
5-10
1) деление на 2; 5; 3; 9; 10;
2) деление на 4; 7; 8; 11; 13; 25.
3) деление на натуральные числа связанных:
 с разбиением на сумму разрядных слагаемых;
 с разбиением числа на группы.

III. Практическая часть
Задачи на применение признаков делимости…………………………………………11
Заключение……………………………………………………………………………….12
Список
литературы………………………………………………………………………………..13
2
Введение.
На уроках математики в начале учебного года при изучении темы «Признаки
делимости», где мы работали с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, нас
заинтересовало, а существует ли универсальный метод делимости на любое
натуральное число. Поэтому мы занялась этой работой.
Цель исследования: изучить признак делимости натуральных чисел до 30.
Для достижения цели были поставлены задачи:
1. Изучить теоретический материал по данной проблеме.
2. Отработать полученные знания при решении практических задач.
3. Ознакомиться с универсальным методом делимости на любое натуральное
число до 30.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости.
Методы исследования:
1) изучение литературы;
2) анализ;
3) синтез;
4) аналогии;
5) сравнение;
6) изучение и обобщение опыта.
Гипотеза исследования: предположим, что существует единый принцип делимости
на натуральное число.
Критериями оценки результативности работы являются знания об использовании
признаков делимости при решении задач.
Практическая значимость: данный материал можно использовать в 6 – 8 классах на
факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».
Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что впервые
был изучен универсальный метод делимости натуральных чисел в
общеобразовательной школе.
3
Глава1. Азбука делимости.
Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если
существует такое целое число k, что a = bk (например: 48 делится на 6, т.к. 48 = 8х6)
Свойства делимости:
1. Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.
2. Нуль делится на любое b, не равное нулю.
3. Если a делится на b (b  0) и b делится на c (c  0), то a делится на c.
4. Если a делится на b (b  0) и b делится на a (a  0), то числа a и b либо равны,
либо являются противоположными числами.
Свойства делимости суммы и произведения:
1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то
сумма делится на это число.
2. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое
число, то и разность делится на некоторое число.
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое
число, то сумма не делится на это число.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое
число, то и произведение делится на это число.
5. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой
на n, то произведение делится на mn.
4
Глава 2.Признаки делимости.
Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса
математики это:
 деление на 2 . Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или
нулём, то число делится на 2 (число 444 делится на 2, т.к. 4 делится на 2)
 деление на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём,
то число делится на 5 (число 40 и 50 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел
являются 0 и 5)
 деление на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число
63 делится на 3, т.к. 6 +3 = 9, а 9 делится на 3, но число 337 не делится на 3, т.к. 3
+ 3 + 7 = 13, а 13 не делится на 3).
Есть также признаки делимости и на составные числа:
 деление на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (99 делится
на 9 т.к. 9 + 9 = 18, а 18 делится на 9, но число 92 не делится на 9 т.к. 9 + 2 = 11, а
11 не делится на 9).
 деление на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это
число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0, но число
167 не делится на 10, т.к. последней цифрой числа не является 0).
 деление на 8. Если три последние цифры числа нули или образуют число,
делящееся на 8, то число делится на 8 (12 224 делится на 8 т.к. 2+2+4=8, а 8
делится на 8, но 12 225 не делится на 8, т.к. 2+2+5=9, а 9 не делится на 8).
 деление на 4 и 25. Если две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 2400
делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 324 делится на 4,
поскольку 24 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 24 не делится на 25,
число 325 делится на 25, т.к. 25 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 25 не
делится на 4).
Менее удобное деление на 7 и 11.
 деление на 7. Если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц
и последовательное её применение приводит к трёхзначному (двузначному) числу
делится на 7, то и число делится на 7 (число 5526192 делится на 7, т.к. 552619 – 4
= 552615, затем 55261 – 10 = 55251, затем 5525 – 2 = 5523, затем 552 – 6 = 546,
затем 54 – 12 = 42, а 42 делится на 7).
 деление на 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и
суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на
11 (число 517 делится на 11, т.к. 7 + 5 = 12, а вторая сумма этого числа состоит из
одного слагаемого 1, их разность равна 11, а 11 делится на 11).
5
Как доказать сформулированные выше признаки делимости (например, как
знакомый нам признак делимости на 3)?
Постараемся ответить на эти вопросы.
Но прежде условимся о способе записей чисел. Если нас попросят записать
шестизначное число, первая цифра которого 5, вторая 9, третья 8, четвёртая 1, пятая
6 и шестая 2, то мы сразу напишем: 598 162.
Но как быть, если нам предложат написать шестизначное число, первая цифра
которого a, вторая b, третья c, четвёртая d, пятая е и шестая f. Написать
шестизначное число abcdef нельзя - это будет обозначать произведение: abcdef = a · b
· c · d · e · f. Поэтому, чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами,
мы условимся проводить над этими буквами черту.
Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d
сотен и т.д.: abcdef = a • 105 + b • 104 + c • 103 + d • 102 + e • 10 + f.
Теперь докажем сформулированный выше признак делимости на 3. Для примера
мы будем рассматривать шестизначное число abcdef, но рассуждение имеет общий
характер. Мы имеем:
. . . 10 8 107 106
105 104
103 102 10 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1 (остатки от деления на 3).
Следовательно, умножая цифры числа на остатки и, складывая почтенно все эти
значения, получаем:
3 3 0 3 0 3 3 0 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3+3+0+3+0+3+3+0+2+1 = 18 : 3 = 9 : 3 = 3 (делится нацело)
Мы показали таким образом, что натуральное число имеет тот же остаток от
деления на 3, что и сумма его цифр.
Из этого и вытекает сформулированный выше признак делимости на 3.
А теперь попытаемся таким же способом получить признак делимости на 11. Для
этого заметим, что . . . 108
107 106 105 104 103 102 10 1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1 1 (остатки от деления на
11).
(При деление 10 на 11 нам не хватает 1, поэтому мы пишем -1. При деление 100 на
11 в остатке 1, поэтому пишем 1 и т.д.).
Проведем те же действия (умножим цифры числа на остатки и сложим все
значения).
Например:
а) 4 5 9 1 4 4 5
1 -1 1 -1 1 -1 1
4 -5+9 -1+4 -4+5 = 22 – 10 = 12 : 11=1 (остаток 1)(не делится нацело на 11,
значит и число 4591445 не делится на 11 нацело)
б) 4 4 5 5
-1 1 -1 1
-4+4 -5+5 = 9 – 9 = 0 : 11=0 (делится нацело на 11, значит и число 4455 делится
на 11 нацело)
6
Мы показали, что натуральное число имеет тот же остаток от деления на 11, и что
разница между суммой цифр этого числа стоящих на четных местах и суммой цифр,
стоящих на нечетных местах. Отсюда вытекает признак делимости на 11:
Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разница
между суммой его цифр, стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих
на нечетных местах делилось на 11.
Таким же способом можно получить признак делимости на 7. Мы имеем:
. . . 109 108 107 106 105 104 103 102 10 1
-1
2
3
1
-2
-3
-1
2
3
1 (остатки от деления
на 7).
В результате мы получаем следующее правило: чтобы узнать остаток от
деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами
этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить
каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения
сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7,
что и взятое число.
Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле,
найдем результат:
Например:
а) 4 5 9 1
-1 2 3 1
-4+10+27+1 = 38 – 4 = 34 : 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)
б) 4 9 0 7
-1 2 3 1
-4+18+0+7 = 25 – 4 = 21 : 7 = 3 (делится нацело на 7)
Еще один пример: возьмем число 8 546 216.
8 5 4 6 2 1 6
1 -2 -3 -1 2 3 1
8 -10 -12 -6+ 4+3+6 = 21 – 28 = -7 : 7= -1 (делится нацело на 7)
Таким же способом можно получить признак делимости на 13. Мы имеем:
… 108 107 106 105 104 103 102 10 1
… -4
-3
1
4
3
-1
-4
-3 1
(остатки от деления на
13).
По тому же правилу как при делении на 7 нужно справа налево подписать под
цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно
умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные
произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от
деления на 13, что и взятое число.
Например: числа 872 232 325 и 260 390 265 265.
1)
8 7 2 2 3 2 3 2 5
-4 -3 1 4 3 -1 -4 -3 1
7
-32 -21 +2 +8 +9 -2 -12 -6 +5 = 24 – 73 = - 49 : 13= -3 (остаток -10) (не делится
нацело на 13)
2)
2 6 0 3 9 0 2 6 5 2 6 5
4 3 -1 -4 -3 1 4 3 -1 -4 -3 1
8 +18 -0 -12 -27 +0 +8 +18 -5 -8 -18 +5 = 57 – 70 = -13 :13= -1 (делится нацело
на13)
Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только
найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами
взятого числа. А для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по
возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3
или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и
признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11
коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны +1 и – 1. А при т
=7 коэффициенты получились посложнее; поэтому и признак делимости на 7
получился более сложный. Рассмотрев все признаки деления до 100 (см.
Приложение), я убедилась, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел
23 (с 1022 коэффициенты повторяются), 29 (с 1028 коэффициенты повторяются).
Заметим еще, что иногда признак делимости можно получить проще. Пусть,
например, нужно определить, делится ли некоторое число на 15. Конечно, можно,
как указано выше, найти коэффициенты, подписать их и составить сумму
произведений цифр на эти коэффициенты. Но можно поступить проще, использую
свойство делимости произведения(50). Если число делится на 15, то оно делится на 3
и на 5. Наоборот, если число делится на 3 и на 5, то оно делится на 15. Значит, для
того, чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на
3 и на 5, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или 5 и, кроме того, сумма его цифр
делилась на 3. Аналогично, для того чтобы число делилось на 6 необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была
четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы.
Число 268 513 можно записать следующим образом:
268 513 = 2 · 105 + 6 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 1· 10 + 3.
В этой записи каждая цифра множится на соответствующую степень десяти. Если
же мысленно разбить цифры числа (начиная справа) на группы, по две в каждой
группе, то число запишется по-другому. Например:
1) 268 513 = 26 · 1002 + 85 · 100 + 13
2) 3 785 493 = 3 · 1003 + 78 · 1002 + 54 · 100 + 93.
Для произвольного шестизначного числа мы можем написать:
abcdef = ab · 1002 + cd · 100 + ef.
8
Иначе говоря, в этом случае число выражается через степени числа 100, а
коэффициентами при этих степенях служат двузначные числа, Такой записью чисел
тоже можно пользоваться для вывода признаков делимости.
Выведем таким путем новый признак делимости на 11. Мы имеем:
. . . 1007 1006 1005 1004 1003 1002 100
1
1
1
1
1
1
1
(остатки от деления на 11).
Имеем:
1) 26 85 13
1 1 1
26+85+13 = 124 : 11 = 11 (остаток 3) (не делится нацело на11)
2) 89 38 20 34 94
1 1 1 1 1
89+38+20+34 +94 = 275 : 11 = 25 ( делится нацело на11)
Мы получили следующее правило: нужно справа налево подписать под каждой
группой цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления), затем нужно
умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и
полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же
остаток от деления на 11, что и взятое число.
Можно также разбивать цифры числа на группы по три цифры в каждой. Тогда
число будет выражено через степени числа 1000.
Например:
3 658 941 =3 · 10002 + 658 · 1000 + 941.
Таким способом можно также получать различные признаки делимости. Например,
мы имеем:
…10008 10007 10006 10005 10004 10003
10002 1000
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
(остатки от деления
на 7)
1) 53 012 869 745 012 811
1 -1 1
-1 1 -1
53 – 2 + 869– 745+12–811 = 934 – 1568 = - 634 : 7 = - 90 (остаток - 4)
Вывод: число 53 012 869 745 012 811 не делится на 7 нацело.
2) 624 781 889 347
1 -1 1
-1
624 – 781 + 889 – 347 = 1513 - 1128 = 385 : 7 = 55
Вывод: число 624 781 889 347 делится на 7нацело.
Поэтому мы можем сформулировать следующий признак делимости на 7:
9
Разобьем цифры числа на группы, по три цифры в каждой (считая справа). Справа
налево подписать под каждой группой цифр этого числа коэффициенты
(остатки от деления): затем нужно умножить каждую группу цифр на
стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная
сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.
Данный приём – метод остатков можно использовать при выведении признака
делимости на любое натуральное число.
Проверим для хорошо знакомого нам признака деления на 9.
…10008 10007 10006 10005 10004 10003
10002 1000
1
1
1
1
1
1
1
1 (остатки от деления на
9)
Например:
1) 357 309 178
1 1 1
357+309+178 = 844 : 9 = 93 (остаток 7)
10
Практическая часть.
Задача 1:Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек,
единиц и нулей, которое бы делилось на 225.
Решение
Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее, чем на два нуля.
Число должно делиться на 9 ,поэтому сумма цифр должна делится на 9, значит, она
не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых:9=2+2+2+2+1. Чтобы
число было меньше, 1 должна стоять в начале числа.
Ответ:1222200.
Задача 2: Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же
число, что и в остатке.
Решение
Пусть число А=7х + х , А=8х, где 0 < х < 7, т.е. х принимает значения 1, 2, 3, 5, 6.
Тогда, а = 8, 16, 24, 32, 40, 48.
Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.
Задача 3: При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые
частные, но первое деление было с остатком 8, а второе деление без остатка. Найти
это число.
Решение
Пусть число А = 13 n + 8 , тогда по условию А = 15 n , решив уравнение 13п + 8 =
15п, получим n= 4. Значит, число А = 60.
Ответ: 60
Задача 4:Некто привёз на базар огурцы; когда он стал считать их десятками, то не
хватило двух огурцов до полного числа десятков. Когда он стал считать огурцы
дюжинами, то осталось 8 огурцов. Сколько огурцов было привезено, если их было
больше 300, но меньше 400?
Решение
Число огурцов обозначим за а, тогда по условию задачи а=10х+8 и а=12у+8.
Значит, если отложить 8 огурцов, то а делится на 10 и 12, т.е. на 60. Среди чисел,
больших 300 и меньших 400, лишь 360 удовлетворяет этим условиям. Итак, огурцов
было 368. Число 300 делится на 60. Значит, число 308 тоже является решением
задачи.
Ответ: 308,368.
11
Заключение.
Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:
изучен теоретический материал по данной проблеме, ознакомились с универсальным
признаком делимости на любое натуральное число до 30 (метод остатков), показали
применение данного признака.
В ходе работы мы получили навыки нахождения остатков чисел при делении,
навыки сложения чисел с разными знаками, навыки работы на компьютере.
Проделав данную исследовательскую работу, мы углубили свои знания по данной
теме.
Мы рекомендуем использовать этот метод для учащихся интересующихся
математикой.
Выводы:
1.Познакомились с теоретическими материалом о признаках делимости.
2. Показали применение признаков делимости в решении практических задач.
3.Ознакомились с универсальным методом делимости чисел до 30.
12
Список литературы.
1. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин: «За страницами учебника математики». М.:
Просвещение, 1989.
2. Гусев В.А.. Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. –
М.: Просвещение, 1988.
3. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин и др..М.: Мнемозина, 2008.
4. Интернет-ресурсы.
13