Теория представлений в нецелых размерностях

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых
размерностях»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины "Теория представлений в нецелых размерностях" являют-
ся
1. получение представления об основных структурах, объектах и задачах теории
представлений алгебраических групп;
2. получение знания об основных понятиях и результатах классической теории инвариантов;
3. получение представления о современных методах теории представлений;
4. развитие математической интуиции.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные факты теории представлений классических групп.
 Свободно пользоваться техникой тензорных категорий в представленческих задачах.
 Приобрести опыт самостоятельного разбора оригинальных статей.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Алгебра, алгебраическая геометрия
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Владение теорией представлений конечных групп (вплоть до классификации неприводимых представлений симметрической группы над полем характеристики нуль).
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра


5
Знание начал алгебраической геометрии (аффинные алгебраические многообразия,
функтор точек).
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
Классические группы, их инварианты и представления
Тематический план учебной дисциплины
1 курс магистратуры
№
1
2
3
4
Название раздела
Всего
часов
Представления полной линейной группы,
двойственность Шура—Вейля и функторы
Шура.
Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по
тензорной категории ее представлений.
Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.
Теорема Делиня о существовании (супер)
функтора слоя.
Итого:
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
18
8
10
18
8
10
18
8
10
18
8
10
72
32
40
2 курс магистратуры
№
1
2
3
4
Название раздела
Всего
часов
Представления полной линейной группы,
двойственность Шура—Вейля и функторы
Шура.
Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по
тензорной категории ее представлений.
Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.
Теорема Делиня о существовании (супер)
функтора слоя.
Итого:
3
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
30
8
22
32
8
24
32
8
24
32
8
24
126
32
94
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
6.1
7
Форма контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
8
v
Параметры **
4
Письменная работа 90
мин
Устная зачетная работа
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Содержание дисциплины
1. Раздел 1 Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и
функторы Шура.
На лекциях предполагается разбор следующих тем:
1. Представления полной линейной группы. 2 ч.
2. Представления симметрической группы. 2 ч.
3. Двойственность Шура—Вейля. 2 ч.
4. Полная приводимость конечномерных представлений полной линейной группы. 2
ч.
М:
Литература по разделу: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления.
ИЛ,
1947
Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond.
The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan,
1995. .
2. Раздел 2 Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической
группы по тензорной категории ее представлений.
На лекциях предполагается разбор следующих тем:
5. Аксиомы жесткой тензорной категории. 2 ч.
6. Аффинные групповые схемы и аффинные алгебраические группы. 2 ч.
7. Тензорные функторы. 2 ч.
8. Аффинная алгебраическая группа как группа автоморфизмов забывающего функтора (слоя). 2 ч.
Литература по разделу: Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles,
Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 .
3.
Раздел 3 Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.
На лекциях предполагается разбор следующих тем:
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9. Категория Rep GL_t. Карубиево замыкание и полупростота. 2 ч.
10. Категория Rep S_t. 2 ч.
11. Конструкция Кнопа. 2 ч.
12. Исключительная серия Делиня. 2 ч.
Литература по разделу:J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t,
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.
F.Knop, A construction of semisimple tensor categories.
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank.
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.
4. Раздел 4 Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.
На лекциях предполагается разбор следующих тем:
13. Примеры алгебраических супергрупп. 2 ч.
14. Алгебры в произвольной тензорной категории. 2 ч.
15. Лемма Делиня о функторах Шура. 2 ч.
16. Доказательство теоремы Делиня. 2 ч.
Литература по разделу:
P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248.
(см.
также
V.Ostrik,
Tensor
categories
(After
P.Deligne),
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).
8
Образовательные технологии
На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса,
разбираются поучительные примеры. Для самостоятельной работы студентам даются задачи
исследовательского характера, требующие работы с источниками.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
1. Применив конструкцию Кнопа, постройте жесткую тензорную категорию $Rep\
GL_t(\mathbb{F}_q)$, где $q$ фиксировано, а $t$ – параметр.
2. Покажите, что при $t\in\zz$ категория $Rep\ GL_t$ допускает бесконечное множество попарно неизоморфных тензорных функторов $Rep\ GL_t\to SVect_k$.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной
результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и
оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura
Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 (см также http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.pdf ).
11.2 Основная литература
P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248.
(см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne),
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).
J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t,
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.
F.Knop, A construction of semisimple tensor categories.
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank.
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947
Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat
Gan, 1995.
6