Исследование функций и построение графиков

Тема 6
Исследование функций и построение графиков
Теоретические вопросы
1. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
2. Монотонность функции. Достаточное условие строгой
монотонности. Необходимое и достаточное условие
монотонности.
3. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума. Наибольшее и
наименьшее
значение функции на отрезке.
4. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
5. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба.
Достаточное условие точки перегиба.
6. Асимптоты графика функции.
7. Общая схема исследования функций и построения
графиков.
Общая схема исследования функции
и построения графика
I.
II.
Определение общего характера графика функции:
нахождение области определения функции;
исследование функции на чётность, нечётность,
периодичность;
исследование функции на непрерывность функции и
точки разрыва,
нахождение вертикальных, горизонтальных
и наклонных асимптот графика функции;
нахождение точек пересечения графика функции с
осями координат;
нахождение интервалов знакопостоянства функции;
нахождение дополнительных точек графика
функции.
Уточнение характера графика функции с помощью
первой производной:
нахождение интервалов монотонности функции;
нахождение точек экстремумов функции.
III. Уточнение характера
графика функции с помощью
второй производной:
нахождение интервалов выпуклости
вверх,
выпуклости вниз;
нахождение точек перегиба функции.
Контрольные вопросы
1. Функция дифференцируема на промежутке и монотонна.
Что можно сказать о её производной?
2. Функция имеет на отрезке положительную производную.
Что можно сказать о её монотонности?
3. Функция строго монотонна на отрезке. Может ли её
производная на этом отрезке обращаться в ноль?
4. Может ли функция в точке экстремума быть
недифференцируемой?
5. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
её производная в этой точке равна нулю?
6. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что она
дифференцируема в этой точке?
7. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
если она непрерывна в этой точке, то её производная в этой
точке равна нулю?
8. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
если она дифференцируема в этой точке, то её
производная в этой точке равна нулю?
Задачи для практических занятий
1. Найти асимптоты
графика
x 2  2x  3
а) f ( x) 
;
x2
функции:
x2
б) f ( x) 
.
x2
2. Найти промежутки монотонности функции:
2 x
а) f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3 ; б) f ( x)  x 2 ( x  3) ; в) f ( x)   .
x 2
3. Найти экстремумы функции:
3
а) f ( x)  x3  27 x ; б) f ( x)  3  x 2  2  3 x  2 ; в) f ( x) 
4. Исследовать
1
( x  3) 2
.
методами дифференциального
исчисления следующие функции и построить графики:
x 2  6 x  13
а) f ( x) 
;
x 3
в) f ( x) 
ln x
;
x
( x 1) 2
б) f ( x) 
;
2
x 1
x
г) f ( x)  x  e 2 .
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти асимптоты
графика
функции:
x 2  2x  3
x2
а) f ( x) 
; б) f ( x) 
.
x2
x2
2. Найти промежутки монотонности функции:
2 x
а) f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3 ; б) f ( x)  x 2 ( x  3) ; в) f ( x)   .
x 2
3. Найти экстремумы функции:
3
1
а) f ( x)  x3  27 x ; б) f ( x)  3  x 2  2  3 x  2 ; в) f ( x) 
.
2
( x  3)
4. Исследовать
методами дифференциального
исчисления следующие функции и построить графики:
x 2  6 x  13
а) f ( x) 
;
x 3
x 2  3x  2
в) f ( x) 
;
2
x  2x 1
б) f ( x) 
x
;
2
(1  x)(1  x)
x 2 ( x 1)
г) f ( x) 
.
2
x  2x 1
Проверочная работа № 6 0
1. Найти промежутки монотонности функции
x3
4
f ( x)  x   2 x 2  x .
3
2. Найти промежутки монотонности функции
f ( x)  4 x  33 х .
3. Найти экстремумы функции
f ( x)  6 x 4  8 х 3  3 x 2  6 x .
4. Исследовать методами дифференциального исчисления
( x  2)3
функцию f ( x) 
и построить график.
2
x  4 x 12
Решение проверочной работы № 6 0
1. Данная функция определена на всей числовой прямой, т.е.
D(f) = R, а её производная равна
f ( x)  4 x3  x 2  4 x  1  (4 x3  4 x)  ( x 2 1)  ( x 2 1)(4 x 1)
Производная обращается в нуль в трёх точках х = 1, х = 1 , х =1.
4
Эти точки разбивают область определения функции на четыре
промежутка (,1), (1, 1 ), ( 1 ,1) и
(1, +), в каждом
4
4
из которых производная f'(x)сохраняет знак.
Подставим в выражение для f'(x) значения х = 2, х = 0, х = 1 , х = 2
2
из указанных промежутков, тогда:
на (,1) имеем f'(2) 0;
на (1, 1 ) имеем f'(0) 0;
4
на ( 1 , 1)
имеем f'( 1 ) 0;
4
2
на (1, +)
имеем f'(2) 0.
Следовательно, в промежутках (,1) и( 1 ,1) функция убывает, а в
4
промежутках
(1, 1 ) и (1, +) – возрастает.
4
2.
Функция определена и дифференцируема на всей
числовой прямой, причём
3 2
(23 х 1)(23 х  1)
1
4
х

1

f ( x)  4 


3 2
3 2
3 2
х
х
х
1
1
Производная обращается в нуль в точках: х =  , х = и не
8
8
существует в точке х = 0.
Эти три точки делят область определения на четыре промежутка
1
1
1
1
(-,  ), (  , 0), (0, ) и ( , +).
8
8
8
8
Определим знак производной в каждом из них
на (,  1 )
8
1
на (  , 0)
8
на (0, 1 )
8
1
на ( , +)
8
имеем f'(1)  0;
имеем f'( 
1 ) 0;
27
имеем f'( 1 ) 0;
27
имеем f'(1) 0.
Таким образом, в промежутках (,  1 )и ( 1 , +) функция
8
8
1 1
возрастает, а в промежутке (  , ) – убывает.
8 8
3.
Область определения функции D(f) = R. Дифференцируя
данную функцию, находим
f ( x)  24x3  24x 2  6 x  6  6(4 x3  4 x 2  x 1)  6(4 x 2 ( х 1)  ( x 1)) 
 6(4 х 2 1)( х 1)  6(2 х 1)(2 х 1)( х 1)
Производная обращается в нуль при х =  1 , х = 1 и х =1. Эти точки
2
2
разбивают числовую ось на четыре промежутка(,  1 ), (  1 , 1 ),
2
2 2
( 1 ,1) и (1,+), внутри которых производная сохраняет
2
определённый знак. Найдём знак производной в каждом из
указанных промежутков:
на (,  1 ) имеем f'(1)  0;
2
на (  1 , 1 )
имеем
f'(0)  0;
2 2
на ( 1 ,1)
имеем
f'( 3 ) 0;
2
4
на (1, +)
имеем f'(2) 0.
Отсюда следует, что точки х =  1 , х = 1 и х = 1
2
2
являются
экстремальными,
так
как
при
переходе
через каждую из них производная меняет свой знак.
При этом в точках х =  1 и х = 1 происходит смена знаков с
2
минуса
на
плюс,
т.е.
это

точки
минимума;
х = 1 знак производной
2
меняется с плюса на минус, значит, это  точка максимума.
при
переходе
через
точку
Найдем экстремумы функции, вычислив её значения в
экстремальных точках:
19
fmin = f (  1 ) =  ,
8
2
13
fmax = f ( 1 ) = ,
8
2
fmin = f (1) = 1.
( x  2)3
4. Представим функцию в виде: f ( x) 
.
( x  2)( x  6)
Область определения функции D ( f ) – вся числовая прямая,
за исключением точек х = 2 и х = 6, т.е.
(;2)  (2;6)  (6;) .
Функция непериодическая; исследуем её на четность,
нечетность
( x  2)3
f ( x) 
 f ( x) ,
2
( x)  4( x) 12
( x  2)3
f ( x) 
  f ( x) .
2
( x)  4( x) 12
Следовательно, данная функция не является ни
чётной,
ни нечётной.
Найдём точки пересечения графика с осями
координат:
с осью Оу график пересекается при х = 0, при этом
2
у = f (0) = ,
3
2
т.е. М (0; )  точка пересечения с осью Оу;
3
с осью Ох график пересекается в точках, в которых
f (х) = 0, т.е.
( x  2)3
 0,
2
x  4 x 12
откуда х = 2.
Таким образом, М (2; 0)  точка пересечения с осью Ох.
Находим интервалы знакопостоянства функции:
( x  2)3
f (х) > 0 
 0  ( x  2)3  ( x  2)  ( x  6)  0 ,
x 2  4 x 12
т.е. при x  (2;2)  (6;) .
Аналогично
f (х) < 0
при x  (;2)  (2;6) .
Так как
( x  2)3
(64)
lim

lim
  ,
x  2  0 ( x  2)( x  6) x  2  0 (0)  (8)
( x  2)3
(64)
lim

lim
  ,
x  2  0 ( x  2)( x  6) x  2  0 (0)  (8)
( x  2)3
64
lim
 lim
  ,
(
x

2
)(
x

6
)
8

(

0
)
x 60
x 60
( x  2)3
64
lim
 lim
  ,
(
x

2
)(
x

6
)
8

(

0
)
x 60
x 60
то х = 2 и х = 6 являются точками разрыва второго рода,
а
прямые
х = 2 и х = 6
 вертикальными
асимптотами.
Поскольку
( x  2)3
x3  6 x 2  12x  8
lim
 lim

2
2
x   x  4 x 12 x   x  4 x 12

12 8 
2

6
x  x  1  
 
x
2
3 

x
x

 lim
  ,


x  
x 2  1  4  12 
x

x 2 

( x  2)3
а lim
  ,
2
x   x  4 x 12
то горизонтальных асимптот график функции не имеет.
Наклонная асимптота задаётся уравнением y  kx  b , где
f ( x)
x3  6 x 2  12x  8
k  lim
 lim
 1,
3
2
x
x
x   x  4 x 12x
 3

2
 x  6 x  12 x  8

b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 x 

x
x   x 23  4 x 2 12 x

 2 x 2  24x  8
 lim
 2 ,
2
x   x  4 x 12
т.е. прямая y  x  2  наклонная асимптота при x  
при x   .
и
Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции,
исследуя первую производную:
3( x  2) 2  ( x 2  4 x 12)  ( x  3)3  (2 x  4)
f ( x) 

2
2
( x  6)  ( x  2)
( x  2) 2  ( x 2  4 x  44) ( x  2) 2  ( x  2  4 3)  ( x  2  4 3)
.


2
2
2
2
( x  6)  ( x  2)
( x  6)  ( x  2)
Воспользуемся методом интервалов для исследования знака
производной ( см. рис.1):
Рис.1
При x  2  4 3 и при x  2  4 3
следовательно, функция возрастает.
производная f ( x)  0 ,
При 2  4 3  x  2 ,  2  x  2 , 2  x  6 и 6  x  2  4 3
производная f ( x)  0 , следовательно, функция убывает.
При переходе через точку x  2  4 3 , производная меняет
знак с «+» на «», значит это точка локального максимума.
При переходе через точку x  2  4 3 , производная меняет
знак с «» на «+», значит это точка локального минимума.
При переходе через точку х = 2, производная знака не меняет,
значит в этой точке функция экстремумов не имеет.
Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба,
вычислим вторую производную:
32( x  2)  ( x 2  4 x  104)
.
f ( x) 
3
3
( x  6)  ( x  2)
Применим метод интервалов для исследования знака второй
производной ( см. рис. 2):
Рис. 2
При  2  x  2 и x  6 f ( x)  0 , следовательно, функция
выпукла вниз,
При x  2 и 2  x  6
f ( x)  0 , следовательно, функция
выпукла вверх.
Учитывая всю полученную информацию о функции, строим
график:
Рис. 3